Upload
tazer
View
8
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Analiza elektroenergetskih mreza
Citation preview
Analiza elektroenergetskih mrea
1
1. REAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAINA, FORMIRANJE MATRICE ADMITANSI I MATRICE IMPEDANSI VOROVA
1.1. Reiti sistem linearnih jednaina
=
1031
4000010250101001
4
3
2
1
xxxx
koristei trougaonu faktorizaciju (LU dekompozicija).
Reenje: Sistem linearnih jednaina dat u tekstu zadatka moe se napisati u obliku:
BXArr =][ (1.1.1)
gde je:
=
4000010250101001
][A ,
=
4
3
2
1
xxxx
Xr
,
=
1031
Br
.
Matrica ][A moe se predstaviti kao proizvod donje trougaone matrice ][L iji su dijagonalni elementi jednaki jedinici i gornje trougaone matrice ][U , t.j: ][][][ AUL = . (1.1.2) Zamenom (1.1.2) u (1.1.1) dobija se:
BXULrr =][][ ,
pa se uvienjem pomonog vektora Wr
reavanje jednaine (1.1.1) moe razloiti na reavanje dve jednaine
WXUrr =][ , (1.1.3)
BWLrr =][ . (1.1.4)
Najpre je potrebno odrediti elemente donje i gornje trougaone matrice. Nakon toga reava se sistem jednaina (1.1.4) i odreuje pomoni vektor W
r, da bi se u zadnjem koraku reila jednaina (1.1.3).
Matrina jednaina (1.1.2) kada je matrica ][A dimenzije 4x4 (sluaju koji se razmatra u zadatku) ima oblik:
=
44434241
34333231
24232221
14131211
44
3433
242322
14131211
434241
3231
21
00000
0
1010010001
aaaaaaaaaaaaaaaa
uuuuuuuuuu
lllll
l (1.1.5)
Mnoenjem prve vrste matrice ][L sa matricom ][U dobija se:
1111 au = , 1212 au = , 1313 au = , 1414 au = , pa su na ovaj nain odreeni elementi prve vrste matrice ][U . Mnoenjem druge vrste matrice ][L sa matricom ][U u (1.1.5) dobija se:
211121 aul = , 22221221 auul =+ , 23231321 auul =+ , 24241421 auul =+ .
Analiza elektroenergetskih mrea
2
U svakoj od ove etiri jednaine pojavljuje se samo po jedna nepoznata poto su elementi prve vrste matrice ][U odreeni u prethodnom koraku, pa se njihovim sreivanjem dobija:
11
2121 u
al = , 12212222 ulau = , 13212323 ulau = , 14212424 ulau = , i na ovaj nain su odreeni svi nepoznati elementi druge vrste matrica ][L i ][U . Ponavljanjem postupka za treu i etvrtu vrstu odreuju se i preostali elementi donje i gornje trougaone matrice:
11
3131 u
al = , 22
12313232 u
ulal = , 233213313333 ululau = , 243214313434 ululau =
11
4141 u
al = , 22
12414242 a
ulal = , 33
234213414343 u
ululal = , 3443244214414444 ulululau = . Jednaine za odreivanje elemenata matrica ][L i ][U u optem sluaju su:
n,j,jn, i,,julau
j-,,n, i,,ju
ulal
niau
j
kikkjijij
ii
i
kikkjij
ij
ii
+===
==
=
==
=
=
132
12132
,...,2,1,
1
1
1
1
11
. (1.1.6)
Zamenom vrednosti elemenata matrice A][ u prethodno izvedenim jednainama dobija se:
=
1000010200100001
][L ,
=40002100
50101001
][U
Jednaina (1.1.4) u sluaju kada je matrica A][ dimenzija 4x4 ima oblik:
=
4
3
2
1
4
3
2
1
434241
3231
21
1010010001
bbbb
wwww
lllll
l
odakle se jednostavno dobija: 11 bw = , 22121 bwwl =+ , 121212122 blbwlbw == 33232131 bwwlwl =++ , 12132232131323213133 bllblblbwlwlbw +== , 44343242141 bwwlwlwl =+++ , 34324214144 wlwlwlbw = 121324323243131433431214224214144 blllbllbllblbllblblbw +++= odakle sledi opta jednaina:
niwlbwi
kkikii ,...,2,1,
1
1
== =
. (1.1.7)
Primenom ove jednaine na sistem jednaina koji se razmatra u zadatku dobija se:
Analiza elektroenergetskih mrea
3
=
1031
1000010200100001
4
3
2
1
wwww
11 =w , 32 =w , 02 31 =+ ww , 14 =w ,
=
12-31
Wr
.
