Brojevni sustavi

Što je brojevni sustav?

• Brojevni sustav je skup znakova i pravila za pisanje tih znakova.

• ljudi se u svakodnevnom životu koriste dekadskim sustavom (znamenke od 0 do 9)

• brojevne sustave dijelimo na pozicijske i nepozicijske

Podjela brojevnih sustava

• kod nepozicijskih sustava značenje pojedine znamenke ne ovisi o njezinu položaju u zapisanom broju (kod rimskog brojevnog sustava znamenka I uvijek ima vrijednost 1)

• kod pozicijskih brojevnih sustava vrijednost znamenke ovisi o njezinu položaju u zapisanom broju (npr. kod dekadskog brojevnog sustav u broju 111 prva jedinica označava broj 100, druga broj 10, a treća broj 1)

rimske znamenke vrijednosti

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Zadatci:

• sljedeće brojeve iz rimskog sustava zapišite u dekadski• CCXXI

• MCMXCVIII

• sljedeće brojeve iz dekadskog sustav zapišite u rimskom• 257

• 1489

Rješenja:

• rimski u dekadske:• CCXXI = C + X + X +I = 100 + 10 +10 + 1 = 121

• MCMXCVIII = M + CM + XC + V + I + I + I = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998

• dekadske u rimske:• 257 = 200 + 50 + 7 = 100 + 100 + 50 + 5 + 1 + 1 + 1 = C + C + L + V + I

+ I = CCLVII

• 1489 = 1000 + 400 + 80 + 9 = 1000 + (-100 + 500) + 50 +10 +10 + 10 + (-1 + 10) = M + CD + L + X + X + X+ IX = MCDLXXXIX

Brojevni sustavi koji opisuju rad u računalu:

• binarni (2 bita, znamenke: 0 i 1, baza: 2)

• oktalni (8 bita, znamenke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7, baza: 8)

• heksadekadski (16 bita, znamenke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E i F, baza: 16)

dekadski brojevi

binarni heksadekadski oktalni

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 8 10 (1+0)

9 1001 9 11 (1+1)

10 1010 A 12 (1+2)

11 1011 B 13 (1+3)

12 1100 C 14 (1+4)

13 1101 D 15 (1+5)

14 1110 E 16 (1+6)

15 1111 F 17 (1+7)

Pravila pretvaranja iz jednog brojevnog sustava u drugi

• gledamo tablice kad pretvaramo broj iz binarnoga brojevnog sustava u heksadekadski (uzimamo po četiri znamenke) ili oktalni (uzimamo po tri znamenke)

• kod pretvaranja u dekadski brojevni sustav svaku znamenku broja (slijeva nadesno) množimo s bazom drugoga brojevnog sustava koja je potencirana s brojem pozicije znamenke u broju

• kad pretvaramo dekadske brojeve u druge brojevne sustave, onda dijelimo brojeve s bazom drugih brojevnih sustava sve dok ne dođemo do nule; kao rješenje uzimamo ostatke dijeljenja

Pretvaranje iz binarnih brojeva u dekadske

100011(2)

1*25 + 0*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20

32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 35(10)

Pretvaranje iz binarnih brojeva u dekadske

101.11 (2)

1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2

4 + 0 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 = 5.25(10)

v

Zadatci:

• pretvorite iduće binarne brojeve u dekadske:• 11001

• 11100101

• 111.001

Rješenja:

• 11001 = 20 + 23+ 24 = 25

• 11100101 = 20 + 22+ 25 + 26 + 27 = 229

• 111.001 = 20 + 21+ 22 + 2−3 = 1 + 2 + 4 + 0.125 =7.125

Pretvaranje iz binarnih brojeva u oktalne

101.11 (2)

(10)

101110

5.6 (8)

•

10111 (2)

010111

27(8)

uzimamo po 3 znamenke te ih pomoću tablice

pretvaramo

Pretvaranje iz binarnih brojeva u heksadekadske

101.11 (2)

(10)

01011100

5.C (16)

•

10111 (2)

00010111

17(16)

uzimamo po 4 znamenke te ih pomoću tablice

pretvaramo

Zadatci:

• iz binarnog u oktalni:• 10011

• 101.11

• iz binarnog u heksadekadski:• 10000111

• 100.111

Rješenja:

• iz binarnog u oktalni:• 010011 = 23

• 101.110 = 5.6

• iz binarnog u heksadekadski:• 10000111 = 87

• 0100.1110 = 4.E

Pretvaranje iz dekadskih brojeva u binarne

49/2=24.524/2=1212/2=66/2=33/2=1.51/2=0.5

100011

110001(2)

49(10)

Pretvaranje iz decimalnih brojeva u binarne

28/2=1414/2=77/2=3.53/2=1.51/2=0.5

00111

11100

28.48(10) 0.48*2=0.960.96*2=1.920.92*2=1.840.84*2=1.680.68*2=1.360.32*2=0.72

…

11100.011110…(2)

