Fourier sorok, a Fourier integrál és a Laplace transzformáció

1. Fourier sorok

1.1. Ortogonális függvények és függvény sorok A legismertebb ortogonális függvény rendszer az un. trigonometrikus rendszer:

1 2 2 3 3, cos , sin , cos , sin , cos , sin ,.....,cos , sin ,.....x x x x x x nx nx

Az alapintervallum bármely 2π intervallum lehet ( -π,+π) vagy (0, 2π) tekintettel a függvények 2π szerinti periodikus voltára. Ortogonálisnak nevezzük a függvény rendszert akkor, ha tetszés szerinti két elemét összeszorozva és ezt a szorzat függvényt egy 2π hosszúságú intervallumon integrálva zérust kapunk eredményül. Legyen a függvényrendszer két eleme:

né s m

ϕ ϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mn mn mna

ax x dx x x dx x x dx ha n mϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

π

π

π π. ,

. . .

0

2 20∫ = ∫ = ∫ = ≠

−

+ +

Az ortogonalitás (merőlegesség) analógiát mutat a merőleges vektorok skaláris szorzatával. A szorzat eltünése, a két vektor merőlegességének a feltétele. Ha a

nϕ ortogonális rendszer, akkor elemeinek valamely konstans együtthatós lineáris

kombinációját ortogonális sornak nevezzük.

n mC C1 2ϕ ϕ+ +.....

A trigonometrikus rendszer azonban nem normált, mert:

1 2 1222⋅

−

+⋅

−

+

⋅−

+= =∫ = ∫ = ∫dx nx dx nx dx n

π

ππ

π

π

π

ππ, ,cos sin , ,....

A megfelelő normált rendszer:

12

1 2 2 3 3π π π π π π π π π

,cos

,sin

,cos

,sin

,cos

,sin

,....cos

,sin

,.....x x x x x x nx nx

1.2. Fourier sorok

1.2.1. A Fourier sor trigonometrikus alakja

Tétel (FOURIER): minden f(t)=f(t±T) periodikus függvény előállítható a T hez tartozó f=1/T frekvencia vagy az ω=2π/T körfrekvencia, úgynevezett alapharmonikus egésszámú többszöröseinek lineáris kombinációjaként (szuperpoziciójaként). Az ilyen módon tõrténõ függvény elõállítást Fourier sornak nevezzük.

f t A A t A t A t B t B t B t( ) cos cos cos ... sin sin sin ....= + + + + + + =+ +0 1 2 3 1 2 32 3 2 3ω ω ω ω ω ω

( )= + +=

∞

∑01

A A k t B k tk kk

cos sinω ω

A Fourier sor együtthatói ( az kA -k és kB -k ) a következők szerint határozhatók meg:

( )k

T

T

AT

f t k tdt k= =−

+

∫212 3

12

12

1cos , , ,...ω

( )k

T

T

BT

f t k tdt k= =−

+

∫212 3

12

12

1sin , , ,...ω

( )01

2

2

AT

f t dtT

T

=−

+

∫

1.2.2. Állítás: 1.

ka

aa kx nxdx ha k ncos cos ,

.⋅ =∫ ≠

+0

2π

2. k

a

aa kx nxdx ez dígsin cos , min !

.⋅ =∫

+0

2π

1.2.3. Tétel: Ha az f(x) a (-π,+π) intervallumon integrálható, és:

( ) ( )f x dx f x nxdx n=∫ =∫ =−

+

−

+0 0 12, cos , , ,...

. .

π

π

π

π

akkor majdnem mindenütt f(x)=0. És a következő esetben szintén majdnem mindenütt f(x)=0.

( ) ( )f x dx f x nxdx n=∫ =∫ =−

+

−

+0 0 12, sin , , ,...

. .

π

π

π

π

Továbbá:

( )f x nxdx a nxdx a nxdx a nn n ncos cos cos

, , , ,......

