CUADERNO DE EJERCICIOS PARADESPUS DE UN CURSO DE TEORA DE

LA MEDIDA

DEPARTAMENTO ACADMICO DE MATEMTICAS

ITAM, 2013

Introduccin

Las siguientes pginas contienen una coleccin de 100 ejercicios de Teora de

la Medida e Integracin de Lebesgue. Una gran cantidad de ellos estn acompa-

ados con sugerencias que a mi juicio son suficientes para su solucin, aunque no

necesariamente son el nico camino hacia ella. Tambin debo mencionar que he

procurado no incluir ejercicios estndar, lo que ha convertido este trabajo en uno

que requiere de un lector que conozca bien la teora. En trminos gastronmicos,

se trata del postre, ms que del aperitivo.

Se incluye al final una bibliografa recomendada que contiene an ms ejer-

cicios.

Deseo hacer patente mi agradecimiento a Javier Sagastuy, por su paciente

labor.

ITAM Febrero de 2013

Dr. Guillermo Grabinsky S.

1

Ejercicios

1. Una clase no vaca M P(X) se dice que es montona (en el sentido deHalmos) si para cualquier sucesin creciente (o decreciente) (En) P(X)se tiene: [1n=1En 2M (\1n=1En 2M). Pruebe:a) Todo anillo es una clase montona, y todo anillo que sea clase

montona es un anillo.b) La interseccin arbitraria de clases montonas es una clase montona.

(NOTA: Esto nos permite considerar la clase montona generada poruna subclase E P(X) denotada M(E)).

2. Sea R un anillo, entonces M(R) = S(R).(Sugerencia: Por 1. a) M(R) S(R); para la otra contencin es suficien-te probar que M(R) es un anillo. Proceda como sigue: para F Xdefina: K(F ) = {E X : E F, F E,E [ F 2 M(R)}. Pruebe queK(F ) es una clase montona que contiene a R y as M(R) K(F ). Noteque E 2 K(F ) () F 2 K(E) 8 F 2M(R) y 8 E 2 K(F ). Concluyael resultado.)(NOTA: El siguiente corolario es llamado en ocasiones el lema de las clasesmontonas. COR: Si M es una clase montona y M R, entoncesM S(R). Este resultado da lugar a un mtodo alternativo, con fre-cuencia muy til, para verificar que una clase de conjuntos constituye unalgebra).

3. a) Sea S P(N) una lgebra. Pruebe: existe una particin a lo msnumerable P S tal que S = S(P).(Sugerencia: Para cada n 2 N sea Sn = {E 2 S : n 2 E}. Definauna relacin de equivalencia en N N poniendo n m () m 2E 8 E 2 Sn. Denote por [n] la clase de equivalencia de n. ConsidereP = {[n] : n 2 N}.)

b) Pruebe que la particin P es nica salvo por el orden de los elementos.c) Sea S P(N) una lgebra infinita y P = {An}1n=1 la particin

numerable tal que S = S(P). Pruebe: f : N ! R es Smedible() f =P1n=1 cnAn con cn 2 R.

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4. Sea f 2M+(X,S). Pruebe que pf 2M+(X,S) usando (y probando) lasiguiente identidad:

pa =

1

2nfr2Q

nar+ ro.

(Sugerencia: Considere ' : (0,1)! R dada por '(x) = ax+ x y derive).

Generalice a otras potencias.

5. Sea (X,S) un espacio medible y f, g : X ! R Smedibles. SiH : RR! R es continua, entonces h(x) = H(f(x), g(x)) es Smedible.

6. Sea f : [0, 1] [0, 1]! R continua en cada variable. Pruebe que f es Borelmedible.

(Sugerencia: Defina F (n)(s, x) =

8 0} est acota-

do, en cuyo caso:fd = lmr!1

frd, donde fr = mn{r,max{f1,r}}

es el truncamiento de f determinado por r.

11. Sea (X,S, ) un espacio de medida y f, g 2M+(X,S). Pruebe:a) (

fgrd)mt ( fgtd)mr( fgmd)rt si 0 < t < r < m. (De-

sigualdad de Rogers (1888))

(Sugerencia: Si p =m tm r y q =

m tr t , entonces

1

p+

1

q= 1 .)

3

b) La desigualdad de Hlder usual es consecuencia de la desigualdad deRogers.(Sugerencia: Sea m = 2, t = 1, ahora tome p =

1

2 r y q =1

r 1 .)

12. Pruebe el siguiente resultado de F. Riesz (1910): Sea p 2 (1,1) fijo yA,B > 0 constantes, entonces:

|f |pd A () |fg|d A1/pB1/p8 g 2M(X,S) con |g|qd B. Es cierto el resultado correspondientepara p = 1 o p = +1?

13. Sea f 2 Lp() (1 < p 1).(Sugerencia: verifique que

|f |pd = 10 tpdw(t). Ahora integre porpartes.)

15. Sea t > 0 fijo. Pruebe:

a)10 e

txd(x) =1

t.

(Sugerencia: si t a > 0, entonces etx eax 2 L1(0,1).)b)

10 x

nexd = n!.(Sugerencia: use el T.C.D. para justificar la diferenciacin dentro dela integral.)

