Upload
miguelperezfontenla
View
223
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
1/47
AnalysisDerivadas. Problemas
OpenUepc.com 1.1.4.6.1 Ver 01:03/02/2010
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
2/47
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
3/47
NOTA
La clasificacin decimal de todos los temas de este manual tienenimplcito el comienzo 1.1.4.6.1 correspondiente a
1 SCIENCE
1.1 MATHEMATICS
1.1.4 ANALYSIS1.1.4.6 .1 DIFERENCIACION
COPYLEFT
Este material as como los applets, powerpoints, videos y archivos desonido asociados, puede ser distribuido bajo los trminos y condicionesdefinidos en Open Publication License versin 1.0 o posterior (Laversin ms reciente est disponible en
http://www.opencontent.org/openpub/).
El contenido est sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fines didctico y solo pretende la universalizacin de la cultura. Estescrito en base a la colaboracin de las miles de personas quecomponen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autoresque referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto.Cualquier distribucin del mismo debe mencionar a OpenUepc comofuente.
Miguel Prez Fontenla
INDICE AUTORES
Iniciado por: Miguel Prez Fontenla
22/01/2010
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
4/47
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
5/47
TABLA DE DERIVADAS
Funcin Derivada Ejemplos
Constante
y=k y'=0 y=8 y'=0
Identidad
y=x y'=1 y=x y'=1
Funciones potenciales
Funciones exponenciales
Funciones logartmicas
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
6/47
Funciones trigonomtricas
Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
7/47
Regla de la cadena
( ) [ ]{ } [ ]'( ) ( ) ' ' ( ) '( )f x g f x g f x f x= = o
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
8/47
+
| COLECCIN DE 20 EJERCICIOS 1
COLECCIN DE 20 EJERCICIOS
Presento a continuacin una coleccin de 20 derivadas resueltas que de saberlas hacer todas,es presumible que estas perfectamente preparado en lo que respecta al clculo de derivadas.
1.- Calcular la derivada de la funcinf(x)= x cos x
2.- Calcular la derivada de la funcin 4( ) sin ln en x=2
f x x x x
=
3.- Calcular la derivada de la funcin ( ) ln xf x x x += 4.- Calcular la derivada de la funcin 2( ) sinf x x x=
5.- Calcular la derivada de la funcin3
sin 1( )
xf x
x
=
6.- Calcular la derivada de la funcin tan cos( ) lnx xf x
x=
7.- Calcular la derivada de la funcin 2( ) cosf x x= 8.- Calcular la derivada de la funcin ( ) ln cosf x x= 9.- Calcular la derivada de la funcin sin( ) x xf x e= 10.-Calcular la derivada de la funcin ( ) ln(ln )f x x= 11.-Calcular la derivada de la funcin 2 2( ) ( )f x sen x= 12.-Calcular la derivada de la funcin 3 22( ) lgf x x x= +
13.-Calcular la derivada de la funcin
2
3 1( ) xf x x =
14.-Calcular la derivada de la funcin ( ) arctan1
xf x
x=
+
15.-Calcular la derivada de la funcinln
( ) arcsecx
f x =
16.-Calcular la derivada de la funcin ( ) xf x x= 17.-Calcular la derivada de la funcin ( ) l xf x x= 18.-Calcular la derivada de la funcin an( ) xf x x=
19.-Calcular la derivada de la funcin 1 1( ) ln2 1f x
x= +
20.- Calcular la derivada de la funcin2( ) ln 1f x x x= + +
Ejercicios Propuestos
Calcular la derivada de la funcin 2( ) ln 1f x x x= +
Calcular la derivada de la funcin
1 1
( ) ln2 1f x x+
=
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
9/47
+
| COLECCIN DE 20 EJERCICIOS 2
Soluciones
1.- Calcular la derivada de la funcinf(x)= x cos x
( )'( ) cos ' ' cos' 1 ( sin ) 1 sinf x x x x x x x= = = = +
2.- Calcular la derivada de la funcin 4( ) sin ln en x=2
f x x x x
=
( )3 3 4
'4 3 1 1 2 4'( ) sin ln 4 cos ; ' 4 cos2 2 2 2 2
2
f x x x x x x f x
= = = = =
3.- Calcular la derivada de la funcin ( ) ln xf x x x += Al estar definido x>0 ya no tenemos problemas con la definicin de la funcin, pues slo
tendramos problemas si apareciesen neperianos de nmeros negativos
( ) ( )1
'( ) ln ' 'ln ln ' 1 ln ln 1f x x x x x x x x x xx
= = + = + = +
4.- Calcular la derivada de la funcin 2( ) sinf x x x= ( ) ( ) ( )2 2 2 2'( ) sin ' 'sin sin ' 2 sin cosf x x x x x x x x x x x= = + = +
5.- Calcular la derivada de la funcin3
sin 1( )
xf x
x
=
( ) ( ) ( )3 3' 3 4 33 6 6
3
'sin sin ' 0 sin 1 sin cos sinsin 1'( ) ...
