Mecanica Curs

5/13/2018 Mecanica Curs

1/90

.,.",MECANICA


2/90

CUPRINSCAPITOLUL 1. NOTIUNI INTRODUCTIVE DE MECANICA 5

1.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 5.. _ .. _ _ _ _ _ _ _ ._ .. _ .. _ _ -1.2. DEFINITII 51.3. SISTEME IiiiilliFERn~irX~--GRAD-D-EiIBERTATE--------------------1.4. AXIOMA LEGA.TURILOR -------------------7- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1.5. SISTEMUL INTERNATIONAL DE UNITA.TI 8CAPITOLUL 2. STATICA 10........... _ _ .. _ .. _ _ _ _ _ _ _ ._ . - - _ .. _ _ -2.1. FORTA. SISTEME DE FORTE 102.2. MOMENTUL UNEI FORTE 'lNi'\:PORi-cu-liN-PUNCi-(-MOMENT

POLAR) 102.3. MOMENTUL UNEI FORTE I N RAPORT CU 0 AXA. (MOMENTAXIAL) 132.4. CUPLU DE FORTE. MOMENTUL UNUI CUPLU 14, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2.5. REDUCEREA FORTELOR 15, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2.5.1. Reducerea unei forte in raport cu un punct 15

2.5.2. Reducerea unei forte oarecare intr-un punct 162.5.3. Torsorul minimal. Axa centrald 18- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2.5.4. Cazuri particulare de reducere 19

2.6. GEOMETRIA MASELOR 202.6.1. Centrul de greutate si centrul maselor _202.6.2. Teoremele lui Guldin-Pappus 222.6.3. Momente statice. Teorema momentelor statice 24- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2.6.4. Momente de inertie. Raze de inertie 252.6.5. Variatia momentelor de inertie la translatia axelor. Teorema luiSteiner 27... _ .. _ .. _ _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2.6.6. Variatia momentelor de inertie la rotatia axelor 292.6.7. Directii principale de inertie. Momente de inertie principale 30

2.7. STATICA SOLIDULUI RIGID 32- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2.8. METODE SI CONDITII DE DETERMINARE A ECHILIBRULUISTATIC 33

CAPITOLUL 3. CINEMATICA 35. _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 353.1.1. Definitii 3 53.1.2. Componentele vitezei si acceleratiei in sistemul de coordonateintrinseci (naturale). Triedrul lui Frenet 373.1.3. Componentele vitezei si acceleratiei in sistemul de coordonatepolare 383.1.4. Cazuri particulare de miscare ale punctului material 39

3.2. MISCAREA RELATIV A.A PUNCTULUI MATERIAL _403.2.1. Derivata unui vector dat prin proiectii intr-un sistem de referintd

m~il ~


3/90

3.2.2. Ecuatiile miscarii relative a punctului material 423.3. CINEMATICA SOLIDULUI RIGID 443.3.1. Miscarea generalii a solidului rigid 44

3.3.2. Miscarea de translatie a solidului rigid _ 4 83.3.3. Miscarea de rotatie a solidului rigid cu axd fixii 493.3.4. Miscarea de rototranslatie a solidului rigid 543.3.5. Miscarea plan-paraleld a solidului rigid 553.3.6. Miscarea de rotatie a solidului rigid injurul unui punctfix 60

CAPITOLUL 4. DINAMICA 62- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4.1. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER 624.1.1. Ecuatiile diferentiale ale miscarii 624.1.2. Teorema variatiei impulsului 644.1.3. Teorema variatiei momentului cinetic 654.1.4. Teorema variatiei energiei cinetice 674.1.5. Teorema conservdrii energiei mecanice 684.1.6. Miscarea punctului material sub actiunea greutatii 704.1.7. Miscarea punctului material sub actiunea unei forte centrale , .784.1.8. Miscarea punctului material sub actiunea fortelor elastice _84

4.2. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEGATURI 874.2.1. Miscarea punctului material legat de 0suprafatd 874.2.2. Miscarea punctului material legat de 0 curbii 8 84.3. DINAMICA SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE 914.3.1. Teorema impulsului sistemelor de puncte materiale , 914.3.2. Teorema miscarii centrului de masd 93

4.3.3. Teorema momentului cinetic a sistemelor de puncte materiale 934.3.4. Teorema torsorului 944.3.5. Teorema energiei cinetice a sistemelor de puncte materiale 95

4.4. DINAMICA SOLIDULUI RIGID 964.4.1. Notiuni generale . 964.4.2. Miscarea de translatie a solidului rigid . 964.4.3. Miscarea generalii a solidului rigid 97B I B L I O G R A F I E 99


4/90

CAPITOLULINOTIUNIINTRODUCTIVE DE MECANICA

1.1. NOTIUNIINTRODUCTIVEMecanica clasica este stiinta care studiaza echilibrul si miscareacorpurilor materiale si se bazeaza pe cateva principii fundamentale

formulate de catre Isaac Newton (1643-1727):- principiul I (inertiei): un corp I~i pastreaza starea de repaus sau de

miscare rectilinie uniforma atata timp cat asupra sa nu actioneaza altecorpuri care sa-i modifice aceasta stare;

- principiul al II-lea (actiunii fortei): forta care se exercita asupraunui corp Ii imprima acestuia 0 acceleratie direct proportionala cu masacorpului, avand directia si sensul fortei aplicate:

F=ma (1)Ecuatia (1) poarta si denumirea de ecuatia fundamental a a dinamicii.- principiul al III-lea (actiunii si reactiunii): daca un corp (i)

actioneaza asupra altui corp (j) cu 0 forta F i j numita actiune, eel de-aldoilea corp actioneaza asupra primului cu 0 forta Fji egala si de senscontrar numita reactiune:

F =-Flj JlMecanica tehnlca este disciplina care studiaza principiile si legilemecanicii c1asice si aplicatiile practice ale acestora In tehnica,Din punct de vedere didactic MECANICA se imparte In trei parti:

- STATICA: studiaza sistemele de forte si echilibrul corpurilor;- CINEMATICA: studiaza miscarea corpurilor lara a lua In

considerare fortele si masele sistemului;- DINAMICA: studiaza miscarea corpurilor materiale tinand seama

de fortele care actioneza asupra acestora.1.2. DEFINITII

(2)

Punctul material este un punct geometric caracterizat prin masa,o multime de puncte materiale aflate In interactiune mecanicaformeaza un sistem de puncte materiale.

Corpul material sau mediul continuu reprezinta 0 infinitate de punctemateriale ce ocupa In mod continuu un anumit domeniu din spatiu astfelIncat un element de spatiu oricat de mic din acest domeniu finit continematerie.


5/90

Solidul rigid este corpul material care poate prelua sarcini exterioareoricat de mari lara sa se deformeze.

1.3. SISTEME DE REFERINTA. GRAD DE LIBERTATEPrin sistem de referintd se intelege un reper fata de care se determina

pozitia unui corp material.eel mai utilizat sistem de referinta este sistemul triortogonal drept.Definirea pozitiei unui corp material, In raport cu sistemul de referintaadoptat, se face cu un anumit numar de parametri geometrici (distante,

unghiuri) care se numesc coordonate.Un sistem material care poate ocupa orice pozitie In spatiu se numestesistem material fiber.Sistemul material supus la unele restrictii geometrice se numeste

sistem material supus la legdturi.Prin grad de libertate a unui punct material, sistem de puncte

materiale etc., se intelege numarul de parametri geometrici independentinecesari pentru a defini pozitia acestuia. Astfel un punct material liber aretrei grade de libertate pentru ca pozitia sa poate fi determinata cu ajutorul atrei parametri independenti,

Sa definim acesti parametri cu ajutorul sistemelor de coordonaterectangulare carteziene, cilindrice respectiv sferice (fig.I a, b, c).

zP(X,y,z)

y

xFig. 1 a, b, c - Pozitia punctului material liber

Intre coordonatele carteziene, cilindrice si sferice exista relatiile:X =Pcos q > =r sin Ocos q >y =p sin r p =r sin e sin r p (3)z = z = r cos OUn solid rigid liber are sase grade de lib ertate , trei posibilitati de

translatie si trei posibilitati de rotatie In jurul a trei directii ortogonale.Punctul material obligat sa ramana pe 0 curba fixa sau pe 0 suprafata

fixa are un singur grad de libertate, respectiv doua grade de libertate.


6/90

1.4. AXIOMA LEGATURILORLegiitura este 0 conditie geometrica impusa care restrange libertatea de

miscare a unui punct sau a unui sistem de puncte materiale.Din punct de vedere al proprietatilor fizice legaturilc se clasifica in:- legdturi lucii sau ideale, unde freciirile sunt neglijate;- legdturi aspre sau cu frecare, care in fapt sunt lcgaturile reale.Din punct de vedere al rolului functional, legaturile solidului rigidfrecvent utilizate in mecanica tehnica se clasifica in:- reazeme simple: sunt anulate posibilitatile de translatie pe directia

reazemelor;- reazeme articulate. Articulatia poate fi:- sfericd: sunt anulate solidului rigid 3 grade de libertate lasand

posibile numai rotatiile acestuia in raport cu axele rectangulare alesistemului;

- cilindricii: sunt anulate patru grade de libertate, corpul avandposibilitatea translatiei in raport cu 0 axa si rotatiei in raport cu aceasta;

- fncastrarea: este legatura care suprima toate gradele de libertate;- legiiturile prin fire sau bare: este legatura care introduce 0 singura

necunoscuta, tensiunea in fir, respectiv tensiunea in bara,Orice legatura poate fi suprimata si inlocuita cu 0 forta sau cu un

sistem de forte numite reactiune care actionand asupra corpului produceacelasi efect mecanic ca si legatura insasi. Aceasta este axioma legdturilor.

In plan, reactiunile produse de cele trei tipuri de legaturi enumerateanterior sunt date in tabelul 1.

Tabelul nr. 1 - Tipuri de legaturt ~ireactiunile aferenteTip de le2atura Schematizare ReactiuneReazem simplu A /\ ~77777777777 V

Reazem articulat 1 7 ? ; ; ; ; . 1 I ~ H/hV

incastrare t- H - p - MV

1.5. SISTEMUL INTERNATIONAL DE UNITATI,In anul 1960 la "a XI-a Conferintii Generalii de Mdsuri st Greutdti afost adoptat Sistemul International de Unitdti.


7/90

Sistemul International (SI) este un sistem de unitati general, coerent sipractic pentru toate domeniile stiintei si tehnicii.

Unitatile de masura din afara Sistemul International sunt numeroase.,In tabelul 2 sunt trecute in evidenta cele mai utilizate sisteme de unitati.,Tabelul nr. 2 - Sistemede mariml ~iunitati de masura

Nr. Sistemul de Unititi Mirimi fundamentale Reprezentarecrt. unititi fundamentalem (metro) lungime

Sistemul kg (kilogram) masa1 International s (secunda) timp LMTIQJA (amper) intensitate curent electricSI K (kelvin) temperatura termodinamica

cd (candela) intensitate luminoasaSistemul tehnic m (metro) lungime2 MKgfS kg (kilogram forta) forta LFTs (secunda) timpSistemul tehnic ft (foot) lungime3 britanic lbf (pound force) forta LFTGSU s (secunda) timp

em (centimetro) lungime4 Sistemul CGS g (gram) masa LMT

s (secunda) timpm (metro) lungime

5 Sistemul MKS kg (kilogram) masa LMTs (secunda) timpm (metro) lungime

6 Sistemul MTS T (tona) masa LMTs (secunda) timpPrefixele pentru formarea multiplilor si submultiplilor unitatilor (SI)

sunt redate In tabelul 3.Tabelul nr. 3 - Prefixe pentru formarea multiplilor ~isubmultiplilor

Prefixul Simbolul prefixului Factorul de multiplicaretera T l O l Lgiga G 10~mega M lO bkilo k 10j

hecto h 10Ldeca da 101deci d 10 -1centi c 1O -Lmili m 1O -j

micro Il 1O -bnano n 1O-~pico p 1O -1Lfemto f 10-1)atto a 10 -111


8/90

CAPITOLUL2STATICA

2.1. FORTA. SISTEME DE FORTE,Forta este 0marime vectoriala ce mascara interactiunea intre punctelemateriale.

Forta aplicata unui punct material are caracter de vector legatoForta aplicata unui solid rigid are caracter de vector aluneciuor.

Aceasta ultima afirmatie are in vedere ipoteza rigiditiuii conform careiaforma si dimensiunile unui solid rigid nu se modifica oricat de mari ar fifortele exterioare care 11solicita,

Dupa natura lor fortele cu care opereaza mecanica tehnica se potclasifica in:- forte exterioare: fortele efectiv aplicate corpului;

- forte interioare: fortele aceluiasi sistem ce se exercita potrivitprincipiului actiunii si reactiunii;

- forte de legiiturii: fortele care inlocuiesc legaturile geometriceimpuse unui punct dintr-un sistem material.

