www.kroo

bann

ok.co

m

ค ำน ำ การศกษาคณตศาสตรส าหรบหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 เปนการศกษาเพอปวงชนทเปดโอกาสใหเยาวชนทกคนไดเรยนรคณตศาสตรอยางตอเนองและตลอดชวตตามศกยภาพทงนเพอใหเยาวชนเปนผมความรความสามารถทางคณตศาสตรทพอเพยง สามารถน าความรทกษะและกระบวนการทาคณตศาสตรทจ าเปนไปพฒนาคณภาพชวตใหดยงขน รวมทงสามารถน าไปเปนเครองมอในการเรยนรตางๆ และเปนพนฐานในการศกษาตอ ดงนนจงเปนความรบผดชอบของสถานศกษาทตองจดสาระการเรยนรทเหมาะสมกบผเรยนแตละคน ทงนเพอใหบรรลตามมาตรฐานการเรยนรทก าหนดไว ซงการเรยนการสอนคณตศาสตรยอมจะมปญหา และไมผานจดประสงคการเรยนร เนองจากความแตกตางระหวางบคคล และสภาพทองถน ครผสอนจงจ าเปนตองหาทางแกไข เพอใหนกเรยนไดมโอกาสเรยนรตามความสามารถของตนเอง แบบฝกเสรมทกษะน จดท าขนเพอเสรมความรความเขาใจ และฝกทกษะใหแกนกเรยน นกเรยนจะไดฝกฝนเพมเตมเพอใหเกดทกษะ และเปนการกระตนใหผเรยนมทศนคตทดตอการเรยนคณตศาสตร ในการจ าท าแบบฝกเสรมทกษะไดส าเรจลลวงไปดวยดน ไดรบการสนบสนนสงเสรมจากผอ านวยการโรงเรยนเมองพญาแลวทยา คณะครโรงเรยนเมองพญาแลวทยาทกทาน และขอขอบพระคณทกทานทไดน าแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร เรองเมทรกซ ไปท าการทดลองใชพรอมทงใหขอเสนอแนะและค าแนะน าจนท าใหแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร เรองเมทรกซ ชนมธยมศกษาปท 4 ชดนส าเรจสมบรณ ผจดท าหวงเปนอยางยงวาจะเปนประโยชน ตอการเรยนการสอนคณตศาสตรซงชวยยกระดบคณภาพการศกษาในชนมธยมศกษาปท 4 ใหมประสทธภาพยงขน ดลย สมา

www.kroo

bann

ok.co

m

สารบญ

หนำ แผนกำรจดกจกรรมกำรเรยนร แบบฝกเสรมทกษะ เลมท 1 ก สำระและมำตรฐำนกำร ข ผลกำรเรยนรทคำดหวง ข จดประสงคกำรเรยนร ข สำระส ำคญ ค

www.kroo

bann

ok.co

m

ค ำชแจง

แบบฝกทกษะคณตศำสตร กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร ชนมธยมศกษำป ท 4 หนวยท 1 ระบบสมกำรเชงเสน เลมน ไดจดท ำขนเพอพฒนำทกษะกระบวนกำรทำงคณตศำสตรตำมหลกสตรกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551 โดยด ำเนนกำรพฒนำทกษะกระบวนกำรทำงคณตศำสตรตำมผลกำรเรยนรทคำดหวงและจดประสงคกำรเรยนร ซงประกอบดวยแบบฝกหดทงหมด จ ำนวน 2 หนวย ดงน

แบบฝกทกษะท 1 ระบบสมกำรเชงเสน 2 ตวแปร แบบฝกทกษะท 2 ระบบสมกำรเชงเสน 3 ตวแปร

ขนตอนกำรใชแบบฝก 1. ใหนกเรยนอำนค ำชแจงกำรใชแบบฝกเสรมทกษะ

2. ใหนกเรยนศกษำวำงแผนจดกจกรรมกำรเรยนร มำตรฐำนกำรเรยนรชวงชน ผลกำรเรยนรท

คำดหวง จดประสงคกำรเรยนรและสำระส ำคญ

3. ใหนกเรยนท ำแบทดสอบกอนเรยน จ ำนวน 15 ขอ

4. ใหนกเรยนศกษำสำระกำรเรยนร ตวอยำงและท ำแบบฝกเรยนตำมสำระกำรเรยนรจนจบทง

เลม

5. นกเรยนท ำแบบทดสอบหลงเรยน จ ำนวน 15 ขอ

6. ผสอนด ำเนนกำรเปรยบเทยบประสทธภำพและผลสมฤทธทำงกำรเรยนเพอประกอบกำร

รำยงำนผล กำรเรยนรและรำยงำนผลใหนกเรยนทรำบถงพฒนำกำรของตนเอง

และใชเปนขอมลในกำรพฒนำตนเองตอไป

www.kroo

bann

ok.co

m

ขนตอนกำรเรยนร แบบฝกเสรมทกษะ เรอง เมทรกซ หนวยท 1 ระบบสมกำรเชงเสน

อำนค ำชแจงกำรใชแบบฝกทกษะและขนตอนกำรใชแบบฝก

ศกษำแบบฝกเสรมทกษะ โดยปฏบต ดงน 1.ศกษำมำตรฐำนกำรเรยนร 2.ศกษำมำตรฐำนกำรเรยนรชวงชน 3.ศกษำผลกำรเรยนรทคำดหวง 4. ศกษำจดประสงคกำรเรยนร 5. ศกษำสำระส ำคญ

