Calculo Diferencial

Unidad 3

Actividad 2

Derivada de funciones trascendentes

1. Calcula las siguientes derivadas:

a. .

Regla de Cadena

ddx [√ x2−1x2+1 ]=d√udu du

dx

Por lo tanto

u= x2−1x2+1

yddu

√u= 12√u

ddx [√ x2−1x2+1 ]=

ddx ( x2−1x2+1 )2√ x2−1x2+1

Dividiendo

ddx ( x

2−1x2+1 )

ddx ( uv )=

vdudx

−u dvdx

v2

u=x2−1→ dudx

=2x y v=x2+1→dvdx

=2 x

Por lo tanto

ddx [√ x2−1x2+1 ]= x2+1(2 x)−x2−1(2x )¿¿ ¿

b. .

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=d (senu)du

u= x+4x2−9

yddusenu=cosu

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=cos ( x+4x2−9 )( ddx ( x+4x2−9 ))

ddx ( x+4x2−9 )

ddx ( uv )=

vdudx

−u dvdx

v2

Siendo u=x+4→dudx

=1 y v=x2−9→dvdx

=2 x

ddx ( x+4x2−9 )= x

2−9 (1 )−( x+4 )2x(x2−9)2

=x2−9−2 x ( x+4 )

(x2−9)2

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=cos ( x+4x2−9 )( x

2−9−2x ( x+4 )(x2−9)2 )

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=

cos( x+4x2−9 )(x2−9−2x ( x+4 ))

(x2−9)2

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=

(x2−9−2 x ( x+4 ))cos ( x+4x2−9 )(x2−9)2

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=

−(x2−8 x+9)cos( x+4x2−9 )(x2−9)2

c. .

Para calcular un logaritmo:ddu

(¿u )=u ´u

Siendo

u=sen (x2 )+1u ´=2 xcos(x2)Entonces

ddx

¿

d. .

Regla del producto ddx

(uv )=v dudx

+u dvdx

Siendo

u= 1

√ x+1→u´= d

da ( 1√a ) dadx →a=x+1→a´=dadx=1→dda ( 1√a )= −1

2a32

∴→u´=dudx

= dda ( 1√a ) dadx= −1

2a32

= −1

2(x+1)32

v=x3+¿ (x2+1 ) v ´=dvdx

=3x2+ 2x

x2+1Entonces

ddx

(uv )=x3+¿ (x2+1 )( −1

2 ( x+1 )32 )+ 1

√x+1 (3 x2+ 2 xx2+1 )

ddx

(uv )= 1

√ x+1 (3 x2+ 2 x

x2+1 )−(x3+¿ (x2+1 ))( 1

2 (x+1 )32

)

ddx

(uv )=3 x2+ 2 x

x2+1√ x+1

−x3+¿ (x2+1 )

2 (x+1 )32

Por lo tanto

ddx

(uv )= ddx

(x3+¿ (x2+1 )

√ x+1)

ddx ( x

3+¿ (x2+1 )√x+1 )=

3 x2+ 2 x

x2+1√ x+1

−x3+¿ (x2+1 )

2 (x+1 )32

ddx ( x

3+¿ (x2+1 )√x+1 )=

x ( 2

x2+1+3x )

√x+1−x3+¿ (x2+1 )

2 ( x+1 )32

e. .

Regla de la sumad (u+v)dx

=dudx

+ dvdx

u=x3 e4 x dudx

=d ( fg)dx

=f dgdx

+g dfdx

Siendo f=x3→dfdx

=f ´=3x2g=e4 x→ dgdx

=g ´=4e4 x

dudx

=u ´=4 x3 e4x+3 x2e4 x

v=e2x cos x2 dvdx

=d (pq)dx

=p dqdx

+q dpdx

Por lo que

p=ex2

→dpdx

=p´=2 xex2

q=cos x2→dqdx

=q ´=−2 xsen x2

dvdx

=v ´=−2x ex2

sen x2+2x ex2

cos x2

Tenemosddx

(x3 e4x+ex2 cos x2 )=dudx

+ dvdx

ddx

(x3 e4x+ex2 cos x2 )=4 x3e4 x+3x2 e4x+2 xe x2 cos x2−2 xe x2 sen x2

ddx

(x3 e4x+ex2 cos x2 )=x (2ex2 (cos x2−sen x2 )+e4x x (4 x+3 ))

2. Demuestre dados se tiene que:

.

Primerosenh ( x+ y )=senh ( x+ y )

De esta identidad tenemos

senh ( x+ y )=senhxcoshy+coshxsenhy

Definiendo las funciones hiperbólicas

senha= ea−e−a

2cosha= e

a+e−a

2

Ahora sustituyendo a por x o por y queda en nuestra identidad lo siguiente

senh ( x+ y )=( e x−e−x2 )( e y+e− y2 )+( ex+e−x2 )( e y−e− y2 )Realizando operaciones correspondientes queda lo propuesto a demostrar

senh ( x+ y )=14(ex+ y−e−x+ y+e x− y−e−( x+ y)+e x+ y−e− x+ y−ex− y−e−(x+ y))

senh ( x+ y )=14(2 (e x+ y−e−(x+ y)))

senh ( x+ y )= ex+ y−e−(x + y)

2

senh ( x+ y )=senh ( x+ y )

3. Demuestre que dados con y se tiene que:

.

