เมทรกซ(Matrix)

Computer Science, Burapha University 1

เมทรกซ(Matrix)

นยาม เมทรกซคอ กลมของจ านวนจรง หรอ จ านวนเชงซอน มาจดเรยงเปนรปสเหลยมผนผาเปน แถวตามแนวนอน (Horizontal) และ แนวตง (Vertical) ซงมแถวตามแนวนอนเรยกวา แถว (Row) และตาม แนวตงเรยกวา หลก (Column) หรอ คอลมน

2

โดยทวไปนยมใชในรปตอไปนแทน

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

ใชสญลกษณ เปน หรอ ij m nA a

nmA

3

เมทรกซทม 1 แถวและ n หลก เรยก เมทรกซแถว เชน เมทรกซทม m แถวและ 1 สดมภ เรยก เมทรกซหลก เชน

835

8

3

5

4

เมทรกซจตรส (Square Matrix) คอ เมทรกซทม จ านวนแถวเทากบจ านวนหลก (m=n) หรอเรยกวา เมทรกซอนดบ n มรปทวไปคอ

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

สมาชกทอยในต าแหนง i = j เรยก เสนทแยงมมหลก 5

เมทรกซศนย (Zero Matrix หรอ Null Matrix) คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนยหมด เชน

O = หรอ 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

6

เมทรกซทแยงมม(Diagonal Matrix) คอเมทรกซ จตรสทมสมาชกทกตวทไมไดอยบนเสนทแยงมมหลก มคาเปนศนยทงหมด เชน

2 0 0 0 3 0 0 0 4

4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1

หรอ

7

เมทรกซเชงสเกลาร(Scalar Matrix) คอเมทรกซ ทแยงมมทมสมาชกทกตวบนเสนทแยงมมหลกมคาเทากน ทงหมด เชน

4 0 0 0 4 0 0 0 4

5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5

หรอ

8

เมทรกซเอกลกษณ (Identity Matrix หรอ Unit Matrix) คอ เมทรกซทแยงมมทมสมาชกทกตวบน เสนทแยงมมหลกมคาเทากบ 1 ทงหมด ใชสญลกษณ I หรอ In แทนเมทรกซเอกลกษณอนดบ n เชน

I3 = หรอ I4 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

9

Ex. A =

3 2 0 1 7 1 6 4

เปนเมทรกซขนาด _________ แถว _________ หลก เขยนดวยสญลกษณ _____________

2

4

42A

10

Ex. จงบอกประเภทและมตหรออนดบของเมทรกซลกษณะ พเศษตอไปน

1. O = 0 0 0 0 0 0

2. A = 1 8

เมทรกซศนย มต 32

เมทรกซหลก มต 12

11

Ex. จงบอกประเภทและอนดบของเมทรกซลกษณะ พเศษตอไปน

3. B = 2 4 6 8 0

4. C = 2 0 0 0 3 0 0 0 4

เมทรกซแถว มต 51

เมทรกซทแยงมม อนดบ 3

12

ถา แลว เมทรกซสลบเปลยนของ A

คอ

ijm n

A a

เมทรกซสลบเปลยน (Transposed Matrix) คอเมทรกซทสลบสมาชกของแถวกบคอลมน

mnji

T aA ][

ซงเมทรกซสลบเปลยน เมอ k เปนสเกลาใดๆ มคณสมบตดงน 1. (A+B)T = AT + BT 2. (AT)T = A 3. (kA)T = kAT

4. (AB)T = BTAT

13

A = เชน a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a41 a42 a43 43

A T =

a11 a21 a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43 34

14

Ex. จงหาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซตอไปน

A =

B =

C =

4 4 -1 2 3 -4 -7 2 3

1 2 3 0 -4 7

2 8 2

AT = 1 3 4

2 0 7

BT = 4 2 7

4 3 2

1 4 3

CT = 2 8 2

15

เมทรกซสามเหลยม (Triangular Matrix) เมทรกซสามเหลยมบน (Upper Triangular Matrix) คอ เมทรกซจตรสใดๆ ทมสมาชกทกตวทอยใตเสนทแยงมมหลก เปนศนยหมด