ท ำแบบทดสอบกอนเรยน

ศกษำสำระกำรเรยนรในแตละหนวย

ท ำแบบฝกทกษะ

ปรกษำครผสอน ไมผำนเกณฑ

ท ำแบบทดสอบหลงเรยน

ศกษำแบบฝกทกษะเลมท 2 ตอไป

ประเมนผล

ผำนเกณฑ www.kroo

bann

ok.co

m

สำระและมำตรฐำนกำรเรยนร

สำระท 4 : พชคณต มำตรฐำน ค 4.1: อธบำยและวเครำะหแบบรปแบบ (pattern) ควำมสมพนธและฟงกชนตำงๆ

ผลกำรเรยนรทคำดหวง

1. มควำมคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซและกำรด ำเนนกำรของเมทรกซ 2. หำดเทอรมแนนตของเมทรกซ n n เมอ n เปนจ ำนวนเตมทไมเกนสได 3. วเครำะหและหำค ำตอบระบบสมกำรเชงเสนได

จดประสงคกำรเรยนร

1. หำค ำตอบของสมกำรเชงเสนสองตวแปรได 2. หำค ำตอบของสมกำรเชงเสนสำมตวแปรได

www.kroo

bann

ok.co

m

ระบบสมการเหมอนทเรยนตอน ม.3 เลยนะ งาย ๆ เอง

ถาวางาย ลองท าแบบทดสอบกอนเรยนดซ วางายอยางทพดหรอเปลา

www.kroo

bann

ok.co

m

ค ำชแจง 1. แบบทดสอบกอนเรยน แบบฝกทกษะ เรอง เมทรกซ เลม 1 ใชทบสอบความรของ

นกเรยนกอนเรยนหนวยท 1 ระบบสมการเชงเสน มจ านวนทงหมด 15 ขอ 2. การตอบแบบทดสอบ ใหนกเรยนท าเครองหมาย X ลงในชอง ใตตวเลข 1 , 2 ,3 , 4 หรอ 5 ทเปนค าตอบทถกทสดเพยงขอเดยว

แบบทดสอบกอนเรยน

เลมท 1ระบบสมการเชงเสน

1. ถา (3,a) เปนค าตอบของสมการ 2x - y = 2 จงหาคา a 1) 0 2) 3 3) -3 4) 4 5) -4

2. ถา x และ y แทนจ านวนเตมบวก แลว x + y = 10 จะมค าตอบทงสนกค าตอบ

1) 9 2) 10 3) 11 4) มมากมายนบไมถวน 5) ไมมค าตอบ

3. ระบบสมการใดไมมค าตอบ 1) x + y = 5 ; 2x - y = 5 2) 2x + y = 5 ; x - y = 5 3) 4x - 2y = 10 ; x + y = 3 4) -x + y = 15 ; 2x - y = 5 5) x - y = 5 ; 2x + y = 5

4. ระบบสมการในขอใดมค าตอบมากมาย

ไมจ ากดในรป

2

1,x

x

1) x - 2y = 1 ; x - 2y = 1 2) 3x + 4y = -3 ; x + 2y = 1 3) 2x - 4y = 2 ; x + 2y = 1 4) x -2y = 1 ; x - 2y = 1 5) 2x - 2y = 2 ; 2x - 4y = 4

www.kroo

bann

ok.co

m

5. ค าตอบของระบบสมการ x + y = 2 และ 2x - 3y = 1 คอขอใด

1) (0,0) 2) (-1 ,0) 3) (1,1)

4)

3

1,

3

5

5)

5

3,

5

7

6. ค าตอบของระบบสมการ 023

yx หรอ

8x + 9y = 7 คอขอใด

1)

4

1,

2

1

2)

4

1,

3

1

3)

2

1,

3

1

4)

3

1,

2

1

5)

3

1,

4

1

7. ค าตอบของระบบสมการ 3x - y = 2.4 และ 0.6x + 0.4y = 0 คอขอใด

1) (-0.3, 0.6) 2) (0.4, -0.6) 3) (-0.5, 0.6) 4) ( 0.6 , 0.3) 5) (0.5, -0.6)

8. ค าตอบของระบบสมการ 4(x-2y) - (5x+3y) = 30 และ 3(3x+7y)+[-2(x+9y)] = 12 คอขอใด

1) (3,3) 2) (3, -3) 3) (2 , 3) 4) (-3, 2) 5) (2, -3)

9. ขอใดเปนค าตอบของระบบสมการ

y = 52

1x และ 2(x-3) = y + 4

1) (8,8) 2) (8, -10) 3) (-8,-10) 4) (10, 10) 5) (10, -10)

10. กราฟของสมการในขอใดขนานกบแกน x และตดแกน y ทจด (0,3)

1) x - 3 = 0 2) x + 3 = 0 3) x = -3 4) y - 3 = 0 5) y + 3 = 0

www.kr

ooba

nnok

.com

11. ค าตอบระบบสมการ x + y + z = 10 , 3x + z = 13 และ 2x + y - z = 9 มคาเทากบขอใด

1) ( 7

16,

7

29,

7

25 )

2) (7

29,

7

16,

7

25 )

3) (7

29,

7

16,

7

15 )

4) (8

25,

8

15,

8

5 )

5) (8

5,

8

25,

8

15 )

12. คา y จากระบบสมการ x + y = 3 y + z = 1 , x + z = 4 มคาเทากบขอใด 1) 4 2) 3

3) 2 4) 1 5) 0

13. คา z จากระบบสมการ 4x+ 3y+ 2z = 5 , -x + 2y + z = 1 , 3x - y - z = 6 มคาเทากบขอใด

