1

HIDROSTATICA

Disciplina mecanica fluidelor prezintă legile de mişcare generale ale mişcării şi repausului fluidelor, precum şi metodele de calcul hidraulic ale instalaţiilor de stocare şi transport ale diferitelor fluide (agent termic, aer condiţionat, apă potabilă şi industrială, ape uzate, gaze şi lichide combustibile, fluide speciale etc.). Astfel, probleme de repaus sau de mişcare se întâlnesc la diferite categorii de instalaţii pentru construcţii – încălzire, frigorifice, ventilare, climatizare, desprăfuire, sanitare etc.).

Statica fluidelor, numită şi hidrostatică, studiază repausul absolut şi repausul relativ al fluidelor precum şi acţiunea fluidelor asupra corpurilor solide cu care acesta vine în contact.

Un corp fluid se află în repaus faţă de un sistem de referinţă dacă orice particulă are viteză nulă în raport cu sistemul de referinţă considerat.

Presiunea hidrostatică sau presiunea statică este mărimea scalară care exprimă starea de tensiune, deci gradul de comprimare al fluidului în punctul considerat.

Unitatea de măsură SI este N/m2 (1 bar = 105N/m2).În tehnică se mai folosesc şi alte unităţi pentru exprimarea presiunii statice ca

atmosfera tehnică sau înălţimea unei coloane de lichid.În continuare se prezintă câteva din transformările uzuale folosite cu unităţile de

măsură tolerate:

1bar= 105 N/m2=105 Pa;1at= 1 kgf/cm2 = 9,8 104 Pa1atm=760 mmHg=10,33 m H2O = 101,325 103 Pa1torr=1mm Hg = 133,322PaPresiunea se poate exprima în diferite scări, în funcţie de punctul 0 de referinţă:-scara absolută (0 este în vid);-scara manometrică (0 este considerată presiunea atmosferică normală);-scara vacuumetrică (invers ca la scara manometrică).Dacă se consideră cu aproximaţie globul pământesc de formă sferică, liniile de forţă

ale atracţiei gravitaţionale au direcţie radială. Pentru suprafeţe mici comparativ cu suprafaţa globului, câmpul gravitaţional terestru este asimilat cu un câmp paralel de forţe masice. Prin forţe masice se înţeleg forţele proporţionale cu masa corpului.

1.1 LEGEA HIDROSTATICII

Considerăm un fluid omogen, cu densitatea constantă , aflat în repaus în câmp gravitaţional paralel, se separă un cilindru de lungime finită l şi cu secţiune transversală elementară dA (fig.1). Pentru a rămâne în repaus, forţele de legătură şi forţele masice trebuie să respecte condiţia de echilibru pe direcţia axului cilindrului:

2

Figura1 p1dA – p2dA +Gcos = 0

În care p1 şi p2 sunt presiunile statice în dreptul secţiunilor (1) şi (2), iar G este greutatea cilindrului separat din masa fluidă:

G = gldA

Relaţia (1) devine:

p1dA – p2dA + gldA cos = 0sau:

p1 – p2 + gl cos = 0 (2)

Întrucât lcos = z1 – z2 rezultă:p2 = p1 +g(z1 – z2) (3)

Relaţia (3) dă posibilitatea calculării presiunii în orice punct 2 dacă se cunoaşte presiunea într-un alt punct 1 şi înălţimile de poziţie ale punctelor respective precizate faţă de un plan orizontal de referinţă PR prin valorile z1 şi z2 (v.fig. 1).

Dacă se separă termenii ce conţin indicii 1 şi 2 şi se împarte relaţia (3) cu g, se obţine:

(4)

sau, în forma generalizată:

(5)

care exprimă legea hidrostaticii. Valoarea constantei din membrul drept este aceeaşi în tot domeniul ocupat de fluidul în repaus şi se poate determina dacă se cunoaşte cuplul de valori p şi z pentru un punct oarecare al domeniului.