16. Sean f, g 2 L1([0, 1]). Pruebe o proporcione un contraejemplo para las si-guientes afirmaciones: f2,

p|f |, |mid{1, f, 1}|1/2, tan1(f),max{ln |f |, 0},fg,

p|fg|, |f |1 + |g| ,

p1 + f2 pertenecen a L1([0, 1]).

17. (La integral de Marcinkiewicz)Sea F (a, b) cerrado (a < b en R). Para > 0 fija, defina:M(x) =

d(x, F )|x y|1+ d(y): donde d(x, F ) = distancia de x a F . Pruebe:

a) Si x /2 F , entonces M(x) =1.

4

b) M es finita c.d. en F , M 2 L1(F ) y(a,b)M(x)d

2

((a, b) \ F ).

(Sugerencia: Si x 2 F , entonces d(x, F ) = 0. Recuerde|d(x, F ) d(y, F )| |x y| .)

18. Sea p 2 (0, 1) fija. Pruebe que la bola B"(0) = {f 2 Lp(0, 1) : ||f ||p "}no es convexa.(Sugerencia: Sea f = (0,"p) g = ("p,2"p), entonces f, g 2 B"(0) pero1

2(f + g) /2 B"(0).) Por qu un resultado as no es posible si p 2 [1,1)?

19. Sea (X,S, ) un espacio de medida. Pruebe: (X) < 1 () 9 f 2M+(X,S) tal que f y 1

f2 L+1 ().

20. Sea : A! [0,1] una casi-medida finita y S P(X) tal que: A Sy |S : S ! [0,+1] es aditiva, entonces S A.(Sugerencia: Si E 2 S y (E) < 1 entonces E = C \ (C \ E) conC 2 S(A) una cubierta medible y (C \ E) = 0.)

21. Sea : P(X)! [0,+1] la medida exterior generada por una casi medida : A ! [0,1]. Sean E,F 2 A con (E \ F ) = 0, entonces 8 A Ey B F se tiene (A [B) = (A) + (B).(Sugerencia: Usa cubiertas medibles.)

22. Suponga que F A 2 A, entonces:(F ) + (A) = (F \ A) + (F [ A). Pruebe con ejemplos que elresultado es falso si F y A /2 A.

23. Sea : P(X) ! R una medida exterior. Un conjunto C X se llamacompletamente no medible (c.n.m.) con respecto a D 2 A si 8 E Dcon E 2 A y (E) > 0 se tiene que E \ C /2 A. Pruebe:a) Si C es c.n.m. con respecto a D, entonces C /2 A y (E) = 08 E 2 A con E C.

b) Si C /2 A y (F ) = 0 8 F 2 A con F C, entonces existeD A tal que C es c.n.m. con respecto a D.(Sugerencia: Sea D una cubierta medible de C.)

c) Si C es c.n.m. con respecto a D entonces D es una cubierta mediblede C.

d) Si C es c.n.m. con respecto a D1 y a D2 entonces (D1D2) = 0.

24. Sea : A ! una casi-medida. Defina 0 : P(X) ! R poniendo 0(B) =nf{(A) : B A,A /2 A}. Entonces:a) 0|A = .b) 0.

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c) Si es finita, entonces = 0 .d) Es sub-aditiva?

25. a) Sea (X,S) un espacio medible y E 2 P(X)\S. Pruebe: S(S[{E}) ={(A \ E) [ (B E) : A,B 2 S}.

b) Sea : A ! R una casi medida finita y : A ! R la medidagenerada por . Suponga que E 2 P(X)A y defina : S(A [ {E})! R poniendo: ((A\E)[ (BE)) = (A\E)+(B E) . Pruebe:1) est bien definida y |A = .2) es una medida .

26. Sea : A! R una casi medida finita y y las medidas exterior einterior generadas por (respectivamente). Pruebe: Para todo B X:a) (B) = sup{(E) : E B,E 2 A} .b) (B) = nf{(F ) : B F, F 2 A} .

27. Sea : S ! R una medida, entonces todo A X admite la siguientedescripcin: A = B [ C (disjuntos) con:a) B 2 A.b) C /2 A y c.n.m. con respecto a algn D 2 A.c) B \D = ;.

(Sugerencia: Sea Z = {E : E A,E 2 A}. Aplicar el lema de Zorna (Z,).) Nota: Algn B,C o D podra ser vaco.

d) La descomposicin es nica c.d. (en ).

28. Sea E R tal que (E) > 0. Pruebe:a) 8 2 (0, 1) 9 un intervalo abierto I R tal que (E\I) (I).

(Sugerencia: Sea A R abierto tal que E A y (E) (A).Suponga que A = [1n=1In (unin disjunta de intervalos abiertos).Algn In cumple con el resultado.)

b) Sea N R tal que 9 2 (0, 1) tal que 8 intervalo (a, b), el conjuntoN \ (a, b) puede ser cubierto con una cantidad a lo ms numerablede intervalos abiertos de longitud total menor que (b a). Pruebe:(N) = 0.

c) Si (E) > 0, entonces E E = {x y : x, y 2 E} contiene unintervalo abierto (, ). (Teorema de Steinhaus)(Sugerencia: Por a) existe I un intervalo abierto tal que

(E \ I) 910

(I). Sea E0 = E \ I0. Si E0 no contiene un intervalo(, ) entonces 9 > 0 suficientemente pequeo tal que E0 yE0+ son ajenos. Examine la contencin (E0[(E0+)) (I[(I+))y las medidas.)

