1 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

Módulo 1 – Complexos e Sinusóides Sistema Multimédia

Ana Tomé José Vieira

Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática

Universidade de Aveiro

2 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

2

Números Complexos

Notação cartesiana z - ponto no plano

a – parte real b – parte imaginária

€

−1 = j = i

€

(a,b)⇒ z = a + jb = a + ib

3 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

3

Números Complexos

Notação polar

r - módulo φ – fase

Conversão cartesiana para polar

Conversão polar para

cartesiana

r = a2 + b2

ϕ = arctg( ba )

z = re jϕ

a = rcosϕb = rsinϕ

Fórmula de Euler

re jϕ = r cosϕ + j sinϕ( )

4 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

Operações com números complexos

Adiçãoz1 + z2 = (a1 + a2 )+ j(b1 + b2 )Produtoz1z2 = (r1r2 )e

j (φ1+φ2 )

Quocientez1z2= r1

r2e j (φ1−φ2 )

Raizes

zn = rn e jφ+2 kπ

n ,k = 0,1,...n−1

Perguntas: 1.  Adição em notação polar

é possível? 2.  Produto em notação

cartesiana? 3.  Quociente em notação

cartesiana? 4.  Qual é o lugar geométrico

das raízes do número complexo?

5 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Sinusóide 2Hz

Sinais Sinusoidais

Período

Am

plitu

de

6 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

Sinais Sinusoidais

•  Um sinal sinusoidal pode ser representado pela equação

•  Em que –  A – amplitude –  f =1/T– frequência em Hertz –  T – Período –  ω – frequência em rad/seg. –  t – tempo –  ϕ – fase

x(t) = Acos(2π ft +ϕ ) = Acos(ωt +ϕ )

7 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

Sinais Sinusoidais

Grave – 200Hz

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Sinusóide 200Hz

Agudo – 2000Hz

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Sinusóide 2000Hz

7

8 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

Sinais Sinusoidais

•  A importância das sinusóides resulta do facto de muitos sinais do mundo real poderem ser representados de forma muito aproximada por uma sinusóide ou uma soma de sinusóides. Exemplos sonoros: –  Instrumentos musicais – Diapasão – Assobio

9 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

Atraso de fase

Atraso Temporal e Atraso de Fase

•  Atraso temporal de T segundos de um sinal s(t)

•  No caso de s(t) ser uma sinusóide temos s(t) = cos(2π ft)

s(t −T ) = cos(2π f (t −T )) = cos(2π ft − 2π fT )

t

s(t)

T

s(t-T)

10 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

Sinais Peródicos

•  Um sinal diz-se periódico se satisfazer a condição

•  A sinusóide é um sinal periódico porque cumpre esta condição

x(t) = x(t −T )

cos(2π ft) = cos(2π f (t −T )) =cos(2π ft − 2π fT ) = cos(2π ft)

11 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

Representação Exponencial

•  A representação exponencial de sinusóides é definida por

•  E permite simplificar algumas operações de manipulação de sinusóides

x(t) =ℜ Ae j (ωt+ϕ ){ }= Acos(ωt +ϕ )

12 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

•  Considere-se a soma de duas sinusóides com a mesma frequência ω0

•  Colocando em evidência a exponencial dependente de t

Soma de Sinusóides com a Mesma Frequência – Fasores

Acos(ω0t +α)+Bcos(ω0t +β) =ℜ{Aej (ω0t+α ) +Be j (ω0t+β )}

ℜ e jω0t Ae jα +Be jβ( ){ }=ℜ e jω0tCe jϕ{ }=ℜ Ce j (ω0t+ϕ ){ }=C cos(ω0t +ϕ )

13 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

Soma de Sinusóides com a Mesma Frequência – Fasores

•  Conclui-se assim que a soma de duas sinusóides com a mesma frequência ω0 resulta numa sinusóide de frequência ω0 com amplitude e fase dependentes das amplitudes e fases das sinusóides originais.

2cos(ω0t + π4 )+ 2cos(ω0t + π

2 )

22 πje

ℜ

ℑ

42 πje

14 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

)cos(2)cos(2 24ππ +++ wtwt

Soma de Sinusóides com a Mesma Frequência – Fasores

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2!4

!3

!2

!1

0

1

2

3

4

t [seg.]

Sinusóide 2Hz

s1

s2

s1+s

2

15 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

Somar Sinusóides Múltiplas de uma Fundamental

Somar sinusóides frequência

x(t) = Ak cos(2πkfot +ϕk )k=0

N

∑

fo- frequência fundamental kfo- harmónico k

x(t) = x(t +To ),To =1/ fo

O sinal x(t) é periódico

16 Módulo 1 – parte I de Sistemas Multimédia

Bibliografia

•  James H. McClellan, "Signal Processing First", Prentice Hall, 2003. (Capítulo 2)

•  Signal Processing First Website: http://www.ieeta.pt/dspfirst/contents/index.htm

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