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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse CINEMATIQUE CINEMATIQUE

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUEmms2.ensmp.fr/mmc_st_etienne_fort/cinematique/trans...MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS P X C 0 P x coordonnées d'un point : x = F( X , t )

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  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    CINEMATIQUE

    CINEMATIQUE

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    P

    x

    u

    P

    X

    P : point « matériel »

    v

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    Cadre général

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    ∗ Σ (forces extérieures) = variation de la quantité de mouvement

    ∗ Σ (moments) = variation du moment de quantité de mouvement

    Le solide est en équilibre sous l’action des forces extérieures

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    Équilibre d ’un solide

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    * vision macroscopique

    * « masse » d’un élément de volume : dm = ρ dv

    Des forces de cohésion assurent la continuité de la matière

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    Continuité de la matière

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    configuration de référence :C0 : description lagrangienne

    C(t) : descrition eulérienne

    C0

    C(t)

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    Configuration

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    P

    X

    C0P

    x

    coordonnées d'un point : x = Φ �( X , t ) avec Φ �( X , 0 ) = X

    v

    vitesse d'un point : v = dx / dt = ∂Φ / ∂t

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    Description lagrangienne

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    vitesse d'un point : v( x , t)

    vP

    x

    C(t)

    coordonnées d'un point : x = X à t=0, puis dx = v(x,t)dt

    P

    X

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    Description eulérienne

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    maquette du Concorde(document ONERA)

    ligne d'émission du point P

    cargo échoué

    trace produite sur la mer(ligne d'émission du cargo)

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    Ligne d’émission

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    tenseur gradient de la transformation

    * déplacement autour du point P : grad(u) = grad(x) – I = F(X,t) - I

    P

    x

    u

    P

    X

    * déplacement du point P : u ( X, t) = x - X

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    Tenseur gradient d’une transformation

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    dXdx

    dx = (I + grad(u) ).dX = F.dX

    P

    x

    P

    X

    u

    x = X + u

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    Transport d’un vecteur élémentaire

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    dv

    dv = [dx, dy, dz] = [F.dX, F.dY, F.dZ] = J dV avec J = det(F)

    dV

    dV = [dX, dY, dZ]

    P

    x

    P

    X

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    Transport d’un volume élémentaire

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    n

    ds

    ds = nds et dv = ds.dz = JdV, avec dz = F.dZ

    N

    dS

    dS = NdS et dV = dS.dZ

    P

    x

    P

    X

    ds = J(F-1)t.dS avec J = det(F)

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    Transport d ’une surface élémentaire

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    P

    x

    P

    X

    Évolution d’une grandeur physique « f ( x, t) » au cours du temps ?

    df / dt = ∂f / ∂t + ∂f / ∂xi . dxi / dt = ∂f / ∂t + v.grad(f)

    v

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    Dérivées particulaires

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    m = dm = ρ dv = cste dρ / dt + ρ div(v) = 0

    vP

    x

    P

    X

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masseConservation de la masse

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    Description lagrangienne : Description eulérienne :

    x1 = X1 + 2αtX2x2 = X2x3 = X3

    v1 = 2αx2v2 = 0

    v3 = 0

    a

    a

    1

    2

    u

    X

    P

    x

    P

    CINEMATIQUE

    Cadre général

    Équilibre d ’un solide

    Configuration

    Description lagrangienne

    Description eulérienne

    Continuité de la matière

    Tenseur gradient d’une transformation

    Transport d’un vecteur élémentaire

    Transport d’un volume élémentaire

    Transport d ’une surface élémentaire

    1 - Cisaillement simple

    Ligne d’émission

    Equilibre et continuité

    Description d’une transformation

    Transport de quantités

    Exemples

    Équations de bilan

    Dérivées particulaires

    Conservation de la masse

    1 - Cisaillement simple