sin cos sin 1...
x x x x x x x x x x x x x x xx xf x
x x x
x x x x x
x
+ + + = = = =
+ +=
6.- Calcular la derivada de la funcintan cos
( )lnx x
f xx
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
'
2
2
2
' tan tan ' cos ' ln tan cos ln 'tan cos'( ) ...
ln ln
1tan tan sin ln tan cos
...ln
x x x x x x x x x xx x xf x
x x
x x x x x x x xx
x
+ = = =
+ + =
7.- Calcular la derivada de la funcin 2( ) cosf x x=
( ) ( )'2 2 2'( ) cos sin 2 2 sinf x x x x x x= = =
8.- Calcular la derivada de la funcin ( ) ln cosf x x=
( ) ( )' 1
'( ) ln cos sin tancos
f x x x x= = =
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
10/47
+
| COLECCIN DE 20 EJERCICIOS 3
9.- Calcular la derivada de la funcin sin( ) x xf x e=
( ) ( ) ( )'cos cos cos'( ) 3 3 ln3 cos ' 3 ln3 cos sinx x x x x xf x x x x x x= = =
10.-Calcular la derivada de la funcin ( ) ln(ln )f x x= ( )
' 1 1 1'( ) ln(ln )
ln lnf x x
x x x= = =
11.-Calcular la derivada de la funcin 2 2( ) ( )f x sen x=
( ) ( )( )( )'2 2 2 2'( ) sin ( ) 2 sin cos 2f x x x x x= =
12.-Calcular la derivada de la funcin 3 22( ) lgf x x x= +
( )
'3 2 2
2 22
3 22
1 1'( ) lg 3 lg 2
2 lg
f x x x x e x
xx x
= + = + +
13.-Calcular la derivada de la funcin2
31
( )x
f xx
=
' 2 12 1
3 33 3
2 2 2
1 2 1 ( 1) 2 1 1 2'( )
3 3 3 1
x x x x xf x
x x x x x x x
= = = =
14.-Calcular la derivada de la funcin ( ) arctan1
xf x
x=
+
( )
( )
( )2'
2 2
111'( ) arctan
1 11
1
xx xxf x
x xx
x
++ = = = + + + + ( ) ( )
22 2
1
1 1x x x+ + +2
1
2 1x x
= + +
15.-Calcular la derivada de la funcinln
( ) arcsecx
f x = '
'2
2 2
ln 1 lnln
'( ) arcsec
ln ln ln ln1 1
x xx x xf x
xx x x x
x x x x
= = =
16.-Calcular la derivada de la funcin ( ) xf x x= Este tipo de derivadas en las que aparecen variables en la base y en el exponente se resuelventomando previamente logaritmos neperianos en la expresin a derivar, para posteriormenteaplicar la Regla de la Cadena de la siguiente forma
( ) ( ) ( )1 1
( ) ln ( ) ln ln ( ) ' ln ' '( ) 1ln '( ) ln 1( )
x xf x x f x x x f x x x f x x x f x x xf x x
= = = = + = +
17.-Calcular la derivada de la funcin ( ) l xf x x=
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
11/47
+
| COLECCIN DE 20 EJERCICIOS 4
ln 2 ln1 2ln 2ln( ) ln ( ) ln ln ln '( ) '( )( )
x x xf x x f x x x x f x f x xf x x x
= = = = =
18.-Calcular la derivada de la funcin an( ) xf x x=
tan tan2 2
1 1 1 ln tan( ) ln ( ) tan ln '( ) ln tan '( )
( ) cos cosx x x xf x x f x x x f x x x f x x
f x x x x x
= = = + = +
19.-Calcular la derivada de la funcin1 1
( ) ln2 1
f xx
=
+
( ) ( )
( )2
1 1 11 1 1'( )
12 211
x xf x
x x
+ = =
++
1 x+ 21 x
x x+
( )2
1 x+ ( )( )2
1 11 1 1x x
= = +
20.- Calcular la derivada de la funcin2
( ) ln 1f x x x= + +
2 2 2
1 2 1'( ) 1
1 2 1 1
xf x
x x x x x
= + =+ + + + +
2 1x x+ +2 2
1
1 1x x=
+ +
Ejercicios Propuestos
Calcular la derivada de la funcin 2( ) ln 1f x x x= +
Calcular la derivada de la funcin1 1
( ) ln2 1
f xx
+=
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
12/47
+
| BOLETN DE TRABAJO n 1 5
BOLETN DE TRABAJO n 1
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 13523)( 345 += xxxxxf 2. )4)(2()( 23 xxxf = 3.