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29. Sea E 2 A(0, 1) con (E) > 34y F 2 A(0, 1

2) arbitrario de medida

mayor que1

4. Pruebe que 8 2 [0, 1

2] existen puntos x 2 E y y 2 F

tales que |x y| = .(Sugerencia: Basta probar que (E \ (F + )) > 0. Empiece en el caso = 0. Si 2 [0, 1

2], F = F + (,+ 1

2) (0, 1). Si 2 [0, 1

2), F y

E no pueden ser ajenos. )

30. Pruebe que todo intervalo [a, b] contenido en [0, 1] contiene a su vez un

intervalo abierto (,) con 15(b a) y ajeno al conjunto ternario

clsico de Cantor.

31. Sea k 2 N fijo y Sk = {x 2 (0, 1) : x =P1

r=1

xrr!

con xr 2 {0, 1, ..., k}}.Pruebe que (Sk) = 0 y concluya que

{x 2 (0, 1) : x =P1r=1 brr! , (br) N acotada} = 0.32. Sea C = {x 2 [0, 1] : x =P1i=1 xi4i con xi 2 {0, 3}}. Pruebe:

a) (C + C) = 0 .

(Sugerencia: Considerar:1

2C +

1

2C .)

b) C +1

2C = [0,

3

2] .

(Sugerencia: Pruebe:2

3(C +

1

2C) = [0, 1].)

33. Sea F = {P1r=1 wr4r : wr = 0 o 1}. Pruebe:a) F es perfecto, denso en ninguna parte y tiene medida cero.b) Si Sx = {w + 2x : w 2 F} (x 2 R), entonces Sx y Sy son en general

disjuntos (hay casos especiales, indquelos) .

(Sugerencia: SeaM = {y 2 R : F \Sy 6= ;}, note queM = 12(F F )

y muestre que M tiene medida cero. )c) [0, 1] puede escribirse como la unin no numerable disjunta de con-

juntos no numerables de medida cero.

34. (No-medibles extremos) (Halmos)Pruebe: Existe M R tal que (M \ E) = 0 y (M \ E) = (E)8 E 2 AR estableciendo los siguientes incisos:a) Sea un irracional fijo y si A = {n+m : n,m 2 Z}, B = {n+m : n

es par ,m 2 Z} y C = {n+m : n es impar,m 2 } entonces: A, B yC son densos en R, A es un subgrupo numerable de R bajo la adicin,A = B [ C (unin ajena) y C = B + 1.

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b) x A y () x y 2 A es una relacin de equivalencia. Denotepor E0 el conjunto no-numerable que consiste de exactamente unrepresentante de cada clase, entonces: E0 + a y E0 + a0 (a, a0 2 A)son ajenos si a 6= a0 y R = [{E0 + a : a 2 A}. Concluya que E0 esno-medible (Similar al conjunto de Vitali.)

c) Si F0 E0 es un boreliano, entonces: (F0) = 0.(Sugerencia: Si (F0) > 0 se sigue del teorema de Steinhaus 28 c)que: (F0 F0) \A 6= ; lo cual es imposible.)

d) (E0) = 0 (Use el c) .)e) Sea M = E0 B, entonces:

1) (M) = 0((F F ) \ C = ; para todo boreliano F M)

2) (R \M) = 0(Sugerencia: (R \M) = M + 1 y use el c) )

f ) Concluya el resultado.(Sugerencia: (E \M) + (E \M) = (E) )

35. Sea F 2 AR con (F ) < 1 fijo. Defina gF : R ! R como sigue: gF (x) =(F(F + x)). Pruebe que gF es uniformemente continua siguiendo lossiguientes pasos:

a) Sean K compacto y A abierto tales que K F A y (A \C) < "4

(" > 0 dada) (Regularidad de ). Use la compacidad de K paraobtener = (") > 0 tal que K + x A 8 x 2 (, ).

b) Pruebe: si |x y| < , entonces ((K + x)(K + y)) < "2.

(Sugerencia: ((K+x)(K+ y)) = ((K+x y) \K)+((K+ yx) \K) .)

c) Concluya que |gF (x) gF (y)| 2(F \K) + "2.

36. Hiptesis y notacin como en el anterior. Sea F 2 AR con (F ) < 1 ygE,F (x) = (E(F + x)).

a) Pruebe: gE,F es uniformemente continua.(Sugerencia: |gE,F (x) gE,F (y)| gF (y x))

b) Si fE,F (x) = (E\(F+x)) entonces: |fE,F (x)fE,F (y)| gF (yx).

37. Pruebe las siguientes afirmaciones sobre subconjuntos de R:

a) Si V [0, 1] es un conjunto no-medible de Vitali, entonces:(V V ) \Q = {0} pero R = [q2QV + q .

b) Si F R es de primera categora, entonces: R = (R \ F ) (R \ F ) .