เมทรกซสามเหลยมลาง (Lower Triangular Matrix) คอ เมทรกซจตรสใดๆ ทมสมาชกทกตวทอยเหนอเสนทแยงมมหลก เปนศนยหมด

16

เมทรกซสมมาตร (Symmetric Matrix) คอ เมทรกซจตรสใดๆ ทมคณสมบต A = AT

เมทรกซเสมอนสมมาตร (Skew Symmetric Matrix) คอ เมทรกซจตรสใดๆ ทมคณสมบต A = AT

100

310

572

630

012

004

เชน

เปนเมทรกซสามเหลยมบน

เปนเมทรกซสามเหลยมลาง

17

เมทรกซเอกฐาน (Singular Multiplication)

คอ เมทรกซจตรสทไมสามารถหาเมทรกซอนมาคณ ใหเปนเมทรกซเอกลกษณได

18

เมทรกซไมเอกฐาน (Non-Singular Multiplication)

คอ เมทรกซจตรสทสามารถหาเมทรกซอนมาคณแลวได เมทรกซเอกลกษณ ซงจะเรยกวา Invertible Matrix

เมทรกซจตรส A ขนาด nn จะเปน Invertible Matrix ถามเมทรกซ B ขนาด nn ทมคณสมบตวา AB = BA = In ซงในกรณนจะเรยกเมทรกซ B วาเปน inverse ของ A แทนดวยสญลกษณ A-1

19

คณสมบตของ Invertible matrix มดงน

1. (A-1)-1 = A 2. (kA)-1 = k-1A-1 ส าหรบจ านวนสเกลาร k ทไมเทากบศนย 3. (AT)-1 = (A-1)T

4. (AB)-1 = B-1A-1

การเทากนของเมทรกซ (Equal Matrix)

ถา และ

จะได A = B กตอเมอ m = p และ n = q

และ aij = bij ทกคาของ i และ j

ij m nA a

ij p q

B b

พชคณตของเมทรกซ

20

Ex.

235.01

25.00,

65.1

5.00BA

ดงนน BA

Ex.

54

92,

54

32BA

ดงนน BA

21

การบวกลบเมทรกซ (Matrix Addition or Subtraction)

ให และ

แลว A + B = C

โดยท

ij ij ijm n m n

C c a b

nmijbB ][nmijaA ][

ซงมคณสมบตการบวกดงน 1. A+B = B+A (Commutative law) 2. A+(B+C) = (A+B)+C (Associative law) 3. A+(-A) = (-A)+A = 0 (Inverse law) 4. A+0 = A (Identity law)

22

Ex. A = -1 2 4 3 -6 10

และ B = 4 2 -3 1 7 9

จงหา C = A + B และ D = A B

วธท า

9107613

342241C

1914

143

9107613

)3(42241D

1132

705

23

การคณเมทรกซ การคณเมทรกซดวยสเกลาร (Scalar Multiplication)

ให และ k เปนสเกลาร ดงนน นนคอ เปนการน า k คณกบสมาชกทกตวในเมตรกซ เชน a b

c d ka kb kc kd k =

ijm n

A a

ijm n

kA ka

ซงมคณสมบตการคณเมทรกซดวยสเกลาร k และ k’ ดงน 1. k(A + B) = kA + kB 2. (k + k’)A = kA + k’A 3. (kk’)A = k(k’A) 4. 1A = A 24

Ex. A = 1 -5 3 4 1 0

จงค านวณหา 4A , -3A

วธท า

)0(4)1(4)4(4

)3(4)5(4)1(44A

0416

12204

)0(3)1(3)4(3

)3(3)5(3)1(33A

0312

9153

25

ให และ

แลว C = AB จะมขนาดเทากบ mp

โดยท

การคณเมทรกซดวยเมทรกซ (Matrix Multiplication)

pnijbB ][nmijaA ][

n

k

kiikij bac1

ซงมคณสมบตการคณเมทรกซมดงน 1. (AB)C = A(BC) (Associative law) 2. A(B+C) = AB+AC (Left Distributive law) 3. (B+C) A = BA+CA (Right Distributive law) 4. k(AB) = (kA)B = A(kB)