= = +=∫∫∫ =

−

+

−

+

−

+ 2 1 22 12π

π

π

π

π

π

π

Ezt képzeljük el úgy mintha az f(x) függvényből a koszinuszos jel mintát venne, mégpedig az nx frekvencián, azaz az alapharmonikus x-nek az n-edik felhangjával, ahogyan ezt szokás mondani n-ik harmonikusával. Ha az eredeti f(x) tartalmazza ezt a frekvenciát, mégpedig koszinuszos jelként, akkor az integrál már nem lehet zérus. Ha viszont az f(x) nem tartalmazza ezt a harmonikust, annak koszinuszos függvényét, akkot maga az an

is zérus. A pektrális képből az n. vonal hiányozni fog, ha a szinuszos összetevőre is zérust adna az integrál (ezt késöbb mutatjuk). Ez a valóságban úgy jelentkene, ha az f(x) éppen egy zenedarab időbeli lefutási függvénye, akkor a Fourier sorban az n. spektrumvonal hiánya azt jelenti, hogy nx frekvenciájú hang nem szolal meg a zenében. Ha van benne ilyen frekvenciájú hang, akkor a Fourier sorban az an vagy bn , de legalább az egyik nem nulla. Eből következik, hogy:

( )na

aa f x nxdx= ⋅∫

+1 2

ππ

cos.

Hasonlóan :

( )f x nxdx b nxdx b nxdx b nn n nsin sin cos

, , , ,......

= = −=∫∫∫ =

−

+

−

+

−

+ 2 1 22 12π

π

π

π

π

π

π

( )na

ab f x nxdx= ⋅∫

+1 2

ππ

sin.

Tehát, az f(x) jelet megvizsgáljuk n=1,2,3,... és így tovább, minden szóbajöhető harmonikusra. Ha valamely n-re az an vagy bn is zérusra jön ki, akkor a jel spektruma azt az n. harmonikust (felhangot) biztosan nem is tartalmazza. Ellenkező esetben igen. És

( ) ( )0

2

212

12a f x dx

Ta

af x dx

T

T

= ∫ ∫=+

−

+

π

π.

az eredeti f(x) jel egyenáramú komponensét adja. Megjegyzés: A magyarázó részben kisbetűvel jelölt an és bn azonos a Fourier tételnél nagybetűvel jelölölt együtthatókkal (ott: Ak és Bk ként szerepel). A szögfüggvények argumentumában szereplő kωt, az időben változó jelekre szokás alkalmazni, így mivel mi ezekkel foglalkozunk az eredeti tételben ezt alkalmaztuk. Az általánosabb értelmezés az nx argumentummal jelöltük, a magyarázó részben. Ez azért általánosabb mert az x lehet egyenlő az ωt-vel is, de lehet egy tér kordináta menti változás is.

Igy ez az általánosabb ( pl. a térképészetben is használják a Fourier sorokat, ahol nem rezgési frekvenciát jelent az nx, hanem valamely térkordináta irányában pl egy domborzati periodicitást).

1.2.4. A Fourier sor komplex alakja :

A Fourier sor képletében a szinusz és a koszinusz helyére azok exponenciális alakját írva:

( )f t Ae e

Be e

jk

jk t jk t jk t jk t

k=

++

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− −∞

∑1 1

2 2

1 1

0

ω ω ω ω

majd, elemi átalakítások után

( )f tA j B

eA j B

ek k jk t k k jk t

k=

++

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−

=

∞

∑ 2 21 1

0

ω ω

Legyen:

k kk

A j BC

+= −2

és k kk

A j BC

−=

2

Ekkor:

( )f t C ekjk t

k=

=−∞

∞

∑ 1ω

( ) ( )kjk t jk tC

Tf t e dt f t e dt

T

T

T

T

= =−

+−

−

+−∫ ∫1

22

2

1

2

2

11ω ωωπ

Periodikus jeleknek vonalas színképe van ( kC .....--k),

1.2.5. Állítás

1. Ha az f(x) páros függvény, azaz f(x)= f(-x), és periodikus 2π-en, akkor az

( )f x nx n⋅ =cos , , ....12 3

is páros függvény ( szimmetrikus az y tengelyre) 2. Ha az f(x) páratlan függvény, azaz f(x)=- f(-x), és periodikus 2π-en, akkor az

( )f x nx n⋅ =sin , , ,...12 3

is páratlan függvény ( szimmetrikus az origóra, azaz f(x)=- f(-x)) Fenti tulajdonságok miatt, ha az f(x) páros függvény, akkor az azt közelítő Fourier sor is csak koszinuszos tagokból fog állni, azaz csak az an -eket kell kiszámítani a bn -ek mindegyike zérus lesz. És a második esetre, mikor az f(x) függvény páratla, csak a bn -ek lesznek értékesek, az an -ek mindegyike zérus lesz. Tehát a páratlan függvény Fourier sora csak szinuszos tagokat fog tartalmazni.

