Mehanika 2 - Svi Hendauti

Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 1 1

MEHANIKA

Mehanika je nauka koja proučava opšte zakone mehaničkih kretanja iravnoteže mehaničkih objekata.

Pod mehaničkim kretanjem podrazumeva se promena položaja (pomeranje)jednog mehaničkog objekta (telo, tačka) u odnosu na drugi (osnovni, referentni) utoku vremena.

Teorijska mehanika se obično deli na statiku, kinematiku i dinamiku.

Osnovni pojmovi u mehanici su: tačka, prava, ravan (prostor preuzet iz geometrije),vreme, masa i sila.

Kinematika je deo klasične (njutnovske) mehanike koja proučava kretanjamehaničkih objekata, ne uzimajući u obzir njihovu materijalnost, kao ni uzroke kojiuslovljavaju ta kretanja. Za razliku od statike, u kinematici se pojam sile ne koristi, auvodi se pojam vremena. Sa matematičke tačke gledišta, vreme je parametar i možeuzimati vrednosti u intervalu od do + . Sa stanovišta teorijske mehanike, vremet ima konkretan fizički smisao i može uzimati vrednosti u intervalu t0 .Trenutak od koga počinje da se meri vreme naziva se početni trenutak ot . Vreme kojeprotekne od početnog trenutka definiše određeni trenutak t. Ako su sa 1t i 2t označeniodređeni trenuci, pri čemu je 12 tt , tada se interval vremena T definiše kao

12 ttT .

Osnovna jedinica za merenje dužine, je metar (m). Osnovna jedinica za merenjevremena je sekunda (s).

Dinamika proučava kretanje mehaničkih objekata uzimajući u obzir njihovumaterijalnost kao i uzroke koji izazivaju to kretanje. Pored svih navedenih pojmova ustatici i kinematici, u dinamici se uvodi i novi pojam mase.

Umesto razmatranja realnih tela, u mehanici se najčešće proučavaju uprošćeni modelistvarnih objekata. Najčešće korišćeni modeli su: materijalna tačka i kruto telo.

Geometrijska tačka koja može da se smatra zastupnikom celog tela, zadržavajući bitnasvojstva tela koje zastupa, naziva se materijalna tačka. Ili kratko, materijalna tačka jegeometrijska tačka kojoj se pridodaje masa.

Kruto telo je materijalno telo koje ne menja svoj geometrijski oblik i zapreminu (nedeformiše se) pri dejstvu drugih tela.


Koordinatni sistemi ili sistemi referencije su geometrijski objekti u odnosu na koje seodređuju položaji objekata u prostoru. Kretanje tela u odnosu na apsolutno nepokretnikoordinatni sistem naziva se apsolutno kretanje. Kretanje tela u odnosu na pokretankoordinatni sistem naziva se relativno kretanje.

Osnovni zadaci kinematike

- određivanje kretanja posmatranog objekta u odnosu na izabrano osnovno telo,odnosno određivanje jednačina kretanja;

- polazeći od jednačina kretanja posmatranog objekta, koje su ili zadate iliodređene, cilj drugog (osnovnog) zadatka kinematike je određivanje karakteristikaposmatranog kretanja, kao što su: trajektorija, brzina, ubrzanje itd.

Kinematika tačke

Načini određivanja kretanja tačke

- vektorski,- analitički (koordinatni)- prirodni

Vektorski način određivanja kretanja tačke

)t(rr - zakon kretanja tačke u vektorskom obliku

Analitički (koordinatni) način određivanja kretanja tačkea. Dekartove pravougle koordinate

Uređeni skup koordinata posmatrane tačke)z,y,x( koje su jednoznačne, neprekidne i

najmanje dva puta diferencijabilne funkcijevremena

)t(xx , )t(yy , )t(zz , su- konačne jednačine kretanja tačke;- kinematičke jednačine kretanja tačke;- parametarske jednačine kretanja tačke;- parametarske jednačine linije putanje tačke.

)z(fxx , )z(fyy - linija putanje tačkeDeo linije putanje koji odgovara uslovu 0t naziva se trajektorija.


b. Polarno – cilindarske koordinate

Položaj tačke M, u odnosu na polarno-cilindarski koordinatni sistem određen jeskupom koordinata zr ,, , koje se nazivaju polarni poteg, polarni ugao i aplikata,

respektivno.

)t(rr , )t( , )t(zz

Ove tri funkcionalne zavisnosti nazivaju sekonačne jednačine kretanja tačke u polarno–cilindarskim koordinatama. Dekartove koordi-nate tačke preko polarno-cilindarskih koordi-nata iste tačke izražene su kao

rcosx , rsiny , zz .Korišćenjem ovih relacija moguće je

izraziti polarno–cilindarske koordinate tačke preko Dekartovih pravouglih koordinataiste tačke, tj.

22 yxr ,xyarctg , zz .

- Polarne koordinate

)t(rr , )t( - konačne jednačine kretanja tačkeu polarnim koordinatamaVeze između Dekartovih i polarnih koordinata tačke su

rcosx , rsiny .Polarne koordinate tačke mogu se izraziti prekoDekartovih koordinata iste tačke kao

22 yxr ,xyarctg .

Prirodni način određivanja kretanja tačke

Neka je putanja uočene tačke M kriva ab. Da bi se odredio položaj tačke M uprostoru, usvaja se putanja tačke ab za krivolinijskukoordinatnu liniju, bira koordinatni početak O odaklese meri odgovarajuća krivolinijska (lučna) koordinata si vrši orijentacija te lučne koordinate.Položaj tačke M tada je jednoznačno određen lučnomkoordinatom

MOs

.tj. )t(fs . Ova jednačina predstavlja zakon kretanja tačke po putanji.Za prirodni način određivanja kretanja potrebno imati sledeće podatke:

- putanju,- koordinatni početak na putanji,- orijentaciju krivolinijske (lučne) koordinate i- zakon kretanja tačke po putanji.


Pri izračunavanju pređenog puta tačke u nekom intervalu vremena od 1t do 2t , ceointerval vremena se rastavlja na manje intervale it u kojima tačka ne menja smerkretanja. Neka su u tom slučaju odgovarajuće promene lučne koordinate uvremenskim intervalima it označene sa is . Ukupan pređeni put S tačke je uvekpozitivan i određuje se kao

n

iisS

1

.

Primenom graničnog procesa, kod koga svi priraštaji is teže nuli, dobija se

2

11

t

t

n

iin

dsslimS .

Kako jedt)t(fds .

sledi da je pređeni put tačke monotono rastuća funkcija vremena, tj.

dt)t(fSt

t2

1

.

Veze između različitih načina određivanja kretanja tačke

Neka je zakon kretanja tačke dat u vektorskom obliku)t(rr

.U odnosu na Dekartov koordinatni sistem, vektor položaja r može se razložiti nasledeći način

k)t(rj)t(ri)t(rr zyx

,

odnosnok)t(zj)t(yi)t(xr

.Na osnovu koordinatnih transformacija poznato je i kretanje tačke u odnosu napolarno – cilindarski koordinatni sistem.

Ako su zadate jednačine kretanja tačke uDekartovim koordinatama, tada je poznata itrajektorija ab. Pokazuje se da je tada mogućeodrediti i zakon kretanja tačke po trajektoriji čimese uspostavlja veza između prirodnog ikoordinatnog načina zadavanja kretanja. U tom ciljubira se koordinatni početak na putanji i orijentiše sekrivolinijska (lučna) koordinata s. Neka se uočenatačka M u izabranom početnom trenutku ot nalazi upoložaju )t(xx oo , )t(yy oo , )t(zz oo ,odnosno )z,y,x(M oooo . Uočavaju se zatim, dvatrenutka vremena koja se razlikuju za elementarni(veoma mali) priraštaj vremena dt: trenutak t, kada

se uočena tačka našla u položaju M koji je određen vektorom položaja r , kao ilučnom koordinatom MOs

i trenutak vremena dttt 1 , kada se tačka našla u


položaju 1M , koji je određen vektorom položaja rdrr 1 kao i lučnom

koordinatom dssMOs 11

. Tada je

rdrddrds 22 ,

kdzjdyidxrd

,2222 dzdydxds ,

222 dzdydxds ,

dtxdtdtdxdx , dtydy , dtzdz ,

dtzyxds 222 ,

t

to

o

dtzyxss 222 .

Prethodne relacije pokazuju kako se može ostvariti prelazak sa koordinatnog naprirodni način zadavanja kretanja tačke i omogućavaju dobijanje veze izmeđuprirodnog i bilo kog drugog koordinatnog načina zadavanja kretanja tačke. Na primer,korišćenjem veze između Dekartovih i polarnih koordinata dobija se

rsincosrx , rcossinry Tada je

t

to

o

dtrrss 222 .

Brzina tačke

Vektorski način određivanja brzine tačke

Neka je kretanje posmatrane tačke M dato uvektorskom obliku i neka je putanja tačke kriva ab.Uočavaju se dva bliska položaja posmatrane tačke:položaj tačke M određen vektorom )t(r u kome setačka nađe u trenutku t i položaj tačke koji je određenvektorom položaja r)t(r)t(r

1 u kome setačka nađe u trenutku ttt 1 . Odnos priraštajavektora položaja (vektora pomeranja) r i njemuodgovarajućeg priraštaja vremena (intervalavremena) t naziva se srednja brzina tačke za

posmatrani interval vremena t , tj.

tt)t(r)t(r

trVsr

1

1

.

Graničnim prelazom, kada se t smanjuje i teži nuli, vektor srV

teži nekoj konačnojvrednosti, koja je takođe vektor, i naziva se brzina tačke u datom trenutku (trenutnabrzina), odnosno

rdtrd

trlimVlimV

otsrot

.


Vektor brzine tačke u datom trenutku jednak je prvom izvodu vektora položaja tetačke po vremenu. Vektor brzine V

je pravca tangente na putanju u posmatranoj tački

M, a smer je onaj u kome se tačka kreće.Jedinica, kojom se izražava intenzitet brzine tačke je odnos jedinice dužine ivremenske jedinice, tj. 1ms .

Analitički (koordinatni) način određivanja brzine tačke

a. Određivanje brzine tačke u Dekartovim koordinatama

kzjyixdtrdV

,

zyx VVVV ,

kVjViVV zyx

,

xVx , yVy , zVz ,222 zyxV .

Vxcos

,Vycos

,Vzcos

.

Određivanje brzine tačke u polarno–cilindarskim koordinatama

kzrrr o

1 ,

kzrrrrdtrdV oo

1 .

Za određivanje izvoda po vremenu jediničnihvektora or

i op , oni se mogu izraziti preko konstantnihvektora i

i j

kao

.jcospisinpp,jsinricosrr

ooo

ooo

,

Uzimajući u obzir da važi 1 oo pr , iz izraza izvodipo vremenu jediničnih vektora su

.)jsinicos(dpdp

,)jcosisin(drdr

oo

oo

oo pr , oo rp

.


kzprrrV oo

,

kVpVrVVVVV zoporzpr

,

rVr , rVp , zVz ,- rV -radijalna, pV -poprečna (cirkularna, transverzalna) i zV -aksijalna brzina tačke.

Intenzitet vektora brzine tačke V

tada je određen sa2222222 zrrVVVV ypr

dok su pravac i smer brzine tačke u odnosu na ose polarno – cilindarskogkoordinatnog sistema, koje su određene jediničnim vektorima or

, op i k

, dati sa

Vrcos r

,Vrcos p

,Vzcos z

.

Kada se tačka M kreće u ravni tada je22222 rrVVV pr ,

rr

VV

tgr

p .

Prirodni način određivanja brzine tačke

Posmatra se kretanje tačke M po poznatoj trajektoriji ab. Neka je na njoj izabrankoordinatni početak 1O i neka je izvršenaorijentacija lučne koordinate s. Pored ovihelemenata, neka je poznat i zakon kretanjatačke po trajektoriji )t(ss . Uočavaju se dvabliska položaja posmatrane tačke M: položaj ukome se tačka nađe u trenutku t, a koji jeodređen sa MO)t(ss

1 i položaj u kome se

tačka nađe u trenutku 1t koji je određen kao

ssMO)t(ss 1111

. Kako svakoj tački putanje odgovara određena lučna

koordinata s i određeni vektor položaja r , tada se može pisati da je )t(sr)s(rr

.Na osnovu definicije brzine sledi

dsrds

dtds

dsrd

dtrdV

.

srlim

dsrd

s

0.

Intenzitet vektoradsrd određen je sa

11

1

1

MM

MMlimdsrd

MM

.

Pravac vektoradsrd , određen je graničnim pravcem vektora r . U posmatranom

graničnom procesu, kada tačka 1M teži tački M, sečica 1MM prelazi u tangentu na


putanju u tački M. Iz toga sledi da je vektordsrd pravca tangente na putanju u datoj

tački.

Pri određivanju smera vektoradsrd zapaža se da je

posmatrano kretanje tačke M u smeru porasta lučne

koordinate )s( 0 i tada je vektorsr

imao smer

vektora r . Ako se posmatra kretanje tačke M kod

koga je 0s zapaža se da tada vektorsr

ima

suprotan smer od vektora r . To znači da je smer vektorasr

onaj u kome raste

prirodna (lučna) koordinata.Iz prethodnih razmatranja sledi da se radi o vektoru jediničnog intenziteta, pravcatangente na putanju u datoj tački, koji je usmeren u smeru rasta lučne koordinate,zbog čega je očigledno da je reč o jediničnom vektoru tangente T

u posmatranoj

tački, tj.