1) 4

5

2) 4

1

3) 4

27

4) 8

1

5) 8

13

14. ผลบวกของค าตอบระบบสมการ x - 3y - 3z = -2 , 2x + y - z = 5 และ 3x - 2y + 2z = -3 มคาเทากบขอใด 1) 0 2) 2 3) 4 4) 5 5) 9

15. ผลบวกของค าตอบระบบสมการ 2x - 4y - z = 4 , 3x - 3y + 2z = 2 และ x + 2y + 3z =-1 มคาเทากบขอใด 1) -4

2) -2 3) 0 4) 2 5) 4

www.kroo

bann

ok.co

m

นกวางายอยางทคด ตวแปร 3 ตวไมเคยเหนเลย

มนท ายงไงนะ นกไมออกเลย

ไมเปนไรจะ คอย ๆ ศกษา แลวจะท าไดเอง ตอนนไปรอฟนความจ ากบการแกระบบสมการ 2 ตวแปร ในหนวยท 1 กอนดกวา

www.kroo

bann

ok.co

m

หนวยท 1

สมกำรเชงเสนสองตวแปร สมกำรเชงเสน 2 ตวแปร คอ สมกำรทอยในรปทวไป ดงน Ax + By + C = 0 เมอ A, B, C เปนคำคงตวท A, B ไมเปนศนยพรอมกน x และ y เปนตวแปร มดกรสงสด = 1 และไมมกำรคณกนของตวแปร ค ำตอบของสมกำรเชงเสนสองตวแปร ทม x และ y เปนตวแปร คอจ ำนวนทแทน x และ y ในสมกำรแลวไดสมกำรทเปนจรง ซงนยมเขยนในรปของคอนดบเสมอ เชน

สมกำร x + 2y = 0 ค ำตอบ คอ ... , (0,0) , ( 1 , 2

1 ) , ( 2,-1) , ...

หรออำจจะกลำวไดวำค ำตอบของสมกำรเชงเสนสองตวแปรจะมมำกมำยนบไมถวน ดงนนค ำตอบของสมกำรเชงเสนสองตวแปรจงนยมแสดงดวยกรำฟ ระบบสมกำรเชงเสนสองตวแปร ให a, b, c, d, e และ f เปนจ ำนวนจรงใด ๆ ท a, b ไมเปนศนยพรอมกน และ c, d ไมเปนศนยพรอมกน เรยก ax + by = e cx + dy = f วำสมกำรเชงเสนสองตวแปร

ค ำตอบของระบบสมกำรเชงเสนสองตวแปร คอ คำของ x และ y มท ำใหสมกำรทงคเปนจรง กำรแกระบบสมกำรเชงเสนมวธกำร 3 วธ

1. โดยกำรใชกรำฟ

2. โดยกำรก ำจดตวแปรตวใดตวแปรหนง

3. โดยกำรแทนคำตวแปรหนงในรปของอกตวแปรหนง

ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร

www.kroo

bann

ok.co

m

กำรแกระบบสมกำรเชงเสนโดยก ำจดตวแปรตวใดตวหนง กำรแกระบบสมกำรเชงเสนวธนจะใชกำรบวกหรอกำรลบ ดงน

1. ใชสมบตกำรบวก ถำ a, b, c และ d เปนจ ำนวนจรงใด ๆ โดยท

a = b ----------------------------

c = d ----------------------------

- a – c = b – d

และกำรจะเลอกใชสมบตกำรบวกหรอกำรลบ ใหพจำรณำจำกวธกำรแกระบบสมกำรตอไปน 1. ถำตองกำรก ำจดตวแปรใด ใหใชสมบตกำรคณ ท ำสมประสทธขงตวแปรทตองกำรก ำจดนน

ใหเทำกน หรอใหเปนจ ำนวนตรงขำมกน

2. ถำสมประสทธของตวแปรทตองกำรก ำจดเทำกน ใหใชสมบตกำรลบ จะท ำใหตวแปรนน

หำยไป

3. ถำสมประสทธของตวแปรทตองกำรก ำจดเปนจ ำนวนตรงขำมกน ใหใชสมบตกำรบวกจะท ำ

ใหตวแปรนนหำยไป

4. ใชสมบตกำรเทำกน หำคำตวแปรทเหลอ

5. น ำคำตวแปรทไดจำกขอ 4 แทนคำในสมกำรแรกทโจทยก ำหนดสมกำรใดสมกำรหนงจะได

คำของตวแปรอกตวหนง

ตวอยำงท 1 แกระบบสมกำร x + y = 8, -x + 2y = 1 วธท ำ x + y = 8 ---------------------- ( 1 ) -x + 2y = 1 ---------------------- ( 2 ) ( 1 ) + ( 2 ) 3y = 9 y = 3 แทนคำ y = 3 ใน (1) จะได x + 3 = 8 x = 8 – 3 = 5 ดงนน ค ำตอบของระบบสมกำรคอ (5, 3)

1

2

1 2

www.kroo

bann

ok.co

m

ตวอยำงท 2 แกระบบสมกำร 3x + 4y = 18 , x – 2y = -4 วธท ำ 3x + 4y = 18 ---------------------- ( 1 ) x – 2y = -4 ----------------------- ( 2 ) ( 2 ) × 3 3x – 6y = -12 ------------------------( 3 ) ( 1 ) – ( 3) 10y = 30 y = 3 แทนคำ y = 3 ใน ( 2 ) จะได x – 2(3) = -4 x = -4 + 6 = 2