Pretvaranje iz dekadskih brojeva u oktalne i heksadekadske

49/8 = 66/8 = 0

16

61(8)

49(10)

49/16 = 33/16 = 0

13

31(16)

Zadatci:

• pretvorite iduće dekadske brojeve u binarne:• 56

• 23.52

• pretvorite iduće dekadske brojeve u oktalne• 23

• pretvorite iduće dekadske brojeve u heksadekadske• 18

Rješenja:

• pretvorite iduće dekadske brojeve u binarne:• 56 = 111000

• 23.5 = 10111.1

• pretvorite iduće dekadske brojeve u oktalne• 23 = 27

• pretvorite iduće dekadske brojeve u heksadekadske• 18 = 12

Pretvaranje oktalnih brojeva u dekadske

• 47(8) = (7*80) + (4*81) = 7 + 32 = 39(10)

• 13.22(8) = (3*80) + (1*81) + (2*8-1) + (2*8-2) = 11.281(10)

Pretvaranje oktalnih brojeva u binarne

• 47(8) = 100111(2)

• 4 = 100, 7 = 111

• 13.22(8) =111.1010 (2)

• 1 = 1, 3 = 11, 2 = 10

Pretvaranje iz heksadekadskih brojeva u dekadske

• 1D(16) = 13*160 + 1*161 = 29(10)

• 2.B(16) = 11*16 -1 + 2*160 = 2.6875(10)

Pretvaranje iz heksadekadskih brojeva u binarne

• 1D(16) = 00011101(2)

• 1 = 0001, D = 1101

• 2.B(16) = 0010.1011(2)

• 2 = 0010, B = 1011

Zbrajanje binarnih brojeva

broj koji se prenosi za zbrajanje u idući stupac

bojevi koji se prenose tijekomzbrajanja donja dva broja

Množenje binarnih brojeva

1 * 1 = 1, 1 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, 1 * 1 = 11011 (prvi broj za zbrajanje) nastao je množenjem

prve znamenke množitelja (1011) sa svim znamenka množenika (1101)

množenik (1101) se množi od zadnje znamenke prema prvoj (množimo od desna prema lijevo)

0 * 1 = 0, 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 0, 0 * 1 = 00000 (drugi broj za zbrajanje) nastao je množenjem

druge znamenke množitelja (1011) sa svim znamenkama množenika (1101)

svaki novi zbrajatelj pomičete za jedan stupac ulijevo

Oduzimanje binarnih brojeva

0 – 0 = 0

0 – 1 = 1prenosi se jedan

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

1111- 101

1010

10111- 1001

101111

- 100101110

Oduzimanje binarnih brojeva (metoda dvojnog komplementa)

• 1001 – 101 = 1001 – 0101 = 1001 + 1 + 1010

• 1111 – 1010 = 1111 + 0101 + 1

1001+0001+101010100

1111+0001+010110101

Zapis brojeva pomoću dvojnog komplementa

• brojevi se zapisuju u 8 bitova

• ako je broj negativan, onda je predznak 1

• ako je broj pozitivan, onda je predznak 0

16(10) = 10000(2)

0 0 0 1 0 0 0 0

-16(10)

0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 0 1 1 1 1

+1

=1 1 1 1 0 0 0 0

Tehnika klizne decimalne točke

• tehnika kojom broj zapisujemo tako da ima samo jednu cjelobrojnu znamenku iza koje slijedi decimalni dio i eksponent

• npr. 7123.567 = 7.123567 * 103

• mantisa je broj 7.123567, eksponent je 3

• 101 = 1.01 * 102 (mantisa je 1.011, a eksponent je 2)

IEEE 754 (Institute of Electrical and Electronics Engineers 754)

• ovaj standard koristi 32 bita za prikaz znakova

• u zapisu broja razlikujemo tri djela: predznak, karakteristiku i mantisu bez vodeće jedinice

• predznak za pozitivne brojeve je 0, a za negativne 1

• karakteristika = eksponent + 127

broj 11.25(10) u IEEE 754 standardu

11.25(10) = 1011.01(2) = 1.01101(2) * 103

karakteristika - 3 + 127 = 130(10) = 10000010(2)

0 10000010 01101 000000000000000000

predznak, karakteristika, mantisa bez vodeće jedinice, nule koje dodajemo dok sveukupno ne dobijemo 32 bita

ASCII kod

• ASCII kod sastoji se od 7 bitova te time može prikazati 27 – 127 znakova

• znakove pretvaramo u heksadekadske brojeve koristeći se tablicom tako da za svaku ćeliju gdje je znak prvo napišemo njezinu oznaku stupca te retka

• Golf2• G = 47(16), o = 5f(16), l = 6c(16), f = 66(16), 2 = 42(16)

• dobivene heksadecimalne vrijednosti možemo po potrebi dalje pretvarati u druge brojevne sustave