Tdsrd ,

pa jeTsV

.

Iz (2.82) se zaključuje da je projekcija brzine tačke na pravac tangente jednaka prvomizvodu lučne koordinate po vremenu, tj.

sVT .

Pri rešavanju konkretnih problema javlja se potreba da se izračuna pređeni put tačkekoja u toku kretanja menja smer. U tom slučaju je potrebno iz uslova 0)t(VT

odrediti sve trenutke )t,...,t,t( n21 kada tačka menja smer kretanja. Ako su sa)s,s,...,s,s,s( no 21 označene vrednosti lučne koordinate koje odgovaraju trenucima

)t,t,...,t,t,t( no 21 , pređeni put S tačke u intervalu vremena ),0( t određen je tada sa

no ss...ssssS 121 .


Sektorska brzina tačke

Neka je kretanje tačke M zadato vektorom položaja. Pri kretanju tačke vektor položajaOMr opisuje konusnu površinu sa

vrhom u tački O.Kao i pri definisanju brzine tačke uprethodnim razmatranjima, uočavaju sedva bliska položaja tačke M: položaj ukome se tačka nađe u trenutku t, a koji jeodređen vektorom položaja )t(r i položaju kome se tačka nađe u trenutku ttt 1

i koji je određen sa rr)t(r 1 .

)rr(A

21

Veličina

)trr(

tAS sr

21

naziva se srednja sektorska brzina. Graničnim prelazom kada 0t dobija sesektorska brzina tačke u datom trenutku, tj.

)trlimr()

trr(lim

tAlimS

ttt

000 21

21 , tj. )Vr(

dtAdS

21 .

Ako je kretanje tačke M zadato jednačinama kretanja u odnosu na Dekartov pravouglikoordinatni sistem jednačinama, tada je

zyxzyxkji

S

21 , tj.

).xyyx(kSS

),zxxz(jSS

),yzzy(iSS

z

y

x

212121

222zyx SSSS ,

SScos x ,

SS

cos y ,SScos z .

Zapaža se da je sektorska brzina upravna na ravan kretanja u slučaju kada se tačkakreće u ravni, npr. Oxy , ona je tada

k)xyyx(S

21 .

Ako je kretanje tačke u ravni zadato u odnosu na polarni koordinatni sistemjednačinama (2.12) sektorska brzina tačke određena je sa

000

21

rrr

kprS

oo

, kSkrS z

2

21 .


2.2.4. Hodograf brzine tačke

Trajektorija tačke predstavlja geometrijsko mesto krajeva vektora položaja tačkenanetih iz istog nepokretnog pola . Ako se isti postupak ponovi sa vektorima brzinetačke, dobija se kriva AB, koja se naziva hodograf brzine. Dakle, geometrijsko mestosvih krajeva vektora brzine tačke, nanetih iz istog nepokretnog pola, naziva sehodograf brzine.Geometrijsko mesto krajeva vektora brzine tačke nanetih u odgovarajućim položajimatačke na putanji naziva se velocida. Koristeći istu terminologiju, trajektorija tačke semože nazvati hodograf vektora položaja tačke.

Parametarske jednačine hodografa brzine predstavljaće koordinate tačke N hodografabrzine čiji je položaj određen vektorom V

i biće jednake projekcijama vektora brzine

na ose izabranog koordinatnog sistema, tj.)t(xx , )t(yy , )t(zz .

Neposredna zavisnost između projekcija brzina x , y i z može se dobiti izprethodnih jednačina eliminacijom parametra t. Npr., jednačine

)],z(f̂[yy

)],z(f̂[xx

predstavljaju jednačine dveju površi u čijem se preseku nalazi hodograf brzine tačke.

Ubrzanje tačke

Kinematička veličina koja karakteriše promenu vektora brzine tačke naziva seubrzanje tačke.

Vektorski način određivanja ubrzanja tačke

Neka se uočena tačka M kreće po putanji ab. Uočavaju se dva bliska položajaposmatrane tačke: položaj tačke M određen vektorom položaja )t(r u kome se tačkanađe u trenutku t i kada ima brzinu V

i položaj tačke u kome se ona nađe u trenutku

ttt 1 , kada ima brzinu VV)t(VV 11 . Odnos priraštaja vektora brzine


V i njemu odgovarajućeg priraštaja vremena tnaziva se srednje ubrzanje tačke za interval vremena

t , odnosno

ttVV

tVasr

1

1

.

Graničnim prelazom, kada se t smanjuje i teži nuli,vektor srednjeg ubrzanja sra teži nekoj graničnojvrednosti, koja se naziva ubrzanje tačke u datom

trenutku (ubrzanje tačke) i određeno je sa

rVdtVd

tVlimalima

tsrt

00

.

Dimenzija kojom se izražava intenzitet ubrzanja je odnos dužine i kvadrata vremena]LT[]a[ 2 , a jedinice za merenje su: 2ms , 2cms , 2kmh , itd.

Analitički (koordinatni) način određivanja ubrzanja tačke

Određivanje ubrzanja tačke u Dekartovimpravouglim koordinatama

kzjyixra

,

kajaiaa zyx

,

xx Vxa , yy Vya , zz Vza ,

222zyx aaaa ,

axcos ,

aycos

,azcos .

Ako se tačka kreće u ravni, tada jexax , yay ,

22 yxa ,axcos ,

aycos

,

a u slučaju pravolinijskog kretanja tačke jeiVixiaa xx

, xaa x .

Određivanje ubrzanja tačke u polarno –cilindarskim koordinatama

kzprrrrrdtVda oo

)2()( 2 ,

kaparaa zopor

,


2 rrar , rrap 2 , zaz ,- ra -radijalno, pa -poprečno (cirkularno, transverzalno) i za -aksijalno ubrzanje tačke.

222zpr aaaa ,

aacos r

r ,a

acos p

p ,aacos z

z . (2.117)

Kada se tačka kreće u ravni , tada je

,rra,rra

p

r

2

2

222 2 )rr()rr(a ,

aacos r

r ,aa

cos pp .

Izraz za poprečno ubrzanje može pisati i u obliku

)r(dtd

ra p 21 , )S(

dtd

ra zp 21 ,

gde je sa zS označena projekcija sektorske brzine tačke na osu Oz, odakle sledi dakada je sektorska brzina konstantna, važi

0pa .

Prirodni način određivanja ubrzanja tačke

Prirodni trijedar u tački prostorne krive

Neka se posmatra kretanje tačke M po poznatoj putanji ab. Uočavaju se dva bliskapoložaja tačke M na putanji: položaj u kome jejedinični vektor tangente na putanju T

i položaj u

kome je jedinični vektor tangente na putanjuTTT1 .Granični položaj ravni koju formiraju

ova dva vektora, kada tačka 1M teži tački M,naziva se oskulatorna ravan prirodnog trijedra utački M prostorne krive koja predstavljatrajektoriju posmatrane tačke.Upravno na jedinični vektor tangente T

nalazi se

normalna ravan prirodnog trijedra u tački M.Presek oskulatorne i normalne ravni određujepravac glavne normale čiji je jedinični vektor N

i

koji je usmeren na konkavnu stranu krive.Upravno na ove dve ravni nalazi se tangencijalna(rektifikaciona) ravan prirodnog trijedra u tački Mkrive. Presek normalne i tangencijalne ravniodređuje pravac binormale čiji je jedinični vektor

B

upravan na ostala dva jedinična vektora prirodnog trijedra, a orijentisan je tako davektori T

, N

i B

obrazuju desni trijedar.

Vektor krivine krive

Pri kretanju tačke M po poznatoj putanji ab mogu se uočiti dva bliska položaja tačkeM: položaj u kome se tačka nađe u trenutku t, koji je određen lučnom koordinatom

MO)t(ss1 , kada je jedinični vektor tangente na putanju T

i položaj u kome se


tačka nađe u trenutku 1t , koji je određen lučnom

koordinatom ssMO)t(ss 111

, i kada

je jedinični vektor tangente na putanjuTTT1 .

Promenom lučne koordinate sss 1 menjase i jedinični vektor tangente T

zbog čega se

može pisati da je)(sTT

Vektor

sTKsr

,

naziva se srednja krivina krive na delu 1MM

. Graničnim prelazom, kada tačka M težitački 1M , dobija se vektor krivine krive u tački M

dsTd

sTlimK

s

0

.

Za određivanje intenziteta vektora krivine K

koristi se jednakokraki trougao MAB izkoga sledi da je

22 sinABT

,

jer je 11 TT

. Ugao koji zaklapaju jedinični vektori tangente T

i 1T

u tački M

naziva se ugao zakrivljenja (kontigencije) krive na delu 1MM

.

s

sinlim

s

Tlim

ss

22

00

,s

limsin

limKs

00

2

2 , 1

2

20

sinlim ,

dsd

slimKs

0

.

Iz diferencijalne geometrije je poznato da važi

Ks Rslim 1

0

,

gde je KR - poluprečnik krivine krive o datoj tački, dRds K , tako da je

KRdsdK 1 ,

KRK 1 .

Graničnim postupkom kada tačka 1M teži tački M, dolazi do obrtanja ravni MABDoko vektora T

i kao granični položaj dobija se oskulatorna ravan. Pri tome , vektor

srednje krivine srK

sve vreme ostaje u ravni MABD i graničnim postupkom prelazi uvektor krivine K

. Dakle, vektor krivine krive K

pripada oskulatornoj ravni. Ugao

koji vektor srK

zaklapa sa jediničnim vektorom tangente T

određen sa

,2

,22

,


)0,0( s20

lim , što znači da je vektor krivine K

upravan na jedinični

vektor tangente T

u tački M.U slučaju kada je 0s , priraštaj jediničnogvektora T

usmeren je na "unutrašnju" stranu

krive, a u slučaju kada je 0s , vektor T

orijentisan je na "spoljašnju" stranu krive.

Međutim, vektorsT

koji je jednak srK

usmeren je na "unutrašnju" stranu krive zbogznaka skalara s . Iz svega prethodnogproizilazi da vektor krivine krive ima pravac i

smer jediničnog vektora normale N

u tački M krive, zbog čega se može pisati da je

NR

NKKK

1 .

Tangencijalno i normalno ubrzanje tačke

U slučaju kada se tačka kreće po poznatoj putanji, i kada je njeno kretanje zadatozakonom kretanja tačke po putanji )(tss , tada na osnovu definicije ubrzanja sledi

)Ts(dtd)TV(

dtdVa T

,

TsTsa

,

sdsTdT

, N

RsKsTK

, N

RsTsa

K

2

.

Kako jeBaNaTaa BNT

,

sledi da je

TT Vsa ,KK

N RV

Rsa

22

, 0Ba ,

gde je Ta -tangencijalno, Na -normalno i Ba -binormalno ubrzanje tačke.

22NT aaa ,

aacos T

T ,a

acos NN .

Određivanje poluprečnika krivine putanje tačke

TaaT

,

TT V

Vaa

, 22TN aaa ,

NK a

VR2

.

Konkretno, kada je kretanje tačke zadato u odnosu na Dekartov pravouglikoordinatni sistem, diferenciranjem izraza za intenzitet brzine tačke, dolazi se dorelacije zzyyxxVaT 2222 , iz koje sledi izraz za intenzitet tangencijalnog inormalnog ubrzanja tačke


222 zyxzzyyxx

aT

,

222

222

zyx

)yzzy()xzzx()xyyx(aN

,

pa je

22

2

T

Kaa

VR

.

Kinematika tela

Osnovni pojmovi kinematike tela

Položaj tela u prostoru je određen ako je određen položaj svake njegove tačke. Zaodređivanje položaja tačaka tela koristi se izabrani koordinatni sistem. Koordinatesvih tačaka tela nisu nezavisne. Veze između njih su, u ovom slučaju, nepromenljivorastojanje. Umesto određivanja položaja svih tačaka tela, moguće je odrediti i položajtela u odnosu na izabrani koordinatni sistem. Nezavisni parametari koji jednoznačnoodređuju položaj posmatranog tela u odnosu na izabrani koordinatni sistem nazivajuse generalisane koordinate. Najmanji broj nezavisnih generalisanih koordinatapredstavlja broj stepeni slobode kretanja.

.MA)zz()yy()xx(

,MA)zz()yy()xx(

,MA)zz()yy()xx(

MMM

MMM

MMM

2

32

32

32

3

2

22

22

22

2

2

12

12

12

1

Iz ovih jednačina mogu se odrediti koordinate Mx , My i

Mz , proizvoljno izabrane tačke M, zbog čega se kaže da jepoložaj tela u prostoru određen ako je poznat položaj bilokoje tri njegove nekolinearne tačke.Međutim, svih devet koordinata uočenih nekolinearnih

tačaka 1A , 2A i 3A nisu međusobno nezavisne jer se između njih mogu uspostavitirelacije koje govore o nepromenljivosti uzajamnog rastojanja, tj.

.)zz()yy()xx(AA

,)zz()yy()xx(AA

,)zz()yy()xx(AA

231

231

231

2

13

223

223

223

2

32

212

212

212

2

21

(3.1)

To znači da je broj nezavisnih koordinata koje određuju položaj posmatranog tela datsa 9-3=6.Osnovni zadaci kinematike tela su:1.) određivanje kretanja tela u odnosu na izabrani koordinatni sistem;2.) proučavanje kinematičkih karakteristika tela i3.) određivanje kretanja i proučavanje karakteristika kretanja pojedinih tačaka tela.U kinematici tela posebno će biti razmatrane sledeće vrste kretanja:- translatorno,- obrtanje oko nepokretne ose,- ravno,- obrtanje oko nepokretne tačke (sferno) i- opšte kretanje.