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c) Existen E,F R de medida de Lebesgue cero y de primera categoratales que: R = E F .(Sugerencia: E = [n2ZC+n y F = C donde C es el conjunto ternariode Cantor.)

d) Existe G R denso en ninguna parte y que no es Lebesgue medible.(Sugerencia: Sea C un conjunto tipo Cantor de medida positiva, Ccontiene algn no-medible.)

e) Existe H R Borel medible, de segunda categora y de medida cero.(Sugerencia: Sea

Q = {r1, r2, ...} una enumeracin. SeaH = \1m=1[1n=1(rn1

2n+m, rn+

1

2n+m). Pruebe que R \H es de primera categora y use el Teorema

de Baire.)

38. (W. Rudin) Sea I R un intevalo. Pruebe:

a) I contiene un abierto F (I) tal que (F (I)) =1

2(I) y

F (I) \ J = ; 8 J I, J intervalo abierto.(Sugerencia: Sea C I un conjunto generalizado de Cantor tal que(C) =

1

2(I). Sea F (I) = Io C. )

b) I contiene un subconjunto de N de medida 0 tal que I N es launin numerable de conjuntos que son densos en ninguna parte.(Sugerencia: Considere a F como operador (I ! F (I)) y aplquelorepetidamente. )

39. Construya un conjunto F de primera categora y de tipo F con(F )

a) (B) = 0

(Sugerencia: Sea b0 2 B fija y B0 = {x 2 R : x = bb0, b 2 B}. Si

(B) > 0 entonces (B0) > 0 por lo que existen b1 6= b2 tal queb1 b2 = q 2 Q (Steinhaus). As pues, b1 = b2 + qb0 lo cual viola laindependencia de la base. )

b) Sea b0 2 B fijo y B = hB \ {b0}i el espacio vectorial sobre Q generadopor B \ {b0}, entonces B /2 A.(Sugerencia: Supongamos que B 2 A, entonces (B) > 0, puesR = [q2QB + qb. Sea B0 = { x

b0: x 2 B}. Entonces B0 2 A

y (B0) > 0 tambin; por lo que existen x 6= y 2 B0 tales quex y = q 2 Q. Entonces b0x, b0y 2 B y b0x = b0y + b0q lo cualcontradice la definicin de B .)

c) Existe N un subconjunto propio de R tal que 8 y 2 R dado, lafamilia de traslaciones {N + ny : n 2 N} es finita.(Sugerencia: Sea N = {x 2 R : x =Pni=1 ibi : i 2 Z, bi 2 B y n 2N}. Sea y 2 N, y 6= 0. Entonces y = Pni=1 ibi. Sea =m.c.d.{i}.Como y y x + y 2 N 8 x 2 N, entonces toda x 2 N se puedeescribir como (xy) +y con (xy) 2 N es decir, N +y = N .As pues, slo N,N + y, ..., N + ( 1)y podran ser admitidos.)

d) Existe T un subconjunto propio de R tal que el conjunto de trasla-ciones {T + t : t 2 R} es a lo sumo numerable.(Sugerencia: Sea T = {x 2 R : la descripcin de x no requiere deb0 2 B}. Claramente T + t = T si t 2 T . Si t = t0 + qb0, t0 2 Q en-tonces: T+t = T+qb0, por lo que los nicos traslados de T diferentesde T son de la forma T + qb0.)

e) Decimos que un nmero real diferente de cero tiene peso k si suexpresin en trminos de B requiere de k de sus elementos. Denotepor Xn al conjunto de nmeros reales diferentes de cero con peso 2n (n = 0, 1, 2, ...). Pruebe que Xn+1 = Xn Xn 8 n y concluyaque para alguna n, Xn es medible pero Xn+1 ya no lo es.(Sugerencia: Observe que Xn no contiene intervalos, ahora use elTeorema de Steinhaus.)(NOTA: La existencia de una base de Hamel equivale al AXIOMADE ELECCIN.)

43. Sea I = [0, 1], A I no medible y B = I A. Pruebe:R ba A(t)dt + R

ba B(t)dt < 1 < R

ba A(t)dt + R

ba B(t)dt donde

Ry R

denotan las integrales inferior y superior de Riemann. Adems,

R ba C(t)dt = R

ba C(t)dt () (@(C)) = 0.

(Sugerencia: Pruebe: (A) + (B) < 1 < (A) + (B) o bien, si hy g son la envoltura superior e inferior de A respectivamente, entonces:h = A y g = Ao .)

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(NOTA: Un conjunto acotado C se le llama Jordan - medible si C es Rie-mann integrable. De acuerdo con lo que se enuncia en el ejercico anterior,C es Jordan - medible si y slo si (@(C)) = 0 .)

44. Sea f : [0, 1] ! R una funcin Riemann - integrable y E = {x 2 R :f1({x}) no es Jordan - medible}. Pruebe que E es finito o numerable.(Sugerencia: Sea D = {t 2 [0, 1] : f es discontinua en t}. Por hiptesis,(D) = 0. Note que si r 6= s, entonces: @(f1({r})) \ @(f1({s})) D yP

x2E (@(f1({x})) 1 .)

