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ESCOAMENTO EM TORNO DE UM CILINDRO INFINITO
Mecânica dos Fluidos II
Professores:
Francisco Ricardo CunhaGustavo Coelho Abade
Monitora:
Vanessa Oliveira
Alunos:
Bruno Barbo Colangelo Viegas 10/0094856Bruno de Mello Tavares Lima 07/30645
UnB - Faculdade de Tecnologia Dep. de Engenharia MecânicaMecânica dos Fluidos II Prof. Ricardo Francisco da CunhaExperimento: Calibração do Túnel de Vento
SUMÁRIO
SUMÁRIO.....................................................................................................................1
1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...................................................................................2
1.1 COEFICIENTE DE ARRASTO..................................................................................2
Figura 1 – Visualização de escoamento em torno de um cilindro......................2
1.2COEFICIENTE DE PRESSÃO...................................................................................3
1.3 ESCOAMENTO TURBULENTO..............................................................................5
Figura 2 – Visualização de escoamentos em diversos número de Reynolds......5
1.4 DESLOCAMENTO DA CAMADA LIMITE................................................................6
Figura 3 - Fotos do descolamento da camada limite. Na primeira o descolamento é bem cedo, enquanto na segunda, tardio caracterizando a crise do arrasto....................................................................................................6
2. OBJETIVOS................................................................................................................7
3. METODOLOGIA........................................................................................................8
3.1 APARATO EXPERIMENTAL..................................................................................8
3.2 PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS....................................................................8
4. RESULTADOS............................................................................................................9
4.1 ANÁLISE DO Cp EM FUNÇÃO DA VARIAÇÃO DO ÂNGULO θ...............................9
Gráfico1 – Valores do Cp teórico e experimental..............................................9
4.2 CÁLCULO DO Cd.................................................................................................9
4.3 CÁLCULO DA FORÇA DE ARRASTO....................................................................10
5.CONCLUSÃO............................................................................................................11
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UnB - Faculdade de Tecnologia Dep. de Engenharia MecânicaMecânica dos Fluidos II Prof. Ricardo Francisco da CunhaExperimento: Calibração do Túnel de Vento
1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
1.1 COEFICIENTE DE ARRASTO
Estudar o escoamento em um cilindro infinito pode ser feito através da análise do mesmo fluido escoando de forma bidimensional, observando-se assim um plano de escoamento. Esta forma de observação do fenômeno desconsidera o efeito das extremidades de um cilindro, e para que isto seja possível, a região de passagem do fluido no túnel de vento se limita ao corpo do cilindro, não encontrando a extremidade em seu caminho.
Figura 1 – Visualização de escoamento em torno de um cilindro
Para corpos rombudos, o coeficiente de arrasto é determinado por:
CD=FD
12ρU ∞
2 A
Sendo o arrasto apenas a parte da força que atua na mesma direção do movimento do fluido, ou seja, de forma contrária a progressão do corpo.
Onde: CD é o coeficiente de arrasto;
A é a área projetada na direção normal ao escoamento;
U∞é a velocidade no infinito do escoamento não perturbado;
ρ é a massa específica do fluido em estudo;
FD é a força de arrasto.
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Para qualquer região do escoamento, se limitando a superfície nas vizinhanças do cilindro, o coeficiente de pressão é dado por:
CD=p−p∞
12× ρ×U∞
2=1−( uU∞ )
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pé a pressão estática do ponto em questão.
p∞é a pressão estática do escoamento não perturbado.
u é a velocidade local do ponto em questão.
Pela teoria potencial, o coeficiente de pressão, em torno de um cilindro é definido como:
C p=1−4 ∙ sen ²θ
Obs.: Enfatiza-se que C p tem valor 1 em pontos de estagnação.
Partindo-se destas equações, podemos observar que a integração do coeficiente de pressão em função da abertura (180º) revelará o efeito de uma força total, como coeficiente de arrasto:
Cd=∫0
π
C p ∙ cosθ ∙dθ
1.2COEFICIENTE DE PRESSÃO
Outro coeficiente determinante do escoamento em torno do cilindro é o coeficiente de pressão. Através do uso deste, podemos encontrar o coeficiente de arrasto, como foi explicitado acima. A obtenção deste coeficiente vem da equação de Bernoulli adimensional, que por sua vez pode ser obtida pelo campo de velocidade, originário da teoria potencial para escoamentos.