1.2.6. Tétel: ha az f(x) függvénynek az sn függvénysor a közelítése, akkor a

( )( )⋅+

= −∫2 22δ

πf x s dxn

a

a.

átlagos négyzetes eltérés akkor minimális, ha az an és bn együtthatók az f(x) függvény Fourier sorának együtthatói.

1.3. Példák Fourier sorokra

1.3.1. Példa páros függvényre: Legyen f(x) az y tengelyre szimmetrikus impulzus függvény.

( )f x

ha x

ha x

ha x=

− ≤ ≤ −

− ≤ ≤

≤ ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎪⎪

0

12 2

02

ha x = ±⎩⎪ ⎭⎪

12 2

π ππ π

ππ

π

−π ππ

−2

π2

( )f x

x

Az f(x) páros mert az f(x)= f(-x), így csak az an -eket kell meghatározni.

( ) ( ) [ ] ( )na

a ha n k

nha n ka f x nxdx f x nxdx

nnx k= ⋅ = ⋅ =∫∫

−+

==

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

1 2 210

20

22 0 22

2π π ππ

ππ

πcos cos sin

.

Ebből:

( )f x xx x x

= + − + − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

2 33

55

77π

coscos cos cos

....

1.3.2. Példa páratlan függvényre: Legyen:

( )

( )

f x

ha xha x

ha x k

f x

=

− ≤ ≤< <

=

+

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

0 01 0

12

2

ππ

π

π

.

−π ππ

−2

π2

( )f x

x

( )0

2

2

2

21 1 1 1a f x dx dx= ∫ ∫−

+

−

+

= =π ππ

π

π

π

( )n n rea f x nxdxnx

n= ⋅∫

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= =1

0

1

0

0π

π

π∀ −

π

cossin

( )nb f x nxdx nxdxnx

nn

n n= ⋅ = ⋅ =⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= − +

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∫∫1 1

11 1

000π π π ππ 1πππ

sin sinsin cos..

( )[ ]nnb n

= + − +11 1 1

π

Ebből következik, ha n páros, akkor a bn -ek zérusok. Igy a függvény Fourier sora:

( )f x xx x x

= + + + + + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

2 33

55

77π

sinsin sin sin

....

Most legyen:

( )

( )

f x

ha xx

ha x

f x

=

=−

< <

+

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

0 0

20 2

2

ππ

π

.

−π ππ−

2

π2

( )f x

x2π 4π−2π

Mivel a függvény páratlan, Fourier sora tiszta szinuszos tagokból fog állni. Ezért:

( ) [ ]nx nx

nnx

nb f x nxdx xnxdx dx= ⋅ =

−⋅ =∫∫ ∫ =− − −

1 120

2

0

2 1

0

2

21 1

20

2

π ππππ

π

ππ

π

πsin sin

..cos cos

[ ]12 2

12

1

0

2

ππ π

π

π

n n nnx

n n+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − =sin

Az integrálásnál alkalmaztuk a parciális integrálás technikai szabályát. Tehát: f(x)=...

( )f x xx x x x

kk= + + + + + =

=

kx∞

∑sinsin sin sin sin

...sin2

23

34

45

5

2. Fourier transzformáció

Ha a jel nem periodikus, a periodus időt nyújtva, végtelen periódusúnak véve azt:

lim TT →∞

( ) ( ) ( )[ ]f t a t b t d= +∞

∫ ω ω ω ωcos sin0

ω

Az és amplitúdó sűrűségfüggvény, hasonlóan a Fourier sor együtthatóihoz. ( )a ω ( )b ω

( ) ( )a f tωπ

ω= tdt−∞

+∞

∫1cos

( ) ( )b f tωπ

ω= tdt−∞

+∞

∫1sin

Ebben az esetben végtelen periódusra vonatkozó Fourier sor egy végtelen határú integrálba megy át. Ezt az integrált Fourier transzformáltnak nevezzük és az un.Fourier integrállal állítjuk elő.