Na kraju se odreuje reenje zadatog sistema linearnih jednaina primenom (1.1.3), koja za matricu A][ dimenzija 4x4 ima oblik:
=
4
3
2
1
4
3
2
1
44
3433
242322
14131211
00000
0
wwww
xxxx
uuuuuuuuuu
,
Na slian nain kao i kod reavanja sistema jednaina (1.1.4), ali ovog puta polazei od poslednje umesto od prve vrste dobija se: 4444 wxu = , 3434333 wxuxu =+ , 2424323222 wxuxuxu =++ , 1414313212111 wxuxuxuxu =+++ , odakle se mogu napisati opte jednaine:
1,...,2,1,1 =
=
=
+= ni
u
xuwx
uwx
ii
n
ikkkii
i
nn
nn
. (1.1.8)
U konkretnom sluaju u zadatku dobija se:
43147352322
4114
12
31
40002100
50101001
141
242
343
44
4
3
2
1
==+==+==
==
=
xxx
xxx
xxx
xx
xxxx
,
pa je traeno reenje sistema linearnih jednaine:
=4123
4743
Xr
.
Analiza elektroenergetskih mrea
4
1.2. Matrica admitansi vorova ][ vY , uzimajui zemlju za vor nultog potencijala je:
r.j
200100010010020010000100200100
10001002001
][
=jjj
jjjjjj
jjj
vY ,
Izraunati napone vorova Ur
ako su struje injektiranja u vorove:
r.j.
1,000
1,01,009,0
++
=j
jj
Ir
Reenje: Veza izmeu napona vorova i struja injektiranih u vorove data je matrinom jednainom:
IUY vvr =][ . (1.2.1)
koja se moe reiti na nain primenjen u prethodnom zadatku pri emu se matrica admitansi vorova predstavlja proizvodom doje i gornje trougaone matrice: ][][][ ULY v = . Najpre se odreuju elementi donje i gornje trougaone matrice: j200-1 11 =u , 10012 ju = , 013 =u , 10014 ju = , 0025,05,0
2001100
21 jjjl +== , 100)0025,05,0(20022 jjju += ,
15025,025,015022 jju =+= , 10023 ju = , 5025,024 ju += , 031 =l , 0011,06667,015025,0
10032 jj
jl +== , 33,133111,0100)0011,06667,0(20033 jjjju =+= , 33,1332222,0)5025,0()0011,06667,0(10034 jjjju +=++= , 0025,05,0
2001100
41 jjjl +== ,
0022,03333,015025,0
100)0025,05,0(042 jj
jjl +=+= ,
33,133111,0
100)0022,03333,0(0)0025,05,0(10043 j
jjjjl ++= ,
0025,0143 jl += , +++= )5025,0()0022,03333,0(100)0025,05,0(20044 jjjjju )33,1332222,0()0025,01( jj ++ , 0056,09999,044 ju = . Matrice ][L i ][U imaju vrednosti:
++++
+=10025,010022,0333,00025,05,0010011,06667,000010025,05,00001
][
jjjj
jL
Analiza elektroenergetskih mrea
5
++
=
0056,09999,000033,1332222,033,133111,000
5025,010015025,0010001002001
][
jjjjjj
jjj
U
Sada se reava sistem jednaina (1.1.4) primenom optih jednaina (1.1.7) da bi se odredio pomoni vektor W
r.