Translatorno kretanje tela

Telo vrši translatorno kretanje akoproizvoljno izabrana duž, koja spaja dvetačke tela, u svakom trenutku ostajeparalelna sama sebi. Razlikuju se:a) pravolinijska translacija ib) krivolinijska translacija..

Određivanje kretanja i karakteristika kretanja pojedinih tačaka telakoje vrši translatorno kretanje

Neka su uočene dve proizvoljne tačke A i B posmatranog tela koje vrši translatornokretanje. Njihovi položaji, u odnosu na nepokretni koordinatni sistem Oxyz, određeni

su vektorima položaja

,k)t(zj)t(yi)t(x)t(r

,k)t(zj)t(yi)t(x)t(r

BBBB

AAAA

Položaj tačke B u odnosu na translatorno pokretnikoordinatni sistem A , koji je kruto vezan zatelo u proizvoljnoj tački A izabranoj za pol,određen je vektorom kjiAB BBB

, pa je

ABrr AB ,

BAB

BAB

BAB

)t(zz)t(yy)t(xx

.

Iz prethodnog proizilazi da su jednačine kretanja tela koje vrši translatorno kretanje uodnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem Oxyz date sa

)t(xx AA , )t(yy AA , )t(zz AA . (3.5)

Kinematičke karakteristike pojedinih tačaka tela koje vrši translatorno kretanjesu

AB rr , AB VV ,

AB VV , AB aa .


Obrtanje tela oko nepokretne ose

Telo vrši obrtanje (rotaciju) oko nepokretne ose ako su mu bar dve tačke nepomičnetokom kretanja. Takođe, sve tačke tela koje se nalaze na orijentisanoj pravoj kroz tedve nepomične tačke ostaju nepomične u toku kretanja. Ta orijentisana prava nazivase osa obrtanja ili osa rotacije.

Položaj pokretnog koordinatnog sistema O u bilokom trenutku vremena određen je uglom koji grade,na primer, nepokretna ravan Oxz i pokretna ravanO . To znači da telo koje se obrće oko nepokretne

ose ima jedan stepen slobode kretanja, pod uslovom daje osa obrtanja određena. Ovaj ugao se naziva ugaoobrtanja. Ugao obrtanja može da se izrazi i preko brojaobrtaja N, tj.

N 2 .Funkcionalna zavisnost

)t( ,

naziva se jednačina obrtanja tela oko nepokretne ose.

Ugaona brzina tela koje se obrće oko nepokretne ose.

Ugaona brzina tela koje se obrće oko nepokretne ose karakteriše promenu uglaobrtanja. Uočavaju se dva položaja tela koji se razlikuju za konačan priraštaj ugla . Neka se telo iz položaja koji je određen uglom u trenutku t, pomeri za vremet u položaj određen uglom . Srednja ugaona brzina tela koje se obrće oko

nepokretne ose Oz za posmatrani interval vremena t određena je sa

t)( srz .

Ugaona brzina tela u datom trenutku predstavlja graničnu vrednost srednje ugaonebrzine kada posmatrani interval vremena t teži nuli

dtd

tlimtz

0

, z .

Ugaonoj brzini tela može se dati i vektorski smisao.Uočava se tačka M čiji je položaj

MMMMr ,Koristeći definiciju brzine tačke dobija se

MMMM rV .

U cilju određivanja izvoda

i mogu se jediničnivektori

i pokretnog koordinatnog sistema

O izraziti preko jediničnih vektora i

i j

nepokretnog koordinatnog sistema Oxyz


.jcosisin,jsinicos

Diferenciranjem po vremenu, sledi

).jsini(cos

),jcosisin(

, .S druge strane, jedinični vektori

i mogu se korišćenjem definicije vektorskog

proizvoda izraziti u obliku

, , )(),(

)(V MMM

Vektor predstavlja vektor ugaone brzine, tj.

,

tako da se dobija Ojlerova formula za određivanje brzine tačke tela koje se obrće okonepokretne ose u obliku

MM rV .

Izvodi jediničnih vektora mogu se napisati u obliku

, .

Brzina tačke tela koje se obrće oko nepokretne ose

Brzina tačke tela koje se obrće oko nepokretne ose može de se odredi i na sledećinačin: neka je u početnom trenutku ( 0ot ) 0o , tj. pokretan koordinatni sistemO i nepokretan koordinatni sistem Oxyz u početnom trenutku se poklapaju. Ako

je 1O početak lučne koordinate s na toj poznatoj putanji tako da se porast lučnekoordinate (pozitivan smer u tom koordinatnom sistemu) poklapa sa pozitivnimsmerom računanja ugla , tada važi

)t(RMOs 1 , R)R(

dtdsVT , zT RV .

Ugaono ubrzanje tela koje se obrće oko nepokretne ose

Neka se telo iz položaja koji je određen uglom u trenutku t pomeri za vreme t upoložaj određen uglom . Srednje ugaono ubrzanje tela koje se obrće okonepokretne ose Oz za posmatrani interval vremena t određeno je sa

t)( zsrz ,

a ugaono ubrzanje tela u datom trenutku

dtd

tlim zz

tz

0

, 2

2

dtd

z .

Vektor ugaonog ubrzanja tela koje se obrće oko nepokretne ose jekzz

.


Ubrzanje tačke tela koje se obrće oko nepokretne ose

Ubrzanje tačke M tela koje se obrćeoko nepokretne ose može se odrediti naviše načina. Ako je poznat zakonpromene lučne koordinate, tangencijal–no ubrzanje tačke M tela može seodrediti kao

zzTT R)R(dtdVa , RaT .

Normalno ubrzanje tačke M tela možese odrediti kao

22

RR

VaN ,

a ukupno ubrzanje tačke M tada je određeno sa4222 Raaa NTM , 2

z

z

N

T

aatg

.

Ubrzanje tačke M tela koje se obrće oko nepokretne ose može se dobiti i kao

)r(dtdVa MMM

, MMM rra

MMM Vra , )r(ra MMM

.

MT ra , )r(Va MMN

,

NTM aaa .


Ravno kretanje tela

Pod ravnim kretanjem tela podrazumeva se takvo kretanje tela kod koga se sve njegove tačke krećusamo u ravnima paralelnim nekoj nepokretnoj ravni.

Presek S naziva se ravan presek ilisamo presek. Kako taj presek nemora da bude i najveći presek tela,odnosno postoje tačke tela čijeortogonalne projekcije ne sadržepresek S to se za razmatranjeravnog kretanja koristi ravna figura– ravan neograničenih dimenzijakoje je stalno paralelna sa .Položaj ravne figure u ravni xOybiće jednoznačno određenpoložajem dveju proizvoljnoizabranih tačaka )y,x(A AA i

)y,x(B BB . S obzirom da je rastojanje između ovih dveju tačaka nepromenljivo, između koordinataovih tačaka postoji veza

.constAB)yy()xx( ABAB 222

Telo koje vrši ravno kretanje ima tri stepena slobode kretanja.

Razlaganje ravnog kretanja na translatorno i obrtno

Promena položaja ravne figure može se ostvaritikombinacijom translatornog i obrtnog kretanja.Neka se posmatra kretanje ravne figure koja se u trenutku tnađe u položaju I. Za konačni interval vremena t figurase premesti u položaj II. Zapaža se da se taj položaj možedostići na više načina. Jedan je onaj kojim se novi položajdostiže jednom translacijom kojom uočena duž iz položajaAB prelazi u položaj BA 1 , a zatim obrtanjem za ugao 1u položaj 11BA . Isti položaj može se dostići i na sledećinačin: ravno kretanje )BAAB( 11 translacija

)BAAB( 1 rotacija )BABA( 111 .

Jednačine kretanja ravne figure

)t(xx AA , )t(yy AA , )(t

Ove jednačine nazivaju se jednačine kretanja ravne figure.

Određivanje kretanja proizvoljne tačke ravnefigure

AM rr ,

),sin(yy),cos(xx

AM

AM

,sincosyy,sincosxx

MMAM

MMAM

- jednačine kretanja proizvoljne tačke M ravne figure.


Određivanje brzine tačke tela pri ravnom kretanju razlaganjem kretanja

)t(rr AA , )t( ,

AMM rrV .

o

, o . )( o ,

AMVAM ,

A

AMAM VVVV .

Dakle, brzina proizvoljne tačke M ravne figure jednaka je zbirubrzine proizvoljno izabranog pola translacije A i obrtne

komponente brzine tačke M u odnosu na pol A.

Nezavisnost vektora ugaone brzine i ugaonog ubrzanja tela koje vrši ravno kretanje od izborapola translacije

kkz

Teorema: Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja tela koje vrši ravno kretanje ne zavise od izborapola translacije.Dokaz: Neka je pretpostavljeno suprotno, odnosno da vektor ugaone brzine i vektor ugaonogubrzanja zavise od izbora pola translacije. Tada je

,BAVV

,ABVV

BBA

AAB

0)( ABBA .

Kako su vektori A i B

upravni na ravnu figuru, odnosno na vektor 0AB , iz prethodne relacijesledi da mora biti ispunjeno

BA .

Diferenciranjem prethodne relacije dobija se BA ,

čime je teorema i dokazana.

Teorema o projekcijama vektora brzina tačaka ravne figure

Teorema: Projekcije brzina tačaka figure koja vrši ravno kretanje, na osu koja prolazi kroz te tačke,međusobno su jednake.Dokaz: Neka su uočene tačke A i B ravne figure koje se nalaze na osiOx, i neka je poznata brzina tačke A ( AV

), kao i intenzitet i smer

ugaone brzine ravne figure. Ako se tačka A usvoji za poltranslacije, tada sledi

ABAB VVV , x

ABAxBx VVV )(

.

Kako je 0xA

B )V( , tada je AxBx VV .

S obzirom da su tačke A i B proizvoljno izabrane, teorema važi zabilo koje dve tačke na toj osi. Time je teorema dokazana.

Trenutni pol brzina ravne figure

Ako je pri kretanju ravne figure njena ugaona brzina u posmatranom trenutku različita od nule, tadapostoji jedna i samo jedna njena tačka čija je brzina u tom trenutku jednaka nuli. Ta tačka se nazivatrenutni pol brzina ravne figure i obeležava se sa P. Iz

APAP VVV

i uslova da je brzina tačke P ravne figure takva da za nju važi 0PV

sledi AA

P VV .


a) pravci brzina AV

i APV

moraju da budu paralelni. Kako je i APV AP

, sledi da su vektori AV

iA

PV

upravni na pravac koji prolazi kroz tačke A i P. Iz toga proizilazi da setačka P nalazi na pravoj kroz tačku A upravnoj na AV

;

b) intenziteti brzina AV

i APV

moraju da budu jednaki. Iz toga proizilazi nakom rastojanju od tačke A sa nalazi tačka P. Kako je

APVA ,

AVAP ;

c) tačka P mora se nalaziti na onoj polupravoj iz tačke A, upravnoj na AV

, takoda je zadovoljena relacija A

AP VV

.

Trenutni pol brzina je jedna i samo jedna tačka koja u tom trenutku imasvojstvo da joj je brzina jednaka nuli. Ovo se može pokazati polazeći od suprotne pretpostavke dapostoji još jedna tačka, npr. 1P , čija je brzina takođe jednaka nuli. Tada bi, birajući pol brzina P za poltranslacije, sledilo da je

011 PPV P

P

.

Kako je upravno na 1PP i kako je 0 sledi da mora biti 01 PP , čime je pokazano da u jednomtrenutku ne može da postoji više od jednog trenutnog pola brzina ravne figure.

Određivanje brzina tačaka ravne figure pomoću trenutnog pola brzina

Ako je poznata brzina jedne tačke ravne figure, kao i njen trenutni pol brzina, tada je moguće odreditiugaonu brzinu i brzinu bilo koje tačke ravne figure. U tom cilju bira se polbrzina P za pol translacije, tako da za proizvoljnu tačku M ravne figure važi

PMVV PMM

.jer je 0PV

. Slični izrazi mogu se pisati i za druge tačke ravne figure, tako da

jeAPVA , BPVB , . . . MPVM ,

MPV

BPV

APV MBA .

Različiti slučajevi određivanja položaja trenutnog pola brzina ravne figure

Na osnovu prethodnih razmatranja može se odrediti položaj trenutnog pola brzina ravne figure. Neka seu tom cilju posmatra kretanje ravne figure kod koje je poznata brzina jednenjene tačke, npr. AV

i pravac brzine neke druge tačke, npr 1bb koji nije

paralelan sa pravcem brzine AV

. Pokazuje se da se trenutni pol brzina ravnefigure nalazi u preseku normala na pravce tih brzina.Pri određivanju trenutnog pola brzina ravne figure mogući su različitislučajevi.I) Brzine dveju tačaka ravne figure, koje pripadaju jednoj pravoj,međusobno su paralelne i upravne na tu pravu. Zavisno od smerova tih

brzina razlikuju se dva slučaja. Povlačenjem pravekoja prolazi kroz krajeve vektora brzina AV

i BV

dopreseka sa pravom koja prolazi kroz tačke A i B dobijase tačka P. Na taj način dobijena su dva slična trougla

PAC i PBD . Iz sličnosti tih trouglova sledi

BPV

APV BA ,

odakle sledi da je tačka P trenutni pol brzina ravnefigure.a) Ako su brzine tačaka A i B ravne figure istogsmera, a različitih intenziteta, intenzitet ugaone brzine

i položaj trenutnog pola brzina ravne figure može se odrediti na sledeći način


.xVV,)xAB(VV

PBB

PAA

ABVV BA , AB

VVVBPx

BA

B

.

b) Ako su brzine tačaka A i B ravne figure različitih smerova i intenziteta, na analogan način se nalazi)xAB(VA , xVB ,

ABVV BA , AB

VVVx

BA

B

.

