Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 2 Predavanje 3 1

Obrtanje tela oko nepokretne ose Telo vri obrtanje (rotaciju) oko nepokretne ose ako su mu bar dve take nepomine tokom kretanja. Takoe, sve take tela koje se nalaze na orijentisanoj pravoj kroz te dve nepomine take ostaju nepomine u toku kretanja. Ta orijentisana prava naziva se osa obrtanja ili osa rotacije.

Poloaj pokretnog koordinatnog sistema O u bilo kom trenutku vremena odreen je uglom koji grade, na primer, nepokretna ravan Oxz i pokretna ravan O . To znai da telo koje se obre oko nepokretne

ose ima jedan stepen slobode kretanja, pod uslovom da je osa obrtanja odreena. Ovaj ugao se naziva ugao obrtanja. Ugao obrtanja moe da se izrazi i preko broja obrtaja N, tj.

N 2= . Funkcionalna zavisnost

)t( = ,

naziva se jednaina obrtanja tela oko nepokretne ose. Ugaona brzina tela koje se obre oko nepokretne ose. Ugaona brzina tela koje se obre oko nepokretne ose karakterie promenu ugla obrtanja. Uoavaju se dva poloaja tela koji se razlikuju za konaan prirataj ugla . Neka se telo iz poloaja koji je odreen uglom u trenutku t, pomeri za vreme

u poloaj odreen uglom t + . Srednja ugaona brzina tela koje se obre oko nepokretne ose Oz za posmatrani interval vremena t odreena je sa

t)( srz

= . Ugaona brzina tela u datom trenutku predstavlja graninu vrednost srednje ugaone brzine kada posmatrani interval vremena t tei nuli

dtd

tlimtz

==

0, &=z .

Ugaonoj brzini tela moe se dati i vektorski smisao. Uoava se taka M iji je poloaj

r rrr MMMMr ++=

, Koristei definiciju brzine take dobija se

&r&rr &rM+MMM rV == .

U cilju odreivanja izvoda &r i &r mogu se jedinini vektori r i r pokretnog koordinatnog sistema O izraziti preko jedininih vektora i i jr r

nepokretnog koordinatnog sistema Oxyz

Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 2 Predavanje 3 2

.jcosi,jsinrr

sinicos

rrrr

++

==

(cos

sin(&&r

Diferenciranjem po vremenu, sledi &&

r

).jsini

),jcosirrrr

++

=

=

r&&r r&&r == , .

S druge strane, jedinini vektori r i r mogu se korienjem definicije vektorskog proizvoda izraziti u obliku

rrrrrr == , , )(),( rr&&rrr&&r == )(V MMM rr

rr&r ++=

Vektor r& predstavlja vektor ugaone brzine, tj. r&r = ,

tako da se dobija Ojlerova formula za odreivanje brzine take tela koje se obre oko nepokretne ose u obliku

MM rVrrr = .

Izvodi jedininih vektora mogu se napisati u obliku

rr&rrr&r == , . Brzina take tela koje se obre oko nepokretne ose Brzina take tela koje se obre oko nepokretne ose moe de se odredi i na sledei nain: neka je u poetnom trenutku ( 0=ot ) 0=o , tj. pokretan koordinatni sistem O i nepokretan koordinatni sistem Oxyz u poetnom trenutku se poklapaju. Ako

je poetak lune koordinate s na toj poznatoj putanji tako da se porast lune koordinate (pozitivan smer u tom koordinatnom sistemu) poklapa sa pozitivnim smerom raunanja ugla

1O

, tada vai )t(RMOs == )1 , && R)R(dtdsV , VT === zT R= .

Ugaono ubrzanje tela koje se obre oko nepokretne ose Neka se telo iz poloaja koji je odreen uglom u trenutku t pomeri za vreme u poloaj odreen uglom

t + . Srednje ugaono ubrzanje tela koje se obre oko

nepokretne ose Oz za posmatrani interval vremena t odreeno je sa

t)( zsrz

= , a ugaono ubrzanje tela u datom trenutku

dtd

tlim zztz

==

0, &&== 2

2

dtd

z .

Vektor ugaonog ubrzanja tela koje se obre oko nepokretne ose je

kzzrr&r&&&rr ==== .

Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 2 Predavanje 3 3

Ubrzanje take tela koje se obre oko nepokretne ose Ubrzanje take M tela koje se obre oko nepokretne ose moe se odrediti na vie naina. Ako je poznat zakon promene lune koordinate, tangencijalno ubrzanje take M tela moe se odrediti kao

zR , zTT )R(dtdVa === & R=

e

aT .

Normalno ubrzanje tak M tela moe se odrediti kao

2RR

= , a ukupno ubrzanje take M tada je odreeno sa

2VaN =

2z

z

N

T

aatg

==4222 +=+= Raaa NTM , . Ubrzanje take M tela koje se obre oko nepokretne ose moe se dobiti i kao

)r(dVa MMMrr&

dtrr == , MMM rra &rrr&rr +=

MMM Vrarrrrr += , MM )r(raM rrrrrr = + .

MT rarrr = , )r(Va MMN rrr

rrr == ,

M aaa T Nrrr += .