Dupa modul de actiune al fortelor, ele se pot clasifica in:- forte concentrate: fortele cu actiune punctuala;- forte distribuite: forte ce revin unei portiuni elementare de volum,

suprafata sau liniare.Prin sistem deforte se intelege 0 multime de forte care actioneaza asupraunui punct sau sistem de puncte materiale. Sistemele de forte pot fi:- concurente;

- coplanare;- paralele;- cupluri;- oarecare.2.2. MOMENTUL UNEI FORTE iN RAPORT CU UN PUNCT

(MOMENT POLAR)Fie vectorul F avand suportul ~ si originea in punctul de aplicatie Apozitionat de vectorul r fata de un reper fix 0 (fig. 2).


9/90

Fig. 2 - Momentul unei forte in raport cu un punctPrin definitie, se numeste moment al fortei F In raport cu punctul

(polui) 0, vectorul M0 ( F ) definit de produsul vectorial:-(-) - - - -M 0 F = r x F = OA x F (4)Momentul fortei F In raport cu punctul 0 (moment polar) este unvector legat de polul considerat 0 si este caracterizat prin:- directie: M 0 ( F ) este perpendicular pe planul definit de vectorii ; si

F', - sens: este dat de regula burghiului drept;- modul: se poate calcula cu relatia:

IMo(F~ = l ; x F I = rFsina (5)Dadi:- - - -r = xi + yj + zk- - - -F = r,i + Fy j+ r,k

va rezulta:(6)(7)

- - -l } h

M 0 (F ) = M oxi + M oy7 + M ozk = ; x F = x Y z-r, Fy r,

= (YFz - zFy)i + (zFx - xFz) 7 + (xFy - yFx)kiar prin identificare vom obtine proiectiile fortei F In raport cu polul 0:u; = yFz -zFy

Moy = zFx -xFz (8 )Moz = xFy - yFx

Proprietatile momentului polar:- momentul polar este nul daca suportul fortei F trece prin polul 0

sau evident, daca F = 0 ;- variatia momentului polar prin schimbarea punctului de aplicatie alvectorului F (fig.3):


10/90

Fig. 3 - Variatia momentului polar la schimbarea punctului de aplicatie alfortei F

M~(F)= ~xF =(~+AAl)xF =~xF +AAI xF ==Mo(F)+AAI xF

- variatia momentului polar prin schimbarea polului (fig.4):q ;.

r f Ao

(9)

Fig. 4 - Variatia momentului polar prin schimbarea poluluiM ~1 (F) = 1 1 x F = (010 + r )x F = = x F + 010 x F == M0 (F) + 010 x F (10)

- momentul polar al fortei F este un invariant fata de alunecareafortei pe suportul sau (fig. 5a) si fata de mutarea polului pe 0 dreaptaparalela cu vectorul dat (fig. 5b).

o F

AFig. 5 a, b - Invarianta momehtului polar

M 0 (F) = r1x F =(~+ AAI )x F =~x F + AAI X F = ~ x Fdeoarece produsul vectorial a doi vectori coliniari este nul.

M ~ ( F ) = r1xF = (010+ ~)xF =~xF + 010xF = ~xF =M o(F)deoarece produsul vectorial a doi vectori coliniari este nul.

2.3. MOMENTUL UNEI FORTE iN RAPORT CU 0 AXA(MOMENTUL AXIAL)

Se numeste moment axial al unei forte F aplicata int-un punct Acalculat in raport cu 0 axa ~, de versor 8, 0 marime scalara obtinuta prinproiectarea pe axa ~ a vectorului moment polar calculat in raport cu unpunct oarecare ce apartine axei ~ (fig. 6):


11/90

Fig. 6- Momentul axial al unei forte

M L l( F ) = p r L lM O ( F ) = 8 .M o( F ) == (8 x t + 8 y ) + 8 zk} (~x F ) = (cos a t + cos B) + cos y k ) .

. [ ( Y F z - z F y ) i+ { z F x - x F z } ) + ( x F y - Y F x ) k ] == ( Y F z - Z F y ) c o s a + { z F x - x F z } c o s B + ( x F y - Y F x ) c o s y

deoarece produsul scalar a doi vectori perpendiculari este nul.Proprietatile momentului axial:- momentul axial al fortei F este invariant fata de schimbarea polului

Ope axa A. o E ~ : M Ll ( F ) = 8 . ( ~x F ) = 8 .M 0 ( F )0'E~ :M ~ ( F ) =8 . ( r l x F ) =8 . ( ~x F + 0 1 0 x F ) == 8 . ( ~ x F ) + 8 . ( 0 1 0 x F ) == 8 . ( ~ x F ) = 8 .M o( F ) = M L l ( F )

- momentul axial este nul daca suportul fortei F si axa de calcul suntcoplanare;

- momentul axial este invariant fata de alunecarea fortei pe suportul sau;- momentul axial al unei forte F este egal cu suma momentelor axiale- -

ale fortelor componente F 1, F 2 aplicate in acelasi punct cu F :- - -F = F i + F 2M Ll ( F ) =M Ll ( F i ) + M Ll ( F 2 ) (11)


12/90

2.4. CUPLU DE FORTE. MOMENTUL UNUI CUPLUDoua forte egale in modul, paralele, de sensuri contrare F si - F ,

avand suportul diferit, formeaza un cuplu de forte (fig. 7).

Fig. 7 - Cuplu deforteMarimea care arata actiunea unui cURlueste momentul cuplului.Mcuplu =Mo(F)+M o(F ')= rxF +r'x(-F ')= (r-r')xF =BAxF (12)

Momentul unui cuplu este un vector liber, perpendicular pe planulcuplului. EI este invariant la schimbarea polului.

M cuplu = I B A I I F I sin a= I F I ' d (13)Cuplurile care au acelasi vector moment sunt mecanic echivalente.2.5. REDUCEREA FORTELOR2.5.1. Reducerea unei forte in raport cu un punctA reduce 0 forta intr-un punct inseamna a gasi elemente mecanice

echivalente legate de punctul considerat, care sa produca acelasi efect caforta data.

Fie forta F care actioneaza asupra solidului rigid din fig. 8.Pentru a reduce forta F in punctul 0, introducem un sistem de doua- - -forte opuse F si - F care au suportul paralel cu suportul fortei date F.Inlocuim perechea de forte F aplicata in A si - F aplicata in 0, careformeaza un cuplu de forte, cu vectorul moment polar:-(-) - - - -Mo F =OAxF = rxF( 1 1 )G~p-J~V)

........., 0 I'F


13/90

Fig. 8 a, b, c - Torsorul de reducereSistemul meeanie eehivalent eu forta data F se numeste torsorul de

reducere in raport eu polul 0:T o ( F ) = ( F , M o ( F ) ) (14)2.5.2.Reducerea uneiforte oarecareintr-un punctFie un solid rigid asupra caruia actioneaza un sistem de forte oareeare

F 1 , F2, ..., Fn avand punetele de aplicatie AI' A2, ..., AnSe cere sa se gaseasea torsorul de redueere al fortelor ~, i =1,n in

punetulO.Pentru solutionarea problemei este neeesar a se pareurge urmatoarele

etape:- introdueem in polul 0 pereehi de forte ~, - ~, i =1,n ;- inlocuim euplurile eonstituite din fortele F, aplieate in 4 si - F,aplieate in 0 (i =1,n) , eu veetorii momente ale euplurilor:

M 0 (~ ) = ri x F : .i = 1, n (15)Dupa aceasta operatic in punetele Ai nu mai exista fortele F, .In punetul 0 sunt doua sisteme de veetori concurenti: sistemul de

forte eoneurente F, si sistemul de n veetori momente ale euplurilorM o ( ~ ) .- aplicam de ( n -1) ori regula paralelogramului pentru veetorii forteeoneurente F, din 0, rezultand:_ __ n_R = FI +F2 +...v F; = 'LFi (16)

i = l- repetam operatiunea anterioara pentru veetorii momente aleeuplurilor:

Mo =M1 +M2 +...+Mn = fMo(FJ= f(rix~) (17)i = l i = lSistemul format din veetorii R si M 0 este eehivalent eu sistemul de

forte dat si se numeste torsorul de redueere al sistemului de forte dat inraport eu polul 0:(18)(19)n _ _ _R='L~ =Xi+Yj+Zk

i = 1


14/90

Mo = Mo{FJ=Moxi+Moyl+Mozk (20)i=lProprietatile torsorului de reducere:- vectorul rezultant R este un invariant la schimbarea polului de

reducere;- momentul rezultant M0 variaza la schimbarea polului (fig. 9) dupalegea:

,M, =Mo +OOxRo (21)

0' f 3~

R~F ; ~ = l , n )

1 j '"~ '" Mo. . . . . . . . . . 1 j~ ~ R

Fig. 9 - Variatia momentului rezultant la schimbarea poluluiDemonstratie:n __Calculam: M0 =Lri X F :i=lCalculam:

Mo' = ri' xF; =(liO+'i )XF; = 'i xF; +i=l i=l i=ln - , - _ n - _ - , - n _ _ _ - - , - _+ "OOxF ="r.. xF +OOX" F =M +OOxRL . .J z L . . J z z L . . J z 0i=l i=l i=l- produsul scalar dintre vectorul rezultant R si vectorul moment

rezultant M0 este 0marime constanta ce se numeste trinom invariant:--RMo = RxMx + RyMy + RzMz = ct. (22)- daca R =0 vectorul moment rezultant este invariant fata de polul de

reducere;- proiectia vectorului moment rezultant pe directia vectorului forta

rezultanta este un invariant al schimbarii polului de reducere din 0 In 0',adica:

(23)


15/90

Demonstratie:Din (22) obtinem:

RM =RM,o 0Inmn1tim relatia (24) en I~ Isi rezulta: (24)

- R - Ru, ' I R I =Mo' ' I R I2.5.3. Torsorul minimal. Axa centrale

(25)

In urma reducerii unui sistem de forte ~, i =1, n, intr-un punctoarecare 0, obtinem torsorul de reducere sub forma:n_R=L~

i=l (26)n __M = "'r. -.L. .J, li=l

ca in fig. 10.

Rr+

Mo R----\~ - - ~ - , - -. . .-.---Mo~

Fig. 10- Torsorul de reducereDaca vectorul rezultant si vectorul moment sunt coliniari, torsorul

sistemului de forte poarta denumirea de torsor minimal.Locul geometric al punctelor in raport cu care un sistem de forte

oarecare se reduce la un tors or minimal se numeste axd centrala.Consideram un punct p(x,y,z) care apartine axei centrale, de ecuatienedeterminata si aplicam relatia (21):


16/90

Mp = Mo +POxR = Mo + (-OP)xR =l ] k- - -= M oxi + M oy j + M ozk + - x - y - Z =X Y Z

= [Mox - { y Z - z Y ) ] i + [Moy - { z X - x z ) ] 7 + [Moz - { x Y - y x ) ] T cDin conditia de coliniaritate dintre M p si R rezulta:Mox - ( y Z - z Y ) Moy -(zX - x Z ) Moz - ( x Y - y X )- -x Y Z (27)relatie care permite determinarea axei centrale.In functie de elementele torsorului de reducere pot aparea mai multecazun.2.5.4. Cazuriparticulare de reducerea) Forte coplanare ( ~ z =0, zi =0):_ - --F = F i + F J ' +OkIX z y (28)- - -r = x, i + y. J ' +Okz z zcalculam torsorul de reducere in 0: (29)

n_ n _ n _ _ _R = 'L~ = 'LFixi + 'L~yj = Xi + Yji=l i=l i=l

l-]

-k (30)

Calculam trinomul invariant:R . M 0 =X 0+ Y . 0 + 0 .M oz = 0 ~ R .lM 0 (31)

Din relatia (27), ecuatia axei centrale devine:{YX-XY=Oz =0 (32)

b) Forte paralele: -F=Fuz zunde u este versorul directiei date.