26

Ex. จงหาผลคณของเมทรกซ AB เมอ

วธท า

37

14

02

,

325

110

321

BA

)3)(3()1)(2()0)(5()7)(3()4)(2()2)(5(

)3)(1()1)(1()0)(0()7)(1()4)(1()2)(0(

)3)(3()1)(2()0)(1()7)(3()4)(2()2)(1(

AB

73

23

1131

27

ดเทอรมแนนท(Determinant)ของเมทรกซ

ดเทอรมแนนทของเมทรกซ คอ คาสเกลารทไดจากเมทรกซจตรสแทนดวยสญลกษณ det(A)

หรอ ซงวธค านวณหาดเทอรมแนนทมหลายวธดงน

การหาโดยตรง (ในกรณของเมทรกซขนาดเลก) เชน

A

cbadAdc

baA

)det(,

เมทรกซขนาด 11 , det(A) = | a11 | = a11 เมทรกซขนาด 22 (หาดเทอรมแนนทไดในกรณของเมทรกซจตรสเทานน)

28

+

การหาดเทอรมแนนทของเมทรกซขนาด 3 3

123123123

321321321)det(

bacacbcba

bacacbcbaA

33

22

11

333

222

111

ba

ba

ba

cba

cba

cba

A

+ + +

- - -

เมทรกซทมขนาดมากกวานจะท าวธนไมได ตองใชวธกระจาย cofactor เทานน

29

การหา Determinant โดยใชวธการกระจาย Cofactor

ไมเนอร (Minor) ของเมทรกซจตรส A เมอขนาด n 2 คอ

ดเทอรมแนนทของเมทรกซยอยของเมทรกซ A ซงตดแถวท i และ

คอลมนท j ออก โดยใชสญลกษณ Mij แทน ไมเนอรของ aij เชน

ตวอยางท 1

30

2 1 0

9 4 6

5 3 8

A

หาคา M12 ตองตดแถวท 1 และ Column ท 2 ออก จะได

2 1 0

9 4 6

5 3 8

9 6

5 8M12 = = 9(8) – 5(6) = 42

โคแฟคเตอร(Cofactor) ของเมทรกซจตรส A เมอขนาด n 2 นยามจากคาไมเนอร ดงน

Cij = (-1)i+j Mij

ดงนน คาของ C12 และ C23 หาไดดงน

31

C12 = (-1)1+2 M12 = -1(42) = -42

C23 = (-1)2+3 M23 = -1(1) = -1

2 1 0

9 4 6

5 3 8

2 1

5 3M23 = = 2(3) – 5(1) = 1

การกระจาย Cofactor สามารถเลอกวาจะใชแถวหรอ หลก ใดกได แตการค านวณจะงายขนถาเลอกแถวหรอ หลก ทมสมาชกเปน 0 อยมาก

จากคาไมเนอรและโคแฟคเตอร จะหาคา det(A) ไดจาก

จากตวอยางจะไดวา

det(A) = a11C11+a12C12+a13C13

= 2C11+1C12+0C13

= 2(14) +1(-42) + 0 = 28-42 = -14

32

n

k

n

k

kjkjikik CaCaA1 1

)det(

4 3 1 0

1 2 3 5

0 1 1 2

0 2 3 5

A

ตวอยางท 2 จงหา Determinant ของ Matrix

ขนท 1 เลอกแถวหรอ Column ทจะเปนหลก ในขอนจะเหนวา Column ท 1 มสมาชกเปนเลข 0 ถง 2 ตว ดงนนเราควรจะเลอก Column ท 1 เปน หลกในการกระจาย Cofactor ขนท 2 เขยนสตรกระจาย Cofactor ในทนเราใชการกระจายแบบ Column เราจะตองท าดงน