A superposição de dois escoamentos é utilizada para se demonstrar o escoamento através deste cilindro, na qual se superpõe um escoamento uniforme e um dipolo. Assim, temos:
Ψ (r ,θ )=Ψ dipolo+Ψ uniforme
Ou seja:
Ψ (r ,θ )=U ∙r ∙ senθ−m∙ senθ2πr
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Para o valor 0 da função de corrente, característica da superfície do cilindro:
0=U ∙a∙ senθ−m ∙senθ2πa
Além da solução trivial senθ=0, implicando θ=0 ou θ=π , temos m=2 ∙ π ∙U ∙a2. Substituindo o valor de m na equação, tem-se:
Ψ (r ,θ )=U ∙senθ ∙(r−a2
r)
Por Cauchy-Riemann:
ur=1r∂Ψ∂θ
euθ=−∂Ψ∂r
Resolvendo-se essas equações diferenciais ordinárias, tem-se:
ur=U∞ cosθ [1−( ar )2]euθ=−U∞ senθ[1+( ar )
2]Na superfície do cilindro percebe-se que a velocidade radial é nula (sólido impenetrável),
enquanto que a tangencial vale uθ=−2∙U ∙ senθ. Tornar a equação de Bernoulli adimensional leva à definição do coeficiente de pressão, sendo assim tem-se:
C p=P−P∞
12ρU ∞ ²
=1−(uθU ∞
) ²
Substituindo o valor de uθ na equação tem-se:
C p=1−(−2U ∞ senθU ∞
)2
C p=1−4 sen ²θ
Desta forma, nota-se que tanto o C pquanto o Cdsão utilizados para caracterizar o escoamento ao redor de um determinado corpo.
1.3 ESCOAMENTO TURBULENTO
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De acordo com a velocidade, viscosidade, densidade e o tamanho de um obstáculo encontrado por um fluido, pode-se caracterizar a turbulência no escoamento deste. Caso isso aconteça, surgem variações caóticas de velocidade, em seu sentido, direção e/ou módulo. No entanto, esta turbulência pode ser prevista, e este dado é representado pelo número de Reynolds:
ℜ= ᵨ×dµ
Em que d é o diâmetro do cilindro em torno do qual o fluido escoa. Quando o valor desta equação supera 2300 (aproximadamente) inicia-se a turbulência; esta função é relacionada diretamente com a velocidade e inversamente com a viscosidade (observado na equação).
Abaixo temos a ilustração do efeito da velocidade no escoamento (de acordo com o número de Reynolds). De “a” a “e” o valor da velocidade está aumentando. Nas figuras “a – c” o número de Reynolds é menor que 2000, na figura “d” é aproximadamente 104, e na figura “e” é acima de 105. As primeiras duas figuras mostram o escoamento laminar em pequenas velocidades. Em “a”, a situação idealizada, não haveria diferença de pressão entre o “pré e pós” cilindro (arrasto tendendo a 0 ).
Figura 2 – Visualização de escoamentos em diversos número de Reynolds
Obs.: Como a equação de Bernoulli é determinada para conservação de energia, pelo desordenamento da inclusão de energia através da turbulência, esta não é aplicável.
1.4 DESLOCAMENTO DA CAMADA LIMITE
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Para o escoamento em torno do cilindro, percebe-se que há sempre um descolamento da camada limite, causado pelos gradientes de pressão adversos, que se torna mais tardio a cada vez que o valor de Reynolds aumenta, após superar 3x105. A decorrência desse atraso é dada pelo aumento dos efeitos inerciais diretamente associados com o número de Reynolds.
O que ocorre é uma transição de escoamento laminar para turbulento, da camada limite, aumentando a energia dessa e permitindo com que resista aos efeitos dos gradientes adversos e garantindo um descolamente tardio.
Dessa mudança decorre uma elevação do arrasto viscoso, no entanto também se observa uma redução (em maior importância) do arrasto de forma, e assim, o arrasto total é diminuído, e torna vantajosa essa situação. Desta forma, uma camada rugosa associada a um número de Reynolds suficientemente alto pode favorecer uma redução significativa do arrasto (bolas de golfe).