Calculam torsorul in 0:(33)

n_ n _n _R =~ F. = ~ F,u, =u~ F. =RuL . . J z L . . J z z L . . J zi=l i=l i=l (34)


17/90

M0 =~ r i X F i =~ r i X ( F ; u i ) = ( ~ r i F ; ) x ~ (35)Calculam trinomul invariant:

RMo =( R ~ ) { ( ~ r i F ; ) x ~ ]= [ ( ~ F i ) u H ( ~ ' i F i ) x ~ ]=0 (36)Ecuatia axei centrale devine:n nLYi~ LXi~

i = l i = lX='::""""::"-- Y-n ' - nL~ L~i = l i = l

(37)

sau vectorial:n_Lri~

- i = lrc = -=----=---nL~

i = l

(38)

2.6. GEOMETRIA MASELOR2.6.1. Centrul de greutate ~i centrul maselorParticulele materiale aflate la suprafata Pamantului sunt supuse

actiunii campului gravitational terestru care se manifesta prin forta deatractie:

G=mg (39)denumita greutate.Se observa ca aceasta forta depinde de masa particulei materiale m si

de vectorul g,care se numeste acceleratie gravitationald.Pentru un sistem de puncte materiale, greutatea sistemului material

are expresia:(40)

i = liar punctul de aplicatie se numeste centru de greutate al sistemului depuncte materiale.

Pozitia centrului de greutate al unui sistem de puncte materiale estedata de relatia:

n_v-c... . l l- i = lrc = - = - - - - - - = - - - -nLG i

i = l

(41)


18/90

sau:

(42)i~ ~1 ~1

Prin definitie, suma maselor punctelor materiale ale unui sistem estemasa sistemului de puncte materiale:nM = 'L m i (43)i= 1iar cen tru l maselo r unui sistem de puncte materiale este dat de relatia:n_'Lrim i- i= 1rc =.:........::...--n'L m ii= 1

(44)

sau:n n n'Lximi 'L Yim i 'L zim ii= 1 i= 1 i= 1X= n ,y= n ,z=-n--t. t. t.i= 1 i= 1 i= 1

(45)

Proprietati:- daca un sistem de puncte materiale admite un plan de simetrie, 0 axa

de simetrie sau un centru de simetrie, centrul de masa se gaseste In acelplan, pe acea axa, respectiv In acel centru;

- daca un sistem de puncte materiale (8) se descompune intr-unnumar de subsisteme (81), (82),..., (8p) ale carer mase M 1 , M 2'"'' M psi centre de masa ( C 1 ), ( C 2), . .. , ( C p) se cunosc, pozitia centrului sau demasa se poate determina cu relatia:

Mire + M 2 re + ... + M p rer = 1 2 p (46)e Ml +M2 +...+Mp

- daca un sistem de puncte materiale (8) poate fi considerat carezultand dintr-un sistem (81) din care lipseste un sistem (82), atunci:

MIre -M2rer = 1 2e (47)


19/90

2.6.2. Teoremele lui Guldin-Pappus(a) Aria suprafetei generate de un arc de curba plana, care se roteste In

jurul unei axe din planul curbei, pe care nu 0 intersecteaza, este egala culungimea arcului de curba multiplicata cu lungimea cercului descris decentrul de masa al curbei date, presupuse omogene:

A = 21tYcL (48)

BYc

x xFig. 11- Teorema I Guldin-Pappus

(b) Volumul generat prin rotirea unei suprafete plane In jurul unei axe dinplanul sau pe care nu 0 intersecteaza, este egal cu aria considerata multiplicatacu lungimea cercului descris de centrul de masa al ariei:

Yc

(49)

x xFig. 12- TeoremaII Guldin-PappusDeterminarea pozitiei centrului de masa pentru 0 bara omogena de

forma unui:- arc de cere

Y

dm =pdl

x

Fig. 13- Pozitia centrului de masii pentru un arc de cere

dm = pdf X =Rcose dl = Rdi),


20/90

a.R I cosede .x _ I xdm _ I R cos O.p .dl _ pI R cos e .Rde _ -a. =R SInaC - I dm - I pdf pI Rde 1de a

-a.- sector de cerey

d Rd(}Rm=p--2x

Fig. 14 - Pozitia centrului de masd pentru un sector de cereX =_Z_Rcose3

RdeRdm=p--- 2R2de a.pI.t Rcose R I cose de .x = 2 = _ Z _ -a. = _ Z _ R SInaC R2 3 a. 3 apI-de Ide2 -a.

2.6.3. Momente statice. Teorema momentelor staticeSe numeste moment static al unui sistem de puncte materiale in raport

cu un plan, 0 axa sau un pol, suma produselor dintre masele punctelormateriale care alcatuiesc sistemul si distantele de la aceste puncte laplanul, axa sau polul considerat:

nS= 'Lmidi (50)i=lPentru un sistem de referinta cartezian, expresiile:


21/90

nSyoz = Lmixii=l

ns.; = LmiYii=ln

Sxoy = Lmizii=lreprezinta momentele statice ale sistemului de particule materiale, in raportcu planele yoz, zox, respectiv xoy.

Daca punctele materiale sunt situate toate in acelasi plan, atunciexpresiile:

nSy =Lmixii=l (51)nS =~m.y.x ~ l li=lreprezinta momentele statice ale sistemului in raport cu axa Oy, respectiv

Ox.Din relatiile care dau coordonatele centrului de greutate al unui sistem

de puncte materiale, rezulta:nLmixi =xcMi=lnLmiYi = YcMi=l (52)n~m.z. =Z M~ l l ci=lrelatii cunoscute sub denumirea de teorema momentelor statice.Momentul static al unui sistem de puncte materiale in raport cu un

plan sau 0 axa este egal cu produsul dintre masa intregului sistem sidistanta de la centrul de masa al sistemului la acel plan sau la acea axa,

2.6.4. Momente de inertie. Raze de inertie,Se numeste moment de inertie al unui sistem de puncte materiale inraport cu un plan, 0 axa sau un pol, suma produselor dintre masele

particulelor care alcatuiesc sistemul si patratul distantelor acestor particulepana la planul, axa sau polul considerat:

n 2J =Lmidi (53)i=lFata de un sistem de referinta cartezian avem:,- momente de inertie mecanice planare:


22/90

n 2Jxoy = Lmizii=ln 2Jyoz = Lmix ii=ln 2

Jxoz = LmiYii=l- momente de inertie mecanice axiale:

(54)

n & 2 2 )="'m. +Zx L... l l li=ln ( 2 2 )J ="'m.x. +Zy L... l l li=l (55)n & 2 2 )= "'m. . +Zz L... l l li=l- moment de inertie mecanic polar:

n ( 2 2 2 )J ="'m. x. +y. +Zo L... l l l li=l- momente de inertie centrifugale:nJ ='" m.x.y,y L... IIIi=l

(56)

nJyz = L miYizii=l

(57)nJ ='" m.z,x.zx L... IIIi=lSe numeste razd de inertie distanta la care trebuie plasata intreagamasa a sistemului material M, concentrata intr-un singur punct la un plan

xoy, 0 axa ~ sau un pol 0 pentru a obtine aceeasi valoare a momentuluide inertie planar, axial sau polar ca si cea data de intreg sistemul material.

J=Mi2 = > i = & (58)Proprietati:- momentele de inertie planare, axiale sau polare sunt manrmpozitive. Ele sunt nule numai atunci cand sistemul de puncte materiale estecontinut in planul, pe axa sau in polulla care ne referim;

- momentele de inertie axiale sunt egale cu suma momentelor deinertie in raport cu doua plane rectangulare:


23/90

i, Jxoz + JxoyJy = Jyoz + Jxoy (59)Jz = Jxoz + Jyoz

- momentul de inertie polar poate fi calculat ca:- semisuma momentelor de inertie axiale in raport cu trei axe

rectangulare ce tree prin acel punct:Jo=!(Jx+Jy+J z) (60)

- suma momentelor de inertie planare:r, = Jyoz + Jxoz + Jxoy (61)- suma momentelor de inertie in raport cu un plan si 0 axa normala la

acel plan: r, = i,+ Jyoz = Jy +r.; =i,+ Jxoy (62)- momentele de inertie centrifugale pot fi pozitive, negative sau nule.2.6.5. Variatia momentelor de inertie la translatia axelor. Teorema, "lui SteinerFie un sistem de puncte materiale S, de centru de greutate C, raportat

la un sistem cartezian Oxyz. Fata de acest sistem sunt cunoscutemomentele de inertie axiale, centrifugale, planare respectiv momentul deinertie polar fata de polul C. Se cere sa se determine momentele de inertiefata de un sistem 01 X1Y 1 Z l translatat fata de sistemul cartezian Oxyz cu(a,b,c).

Un punct material ~ de coordonate (X i' Y i , Z i) fata de sistemul Oxyzare fata de sistemul 0lx1Y1z1 urmatoarele coordonate:X l = X +aI IY1i =Yi +b (63)Zli =Zi + C

Momentele de inertie ale sistemului de puncte materiale S fata desistemul 01 X1Y 1 Z l sunt:- momentele de inertie mecanice planare:

n 2JXIOlYl = Lmizlii= ln 2JYIOIZI = Lmixl ii= l (64)n 2J = ~mY1xlolzl L . . J I Ii= l- momentele de inertie mecanice axiale:


24/90

(65)n ( 2 2 )

JZ1 = Lmi Xli + Zlii = l- momentul de inertie mecanic polar:n ( 2 2 2 )J O J . = Lmi Xli + Yli + Zli

i = l- momentele de inertie centrifugale:nJX1Y1= LmixliYlii=l

(66)

nJY1Z1= LmiYlizlii = l (67)

nJZ1X1= L mizlixlii = lInlocuind relatia (63) In relatiile (64) - (67) rezulta:n 2 n 2 n 2nJ = "m.(z.+c) = "m.z. +2c"m.z.+c "m.=xlolYl L. J I I L.J I I L.J I I L. J Ii = l i = l i = l i = l

= Jxoy + 2cSxoy + c2MJYIOIZI= Jyoz + 2a Syoz + a2MJXIOIZI= Jxoz + 2b Sxoz + b2MJX1 = fmi[(Yi +by +(Zi +cY]= Jx +2bSxoz +2cS xoy +(b 2 +c2) Mi = lJY1 = Jy + 2a Syoz + 2cS xoy + (a 2 + c2) M

(68)


25/90

n [ 2 2 2]JO I =LmiL(xi +a) +(Yi +b) +(Zi +c] =i=l=Jo + 2aSyoz + 2bSxoz + 2eSxoy + d2 M

nJXlYI = Lmi(Xi +aXYi +b)=Jxy +aSxoz +bSyoz +abMi=lJYIZI =Jyz + bSxoy + eSxoy + beMJXIZI = Jxz + aSxoy + eSxoz + aeMd2 =a2 +b2 +e2relatii cunoscute sub denumirea de relatiile lui Steiner.,Daca sistemul 0lxly1zl este un sistem central, adica 01 =C, atunci

momentele statice care apar In relatiile (68) devin nule.2.6.6. Variatia momentelor de inertie la rotatia axelor, "Fie un sistem de puncte materiale S, de centru de greutate C, raportatla un sistem cartezian Oxyz. Fata de acest sistem sunt cunoscutemomentele de inertie axiale, centrifugale, planare respectiv momentul deinertie polar fata de polul C. Se cere sa se determine momentele de inertiefata de un sistem OXIYl Zl rotit fata de sistemul cartezian Oxyz cu (u , u .O ].

Un punct material Pi are In raport cu sistemul Oxyz coordonatele(Xi'Yi,Zi)' iar fata de sistemul Ox1ylzl coordonatele:

Xl' =x, coso + y. sinnl l lYli =Yi COSU - Xi sm o (69)Zli =Zi

Se observa ca pentru simplificarea problemei, rotatia are loc In jurulaxei Oz.

Momentele de inertie axiale J Xl ' J YI si eel centrifugal J XlYI auexpresiile:

n 2 2 n 2. nJXI =LmiYli =cos uLmixi + 2S1nUCOSULmixiYi +i=l i=l i=ln+ sin2 uLmiy;i=l

(70)


26/90

n 2 2 n 2. nJ = "'m.x1 =COSa"'m.y. -2slnacosa"'m.x.y. +Yl L...ll L...ll L...llli = l i = l i = l. 2 n 2+sln aLmixi

i = l

(71)

(72)n 2+sinacosaLmiYi

i = lCu ajutorul relatiilor:

l. 1- cos 20. 2 1+ cos 20.SIn 0.= , COS 0.=----2 2

2 sin a cos a = sin 20., cos 2 a - sin 2 a = cos 20.rezulta:

Jx+Jy Jx-JyL; = + cos2a - Jxy sin 20.122

(73)

(74)

J -Jx y cos2a + Jxy sin 20.2 (75)

J -JJ x y = x y sin 20. + Jxy cos 20.1 1 2 (76)Momentele de inertie fata de sistemul de axe rotit cu unghiul a,

depind de unghiul a.Se observa ca: Il +Il = I +I

ceea ce arata ca suma momentelor de inertie axiale este un invariant si esteegala cu momentul de inertie polar, care este independent de pozitia ce arocupa-o sistemul de axe prin rotirea lui.