11 21 31 41 a a a a

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

1. เลอกสมาชกทกตวใน Column ท 1 มา จะไดวา

จากนนจงเขยนสตร

แตในกรณทเลอกแถวท 1 เปนหลก จะไดวา 1414131312121111)det( CaCaCaCaA

))det( 4141313121211111 CaCaCaCaA

ดงนนไมตองค านวณ C31 จะเหลอเพยง C11 และ C21 ทตองค านวณ ค านวณ Cofactor ตามสตรโดยไมจ าเปนตองค านวณ ถาคา aij เปน 0

และ C41

1 1

11

2 3 5

1 1 1 2

2 3 5

A

จะเหนวาในสตรของ C11 มแถวทซ ากน 2 แถว

(ดเทอรมแนนทของเมตรกซทมแถวซ ากนมคาเปน 0)

2 1

21

3 1 0

1 1 1 2 (3)( 1)(5) (1)(2)(2) (0)(1)( 3) (2)( 1)(0) (2)( 3)(3) (1)(1)(5)

2 3 5

( 15 4 0 0 18 5) 2

A

ดงนน C11 = 0

2)0()0()2)(1()0)(4()det( 4131 CCA

C11

C21

คณสมบตของ ดเทอรมแนนท

1. ถาสลบแถวหรอสลบคอลมนจะท าใหดเทอรมแนนทเปลยนเครองหมาย 2. ถามแถวเหมอนกน 2 แถว หรอคอลมนเหมอนกน 2 คอลมนจะท าให เมทรกซนนมดเทอรมแนนทเปน 0 3. det(AT ) = det (A) 4. ถา A เปนเมทรกซสามเหลยม(Triangular matrix) ดเทอรมแนนทของ A

คอ A11A22…Ann

5. det (AB) = det(A)det(B) 6. det(kA) = det(kInA)=kndet(A) 7. det(A-1) = 1/det(A)

8. ถาสมาชกของแถวใดแถวหนง หรอของคอลมนใดคอลมนหนง ถกคณดวย k จะท าใหดเทอรมแนนทเปน k เทาดวย 9. ถาสมาชกของแถวใดแถวหนง หรอของคอลมมนใดคอลมนหนงเปน 0 จะท าใหดเทอรมแนนทเปน 0 10. ถาสมาชกของแถวใดแถวหนง หรอของคอลมนใดคอมลมนหนงถก คณดวย k แลวน าไปบวกหรอลบกบแถวหรอคอลมนอนทสอดคลองกน จะท าใหดเทอรมแนนทไมเปลยนแปลง

คณสมบตของ ดเทอรมแนนท

Inverse Matrix

เมทรกซ B จะเปน Inverse ของเมทรกซ A ถา AB = BA = I

38

การหา Inverses matrix ขนาด 2x2

1A A I 8 10

3 4A

ให A-1 =

dc

ba

คณเมทรกซเขาดวยกน จะได

10

01

43

108

dc

ba

10

01

4343

108108

dbca

dbca

043

1108

ca

ca

143

0108

db

db

จงแกสมการหาคา A-1?

45.1

521A

AA-1 = I

การหาอนเวอรสเมทรกซโดยอาศยเมทรกซผกพน(Adjoint matrix)

40

1.เมทรกซผกพนของเมทรกซใด ๆ จะมเพยงเมทรกซเดยวเทานน 2.ให A และ B เปน Nonsingular matrix แลว

12.1. det det

2.2.

nadjA A

adj AB adjB adjA

คณสมบตของ Adjoint matrix

•การหา inverse ของ matrix A ท าไดโดยสลบคา a และ d เปลยนเครองหมายของ b และ c คณเมทรกซทไดเขากบ 1/det(A)

การหา Inverses matrix ขนาด 2x2

1 1

a bA

c d

d bA

c aad bc

ad-bc แทน det(A) ซงหากมคาเทากบศนยเมทรกซ A จะหา inverse ไมได

Example: จงหา inverse ของ

104

42A

24

410

)4)(4()10)(2(

1

24

410

4

1

2

11

12

5

1A

การหา Inverses matrix ขนาด 2x2