3
2
2
3)(
x
xxf =
4. )2)(2()( 3 xxxf = 5.
1
1)(
+
=x
xf
6.x
xxf
ln
lg)( 2=
7.senx
xxf cos)( =
8.3
3)(
xxf
x
=
9.3
1)(
xxf =
10.x
xfln
1)( =
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
13/47
+
| BOLETN DE TRABAJO n 2 6
BOLETN DE TRABAJO n 2
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. xxf =)( 2. 2)( =xxf 3. 3
2
)(x
xf
=
4. 23 32)( = xxxf 5.
2
1)(
=
xxf
6.senx
xfcos
1)( +=
7.senx
xsenxxf
cos
cos)(
+
=
8.x
xxf
ln1
ln1)(
+
=
9.2
2
1
1)(
=x
xxf
10.x
xx
xf
21
2)(
+
=
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
14/47
+
| BOLETN DE TRABAJO n 3 7
BOLETN DE TRABAJO n 3
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1.e
exfln
1)( =
2. xxxexf x ln)( = 3. xexf x ln)( = 4.
x
exf
x
ln)( =
5.x
exf
x
ln11
)(+
=
6. ))(ln1()( xexxxf += 7. exxf =)(8. xe exxf =)(9.
x
x
e
exf
+
=1
1)(
10.x
x
ex
exxf
+
=ln
ln)(
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
15/47
+
| BOLETN DE TRABAJO n 4 8
BOLETN DE TRABAJO n 4
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. xxxf 3)( 3 = 2.
xxf
x
3lg
3)( =
3.x
xxf
x
x
3
3
lg3
lg3)(
+=
4. tgxsenxxf =)(5.
tgx
senxxf =)(
6.x
senxxxf
cos)(
+
=
7.xtgx
senxxxf
coscos
)(+
=
8.xtgx
senxxxf
coscos
)(
=
9.xtgx
xxf
+
=1cos
)(
10.x
senxxxfcos
)(+=
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
16/47
+
| BOLETN DE TRABAJO n 5 9
BOLETN DE TRABAJO n 5
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 33 3)( xxxf x = 2. )( )xxxf 3)( 3= 3.
x
xxf
3
lg)( 3=
4.33
ln)(
xxf =
5.( )
33
3
lg
3)(
xx
xxf
x=
6.x
xxf
31
1)(
3
+
=
7.x
xxf
3lg1ln1
)(+
=
8. ( )( )33 3)( xxxf x= 9. 3
3lg
ln)(
xx
xxxf
+
=
10. 3
3)(x
xf =
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
17/47
+
| BOLETN DE TRABAJO n 6 10
BOLETN DE TRABAJO n 6
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 53)( xxf = 2. xxxf = 15)(3.
2
1)(
xxf =
4.5
3
)(x
xxf =
5.5
1)(
xxf
=
6. 5 4)( xxf = 7. 4 5)( xxf = 8.
4 5
1)(
xxf =
9.5 4
1)(
xxf =
10.x
xxf =)(
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
18/47
+
| BOLETN DE TRABAJO n 7 11
BOLETN DE TRABAJO n 7
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. xxxf =)(2. xxxf 5)( = 3.
5)(
xxf =
4.x
xxf
5
)( =
5.3
1)(
xxxf =
6.xx
xxf
3)( =
7. 3 23)( xxxf = 8.
3
3 23
)(x
xxxf =
9.5 4
4 5
)(x
xxf =
10.5 45
4 53
)(xx
xxxf =
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
19/47
+
| BOLETN DE TRABAJO n 8 12
BOLETN DE TRABAJO n 8
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1.4
5 33 5 1)( xxxf =
2. ( )( )5 33 5)( xxxf = 3.
5 3
3 5
)(x
xxf =
4. 35 3
5
)(x
xxf =
5.5 33 5
5 33 5
)(xx
xxxf
+
=
6.5 3
3 5
1
1)(
x
xxf
+
=
7.4
5 3
1)(
x
xxf =
8. 5 31)( xxf = 9.