45. Pruebe que g(x) = lmm,n!11

1 + n sin(m!x)2 L1([0, 1]) pero no es

Riemann - integrable.

46. Sea f : [1, 1] ! R dada por f(x) =8rn} 2n.

Hallegdf 8 g : (0, 1)! R continua.

(Solucin:P1

n=1 g(rn)2n .)

50. Sea (X,S, ) un espacio de medida y (An)1n=1 una sucesin en S y seanA = lmn!1An, A = lmn!1An. Pruebe:

a) An ! 0 (en ) () (An)! 0 .b) An ! 0 c.d. () (A) = 0 .c) An ! A c.d. () A, A y A difieren entre si por nulos.d) An ! f (en ) () f = A c.d.e) Si adems (X,S, ) es un espacio de probabilidad y (An)1n=1 son

eventos independientes, entonces: An ! 0 c.d. ()P1n=1 (An)

51. Pruebe fn ! f (en ) () toda subsucesin de (fn)1n=1 admite a su vezotra subsucesin que converge a f c.d (rel. ).

52. Sea (X,S, ) un espacio de medida y (fn : X ! R)1n=1 una sucesin defunciones Smedibles. Supongamos que fn ! f (en ) y queh = lmn!1fn. Pruebe que f = h c.d.(Sugerencia: Pruebe: 8" > 0 {x 2 X : |h f |(x) > "} {x 2 X :lmn!1|fn f |(x) > "} = lmn!1{x 2 X : |fn f |(x) > "})

53. a) Sea (X,S, ) un espacio de medida. Supongamos que (fn : X !R)1n=1 es montona y fn ! f (en ), entonces fn ! f c.d.

b) Pruebe que f podra ser distinto de lmn!1fn si la sucesin no esmontona.(Sugerencia: X = [0, 1), S = B[0,1), =medida de Lebesgue. Seaf1 = [0,1/2), f2 = [1/2,1), f3 = [0,1/3), ... )

54. Sea f 2 L+1 ([0, 1]) y sea q 2 (0, 1) fijo. Si Sq = {E 2 B[0,1] : (E) q},entonces nfE2Sq{

E fd} > 0.

(Sugerencia: Suponga que 9 q 2 (0, 1) tal que el nfimo es cero. Sea(Eq(n))

1n=1 Sq tal que

Eq(n)

fd 0 tal que ({x 2 X :fn(x)cn

> 1n}) < 12n y apliqueel lema de Borel-Cantelli.)

60. Pruebe:d

dx(10 e

ttx1d(t))|x=1 = lmn!1{log n Pn

r=1

1

r} (el valor

del lmite anterior se conoce como la constante de Euler-Mascheroni).(Sugerencia: Justifique

10 e

t log td = lmn!1 n0 (1

t

n)n log tdt e in-

tegre por partes.)

61. Pruebe: Si ||fn f ||p ! 0 (n!1) (fn, f 2 Lp()), entoncesfngd!

fgd 8 g 2 Lq() con q el exponente conjugado de p. Es cierto elrecproco?

62. Sea (X,S, ) un espacio de medida finita y f 2M(X,S) dada. Pruebe:a) lmn!1

|f |nd < 1 () {x 2 X : |f | > 1} = 0. En cuyo casoel lmite anterior es igual a {x 2 X : |f | = 1}.

b) Sifnd = c 8 n = 2, 3, 4, ... entonces f = A c.d. para alguna

A 2 S.63. Sea f : R! R no-negativa tal que R fd

67. Sea f : R ! R una funcin acotada tal que F (x) = x0 f(t)d es acotadaen R. Pruebe:

a) lmr!1[a,b] f(rt)d = 0 8 a < b en R.

b) Si ' 2 L1(R), entonces lmr!1R '(t)f(rt)d = 0.

c) Obtenga el lema de Riemann-Lebesgue, a saber: Si ' 2 L1(R), en-tonces lmr!1

[,] '(t)

sin rtcos rt

d = 0.

d) Calcule lmn!1(1)[nt]'(t)d, donde [x] = parte entera de x.

68. Sea (fn) M una sucesin de funciones tal que fn ! f en medida.Suponga que 8 " > 0 se tiene queP1

n=1 ({x 2 X : |fn(x) f(x)| "}) < 1. Pruebe que fn ! f casiuniformemente.(Sugerencia: Si An(") = {x 2 X : |fn(x) f(x)| "}, entonces se sigueque (lmn!1An(") = 0 .)

69. Use el teorema de Egorov para probar el teorema de la convergencia do-minada suponiendo que (X) "}) = 0 8 " > 0 .b) Es cierto el inciso anterior si " se reemplaza por 0 ?

(Sugerencia: Basta suponer que f es no negativa. Sea C" = {x : f(x) > "}y C"(r) = {x : d(x,C") r} 8 r > 0. Note que cada C"(r) es cerrado,C(") = \r>0Cr(") y @(C"(r)) = {x : d(x,C") = r}. Ms an, 9 unasucesin (rn) tal que rn ! 0 y (C"(rn)) = 0 8 n . Sea 'n = C(rn)entonces 'n es Riemann-integrable en [a, b] y 'n ! C" . El resto esya inmediato usando la desigualdad de Tchebyshev.)