2.6.7. Directii principale de inertie. Momente de inertie principaleAxele principale de inertie sunt axele fata de care momentele deinertie au valori extreme.Pentru a afla valoarea unghiului a ce defineste directia fata de care

momentul de inertie axial este maxim, anulam derivata momentului deinertie in raport cu 20..


27/90

(77)

Aceasta relatie este satisfacuta pentru 0,1 si 0,1 + ; .Relatia da pozitia a doua axe care formeaza intre ele un unghi drept, axe

care se numesc axe principale de iner t ie ,Momentele de inertie ill raport cu aceste axe se numesc momenteprincipale de inertie. Ele reprezinta valoarea maxima, respectiv minima a

momentului de inertie In raport cu sistemul de axe considerat.Daca punctul 0 coincide cu centrul de greutate al sistemului de puncte

materiale, axele principale de inertie se numesc axe principale centrale.Se observa ca relatia derivatei momentului de inertie axial este aceeasicu relatia momentului de inertie centrifugal, luat cu semn schimbat. In

consecinta, pentru directiile 0,1 , corespunzatoare axelor principale deinertie, momentul de inertie centrifugal este nul.

Orice axa de simetrie a sistemului de puncte materiale este 0 axaprincipala centrals de inertie, iar cealalta axa principala centrala de inertie esteperpendiculara pe axa de simetrie si trece prin centrul de greutate.

Valorile momentelor principale de inertie J1 si J2 se obtin pentrua= 0,1 daca In relatiile (71) se inlocuiesc valorile:v;tg 20, 1 =- ------':....__i,-Jy

. 2 tg2a1 2J xySIn 0,1 = -r======== =+ ----;:;;:::::===~===+ ~1 + tg2 20,1 - ~(Jx - Jy) 2 + 4J;y (78)

(79)In aplicatii sunt importante momentele de inertie centrale principale,

corespunzatoare axelor principale care tree prin centrul de greutate alsistemului de puncte materiale. La sistemele de puncte materiale cu douaaxe de simetrie, acestea sunt si axe principale, iar la cele cu 0 singura axade simetrie, cea de a doua este perpendiculara pe ea si trece prin centrul de


28/90

greutate. Deci sistemul principal central de axe este sistemul format dinaxa de simetrie si perpendiculara dusa pe axa prin centrul de greutate.

2.7. STATICA SOLIDULUI RIGIDPentru ca un sistem de forte care actioneaza asupra unui solid rigid

liber sa fie in echilibru este necesar si suficient ca intr-un punct arbitrar dinspatiu rezultanta sistemului de forte si momentul rezultant fata de punctulrespectiv sa fie egale cu zero:

R =0, M 0 =0 (80)In cazul solidului rigid supus la legaturi geometrice, in virtute a

axiomei legaturilor, in baza careia orice legatura geometrica poate fiinlocuita cu 0 forta de legatura corespunzatoare, numita reactiune,conditiile de echilibru devin:- - --R+(]{=O,Mo +:Mo =0 (81)unde ( R ,M0 ) este torsorul fortelor exterioare, rar (~ , :M o ) este torsorulfortelor de legatura.

In cazul legaturilor cu frecare, apar la contactul dintre corpunurmatoarele reactiuni:

- forta de frecare de alunecare T, situata in planul tangent la contact,dirijata in sens contrar miscarii sau tendintei de miscare, de valoarevariabila:

O~T~~unde J l este coeficientul de frecare la alunecare;- rectiunea normala pe planul tangent comun N;

- cuplui de frecare la rostogolire, avand momentul Mr' opus sensuluimiscarii sau tendintei de miscare de rostogolire, de valoare variabila:o~M r ~ sN (83)unde s este coeficientul de frecare la rostogolire;

- cuplui de frecare de pivot, avand momentul Mp opus miscarii de

(82)

pivotare sau tendintei de miscare de pivotare:O~Mp s u,unde M; se determina experimental de la caz la caz. (84)


29/90

'Fig. 15 - Cuplui de frecare de pivotIn cazul alunecarii unor fire pe un tambur fix, conditia de echilibru

este:(85)

unde 1 1 , T2 sunt tensiunile In fire, e unghiul la centru exprimat In radiani,J l coeficientul de frecare de alunecare intre fir si tambur si e bazalogaritmilor naturali.

2.8. METODE $1 CONDITII DE DETERMINARE A ECHILI-BRULUI STATIC

In studiul echilibrului sistemului ne intereseaza:- valorile parametrilor independenti care determina pozitia de

echilibru a sistemului;- reactiunile legaturilor exterioare la care este supus sistemul;- interactiunile reciproce.Pentru rezolvarea acestor probleme, studiul echilibrului sistemelor decorpuri poate fi efectuat prin mai multe metode la baza carora stau

urmatoarele teoreme:a) teorema solidificdrii: pentru ca un sistem de solide rigide sa fie In

echilibru este necesar ca torsorul fortelor exterioare, efectiv aplicatesistemului, sa fie nul In raport cu orice polO;

b) teorema echilibrului pdrtilor: daca un sistem de corpuri rigide seafla In echilibru sub actiunea fortelor exterioare si de legatura care Ii suntaplicate, atunci si 0 parte oarecare a sistemului se va afla In echilibru subactiunea fortelor exterioare si a reactiunilor aplicate partii considerate.Se pot defini trei tipuri de probleme:

- fiind date fortele exterioare care actioneaza asupra sistemului depuncte materiale sa se determine pozitia de echilibru a punctelor materialeale sistemului;

- fiind data pozitia punctelor care formeaza un sistem In echilibru, sa sedetermine fortele care actioneaza asupra acestui sistem;


30/90

- probleme mixte referitoare atat la pozitia de echilibru, cat si lafortele de legatura.

Etapele de lucru in rezolvarea acestor tipuri de probleme sunturmatoarele:

- se traseaza schema mecanica in care se izoleaza partea a caruiechilibru se studiaza eliminand legaturile pe care le are partea consideratacu celelalte corpuri din sistem si cu corpurile exterioare sistemului;- se reprezinta fortele exterioare date care actioneaza numai asuprapartii izolate si reactiunile legaturilor suprimate in baza axiomei legaturilorsi avand in vedere principiul actiunii si reactiunii cand se trece de la uncorp la altul;

- se evidentiaza parametrii geometrici care determina pozitia deechilibru a partii izolate in raport cu un sistem de referinta ales;

- se scriu ecuatiile de echilibru pentru portiunea izolata, admitandipoteza solidificarii si teorema echilibrului partilor;

- se analizeaza rezultatele.


31/90

CAPITOLUL3CINEMATICA

3.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL3.1.1. DefinitiiCinematica punctului material studiaza miscarea in timp a acestuiafata de un sistem de referinta fix. In cadrul cinematicii punctului material

se determina: pozitia, traiectoria, viteza si acceleratia punctului in oricemoment.

Pozitia punctului la un moment dat se defineste prin vectorul depozitie: r = r { t )

Ecuatia (86) poate fi scrisa in:- sistemul de coordonate cartezian:x = x { t )

y = y { t )z = z { t )

- sistemul de coordonate cilindrice:p = p { t )< p = < p { t )z = z { t )

- sistemul de coordonate sferice:r = r{t)e = e { t )< p = < p { t )

(86)

(87)

(88)

(89)Locul geometric al pozitiilor succesive ocupate de punctul in miscare

se numeste traiectorie. Aceasta poate fi 0 curba plana sau 0 curba oarecare(stramba in spatiu),

Viteza punctului materialla un moment dat se defineste prin:- -- . fl.r dr -'--v=hm-=-=rAt~O fl.t dt

si este un vector tangent la traiectorie avand sensul miscarii,Vectorul viteza poate fi exprimat in diverse sisteme de coordonate:- sistemul de coordonate cartezian:v = xl + p i + ik

I - I ~ . 2 .2 .2V = X + Y +z

(90)

(91)


32/90

unde: i,j,k sunt versorii axelor sistemului de referinta cartezian;X , y, z sunt proiectiile vitezei pe aceleasi axe;I v l este modulul vitezei.

- sistemul de coordonate cilindrice:v =oi, + r < j ) i c p + ii zI- I I . 2 2 . 2 . 2V = - v P +r < p +z (92)

unde:- i; este versorul proiectiei vectorului de pozitie in planul xOy;- ic p este versorul directiei perpendiculare pe proiectia vectorului de

pozitie in planul xOy;- iz este versorul axei Oz.- sistemul de coordonate sferice:

v = f ir + r f l i c p + r cos 8 < j ) izI v l =~f2 + r2e 2 + r2 cos' 8


33/90

f 3

(c )

Fig. 16- Triedrul lui FrenetTriedrul lui Frenet este un sistem triortogonal drept, in ordinea axelorr, v,J3, cu originea mobila plasata in punctul material M in miscare si

avand urmatoarele axe:- axa tangenta la curb a, de versor 'E , orientat pozitiv in sensul

miscarii, adica in sensul cresterii arcului s ;- axa normala principala, de versor v, cu directia si sensul catrecentrul de curbura;

Planul ('E,v) se numeste plan osculator.- axa binormala, de versor J3, perpendiculara pe planul osculator si cu

sensul pozitiv orientat astfel incat ordineadrept.

Facand apellaformulele lui Frenet:df _-=tds

d T , 1-=-vds punde peste curbura, obtinem:

_ df dr ds dr ds _v=-=--=--=st =vvtdt dt ds ds dt

r, v, J3 sa formeze un sistem

(96)

(97)Deci viteza punctului material are directia axei normale principale.

a = dv = dv ds =d (v'E)ds =(dV 'E + d T , v J ds =dt dt ds ds dt ds ds dtdv ds _ 1_. _ v2_=--'t+-vvs =vt+-Vds dt p P

Din relatia (98) rezulta ca acceleratia punctului material are douacomponente in planul osculator:

(98)


34/90

laT=v ; s (99)a; =-pAcceleratia tangentiald at ne ofera informatii In legatura eu viteza de

variatie a marimii veetorului viteza, iar acceleratia normalii ay oferainformatii legate de viteza de variatie a directiei veetorului viteza,

3.1.3. Componentele vitezei ~i acceleratiei in sistemul de coordonatepolarePresupunem ea miscarea punetului material Mare loe In spatiul eu

doua dimensiuni, deei traieetoria C este 0 curba plana continuta In planulmiscarii.

Sa consideram sistemul eartezian fix xOy si sistemul eartezian mobilpMii avand originea In punetul mobil M (fig. 17).

(C)

xFig. 17- Componentele vitezei i acceleratiei in sistemul de coordonate polareSe presupun a fi eunoseute ecuatiile parametriee ale miscarii punetului

M:r = r{t)< p = (103)


35/90

Derivand relatia (102) obtinem:_ dv d (._ . _) di _ lip. dr. _ d _ a n .a=-=- rp+rqm =-p+-r+-qm +-rn +-r


36/90

parametrii cinematici care caracterizeaza miscarea reperului mobil fata dereperul fix.

3.2.1. Derivata unui vector dat prin proiectii intr-un sistem dere/erintii mobilSe considera un vector U variabil ca marime si directie, raportat la unsistem de referinta mobil Oxyz (fig. 18).

y

Fig. 18- Punctul material in miscare relativdU =ux{t)l{t)+uy{t)J{t)+uz{t)k{t) (108)

Prin derivarea relatiei (108) se obtine:du = it =uxl + uyJ + uzk + uxi + uy} + uzk (109)dt

Versorii 1 ,J , k sunt vectori unitari si doi cate doi perpendiculari intreei:

11= 1 JJ=1 kk=1IJ=O Jk=O k'I=O

Prin derivarea relatiilor (110) se obtine:i'l= o }.J=O kk=O

(110)

i . j = = i . j = r o z}k =-J.k = r o yk 1 = -k .i = mx

(111)


37/90

In care C Ox' C Oy, C O z reprezinta vitezele unghiulare ale sistemului mobil OxyzExprimam vectorii t , ; , f c In functie de proiectiile lor pe axele

sistemului de referinta mobil:t =ifo1)1 +~o})}+~ok)k; = (; 01)1+ (; 0 })} + (; ok)k ( 112 )f c = ( f c 01)1+ ( f c 0 }} + ( f c ok)k

Din relatiile (111) si (112) rezulta:t = c o z) - coyk; = -coz1 + coxk (113)k = coy1- c o z}

Relatia (113) mai poate fi scrisa astfel:l } k

l = C O x C O y C Oz = coxi1 0 0

l ] kJ= C O X C O y C Oz = coxj

0 1 0l ] kk= C O x C O y C Oz = coxk0 0 1

(114)

Relatiile (114) sunt cunoscute sub denumirea de relatiile lui Poisson.Introducand relatiile (114) In relatia (109) se obtine:

du au ( -) ( -) { -}-=-+ux coxi +uy coxj +uz coxk =dt dt= au + co x (uxl) + co x (uy})+ co x {uzk} =dtau (- - -)=-+o x \uxi +uyj +uzkdt du au-=-+coxudt dtIn final: (115)

3.2.2. Ecuatiile miscdrii relative a punctului material


38/90

Consideram un punct material M a carui miscare In raport cu unsistem de referinta mobil Oxyz este cunoscuta, De asemenea estecunoscuta miscarea sistemului de referinta mobil In raport cu sistemul dereferinta fix 01 X 1 Y 1Z1 (fig.19).