++
=
++++
+
1,000
1,01,009,0
10025,010022,0333,00025,05,0010011,06667,000010025,05,00001
4
3
2
1
j
jj
wwww
jjjj
j
9,01 =w , 0977,055,09,0)0025,05,0(1,01,02 jjjw +=++= , 06455,03668,0)0977,055,0()0011,06667,0(03 jjjw +=++= , +++= )0977,055,0()0022,0333,0(9,0)0025,05,0(1,04 jjjjw )06455,03668,0()0025,01( jj ++ , 00725,00005,14 jw = ,
++=
00725,00005,106455,03668,0
0977,055,09,0
][
jj
jWr
Reavanjem (1.1.3) odnosno primenom optih jednana (1.1.8) dolazi se do reenja matrine jednaine (1.2.1):
++=
++
00725,00005,106455,03668,0
0977,055,09,0
0056,09999,000033,1332222,033,133111,000
5025,010015025,0010001002001
4
3
2
1
jj
j
UUUU
jjjjjj
jjj
0016,00006,10056,09999,0
00725,00005,14 jj
jU == ,
( ) ( )33,133111,0
33,1332222,00016,00006,106455,03668,03 j
jjjU ++= ,
0014,00001,13 jU = ,
15025,0)0016,00006,1)(5025,0()0014,00001,1(1000977,055,0
2 jjjjjjU
++= 00115,09996,02 jU = ,
2001)0016,00006,1(100)00115,09996,0(1009,0
1 jjjjjU
= , 0019,000007,11 jU = , i naponi vorove posmatrane mree imaju vrednost:
r.j.
0016.00006.10014,000008,1
00115,09996,00019,000007,1
=jj
jj
Ur
Analiza elektroenergetskih mrea
6
1.3. Odrediti inverznu matricu matrice
=
364622421
][A
Gausovom metodom eliminacije.
Reenje: Najpre je potrebno proiriti matricu jedininom matricom dimenzije kao polazna matrica.
100010001
364622421
Inverzija se obavlja nizom transformacija vrsta u sledeim koracima: - drugoj vrsti dodaje prva pomnoena sa 2, a treoj vrsti dodaje se prva pomnoena sa 4,
104012001
1920220
421
100010001
364622421
,
- druga vrsta se deli sa 2,
10402/11001
1920110421
104012001
1920220
421 ,
- prvoj vrsti dodaje se druga pomnoena sa 2, a treoj vrsti druga pomnoena sa 2,
11202/11011
1700110201
10402/11001
1920110421
,
- trea vrsta deli se sa 17,
17/117/117/202/11011
100110201
11202/11011
1700110201
,
- prvoj vrsti dodaje se trea pomnoena sa 2, a drugoj trea pomnoena sa 1,
17/117/117217/134/1917/1517/217/1517/21
100010001
17/117/117202/11011
100110201
.
Matrica dobijena na desnoj strani predstavlja inverznu matricu matrice A.
=
=
2242193043042
341
17/117/117/217/134/1917/1517/217/1517/21
][ 1A .
Za matrice manjih dimenzija ija se determinanta jednostavno odreuje inverzija moe da se obavi i na klasian nain nalaenjem determinanti adjungovanih matrica. 3422)3(166424462462)3(21det =++=A ,
Analiza elektroenergetskih mrea
7
=+++++++++
)2221()1()4261()1()4262()1()4261()1()44)3(1()1()64)3(2()1()4262()1()64)3(2()1()66)3(2()1(
det1][
333213
322212
312111
1
AA ,
=
2242193043042
341][ 1A .
1.4 Za sistem ija je zamenska ema prikazana na slici 1.1 odrediti matricu provodnosti ][ vY . Zatim dati sistem redukovati na vorove:
a) 1,2,3 i 5 , b) 1,3 i 5 . Napomena: Vrednosti admitansi na slici su date u relativnim jedinicama.
Sl.1.1. Test mrea uz zadatak 1.5.
Reenje: Za formiranje matrice admitansi vorova ][ vY primenjuju se sledea pravila: - Dijagonalni elementi matrice admitansi vorova iiY odreuju se kao suma svih admitansi koje se
sustiu u tom voru, ukljuujui i otone admitanse, odnosno admitanse izmeu vora i i nultog vora. - Vandijagonalni elementi matrice admitansi vorova, ikY , su negativne vrednosti admitanse grane koja
povezuje vorove i i k (ikik
yY = ). Ako nema fizike veze izmeu dva vora onda su ovi elementi nula.
Vandijagonalni elementi ][ busY
=+
= =ki;
ki;
ik
0i
1ik
ij
za-Y
zaYYY
g
N
k
g
(1.4.1)
Primenom ovih pravila na mreu prikazanu na slici dobija se:
=
1313000133320000204052000020402000020202
][
jjjjj
jjjjjj
jj
vY .
