Mechanikai rezgések,

rezonancia

előadás I. éves orvostanhallgatóknak

Maróti Péter

Felkészülés

Ajánlott olvasnivalók

Budó Á.: Kísérleti Fizika, Tankönyvkiadó, Budapest 1965.

Holics L.: Fizika, 1. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986.

Damjanovich S, Fidy J, és Szöllősi J.: Orvosi biofizika, Medicina, Budapest, 2005.

Fercher A.F.: Medizinische Physik, Springer, Wien, New York 1999.

Maróti P. Biomechanika, Doktori (PhD)-kurzusok fizikából (szerk.: Hevesi I.), 299-371,

Szegedi Egyetemi Kiadó, Szeged, 2012.

Maróti P. és Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JATEPress Szeged (több kiadás).

Maróti P. és Tandori J.: Biofizikai feladatok, JATEPress, Szeged 1996.

Maróti P., Berkes I. és Tölgyesi F.: Biophysics Problems. A textbook with answers,

Akadémiai Kiadó, Budapest 1998.

Előadás anyaga (lásd az intézet honlapjára felkerülő segédanyagokat)

Minden tudás annyit ér, amennyit belőle alkalmazni tud.

A probléma- ill. feladatmegoldás fontos: kérem, hogy aktivizálja magát a

szemináriumi foglalkozásokon.

Az emberi test

mechanikai

rezgései,

sajátfrekvenciái

és helyettesítő

mechanikai

modelljei, (Voigt-

testek), amelyek

hálózatot

képeznek.

Voigt-test:

párhuzamosan

kötött rugó és

csillapítás.

Akárhol

meglököm, az

egész test (mint a

miskolci

kocsonya) rezegni

kezd.

Az emberi testben felléphetnek

- saját (rezonancia) rezgések, amelyek az alacsony frekvenciák tartományába

esnek és

- kényszerrezgések, amelyeket külső (periodikus) kényszer vált ki, és

rezonanciába (együttrezgésbe) kerülhetnek a sajátrezgésekkel.

A rezgő testrészek mechanikai csatolásban állnak egymással. Rugalmas

(elasztikus) és csillapító (viszkoelasztikus) elemek kapcsolódnak bonyolult

hálózattá.

Ezeknek fontos orvosi, egészségügyi következményei vannak.

Alapvető fontosságú a fizikai alapok (definíciók, törvények, összefüggések)

megértése, hogy ezekre támaszkodva tudjon az orvos

- diagnosztizálni,

- hatékony terápiát alkalmazni és

- mérnökökkel (legalább) szót érteni.

A mechanikai rezgések orvosi,

egészségügyi vonatkozásai,

a szív ritmikus mozgása

Mechanikai rezgések okozta panaszokfejfájás

beszédbeli nehézségek

állkapocs-fájdalmak

mellkasi fájdalmak

légzési nehézségek

hasi fájdalmak

derékfájás

székelési inger

vizelési inger

J.R. Cameron és J.G. Skofronick, 1978

A mechanikai rezgések orvosi,

egészségügyi vonatkozásai, kopogtatás (percussio) és hallgatózás (auscultatio)

L. Auenbrugger már 1761-ben bevezette az orvosi vizsgálatokba a beteg

kopogtatásának (perkusszió) módszerét, amelynek során a rezgésbe hozott

szövetrészek sajátrezgéseiből (intenzitás és hangmagasság) lehet kóros

elváltozásokra következtetnie a gyakorlott és érzékenyített hallású orvosnak.

Az ő nevéhez kötődik

a kopogtatás

(percussio) és a

hallgatózás

(auscultatio)

eljárásainak

meghonosítása, mely

a belgyógyászat mai

napig használt

diagnosztikai

módszere.

A mechanikai rezgések orvosi,

egészségügyi vonatkozásai,

a tremorA tremor valamely testrész, leggyakrabban a felső

végtag akarattól független, ritmikus,

oszcilláló mozgása. Klinikai megjelenése alapján

több mint tízféle tremor különíthető el, a

leggyakoribb a fiziológiás, a fokozott fiziológiás, az

essentiális (ET), és a Parkinson-betegségben (PT)

megjelenő tremor.

Az egyes tremorok frekvenciatartománya

karakterisztikus, de egymást átfedhetik:

< 4 Hz a cerebellaris és Holmes-tremor,

4 – 6 Hz közé esik a PT 80%-a, az ET-ok 50%-a,

6 - 11 Hz physiológiás tremor, az essentialis

tremorok 50%-a, a Parkinson-kórban megjelenő

tremor 20%-a és

> 11 Hz az orthostaticus tremor.