Se cere sa se determine miscarea punctului material In raport cusistemul de referinta fix 0 1 x 1 Y 1 z 1 .

Fig. 19- Miscarea relativd apunctului material

y

In miscarea relativa a punctului material intervin urmatoarele notiuniimportante:

miscarea absolutii: miscarea punctului material In raport cu un reperfix:, miscarea relativd: miscarea punctului material In raport cu un repermobil; miscarea de transport: miscarea In raport cu sistemul fix al punctuluisolidar (punctul a carui miscare se studiaza cu reperul mobil).Pozitia mobilului M, la un anumit moment dat, fata de reperul fix este

data de relatia:f1=fQ+P

Prin derivare se obtine viteza absolutd Va:...!.. _ ...!.. ...!.. _ a p _ _r1 = va = ro + r = Vo + - + 0) X ra ta pVa = - + 170+ 0) X P = v r + Vta t

(116)

(117)

(118)In care: _ a p

V=-r a t (119)reprezinta viteza relativd, iar:v t = 1 7 0 + O)XPreprezinta viteza de transport.

(120)


39/90

Pentru determinarea distributiei de acceleratii derivam relatia (118):dv .. . d (8fJdta = aa =V o + O J x f+ O J x f+ dt 8t (121)

Notam: -O J =Eacceleratia unghiulard a sistemului mobil Oxyz.Tinand cont ca:

(122)

V o =ao_!_ df 8f _ _r=-=-+OJxrdt 8td (8fJ 82f 8fdt 8t = 8t 2 + O J X 8t

rezulta:_ _ 8f _ (__ ) 82f _ 8faa = ao + E X r + O J x 8t + O J x O J x r + 8t2 + O J x 8t == a o + E x r + 0 0 x ( o o x r ) + ! : : + 2 0 0 x :

aa =at + ar + ac (124)in care: at este acceleratia de transport; ar este acceleratia relativa;ac = 2 0 0 x: = 2 0 0 x vr este acceleratia Coriolis (sau complementaril).

Acceleratia Corio lis este nula daca miscarea de transport este 0translatie sau daca vectorii O J si v r sunt para1eli.

(123)

3.3. CINEMATICA SOLIDULUI RIGID3.3.1. Miscarea generalii a solidului rigidCunoscandu-se miscarea unui solid rigid in raport cu un sistem de

referinta fix, se cere sa se determine expresiile generale ale vectorului depozitie, vitezei si acceleratiei unui punct oarecare ~ a1acestuia (fig. 20).Pentru a cunoaste pozitia solidului rigid, respectiv a sistemului dereferinta solidar cu rigidul este necesar sa cunoastem in orice moment detimp vectorul de pozitie f l o si pozitia versorilor 1 , ], k.


40/90

Fig. 20 - Miscarea generala a solidului rigidf l o { t ) = X IO { t ) ~ + Y I O { t ) J l + z I O { t ) k 11 = l { t ) = ix~ + iy J l + izk 1J = J { t ) = J x ~ + J yJ l + J z k 1k = k { t ) =kx~ + kyJ l + kzk 1

In relatiile (125) apar 12 parametri scalari de pozitie,Tinand cont de relatiile (110), vom avea 12- 6 =6 parametri scalari

de pozitie a solidului rigid.Putem concluziona di solidul rigid in miscare generala are sase grade

de libertate.Intre vectorul de pozitie f l i al unui punct din solidul rigid, definit fata

de sistemul fix, vectorul de pozitie fj al punctului fata de un sistem mobil(legat invariabil de solid) si vectorul de pozitie rIO al originii sistemului

(125)

mobil, fata de sistemul fix, exista relatiile:f l i = fj + 1 1 0 (126)

unde:1 1 i =x1J + Y l i J + z lik1 1 0 =xI01 + Y I O J + z IOk (127)fj = x J + YiJ + Zik

Proiectam relatia (125) pe axele sistemului de coordonate fix0 X1Y l ZI si obtinem:


41/90

Xli = XlO +Xi COS (Z,~)+ Yi COS (],~)+Zi COS (k,~)Yli = YlO + Xi COS (Z']I)+ Yi COS (]']1)+ Zi COS (k']I) (128)zli =zlO + Xi COS (z,k1)+ Yi COS (],~)+Zi COS (k,~)Relatiile (128) reprezinta ecuatiile parametrice ale traiectoriei

punctelor p ; .Prin derivarea in raport cu timpul a relatiei (126) obtinem:

dili _ dr; dilo ar; - - -dt = vi = dt +T t= at +(Oxri+vO (129)a r .Cum: _ =0 rezulta:at

V =V o + (0 x r.I IRelatia (130), cunoscuta sub denumirea de relatia lui Euler reprezintadistributia de viteze a punctelor unui solid rigid.

Sa proiectam relatia (130) pe axele sistemului de referinta Oxyz:

(130)

V i = VlxZ + v1y ] + v1zkV o = voxz + VOy] + vozk(0 = (Oxz + (Oy] + (Ozkii = xl + Yi] + z.k(0 x ~ = (Ox (Oy (OZXi Yi Zi

rezultand componentele vectorului V i in sistemul Oxyz:v ix =vox + zi(Oy - Yi(Ozviy = VOy + xi(Oz - zi(Ox

l ] k

(131)V iz = vO z + Yi(Ox - xi(Oy

Din relatia (130) se observa ca proiectiile a doua puncte ale soliduluirigid pe directiile determinate de acestea sunt egale intre ele.Fie punctele P ; , respectiv Pj ale solidului rigid (fig. 21) pentru careaplicam relatia lui Euler.


42/90

Fig. 21 - Proiectia vectorilor vitezd pe 0 directie dataP;: Vi =V o + 00 x i fPj: Vj = V o + 00 x Y j

Prin scaderea relatiei (133) din (132) se obtine:V = V + 00 x (r. - Y )I J \ I J

(132)(133)(134)

dar:i f - Y j =PjP; => Vi = Vj + 00 x PjP; (135)

Inmultim scalar, la stanga, relatia (135) cu vectorul PjP; si obtinem:PjP; .Vi =PjP; .Vj + PjP; . (00 x Pjp;) (136)

Cum ultimul term en din membrul drept este egal cu zero (produsulscalar a doi vectori perpendiculari este nul), rezulta:

PjP; .Vi = PjP; .Vj => IPjp; IlviIcos 8i = IPjp; IlvjIcos 8 jDupa simplificarea cu IPjp; I, rezulta:

Ivilcos8i = Ivjlcos8 j => prl}Pj Vi = prl}Pj Vj (137)Pentru obtinerea distributiei de acceleratii se deriveaza relatia (130):

a. = v . =V o + ill x r, + 00 x r . (138)I I I INotam:V o = ao acceleratia punctului 0;ill =E acceleratia unghiulara a solidului rigid, respectiv a sistemului

mobilOxyz; . a r.I - -r,=-+oxrI a t IIn final se obtine:

ai =ao + E x i f + 00 x ( 00 x i f ) (139)Prin proiectarea relatiei (139) pe axele de coordonate se obtine:

a i =alxl + a1yJ + alzkao = aoxl + aOyJ + aozkr. = xI + y.]-= + z.kI I I I

l ] kEXlj = Ex Ey Ez

x Yi zI


43/90

l } k

~~-~~ ~~-~~ ~~-~~In final se obtin componenetele vectorului acceleratie a punctelor Piale sistemului rigid, in raport cu sistemul de referinta mobil Oxyz:

a i x = a o x + Z i c y - Y i c z + C O y ( Y iC O x - x i c o y ) - C O z ( x i c o z - Z iC O x )a i y = a O y + x i c z - Z i c z + C O z ( Z iC O y - Y iC O z ) - C O x ( Y iC O x - X i C O y ) (140)a i z = a o z + Y i c x - x i c y + C O x ( x i c o z - Z iC O x ) - C O y ( Z iC O y - Y i c o z )

Solidul rigid poate executa 0miscare generala sau 0miscare particulars.Exista doua miscari simple ale solidului rigid: miscarea de translatie si

miscarea de rotatie in jurul unui ax fix.Celelalte miscari particulare ale solidului rigid: miscarea de

rototranslatie, miscarea plan-paralela, miscarea de rotatie in jurul unutpunct fix se obtin prin combinarea celor doua miscari simple.3.3.2. Miscarea de translatie a solidului rigidUn solid rigid executa 0 miscare de translatie daca in tot timpul

miscarii 0 dreapta solidara cu rigidul ramane paralela cu 0 dreapta fixa dinspatiu sau cu ea Insasi,

Pentru studiul miscarii de translatie alegem doua sisteme de referinta:unul fix 01 X1Y l ZI si unul mobil Oxyz a carui axe raman tot timpul paralelecu axele sistemului fix (fig. 22).

Fig. 22 - Miscarea de translatie a solidului rigid


44/90

fl i = f l o + Iif l o = XlO~ + YlO]l + ZlOk1

(141)]=11- -k = k,

Din relatiile (141) rezulta ca solidul rigid aflat in miscare de translatieposeda trei grade de libertate intrucat pozitia acestuia este determinata princoordonatele xlO, YlO respectiv zlO'

Derivam prima relatie din (141) si obtinem:- dfli - - - ali - -V i = dt = rli + ri = V o + at + (0x ri (142)

Cum:x. = y. = z, = ctI I I(0 =(0 =(0 =0x y z

rezulta:V i =V o (143)

vitezele tuturor punctelor solidului rigid la un moment oarecare t suntegale intre ele.

Prin derivarea relatiei (143) rezulta:ai =ao (144)

acceleratiile tuturor punctelor solidului rigid in miscarea de translatie, laun moment oarecare t, sunt egale intre ele.

3 .3 . 3 . Miscarea de rotatie a solidului rigid cu a x a f IX aUn solid rigid executa 0 miscare de rotatie cu axa fixa daca in tottimpul miscarii sale doua puncte ale sale raman suprapuse cu doua punctefixe din spatiu,

Pentru studiul acestei miscari axa Oz a sistemului mobil coincide cuaxa 01 zl a sistemului fix si in plus, originile celor doua sisteme coincid01 = 0 (fig. 23).


45/90

xFig. 23 - Miscarea de rotatie a solidului rigid cu axd fixd

Solidul rigid in miscare de rotatie in jurul unei axe fixe Oz are unsingur grad de libertate intrucat pozitia acestuia este determinata prinunghiul e format de planul fix Xl Oy1 si planul mobil xOy. Ambele planecontin axa de rotatie.,Pozitia punctelor Pi este data de relatia:

y

(145)dar:

fli = X1J1 + Y1i]1 + zlik1r. = x . z + y.]--; +zkl l l lrezultand:

(146)Cum:

Zli = Zi1= cos o ~ + sin o ]1] = - sin o ~ + cos o ]1- -k =k, = ct

(147)

rezulta: x ~ + y~ = x ; + y; =d i2 ( 148)Ecuatia (148) arata ca traiectoria punctelor Pi este un cere cu centrulplasat pe axa de rotatie.

In miscarea de rotatie a solidului rigid cu axa fixa, viteza unghiularaeste data de relatia:

(149)


46/90

Sa derivam relatia (147):i = -8 sin e ~ + 8cos e ]l =8(- sin e ~ + cos e ] l ) = 8]; = -8 cos e ~ - 8sin e ]l =-8(cos e ~ + sin e ] l ) = -81- -k =k, = 0

Cum (vezi relatiile 111):ro=rox1 + roy] +ro/, = ( k .1)1 + (; .f)]+ ~. ])f

rezulta:(150)

Prin derivarea relatiei (150) se obtine:g = c O =s f (151)

Relatiile (150) si (151) arata ca vectorii ro si g au ca suport axa derotatie.