În cazul unui sistem hidraulic format din mai multe fluide omogene şi nemişcibile, legea hidrostaticii se aplică din aproape în aproape, pentru fiecare fluid în parte. Astfel, la sistemul din figura 2 , se aplică mai întâi între punctele 1 şi 2, între care există fluidul de densitate 1, şi apoi între 2 şi 3, unde se află un fluid de densitate 2:

3

Figura 2

p2 = p1 + 1g(z1 – z2)p3 = p2 + 2g(z2 – z3)

şi prin însumare se obţin:p3 = p1 + 1g(z1 – z2 ) + 2g(z2 – z3)O condiţie de aplicare a legii hidrostaticii este ca punctele să poată fi unite printr-o

linie continuă care să rămână cuprinsă în interiorul fluidului. Astfel, în figura 3, această lege poate fi aplicată între punctele 1 şi 2, dar nu şi între 1 şi 3, întrucât punctul 3 se află într-un alt compartiment al rezervorului, separat de compartimentul cu punctele 1 şi 2.

Figura 3

1.2 CONSECINŢE ŞI APLICAŢII ALE LEGII HIDROSTATICII

Diferenţa de presiune dintre două puncte 1 şi 2 este egală cu greutatea unei coloane de fluid cu secţiune unitară şi înălţimea h dată de diferenţa înălţimilor de poziţie ale celor două puncte (v.fig.1). Conform relaţiei (3), se scrie:

p2 - p1 = g(z1 – z2) = gh (6) Presiunile variază liniar cu adâncimea. Astfel, dacă punctul 1 se ia la suprafaţa

lichidului dintr-un recipient (fig. 4), iar coordonata h (adâncimea) pozitiv în jos, rezultă într-un punct oarecare presiunea p:

p = p1 + gh (7)cu variaţia liniară funcţie de h, care demonstrează proprietatea enunţată.

Figura 4

4

Se numeşte suprafaţă izobară suprafaţa alcătuită din puncte ale unui fluid, în care presiunea este aceeaşi. În cazul repausului în câmp gravitaţional paralel, suprafaţa izobară este un plan orizontal. Pentru precizare, fie două puncte 1 şi 2 cu aceeaşi presiune, p1 = p2 (fig. 5). Conform relaţiei (4):

Figura 5

de unde rezultă z1 =z2, adică punctele 1 şi 2 se află într-un plan orizontal, paralel cu planul de referinţă PR şi situat faţă de acesta la cota z1 =z2 .Este adevărată şi reciproca că un plan orizontal este în acelaşi timp un plan izobar. În relaţia (4), dacă se pune condiţia z1

=z2, rezultă p1 = p2.

Principiul vaselor comunicante (fig. 6): în toate vasele comunicante lichidul se ridică la acelaşi nivel, deoarece la suprafaţă acţionează aceeaşi presiune, presiunea atmosferică.

Figura 6

Principiul lui Pascal: o modificare de presiune într-un punct al unei mase fluide omogene se transmite cu intensitate egală în tot domeniul ocupat de acel fluid aflat în repaus. Fie două puncte oarecare 1 şi 2 în interiorul unui rezervor (fig. 7) între care se aplică legea hidrostaticii:

p2 = p1 + 1g(z1 – z2)

Figura 7 Se presupune că în punctul 1 se modifică presiunea cu p: p1

′ = p1 + p şi se urmăreşte precizarea noii presiuni p2

′ care se stabileşte în punctul 2.

5

p2′ = p1

′ + g(z1 – z2) = p1 + p + g(z1 – z2) = p2 + pde unde rezultă că modificarea presiunii în punctul 2 se realizează tot cu valoarea p. Acest principiu este valabil doar dacă densitatea se menţine constantă în fiecare punct la modificarea presiunii (cazul modelului de fluid incompresibil).

Particularizarea legii hidrostaticii în cazul gazelor. Deoarece densitatea gazelor este redusă (densitatea aerului este de circa 800 ori mai mică decât a apei), în cazul volumelor mici de gaz, se pot neglija forţele masice (greutatea gazului).

Astfel, dacă g(z1 – z2) p1 sau p2, relaţia (3) se poate aproxima cu:

p1 p2

sau, în general:p = ct. (8)Relaţia (8) arată că presiunea într-un volum de gaz este aceeaşi în orice punct, cu

condiţia ca diferenţa z1 – z2 să nu fie prea mare şi temperatura să se păstreze constantă (cazul instalaţiilor pentru construcţii).