3 5
1)(
xxf =
10.5 3
4
)(x
xxf =
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
20/47
+
| BOLETN DE TRABAJO n 9 13
BOLETN DE TRABAJO n 9
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 35 3
4
)(x
xxf =
2. 35
5 3
1)(
=
xxf
3. ( )3 55 3)( xxf = 4.
5 5 3
)( xxf =
5. 5 3)(x
xxf =
6. 31
1)(
x
xxf
+
=
7. 3)( exf = 8. 3 5)( xexf = 9. 3 5)( xxf = 10. 3 3 55)( xxf =
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
21/47
+
| BOLETN DE TRABAJO n 10 14
BOLETN DE TRABAJO n 10
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. xxf 3ln)( = 2. xxf 3lg)( 3= 3. 33lg)( xxf = 4. 33lg)( xxf = 5. xxf 3lg3)( = 6. 33)( xxf = 7.
33 3lg)(
x
xf = 8. 33 3lg3)( xxf = 9. 3 3 3lg)( xxf = 10. 3 3ln)( xxf =
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
22/47
+
| BOLETN DE TRABAJO n 11 15
BOLETN DE TRABAJO n 11
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 3 2ln)( xexxf x = 2. ( )( )(3 2ln)( xexxf x= 3.
xe
xxf
ln)( =
4.3 2
)ln()(
x
xxf
=
5.( )3 2ln
)(xx
exxf
xe =
6.x
x
e
exf+=
11)(
7.2ln1
ln1)(
x
xxf
+
=
8. ( )x
xxf
x
ln3
)(3 2
=
9. 3ln1
ln1)(
x
xxf
+=
10. ( )3 2
)(x
exf =
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
23/47
+
| BOLETN DE TRABAJO n 12 16
BOLETN DE TRABAJO n 12
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. ( )3 2ln)( xexf = 2. 3 ln)( xexf = 3. 3 2ln)( xxf = 4. 23ln)( xexf = 5. 3ln)( xexf = 6. 3 ln)(
x
x
e
exf =
7. 3 1)(x
xxf =
8. 3)( xeexf = 9. xexf ln)( = 10. 3 2ln)( xexf =
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
24/47
+
| BOLETN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones) 17
BOLETN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones)
Deriva:
1.
=
2
21arcsen
x
xy
2.
= xey x log4
sen
3. xx
y
tg2
=
4.
=
xy
x
cos2
ln35
5.xe
xy
sen
32 tg=
6. arccos3 xxy = 7. 48
27cos10
= xy
8. ( )32 2ln =y 9.
xx ee
xy
+
=
1
10. xy = 1arctg
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
25/47
+
| EJERCICIOS VARIOS 18
EJERCICIOS VARIOS
Fuente Ana Fraga Vila
1) Deriva las siguientes funciones:
y =x
x2
sen y = ln (3x2 5x) y = e2x cosx
y = cos3x cos x2
x
x+=y
11
ln x
x=y
2
sen
x=y arcsen xx=y )tg( 33 sensen xxy =
+
x
x=y
2121
sco 3
2
x
x=y x=y
xsen
y =x2 e3x )(senln 2 x=y y = ex sen3x
y =xcos x x=y tg2
=
3
2 39ln
x
xy
3
2 39x
xy = y =xsen x y = ln (ex + cos x)
253
2
5
3x
xy
= xxy tg2 )3(= y = log ( cos x + 231 x )
y = L 32 )7(sen xx
+
x
x=y
2121
osc
x
=y3tg
)1(arctg 2x=y e-e
e+e=y
x-x
-xx
)(sensco 3x=y
xx=y3 y = 322 )1(sen + xx 36arctg x=y
241 x
x=y
+
x+
x=y tg
cos1
ln )(sen 232 xe=y
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
26/47
+
| EJERCICIOS VARIOS 19
x=y arctg xxey 3)1( = 4)1(
222 xx
+x
=y
( )x=y ln x=y 1tg23 )sen(cos xxe=y x +
y = tg2 (6x)
2) Interpretacin geomtrica de la derivada de una funcin en un punto. Determina los puntos de la
curva y = x3 en los que la recta tangente es paralela a la rectay = 3x + 14
3) Halla la ecuacin de la tangente a la hiprbolax=y1
en el puntox = 3.
4) Halla la ecuacin de la tangente a la curva y = 2x3 6x2 + 4 en su punto de inflexin.
5) Halla la ecuacin de la tangente a la curva y = 12 +x en el punto de abscisa 12.
6) )En qu puntos de la curva 1629 23 ++ xxx=y la recta tangente es paralela al eje OX?
7) Calcula a y b para quex+b+ax=y8
tenga en el punto (2, 8) una tangente horizontal.