A mechanikai rezgések orvosi,

egészségügyi vonatkozásai,

intervenciós radiológia, lithotripsia

Endoszkópos retrográd

kolangiopankreatográfia.

Nagyméretű kő a ductus

choledochusban.

A ductus choledochus

kő az intraendoszkópos

mechanikus litotriptor

kosarában.

Kőzúzás intraendoszkópos

mechanikus litotriptorral. A

kosár megkisebbedett.

Piezoelektromos

lithotriptor

Piezoelektromos

elemek (kristályok)

gömbfelület mentén

elrendezve

Az összezúzandó kő

a fókuszban

A lökéshullámok időbeli lefutása a

lithotriptorban.

A nyomás nagyon rövid (kb. 30 ns)

idő alatt hatalmas értékre (kb. 40

MPa) emelkedik, amelynek a kő

nem tud ellenállni, és elporlad.

Lökéshullámok

A mechanikai rezgések orvosi,

egészségügyi vonatkozásai,

lézeres szemműtétek, KO

Ha lézerrel szaruhártya-szobrászatot (ablációt) végeznek el, elkerülhetetlenül nagy

intenzitású mechanikai lökések (hullámok) keletkeznek, és verődnek vissza a szem

belsejének zárt üregében, amelyek az egészségre károsak lehetnek (erről szívesen

elfeledkeznek a „dobja el a szemüvegét” program munkatársai). Hasonló rezgéssel, ill.

az ezzel együttjáró lökéshullám hatásaival kell számolni a koponyába zárt, alapvetően

folyékony halmazállapotú agyban, amikor kivülről mechanikai behatás (tartós rázkódás

(pl. munkagépen), vagy hirtelen ütés (baleset, ökölvívásban KO)) éri.

A mechanikai rezgések orvosi,

egészségügyi vonatkozásai,

csont-, porc-, ízületi sérülésekA felugró, majd a talajra visszaérkező sportoló (pl. kosár- és kézilabdázó) testében

(csillapodó) rezgések ébrednek, amelyek igénybe veszik az emberi test tartó- és

mozgatószerkezeteit.

Az Achilles-ín krónikus

túlterhelése

A szalag-sérülések a térdízület

megcsavarodásával és oldalra

billenésével, esetleg ugrásból

nyújtott térddel való érkezéskor,

túlfeszüléssel következik be

leggyakrabban.

Fáradásos törés következik

be, ha lábszárcsontokra

ható erők meghaladják a

csontok teherbírását, így

állományukban repedés

keletkezik.

A mechanikai rezgések orvosi,

egészségügyi vonatkozásai,

munkaegészségügy

A 0-8 kHz frekvenciájú mechanikai rezgések a test szöveteit, alacsonyabb frekvenciák

esetén pedig az egész testet rezgési állapotba kényszerítik (pl. pneumatikus

munkagépek, járművek rezgései, amelyeket a padlózat is közvetít). Ezek hatásai: látási

zavarok, szövetelváltozások, ideg- és érzészavarok, csont- és ízületi károsodások. A

mechanikai rezgések között különösen rombolóak és súlyos károsodáshoz vezetnek az

infrarezgések (0-16 Hz).

A rezgéseknek kitett munkavállalóknál egészségi és biztonsági kockázatokat jelent a

a) kéz/kar rezgése: különösen érrendszeri, csont-, izom-, ízületi, illetve idegrendszeri

elváltozásokat okozhat (a napi megengedett expozíciós határérték napi 8 órás

referencia-időszakra vonatkoztatva, négyzetes középértékben (rms-ben) mérve 5 m/s2

(22/2005. (VI. 24.) EüM rendelet),

b) az egész testre ható rezgés: gerincelváltozások léphetnek fel (a napi megengedett

expozíciós határérték 8 órás referencia-időszakra vonatkoztatva 1,15 m/s2).

Külső mechanikai rezgéseknek (légkalapácsnak) kitett kőtörők első szisztematikus

orvosi vizsgálatait A. Hamilton végezte 1918-ban.

A mechanikai rezgések orvosi,

egészségügyi vonatkozásai,

természetgyógyászat, ezotéria

„biorezonancia”, lökéshullám terápia, stb.

Nem kell szükségszerűen azt a látszatot kelteni, hogy értjük mi

van a megfigyelések hátterében.

Őszintébb azt mondani, hogy

- nem ismerjük a hatásmechanizmusokat, de

- kizárhatunk bizonyos „fizikai” elveken alapuló értelmezéseket.