71. Sea f 2 L1([a, b]). Pruebe:Pn1

j=0 |[xj ,xj+1]

fd| ! [a,b] |f |d si la nor-ma de la particin P = (a = x0 < x1 < ... < xn = b) tiende a cero.(Sugerencia: Empiece con f continua y aproxime en el caso general.)

72. Sea (X,S, ) un espacio de medida y (fn) M(X,S) una sucesin defunciones. Suponga que fn ! f 2M(X,S) en medida.a) Pruebe que: lmn!1 {x 2 X : fn(x) t}

= {x 2 X : f(x) t} 8 t tal que {x 2 X : f(x) = t} = 0 ...() .(NOTA: La convergencia descrita en () se llama convergencia endistribucin.)(Sugerencia: Pruebe la siguiente desigualdad 8 " > 0 : {f t"}{|fn f | "} {fn t} {f t + "} + {|fn f | "} . Elresto se sigue tomando lmites inferior y superior y luego haciendotender " a cero.)

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b) Muestre que el recproco del inciso anterior es falso.(Sugerencia: Sea X = [0, 1], f = [1/2,1] y fn = [0,1/2] 8 n 2 N .)

73. Pruebe la siguiente versin continua del teorema de D.F. Egorov. Si f :[0, 1] [0, 1] ! R es continua y '(x) = lmt!0 f(x, t) existe y es finito8 E [0, 1] medible, entonces 8 " > 0 existe F E cerrado tal que(E F ) < " y f(x, t)! '(x) (t! 0) uniformemente en F .(Sugerencia: Considere E", = {x 2 E : |f(x, t) '(x)| " 8 t < } con0 < < 1. Muestre que es medible.)

74. Existe f : R! R en L1() tal que 8a < b en R y 8M > 0([x 2 (a, b) : f(x) M}) > 0.(Sugerencia: Sea (rn)1n=1 una enumeracin deQ. Defina fk(x) =

((x rk)1/2 si x 2 (rk, rk+1)0 si x /2 (rk, rk+1)

y sea f =P1

k=1 fk , entoncesfd = 2 y 8M > 0 9 q < r en Q con

(q, r) (a, b) con f(x) M 8 x 2 (q, r).)75. Sea f : [a, b] ! R una funcin. Pruebe: f satisface una condicin de

Lipschitz en [a, b] () 8 " > 0 9 = (") > 0 tal que si {(ai, bi)]ni=1es una coleccin finita de subintervalor abiertos no necesariamente ajenostal que

Pni=1(bi ai) < entonces:

Pni=1 |f(bi) f(ai)| < ".

(NOTA: Compare con la definicin de continuidad absoluta.)

76. (La indicatriz de Banach)Sea f : [a, b] ! R continua y sea Ay = {x 2 [a, b] : f(x) = y}. DefinaNf : R! N[{0,1} poniendo Nf (y) = #(Ay). Pruebe:

RNfd = V

ba (f)

(En particular, si f es de variacin acotada, Nf es finita c.d.).(Sugerencia: Sea (Pn) una sucesin creciente de particiones de [a, b] talque las normas tienden a cero. Sea Nn =

Pmnk=1 Bn,k donde Bn,k =

f1([x(n)k1, x(n)k ]) y Pn = (a = x(n)0 < ... < x(n)mn = b). Pruebe que

Nn ! Nf c.d. y use el T.C.M.)77. Existe f : [0, 1] ! R continua tal que no sea de variacin acotada y sin

embargo Nf sea finita salvo en un punto? En ningn punto?

78. Sea F 2 AC([a, b]). Pruebe:a) V bc (F ) =

[a,b] |F 0|d.

(Sugerencia: Puede suponer que F 0 existe c.d., pertence a L1([a, b])y F (x) =

[a,x] F

0d+ F (a). Use el ejercicio 70.)

b) P ba(F ) =[a,b](F

0)+d y N ba(F ) =[a,b](F

0)d.

(Sugerencia: x+ =1

2(x+ |x|). Use el inciso a) y el ejercicio 71. )

(NOTA: P ba(F ) y N ba(F ) denotan la variacin positiva y negativa deF , respectivamente. )

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79. Sea f 2 BV ([a, b]) continua tal que f 2 AC([,]) 8 < en (a, b).Pruebe que f 2 AC([a, b]).(Sugerencia: Use la propiedad (N) de Luzin.)

80. Sean f, g funciones absolutamente continuas en sus dominios (f : [c, d]!R y g : [a, b]! [c, d] ). Pruebe: f g 2 AC([a, b]) () f g 2 BV ([a, b]).(Sugerencia: Use la propiedad (N) de Luzin.)(NOTA: El resultado anterior es de G.M. Fichtenholtz.)

81. Sea f(x) = x2sin 1x

, f(0) = 0 y g(x) = px (definidas en [0, 1] ).Entoncesf, g 2 AC([0, 1]), f g 2 AC([0, 1]) pero g f /2 AC([0, 1]) .