Figura 3 - Fotos do descolamento da camada limite. Na primeira o descolamento é bem cedo, enquanto na segunda, tardio caracterizando a crise do arrasto
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2. OBJETIVOS
i) Encontrar a distribuição do coeficiente de pressão em torno do cilindro, medindo-se a diferença entre a pressão estática na superfície do cilindro e a pressão estática do escoamento não perturbado. Deve-se medir também a pressão dinâmica do escoamento não perturbado e determinar o coeficiente de arrasto de forma ou inercial do cilindro devido às tensões normais de compressão(distribuição de pressão na superfície do cilindro).
ii) Medir a força de arrasto num cilindro infinito por meio de uma análise integral de volume de controle com base nos perfis de velocidade e pressão a montante e a jusante do cilindro.
iii) Comparar a distribuição dos coeficientes de pressão teórico e experimental na superfície do cilindro.
iv) Comparar os valores dos coeficientes de arrasto obtidos por meio da distribuição de pressão na superfície do cilindro e da força de arrasto calculada com base na análise de volume de controle.
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3. METODOLOGIA
3.1 APARATO EXPERIMENTAL
Túnel de vento Plint&Partners LTD Engineers com seção de testes de 460mm x 460mm, ventilador centrífugo e motor elétrico com potência de 22KW equipado com inversor de freqüência
Manômetro digital Validyne
Balança de três componentes da marca Plint&Partners LTD Engineers
Equipamento Vishay com mostrador
Um cilindro liso de 0,075m de diâmetro e 460mm de comprimento
3.2 PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
Para o número de Reynolds em questão (o experimento só foi realizado com um número de Reynolds), seguir o seguinte procedimento:
Conectar o manômetro digital à tomada de pressão estática do cilindro e à tomada de pressão estática do escoamento não perturbado à montante do cilindro.
Conectar outro manômetro ao tubo de pitot para medir a pressão dinâmica do escoamento.
Ligar o túnel de vento e posicionar o furo de tomada de pressão estática de tal maneira que se tenha o máximo valor indicado no manômetro. Então regula-se o transferidor da balança de tal forma que indique que o furo esteja a zero graus. A partir daí, fixa-se o transferidor e então anota-se o valor indicado no manômetro a cada incremento de ângulo até chegar a °180 (adota-se um incremento de 10°).
Para medição da força de arrasto com base na análise integral de volume de controle serão medidas as pressões dinâmica e estática à montante e à jusante do cilindro e através da aplicação do teorema do transporte de Reynolds em conjunto com a segunda lei de Newton a força de arrasto sobre o cilindro será determinada.
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4. RESULTADOS
4.1 ANÁLISE DO C p EM FUNÇÃO DA VARIAÇÃO DO ÂNGULO θ
Variou-se o ângulo teta de 0 a 180 graus e através da equação CP=1−4 sin θ2 foram
calculados os C p’s teóricos correspondentes, chegando-se ao seguinte gráfico:
Gráfico1 – Valores do C p teórico e experimental
4.2 CÁLCULO DO Cd
Utilizando-se de métodos de integração numérica, obtem-se o respectivo valor de Cd:
Cd=1,1345
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4.3 CÁLCULO DA FORÇA DE ARRASTO
Pode-se determinar a força de arrasto pela análise do volume de controle utilizando a fórmula abaixo após o cálculo de Cd pelo uso de métodos numéricos.
Fd=Cd ∙ρ ∙U∞ ∙2 ∙ A
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Com Cd=1,1345, a área A representada pela projeção do cilindro no plano perpendicular ao escoamento, e U∞ a velocidade não perturbada do escoamento livre, temos que:
Fd=1 ,04 N
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5.CONCLUSÃO
Podemos observar que a concentração da vorticidade na camada limite, sujeita tanto a difusão quanto convecção (causadas pela viscosidade e forças inerciais respectivamente), permite que um aumento no número de Reynolds eleva os fatores inerciais, causando um descolamento retardado da camada limite.
Percebemos então o descolamento da camada limite, o que difere o formato do escoamento do formato esperado (teórico). Isto se dá a não previsão da teoria potencial de que há um descolamento da camada limite, portanto, ao contrário da previsão teórica, não há recuperação total do coeficiente de pressão.
O experimento teve boa validade para observação do descolamento da camada limite, visto que a teoria potencial (válida para pequenos ângulos de ataque) não previa o fácil descolamento que acontece nesta experimentação. No entanto, o ponto de descolamento não pode ser determinado empiricamente, pois o ângulo de descolamento da camada limite, que é crescente com o número de Reynolds fica indefinido, afinal, determinamos apenas um valor de Reynolds.
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