Definíciók. Szigorú (matematikai) értelemben rezgésnek nevezünk minden olyan fizikai

jelenséget, amely az idővel szakaszosan (periodikusan) ismétlődik.

)()( Ttgtg Itt g(t) a fizikai mennyiségnek a t-edik időpontban felvett értékét jelenti. A periódusidő

(rezgésidő, T) az a legkisebb időtartam, amelynek elmúltával a fizikai mennyiség ismét

ugyanezt az értéket veszi fel. A reciprokát frekvenciának hívjuk: f = 1/T, dimenziója 1/idő,

mértékegysége 1/s = 1 Hz.

Tágabb értelemben rezgésről beszélünk akkor is, ha a fizikai mennyiségnek időbeli

ismétléses jellege felismerhető. Pl. a csillapított rezgés szigorúan nem periodikus, mégis

a rezgések közé soroljuk (ha a csillapítás az aperiodikus határeset alatti).

Felosztások. A g(t) függvény konkrét matematikai alakja szerint sokféle rezgés lehet.

Harmonikus rezgés (szinuszrezgés): )sin()( tAtgAnharmonikus rezgések: a fizikai mennyiség egyidejűleg

véges (lásd pl. Lissajous-görbéket) vagy

végtelen sok (lásd a Fourier-tételt) harmonikus rezgést végez.

Típikus példák a relaxációs (fűrészfog) rezgések.

Szabad és kényszerített rezgések

Harmonikus rezgő mozgás

Kinematikai leírás. A hely-idő összefüggésből indulunk ki, és ebből

leszármaztathatók más mennyiségek is.

A kitérés (helykoordináta):

)sin( tAx

A sebesség:

)cos(d

dv tA

t

x

legnagyobb a kezdőponton való áthaladás pillanataiban (t = 0, T/2, T, ...)

és zérus a fordulópontokban (t = T/4, 3T/4, ...).

A gyorsulás:

xtAt

a 22 )sin(d

dv

a kitéréssel arányos, és ezzel ellentétes irányú, vagyis mindig a kezdőpont felé mutat.

Harmonikus rezgő mozgás

Dinamikai leírás. A mozgás gyorsulás-idő függvényét behelyettesítjük a

dinamika alapegyenletébe (Newton II. törvényébe):

xkxmamF 2

A direkciós (irányító) erő: 2

2 2

Tmmk

A harmonikus rezgő mozgás rezgésideje:

k

mT 2

A harmonikus rezgő mozgást

végző test energiájaAz erőtér konzervatív, a teljes mechanikai energia megmarad:

állandó2

1

2

1v

2

1 2222

összes AmkxmE

Harmonikus rezgések összetevése

1. Egy egyenesbe eső (egy irányú) rezgések összetevése.

a) A frekvenciák megegyeznek

)sin(

sin

022

11

tAx

tAx

Az eredő rezgés az egyes rezgések algebrai összege:

021

2

2

2

1 cos2 AAAAA 021

02

cos

sintg

AA

A

Speciális esetek:

- azonos fázisú rezgéseknél (együttrezgésnél, α0 = 0) az amplitúdók összegződnek: A = A1 + A2, és az eredő fázis az összetevő rezgések fázisával

egyezik meg α = 0. A rezgések (ill. később látjuk, a hullámok interferencia révén) erősítik egymást.

- ellentett fázisú rezgéseknél (α0 = π) az amplitúdók kivonódnak: A =

és az eredő fázisa a nagyobb amplitúdójú rezgés fázisával egyezik meg. Ha A1 = A2, akkor A = 0, vagyis a rezgések kioltják

egymást (hasonlóan, mint ahogy az ilyen hullámok teszik, lásd később a (fény)hullámok interferencia-jelenségeit).

21 AA

Alapelv: a rezgések egymástól FÜGGETLENÜL fejtik ki hatásukat, azaz, mintha a másik

ott sem lenne.

)sin(21 tAxxx

Harmonikus rezgések összetevése

b) A frekvenciák különböznek:

)sin(

sin

0222

111

tAx

tAx

Az eredő rezgés most nem hozható )sin(21 tAxxx

alakra, és ezért nem harmonikus rezgés, sőt általában nem is periodikus

folyamat, csak akkor, ha a frekvenciák aránya (ω1/ω2) racionális szám. Ekkor

ω1 = n1·ω és ω2 = n2·ω (n1 és n2 relatív prím egész számok), és az

)sin()sin( 02211 tnAtnAx

függvény értéke T = 2π/ω időközönként ismétlődik.