82. Si f, g son absolutamente continuas y g es montona, entonces f g esabsolutamente continua.

83. Sea f : R! R acotada y diferenciable con derivada acotada y mayor quecero. Pruebe que f(E) es medible 8 E R medible.(Sugerencia: Pruebe que f tiene la propiedad (N) de Luzin.)

84. Si f 2 AC([a, b]), entonces |f |p 2 AC([a, b]) 8 p 2 [1,1). Supongaahora que mn{|f(x)| : x 2 [a, b]} > 0. Se sigue que |f |p 2 AC([a, b]) sip 2 (1, 1)?

85. Sea E Rn acotado y f : E ! Rm tal que 8 x 2 E y 8 " > 0 9 =(x, ") > 0 tal que ||f(x) f(y)|| < "||x y|| 8 y 2 E con ||x y|| < .Pruebe que (n)(f(E)) = 0.(Sugerencia: Escriba E = [1n=1En con En = {x 2 E : (x, ") > 1/n} .)

86. (La funcin maximal de Hardy-Littlewood)Sea f : R! R una funcin integrable. Para cada intervalo abierto acotadoI R y x 2 I fijos, definimos: mf (x, I) = 1

(I)

I |f |d y Mf (x, I) =

supI{mf (x, I) : x 2 I}. Pruebe:a) Mf = M|f | y Mf+g Mf +Mg .b) Mf es semicontinua superiormente (en consecuencia es Borel medi-

ble).c) Si {I}I2J es cualquier familia finita de intervalos abiertos acotados,

existe una subfamilia {I1, I2, ..., Ir} consistente de intervalos ajenostal que: ([I2JI) 2

Pri=1 (Ii) .

(Sugerencia: Sea l0 = max{(I) : I 2 J} y sea Ii un intervalo de Jcon l0 = (I1). Sea J1 = {I 2 l : I \I1 = ;}, l1 = max{(I) : I 2 J1}y sea I2 2 J1 tal que (I2) = l1 . Continuando de este modo, hallamosun ltimo r 2 N tal que: Jr1 = {I 2 J : I \ (I1 [ ...[ Ir1) = ;} noes vaca. Sea Ir 2 J tal que (Ir) = max{(I) : I 2 Jr}. Si I denotael intervalo abierto con el mismo centro que I pero del doble de sulongitud, pruebe que: [I2JI [ri=1Ii).

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d) {x 2 R : Mf (x) > a} 2a

|f |d 8 a > 0 (Desigualdad maximal).(Sugerencia: Si K {Mf > a} es compacto, cbralo con ciertacubierta abierta finita y utilice el inciso c).)

e) t{x 2 R : Mf (x) > t} 2 L1(), en particular Mf 0constante absoluta (p > 1).)

87. (Los teoremas de Lebesgue)

a) Sea f 2 L1(), entonces: lm(I)!0 1(I)I f(t)d = f(x) c.d. x 2 R

donde I denota un intervalo que contiene a x.(Sugerencia: Si f es continua, el resultado es inmediato. En el casogeneral, halle una sucesin de funciones continuas (fn) L1() talesque ||f fn||1 ! 0. Si denotamos F (I) = 1

(I)

I f(t)d y anloga-

mente con Fn(I), entonces: lm(I)!0|F (I)f(x)| lm(I)!0(|F (I)Fn(I)| + |Fn(I) fn(x)| + |fn(x) f(x)|). El segundo trmino nopresenta problema, para el primero observe que |F (I) Fn(I)| Mffn(x). Para " > 0 denote: E" = {x 2 R : lm(I)!0|F (I) f(x)| "} y observe que E" est contenido en: {x 2 R : Mffn(x) "/2} [ {x 2 R : |fn(x) f(x)| "/2}. Aplique la desigualdad maxi-mal y la de Tchebyshev para concluir que (E") = 0. Pase al lmitecon " para concluir el resultado.)

b) Pruebe: Si f 2 L1() entonces: lm(I)!0 1(I)I |f(t)f(x)|d(t) =

0 c.d. x 2 R.(Sugerencia: Por el inciso a), para cada r 2 Q el conjunto: Nr = {x 2R : lm(I)!0

1

(I)

I |f(t) r|d(t) = |f(x) r|} tiene medida cero.

Sea N = {x 2 R : x 2 Nr o |f(x)| = 1}, entonces N tiene medidacero y fuera de l, el resultado se sigue.)

c) Si E 2 AR, entonces c.d. x 2 R: lm(I)!0(E \ I)(I)

=

(1 si x 2 E0 si x /2 E

.

88. (La integral de Steklov)Para ' 2 L1([a, b]) ponga '(x) = 0 8 x /2 [a, b] y defina 'h : R ! Rcomo sigue: 'h(x) =

1

2h

[xh,x+h] '(t)d. Pruebe:

a)[a,b] |'h(x)|d

[a,b] |'(x)|d .