II) Brzine dveju tačaka ravne figure međusobno su paralelne, istih smerova i jednakih intenziteta.Pri tome prava kroz te dve tačke A i B u opštem slučaju možeda zauzima proizvoljan ugao u odnosu na pravce brzina AV

i

BV

, ili da bude upravna na njih. Tada je

0 AB .Kako je 0AB i o)AB,( 90 , iz prethodnog izraza sledida je 0 .Dakle, u ovom slučaju reč je o trenutnom translatornomrasporedu brzina tačaka ravne figure.

III) Ako se telo kreće po površini drugog tela, pri čemu oba tela u tački dodira imaju zajedničkutangentu, a brzine dodirnih tačaka su jednake, kaže se da se telo kotrlja bezklizanja. Poseban je slučaj kada se posmatrano telo kreće po površini nepokretnogtela. U tom slučaju i brzina tačke tela koja je u dodiru sa nepokretnim telom imabrzinu koja je jednaka nuli. To znači da je u slučaju kotrljanja bez klizanja tela ponepokretnom telu trenutni pol brzina na mestu dodira ta dva tela.

Određivanje ubrzanja tačke tela pri ravnom kretanju

Posmatra se kretanje ravne figure kod koga je poznato ubrzanje jedne tačke, npr. Aa , kao i intenziteti ismerovi ugaone brzine i ugaonog ubrzanja ravne figure . Ucilju određivanja ubrzanja proizvoljne tačke ravne figurediferencira se po vremenu izraz za brzinu, tako da sedobija

AMAMM VVVa

.

Pri tome je sa AA aV označeno ubrzanje proizvoljno

izabranog pola translacije A i gde je sa AM

AM aV

naznačeno da je reč o komponenti ubrzanja tačke M uodnosu na tačku A, odnosno da je reč o komponentiubrzanja tačke M usled obrtanja ravne figure oko ose A

upravne na ravnu figuru. Ova komponenta ubrzanja naziva se obrtna komponenta ubrzanja tačke M.Tada, koristeći izraze A

MVAM i

A

AMAM VVVV , prethodna relacija

postajeA

MAАМAM Vаaaa

.

- Komponenta upravna je na vektore

i , odnosno ima pravac obrtne komponente brzine AMV

.Intenzitet ove komponente određen je sa

. Ova komponenta obrtnog ubrzanja tačke M

naziva se obrtno tangencijalno ubrzanje tačke M u odnosu na tačku A i označava se sa A

MTa .- Komponenta A

MV obrtnog ubrzanja tačke M upravna je na vektore i A

MV

, tj. ima pravac vektora i uvek je usmerena od tačke M ka tački A. Intenzitet ove komponente ubrzanja tačke M je


2 AMV . Ova komponenta obrtnog ubrzanja tačke M naziva se obrtno normalno ubrzanje tačke

M u odnosu na tačku A i označava se sa AM

AMN Va

, tj. koristeći (3.66) važi )(

A

MNa .

AMT

AMNAM aaaa , A

MNAMT

AM aaa

.

42 AMa AM , )a,a( A

MNAM

,2 A

MN

AMT

aatg .

Trenutni pol ubrzanja ravne figure

Ako ugaona brzina i ugaono ubrzanje ravne figure u posmatranom trenutku nisu jednaki nuli tadapostoji jedna i samo jedna tačka ravne figure čije je ubrzanje jednako nuli. Ta tačka se naziva trenutnipol ubrzanja ravne figure i obeležava se sa Q.

Neka se posmatra kretanje ravne figure tako da je u posmatranomtrenutku poznato ubrzanje Aa jedne njene tačke A, kao i vektori ugaonebrzine i ugaonog ubrzanja

. Ako se tačka A izabere za poltranslacije, tada iz izraza za ubrzanje Qa trenutnog pola ubrzanja Q, tj.

AQAQ aaa

,i uslova da je ubrzanje tačke Q ravne figure jednako nuli, sledi

AA

Q aa .

Ova relacija može poslužiti za određivanje položaja tačke Q.a) Pravci vektora Aa i A

Qa su paralelni. Tome treba dodati da je, naosnovu poznatih intenziteta i , moguće odrediti ugao , koji obrtna

komponenta ubrzanja AQa zaklapa sa pravom koja prolazi kroz tačke Q i A, tj.

2 arctg)

aa

(arctg AQN

AQT .

Određivanjem ovog ugla određena je i poluprava AL na kojoj se nalazi tačka Q čije je ubrzanje jednakonuli. Naime, poluprava AL dobija se tako što se vektor ubrzanja Aa tačke A zaokrene oko tačke A zaugao u smeru koji je određen smerom vektora ugaonog ubrzanja

.b) Intenziteti vektora Aa i A

Qa su jednaki, odakle sledi da je

42 AQaa AQA ,

42 AaAQ .

Iz prethodnog proizilazi da se u razmatranom trenutku može jednoznačno odrediti položaj tačke Q takošto se ubrzanje proizvoljno izabrane tačke A zaokrene za ugao , u smeru ugaonog ubrzanja ravnefigure i na tako dobijenoj polupravoj nanese duž AQ .

Određivanje ubrzanja tačaka ravne figure pomoću trenutnog pola ubrzanja

Ako je u posmatranom trenutku poznat trenutni pol ubrzanja Q, iako su poznati ugaona brzina i ugaono ubrzanje

ravne figure,moguće je odrediti ubrzanje bilo koje njene tačke. U tom ciljumože se usvojiti trenutni pol ubrzanja za pol translacije. Tada je

QMM aa

,jer je 0Qa . Slični izrazi mogu se pisati i za druge tačke ravnefigure tako da je

.MQa

,BQa

,AQa

M

B

A

42

42

42

MQa

BQa

AQa MBA 42 .


Različiti slučajevi određivanja položaja trenutnog pola ubrzanja ravne figure

Zavisno od kinematičkih karaktertistika i karaktera kretanja, pri određivanju trenutnog pola ubrzanjamogu nastupiti sledeći slučajevi.I) Neka je u nekom intervalu vremena brzina neke tačke ravne figure konstantna. Kao ilustracija ovogslučaja može se navesti primer kotrljanja bez klizanja, po nepokretnoj podlozi, točka poluprečnika R,

pri čemu je brzina središta .constVC

. Kako je trenutni pol brzinatočka na mestu dodira točka sa podlogom, sledi da je intenzitet brzinecentra C točka određen sa RCPVC , odnosno const

RVC .

Dakle, ako je u nekom intervalu vremena intenzitet brzine središtatočka, koji se kotrlja po nepokretnoj podlozi, konstantan ( .constVC )u tom intervalu vremena je .const i 0 . Takođe, u tomintervalu vremena je trenutni pol ubrzanja u središtu točka, tj. QC .Birajući trenutni pol ubrzanja C za pol translacije sledi da se za

proizvoljnu tačku M točka može pisatiCMNM aa

,

jer je 0Ca i 0 MCaCMT .

II) Neka je u datom trenutku poznato ubrzanje jedne tačke ravne figure, npr. Aa , kao i vektori ugaonebrzine i ugaonog ubrzanja ravne figure, tj. i

.a) Ako je 0 i 0 , trenutni pol ubrzanja nalazi se na sledeći način: potraži se najpre ugao koji

određuje pravac na kome se nalazi trenutni polubrzanja, tj.

2 arctg ,

i nanosi se, u odnosu na Aa , u smeru ugaonog ubrzanja

. Zatim se na taj pravac nanosi veličina AQ određenarelacijom

42 AaAQ .

Time je određen položaj trenutnog pola ubrzanja Q ravne figure.b) Ako je 0 i 0 , sledi

02 tg ,

tj.0 ,

što znači da se pravci AQ i pravac vektora Aa poklapaju. Tada je položajtrenutnog pola ubrzanja određen sa

2AaAQ .

c) Ako je 0 i 0 , sledi

2tg , o90 .

U ovom slučaju je pravac AQ upravan na pravac vektora Aa , a rastojanje AQodređeno je relacijom

AaAQ .

d) Ako je 0 i 0 , tada sledi

.aaaa,VVVV

MBA

MBA

Dakle, ako su ugaona brzina i ugaono ubrzanje ravne figure istovremeno jednakinuli, sve tačke ravne figure imaju brzine i ubrzanja kao i pol translacije A. Ako je uposmatranom trenutku 0Aa , sledi da je trenutni pol ubrzanja ravne figure u beskonačnosti.


III) Neka su u datom trenutku poznata ubrzanja dveju tačaka ravne figure, npr. Aa i Ba .a) Neka su pravci vektora Aa i Ba određeni uglovima i u odnosu na osu A koja prolazi kroz

tačke A i B. Birajući tačku A za pol translacije može se pisatiABT

ABNAB aaaa .

Projektovanjem prethodne relacije na upravne ose A i A dobijase

,asinasina,acosacosa

ABTAB

ABNAB

pri čemu je smer vektora ABTa pretpostavljen. Kako je 2ABa A

BN

i ABa ABT sledi da je

.AB

sinasina

,AB

cosacosa

AB

BA

2

b) Neka su u datom trenutku ubrzanja dvejutačaka ravne figure međusobno paralelna i nekazaklapaju proizvoljan ugao sa pravom kojaprolazi kroz te tačke. Zavisno od smerova ovihubrzanja razlikuju se dva slučaja. Ako se krozkrajeve vektora Aa i Ba povuče prava i potraži

presek te prave sa pravom kroz tačke A i B, dobiće se tačka Q koja je zajedničko teme sličnih trouglovaQAC i QBD . Iz sličnosti tih trouglova sledi

BQa

AQa BA ,

odakle sledi da je tačka Q trenutni polubrzanja ravne figure.c) Ako su ubrzanja dveju tačaka ravnefigure kolinearni vektori istih ilisuprotnih smerova može se pokazati dase problem određivanja trenutnog polaubrzanja svodi na prethodni slučaj, tj.

rotacijom vektora ubrzanja u istom smeru za 2/ ovaj problem se svodi na prethodni, III)b).


Sferno kretanje tela (Obrtanje tela oko nepokretne tačke)

Sferno kretanje tela ili obrtanje tela oko nepokretne tačke je takvo kretanje tela koje ima jednunepokretnu tačku. Položaj tela u prostoru može biti jednoznačno određen položajem triju njegovihtačaka koje ne pripadaju istoj pravoj. Kada je u pitanju telo koje vrši sferno kretanje, treba zapaziti da

su od šest koordinata tačaka A i B nezavisne samo tri zbog postojanja trirelacije koje se mogu uspostaviti između koordinata tih tačaka, a koje govore onepromenljivosti dužina OA , OB i AB . Dakle, telo koje vrši sferno kretanjeima 6-3 nezavisnih koordinata, tj. tri stepena slobode kretanja. Jedan odpostupaka za analizu sfernog kretanja tela je Ojlerov postupak.Ojlerov postupak podrazumeva korišćenje dva Dekartova pravouglakoordinatna sistema: Oxyz –nepokretan i O - pokretan sistem, kruto vezanza posmatrano telo. Kretanje tela tada je u potpunosti opisano kretanjem

pokretnog u odnosu na nepokretni koordinatni sistem. Neka se u početnom trenutku oba koordinatnasistema poklapaju ( oOOx , oOOy i oOOz ).Polazeći od tog početnog položaja, do proizvoljnog položajapokretnog koordinatnog sistema dolazi se ako se izvrše trinezavisna obrtanja.1) Prvo se izvrši obrtanje koordinatnog sistema O

oko ose oOOz za ugao - ugao precesije. Na tajnačin, pokretni koordinatni sistem iz položaja

oooO prelazi u položaj 111 O .2) Sledeće obrtanje koordinatnog sistema O vrši se

oko ose ONOO 21 , kao nepokretne, za ugao - ugao nutacije. Na taj način, pokretni koordinatni

sistem prelazi u položaj 222 O . Osa ON oko koje je izvršena ova rotacija naziva se čvornaosa.

3) Poslednje obrtanje vrši se oko ose OO 2 za ugao - ugao sopstvene rotacije.Na taj način dobija se proizvoljni položaj pokretnog koordinatnog sistema O . Smatraće se da suOjlerovi uglovi pozitivni ako se uočena obrtanja posmatrana sa pozitivnih krajeva osa Oz , ON i Ovide kao matematički pozitivna. U toku obrtanja tela oko nepokretne tačke menjaju se Ojlerovi uglovi , i . Jednačine

)t( , )t( , )t( nazivaju se konačne jednačine sfernog kretanja tela.

Brzina tačke tela pri sfernom kretanju. Vektor trenutne ugaone brzine. Jednačina trenutne oseobrtanja

Vektor brzine V

tačke M tela koje vrši sferno kretanje može se odrediti korišćenjem vektora položajar uočene tačke, koji je izražen preko komponenata paralelnih jediničnim vektorima

, i

pokretnog koordinatnog sistema O , tj.

r ,

rV .Osim toga, vektor brzine V

tačke M tela može se izraziti i u obliku

VVVV ,

)()()( VVVV ,

.)(

)(

)(V


.,,

,,,

000

111

.,,

,,,

000

.)(

)(

)(

V

Ako se uvedu oznake

,,,

tada je

,)()()(

V,

rV

, rV .