Harmonikus rezgések összetevése,

a lebegésLegyenek megegyezőek az amplitúdók, közel megegyezőek a frekvenciák és

nulla a fáziskülönbség!

tAx

tAx

22

11

sin

sin

Az eredő rezgés

ttAxxx2

sin2

cos2 212121

2121

leb

12

ffT

A lebegési idő

21leb fff

LebegésAz eredő rezgés amplitúdója periodikusan, a lebegési frekvenciával (a két közel egyenlő

frekvencia különbségével) változik, LÜKTET.

Alkalmazás: hangtan (pl. hangszerek hangolása, mert kis elhangolódás is észrevehető a lebegés jelensége miatt).

Egymásra merőleges rezgések összetevése,

Lissajous-görbékA frekvenciák megegyeznek. A rezgés eredője általában „elliptikus rezgés”

(ellipszisben poláros rezgés))sin(sin tBytAx

A frekvenciák különböznek.

)sin(sin ba tBytAx

Példa: ellipszisben poláros rezgés

)sin(sin tBytAx

Kezdőfázis

α

x y Görbe

egyenlete

Ábrázolás

0o A· sin(ωt) B· sin(ωt)

90o A· sin(ωt) B· cos(ωt)

180o A· sin(ωt) -B· sin(ωt)

270o A· sin(ωt) -B· cos(ωt)

A

B

x

y

sincoscossin)sin( ttt

1

22

B

y

A

x

A

B

x

y

1

22

B

y

A

x

x

x

x

x

y

y

y

y

Példa: ellipszisben poláros rezgés,

bármely fázisszögre

Az időt elimináljuk (sin ωt és cos ωt helyére x kifejezéseit írjuk):

sincoscossin)sin(sin tBtBtBytAx

sin1cos2

2

A

x

A

x

B

y 2

2

22

sin1cos

A

x

A

x

B

y

2

2

2

2

2

sincos2

AB

xy

B

y

A

x

A

B

x

y

Ez egy másodrendű görbének, egy ellipszisnek

az egyenlete. Az x,y koordináták csak véges,

legfeljebb A, ill. B értékeket vesznek fel.

Két, egymásra merőleges, egyenlő frekvenciájú

harmonikus rezgés eredője elliptikus rezgés.

Az ellipszis 2A és 2B oldalhosszúságú

téglalapban fekszik, centruma a két rezgés

kezdőpontjában van.

Rezgések felbontása harmonikus

rezgésekre, Fourier tételeFourier-féle tétel: ha g(t) az idő periodikus függvénye, azaz

)()( Ttgtg

akkor egy és csakis egyféleképp szinusz- és koszinusz-függvények összegére

bontható, amelyben az összetevők (felharmonikusok) amplitúdói (Ai és Bi,

i = 0,1,2,...) különbözőek és a frekvenciái egy alapfrekvencia (ω) egész számú

sokszorosai: ωi = i·ω (i = 1,2,...):

g(t) = A0/2 + A1cosωt + A2cos2ωt + ...+ B1sinωt + B2sin2ωt +...

,...)3,2,1,0()sin()(2

)cos()(2

00

idttitgT

BdttitgT

A

T

i

T

i

ahol az Ai és Bi együtthatókat a következő integrálok határozzák meg:

Példa Fourier-analízisre: négyszögrezgés

...)7sin7

15sin

5

13sin

3

1(sin

1)( tttttx

Csillapított rezgő mozgás

F1 = -k·x F2 = -η·v

Rugóerő: Súrlódási

(fékező) erő:

Voigt-test periodikus mozgása

dt

dxxk

dt

xdm

2

2

m

k

m0

2

)sin( teAx t22

0

A mozgás csillapodó amplitúdójú rezgés:A frekvenciát a csillapítás eltolja (a

súrlódás csökkenti a frekvenciát):

A súrlódás kicsiny

Voigt-test aperiodikus mozgása, κ > ω0

Az x(t = 0) = 0 és v(t = 0)= v0 kezdőfeltételekhez tartozó analitikai megoldás

tex t 2

0

2

2

0

2

0 shv

A mozgás aperiodikus, mert a csillapítás

(súrlódás) olyan nagy, hogy a rendszer

csak az egyik irányban tér ki, és csak

(elvileg) végtelen hosszú idő elteltével

fogja az egyensúlyi helyzetét újra felvenni.

Példa: nagy viszkozitású folyadékban (pl.

mézben) kitérített inga mozgása.