Derivand prima ecuatie din relatiile (145) rezulta:dil df t.v . =_1 =_1 =_1 +roxf

I dt dt at ICum:

a l i =0dtdeoarece Xi =Yi =Zi =ct rezulta:v = ro x fI Irelatie ce exprima distributia cdmpului vitezelor ale punctelor unui solid

rigid aflat in miscare de rotatie cu axa fixa,Proiectand relatia (152) pe axele sistemului de referinta mobil Oxyz,

(152)

rezulta:l ] k0 0 - -Vi - r o = -royJ + roxijx Yi zI

(153)

deci:v = -roll.

IX 'JIviy = roxiv, = 0IZModulul vitezei este:

I v 1 = I'--V~-+-V2-.+-v-~ = r o Ix~ +y~ = rod. (155)I \jIX Iy IZ " V I I IPentru determinarea acceleratiilor punctelor Pi derivam relatia (152):

(154)


47/90

dV .. . ()a = _ = ro x r . + ro x r . = EX r; + ro x ro x r;1 dt 1 1 1 1Proiectam relatia (156) pe axele sistemului de referinta mobil:

(156)

E=Ekro = rokr . =xl + y.]""; + z.k1 1 1 1

l ] k0 0 - -EXi j = E =-Y iEi + xiEjx Yi z1l ] k

- - 0 0 - -rox1f = c o =-Y iro i + xirojXi Yi Zi

l ] krox(roXij)= 0 0 2-;- 2 "";c o =-xiro l + Yiro ]

Yiro xiro 0rezulta:

2a =-E') - ro xIX v i 12aiy = -EXi - ro Yia, =0IZModulul acceleratiei este:

(157)

laI= ~a~ +a~ +a~ =1 IX Iy IZ= ~E2(y; +x;)+ro4G ; +x;)= di.JE2 +ro4

Proprietatile distributiei de viteze si acceleratii:- vitezele (acceleratiile) punctelor rigidului ce apartin axei de rotatie

sunt nule;- vitezele (acceleratiile) punctelor rigidului In miscarea de rotatie cu

axa fixa sunt plasate In plan perpendicular pe axa de rotatie(Viz =0, aiz =0);

- vitezele (acceleratiile) ce apartin unei drepte ~1 paralela cu axa derotatie sunt egale intre ele (fig. 24);

(158)


48/90

z

y

Fig. 24 - Distributia de viteze (acceleratii) pe 0 dreaptd paraleld cu axa de rotatie- vitezele (acceleratiile) punctelor solidului rigid ce apartin unei

drepte ~2' perpendiculara pe axa de rotatie, au 0 variatie liniara In functiede pozitia lor pe aceasta dreapta (fig. 24).

3 .3 . 4 . Miscarea de rototranslatie a solidului rigidUn solid rigid executa 0 miscare de rototranslatie atunci cand In tottimpul miscarii doua puncte apartinand acestuia raman permanent pe 0

dreapta fixa OZl.Miscarea solidului rigid se poate descompune intr-o miscare de

translatie rectilinie In lungul axei fixe OZl si 0 miscare de rotatie efectuataIn jurul aceleiasi axe (fig. 25).

Traiectoria unui punct oarecare Pi, apartinand rigidului In miscare derototranslatie fata de axa fixa OZl' este 0 curba apartinand cilindrului circulardrept avand ca axa de simetrie axa Oz 1 si ca raza, distanta de la punctul Pi laaxa OZl. La un moment oarecare, pozitia rigidului se poate determina daca secunoaste distanta 001 si unghiul e .Putem concluziona ca rigidul In miscare de rototranslatie are douagrade de libertate.


49/90

XFig. 25 - Miscarea de rototranslatie a solidului rigid

Pozitia punctelor Pi se determina cu relatia:f l i = f l o + ij

Prin derivare se obtine:(159)

(160)Dupa 0 noua derivare, rezulta:

ai =ao +EXij +rox(roxij) (161)Se observa ca axa miscarii de rototranslatie reprezinta locul geometric

al punctelor de viteza minima Vo .In cazul miscarii elicoidale intre viteza unghiulara ro si viteza de

translatie V o exista relatia:V o =!!_ ro (162)2nunde h este pasul surubului,

3 .3 . 5 . Miscarea plan-paralelii a solidului rigidUn solid rigid executa 0 miscare plan-paralela daca in tot timpulmiscarii, un plan apartinand acestuia ramane suprapus cu un plan fix dinspatiu.

Pentru studiul miscarii alegem doua sisteme de referinta: unul fix01XIYl ZI si unul mobil, solidar cu solidul rigid, al carui plan xOy ramanetot timpul miscarii suprapus cu planul fix X101Yl (fig. 26).Solidul rigid in miscare plan-paralela are 3 grade de libertate,deoarece sunt necesari 3 parametri scalari de pozitie: xlO , Y lO si e indeterminarea pozitiei acestuia.


50/90

z

y

Fig. 26 - Miscarea plan paraleld a solidului rigidPunetele solidului rigid ee apartin unei drepte ~ perpendiculara peplanul 1tl' numit plan director, au traieetoriile identiee, paralele intre ele,- -deoareee versorii k si kl sunt identiei.

Pozitia punetelor Pi ale solidului rigid pot fi determinate eu relatia:f l i = flo + fj (163)

prin derivare obtinem:V = v a + ro x r.I Irelatie care proiectata pe axele sistemului de referinta mobil Oxyz

(164)determina eomponentele veetorului viteza:

Vi =Vix 1+ viy .] + Viz k ={VOX - roYi) 1+ (VOy + roxJ] (165)Vix =vox - roYiviy =VOy + roxi (166)V =0lZMiscarea plan-paralela a solidului rigid se realizeaza prin

suprapunerea unei miscari de translatie a aeestuia, efectuata paralel eu unplan-reper 1t, eu 0 miscare de rotatie a rigidului in jurul unei axeperpendieulare pe planul 1t.

La un anumit moment t exista un punet pentru care viteza aeestuiaeste nula, Aeest punet notat eu I se numeste centru instantaneu de rotatie.


51/90

Locul geometric al punctelor succesive pentru care viteza lor este nulase numeste axd instantanee de rotatie.Daca in planul director se cunosc traiectoriile a doua puncte, ceea ceinseamna cunoasterea directiilor celor doua puncte, centrul instantaneu derotatie (CIR) I se determina astfel (fig. 27 a, b, c):

- fig. 27 a: CIR este locul geometric al intersectiei perpendiculareiduse din punctele A respectiv B pe suportul vitezelor punctelor respective;- fig. 27 b: cand perpendicularele pe directiile vitezelor a doua puncteA si B sunt paralele, atunci CIR este aruncat la infinit, ceea ce face caro=o . In acest caz, distributia de viteze in acest moment al miscarii plan-paralele este identica cu una de miscare de translatie,

- fig. 27 c: in cazul in care perpendicularele pe vitezele punctelor A siB se confunda, pentru determinarea CIR este necesar sa cunoastemobligatoriu si marimile vectorilor vitezelor vA si "e- CIR este la intersectiaperpendicularei comune cu directia care leaga varful vectorilor viteza,

a

I~ooOJ =0

b cFig. 27 a, b, c - Centrul instantaneu de rotatie

Locul geometric al CIR fata de sistemul de referinta mobil se numesterostogolitoare (centroidd mobila).

Locul geometric al CIR fata de sistemul de referinta fix poarta numelede bazd (centroidd fixii).

Daca aplicam relatia (164) pentru punctele Pi, respectiv Pj obtinem:~ : v R = V a + ro x i f (167)IPj : v P j = Va + r o x r j (168)

Prin scaderea relatiei (168) din relatia (167), rezulta:v ~ = v p j + r o x ( i f - r j ) (169)Dar:Rezulta:

(170)


52/90

(171)R =Vp +roxP.pi j J 1Generalizand relatia (171) pentru doua puncte oarecare A, respectiv

Bale solidului rigid, se obtine distributia campului vitezelor In miscareaplan-paralela:

sau:unde:

VBA = roxBAGrafic, relatia (174) arata ca In fig. 28.

Mi:Jcarede

translatie+ Mi:Jcarede

rotatie

(172)(173)(174)

=

= Mi:Jcareplan-paralela

Fig. 28 - Descompunerea miscarii plan-paraleldSuportul vectorului viteza VBA este perpendicular pe segmentul de

dreaptaAB.Vectorii viteza VA' respectiv VB sunt perpendiculari pe segmentele de

dreapta IA, respectiv IB (I = = CIR).Prin derivarea relatiei (164) se 0btine distributia acceleratiilor In

miscarea plan-paralela:a i =ao + Ex i t + r o x ( r o x i t ) (175)

Proiectand relatia (175) pe axele sistemului mobil Oxyz, se obtine:2a, =ao - E). - r o xlX X '.)'1 12aiy =aOy + EZ i - c o Yi

a, =01Z(176)


53/90

Relatiile obtinute arata ca In miscarea plan-paralela, vectoriiacceleratie pentru punctele situate pe drepte perpendiculare pe planuldirector sunt egali intre ei (aiz =0 si au, aiy nu depind de Zi).

In miscarea plan-paralela exista puncte de acceleratie nula, care suntplasate pe 0 dreapta perpendiculara pe planul director 1tl.

Pozitia acestui punct, notat cu J si numit polul acceleratiilor, seobtine prin anularea proiectiilor vectorului acceleratie pe axele sistemuluide referinta fix, respectiv mobil.

{au _ 0 ~ {aox = ro2x, + : y ,

a, - 0 a - ~V' ro\ Yzy Oy - ~i - UJ iPrin ridicare la patrat si adunarea relatiilor se obtine:2 2 ( 2 2 X 2 4 )o x + aOy = Xi + Yi E + 0)

JA =~x2 + y2 = ~a~x +a~y = IliA Iz z . . J E 2 +0)4 . . J E 2 +0)4Sa aplicam relatia (175) pentru punctele ~ respectiv Pj:

(~): a R = ao + Ex I i + 0 ) x (0 ) x I i )I( P j ): a Pj = ao + EX fj + 0 ) x (0 ) x fj )Prin scadere se obtine:

a~ = aPj + ~x ( I i - fj )+ 0 ) x l O ) x ( I i - fj ) Jcare prin generalizare devine:- - - - 2-aB = aA +Exr-O ) rsau:

(177)

(178)(179)(180)

(181)- - -'t -vaB = aA + aBA + aBA

Relatia (182) poate fi reprezentata grafic ca In fig. 29.

+

(182)

Fig. 29 - Acceleratia in miscarea plan-paraleliiDaca particularizam relatia (181) pentru polul acceleratiilor, obtinem:


54/90

O=aA +EX'1 -002'1 (183)Inmultim relatia (183) veetorialla stanga eu E obtinandu-se:- - 2-'1 = E X aA + 00 aA (184)

E2 + 004Relatia (184) determina pozitia eentrului instantaneu J al acceleratiilor,

3.3.6. Miscarea de rotatie a solidului rigid in jurul unui punct fIXUn solid rigid executa 0miscare de rotatie in jurul unui punet fix daca

in tot timpul miscarii un punet apartinand aeestuia ramane fix in raport euun reper triortogonal fix.

Solidul rigid in miscarea de rotatie in jurul unui punet fix are treigrade de libertate.

Ecuatiile parametriee ale miscarii de rotatie a unui solid rigid in jurulunui punet fix sunt definite eu ajutorul unghiurilor lui Euler (fig. 30):

' V = ' V ( t ) ; e = e ( t ) ; r p = q > ( t ) (185 )In eadrul miscarii de rotatie a rigidului C in jurul punetului fix 1,oriee rotatie finita poate fi descompusa intr-o infinitate de rotatiielementare in jurul punetului sau fix.

Aeestea pot fi inlocuite, din punet de vedere al traieetoriilor sidistributiei campului de viteze, prin rotatii elementare efeetuate in jurulunor axe instantanee de rotatie eu viteza unghiulara 00.

M x

Fig. 30 - Unghiurile lui EulerLoeul geometric al axelor instantanee de rotatie fata de sistemul

eartezian fix 01X1Y1z1 este 0 suprafata riglata avand forma unei panzeduble eoniee eu varful plasat in punetul fix 1 , numita axoidd fixd. Fata de


55/90

sistemul cartezian mobil Oxyz, locul geometric al axelor instantanee derotatie poarta denumirea de axoidd mobild, fiind tot 0 suprafata rigida deforma unei panze duble conice.

