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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
CINEMATIQUE
CINEMATIQUE
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
P
x
u
P
X
P : point « matériel »
v
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Cadre général
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
∗ Σ (forces extérieures) = variation de la quantité de mouvement
∗ Σ (moments) = variation du moment de quantité de mouvement
Le solide est en équilibre sous l’action des forces extérieures
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Équilibre d ’un solide
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
* vision macroscopique
* « masse » d’un élément de volume : dm = ρ dv
Des forces de cohésion assurent la continuité de la matière
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Continuité de la matière
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
configuration de référence :C0 : description lagrangienne
C(t) : descrition eulérienne
C0
C(t)
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Configuration
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
P
X
C0P
x
coordonnées d'un point : x = Φ �( X , t ) avec Φ �( X , 0 ) = X
v
vitesse d'un point : v = dx / dt = ∂Φ / ∂t
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Description lagrangienne
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
vitesse d'un point : v( x , t)
vP
x
C(t)
coordonnées d'un point : x = X à t=0, puis dx = v(x,t)dt
P
X
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Description eulérienne
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
maquette du Concorde(document ONERA)
�
ligne d'émission du point P
cargo échoué
trace produite sur la mer(ligne d'émission du cargo)
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
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Description d’une transformation
Transport de quantités
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Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Ligne d’émission
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
tenseur gradient de la transformation
* déplacement autour du point P : grad(u) = grad(x) – I = F(X,t) - I
P
x
u
P
X
* déplacement du point P : u ( X, t) = x - X
CINEMATIQUE
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Équilibre d ’un solide
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Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Tenseur gradient d’une transformation
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
dXdx
dx = (I + grad(u) ).dX = F.dX
P
x
P
X
u
x = X + u
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
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Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Transport d’un vecteur élémentaire
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
dv
dv = [dx, dy, dz] = [F.dX, F.dY, F.dZ] = J dV avec J = det(F)
dV
dV = [dX, dY, dZ]
P
x
P
X
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Transport d’un volume élémentaire
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
n
ds
ds = nds et dv = ds.dz = JdV, avec dz = F.dZ
N
dS
dS = NdS et dV = dS.dZ
P
x
P
X
ds = J(F-1)t.dS avec J = det(F)
CINEMATIQUE
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Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Transport d ’une surface élémentaire
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
P
x
P
X
Évolution d’une grandeur physique « f ( x, t) » au cours du temps ?
df / dt = ∂f / ∂t + ∂f / ∂xi . dxi / dt = ∂f / ∂t + v.grad(f)
v
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Dérivées particulaires
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
m = dm = ρ dv = cste dρ / dt + ρ div(v) = 0
vP
x
P
X
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masseConservation de la masse
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Description lagrangienne : Description eulérienne :
x1 = X1 + 2αtX2x2 = X2x3 = X3
v1 = 2αx2v2 = 0
v3 = 0
a
a
1
2
u
X
P
x
P
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
1 - Cisaillement simple