( ){ } ( ) ( )F f t F f t e dtj t= =−∞

+∞−∫ω ω komplex spektrum (amplitúdó sűrűség függvény)

A transzformáció inverziója, a visszatranszformálás:

( ) ( ){ } ( ) ( )−

−∞

+∞

−∞

+∞

= ∫ ∫= =1 1

2f t F F f e df F e dF j t j tωπ

ω ωω ω

3. A Laplace transzformáció

Definíció p j= +σ ω komplex frekvencia

ekkor az f(t) függvény Laplace transzformáltja:

( ) ( ){ } ( )F p L f t f t dtpte= =∞

−∫0

A transzformáció megfordítása, azaz az inverztranszformáció:

( ) ( ){ } ( )f t F pj

F p dp tL ej

jpt= =−

− ∞

≥+ ∞

∫1 12

0π σ

σ

,

A p változót, a komplex frekvenciát operátorként is kezelhetjük. Az állandó együtthatós lineáris időinvariáns rendszerek leírásánál és számításánál gyakran alkalmazzuk.

A Fourier transzformáció és a Laplace transzformáció alakilag, formailag nagyon hasonló. Csupán a transzformáció változójában különböznek, míg a Fourier csak a frekvencia tengely menti viselkedést tárja fel, addig a Laplace transzformáció a komplex frekvencia (p= σ+jω) menti viselkedést adja meg. Ez természetesen adja a frekvencia tengelyen való viselkedést is, és azon túl a rendszer csillapítására, annak stabilitására vonatkozó információval is szolgál. Ez utóbbit a σ függvényében való viselkedésként jelllemezi. Az elmondottak miatt az alkalmazásban ezt figyelembe kell venni. Ha állandósult (stacionrt) jelek vagy rendszerek vizsgálatát szeretnénk elvégezni, elegendő a Fourier sor, vagy transzformáltat alkalmazni. De ha egy villamos motor bekapcsolási jelenségét, egy földrengést, egy ütés, vagy koppanás jelét szeretnénk megvizsgálni, akkor már a Laplace transzformáció alkalmazása indokolt, sőt szükséges is.

3.1. A Laplace transzformáció szabályai

( ) ( )f tL

F p⎯ →⎯

{ }Lp

11

= hasonlóan

( ){ }L t dt dtpt

p t p p p t p ppt pt

t

tpt p

pte ee e e e1 1

1 1

0 00

0

= = =−

−=

→ ∞ −−−

= −→ ∞

+ =−∞ ∞

=

1=∞

− −−∫ ∫

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥lim lim

[ ]L

d tdt

pp

1 11

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= =

( ){ } ( )L t t tδ = =

=−1 1 0

0

{ }L atp

p acos =

+2 2

{ }L ata

p asin =

+2 2

{ }L shata

p a=

−2 2

{ }L chatp

p a=

−2 2

( ){ } ( )L tf t

dF pdp

= −

( ) ( ) ( )Ldf t

dtpF p f

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= − 0 ahol f(0) kezdeti érték

( )( )

L f t dtF p

p

t

0∫⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

( ){ } ( )( )L f tF p

d ptd2

2

2=

Tehát a deriválás p-vel való szorzást, míg az integrálás, p-vel való osztást jelent operátoros tartományban, a Laplace transzformáltak világában.

3.1.1. Eltolási tétel Az időtartománybeli eltolás ( az idő tengelyen való eltolódás) a transzformált függvény csillapításaként jelentkezik:

( ){ } ( )L ef t a F ppa− = −

3.1.2. Csillapitási tétel

Az időtartománybeli csillapítás a transzformáltak világában a p komplex frekvencia eltolásaként jelentkezik:

( ){ } ( )L ate f t F p a= −

3.1.3. Konvolució:

Két időtartománybeli függvény konvoluciójának Laplace transzformáltja, a két függvény transzformáltjainak szorzatába megy át.

( ) { } ( )f g f t g dt

∗ = −∫ τ τ τ0

{ } ( ) ( )L f g F p G p∗ =

4. Példák:

Legyen: ( )f t te= 5

{ } ( )( )

( )( )

( )( )

( )L dt dtp t

p pt pt t p t

t

t

t

p t p

e e e ee

pe e5

0

5 5

0

0

5 55

5 55= = =

− −=

− −−− −

=−∞

− −∞

=

0

=∞

→

− − − −

∫ ∫− −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

.lim

( )= −−

+−

=−→∞

−

15

1 15

155p pt

p telim p

mivel t pe→∞ −

→⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

lim1

50

Tehát { }Lp

te5 15

=−

4.1. Differenciálegyenletek megoldása

Diff.egyenletek

akadályok

idõ tartomány

komplex frekvencia tart.

t

p

lineáris egyenletek

algebraiegy. megoldásTranszformálás

Visszatranszformálás

megoldás p-ben

megoldás t-beneredmény

Például oldjuk meg ,y ey x+ =3 5

( )y 0 = 4kezdeti feltétel

{ } { } { } { }L y y e L y L y L ex x, ,,+ = = + =3 35 5

{ } ( ) ( )L y pY p y, = − 0

( ) ( )Y p y Yp

− + =−

0 31

5

( )( )Y p pp

+ = +−

3 41

5

( ) ( ) ( )( )Y pp p p

=+

++ −

43

13 5

algebrai egyenlet!