8) Halla p y q sabiendo que la funcin f(x) = x3 + px2 + q tiene un mnimo relativo en elpunto (2, 3).
9) Halla la ecuacin de las tangentes a la curva y =x4 6x2 en sus puntos de inflexin.
10) Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = 2x3 6x2 + 4 en su punto de
inflexin.
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
27/47
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
28/47
+
| EJERCICIOS VARIOS 21
22) Representa grficamente la funcin11
2
2
+
x
x=y
Calculando el dominio de definicin, puntos de corte con los ejes, asntotas,
intervalos de
crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos.
23) Esboza la grfica de xxy 63 2 =
24) Dada la funcin .73)( 3 + xx=xf
a) Calcula mximos, mnimos y puntos de inflexin
b) Esboza su grfica
c) Escribe la ecuacin de la recta tangente en su punto de inflexin.
25) Representa grficamente ,61
)( 23 xx=xf + hallando: puntos de corte con los ejes,
monotona
(crecimiento y decrecimiento), mximos, mnimos, curvatura y puntos de inflexin.
26) Estudia y representa grficamente12
2
+x
=y
27) Halla b, c y dpara que la funcin dcxbxxxf +++= 23)( tenga un punto de inflexinen x = 3,
pase por el punto (1, 0) y tenga un extremo enx = 5.
28) Representa grficamente la funcin y = (2 x)2 calculando previamente:
a) Dominio de definicin.
b) Puntos de corte con los ejes.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Mximos y mnimos.
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
29/47
+
| 22
29) Dada la funcin21
)(x
x=xf
+
a) Calcula: Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Mximos y mnimos.
b) Halla sus asntotas.
c) Esboza su grfica
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
30/47
+
| 23
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
31/47
+
| 24
Fuente: IES Rego da auga
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
32/47
+
| 25
SOLUCIONES BOLETIN 1
1. 315815)('13523)( 234345 +=+= xxxxfxxxxxf 2. ( ) 44432223 401624)8)(2()4(6)(')4)(2()( xxxxxxxxfxxxf ==+== 3. ( )( ) ( )( )
( ) 264
6
44
23
223
3
2
2
3
4
6
4
1812
2
6326)('
2
3)(
xx
x
x
xx
x
xxxxxf
x
xxf
=
=
=
==
4. )2ln2)(2()2)(6()(')2)(2()( 323 xxx xxxfxxf +== 5. ( )
( ) ( )22 12
1
1)1(11)('
11
)(
=
+=
+
=xx
xxxf
x
xxf
6. ( ) ( )( )2
222
ln
1lglnlg1)('
ln
lg)(
x
xxxe
xxf
x
xxf
==
7.xsen
xxsen
xsen
xxxsenxxf
senxfctgx
senx
xxf
2
22
22
coscoscoscos)('
1)('
cos)(
=
=
===
8.( )
( ) ( )4
1
6
12
23
23
3
33ln333ln3333ln3)('
3)(
x
x
x
xx
x
xxxf
xxf
xxxxxxx ++ =
=
==
9.4
433
33)('
1)(
xxxfx
xxf
====
10.x
xx
xfx
xf22 ln
1
ln
11ln0)('
ln1
)(
=
==
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
33/47
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
34/47
+
| 27
SOLUCIONES BOLETIN 3
1. ( ) 0ln0)1(ln0
)('ln1
)( 2 =
=
= e
eexfe
exf
2. 1ln1ln11)('ln)( +=+== xxeex
xxxeexfxxxexf xxxxx
3. exexfxexf xxx 1ln)('ln)( +==
4. xexexfexfxx
x