ดงนน ค ำตอบของระบบสมกำรคอ (2, 3) ตวอยำงท 3 แกระบบสมกำร 2x – 3y = 5 , -6x + 9y = -12 วธท ำ 2x – 3y = 5 -------------------- ( 1 ) -6x + 9y = -12 -------------------- ( 2 ) (1 ) × 3 6x – 9y = 15 -------------------- ( 3 ) (2) + (3) 0 = 3 ซงไมจรง ดงนนระบบสมกำรนไมมค ำตอบ ตวอยำงท 4 แกระบบสมกำร y = 4x – 3 , 3y – 12x = -9 วธท ำ y = 4x – 3 -------------------- ( 1 ) 3y – 12x = -9 -------------------- ( 2 ) จำก ( 1 ) y – 4x = -3 --------------------- ( 3 )

( 3 ) × 3 3y – 12x = -9 --------------------- ( 4)

จะเหนไดวำสมกำรท ( 2 ) กบ ( 4) เปนสมกำรเดยวกน แสดงวำ ( 2 ) และ ( 4 ) เปนสมกำรทสมมลกน ดงนนค ำตอบของสมกำรจะมมำกมำยไมมจ ำกดรป (x , 4x - 3)

www.kroo

bann

ok.co

m

กำรแกระบบสมกำรแทนคำ กำรแกระบบสมโดยกำรแทนคำ ใชวธกำรแทนคำตวแปรตวใดตวหนงจำกสมกำรหนงในอกสำมสมกำร โดยพจำรณำจำกตวอยำงตอไปน ตวอยำงท 5 แกระบบสมกำร x + y = 8, x – y = 2 วธท ำ x + y = 8 --------------------- ( 1 ) x – y = 2 --------------------- ( 2 ) จำก ( 2) x = y + 2 --------------------- ( 3 ) แทนคำ x จำก (3) ใน ( 1 ) (y + 2) + y = 8 2y = 6 y = 3 แทนคำ y = 3 ใน ( 3 ) x = 3 + 2 = 5 ดงนนค ำตอบของระบบสมกำรคอ (5, 3) ตวอยำงท 6 x – 3y = 5

-2x + 6y = -10 วธท ำ ให x – 3y = 5 --------------------- ( 1 ) -2x + 6y = - 10 --------------------- ( 2 ) จำก ( 1 ) จะได x = ........................ --------------------- ( 3 ) แทนคำ x ใน ( 2 ) จะได

............................. = -10

............................. = -10 เนองจำกสมกำร ( 1 ) และ ( 2 ) คอสมกำรเดยวกน แสดงวำ สมมลกน จงหำค ำตอบของ ระบบ

สมกำรนจำกสมกำรใด สมกำรหนงไดดงน จำก x – 3y = 5 x – 5 = 3y

yx

3

5

ค ำตอบของระบบสมกำรนมมำกมำยในรป ( x , 3

5x ) ตอบ

www.kroo

bann

ok.co

m

ระบบสมการเชงเสน 2 ตวแปร

จงหำค ำตอบของระบบสมกำรตอไปน 1. 5x + y = -2

2x + 3y = 7 วธท ำ ให 5x + y = -2 --------------------- ( 1 ) 2x + 3y = 7 --------------------- ( 2 ) จำก ( 1 ) จะได y = ……………………… --------------------- ( 3 ) แทนคำ y ใน ( 2 ) จะได

…………………… = 7 …………………… = 7 …………………… = 13

x = …………………......... แทนคำ x ใน ( 3 ) จะได y = …………………… y = …………………… ค ำตอบของระบบสมกำร คอ ................................. ตอบ 2. 4x + y = 5 , 2x – 3y = 13 วธท ำ 4x + y = 5 --------------------- ( 1 ) 2x – 3y =13 --------------------- ( 2 ) จำก ( 1 ) y = -4x + 5 แทนคำ y ลงใน ( 2 )

2x – 3(………….) = 13 ………………..…. = 13 14x = …………. x = …………. แทนคำ x = ………….. ใน y y = …………………. = ............................ ดนนนค ำตอบคอ …………………………. ตอบ

แบบฝกทกษะท 1

www.kroo

bann

ok.co

m

3. จงแกระบบสมกำร 3x + 5y = 33 ----------------- (1) 4x - 3y = 15 ----------------- (2)

วธท ำ ในทนตองกำรก ำจดตวแปร y ดงตอไปน

( 1 ) × 3 …………………………… ----------------- (3) ( 2 ) × 5 …………………………… ----------------- (4)

( 3 ) + (4) 29x = ........ ดงนน x = ……. ----------------- (5) น ำ x ทไดใน (5) ไปแทนในสมกำร (1) จะได 3(……) + 5y = …….. …….. + 5y = …….. 5y = …….. ดงนน y = ……. ดงนนค ำตอบของระบบสมกำรคอ ………………..