Ako se pođe od uslova

0

rV , 0,0,0 ,

,

-trenutna osa obrtanja i obeležava sa O .Vodeći računa o kolinearnosti vektora i trenutne ose obrtanja, zaključuje

se da je trenutni raspored brzina tačaka tela koje vrši sferno kretanje isti kao da setelo obrće oko, u tom trenutku nepokretne trenutne ose. Ovo zapažanje može se uzetikao osnova za uvođenje naziva za vektor - vektor trenutne ugaone brzine.

Ojlerove kinematičke jednačine

Za određivanje trenutne ugaone brzine tela koje vrši sferno kretanje polazi se od toga da se položaj telamože odrediti pomoću tri Ojlerova ugla. Tada je položaj tela poznat u svakom trenutku ako su poznatekonačne jednačine sfernog kretanja tela )t( , )t( , )t( . Neka su uočena dvapoložaja tela koje vrši sferno kretanje, koji odgovaraju trenucima t i tt na sledeći način:

t : tt :

Odgovarajuće srednje ugaone brzine za dati interval vremena određene su izrazimat ,

t ,

t .

Granične vrednosti ovih srednjih ugaonih brzina predstavljaju odgovarajuće trenutne ugaone brzine:-

dtd

tlimt 0

- ugaona brzina precesije,

-

dtd

tlimt 0

- ugaona brzina nutacije,

-

dtd

tlimt 0

- ugaona brzina sopstvene rotacije.

Vektori ugaonih brzina precesije kp

, nutacije nn

i sopstvene rotacije

sr usmereni

su duž osa Oz , ON i O , čiji su jedinični vektori k

, n i , respektivno. Imajući u vidu da se ove ose

seku u jednoj tački, vektor trenutne ugaone brzine , tela koje vrši sferno kretanje, može se pisati uobliku

nksrnp .


Kako je

.sincosn

,coscossinsinsink

0

dobija se

.)cos()sincossin()cossinsin(

cossinsin

,

sincossin

,

cos .

cos 2222222 ,

),(cos ,

),(cos ,

),(cos .

.kcosjcossinisinsin

,kjsinicosn

0

.k)cos(

j)cossinsin(i)sinsincos(

sinsincosix

, cossinsinjy

, coskz

.

coszyx 2222222 ,

x)i,(cos

.

y)j,(cos ,

z)k,(cos

.

Trenutno ugaono ubrzanje tela koje vrši sferno kretanje

Neka je poznat vektor trenutne ugaone brzine tela koje vrši sferno kretanje. Vektor trenutnogugaonog ubrzanja

tela koje vrši sferno kretanje određen je kao

dt

dt

limt 0

.

Ako se sa o označi jedinični vektor trenutne ose obrtanja O , tada se može pisati da je

o ,

gde je sa označen intenzitet vektora . Tada sledi

ooo )(dtd

,

21 .

Pri tome je o

1 - komponenta trenutnog ugaonog ubrzanja

kojagovori o promeni intenziteta vektora trenutne ugaone brzine i pravca je oseO . Pri analizi komponente 2

treba zapaziti da je vektor o konstantnog

intenziteta i da je kraj ovog vektora, tačka A, na trenutnoj osi obrtanja O .Njegov izvod po vremenu predstavlja brzinu Au , tačke A koja je određena sa

00

dtdu A

.

Ako je sa 1 označena ugaona brzina obrtanja vektora o

, brzina kraja vektora o može se odrediti

kao 010 , tj. 112 )( o .


Projekcije vektora trenutnog ugaonog ubrzanja tela koje vrši sferno kretanje na ose pokretnog inepokretnog Dekartovog koordinatnog sistema

,

,

, ,

,

)()()(

,

)(

,

,

.

kji zyx

,

kji zyx

, kji zyx

.

Projekcije brzine tačke tela koje vrši sferno kretanje na ose pokretnog i nepokretnog Dekartovogkoordinatnog sistema

Polazeći od izraza za brzinu tačke tela koje vrši sferno kretanje može se intenzitetbrzine V, proizvoljne tačke M tela, odrediti u obliku

hsinr)r,(sinrV ,

gde je sinrMKh rastojanje tačke M od trenutne ose obrtanja. Pravac

vektora V

normalan je na i r (a time i na h ), a orijentisan je na onu stranuodakle se obrtanje vektora , najkraćim putem, do poklapanja sa vektorom r

vidi kao matematički pozitivno.Ako se vektor brzine V

određuje preko njegovih projekcija V , V i V , na ose

pokretnog koordinatnog sistema O , tj.

VVVV ,tada sledi da je

.VV

,VV

,VV

222 VVVV ,

VV

),V(cos ,

VV

),V(cos ,

VV

),V(cos .

Na isti način može se odrediti intenzitet, pravac i smer vektora brzine V

, tačke tela koje vrši sfernokretanje, preko projekcija xV , yV i zV na ose nepokretnog koordinatnog sistema Oxyz,

kVjViVV zyx

,

zyx

kjirV zyx

,

.xykVV

,zxjVV

,yziVV

yxz

xzy

zyx

222zyx VVVV ,

VV)i,V(cos x

,VV

)j,V(cos y ,

VV)k,V(cos z

.

Jednačina trenutne ose obrtanja, tela koje vrši sferno kretanje, u odnosu na ose nepokretnogkoordinatnog sistema Oxyz je

0zyx

kjirV zyx

, 000 xy,zx,yz yxxzzy ,

zyx

zyx .

Ubrzanje tačke tela koje vrši sferno kretanje

Ubrzanje proizvoljne tačke M tela koje vrši sferno kretanje je


rr)r(dtdVa

,

)r(ra .

hsinr)r,(sinra ,

gde je sinrh rastojanje tačke M od pravca vektoratrenutnog ugaonog ubrzanja. Ova komponenta ubrzanja tačketela koje vrši sferno kretanje naziva se obrtno ubrzanje.

rrr)(a 2121 ,

211 aar)(ra o

.

Pri tome je )r,(sinra 111 . Pravac vektora

1a normalan

je na ravan koju obrazuju vektori 1 i r , a smer je određen

datim vektorskim proizvodom. Intenzitet vektora2

a dat je sa

)r,(sinra 222 ,pravac je normalan na ravan koju obrazuju vektori 2

i r , a smer neposrednosledi iz datog vektorskog proizvoda.Intenzitet druge komponente ubrzanja )r(

tačke tela koje vrši sferno kretanje, koja će bitioznačena sa a , određen je izrazom

290 hsinV)V,(sinVa o ,

gde je sinrMKh rastojanje tačke M od trenutne ose obrtanja O . Pravac vektora a

normalan je na ravan koju obrazuju i V

i upravan je na trenutnu osu obrtanja O . Smer vektora a

je onaj odakle se rotacija vektora najkraćim putem do poklapanja sa vektorom V

vidi kaomatematički pozitivna, tj. uvek je usmeren ka osi obrtanja. Ova komponenta ubrzanja tačke tela kojevrši sferno kretanje naziva se aksipetalno ubrzanje. Kada su poznate komponente a i a , intenzitetvektora ubrzanja proizvoljne tačke tela koje vrši sferno kretanje određen je npr. na osnovu kosinusneteoreme sa

)a,a(cosaaaaa

222 .

Opšte kretanje telaJednačine opšteg kretanja slobodnog tela

Opšte kretanje slobodnog tela je takvo kretanje pri kome telo možeda zauzme proizvoljan položaj u prostoru. Slobodno telo koje vršiopšte kretanje ima šest stepeni slobode kretanja, odnosno njegovpoložaj određen je sa šest generalisanih koordinata. Konačnejednačine opšteg kretanja slobodnog krutog tela date su u obliku

)t(fxO 11 , )t(fyO 21

, )t(fzO 31 ,

)t(f4 , )t(f5 , )t(f6 .Pretpostavlja se da su funkcije if (i=1,2,3, …, 6) neprekidne,jednoznačne i najmanje dva puta diferencijabilne.

Brzina tačke tela koje vrši opšte kretanjeZa proizvoljnu tačku M tela važi

MOM rr

1,

gde je sa1Or određen položaj proizvoljno izabranog pola translacije 1O i gde je sa M

određen položajtačke M u odnosu na pol 1O . Tada je

MOMM rrV

1, 1

1

OMOM VVV , MOV M

OM 1

1 , MOM VV

1.

Ubrzanje tačke tela koje vrši opšte kretanjeUbrzanje proizvoljne tačke M posmatranog tela je

MMOM Va

1.


-11 OO aV - ubrzanje pola translacije,

- aMM - obrtno ubrzanje tačke M,

- a)(V MO

MM 1 - aksipetalno ubrzanje tačke M,

1

11

OMOOM aaaaaa

.

Složeno kretanje tačkeRelativno, prenosno i apsolutno kretanje tačke

Za proučavanje složenog kretanja tačke potrebno je nekopokretno telo I i tačka M koja se kreće po njemu. Kretanjetačke M u odnosu na nepokretan koordinatni sistem Oxyznaziva se apsolutno kretanje i određeno je parametarskimjednačinama kretanja

)t(xx , )t(yy , )t(zz ,ili kzjyixr

. Brzina i ubrzanje tačke M u odnosu na

koordinatni sistem Oxyz naziva se apsolutna brzina, odnosnoapsolutno ubrzanje tačke M. Kretanje tačke M u odnosu napokretni koordinatni sistem 1O , naziva se relativnokretanje i određeno je sledećim parametarskim jednačinama

)t( , )t( , )t( ,što se može izraziti u sledećem vektorskom obliku

.Kretanje tačke tela I, sa kojom se u datom trenutku poklapatačka M, naziva se prenosno kretanje. Prenosna brzina iprenosno ubrzanje tačke su brzina i ubrzanje one tačke tela I

sa kojom se posmatrana tačka poklapa u datom trenutku.

Brzina tačke pri složenom kretanju (apsolutna brzina tačke)

Položaj tačke M u odnosu na nepokretni koordinatni sistem Oxyz određen je sa

11 oo rrr ,

gde je 11

OOro a MO1

. Tada je

1orrV ,

.

Prva tri člana na desnoj strani prethodnog izraza karakterišu brzinu promene vektora u odnosu napokretni koordinatni sistem 1O . Taj deo izvoda po vremenu predstavlja lokalni (relativni) izvodpo vremenu vektora , odnosno relativnu brzinu tačke M, tako da važi

dtdV r

r.

Preostala tri člana u izrazu za karakterišu promenu vektora koja je posledica kretanjakoordinatnog sistema 1O u odnosu na koordinatni sistem Oxyz. Izvodi po vremenu jediničnihvektora

, i

određeni su na sledeći način

, ,

,gde je vektor trenutne ugaone brzine obrtanja tela I oko uslovno nepokretne tačke 1O . Zamenomovih relacija dobija se

)()()(Vr

, )(Vr

,

r

r Vdt

d .

Apsolutna brzina tačke M može se sada izraziti kao ro VVV

1. Ako se tačka M ne kreće po

telu I, tada je 0rV

i prethodni izraz svodi se tada na prenosnu brzinu tačke M


1op VV .Prethodnim izrazom određena je brzina one tačke tela I, koje vrši opšte kretanje, sa kojom se u datomtrenutku poklapa tačka M. Iz svega prethodnog proizilazi da je apsolutna brzina tačke M jednaka zbiruprenosne i relativne brzine, tj.

rp VVV .

Intenzitet, pravac i smer apsolutne brzine određen je, npr. projekcijama na ose Dekartovog pravouglogkoordinatnog sistema Oxyz, tj.

rxpxx VVV , rypyy VVV , rzpzz VVV .

222zyx VVVV ,

VV)i,V(cos x

,VV

)j,V(cos y ,

VV)k,V(cos z

.

Ubrzanje tačke pri složenom kretanju (apsolutno ubrzanje tačke )

Izraz za apsolutno ubrzanje tačke M koja se kreće po telu I nalazi se određivanjem izvoda po vremenuizraza za apsolutnu brzinu tačke M, tj.

ro VVVa

1,

pri čemu je11 oo aV - ubrzanje pola translacije,

- prenosno ugaono ubrzanje tj. ugaono ubrzanjetela I. Analogno izrazu za brzinu može se pisati

rrrrr

r VaVdtVdV

,

2

2

dtd

dtVda rrr

r.

Relativno ubrzanje ra tačke M govori o promeni relativne brzine rV

usled relativnog kretanja. Kadakoordinatni sistem 1O miruje, tj. kada se telo I ne kreće, sledi da je

raa .

Na osnovu prethodno rečenog, izraz za apsolutno ubrzanje tačke M moguće je napisati u obliku

rrro Va)V(aa

1, rro Va)(aa

2

1.

Kada tačka M ne vrši relativno kretanje, tj. 0rV

i 0ra , prethodni izraz svodi se na prenosnoubrzanje tačke M

)(aa op

1, 1

1

OMop Vaa .

Izraz rV2 naziva se Koriolisovo ubrzanje tačke M, obeležava se sa cora , tj.

rcor Va 2 .