APLICAŢII

6

1. Se consideră recipientul sub presiune din figura 8. Înălţimea până la care se ridică apa în tubul manometric (tub piezometric deschis) este h = 10 m. Să se calculeze presiunea p0 . Densitatea apei este 1000 kg/m3, presiunea atmosferică pat

= 1 at.

Figura 8

Rezolvare. Se aplică legea hidrostaticii sub forma (3) între punctele 1 şi 2 (v.fig.8) în care presiunile sunt p0, respectiv pat:

p0 = pat +g(z2 – z1) = pat + ghÎn scară manometrică pat = 0 rezultând:p0 = gh = 1000 9,81 10 = 0,981 105 N/m2 = 0,981 daN/cm2 = 0,981 barÎn scară absolută la valorile obţinute mai sus se adaugă presiunea atmosferică pat p0 = 0,98 105 +0,981 105 = 1,961 105 N/m2 = 1,961 bar

2. Să se stabilească formula de calcul a diferenţei de presiune între punctele A şi B la sistemul din figura 9 care reprezintă schema de montare a unui manometru diferenţial cu două lichide. Modul de funcţionare a aparatului este următorul: punctele A şi B se pun în legătură prin două tuburi de cauciuc cu tubul de sticlă CDE; păstrând robinetul R deschis, apa pătrunde în aparat şi-l umple; prin partea de sus se introduce apoi ulei sub presiune coborând nivelul apei până se ajunge la situaţia din figură, după care robinetul R se închide.

Figura 9În această situaţie, între cele două ramuri se creează o diferenţă de presiune de

nivel egală cu h, iar problema constă în a determina diferenţe de presiune pA – pB în funcţie de h.

7

Rezolvare. Problema se rezolvă stabilind relaţia care există între presiunile din cele două puncte A şi B cu ajutorul legii hidrostaticii scrisă sub forma (3).

În cazul problemei de faţă nu se poate scrie direct relaţia între punctele A şi B pe drumurile AFB sau ADB, deoarece nu sunt îndeplinite condiţiile enunţate, şi anume:

- calea AFB trece prin lichid în mişcare şi deci de-a lungul lui nu se poate aplica legea hidrostatică;

- calea ADB străbate două lichide diferite, aflate în echilibru.Problema se rezolvă scriind relaţia (3) pe drumul ACDEB, pentru fiecare lichid în

parte:de la A la C: pA =pC + ag(zC –zA)de la C la E: pC= pE + ug(zE –zC)de la E la B: pE= pB + ag(zB –zE)Adunând cele trei ecuaţii se obţine:

pA –pB = g(a - u)(zC – zE) = g(a - u)h

1.3 REPREZENTAREA GRAFICĂ ŞI INTERPRETAREA ENERGETICĂ A LEGII HIDROSTATICII

z este înălţimea de poziţie sau cota geodezică a punctului considerat;

- înălţimea piezometrică

Înălţimea piezometrică este echivalentă cu înălţimea unei coloane de acelaşi fluid, care prin greutatea sa produce în punctul considerat o aceeaşi presiune p. Suma celor doi termeni, conform legii hidrostaticii (5) este constantă în orice punct al fluidului şi se numeşte cotă piezometrică sau sarcină hidrostatică:

Considerăm un rezervor cu lichid la suprafaţa căruia se află o pernă de aer sub presiune mai mare decât presiunea atmosferică (fig.10 a) sau mai mică decât presiunea atmosferică (fig.10 b).

Exprimarea presiunii se poate face cu ajutorul a două scări de măsură, după modul în care este aleasă originea. Când originea scării este considerată vidul absolut, scara se numeşte absolută sau barometrică şi, corespunzător, presiunile sunt absolute sau barometrice, cu notaţia pa sau pb. În tehnică, se alege adeseori ca origine presiunea atmosferică pat şi, în acest caz, scara de măsură poartă numele de relativă sau manometrică şi defineşte presiunile corespunzătoare numite relative sau manometrice, prin relaţia:

pm = pa - pat (9)în care:

pm – presiunea manometricăpa – presiune absolutăpat – presiunea atmosferică

8

Figura 10

Conform relaţiei (9) presiunea manometrică poate avea valori pozitive sau negative, după cum pa este mai mare sau mai mică decât pat.