Matrica admitansi vorova moe se predstaviti i kao: ]j[][][ vvv BGY += , (1.4.2) gde je:
=
0000000000005000000000002
][ vG ,
=
13130001333200002040200002040200002020
][ vB .
Analiza elektroenergetskih mrea
8
a) eliminacija vora 4 vorovi u kojima nema injektiranja snaga niti otonih elemenata mogu se eliminisati iz matrice admitansi. Najpre se vri prenumeracija vorova tako da vorovi koji se eliminiu budu oznaeni najveim brojevima. Prenumeracijom vorova i preureenjem ][ vY dobija se :
Sl.1.2. Mrea sa slike 1.1 nakon prenumeracije
=
3313200013130002004052000020402000020202
][
jjjjjjjj
jjjjj
vY .
Nova matrica admitansi dobija se tako to prve tri vrste etvrte i pete kolone zamene mesta, prve tri kolone etvrte i pete kolone zamene mesta i dijagonalni elementi 44Y i 55Y zamene mesta. Sa novom numeracijom treba eliminisati vor 5.
=][][][][
][bbba
abaav YY
YYY , T][][ abba YY = , (1.4.3)
=
b
a
UU
YYYY
0I
bbba
abaaa rr
rv
][][][][
. (1.4.4)
Matrina jednaina (1.4.4) moe se razdvojiti na dve matrine jednaine:
baa UYUYI abaarrr
][][ += , (1.5.5) ba UYUY0 bbba
rrr][][ += . (1.5.6)
U prethodnim jednainama su sa
=b
a
III rrr
i
=b
a
UUU rrr
su oznaeni vektori struje injektiranja u
vorove i vektori napona vorova koji odgovaraju novoj numeraciji. Iz matrine jednaine (1.4.6) izraava se vektor napona vorova koji se eliminiu preko vektora napona preostalih vorova:
ab UYYU babbrr
][][ 1= , pa se zamenom u (1.4.5) dobija:
aaa UYUYYYYIekvbabbabaa
rrr][)][][][][( 1 == ,
odakle se dobija da se ekvivalntna matrica admitansi vorova odreuje kao:
][][][][][ 1 babbabaaekv YYYYY
= . (1.4.7) Za mreu na slici 1.1 submatrice imaju vrednosti:
=13000
040520002040200020202
][
jjj
jjjjj
aaY ,
=
132000
][
jjab
Y , [ ]
==
33
]Y[
33]Y[1 j
j
bb
bb .
Ekvivalentna matrica admitansi vorova mree sa slike 1.1 nakon eliminacije vora 4 je:
Analiza elektroenergetskih mrea
9
[ ]13200033
132000
13000040520002040200020202
][ jjj
jj
jjj
jjjjj
=ekvY ,
=
33169
3326000
33260
3340000
00000000
13000040520002040200020202
][
jj
jj
jjj
jjjjj
ekvY ,
=
33260
3326000
33260
339205200
02040200020202
][
jj
jjj
jjjjj
ekvY .
Do matrice ][ ekvY moglo se doi i na drugi nain. Zbog eliminacije vora 4 postoji vod koji povezuje vorove 3 i 5 (prvobitna slika), admitanse:
33
260331320
131
201
1
35j
jjjy =
=
+=
.
Kada se sa ovim formira nova ]Y[ v ona je naravno identina se ]Y[ekv .
b) eliminacija vorova 2 i 4
Sl.1.3. Mrea sa slike 1.1 nakon prenumeracije
Da bi se vorovima koji se eliminiu dodeli najvei brojevi dovoljno je da se u ovom sluaju zameni numeracija vorova 2 i 5. Matrica admitasi vorova nakon prenumeracije dobija se na sledei nain: - svi elementi druge i pete kolone izuzev elemenata u drugoj i petoj vrsti zamenjuju mesta, - dijagonalni elementi 22Y i 55Y zamenjuju mesta.