2ln
1ln
)('ln
)(
==
5. ( )( ) ( )( )2ln1
11ln1
)('ln1
1)(x
xexe
xfx
exf
xx
x
+
+=
+=
6. )1)(ln1())(1()('))(ln1()( xxx exexxfexxxf +++=+= 7. 1)(')( == ee exxfxxf 8. xexexe exeexxfexxf +== 1)(')(9. ( )( ) ( )( )
( )2111
)('1
1)(
x
xxxx
x
x
e
eeeexf
e
exf
+=
+
=
10. ( ) ( )( )2ln
1lnln
1
)('ln
ln)(
x
xxxx
x
x
ex
ex
exexex
xfex
exxf
+
++ =+
=
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
35/47
+
| 28
SOLUCIONES BOLETIN 4
1. 3ln333)('3)( 323 xxx xxxfxxf +==
2.( )
( )23
33
3 lg
lg1
3lg3ln3)('
lg3
)(x
ex
x
xfx
xf
xx
x
==
3.( ) ( )
( )23
3333
3
3
lg3
lg1
3ln3lg3lg3lg1
3ln3)('
lg3
lg3)(
x
ex
xxex
xfx
xxf
x
xxxx
x
x
+
+=
+=
4. )1(cos)(')( 2xtgsenxtgxxxftgxsenxxf ++== 5. ( ) senx
xtg
xtgsenxtgxxxfx
tgx
senxxf ==+=== ....)1(cos)('cos)(
2
2
6. ( )( ) ( )( )( )2cos
1coscos1)('
cos)(
xx
senxsenxxxxxxf
xx
senxxxf
+
+=
+
=
7. ( )( ) ( )( )( )2
2
cos
)1(coscoscos)('
cos
cos)(
xtgx
senxxtgsenxxxtgxxsenxxf
xtgx
senxxxf
+
++=
+
=
8.( )( ) ( )
( )2
22
22
cos
(coscos
1coscoscos
)('coscos
)( xtgx
senxtgxx
senxxxtgxxxsen
xfxtgx
senxxxf
++
=
=
9. ( )( ) ( )( )( )2
2 111cos1)('
1cos)(
xtgx
xtgxxtgxsenxxf
xtgx
xxf
+
+++=
+
=
10. ( )( ) ( )( )( )2cos
1coscos1)('
cos)(
xx
senxsenxxxxxxf
xx
senxxxf
+
+=
+
=
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
36/47
+
| 29
SOLUCIONES BOLETIN 5
1. 3 2233 31
3ln33)('3)( xxXfxxxfxx
==
2. ( )( ) ( ) ( )( )3ln333
1)('3)( 3
3 2
3 xxx xx
xfxxf +
==
3.( ) ( )( )
( )233
3
3
3ln3lg3lg1
)('3
lg)(
x
xx
x
xex
xfx
xf
==
4.x
xfx
xf
==33 3
1)('
3
ln)(
5.( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )233
3 233
333
32
33
3
lg
3
1lglg
13lg3ln33
)('lg
3)(
xx
xxxe
xxxxx
xfxx
xxf
xx
x
+
=
=
6. ( )( ) ( )( )( )2
323
31
3ln31313)('
31
1)(
x
xx
x
xxxf
xxf
+
+=
+
=
7.
( ) ( )
( )23
33
3 lg1
lg1
ln1lg11
)('lg1
ln1
)( x
ex
xxx
xfx
x
xf +
+
=+
=
8. ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
++==
3 2
3333233
3
133ln333)('3)(
xxxxxxxfxxxf xxxx
9.( ) ( )
( )
+
+
+
=+
=2
3
33
3
2
3
3
3 lg
lg1
1lnlg1
1
lgln
3
1)('
lgln
)(xx
ex
xxxxx
xx
xx
xfxx
xxxf
10.31
3ln3)('33)( 333
===
xx
x xfxf
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
37/47
+
| 30
SOLUCIONES BOLETIN 6
1. 45 15)('3)( xxfxxf == 2. 115)(')( 1415 == xxfxxxf 3.
332
2
22)('
1)( xxfxxf
====
4.3
325
3 22)(')(
xxxfx
xxf
====
5.65
65545
5454)('
1)(
xxxxfxx
x
xxf +
=+==
=
6.5
515 4
55
54)(')( 5
4
xxxfxxxf ====
7.4
545
)(')(4
4
1
4
54 5 xxxfxxxf ====
8.4 9
4
9
4
5
4 5 4
5
4
5)('
1)(
xxxfx
xxf
=
===
9.5 9
5
9
5
4
5 4 5
454
)('1
)(x
xxfxx
xf
=
===
10.x
xfxxx
xxf2
1)(')( 21
2
1
1 ====
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
38/47
+
| 31
SOLUCIONES BOLETIN 7
1. xxxxfxxxxxf 232323)(')( 21
12
3
2
3
2
11
======+
2. 929121121121552
112
112
11)(')( xxxxfxxxxxf ======
+
3.11
2
111
2
9
2
95
2
1
52
929
29
)(')(x
xxxfxxx
xxf
=
=
====
4. 72712929215529
29
29
)(')( xxxxfxxx
xxf ======
5.