Presiunea vacuummetrică este egală cu cea manometrică dar de semn opus.pv = pat - pa

pm = -pv (10)La rezervoarele din figura 10, se notează cu p0 presiunea absolută a aerului din

perna de aer sub presiune de la suprafaţa lichidului şi se consideră cele două cazuri posibile.

Cazul p0 pat. Se alege în masa lichidă un punct oarecare M şi se ataşează rezervorului un tub barometric (tub piezometric închis la partea superioară unde se realizează vid absolut) şi un tub manometric (tub piezometric deschis la partea superioară).

În tubul barometric, lichidul se ridică până la planul barometric PB (locul geometric al punctelor în care presiunea absolută este nulă), iar în tubul manometric, până la planul manometric PM (locul geometric al punctelor în care presiunea manometrică este nulă sau unde presiunea absolută este egală cu presiunea atmosferică). Corespunzător punctului M, în fig. 10 a s-au introdus notaţiile:

z – cota geodezică faţă de planul de referinţă PRha = pa/g – înălţimea piezometrică absolută sau înălţimea barometricăhm = pm/g - înălţimea piezometrică relativă sau înălţimea manometricăHs = z + pa/g – sarcina hidrostatică absolută sau sarcina barometricăHm = z + pm/g - sarcina hidrostatică relativă sau sarcina manometricăIndiferent de poziţia punctului M, sumele Hs = z + pa/g şi Hm = z + pm/g rămân

constante conform condiţiei de repaus şi constituie susţinerea grafică a afirmaţiei că valoarea constantei din legea hidrostaticii (5) este în tot domeniul ocupat de fluid.

În partea dreaptă a figurii 10 a, a fost trasată variaţia presiunilor pe verticală, corespunzător scărilor de măsură introduse. În dreptul punctului M se consideră o presiune manometrică pozitivă pm şi se verifică grafic relaţia (9) . Totodată, la nivelul planului manometric PM, presiunea manometrică este nulă, conform definiţiei acestui plan.

Cazul p0 pat . Similar cu cazul anterior, au fost stabilite poziţiile planelor PB şi PM (v. fig. 10, b) şi se constată că planul manometric PM este situat sub poziţia punctului M,

9

care va fi, în consecinţă, caracterizat de valori negative ale presiunii manometrice. În scopul de a nu opera cu valori negative, se lucrează cu presiunea vaccumetrică introdusă prin relaţia (10) şi căreia îi corespunde înălţimea vaccumetrică.

hv = pv/gmăsurată de la nivelul punctului M până la nivelul planului manometric PM.

Ca şi în cazul precedent, sumele Hs = z + pa/g şi Hm = z + pm/g rămân constante pentru orice punct din interiorul lichidului şi verifică grafic legea hidrostaticii (5). Trebuie observat că în situaţia în care într-un punct presiunea este mai mică decât presiunea atmosferică, nu se poate aplica legea hidrostaticii cu valori ale presiunii vaccumetrice, ci doar presiuni absolute sau presiuni manometrice negative.

În dreapta figurii 10, b s-a trasat variaţia pe verticală a presiunilor şi se remarcă faptul că în dreptul punctului M presiunea manometrică este negativă şi deci îi corespunde o presiune vaccumetrică pv, verificându-se grafic relaţia (10).

Din punct de vedere energetic, legea hidrostaticii (5) reprezintă însumarea unor energii raportate la greutatea particulei fluide. Aceste energii raportate la greutate poartă numele de energii specifice.

Din acest punct de vedere, mărimea z este energia specifică de poziţie, mărimea p/g este energia specifică de presiune, iar suma lor – energia specifică potenţială. Astfel, legea repausului se mai poate formula: dacă energia specifică a unui fluid este constantă în orice punct al domeniului, fluidul se află în repaus şi reciproc.

10