Celor trei unghiuri ale lui Euler le corespund trei viteze generalizate:-~ , S , < p .Vectorul viteza unghiulara 00 corespunzator miscarii de rotatie asolidului rigid In jurul unui punct fix are forma:

00 =~ + 8 + < p (186)In care S si < p sunt doi scalari vectorizati,

Proiectand relatia (186) pe axele sistemului cartezian mobil se obtine:O O x = \ jJ sin Ssin c p + 8 cos c pO O y = \ jJ sin Oco s c p - 8sin c p (187)O O z = \ jJ cos S + < p

Distributia campului de viteze se obtine cu relatia:v = ooxr (188)

care, proiectata pe axele sistemului cartezian mobil Oxyz, rezulta:Vx =OOyZ - oozY

(189)V z = ooxY - OOyX

Daca notam cu M ( x , y, z ) coordonatele unui punct de pe axainstantanee de rotatie si pun em conditia ca viteza acestuia sa fie nula, varezulta ecuatia parametrica a axei instantanee de rotatie fata de sistemulcartezian mobil Oxyz:

x y z (190)O O x O O y O O z

Distributia campului acceleratiilor se determina cu relatia:a =Exr+oox{ooxr) (191)

In care vectorul acceleratie unghiulara E are expresia: = r o =w x { t ).1 + w y { t ) ] + w z { t ) J C


56/90

CAPITOLUL4DINA MICA

4.1. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER4.1.1. Ecuatiile diferentiale ale misciiriiObiectul dinamicii este studiul miscarii mecanice a punctului material,a sistemelor de puncte materiale, a solidului rigid, respectiv a sistemelor de

solide rigide sub actiunea fortelor aplicate.Problemele de dinamica punctului materialliber pot fi c1asificate in:- Probleme directe: fiind date fortele, sa se gaseasca miscarea

punctului;- Probleme indirecte: presupunand miscarea punctului material, sa se

determine fortele care provoaca aceasta miscare,Problemele pot fi rezolvate aplicand ecuatia fundamentala a

dinamicii: ma =mr =F ( t , r , r ) (193)cu: - m este masa punctului material;

- F, t,r vectorul de pozitie, vectorul viteza si vectorul acceleratie;- a acceleratia punctului material;- F ( t , r, r) forta care actioneaza asupra punctului material.Relatia (193) poate fi proiectata pe axele unui sistem de coordonate.

Alegerea sistemului de coordonate: carteziene, cilindrice, sferice etc., seface in functie de forma vectorului F .Intr-un sistem de coordonate carteziene:

md2x =Xdt2md2y =ydt2 (194)

md2Z

=Zdt2Intr-un sistem de coordonate cilindrice:


57/90

m [ d 2 r _ ( d e ) 2 ] =Fd t 2 d t rm [ r d 2 e + 2 d r . d e ] =Fed t 2 d t d td2zm-2-=Fzd t

in care Fr, Fe, F; reprezinta proiectiile vectorului F pe axele decoordonate, iar ecuatiile parametrice sunt: r = r { t ) , O= e { t ) , z = z { t ) .

Intr-un sistem de coordonate sferice:m ~ - r c p 2 - r S 2 cos2 q = F;m { 2 f c p + r e p + r S 2 sin r p cos r p ) = Fe (196)m { 2 f S cos q > - 2 r S c p sin q > + r 8 cos q > ) = Fcp

in care Fr, Fe, Fcp reprezinta proiectiile vectorului F pe axele de

(195)

coordonate, iar ecuatiile parametrice sunt:r = r { t )e = e { t )q > = q > { t )

Intr-un sistem de coordonate intrinseci (naturale):mdv =Fd t ' " (

v 2m-=FypO=FB

in care F'"(,Fy, F p reprezinta proiectiile vectorului F dupa directiatangentei, normalei principale si respectiv binormalei.

Putem conc1uziona ca studiul miscarii unui punct material conduce laintegrarea unui sistem de trei ecuatii diferentiale de ordinul doi, cu solutiide forma:

(197)

x =x{t,C1,C2, ... ,C6)y =y{t,C1,C2, .. ,C6)z = z{t,C1 ,C2, .. . ,C6)

(198)


58/90

Constantele C1, C2, ... , C6 se obtin din conditiile la limita sau initialeale miscarii:

x ( O ) = x o ; y ( o ) =Y o ; z ( O ) = Z ox ( O ) = x o ; y ( O ) =Y o ; z ( O ) = Z o (199)

rezultand:C1 = f l ( t , x , y , z , x , y , z )C2 = f 2 ( t , X , y , z , x , y , z ) (200)C6 = f 6 ( t , x , y , z , x , y , z )

Functiile din relatiile (200) reprezinta integralele prime ale sistemuluide ecuatii diferentiale (194).

Stabilirea integralelor prime este 0 problema dificila, Rezolvareaacestei probleme se face cu ajutorul unor teoreme si principii deduse prinaplicarea principiilor fundamentale ale mecamcn si a unor notiunifundamentale specifice dinamicii.

4.1.2. Teorema variatiei impulsuluiImpulsul unui punct material H este un vector de expresie:

H =mv (201)in care:

- m este masa punctului material;- v este viteza punctului material.Vectorul impuls H are aceeasi directie si acelasi sens ca vectorulviteza,Din ecuatia fundamentala a dinamicii (193) rezulta:- d v - d ( m v ) - d H -ma =F => m- = F => =F => - = F (202)d t d t d tEcuatia (202) reprezinta teorema variatiei inpulsului: derivata in

raport cu timpul, a impulsului unui punct material, este egala cu fortarezultanta ce actioneaza asupra acestuia, in tot timpul miscarii,

Proiectand relatia (202) pe axele unui sistem cartezian O x y z , seobtine: d H . n_x =H =X=""F.d x ~ IXt i=l

d H y. n-=H =Y=LF.d t y . lyl=l (203)d H . n_z =H =Z=""F.d t z ~ lZl=l


59/90

In cazul In care R =0 (sau 0 components sau doua componenteoarecare ale acestuia), atunci:

- -H =0 ~ H =ct. ~ mv =ct. (204)expresie care poarta denumirea de legea conservdrii impulsului: pentru unpunct material la care rezultanta fortelor aplicate este nula, impulsul seconserva.

Relatia (204) arata ca miscarea punctului material este rectilinie siuniforma,4.1.3. Teorema variatiei momentului cineticMomentul cinetic In raport cu un punct fix 0 al unui punct material

este prin definitie momentul vectorului impuls al punctului material Inraport cu polul 0:

Ko =rxH (205)(206)o =rxmv

Inmultind vectorial la stanga cu r ecuatia fundamental a a dinamicii(193) se obtine:dV - d( ) -rxm-=rxF ~ - rxmv =rxF ~dt dt

dK - dK~-_o =rxF ~ __ 0 =Mdt dt (207)

Relatia (207) reprezinta teorema variatiei momentului cinetic:derivata In raport cu timpul a momentului impulsului fata de un punct fixOeste egala In timpul miscarii cu momentul fortei fata de acelasi polO.Tinand cont de expresiile vectoriale ale lui r , v respectiv F :

r=xl + yj+ekv =xl + y] + zkF=Xl+Yj+Zk

prin proiectarea relatiei (207) pe axele unui sistem cartezian Oxyz seobtine: dK d_ O , - , - , - - - x =-[m(yz-zy)] = M'; = yZ -zydt dt

dKo d--=---y = - [m ( z x - x z ) ] = My = zX - x Z (208)dt dtdKoz = ! ! _ [m ( x y - yx)] = Mz = xY - yXdt dtcare reprezinta teorema momentului cinetic In raport cu axele respective.


60/90

Daca comparam expresia teoremei variatiei momentului einetie (207)eu expresia vectoriala a vitezei punetului:- -Ko =Mo (209)r =Vse poate spune ea viteza unui punet ee deserie eurba hodograf a veetoruluimoment einetie In raport eu un punet fix este egala eu momentulrezultantei sistemului de forte In raport eu acelasi punet.

Daea:Mo =0 ~ Ko = ct.

adica momentul einetie al punetului material In raport eu un punet fix seconserva,Punetul material ramane In tot timpul miscarii intr-un plan ee contine

punetul O. Datorita aeestui fapt se poate studia miscarea aeestuia intr-unsistem de eoordonate polare.

r =rpv = fp +r8~Din M 0 = 0 rezulta ea R =0 sau r =AR .

(210)

A doua conditie arata ea rezultanta fortelor aplieate punetului materialtreee prin punetul fix O. Miscarea punetului material se numeste, In aeesteaz, miscare centrald.

Ko=ct. ~ fxmv=ct. ~ (rp)x(fp+re~)=ct. ~~ r

2e(p x ~) =ct.

(211)2'N ~ r\ r 8 . I ~otam eu ~l. =- viteza area ara.2Relatia (211) arata ea punetul material se misca eu viteza areolara

constanta (raza veetoare matura arii egale In intervale de timp egale) pe 0traieetorie situata intr-un plan ee contine punetul fix O.

4.1.4. Teorema variatiei energiei cineticeEnergia cinetica a unui punet material de masa m, aflat In miscare eu

viteza v este, prin definitie, egala eu expresia:1 2E =-mv (212)2

Luerul meeanie elementar al fortei F corespunzator deplasarii dreste prin definitie egal eu produsul scalar al veetorului F eu veetorul dr .

dL =F .dr (213)sau:

dL = Xdx=Ydy= Zdz (214)


61/90

Intrucat Idrl=ds, relatia (213) se mai poate scrie:dL = Fdscosa (215)

In care a este unghiul format de vectorul F cu tangenta la traiectorie (fig.31).

A

Fig. 31 - Unghiul format de vectorul F cu tangenta la traiectorieLucrul mecanic corespunzator unei deplasari finite AB a punctuluimaterial are expresia:

B BLAB= J F dr = J(Xdx+Ydy+Zdz)A A

LAB=Fscosa(216)

Dadi forta F este in permanenta normals la traiectorie ( I X =~),lucrul mecanic al acestei forte va fi nul.

Daca inmultim scalar cu dr ecuatia fundamentala a dinamicii (193) seobtine:

dv -m-dr=FdrdJr - = > mv .dv = F .drv =- - = > dr = vdtdt

(217)

Dar:1 ( 2 ) 1 2 (1 2 )vdv = -md v = -mdv =d -mv = dE2 2 2Din (217) si (218) rezulta:

dE=dL(218)(219)

relatie ce poarta denumirea de teorema variatiei energiei cinetice: In oricemoment din timpul miscarii, diferentiala energiei cinetice este egala culucrul mecanic elementar corespunzator fortei rezultante ce actioneazaasupra punctului material.Integrand relatia (219) intre doua puncte de pe traiectorie rezulta:


62/90

EB -EA = LAB (220)Sub forma finita, teorema variatiei energiei cinetice arata ca: diferenta

dintre energia cineticd finald si energia cineticii initiald este egald culucrul mecanic al fortei rezultante calculat fntre pozitia initiald si ceafinald.4.1.5. Teorema conserviirii energiei mecanice

Sa presupunem ca forta F poate fi scrisa sub forma:X=dU .:: Z=dU (221)dx dy dz

In care U este 0 functie scalara ce depinde de coordonatele punctului deaplicatie al fortei:

U=U(x,y,z) (222)Functia U astfel definita se numeste functie de jar/a.Conditiile necesare si suficiente pentru ca forta F sa admita 0 functie

de forta sunt: a x a y- --By a xa y a z (223)--a z Bya x a z- --a z a x

Lucrul mecanic elementar al fortei F este:- a u a u a udL = F -di =-dx+-dy+-dz = dU (224)a x By a zTeorema variatiei energiei cinetice (219) devine:

dE = dU (225)care prin integrare rezulta:E=U+hIn care h este 0 constanta de integrare.

Lucrul mecanic al fortei F, pe traiectoria AB, devine:B BLAB = J F . dcr= J dU = UB - UA (227)A ARelatia (227) arata ca lucrul mecanic nu depinde de drumul parcurs, ci

numai de pozitia initiala A si de pozitia finala B .Din relatiile (225) si (226) rezulta:

EB -EA = UB -UA (228)Daca In locul functiei U consideram 0 functie potentiala V definita

(226)

pnn:


63/90

V=-u (229)rezulta:

d(E + V) = 0 => E + V =ct. (230)Marimea V reprezinta energia potentialii de pozitie a punctului

material.Suma dintre energia cinetica si energia potentiala se numeste energie

mecanicd Em.Relatia (230) se poate scrie:

Em =E + V =ct. (231)relatie ce exprima teorema conservdrii energiei mecanice: daca fortarezultanta F deriva dintr-o functie de forta, energia mecanica a punctuluimaterial se conserva,

4.1.6. Miscarea punctului material sub actiunea greutiuiiGreutatea unui punct material se exprima printr-un vector:G =mg (232)de directie invariabila, avand modulul constant.

Marimea acceleratiei gravitationale g depinde de distanta punctuluimaterial fata de suprafata Pamantului, Astfel, la nivelul marii, la ecuatorg=9,87lm/s2, la pol g=9,83lm/s2, la latitudinea Bucurestiuluig =9,806m/ s2.

a) Miscarea rectilinie ascendentd in vidConsideram ca punctul material este aruncat de la suprafataPamantului In sus, cu viteza v a (fig. 32).