4. จงแกระบบสมกำร 2x + 3y = 1.6 --------------- (1) -3x + 4y =4.1 --------------- (2)

วธท ำ ในทนจะก ำจดตวแปร x ดงน (1) × 3 ……………………………. ------------ (3) (2) × 2 ……………………………. ------------ (4) (3) + (4) …………………………………………………………. …………………………………………………………. ดงนน y = …………….. -------------- (5) น ำคำ y ใน (5) ไปแทนในสมกำร (1) จะได 2x + 3 (……) = ………. ………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………….. ดงนน x = ……… ดงนน ค ำตอบของสมกำรคอ ...........................................

www.kroo

bann

ok.co

m

5. จงแกระบบสมกำร 0.2x – 0.3y = 0.5 -------------- (1) 0.5x – 0.5y = 0.7 -------------- (2)

วธท ำ เพอควำมสะดวก เรำจะใชหลกกำรคณท ำใหคำคงตวเปนจ ำนวนเตม ดงน (1) × 10 …………………………… --------------- (3) (2) ×10 …………………………… --------------- (4) ตอไปจะก ำจดตวแปร x ดงน (3) × 5 …………………………… --------------- (5) (4) × 2 …………………………… --------------- (6) (5) - (6) …………………………………………………………….. ……………………………………………………………. ดงนน x = 1 แทนคำ x = 1 ในสมกำร (3) จะได ………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………… ดงนนค ำตอบของสมกำรคอ ...................................................................

ระบบสมการเชงเสน 2 ตวแปร

1. จงแกระบบสมกำร 3x - 4y = 18 และ 4x + 5y = - 7 วธท ำ.................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................

แบบฝกเสรมทกษะท 1.1

www.kroo

bann

ok.co

m

2. จงแกระบบสมกำร 3x + 2y = 4 และ x - 3y = - 17 วธท ำ.................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................ 3. จงแกระบบสมกำร 2x + 2y = 10 และ x + 4y = 20 วธท ำ.................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................

4. จงแกระบบสมกำร x - 3

2 y = 5 และ -3x + 2y = -15

วธท ำ.................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................................

www.kroo

bann

ok.co

m

5. จงแกระบบสมกำร x = y - 8 และ 2x + 3y = 9 วธท ำ.................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................

ระบบสมการเชงเสน 2 ตวแปร 1. จงแกระบบสมกำร x + 3y = 8 และ x - 2y = 3 วธท ำ.................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................

แบบฝกเสรมทกษะท 1.2

www.kroo

bann

ok.co

m

2. จงแกระบบสมกำร x - y = -4 และ 2x + 3y = 22 วธท ำ.................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. 3. จงแกระบบสมกำร 3x + 5y = 33 และ 4x – 3y = 15 วธท ำ.............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................

www.kroo

bann

ok.co

m

4. จงแกระบบสมกำร 2x - y = 9 และ 3x – 4y = -24 วธท ำ.................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. 5. จงแกระบบสมกำร 2x + 3y = 1.6 และ -3x + 4y = -4.1 วธท ำ.................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................

www.kroo

bann

ok.co

m

เดก ๆ ทบทวนระบบสมการ 2 ตวแปรเปนอยางไงบาง

ชวร ครบ การหาค าตอบของระบบสมการ 2ตวแปร สามารถหาได 3 วธ คอ การวาดกราฟ ซงผมเรยนตอน ม.3 แลว การแทนคา และการก าจดตวแปร ครบ

เราจะศกษาในหนวยท 2 กบการแกระบบสมการ 3 ตวแปรกนเลย

ไปเรมกนเลย

www.kroo

bann

ok.co

m

หนวยท 2

บทนยำม ให a1 , a2 , a3 , . . . , an เปนจ ำนวนจรงใด ท a1 , a2 , a3 , . . . , an ไมเปน 0 พรอมกน เรยก a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . +anxn = c วำ สมกำรเชงเสน n ตวแปร โดยท x1 , x2 , x3 , . . . , xn เปนตวแปร และ n ≥ 2 ตวอยำงระบบสมกำรเชงเสนสำมตวแปร x + 2y + z = 5 2x – y + z = 4 3x + y + 4z = 1 บทนยำม ระบบสมกำรเชงเสนทม x1 , x2 , x3 , . . . , xn เปนตวแปร หมำยถง ชดของสมกำรเชงเสน ทประกอบดวยสมกำรเชงเสนทม x1 , x2 , x3 , . . . , xn เปนตวแปร จ ำนวน m สมกำรโดยท m ≥ 2 ค ำตอบของระบบสมกำรนคอ คำของ x1 , x2 , x3 , . . . , xn ทท ำให สมกำรทง m สมกำรเปนจรง

ระบบสมกำรเชงเสนทม x1 , x2 , x3 , . . . , xn เปนตวแปร ประกอบดวยสมกำรเชงเสนทม x1 , x2 , x3 , . . . , xn เปนตวแปร จ ำนวน m สมกำรโดยท m ≥ 2 มรปแบบดงน a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = c1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = c2

. . .

am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = cm

สมกำร ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + … + ainxn = ci

ทก i = 1 , 2 , 3 , ... , m ai1x1 , ai2x2 , ai3x3 , … , ainxn , ci เปนจ ำนวนจรงใด ๆ โดยท ai1x1 , ai2x2 , ai3x3 , … , ainxn ไมเปนศนยพรอมกน สมกำรเชงเสนสองตวแปรนยมให x , y แทนตวแปร ค ำตอบของระบบสมกำรคอ ( x , y) สมกำรเชงเสนสองตวแปรนยมให x , y , z แทนตวแปร ค ำตอบของระบบสมกำรคอ ( x , y , z)

ระบบสมการเชงเสนหลายตวแปร

www.kroo

bann

ok.co

m

สมกำรเชงเสนสองตวแปรนยมให x , y , z , t แทนตวแปร ค ำตอบของระบบสมกำรคอ ( x ,y, z ,t ) สมกำรเชงเสนสองตวแปรนยมให x1 , x2 , x3 , . . . , xn แทนตวแปร ค ำตอบของระบบสมกำร คอ (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) ตวอยำงท 1 จงแกระบบสมกำร x + 2y + z = 5 ………………………………………( 1 ) 2x – y + z = 4 ………………………………………( 2 ) 3x + y + 4z = 1 ……………………………………….(3 ) วธท ำ 1. เลอกก ำจด ตวแปรใด ตวแปรหนง โดยท ำสมประสทธใหเทำกน