=
4002002003320130202040500013013020000202
][
jjjjjj
jjjjj
jj
vY ,
Kako se prema novoj numeraciji eliminiu vorovi 4 i 5 submatrice koje se koriste u (1.4.7) su:
=400
033][
jj
bbY ,
=
=
400
033
330040
13201][ 1 j
j
jj
bbY ,
i za ekvivalentu matricu admitansi vorova dobija se:
Analiza elektroenergetskih mrea
10
=
2002020130
400
033
2020013200
40500013000202
][jjjj
j
j
jjj
j
jj
jekvY
=
2002020130
21
3320
03313
210
40500013000202
][jjjj
jj
jekvY ,
=
33730
3326010
33260
331690
10010
40500013000202
][
jjj
jj
jj
jj
jekvY ,
=
335905
3326010
33260
332600
100102
][
jjj
jj
jjekvY .
1.5. Za sistem prikazan na slici odrediti matricu impedansi vorova ][ vZ :
Sl. 1.4 Test mrea uz zadatak 1.7
Reenje:
Matrica impedansi nezavisnih vorova mree ][ vZ daje vezu izmeu napona vorova mree Ur
i struja injektiranja u te vorove I
r:
[ ] IZU v rr = . (1.5.1) Matrica impedansi vorova moe se odrediti na tri naina. Prvi nain je inverzija matrice admitansi vorova. S obzirom da se matrica admitansi veoma jednostavno kreira ovo je najjednostavniji nain ali u sluajevima realnih EES zahteva inverziju matrice velikih dimenzija. Drugi nain zasniva se na principu superpozicije i reavanju kola pri zadatoj struji injektiranja u samo jednom voru. i-ta vrsta odnosno kolona matrice impedansi jednaka je vektoru napona vorova koji se ima kada se u voru i injektira struja intenziteta 1 A. Ovaj nain se praktino ne primenjuje ali se na osnovu njega najlake moe razumeti ta predstavlja matrica admitansi vorova. Trei nain se zasniva na algoritmu graenja korak po korak i najee se koristi. Osnovna prednost ovog algoritma je ta da omoguava brzo i jednostavno izmenu matrice impedansi pri promenama topoloke strukture mree, na primer pri izgradnji novog voda, iskljuenju nekog postojeeg voda ili izgradnji odnosno formiranju novog vora.
Analiza elektroenergetskih mrea
11
Prvi nain: inverzija matrice ][ vY
=311121112
][ vY ,
==
11113/53/413/43/5
][][ 1vv YZ ,
Drugi nain: individualno izraunavanje elemenata IU /
Sl. 1.5 Raspodela struje u mrei pri injektiranju struje inenziteta 1 A u voru 1
Najpre se u voru 1 injektira struja A11 =I kao to je prikazano na slici 1.5. Elementi prve kolone matrice impedansi vorova iznose:
=== 3/51
3/5
1
111 I
UZ ,
==== 3/41
3/4
1
22112 I
UZZ ,
=== 11
33113 I
UZZ .
Izraunavanjem napona u mrei pri injektiranju struje intenziteta 1 A u voru 2 (slika 1.6) odreuju se elementi druge vrste/kolone matrice impedansi.
Sl. 1.6 Raspodela struje u mrei pri injektiranju struje inenziteta 1 A u voru 2
Elementi druge kolone matrice admitani su:
=== 3/51
3/5
2
222 I
UZ ,
=== 12
33223 I
UZZ ,
a poslednji elemenat matrice admitansi dobija se na osnovu slike 1.7 kada se u voru 3 injektira struja intenziteta 1 A:
=== 111
3
333 I
UZ .
Analiza elektroenergetskih mrea
12
Sl. 1.7 Raspodela struje u mrei pri injektiranju struje inenziteta 1 A u voru 3
Trei nain: algoritam graenja korak po korak Postupak formiranja matrice baziran na algoritmu graenja korak po korak polazi od vora 1 i zatim ukljuuje vorove prema redosledu kojim su numerisani. Dodavanjem grane impedanse grz mogu se uoiti etiri netrivijalna sluaja:
- dodavanje grane impedanse grz izmeu novog i referentnog vora, - dodavanje grane impedanse grz izmeu novog i starog vora, - dodavanje grane impedanse grz izmeu starog i referentnog vora, - dodavanje grane impedanse grz izmeu dva stara vora. Ova etiri netrivijalna sluaja definiu etiri tipa modifikacije matrice. Prvi tip modifikacije Dodavanje grane impedanse grz izmeu novog i referentnog vora.
=
grz|00_|___
|0|][0|
][
L
Mstaro
novo
ZZ (1.5.2)
Drugi tip modifikacije Dodavanje grane impedanse grz izmeu novog i starog vora j.