Intenzitet vektora cora određen je sa )V,(sinVa rrcor

2 . Očigledno je da je Koriolisovo ubrzanje

cora jednako nuli u sledećim slučajevima:1) 0 , tj. kada se telo po kome se kreće tačka, kreće translatorno; 2) 0rV , tj. kada se tačka nekreće relativno; 3)

rV , tj. kada su vektori trenutne ugaone brzine tela po kome se kreće tačka i

relativne brzine tačke paralelni.Pravac vektora Koriolisovog ubrzanja cora upravan je na ravan koju obrazujuvektori trenutne ugaone brzine tela po kome se kreće tačka p

i relativne

brzine tačke rV

, a smer je takav da se posmatrano sa kraja vektora cora obrtanje

vektora najkraćim putem do poklapanja sa vektorom rV

, vidi kao matematičkipozitivno. Na osnovu prethodnog proizilazi da je apsolutno ubrzanje tačke Mjednako zbiru prenosnog, relativnog i Koriolisovog ubrzanja, tj.

corrp aaaa .

Intenzitet, pravac i smer vektora apsolutnog ubrzanja tačke M može se odrediti pomoćuprojekcija na ose nepokretnog Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema Oxyz, tj.

corxrxpxx aaaa , coryrypyy aaaa , corzrzpzz aaaa .

222zyx aaaa ,

aa)i,a(cos x

,aa

)j,a(cos y ,

aa)k,a(cos z

.


DINAMIKA

Dinamika je deo teorijske mehanike koji proučava mehanička kretanja materijalnihobjekata uspostavljajući vezu između kretanja i uzroka koji izazivaju to kretanje.Najjednostavniji model realnog tela jeste materijalna tačka. Materijalno telo čije sedimenzije pri proučavanju kretanja mogu zanemariti, odnosno geometrijska tačkakojoj se pripisuje celokupna masa tela koje zastupa, naziva se materijalna tačka.Međutim, materijalnom tačkom se ne smatraju uvek tela malih dimenzija.Materijalnom tačkom mogu se smatrati i tela proizvoljne veličine, pod sledećimuslovima:

ako se kreću translatorno, ako se kreću translatorno, a istovremeno se i obrću, tako da se obrtno

kretanje može zanemariti u odnosu na translatorno, ako poseduju dimenzije koje su male u odnosu na rastojanja od drugih tela

sa kojima sadejstvuju i ako poseduju dimenzije koje su male u odnosu na dimenzije drugih tela sa

kojima sadejstvuju.Materijalna tačka koja može da zauzme bilo koji položaj u prostoru i može da imabilo koju brzinu naziva se slobodna materijalna tačka. Deo dinamike koji se baviproučavanjem kretanja materijalne tačke naziva se dinamika materijalne tačke.Materijalni sistem je skup proizvoljnog broja materijalnih tačaka u kome postojiuzajamna zavisnost između položaja i kretanja bilo koje tačke i svih ostalih tačakakoje čine sistem. Sistem materijalnih tačaka može biti neizmenljiv i izmenljiv.Neizmenljiv sistem materijalnih tačaka je onaj kod koga se pod dejstvom sila nemenjaju rastojanja između bilo koje dve materijalne tačke, koje čine sistem. Izmenljivsistem materijalnih tačaka je onaj kod koga je moguće međusobno kretanje tačakasistema jednih u odnosu na druge. Postoji i podela sistema materijalnih tačaka nadiskretne i neprekidne. Za materijalni sistem se kaže da je diskretan ako su rastojanjaizmeđu svih njegovih tačaka konačna.Materijalno telo je neprekidna sredina konačnih dimenzija. Materijalno telo kod kogase rastojanje između bilo koje dve njegove tačke ne menja u toku vremena (nedeformiše se), pri dejstvu drugih tela, naziva se kruto telo.Deo dinamike koji se bavi proučavanjem kretanja meterijalnog sistema i krutog telačesto se izučava kao zaseban deo mehanike i naziva se dinamika materijalnog sistemai krutog tela.

Osnovni zakoni dinamike

Prvi Njutnov zakon (Zakon inercije) glasi:Izolovana materijalna tačka nalazi se u stanju mirovanja ili jednolikog

pravolinijskog kretanja.Za materijalnu tačku se kaže da je izolovana ako je slobodna i ako na nju ne delujudrugi mehanički objekti ili je dejstvo tih objekata na materijalnu tačku ekvivalentnonuli. Tendencija takve tačke je da zadrži stanje u kome se nalazi. Ova osobina tačkenaziva se inertnost, a prvi Njutnov zakon – zakon inercije. Za jednoliko pravolinijskokretanje tačke kaže se da je to kretanje po inerciji. Treba napomenuti da je u slučajukretanja tačke po inerciji, njeno ubrzanje jednako nuli.


Koordinatni sistem u kome važi prvi Njutnov zakon (Zakon inercije) naziva seinercijalni koordinatni sistem. Ako je koordinatni sistem asolutno nepokretan ili sekreće translatorno, jednoliko i pravolinijski on je takođe inercijalni. Približno takav jeheliocentrični koordinatni sistem čiji je centar u Suncu, a ose u pravcima nepokretnihzvezda. Koordinatni sistemi koji miruju, ili se kreću translatorno, jednoliko ipravolinijski u odnosu na inercijalni koordinatni sistem, takođe su inercijalni. Tako sei koordinatni sistem vezan za Zemlju može smatrati inercijalnim ako se zanemaridnevno obrtanje i godišnje krivolinijsko kretanje središta Zemlje oko Sunca. Uneinercijalnim koordinatnim sistemima ne važe Njutnovi zakoni mehanike.Koristeći definiciju inercijalnih koordinatnih sistema, prvi Njutnov zakon može seformulisati i na sledeći način:

Izolovana materijalna tačka kreće se u inercijalnim koordinatnim sistemimajednoliko i pravolinijski.

Takođe, važi i obrnuto tvrđenje:Materijalna tačka koja se u inercijalnim koordinatnim sistemima kreće

jednoliko i pravolinijski je izolovana.

Drugi Njutnov zakon (Osnovni zakon dinamike)Neka se posmatra materijalna tačka M na koju deluje sila F

i koja se u odnosu na

inercijalni Dekartov koordinatni sistem Oxyz kreće ubrzanjem a . Tada se drugiNjutnov zakon ili osnovni zakon dinamike može izraziti kao

Fam

,pri čemu pozitivan koeficijent proporcionalnosti m govori omaterijalnim svojstvima tačke i naziva se masa materijalnetačke. Dakle, drugi Njutnov zakon može se iskazati u obliku:

Ubrzanje materijalne tačke proporcionalno je sili kojadeluje na tačku i ima pravac i smer te sile.Kada je u pitanju sila kojom Zemlja privlači materijalna telakoja se nalaze na njenoj površi, reč je o težini materijalnih

tela. Eksperimentalno je utvrđeno da sva tela padaju na Zemlju, sa visine koja je malau odnosu na poluprečnik Zemlje, pod dejstvom teže istim ubrzanjem koje se nazivaubrzanje Zemljine teže i obeležava se sa g . Ubrzanje Zemljine teže zavisi odnadmorske visine i geografske širine, a u našim uslovima može se uzeti da je

2/81,9 smg .

Treći Njutnov zakon (Zakon o dejstvu i protivdejstvu) glasi:Sile kojima dve tačke deluju jedna na drugu imaju istu napadnu liniju, jednakog

su intenziteta, a suprotnih smerova.

Četvrti Njutnov zakon (Zakon nezavisnog dejstva sila)glasi:

Ako na materijalnu tačku istovremeno deluje više sila,tada ubrzanje saopšteno od svake sile posebno ne zavisi odostalih sila koje deluju na materijalnu tačku.

Polazeći od II i IV Njutnovog zakona može se pokazatida je sila vektorska veličina. Neka na materijalnu tačku masem deluje sistem od n sila )F,...,F,...,F,F( ni

21 . Svaka sila

saopštava toj tački određeno ubrzanje ia i ono ne zavisi od ostalih sila koje deluju na


posmatranu tačku, a saglasno IV Njutnovom zakonu. Tada, na osnovu II Njutnovogzakona, za i-tu silu važi ii amF

. Sabiranjem svih jednakosti dobija se

i

ii

i amF ,

iiFam , gde je

iiaa - ubrzanje materijalne tačke (iz

kinematike je poznato da se ubrzanje tačke dobija kao vektorski zbir njenihkomponentalnih ubrzanja).

Diferencijalne jednačine kretanja i osnovni zadaci dinamike slobodne tačkeDiferencijalne jednačine kretanja slobodne tačke

Posmatra se slobodna tačka M, mase m , čiji je položaj određenvektorom položaja r u odnosu na inercijalni Dekartovkoordinatni sistem Oxyz. Neka je sa F

označena rezultanta

svih sila koje deluju na posmatranu tačku. Diferencijalnajednačina kretanja posmatrane tačke, na osnovu osnovnogzakona dinamike, ima oblik

Frm

,gde je ar - ubrzanje tačke M. U opštem slučaju kada sila

koja deluje na tačku istovremeno zavisi od vremena, njenog položaja u prostoru injene brzine, diferencijalna jednačina kretanja slobodne tačke ima oblik

)V,r,t(frm

.

Diferencijalne jednačine kretanja tačke u Dekartovim koordinatamaAko je za razmatranje problema izabran Dekartov pravougli koordinatni sistem Oxyzdobijaju se tri skalarne diferencijalne jednačine kretanja tačke M u obliku

),,,,,,,(),,,,,,,(),,,,,,,(

zyxzyxtZzmzyxzyxtYymzyxzyxtXxm

gde su: x, y, z – koordinate posmatrane tačke; z,y,x , - projekcije brzina tačke;z,y,x , - projekcije ubrzanja tačke, a X, Y i Z su projekcije rezultujuće sile F

na ose

izabranog koordinatnog sistema. Ove jednačine nazivaju se diferencijalne jednačinekretanja tačke u Dekartovim koordinatama.Diferencijalne jednačine kretanja tačke u ravni, u Dekartovim koordinatama su

).y,x,y,x,t(Y),y,x,,y,x,t(Yym),y,x,y,x,t(X),y,x,,y,x,t(Xxm

0000

Diferencijalna jednačina pravolinijskog kretanja tačke je)x,x,t(X),,x,,,x,t(Xxm 0000 .

Diferencijalne jednačine kretanja tačke u polarno –cilindarskim i polarnim koordinatama

).z,,r,z,,r,t(Fzmma),z,,r,z,,r,t(F)rr(mma

),z,,r,z,,r,t(F)rr(mma

zz

pp

rr

2

2

Ove jednačine predstavljaju diferencijalne jednačine kretanja tačke u polarno –cilindarskim koordinatama. Pri tome su sa pr F,F i zF označene projekcije rezultante,svih sila koje deluju na tačku, na ose posmatranog koordinatnog sistema.


Diferencijalne jednačine kretanja tačke u polarnim koordinatama glase

).,r,,r,t(F)rr(m),,r,,r,t(F)rr(m

p

r

2

2

Ojlerove (prirodne) diferencijalne jednačine kretanja tačkeAko se za razmatranje problema kretanja tačke izabere prirodni trijedar,projektovanjem leve i desne strane jednačine osnovne jednačine dinamike natangentnu, normalnu i binormalnu osu, koje su određene jediničnim vektorima n,t

i

b

, respektivno, dobijaju se Ojlerove (prirodne) diferencijalnejednačine kretanja tačke

.Fma

,FRsmma

,Fsmma

bb

nk

n

tt

0

2

).t,s,s(Fma

),t,s,s(FRsmma

),t,s,s(Fsmma

bb

nk

n

tt

0

2

Pri tome je sa s označena lučna koordinata, nt F,F i bF su projekcije rezultante svihsila koje deluju na tačku na ose prirodnog trijedra, a kR je poluprečnik krivinetrajektorije tačke, u datoj tački.

Osnovni zadaci dinamike tačkeDinamički problemi kretanja tačke mogu se globalno podeliti u dva osnovna

zadatka.a) Prvi (direktni) zadatak dinamike tačke glasi:

Odrediti silu koja deluje na tačku ako je poznato njeno kretanje i njena masa.Neka je kretanje tačke zadato u vektorskom obliku )t(fr

. Prvi zadatak dinamike

tačke svodi se na određivanje drugog izvoda po vremenu poznate vektorske funkcije

vremena, tj. a)t(fr . Tada, s obzirom da je masa tačke poznata, sledi da je silakoja deluje na tačku određena sa

rmF ,

čime je rešen prvi zadatak dinamike tačke.b) Drugi (indirektni) zadatak dinamike tačke glasi:

Odrediti kretanje tačke ako je poznata masa tačke, njen početni položaj i početnabrzina kao i sila koja deluje na tu tačku.

Drugi zadatak dinamike tačke svodi se na integraciju diferencijalnih jednačinakretanja tačke. Polazi se od vektorske diferencijalne jednačine kretanja tačke.Integracijom ove jednačine dobija se njeno opšte rešenje kojim se vektor položajatačke izražava kao funkcija vremena i dve integracione konstante, 1C

i 2C

, tj.)C,C,t(fr 21

.

Konstante 1C

i 2C

ukazuju na to da je pod dejstvom datih sila putanja tačke jedna odkrivih iz familije krivih. Za određivanje integracionih konstanti 1C

i 2C

koriste sepodaci o položaju tačke i njenoj brzini u trenutku kada počinje da se posmatra njenokretanje. Ovi podaci nazivaju se početni uslovi kretanja tačke, tj. ovi uslovi određenisu početnim trenutkom 0t , početnim položajem tačke )t(rr 00

i njenom početnom

brzinom )t(r)t(VV 000

. U cilju određivanja integracionih konstanti, pored


početnih uslova kretanja tačke 0tt , 00 r)t(r , 00 V)t(V

, i opšteg rešenja,

potreban je i prvi izvod po vremenu tog opšteg rešenja, tj. )C,C,t(fr 21

. Na tajnačin, mogu odrediti dve vektorske integracione konstante, tj. )V,r,t(gC ii 000

,

),i( 21 , gde je 0000 r)V,r,t(f i 0000 V)V,r,t(f

. Koristeći ovako određeneintegracione konstante, u opštem rešenju, dobija se vektorska jednačina kretanja tačkeu obliku

)V,r,t,t(fr 0001

.