Résztörtekre bontás Tagonkénti vissza transzformálást alkalmazva:

( ){ }− −= + + − − + −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=1 1 4

318

15

18

13 5L LY p p p p p( )( )

( )= + − = +− − −418

18

18

313 5 3 3t t t te e e e e5t

t=0-nál ellenőrzés, y=4!

PL.: ( ){ } ( )L tf tddp

F p= − -re

{ }

( ) ( )L t tddp p

p

p

p

psin 3

39

0 3 2

9

6

92 22 22

= − ⋅+

= −− ⋅

=+ +

{ }( ) ( )( ) ( )L t ch t

ddp

pp

p p p

p

p p

p⋅ = − ⋅

−= −

⋅ − −

−=

− +

−5

251 25 2

25

2 2

252

2

22

2 2

22

5

( )( )1

5 3 5 3p pA

pB

p− +=

−+

+

( ) ( )1 3= − + −A p B p 5

p = −3 ( )1 0 3 5= ⋅ + − −A B

B = −18

ha p = 5 ( )1 5 3= +A

A =18

( )Y p p p p p= + + − − + −4

318

15

18

13 5( )( )

4.1.1. Példák eltolási tételekre (Csillapitási tételek)

{ }( )L te t

p

p3

253

3 2cos =

5

−

− +

{ }L tp

pcos 5

252=+

{ }( )L te t

p− ⋅ =

+7 2

3

2

7

( )L te sh

t

p−⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭=

− −7

3

1322 1

9

L sht

p3

13

2 19

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

−

{ }L ch tp

p8

642=−

{ }( )L te ch t

p

p− ⋅ =

+

+ −6

286

6 64

( )L Ltt

te ch tdt esh t

p− −⋅

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

+ −∫2

0

223

33

3

2 9

{ }L tp

23

2=

!

{ }L nnt

np

= +

!1

4.1.2. Visszatranszformálási gyakorlatok

1., ( )( )

Y pp

=+ −

1

7 42

−

⎯ →⎯⎯1L ( )y t sh tte= −1

227

2., ( )( )

Y pp

=+ +

6

5 92

−

⎯ →⎯⎯1L ( )y t tte= −2 35 sin

3., ( )( )

Y pp

=−

5

23

−

⎯ →⎯⎯1L ( )y t te t= 5

12

2 2

4., ( )Y pp

pp=

− +

3

5 62

( )( ) ( ) ( )

Y pp

p

p

p

p

p=

− − +=

− −=

− +

− −=

3

52

254

6

3

52

14

35

25

2

52

14

2 2 2

( ) ( )=

−

− −+

− −=3

52

52

14

152

1

52

14

2 2

p

p p

−

⎯ →⎯⎯1L ( )y t ch t sh t ch t sh tt t te e e e= + = +3

12

2152

12

312

1512

52

52

52

52t

5., ( )( )

Y pp p p

=− +

=− −

86 4

85

5

3 52 2

−

⎯ →⎯⎯1L ( )y t sh tte=

85

53

6., ( )( )

Y pp

p=

−2

3

( ) ( ) ( )Ldf t

dtpF p f

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= − 0 ha f(0)=0, akkor:

( ) ( )Ldf t

dtpF p

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

−

⎯ →⎯⎯1L ( ) ( ) ( )

' ,

y t e e e et t t tt t t= = + = +3 1 3 1 33 3 3

7., ( )( )

Y pp p

=+

3

92 ( ) ( )L f t dt

pF p

0

1τ

∫⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

−

⎯ →⎯⎯1L

( ) [ ] ( )f t dt tdtt

t tt t

t

t

0 0 0

33

313

313

13

1 3τ τ

∫ ∫ −= = = − + = −=

sincos

cos cos