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b) Si ' 2 Lp([a, b]), entonces 'h 2 Lp([a, b]) y ||'h||p ||'||p (p > 1) .(Sugerencia: Note primero que 'h es continua. Para a) empiece supo-niendo que ' 0 y entonces: 2h [a,b] 'h(x)d =

[a,b] d

[h,h] '(x+

t)d =[h,h] d

[a,b] '(x+ t)d

[h,h] d

[a,b] '(x)d. El caso '

general se sigue de lo ya considerado. Para b) use la desigualdad deHlder y el inciso anterior. )

89. Notacin como en en ejercicio anterior. Si p 1 y ' 2 Lp([a, b]) entonces:lmh!0

|'h(x) '(x)|pd = 0.(Sugerencia: Empiece con el caso p = 1: Use el hecho de que casi todopunto es un punto de Lebesgue de ' para obtener 'h(x) ! '(x) c.d. yconcluya el caso usando el T.C.D. El caso p > 1 es ya inmediato. )(NOTA: La integral de Steklov es usada para caracterizar la compacidadde subconjuntos de Lp. El caso p = 2 fue introducido inicialmente porKolmogorov. )

90. Construya f : [0, 1]! R absolutamente continua que no sea montona enalgn intervalo.(Sugerencia: Sea F como en el ejercicio 39 y sea f(x) =

[0,x](F F c)d

.)

91. Describa a g (la medida de Lebesgue-Stieltjes) si:

a) g(x) = arctanx (en R).

b) g(x) =1p2

x1 e

t2/2d (en R).

c) g(x) = la funcin singular de Lebesgue (en [0, 1]) con g(x) =

(0 si x < 0

1 si x > 1.

92. a) Sea f : (1/2, 1/2) ! (1, 1) dada por f(x) = sin 2x. Defina:v : B(1,1) ! R poniendo v(B) = (f1(B)). Muestre que v 0.

93. Sea N [a, b] un subconjunto de medida cero. Pruebe que existe ' :[a, b]! R continua no decreciente tal que '0(x) =1 8 x 2 N .(Sugerencia: Para cada n halle Gn abierto acotado tal que N Gn con(Gn) < 2n, sea 'n(x) = (Gn \ [a, x]) y sea ' =

P1n=1 'n. Note que si

h > 0 es suficientemente pequea para que (x h, x+ h) Gn (x 2 N),entonces

'n(x h) 'n(x)h

= 1 .)

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94. Sea f 2 L1([0, 1]) y g 2 BV ([0, 2]). Pruebe que F (x) =[0,1] f(t)g(x+t)d

es absolutamente continua en [0, 1].

95. (La funcin singular de Lebesgue)Sea f : [0, 1]! [0, 1] la funcin singular de Lebesgue. Pruebe:a) |f 0(x)| 1 c.d. pero f no es de Lipschitz en [0, 1].

(Sugerencia: f 0(x) = 0 c.d. y f(x) = 2n 8 x 2 (3n, 2(3n)) y

f

3

2

3n

= 2n. As pues,

f

3

2

3n

3

2

3n

=

3

2

n1que tien-

de a infinito con n.)b) Existe g : [0, 1]! [0, 1] continua, estrictamente creciente y singular.

(Sugerencia: Extienda a f a todo R poniendo f(y) = 0 si y 0 y f(y) = 1 si y 1. Sea Q = {r1, r2, ...} una enumeracin.Sea g(x) =

P1n=1

f(2n(x rn))2n

, entonces la serie converge unifor-memente, si x1 < x2 existe rn tal que x1 < rn < x2 de dondeg(x1) < g(x2). Por el teorema de diferenciacin de series de Fubini,

g0(x) =P1

n=1

f 0(2n(x rn))2n

c.d. )

96. Para toda funcin f : [0, 1] ! R existe g : R ! R Lebesgue medible yh : [0, 1]! R Borel medible tal que: f = g h.(Sugerencia: Sea h : [0, 1] ! [0, 1] dada por h(0) = 0 y h

P1n=1

xn2n

=P1

n=1

2xn3n

donde la expansin binaria no tiene cola de ceros. h es es-trictamente creciente y h([0, 1]) es nulo. Sea g : [0, 1] ! R dada por:g(x) = f(h1(x)) si x 2 h([0, 1]) y g(x) = 0 de otro modo.)

97. Sea X 6= ; y = {(x, x) : x 2 X}. Pruebe: Si 2 P(X)P(X) entonces#(X) c.(Sugerencia: 9 E0 X numerable tal que 2 S(E0E0). Defina l : X !P(E0) como sigue: l(x) = {E 2 E0 : x 2 E} y verifique que es inyectiva.)

98. Pruebe que no existe h 2 L1(R) tal que h f = f 8 f 2 L1(R).(Sugerencia: Suponga lo contrario, halle a > 0 tal que

[2a,2a] |h|d < 1.

Sea f = [a,a] , entonces f(x) =[xa.x+a] h(t)d, pero 8 x 2 [a, a],

f(x) = 1 y adems [x a, x+ a] [2a, 2a]. Obtenga una contradiccin.)

99. a) Sea f : [2, 2] [2, 2]! R dada por: f(x, t) =8

b) Ahora sea f : [2, 2][2, 2]! R dada por: f(x, t) =8

Bibliografa

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[12] Real and Complex Analysis, W. Rudin, McGraw Hill (1974)

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