3 7
3
71
3
4
3
4
3
11
3 3
4
3
4
3
4
)('
1
)( xxxxfxxxxxf
=
=
====
6.2 7
2
71
2
5
2
5
2
131
32
5
2
5
2
5)(')(
xxxxfxx
xx
xxf
=
=
====
7. 3 83813113113233 233
113
113
11)(')( xxxxfxxxxxf ======
+
8. 6 76716136136 922233233
3 23
25
613
613
)(')( xxxxfxxxx
xxxf
=======
+
9. 20 112011
1
20
9
20
9
20
1625
5
4
4
5
5 4
4 5
20
9209
209
)(')( xxxxfxxxx
xxf =======
10.20 59
20
591
20
39
20
39
20
16252
5
45
4
53
5 45
4 53
20
392039
2039
)(')(x
xxxfxxxxx
xxxf
=
=
=====
++
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
39/47
+
| 32
SOLUCIONES BOLETIN 8
1. 55 22 3
55
2
3
245
3
3
5
45 33 5 4
5
33
54
53
35
)('1
)(xx
xxxxxfxxx
xxxxf +=+===
2. ( )( )15
341534
)(')(15 34
15
19
15
34
5
3
3
55 33 5 xxxfxxxxxxf ===
==
3.15
161516
)(')(15
15
1
15
16
5
3
3
5
5 3
3 5 xxxfx
x
x
xxf =====
4.15
221522
)(')(15 7
15
7
15
223
1
5
223
1
5
35
3
1
5
3
5
35 3
5 xxxfxxx
x
x
x
xxf ===
=
=
==
5.( ) ( )
( )25 33 55 2
2 35 33 55 33 5
5 2
2 3
5 33 5
5 33 5 5
33
5
5
33
5
)(')(xx
x
xxxxx
x
x
xfxx
xxxf
+
++
=+
=
6.( ) ( )
( )
+
+
=+
=
25 3
2 35 35 3
5 2
5 3
3 5
1
3511
53
)('1
1)(
x
xxx
xxf
x
xxf
7.5
23523
)('1
)(5 18
5
18
5
23
5
34
4
5 3 xxxfxxx
xxf =====
8.5 8
5
8
5
3
5 3 5
353
)('1
)(x
xxfxx
xf
=
===
9.3 8
38
35
3 5 3
535)('1)(
xxxfx
xxf
====
10.5
175
17)(')(
5 125
12
5
17
5
34
5 3
4x
xxfxxx
xxf =====
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
40/47
+
| 33
SOLUCIONES BOLETIN 9
1.15
171517
)(')(15 2
15
2
15
173
1
5
173
1
5
34
3
1
5
3
4
35 3
4 xxxfxxx
x
x
x
xxf ===
=
=
==
2. ( )2
213
13
3
1
55
3
5
3
5
5 3
1)('
11)(
xxxfxx
xx
xf
====
=
=
3. ( ) ( ) 1)(')(3
1
5
533
55 3
==
== xfxxxxf
4.25 22
25
22
25
35
1
5
35 5 3
25
3
25
3)(')(
xxxfxxxxf ===
==
5.x
xfxxx
x
x
x
xxf
2
1)(')( 2
15
1
2
55
1
2
1
3
5
3
===
=
==
6.( ) ( )
( )23
2
3
12
111
2
1
11
31)('
11)(
x
x
xx
xxxxf
xxxf
+
+
+=
+=
7. 0)(')( 3 == xfexf 8. 3 2
35
)(')(3 53 5
xexfexf xx ==
9.31
5ln5)('55)( 333 ===xx
x xfxf
10.9 5
9
43
1
3
9
55ln5
9
55ln5)('555)(
9 5
9
5
9
5
3
53 5
x
xxfxfx
xxxx ===
==
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
41/47
+
| 34
SOLUCIONES BOLETIN 10
1. ( ) ( )3ln3lg31
3lg3
1)('3lg)( 33 2
3
3 3 xxx
x exfxf ==
2.( )
( )23
3 23
3 3 31
ln3
1)('ln)( x
xx
xfxxf
==
3.