เลอกก ำจดตวแปร y ท ำ y ใหเปน 0 โดยน ำ 2 คณ สมกำรท ( 2) แลวบวกสมกำรท 1 ( 2 ) × 2 4x – 2y + 2z = 8 …………………………………………( 4 ) ( 4 ) + (1 ) 5x + 3z = 13 …………………………………………( 5 ) 2. ท ำสมประสทธของ y ใหเปน 0 โดยน ำสมกำรท (2) บวกสมกำรท ( 3) (2) + (3) 5x + 5z = 5 ……………………………………………( 6) 3. สมกำรท (5 ) และ ( 6) เหลอตวแปร เพยง 2 ตว เลอกก ำจด ตวแปร x เพรำะ มสมประสทธเทำกน น ำ สมกำรท (6 ) ลบสมกำรท ( 5) ( 6 ) – ( 5 ) 2z = - 8 z = -4 แทนคำ z ใน ( 5) ; 5x + 3(-4) = 13 5x = 25 x = 5

4. น ำคำ x และ z แทนในสมกำรท ( 1) หรอ ( 2) หรอ ( 3) เพอหำคำของ y ในทนแทนในสมกำรท (3 ) จะได 3(5) + y + 4(-4) = 1

y = 2 ดงนน ค ำตอบของระบบสมกำร คอ ( 5 , 2 ,-4) ตอบ

ตวอยำงท 2 จงแกระบบสมกำร x + y + z = 1 …………………..( 1 ) x – 3y – z = 1 …………………..( 2 ) 2x + 3y + z = 5 …………………..( 3 ) วธท ำ เลอกก ำจดตวแปร .............. โดย ( 1 ) + ( 2 ) 2x - 2 y = ………… x – y = ………… ……………………..( 4 )

www.kroo

bann

ok.co

m

( 2 ) + ( 3 ) 3x = ………….. x = ………….. แทนคำ x ใน ( 4 ) ; 2 - y = …………… y = …………… แทนคำ x และ y ลงในสมกำรท ( 1 ) จะได z = ……………

ดงนน ค ำตอบของระบบสมกำร คอ ……………………. ตอบ ตวอยำงท 3 จงแกระบบสมกำร 2x + y – z = -3 ……………………( 1 ) 3x – z = -5 ……………………( 2 ) 8x – y – 4z = -17 …………………….( 3) วธท ำ เลอกก ำจดตวแปร .............. โดย จำก (.....) ปรบสมกำรใหมได z = …………………………………. คำ z = …………………………… ใน (...........) จะได ......................................... = …………. y - x = …………. .................................... ( 4) แทนคำ z = ………………………… ใน (.........) จะได ............................................... = …………. ……………………. = …………. …………………………(5 ) ( 4 ) + ( 5) จะได ................ = …………….. X = ……………. แทนคำ x = ……….. ลงใน ( ......... ) จะได 3 ( ........) - z = …….. z = ……… แทนคำ x = ……… และ z = ……….. ใน ( 1 ) จะได 2(.......) + y - 2 = -3 Y = ……………

ดงนน ค ำตอบของระบบสมกำร คอ ……………………. ตอบ

www.kroo

bann

ok.co

m

ระบบสมการเชงเสนหลายตวแปร

จงแกระบบสมกำรตอไปน

1. x + y + z = 1 ………………………………………….( 1 ) x – 3y – z = 1 ………………………………………….( 2 )

2x + 3y + z = 5 ………………………………………….( 3 ) วธท ำ ( 1 ) + ( 2 ) 2x – 2y = ……………. x - y = …………….

( 2 ) + ( 3) 3x = ……………. x = …………….

แทนคำ x ใน ( 4 ) จะได 2 – y = ……………… y =………………

จำก ( 1) จะได z = ....................... ดงนน ค ำตอบของระบบสมกำร คอ ........................ ตอบ

2. x + 3y + z = 1 ……………………………………………(1 ) 2x – y – Z = 6 ……………………………………………( 2) 5x + y + z = 1 …………………………………………... ( 3) วธท ำ (1) +(2) 3x + 2y = 7 ………………….... ( 4 ) ( 2) + (3) ……………………………………. ……………………………………. แทนคำ x ใน ( 4 ) 3 ( 1) + 2 = 7 .......................................................... .......................................................... แทนคำ x และ y ใน (1 ) จะได .............................................. ดงนน ค ำตอบของระบบสมกำร คอ ......................................... ตอบ

แบบฝกทกษะท 2

www.kroo

bann

ok.co

m

3. x + y + z = 1 ……………………………………………( 1 ) x + 2y – z = - 3 ……………………………………………( 2) 2x + 5y + z = 5 …………………………………………….( 3 ) วธท ำ (1 ) + ( 2) ............................................................... ...........................................(4) (2) + ( 3) .............................................................. ...........................................(5) (4) × 7 ................................................................ ..................................................(6) (5) ×3 ………………………………………… ………………………………..(7) (6) – (7) ............................................................. x = ………………….. แทนคำ x ใน (4) ……………………………………… ……………………………………… y =……………….. แทนคำ x และ y ใน ( 1) จะได z = ………………. ดงนน ค ำตอบของระบบสมกำร คอ ......................................... ตอบ 4. x – y – z = 0 ……………..(1) x – 2y +3z = 2 …………….(2) -2x + 3y + 2z = 2 ……………..(3) วธท ำ (1) × 3 จะได ................................................... ........................(4) (2) + (4) ................................................... ........................(5) (1) ×2 .................................................. ........................(6) (3) + (6) ................................................... แทนคำ y ใน (5) ................................................... ................................................... แทนคำ x และ y ใน ( 1) จะได ...................................... ดงนน ค ำตอบของระบบสมกำร คอ ...................................... ตอบ