Na ovaj način rešen je drugi zadatak dinamike tačke u vektorskom obliku.

Pravolinijsko kretanje tačkeTačka će se kretati pravolinijski ako su ispunjeni određeni uslovi. Potrebni i dovoljniuslovi da bi se tačka kretala pravolinijski jesu da sila koja deluje na tačku imakonstantan pravac i da je početna brzina tačke jednaka nuli ili ima pravac te sile.

Krivolinijsko kretanje tačkeKretanje tačke u prostoru, u opštem slučaju, je krivolinijsko. Krivolinijsko kretanjetačke odvijaće se u ravni samo ako su ispunjeni posebni uslovi. Potrebni i dovoljniuslovi da bi tačka kretala krivolinijski u ravni jesu da napadna linija rezultante svihsila koje deluju na tačku sve vreme pripada ravni kretanja tačke i da početna brzinatačke bude jednaka nuli, ili da pripada ravni kretanja tačke.

Centralna silaPod centralnom silom podrazumeva se ona sila koja deluje na tačku tako da njenanapadna linija stalno prolazi kroz jednu nepokretnu tačku prostora. Ta nepokretnatačka naziva se centar sile.

Centralna sila može biti odbojna i privlačna, Usvajajući centar sile Oza početak polarnog koordinatnog sistema, centralna sila F

, koja

deluje na tačku M, mase m, može se izraziti na sledeći način

0rFF r

,rrFF r

.

Centralna sila F

je odbojna ako ima isti smer kao i vektor položajatačke r i tada je 0rF . Centralna sila F

je privlačna ako ima suprotan smer od

smera vektora položaja tačke r i tada je 0rF . Posebno su interesantne onecentralne sile čije projekcije rF zavise samo od položaja tačke na poseban način,odnosno od rastojanja OMr tačke od centra O, tj, )r(FF rr .

VezeMaterijalni sistem (tačka, telo) može biti slobodan i neslobodan. Slobodan materijalnisistem je onaj koji može da zauzme proizvoljan položaj u prostoru i da imaproizvoljnu brzinu, nezavisno od sila koje deluju na njega. Neslobodan materijalnisistem je onaj čije je kretanje ograničeno postojanjem uslova koji se nazivaju veze.Između tačke (tela) i veze koja deluje na nju dolazi do međusobnog dejstva.Mehanička mera tog dejstva je sila, a sila kojom tačka (telo) deluje na vezu naziva sepritisak na vezu. Sila kojom veza deluje na tačku (telo) naziva se reakcija veze.Neslobodna tačka (telo) izložena je pri svom kretanju dejstvu aktivnih sila i reakcija


veza. Pridodajući reakcije veza aktivnim silama, osnovni zakon dinamike neslobodnetačke zadržava isti oblik kao i u slučaju slobodne tačke. Iz toga proizilazi da se prianalizi kretanja neslobodne tačke može koristiti princip oslobađanja od vezaformulisan u obliku: Kretanje neslobodne tačke može se posmatrati kao kretanjeslobodne tačke ako se veze uklone a dejstvo veza na tačku zameni reakcijama veza.Veze su uslovi koji ograničavaju pomeranje tačaka, odnosno tela materijalnogsistema.Postoji više podela veza. Po jednoj od njih veze se dele na- geometrijske (konačne, holonomne),- kinematičke (diferencijalne, neholonomne).Veze su geometrijske ako ograničavaju samo koordinate neslobodnog sistema. Vezesu kinematičke ako osim koordinata ograničavaju i kinematičke karakteristikesistema. U opštem slučaju, ovakve veze u odnosu na Dekartov koordinatni sisem Oxyzmogu se izraziti u obliku 0)z,y,x,z,y,x(f . Prethodna relacija, u opštem slučaju,nije integrabilna zbog čega se ove veze nazivaju i neintegrabilne ili neholonomne.Veze se mogu podeliti i na:- stacionarne (skleronomne),- nestacionarne (reonomne).Veza je stacionarna ako je nepromenljiva u toku vremena, tj. ako analitički oblik teveze ne zavisi eksplicitno od vremena t. Ako analitički izrazi za veze zaviseeksplicitno od vremena, takve veze nazivaju se nestacionarne. Nestacionarneholonomne veze mogu se izraziti, u odnosu na Dekartov koordinatni sisem Oxyz, uobliku 0)t,z,y,x(f .Veze se još mogu podeliti i na:- zadržavajuće (dvostrane, bilateralne),- nezadržavajuće (jednostrane, unilateralne).Zadržavajuće veze su one veze koje primoravaju tačku (telo) da se sve vreme kretanjanalazi na nekoj površi ili liniji. Ovakve veze izražavaju se jednakostima.Nezadržavajuće veze su one veze koje tačka (telo) može da napusti u toku kretanja ida nastavi da se kreće slobodno u ograničenom delu prostora. Ovakve veze izražavajuse nejednakostima.Veze se mogu podeliti na još jedan način, tj. naidealne (glatke),realne (hrapave).Veza je idealna ako je njena reakcija upravna na pravac beskonačno malog, vezomdopuštenog pomeranja u posmatranom trenutku. Veza je realna ako njena reakcijaveze R

osim komponente N

u pravcu normale ima i komponentu TF

u pravcu

jediničnog vektora tangente na putanju, tj. TFNR . Pri tome je nNN n

, gde je

nN – projekcija normalne komponente reakcije veze na normalnu osu, a TF

- silatrenja.Ako se za sve vreme kretanja tačke (tela) po vezi, rekcija veze jednaka nuli ( 0R

)

kaže se da su takve veze neaktivne, trivijalne. Pri kretanju tačke (tela) po vezipodrazumeva se da početni geometrijski i kinematički uslovi kretanja ne mogu bitiizabrani proizvoljno, već moraju biti saglasni sa jednačinama veza.Ako je materijalni sistem izložen dejstvu p- neholonomnih i q- holonomnih veza,kretanje materijalnog sistema je moguće ako je 3n>p+q. Tada je položaj materijalnogsistema određen sa s koordinata, tj. s = 3n-p-q odnosno, materijalni sistem ima sstepeni slobode kretanja.


Podela sila koje deluju na materijalni sistemPostoji više podela sila u mehanici. Kada su u pitanju sile koje deluju na materijalnisistem podela se može izvršiti na više načina:- spoljašnje i unutrašnje.Spoljašnje sile su one kojima materijalne tačke ili tela koja ne ulaze u sastavmaterijalnog sistema deluju na materijalne tačke ili tela koja su u sastavu materijalnogsistema. Unutrašnje sile su sile uzajamnog dejstva između pojedinih materijalnihtačaka ili tela koja su u sastavu materijalnog sistema.Unutrašnje sile materijalnog sistema imaju dve osobine:

1) glavni vektor svih unutrašnjih sila materijalnog sistema jednak je nuli,

01

n

i

ui

uR FF

.

2) glavni moment svih unutrašnjih sila materijalnog sistema, u odnosu na

proizvoljno izabrani pol O jednak je nuli 0)(11

n

i

uii

n

i

uio

uO FrFMM

.

Dokaz: Neka su tačke A i B proizvoljne tačke materijalnog sistema. Po III Njutnovomzakonu je u

BAu

AB FF , pa odatle sledi da je

01

n

i

ui

uR FF

, kao i

uBAB

uABA

uBAO

uABO FrFrFMFM

)()(

uABBA

uABB

uABA FrrFrFr

)( ,

BArr BA , BArr BA

,0)()( u

ABu

BAOu

ABO FBAFMFM

.

Još jedna od mogućnosti podele sila koje deluju na materijalni sistem je na: aktivne ipasivne.Aktivne sile su one koje mogu izvršiti pomeranja, promenu položaja tačaka ili telamaterijalnog sistema. Pasivne sile (reakcije veza) ne mogu izvršiti promenu položajatačaka ili tela materijalnog sistema i pojavljuju se kao posledica dejstva aktivnih sila,odnosno zavise od njih.Materijalni sistem je slobodan ako je izložen dejstvu samo unutrašnjih veza.Materijalni sistem je neslobodan ako na njega deluju i spoljašnje i unutrašnje veze.


Lagranžove jednačine prve vrste

Kretanje tačke po zadatoj idealnoj nepokretnoj površi

Posmatra se kretanje tačke M, mase m, pod dejsvom aktivnih sila čija je rezultantaaF

, po zadatoj idealnoj, stacionarnoj, holonomnoj, zadržavajućoj vezi čija jejednačina u odnosu na Dekartov koordinatni sistem Oxyz

0)z,y,x(f .Koristeći princip osobađanja od veza, dejstvo veze može se zameniti silom R

koja, s

obzirom na to da je veza idealna, ima pravac normale napovrš, tj. NR

. Imajući na umu da je gradijent funkcije

)z,y,x(f vektor koji ima pravac i smer spoljašnjenormale n na površ, tj.

kzfj

yfi

xfnfgradfgrad

,

reakcija R

idealne veze može da se izrazi u oblikufgradNR

.

Pri tome je sa označen Lagranžov množitelj veze, koji u opštem slučaju nijekonstantna veličina.Osnovna jednačina dinamike posmatrane tačke, koja se kreće po površi, glasi

fgradFrm a

,pri čemu je

kzfj

yfi

xfN

.

Za izabrani Dekartov koordinatni sistem Oxyz, dobijaju se skalarne diferencijalnejednačine kretanja posmatrane tačke u obliku

,,,zfZzm

yfYym

xfXxm aaa

gde su aX , aY i aZ projekcije rezultante aF

svih aktivnih sila na odgovarajuće oseizabranog koordinatnog sistema. Ove diferencijalne jednačine nazivaju se Lagranžovejednačine I vrste. Ovaj sistem od tri jednačine, zajedno sa algebarskom jednačinomveze, obrazuje sistem od četiri jednačine sa četiri nepoznate x, y, z i .

Pri rešavanju ovog sistema jednačina najpre se može odrediti nepoznatimnožitelj . Da bi se to uradilo, odredi se drugi izvod po vremenu jednačine veze, pase u tako dobijenoj relaciji iskoriste izvodi y,x i z . Iz tako dobijene relacije može seodrediti množitelj . Za određivanje konačnih jednačina kretanja potrebno je većodređeni množitelj iskoristiti, vodeći računa o tome da je u početnom trenutku tačkana površi i da je njena početna brzina tangenta na površ.Koristeći određeni množitelj , intenzitet nepoznate reakcije veze N

dobija se kao

fgradN ,222

222

zf

yf

xfNNNN zyx .


Prethodno opisani postupak za određivanje Lagranžovog množitelja veze može se prikazati i na sledeći način. U tom cilju koristi se uslov da je brzina tačkeupravna na reakciju veze, odnosno

0fgradV

.Diferenciranjem po vremenu ovog uslova dobija se uslov za ubrzanje tačke, tj.

0 )fgrad(dtdVfgrada

.

Skalarnim množenjem leve i desne strane osnovne jednačine dinamike neslobodnetačke sa fgrad i koristeći tako dobijenu relaciju, sledi da je množitelj veze

)fgrad(

dtdVmfgradF

fgrada

2

1 .

Kretanje tačke po zadatoj realnoj nepokretnoj površi

Neka se posmatra kretanje tačke M, mase m, po zadatoj realnoj, stacionarnoj,holonomnoj, zadržavajućoj vezi. Tačka se kreće pod dejsvom aktivnih sila čija jerezultanta aF

. Na tačku deluje i reakcija veze R

koja, s obzirom da je veza realna,

ima dve komponente N

i TF

. Normalna komponenta N

ima pravac normale napovrš i određena je sa

fgradN

.Ako otpor kretanju tačke po površi potiče od suvog trenja, na osnovu Kulonovogzakona, sledi da se intenzitet sile TF

može pisati u obliku

NFT ,gde je - koeficijent trenja klizanja pri kretanju. Vodeći računa o tome da je silatrenja TF

kolinearna sa vektorom brzine V

tačke, pri čemu su im smerovi suprotni,

važi

VVN

VVFF TT

.

Tada, na osnovu jednačine kretanja neslobodne tačke, vektorska diferencijalnajednačina kretanja posmatrane tačke glasi

VVNfgradFrm a

.

Projektovanjem leve i desne strane ove diferencijalne jednačine kretanja, na oseizabranog Dekartovog koordinatnog sistema Oxyz, dobijaju se skalarne diferencijalnejednačine kretanja posmatrane neslobodne tačke u obliku

.

,,

Vzfgrad

zfZzm

Vyfgrad

yfYym

Vxfgrad

xfXxm

a

aa

Kako je koeficijent trenja klizanja poznat, tri skalarne diferencijalne jednačinekretanja posmatrane tačke, zajedno sa jednačinom veze, predstavljaju sistemjednačina sa četiri nepoznate veličine z,y,x i .