+
=
grjjjj
j
j
zZZZ
ZZ
|______|___
||][|
][
21
2
1
L
Mstaro
novo
ZZ (1.5.3)
Trei tip modifikacije Dodavanju grane impedanse grz izmeu starog vora j i referentnog vora.
[ ]jNjjjN
j
j
grjjZZZ
Z
ZZ
zZLM 21
2
1
1][][
+= staronovo ZZ . (1.5.4)
Analiza elektroenergetskih mrea
13
etvrti tip modifikacije Dodavanje grane impedanse grz izmeu dva stara vora i i j.
[ ]jNiNjijijNiN
ji
ji
ijjjiigr
ZZZZZZ
ZZ
ZZZZ
ZZZz
++=
L
M
2211
22
11
21][][ novonovo ZZ . (1.5.5)
S obzirom na to da se najpre uvodi vor numerisan brojem jedan potrbno je da izmeu njega i referentnog vora bude povezana impedansa. Ukoliko to nije sluaj postoje dva reenja: - prenumeracija mree pri emu se broj 1 dodeljuje voru koji ima direktnu vezu sa zemljom, - fiktivno postavljanje dve paralelne grane izmeu vora 1 i zemlje, prva impedanse grz , a druga
impedanse grz . Impedansa ovakve paralelne veze je beskonana to je identino sluaju da vor 1 nije povezan sa zemljom.
Pretpostavie se najpre da je u voru 1 prikljuena impedansa 1 , koja e kasnije biti neutralisana obuhvatanjem paralelne grane impedanse 1 . - Grana izmeu vora 1 i 0 (prvi tip modifikacije)
]1[][ =novoZ
- Dodavanje grane izmeu vora 1 i 2 (drugi tip modifikacije):
j=1 - stari vor, 1=jjZ
=
+= 21
11111
11][ novoZ
- Dodavanje grane izmeu vora 1 i 3 (drugi tip modifikacije):
j=1 stari vor, 1=jjZ
=
+=
211121111
1111121111
][ novoZ
- Dodavanje grane izmeu vora 2 i 3 (etvrti tip modifikacije):
i=2 stari vor, 2=iiZ , j=2 stari vor, 2=jjZ , 1=ijZ ,
[ ]
=
++
=
3/53/413/43/51
111211211
211211
122211
211121111
][ novoZ
Analiza elektroenergetskih mrea
14
- Dodavanje grane izmeu vora 3 i 0 (trei tip modifikacije):
j=2 stari vor, 3/5=jjZ ,
[ ]
=
+
=
8/52/18/32/112/18/32/18/5
3/53/413/53/4
1
3/511
3/53/413/43/51
111][ novoZ .
- Dodavanje grane (negativne impedanse) izmeu vora 1 i 0 (trei tip modofikacije):
1=j stari vor, 8/5=jjZ ,
[ ]
=
+
=
11113/53/413/43/5
8/32/18/58/32/18/5
8/511
8/52/18/32/112/18/32/18/5
][ novoZ ,
=
11113/53/413/43/5
][ vZ .
1.6. Matrica impedansi vorova jednog EES u relativnim jedinicama je:
=
05,004,001,004,005,001,001,001,01,0
][ vZ .
Pri iskljuenju voda 2-1 element 33Z promeni svoju vrednost sa 05,0 na 1,0 . Odrediti impedansu iskljuenog voda.
Reenje: Ako se impedansa grane koja se iskljuuje oznai sa grZ , nova matrica impedansi vorova koja odgovara stanju mree sa iskljuenim vodom 2-1 moe se dobiti iz polazne matrice impedanse primenom etvrtog tipa modifikacije pri emu se ukljuuje grana sa impedansom grZ izmeu vorova 2 i 3.
[ ]3132212211123132
2122
1112
122211 21][][ ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZ g
++= staroovon ZZ
[ ]03,004,009,003,004,0
09,0
01,0205,01,01
05,004,001,004,005,001,001,001,01,0
][
++
=
gZovonZ .
Elemenat 33Z nove matrice odreuje se kao:
13,0
0009,03333 += gstaronovo
ZZZ ,
148,013,0
0009,005,01,0 =+= ggZ
Z.