www.kroo

bann

ok.co

m

5. -x + y + 2z = 2 ………………….(1) 2x – y + z = 5 …………………(2) -4x – y + 3z = 2 ………………….(3) (1 ) + ( 2) ............................................................... .............................(4) (1) + ( 3) .............................................................. ..............................(5) (5) หำรดวย - 5 .............................................................. ..............................(6) (4 ) – (6) ............................................................... z = ………………….. แทนคำ z ใน ( 4) ................................................... x = ………………… แทนคำ x และ z ใน (1) จะได y = …………………. ดงนน ค ำตอบของระบบสมกำร คอ ...................................... ตอบ

ระบบสมการเชงเสนหลายตวแปร

ค ำชแจง จงหำค ำตอบของระบบสมกำรตอไปน 1. 3x + 3y – z = 1 ……………………………..(1) 5x -4y + z = 7 ……………………………..(2) 2x + y - z = 0 ……………………………..(3) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกเสรมทกษะท 2.1

www.kroo

bann

ok.co

m

2. 2x + y + 2z = 3 ……………………………..(1)

x + y - z = 2

1 ……………………………..(2)

3x + 2y - 2z = -2 ……………………………..(3) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 3. 3x - y + 2z = 1 ……………………………..(1) - x -4y = 2 ……………………………..(2) 2x - z = 5 ……………………………..(3) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

www.kroo

bann

ok.co

m

4. 4x - y +3z = 1 ……………………………..(1) x + y - z = 2 ……………………………..(2) 6x + y + z = 4 ……………………………..(3) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. x - y + 2z = 3 ……………………………..(1) -3x +3y -3z = 2 ……………………………..(2) -2x – 3y + 6z = 5 ……………………………..(3) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….

www.kroo

bann

ok.co

m

ระบบสมการเชงเสนหลายตวแปร

ค ำชแจง จงหำค ำตอบของระบบสมกำรตอไปน 1. x + y + z = 6 ……………………………..(1) x - y + z = 2 ……………………………..(2) x + y - z = 0 ……………………………..(3) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. x +2y - z = 3 ……………………………..(1) 3x + y = 6 ……………………………..(2) 2x + y = 1 ……………………………..(3) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกเสรมทกษะท 2.2

www.kroo

bann

ok.co

m

3. 2x - 3y + z = 8 ……………………………..(1) - x + 3y + 2z = -4 ……………………………..(2) 3x - y + 2z = 9 ……………………………..(3) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. x - y + 2z = -3 ……………………………..(1) y - 3z = 5 ……………………………..(2) x + 4y - 8z = 17 ……………………………..(3) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

www.kroo

bann

ok.co

m

5. x + y = 2 ……………………………..(1) x + 3y + z = 5 ……………………………..(2) 3x + y - z = 3 ……………………………..(3) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

www.kroo

bann

ok.co

m

กไมเหนยากเลย เพยงแคก าจดทละตว โดยเรมจาก 2 สมการกอน ก าจดตวท 1 และเหลอ อก 2 ตว กท าเหมอนกบหนวยท หนง แตใครยงงงอย

กกบไปทบทวน อกครงกอนนะครบ

แตถาใครพรอมแลวก เตรยมสอบหลงเรยน เพอทดสอบวารจรงปะ

รอคณครแจกกระดาษค าตอบและค าถามนะคะ

แลวพบกนในเลมท 2 จะไดรซกท เมทรกซเนย

www.kroo

bann

ok.co

m

ค ำชแจง 2. แบบทดสอบหลงเรยน แบบฝกทกษะ เรอง เมทรกซ เลม 1 ระบบสมการ ใชทบสอบความร

ของนกเรยนหลงเรยนเลมท 1 ระบบสมการเชงเสน มจ านวนทงหมด 15 ขอ 2. การตอบแบบทดสอบ ใหนกเรยนท าเครองหมาย X ลงในชอง ใตตวเลข 1 , 2 ,3 , 4 หรอ 5 ทเปนค าตอบทถกทสดเพยงขอเดยว

1. ค าตอบของระบบสมการ 4(x-2y) - (5x+3y) = 30 และ 3(3x+7y)+[-2(x+9y)] = 12 คอขอใด

1) (-3, 2) 2) (3, -3) 3) (2, -3) 4) (2 , 3) 5) (3,3)

2. ค าตอบของระบบสมการ x + y = 2 และ 2x - 3y = 1 คอขอใด

1) (1,1) 2) (0,0)

3)

3

1,

3

5

4)

5

3,

5

7

5) (-1 ,0)

3. กราฟของสมการในขอใดขนานกบแกน x และตดแกน y ทจด (0,3)

1) y + 3 = 0 2) y - 3 = 0 3) x + 3 = 0 4) x = -3 5) x - 3 = 0

4. ผลบวกของค าตอบระบบสมการ 2x - 4y - z = 4 , 3x - 3y + 2z = 2 และ x + 2y + 3z = -1 มคาเทากบขอใด 1) 4