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7Fig. 32 - Miscarea rectilinie ascendentd in vid

Ecuatia vectoriala a miscarii este:d2-r -m-=Gdt2care proiectata pe axa Oz are expresia:

(233)


64/90

d2zm--=-mgdt2Solutia ecuatiei (234) este:I 2Z =- - gt + C1t + C22

(234)

(235)Constantele de integrare C1, C2 rezulta din conditiile initiale alemiscarii:

(236)In final:

1 2Z =-- gt + vot (237)2Legea vitezei se obtine prin derivarea relatiei (237):v =V o - gt (238)Teorema conservarii energiei meeaniee permite obtinerea unei relatii

intre viteza punetului material si distanta parcursa pe verticala,Se observa ea forta G deriva din funetia de forta:, "U =-mgz (239)Din (226) rezulta:

mv2--=-mgz+h2Constanta h rezulta din eonditiile initiale:,

(240)2mvoz = 0 => v = V o => h =--2Din (240) si (241) rezulta:

2 2 2v =V o - gz

(241)

(242)b) Miscarea rectilinie descendentd in vidEcuatia miscarii este:

(243)eu solutiile:

1 2Z = -gt +vot2v = "o + gt2 2V = Vo + 2gz

(244)


65/90

c) Miscarea curbilinie in vidPresupunem di punctul material este aruncat de la sol cu viteza Vo

care formeaza unghiul ao cu planul orizontal (fig. 33).Punctul material va descrie 0miscare curbilinie.Problema astfel formulata corespunde cazului miscarii proiectilelor In

vid.z

p

xoFig. 33 - Miscarea curbilinie in vid

Planul Oxz se numeste plan de trag ere , V o reprezinta vitezaproiectilului la gura tevii, iar ao este unghiul de tragere.

Proiectand ecuatia fundamentala a dinamicii pe axele sistemuluicartezian Oxyz se obtine:

d2x =0dt2d2y =0dt2d2z-=-gdt2Conditiile initiale sunt:, x=y=z=o

X = "o cosao

(245)

t =O~ (246)y= O2 0 = Vo sin u.,

Dupa integrarea relatiilor (245) si tinand cont de (246), se obtine:(247)

1 2 .Z =-- gt + votslnao2


66/90

Din ecuatiile (247) rezulta ca traiectoria punctului material estecuprinsa In planul xOz (planul de trag ere).

Ecuatia traiectoriei se obtine eliminand parametrul t din ecuatiile(247):

g 2Z = - 2 2 X + xtguo (248)2vo cos Uode unde rezulta ca traiectoria proiectilului In vid este 0 parabola care treceprin originea 0 (punctul de trag ere).

Intersectia traiectoriei cu axa Ox rezulta din conditia:,z=0 (249)

Din relatia (248) rezulta doua solutii:xl =0 =Xo

2 . 2Vo SIn UoX2 = = XAgIn balistica, distanta OA (fig. 34) se numeste bataia proiectilului f 3 :

(250)

2 . 2f 3 =Vo SIn Uog (251)

Bataia maxima, In vid, se obtine pentru un unghi de tragere Uo =45 .Inc1inarea tangentei la traiectorie se obtine din ecuatia (248):

dz gxtgo. = - =tguo - 2 2 (252)dx "o cos Uode unde rezulta ca In punctul A avem:I U A I = U oceea ce inseamna ca In punctul de cadere A, tangenta la traiectorie face cuorizontala un unghi egal in valoare absoluta cu uo.

z

vsma

v V

B


67/90

Fig. 34 - Traiectoria proiectilului in vidPunand conditia:

dz =0dx (253)se obtine sageata maxima a traiectoriei (abscisa varfului traiectoriei V).2 .V o slnao cosao J3Xv = g

Introducand (254) in (248) se obtine:2

Zmax = V o sin 2 ao2gSageata corespunzatoare batliii maxime ( ao =:) este:

2 (254)

(255)

Z = v~ = J3maxmax 2g 4

Componenetele vitezei se obtin prin derivarea relatiilor (247):(256)

Vx = X = V o cosaoVy = Y = 0 (257)v z = Z =- gt + V o sin aoViteza punctului material intr-un punct de pe traiectorie este:

v =V o cosao (258)cosaDin relatia lui v z se obtine timpul t1 necesar parcurgerii arcului detraiectorie OV:

V o s m o.,t1 = ---=-----=--g (259)Din considerente de simetrie rezulta ca durata proiectilului pe traiect

este:T = 2t = 2vo sinao

g (260)o problema frecvent intalnita in tragerile artleristice se poate formulaastfel: fiind data 0 gura de foe care imprima proiectilului viteza vo, sa sedetermine unghiul de tragere "o astfel ca proiectilul sa loveasca tinta aflatain punctul p(xo,Yo).

Din relatia (248) avem:


68/90

g 2Zo =- 2 2 Xo + xotgao =>2vo COS 0.02v2 2v2z=> tg2ao - _0 tgao + 1+ 020=0gxo gxo

(261)

cu solutiile:( t g U O ) l , 2 = : 0 [ 1 + ~ f(;~- : v ~ - Z o J ]

Problema formulata are solutie daca radacinile(262)

ecuatiei (261) suntreale, adica este satisfacuta relatia:

v2 gx2< I > =_0 __ 0 -zo ~O (263)2g 2v~Punctele p(xo, Yo) care pot fi lovite de proiectil cu viteza initiala V o

sunt delimitate de curba de ecuatie:2g 2 VoZo = --2 Xo + - (264)2vo 2g

care reprezinta 0 parabola avand axa Oz ca axa de simetrie (fig. 35).z

Fig. 35 - Parabola de sigurantiiPentru punctele aflate sub parabola (264) avem < I > > 0 si ecuatia (261)are 2 radacini reale. Prin urmare, aceste puncte pot fi lovite cu doua

unghiuri de tragere: cu un unghi a > 45 (traiectorie inalta); cu un unghi 0. =0 si ecuatia (261)

are 2 radacini reale si egale, deci aceste puncte pot fi lovite numai cu 0anumita valoare a unghiului de tragere.


69/90

Punctele situate deasupra parabolei (264) nu pot fi lovite intrucatecuatia (261) nu are radacini reale.

Curba (264) delimiteaza punctele din spatiu ce pot fi lovite de celecare nu pot fi atinse de proiectilele trase dintr-o gura de foe. Aceasta curbase numeste parabola de sigurantd.

Parabola de siguranta reprezinta Infasuratoarea fasciculului detraiectorii care se pot obtine pentru aceeasi viteza v o .d) Miscarea punctului material in atmosfera

In cazul miscarii in atmosfera, asupra punctului material actioneazaforta de greutate G si forta de rezistenta la inaintare R .

Ecuatia vectoriala a miscarii ascedente este:d2-r - -m2 = G +R (265)dtdin care se obtine ecuatia scalara:,

d2z 2m--=-mg-kvdt2 1 (266)in care: I R I = k1v2

Din ecuatia (266) rezulta:d2 z ( 2 )dt2 =- g+kv

(267)

(268)cu:

k = k l (269)mDin v = dz rezulta dv =-(g + kv2 )dt care prin integrare devine:dtJ dv 2 = - S dt ~ arctg( !Iv] = arctg( ~ v o J - tfik ~V o g + kv 0 ~ g ~go

v = ( v +L ] 1 _ Lo kv [ kv 1+Vo V gtg&fik) z = ~[lncos&fik)+vo~Sin(tfik)]

(270)

e) Miscarea curbilinie in atmosferaPentru miscarea proiectilelor in atmosfera, rezistenta la inaintare are

expresia:


70/90

-R = - c H { z } F { v } vvin care variatia densitatii aerului cu inaltimea z este exprimata prin functiaH { z } , iar c este un coeficient a carui valoare depinde de formaproiectilul ui.Ecuatiile scalare de miscare sunt:d2 .m _ _ _ _ ! _ = - c H { z } F { v } xdt2 v

(271)

d 2 .m _ _ _ ! _ = - m g - c H { z } F { v } z~2 v

Studiul miscarii proiectilului pe baza relatiilor (272) reprezintaproblema fundamental a a balisticii exterioare.

4.1.7. Miscarea punctului material sub actiunea unei forte centraleDaca suportul fortei F, ce actioneaza asupra unui punct material,trece necontenit printr-un punct fix din spatiu, forta F se numeste for/a

centra/a.Forta centrala in sistemul de coordonate polare poate fi scrisa:

F =+Fp (273)

(272)

in care peste versorul vectorului de pozitie (fig. 36)..... F. . . .. . .

x

Fig. 36 - Miscarea punctului material sub actiunea unei forte centraleForta F poate fi de atractie daca are sensul spre punctul 0, sau de

respingere daca are sens opus.Intrucat momentul fortei F in raport cu polul 0 este nul, momentul

cinetic al punctului material se conserva, iar miscarea se face cu vitezaareolara constants (211).

Ecuatia de miscare sub actiunea fortei centrale este:d vm=+Fp (274)dtProiectand relatia (274) pe axele unui sistem de coordonate polare,

rezulta:


71/90

m~-re2)=+Fm { 2 f S + r 2e ) = 0

A doua ecuatie din relatiile (275) se mai scrie:~~2S)=0 => r2S=C=et => S=_f_dt r2

Putem scrie:

(275)

(276)

o dr de e drr=-o-=-o-de dt r2 de (277)

00 dr de C dr=-o-=-o-de dt r2 de(278)

Introducem (278) si (276) In prima relatie din (275) si obtinem:

m _ C2 d 2 ( ~ ) _ C2 = + F => d 2 ( ~ ) + . ! . =+ F r 2 (279)r2 de2 r3 - de2 r me2ecuatia diferentiala a traiectoriei punctului material sau ecuatia lui Binet.

Cea mai importanta forta centrala este forta de atractie care se exercitaintre doua puncte materiale de mase m1 ~1 m2 situate la distanta unul dealtul:

(280)In care 1 este constanta universala a gravitatii ~1 are valoarea:1-6,710-1 1 No

a) Miscarea rectilinie sub actiunea fortei de atractie universaldIn acest caz C =0, rezultand:

8=0 (281)


72/90

ceea ce inseamna ca raza vectoare a punctului material, dusa din punctulfix 0, are 0 directie invariabila. Prin urmare, punctul material are 0miscare rectilinie.

b) Miscarea curbilinie sub actiuneafortei de atractie universaldIn relatia (279) inlocuim expresia fortei de atractie universala

F=fM.m (282)r2si obtinem:

(283)Notam:

(284)si rezulta: dt) 1 1---+-=-d82 r p

Solutia ecuatiei diferentiale (285) este:1 1- =Acos(8 - 81)+-r p

In care A si 81sunt constante de integrare.Ecuatia (286) se mai poate scrie:r= p1+ ecos(8 - 81)

(285)

(286)

(287)In care:

e= i Ap (288)Ecuatia (287) reprezinta ecuatia unei conice cu focarul in O. Marimea

p se numeste parametrul conicei, e reprezinta excentricitatea conicei, iar 81defineste axa mare a conicei In raport cu raza vectoare a pozitiei initiale,Pentru determinarea constantelor de integrare se scnu conditiileinitiale:

t = 0 : : : : : : > 'f = ' fo, v =vo , 8 = 0( v p ) o = " o cosc, = 'f o(v~Jo="o sin n= ( r e ) o

In final se obtine:

(289)


73/90

C= r o v o sin u2 2 . 2r o V o SIn ap= jM (290)

Pentru determinarea constantelor e si 81derivam relatia (287).p = 1+ ecos(8 - 8

1) => -_E_r =-e8sin(8 - 8

1) (291)

r r 2Introducand conditiile initiale (289) in (287) si (291) obtinem:

ecos 81 = _ E _ -1r o (292). 8 _ pcosaeSln 1 - - .r o SInacare prin ridicare la patrat si adunare rezulta:

e2 = p : ( 1 + c~s: a J + 1 - 2 P =>r o SIn a r o=> e2 =1+ 2 r o V 5 sin2 a ( r o v 5 -lJjM 2jM

(293)

Daca:< 1 => e/ipsa

e = =1 => parabola> 1 => hiperbola

Sensul comcu nu depinde de orientarea vitezei v o , CI numai devaloarea absoluta a vitezei si de distanta initial a r o '

Daca:

(294)

< J2fM ~ conica este 0 elipsiir oVo =J2

fM~ conica este 0 parabolar o

> J 2fM ~ conica este 0 hiperboldr o (295)Conditia ca traiectoria sa fie ci

Documents

Mecanica Curs