2

)exp()exp(sh

xxx

ahol sh (x) az ú.n. szinusz-

hiperbolikusz függvény:

A súrlódás nagy

KényszerrezgésekHa a rendszerre tartósan egy külső, periodikusan változó („gerjesztő”) erő is hat,

akkor az kényszerrezgést fog végezni. A hozzá tartozó mozgásegyenlet a

csillapított rezgésnél megismert egyenletben kiegészül a periodikus gerjesztést

kifejező erővel:

tFdt

dxxk

dt

xdm sin02

2

amelynek általános megoldása κ < ω0 (kis csillapítás) esetében

taetAtx t 22

0sin)cos()(

22

022222

0

0 2tg

4

/

mF

A

ahol Periódikus tag (rezgés) Átmeneti, csillapodó tag, (elég hosszú)

idővel eltűnik.

RezonanciaAmplitúdó Fázis

Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb

(nagyobb amplitúdójú) a rezonancia.

Határesetben ez ú.n. „rezonancia-

katasztrófához” vezethet.

Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb

a fázisváltás a rezonancia-frekvenciánál.

Rezonanciánál π/2 a fáziskülönbség a

gerjesztés és a kényszermozgás között,

azaz egyirányba esnek.

m

k

m0

2

csillapítás

Feladatok

harmonikus rezgőmozgásra

1. Egy vízen úszó fahasábot egy kissé lenyomjuk, majd magára hagyjuk. Határozzuk

meg a fel-le mozgó fadarab rezgésidejét!

2. A négykerekű vasúti kocsik rugói a síncsatlakozásoknál kapott lökések következtében

rezgésbe jönnek. A rugók 1 N erő hatására 1,6 μm-t nyomódnak össze, a kocsi tömege

22 tonna, a síndarabok hossza 18 m. Milyen menetsebesség esetén legnagyobb a

rugók kirezgése (a kocsi „zötykölődése”)?

3. A 100 kg tömegű bedobó kosárlabdázó felugrásnál a tömegközéppontját 1 m

magasra emeli, a talajra való visszaérkezésekor a sebességét 10 cm (rugalmas

landolás) ill. 1 cm (tehetetlen, „krumplis-zsák”-szerű esés) hosszú úton fékezi le.

Mekkora átlagos erő ébred testének tartószerkezetében?

4. A középfül csontjainak (kalapács-üllő-kengyel) szerepét egy olyan modell-lel közelítjük,

amelyben az m = 2 mg tömegű csontocskákat egy k1 = 72 N/m és egy

k2 = 7,2 N/m direkciós erejű rugóval a dobhártyához ill. az ovális ablakhoz erősítjük.

Mekkora lesz a frekvenciája ennek a rendszernek?

Feladatok

csillapított rezgésre és rezonanciára

1. Írja fel a sorosan kapcsolt rugóra és csillapítóra erősített test mozgásegyenletét

(Maxwell-modell)!

2. Mi az oka a „Lépést ne tarts!” vezényszónak, amikor katonai menetoszlop hídon halad

át?

3. A belvárosi hídra egy szúnyog száll, és a lábával a rezonanciafrekvencián ütögeti a

hidat. A tapasztalat szerint a híd nem fog leszakadni, rezonancia-katasztrófa nem

következik be. Miért?

Egyéb feladatok

1) Egy gépkocsi tömege terheletlenül 800 kg. 5 személy (500 kg) beülésével a

karosszéria 6 cm-t süllyed. Mennyi az autó rezgésideje üresen és utasokkal

megterhelve?

2) A járást a Weber testvérek (1836) a nem terhelt láb fizikai ingaként való

viselkedéseként fogták fel, azaz ezen láb izomzatának teljes passzivitását tételezték fel

a hátulról előre való lendítés során („lógó láb” koncepciója). Mekkora az s = 0,8 m

lépéshossz esetén a járás sebessége, ha az l = 1 m hosszúságú szabad lábat a csípő

mint tengely körül mozgó fizikai ingának tekintjük?

3) Demonstráljuk számítógépes grafikai eljárásokkal a rezgések összetevésének

fentebb tárgyalt elemi szabályait! Konstruáljunk egyszerűbb Lissajous-görbéket!

4) Az egységnyi magasságú „háromszög-rezgés” Fourier-sora

...)7sin7

15sin

5

13sin

3

1(sin

8)(

2222 tttttx

Érzékeltessük ezt számítógépes grafikai eljárással (ami messze nem matematikai erejű

bizonyíték, csak „vizuális inspekció”).