2) 2 3) 0 4) -2 5) -4

แบบทดสอบหลงเรยน

เลมท 1ระบบสมการเชงเสน

www.kroo

bann

ok.co

m

5. ค าตอบระบบสมการ x + y + z = 10 , 3x + z = 13 และ 2x + y - z = 9 มคาเทากบขอใด

1) (8

25,

8

15,

8

5 )

2) (7

29,

7

16,

7

15 )

3) (8

5,

8

25,

8

15 )

4) ( 7

16,

7

29,

7

25 )

5) (7

29,

7

16,

7

25 )

6. ถา x และ y แทนจ านวนเตมบวก แลว x + y = 10 จะมค าตอบทงสนกค าตอบ

1) 11 2) 10 3) 9 4) มมากมายนบไมถวน 5) ไมมค าตอบ

7. ระบบสมการในขอใดมค าตอบมากมาย ไม

จ ากดในรป

2

1,x

x

1) 2x - 2y = 2 ; 2x - 4y = 2) x -2y = 1 ; x - 2y = 1 3) 3x + 4y = -3 ; x + 2y = 1 4) 2x - 4y = 2 ; x + 2y = 1 5) 4x - 2y = 1 ; x - 2y = 1

8. คา y จากระบบสมการ x + y = 3 y + z = 1 , x + z = 4 มคาเทากบขอใด 1) 0 2) 1

3) 2 4) 3 5) 4

9. ค าตอบของระบบสมการ 3x - y = 2.4 และ 0.6x + 0.4y = 0 คอขอใด

1) ( 0.6 , 0.3) 2) (-0.5, 0.6) 3) (-0.3, 0.6) 4) (0.5, -0.6) 5) (0.4, -0.6)

10. ค าตอบของระบบสมการ 023

yx หรอ

8x + 9y = 7 คอขอใด

1)

4

1,

3

1

2)

2

1,

3

1

3)

3

1,

2

1

4)

3

1,

4

1

5)

4

1,

2

1

www.kroo

bann

ok.co

m

ผมมกจะเลอก คนท “ขเกยจ” (แตมควำมรบผดชอบ) “I will always chose a lazy person ใหเขำไดท ำงำน ทยำกๆเสมอ to do a difficult job, because, เพรำะเขำมกจะหำหนทำงท “งำย” ทสดเพอท ำใหงำนส ำเรจ he will find and easy way to do it. (Bill Gates)

11. คา z จากระบบสมการ 4x+ 3y+ 2z = 5 , -x + 2y + z = 1 , 3x - y - z = 6 มคาเทากบขอใด

1) 4

5

2) 4

1

3) 4

27

4) 8

1

5) 8

13

12. ระบบสมการใดไมมค าตอบ 1) x + y = 5 ; 2x - y = 5 2) 2x + y = 5 ; x - y = 5 3) 4x - 2y = 10 ; x + y = 3 4) -x + y = 15 ; 2x - y = 5 5) x - y = 5 ; 2x + y = 5

13. ถา (3,a) เปนค าตอบของสมการ 2x - y = 2 จงหาคา a

1) -4 2) -3 3) 0 4) 3 5) 4

14. ขอใดเปนค าตอบของระบบสมการ

y = 52

1x และ 2(x-3) = y + 4

1) (8, -10) 2) (10, -10) 3) (8,8) 4) (10, 10) 5) (-8,-10)

15. ผลบวกของค าตอบระบบสมการ x - 3y - 3z = -2 , 2x + y - z = 5 และ 3x - 2y + 2z = -3 มคาเทากบขอใด 1) 9 2) 5 3) 4 4) 2 5) 0 www.kr

ooba

nnok

.com

บรรณำนกรม

กนกวล อษณกรกล และรณชย มำเจรญทรพย. แบบฝกหดและประเมนผล คณตศำสตร ม.5 ค013. กรงเทพมหำนคร : รงเรองสำสนกำรพมพ . 2542

กวยำ เนำวประทป. เทคนคกำรเรยนคณตศำสตร เมทรกซ . กรงเทพมหำนคร : ส ำนกพมพ ฟสกสเชนเตอร . 2547 .

เจรญ ภภทรพงศ และศรลดดำ ภภทรพงศ . คมอและเทคนคคดลดโจทย คณตสำสตร ค013 ม.5 เลม 3. กรงเทพมหำนคร : ส ำนกพมพ SCIENCE CENTER . ทรงวทย สวรรณธำดำ . คณตศำสตรเพมเตม ม. 4 ภำคเรยนท 2 . กรงเทพมหำนคร : หจก. วเจ พรนตง .2548 ฝำยดอกหญำวชำกำร . แบบฝกตวเขม คณตศำสตรเพมเตม ม.4 เลม 2 . กรงเทพมหำนคร : ส ำนกพมพดอกหญำวชำกำร . 2553 สงเสรมกำรสอนวทยำศำสตรและเทคโนโลย , สถำบน . หนงสอเรยนรำยวชำเพมเตม คณตศำสตร เลม 2 ชนมธยมศกษำปท 4 – 6 . กรงเทพมหำนคร : โรงพมพ สกสค. ลำดพรำว. 2552 สมย เหลำวำนช , รองศำสตรำจำรย และ พวพรรณ เหลำวำนชย . คณตศำสตร ม.4 เลม 2 . กรงเทพมหำนคร : บรษท ไทเนรมตกจ อนเตอร โปรเกรสซฟ จ ำกด. อเนก หรญ . ค013 คณตศำสตร . กรงเทพมหำนคร : หจก. ส ำนกพมพฟสกสเซนตเตอร. 2538.

www.kroo

bann

ok.co

m