Definiendo por las formulas trigonométricas

tan (x+ y )= sen(x+ y )cos(x+ y )

= senx cosy+seny cosxcosx cosy−senx seny

Dividiendo numerador y denominador porcosx cosy

tan (x+ y )=

senx cosy+seny cosxcosx cosy

cosx cosy−senx senycosx cosy

=

senx cosycosx cosy

+ seny cosxcosx cosy

cosx cosycosx cosy

−senx senycosx cosy

Simplificando

tan (x+ y )=

senxcosx

+ senycosy

1−senx senycosx cosy

…… (1 )

Perosenxcosx

=tanx… (2 ) y senycosy

=tany….(3)

Sustituyendo(2 ) y (3 )en(1 )tenemos

tan (x+ y )= ta nx+ tany1−tanx tany

4. Calcular los siguientes límites:

a. .

Siendo una función indeterminada derivaremos por partes según la regla de L’Hopital

Tenemos que

limx→4

f (12+5 x−6 x2+x3 )g (8−6 x−3 x2+x3 )

limx→4

5−12 x+3x2

−6−6 x+3 x2

limx→4

5−12(4)+3(4)2

−6−6 (4)+3 (4)2= 518

b. .

Nuevamente es una función indeterminada por lo que seguiremos la regla de L’Hopital:

limx→1

f (−6+13x−7 x2−x3+x4 )g (20−31x+3 x2+7 x3+x4 )

limx→1

13−14 x−3 x2+4 x3

−31+6 x +21x2+4 x3

limx→1

13−14(1)−3(1)2+4 (1)3

−31+6 (1)+21(1)2+4 (1)3=00

Volvemos a derivar otra vez según la regla:

limx→1

13−14 x−3 x2+4 x3

−31+6 x +21x2+4 x3

limx→1

f (13−14 x−3 x2+4 x3 )g (−31+6 x +21x2+4 x3 )

limx→1

−14−6 x+12 x2

6+42 x+12x2

limx→1

−14−6 (1 )+12 (1 )2

6+42 (1 )+12 (1 )2=−215

5. Dada la función definida sobre el intervalo hallar el valor

que satisface .

f ( x )Es continua en [ –2,2 ] y derivable (−2,2 )

Si

f ( x )=x3−4 x

f (x )=3x2−4

Evaluando f (a) yf (b) respectivamente

f (a )=f (−2 )=−23−4 (−2 )=−8+8=0

f (b )=f (2 )=23−4 (2 )=8−8=0

Evaluando la derivada en x=c

f (x )=3x2−4

f (c )=3c2−4

Restando b−a=2−(−2 )=2+2=4

Ahora evaluando en la ecuación

f (b )−f (a )=f (c ) (b−a )

(3c¿¿2−4) (4 )=0¿

12c2−16=0

Resolviendo la ecuación queda

12c2=16

c2=1612

=43

c=√ 436. Demuestre que para cuales quiera se cumple:

.

Si α y β son dos ángulos de la forma

α=x+ y y β=x− y

Tenemos

α=12( x+ y ) y β=1

2(x− y )

Considerando la suma de senos

sen ( x+ y )=senx cosy+seny cosx…… (1 )

sen ( x− y )=senx cosy−seny cosx…… (2 )

Sumando (1) y (2) tenemos

sen ( x+ y )+sen ( x− y )=2 senx cosy

Sustituyendo los valores x+ y , x− y , x , y

senx+seny=2 sen 12

( x+ y ) cos 12(x− y)

Es decir

senx+seny=2 sen ( x+ y2 )cos ( x− y2 )7. Dada la función definida en hallar que satisface la

relación .

Si

f ( x )=x2−4 x→ f ( x )=2x−4

Evaluando f (a) y f (b)respectivamente

f (a )=f (1 )=12−4 (1 )=1−4=−3

f (b )=f (5 )=52−4 (5 )=25−20=5

Evaluamos derivada en x=c

f (x )=2x−4

f (c )=2c−4

Restando b−a=5−1=4

Evaluando la ecuaciónf (b )−f (a )=f (c ) (b−a )

f (5 )−f (1 )=f (c ) (5−1 )

5−(−3 )=2c−4 (4 )

5+3=8c−16

8=8c−168+16=8c

248

=c

Por lo tantoc=3

8. Demostrar las siguientes identidades:

Para todo .

Se cumple las identidades en 2 casos

Caso 1

Consideremos

cos2a=2cos2a−1

Siendo a=x2

Sustituyendo

cos2( x2 )=2cos2 x2−1cosx=2cos2 x

2−1

cos2x2=1+cosx

2

Es decir

cosx2=√ 1+cosx2

Caso 2

Consideremos

cos2a=1−2 sen2a

Siendo a=x2

Sustituyendo

cos2( x2 )=1−2 sen2 x2cosx=1−2 sen2 x

2

sen2x2=1−cosx

2

Es decir

senx2=√ 1−cosx2