==
3 233
33
3
1lg
1)('lg)(
xe
xxfxxf
4. ( )3ln3lg3
1)('3lg)( 33
x
x
x exfxf
==
5. ( )3ln331)('3ln)( xx
x xfxf
==
6. ( )23333 3lg1)('lg)( xexxfxxf
==
7. ( )
==
31
3ln3lg3
1)('3lg)( 333
33
x
x
xexfxf
8. ( )
== ex
xfxfxx
3lglg lg
13ln3)('3)( 33
9. ( ) == 3 23 13ln3)('3)(33
xxfxf xx
10. ( ) ( )
==
31
3ln3lg3
13ln3)('3)( 333
3lg3lg 333
3 x
xexfxf
xx
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
42/47
+
| 35
SOLUCIONES BOLETIN 11
1.3
3 2
3
21)('ln)(
xe
xxfxexxf xx ==
2. ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )
++
==
3
3 23 23 2
32lnln1)('ln)(x
exxexxex
xfxexxf xxxx
3.( )2
ln1
)('ln
)(x
xx
xe
exexxf
e
xxf
==
4.( ) ( )
( )2
3 2
3
3 2
3 2
3
2)ln()1(
1
)(')ln(
)(
x
xxx
xxf
x
xxf
+
=
=
5.( )
( )( )( )( ) ( ) ( )
( )( )23 23
3 23 21
3 2ln
3
2ln
1ln
)('ln
)(xx
xxx
xexxxeex
xfxx
exxf
xexe
xe
+
=
=
6. ( ) ( )( )( )21
11)('
1
1)(
x
xxxx
x
x
e
eeeexf
e
exf
+
+=
+
=
7.( ) ( )
( )222
2
2ln1
21
ln1ln11
)('ln1 ln1)( x
x
x
xx
xxfxxxf
+
+
=+=
8. ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )2
3 2
3
3 2
3 2
ln
13ln
3
233ln3
)('ln
3)(
x
xxx
xx
xfx
xxf
xxx
x
+
==
9.( ) ( )
( )
+
+=
+=
2
3
2
3
ln1
2
11ln1ln1
2
11
ln1
ln1
3
1)('
ln1
ln1)(
x
xxxx
xx
x
xxf
x
xxf
10. ( )32
)(')( 32
3
23 2 ===
xx
x exfeexf
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
43/47
+
| 36
SOLUCIONES BOLETIN 12
1. ( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]( ) ( )
33
1
3
2
3 23 2
13
4
13
2
23 2
3
232
)('ln)(
ln2ln311ln2ln31)('ln)(
xxxfxxexf
eeee
eexfexf
x
xxxx
xxx
=====
===
2. ( )x
eexfexf xxx1
31
)(')( ln32
ln3 ln
==
3.xxxx
xx
xfxxf3
2
3
2
3
2
3
21)('ln)(
3 333 2
3
1
3 2
3 2 =====
4. 31
3
21
)('ln)(
23
23
23
== xeexfexfx
x
x
5.311
)('ln)( 33
3 == xx
x ee
xfexf
6.( )
=
==
x
x
x
x
x
xxxx
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
eeeee
e
exf
e
exf
ln1ln
3
1ln
1ln
3
1)('
ln)(
3
2
2
3
2
3
7. ( ) ==
2
3
2
3 1131)('1)( xxx
xxxf
xxxf
8.31
)(')( 333
== xee eexfexfxx
9.x
exfexf xx1
)(')( lnln ==
10. 313 2
lnln
3
21)(')(
3 23 2
== xx
exfexf xx
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
44/47
+
| 37
SOLUCION PROBLEMAS ANA FRAGA
2) (1, 1) , (1, 1)
3) y3
1=
9
1(x 3)
4) y = 6(x 1)
5) y 5 =51
(x 12)
6) (1, 3,5) , (2, 3)
7) a = 2, b = 0
8) p =3; q = 7
9) y + 5 = 8(x + 1), y + 5 = 8(x 1)
10) y = 6(x 1)
11) a) y =x 1 b) (0, 0)
12) x = 2, x = 2, y = 2x
13) x = 4, y = 114) x = 0, y =x 1
15) (0, 0), x = 1, x = 1, y = 0
16) Punto de inflexin (0, 0)
17) x = 4, y =x + 8
18) x = 1, x = 9, y = 0
19)
Creciente en ], 2[ ]0, +[. Decreciente en ]2,1[ ]1, 0[. Mnimo (0, 1).Mximo (2,3)
20) Creciente en ]0, 1[. Decreciente en ], 0[ ]1, +[.Convexa en ], 2/1 [. Cncava ] 2/1 , + [
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
45/47
+
| 38
21) Creciente en ],0[ ]2,+ [. Decreciente en ]0, 2[. Mnimo (2, 3). Mximo (0, 1)
Convexa en ]1, +[. Cncava ], 1[. Punto de inflexin (1, 1)
22) 24)
24) a) Mnimo (1, 5). Mximo (1, 9). Punto de inflexin (0, 7)
b)
c) y 7 = 3x
25) 26)
27) b = 9, c = 15, d= 7
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
46/47
+
| 39
28) a) D =R; b) (0, 4) (2, 0) c) Decreciente en ], 2[ ; Creciente en ]2, +[.Mnimo (2, 0)
29) a) Creciente en ]1, 1[. Decreciente en ], 1[ ]1, +[. Mximo (1, 2/1 ), mnimo(1, 2/1 )
b)y = 0
8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas
47/47