Kretanje tačke po zadatoj idealnoj nepokretnoj krivoj

Neka se tačka M, mase m, kreće po zadatoj, idealnoj, nepokretnoj krivoj ab, koja jeodređena presekom površi

01 )z,y,x(f , 02 )z,y,x(f .

Na tačku deluju aktivne sile čija je rezultanta aF

i reakcijaveze R

, čije su komponente 1N

i 2N

pravca normala naodgovarajuće površi, i stoga pripada ravni normalnoj naputanju ab, tj.

21 NNNR

.Kako važi

111 fgradN

, 222 fgradN

,gde su 1 i 2 Lagranžovi množitelji veza, tada je

2211 fgradfgradR

,Polazeći od osnovne jednačine kretanja neslobodne tačke, vektorska diferencijalnajednačina kretanja posmatrane tačke dobija oblik

2211 fgradfgradFam a .

Projektovanjem leve i desne strane ove jednačine, na ose nepokretnog, Dekartovogkoordinatnog sistema Oxyz, dobijaju se skalarne diferencijalne jednačine kretanjaposmatrane tačke u obliku

.,, 22

11

22

11

22

11 z

fzfZzm

yf

yfYym

xf

xfXxm aaa

Ove tri Lagranžove jednačine prve vrste, zajedno sa jednačinama veza, predstavljajusistem od pet jednačina sa pet nepoznatih 1,z,y,x i 2 .Analogno određivanju množitelja veze u slučaju kretanja tačke po idealnojstacionarnoj površi, mogu se i u ovom slučaju odrediti množitelji 1 i 2 . Saodređenim Lagranžovim množiteljima veza 1 i 2 , moguće je odrediti intenzitetekomponenti reakcije veze, 1N i 2N , u obliku

iii fgradN , ),(i 21 ,222

zf

yf

xfN iii

ii . ),(i 21

Kretanje tačke po zadatoj realnoj nepokretnoj krivoj

Neka se posmatra kretanje tačke M, mase m, koja se kreće pod dejstvom aktivnih silačija je rezultanta aF

po zadatoj, realnoj, nepokretnoj krivoj definisanoj presekom

površi 01 )z,y,x(f , 02 )z,y,x(f .Na tačku deluje i reakcija veze R

koja ima dve

komponente: normalnu komponentu N

, koja pripada ravninormalnoj na putanju i komponentu TF

koja predstavlja

silu trenja klizanja. Tada važi

TFNR

.Za normalnu komponentu N

važi

2211 fgradfgradN

,


a intenzitet sile trenja klizanja TF

, saglasno Kulonovim zakonima trenja, određen jekao

NFT .Vodeći računa da je vektor TF

usmeren suprotno od vektora brzine V

tačke, važi

VVNFT

.

Tada, polazeći od osnovne jednačine kretanja neslobodne tačke, dobija sediferencijalna jednačina kretanja tačke po zadatoj nepokretnoj hrapavoj krivoj uobliku

VVNfgradfgradFam a

2211 .

Iz ove jednačine mogu se dobiti skalarne diferencijalne jednačine kretanja tačke uodnosu na Dekartov koordinatni sistem Oxyz, tj.

.Vzfgradfgrad

zf

zfZzm

,Vyfgradfgrad

yf

yfYym

,Vxfgradfgrad

xf

xfXxm

a

a

a

22112

21

1

22112

21

1

22112

21

1

Ako je poznat koeficijenat trenja klizanja , tri skalarne diferencijalne jednačinekretanja posmatrane tačke, zajedno sa jednačinama veza, predstavljaju sistem od petjednačina sa pet nepoznatih veličina 1,z,y,x i 2 .

Ojlerove jednačine kretanja neslobodne tačke

Kretanje tačke po zadatoj idealnoj nepokretnoj krivoj

Pri kretanju tačke po zadatoj idealnoj nepokretnoj krivoj, reakcija veze R

nalazi se unormalnoj ravni, pa se u opštem slučaju može razložitina komponentu nN

u pravcu normale i komponentu bN

u pravcu binormale, tj.

bn NNNR

.Osnovna diferencijalna jednačina kretanja neslobodnetačke je

bna NNFam

.

Projektovanjem leve i desne strane prethodne jednačine, na ose prirodnog trijedra, utački krive koja predstavlja trajektoriju tačke, dobijaju se skalarne diferencijalnejednačine kretanja posmatrane tačke

,

2

),,(0,),,(),,,( ba

bna

nK

at NtssFNtssF

RsmtssFsm

gde su an

at F,F i a

bF - projekcije rezultante aktivnih sila koje deluju na tačku na osetangente, glavne normale i binormale, s – lučna koordinata, a KR - poluprečnikkrivine krive u datoj tački.


Ove jednačine nazivaju se Ojlerove jednačine kretanja neslobodne tačke ilidiferencijalne jednačine kretanja tačke po zadatoj krivoj u prirodnom obliku. Iz ove trijednačine mogu se odrediti tri nepoznate veličine nN,s i bN . Intenzitet reakcije takveidealne veze određen je sa

22bn NNN .

Kretanje tačke po zadatoj realnoj nepokretnoj krivoj

Kada se tačka M kreće po realnoj krivoj, reakcija veze R

može se razložiti natri komponente: dve komponente u normalnoj ravni - nN

u pravcu glavne normale i

bN

u pravcu binormale, i komponentu TF

u pravcutangente, tj.

TbnT FNNFNR

,odnosno

VVFbNnNR Tbn

.

Pri tome je intenzitet sile trenja klizanja TF

određen kao22bnT NNNF .

Sada je

Tbna FNNFam

.

Projektovanjem leve i desne strane prethodne jednačine, na ose prirodnog trijedra,koristeći činjenicu da je tsV

, dobijaju se skalarne diferencijalne jednačine kretanja

posmatrane tačke

.0,,2

22b

abn

an

Kbn

at NFNF

Rsm

ssNNFsm

Ove tri jednačine predstavljaju sistem jednačina odakle je moguće odrediti trinepoznate: )t(ss - zakon kretanja tačke po zadatoj putanji i projekcije reakcijeveze nN i bN .


Geometrija masa

MasaMaterijalnost materijalnog sistema, odnosno tela, karakteriše se u Njutnovskojmehanici samo jednim skalarnim parametrom koji se zove masa. Osobine mase su:

1) Masa je pozitivna veličina, 0m ,2) Masa je apsolutna veličina, tj ista je za sve posmatrače nezavisno od njihovog

kretanja, mm ,

3) Masa je aditivna veličina, tj.

n

iimm

1

,

4) za masu važi zakon konzervacije, tj. 0m .Kada je reč o telu, masa tela koje je zamišljeno podeljeno na N ( N ) delića je

V

N

iiN

dmmm1

lim .

Gustina maseAko je oblast prostora konačne zapremine V ispunjena masom m , tada je srednjagustina mase određena sa Vmsr . Gustina mase u datoj tački je

),,(lim0

zyxdVdm

Vm

V

Ako je .const , kaže se da je telo homogeno. Masa tela zapremine V određena jesada kao

V

dVm . Ako je masa tela površinski raspoređena, tada je A

dAm 1 ,

dok u slučaju linijskog rasporeda mase je L

dLm 2 .

Statički moment masa

Statički moment masa ili linearni polarni moment masa je

n

iiirms

1

, a u slučaju

neprekidno raspoređenih masa je V

dmrs . Linearni polarni momenti masa u odnosu

na koordinatne ravni Oyz, Oxz i Oxy, respektivno, su

n

iiix xms

1

,

n

iiiy yms

1

,

n

iiiz zms

1

, V

x xdms , V

y ydms , V

z zdms .

Centar masaCentar masa ili centar inercije materijalnog sistema je tačka čiji vektor položaja jekolinearan statičkom polarnom momentu masa sa koeficijentom proporcionalnosti

m1 , tj.

n

iiiC mr

ms

mr

1

11 , V

C dmrm

r 1 .

Osobine centra masa1) Položaj centra masa ne zavisi od izborakoordinatnog sistema već samo od rasporeda masa.

n

iiiC mr

mr

1

1 ,

n

iiiC mr

mr

1

1

ii rOOr , C

n

iii

n

ii

n

iiiC rOOmr

mmOO

mmrOO

mr

111

11)(1 .


Kako je CCrOOr CC , sledi da je 0CC .

2) Linearni polarni moment masa u odnosu na centar masa jednak je nuli.

Položaj centra masa, u odnosu na centar masa je sm

mm

n

iiiC

111 . Kako je

0C , sledi da je 0 Cms

.

Momenti inercije

- Polarni moment inercije ili kvadratni polarni momentmasa, definiše se kao

n

iiiO rmJ

1

2 , V

O dmrJ 2

- Aksijalni moment inercije ili moment inercijematerijalnog sistema u odnosu na osu Ol, definiše sekao

n

iii

n

iiil dmrlmJ

1

2

1

2)( , V

l dmdJ 2

- Kvadratni planarni moment masa ili moment inercije materijalnog sistema uodnosu na ravan , definisan je sa

n

iii pmJ

1

2 , V

dmpJ 2

Ako se u tački (polu) O postavi Dekartov koordinatni sistemOxyz, prethodni momenti inercije postaju

n

iiiiiO zyxmJ

1

222 )( , V

O dmzyxJ )( 222 ,

n

iiii

n

ixix zymrmJ

i1

22

1

2 )( ,

n

iiii

n

iyiy zxmrmJ

i1

22

1

2 )( ,

n

iiii

n

iziz yxmrmJ

i1

22

1

2 )( , V

x dmzyJ )( 22 , V

y dmzxJ )( 22 , V

z dmyxJ )( 22

Sabiranjem izraza za aksijalne momente inercije i upoređivanjem sa izrazima zapolarne momente inercije, dobija se

Ozyx JJJJ 2 , zyx JJJ , xzy JJJ , yzx JJJ .Momenti inercije u odnosu na koordinatne ravni su

n

iiiOxy zmJ

1

2 ,

n

iiiOyz xmJ

1

2 ,

n

iiiOxz ymJ

1

2 ,

V

Oxy dmzJ 2 , V

Oyz dmxJ 2 , V

Oxz dmyJ 2 .

Važi sledeće tvrđenje: OxzOyzOxyO JJJJ . Momenti inercije za pol u centru masa,odnosno, za osu ili ravan koje prolaze kroz centar masa nazivaju se sopstvenimomenti inercije. Svi prethodno definisani momenti inercije pozitivne su vceličine imogu se izraziti u obliku 2miJ , gde je i- poluprečnik inercije u odnosu na tačku,osu ili ravan. Dimenzija momenta inercije je 2][ MLJ .


Proizvodi inercijePod proizvodom inercije podrazumevaju se momenti inercije u odnosu na dve ose.

Proizvod inercije za ose Ou i Ov određen je sa

n

iiiiuv rvrum

1))(( . Kada su ose

Ou i Ov međusobno upravne, proizvod inercije zove se devijacioni moment inercije.Ako su to ose Dekartovog koordinatnog sistema Oxyz, devijacioni momenti inercijesu:

n

iiii

n

iiiixy yxmrjrim

11))(( ,

n

iiiiyz zym

1

,

n

iiiizx xzm

1

.

Devijacioni momenti inercije, sa promenjenim znakom, nazivaju se centrifugalnimomenti inercije

n

iiiixy yxmJ

1

,

n

iiiiyz zymJ

1

,

n

iiiizx xzmJ

1

,

V

xy xydmJ , V

yz yzdmJ , V

zx zxdmJ .

Centrifugalni momenti inercije zavise od izbora koordinatnog sistema, mogu biti ipozitivni i negativni i jednaki nuli, a važi yxxy JJ , zyyz JJ , xzzx JJ . Ako su, npr.

0xzJ i 0yzJ , tada je osa Oz glavna osa inercije u tački O. U slučaju da se centarmasa C nalazi na glavnoj osi inercije, tada je ta osa glavna centralna osa inercije.Upoređivanjem aksijalnih i centrifugalnih momenata inercije dobija se

V VV

x yzdmdmzydmzyJ 2)()( 222 ,

i kako je V

dmzy 0)( 2 , sledi da je 02 V

x yzdmJ , odnosno yzx JJ 2 . Na isti

način se pokazuje da važi: zxy JJ 2 i xyz JJ 2 . Matrica oblika

zzyzx

yzyyx

xzxyx

JJJJJJJJJ

naziva se tenzor inercije u datoj tački. Od 9 momenata inercije, vidi se da je samo 6međusobno nezavisno.Ako materijalni sistem ima ravan materijalne simetrije tada je osa, koja je upravna naravan simetrije, glavna osa inercije. U slučaju kada materijalni sistem ima osusimetrije (osa dinamičke simetrije), tada ta osa predstavlja glavnu centralnu osu

inercije.Hajgens – Štajnerova teorema

n

iiizO rmJ

1

2 ,

n

iiiCz rmJ

1

2 ,

22222 2)( iiiii rdydxydr

n

iii

n

iii

n

iizO rmymddmJ

1

2

11

2 2 .

Kako je 01

C

n

iii myym , sledi da je 2mdJJ CzzO , što izražava Hajgens-

Štajnerovu teoremu: moment inercije materijalnog sistema (tela) za neku osu jednakje zbiru sopstvenog momenta inercije za paralelnu osu i položajnog momenta inercije.


Moment inercije u odnosu na proizvoljnu osu kroz datu tačkuPretpostavimo da su poznati uglovi , i kojiodređuju položaj ose Ou, u odnosu na koordinatnisistem Oxyz, kao i da su poznati momenti inercije

xJ , yJ , zJ , xyJ , yzJ i xzJ .

n

iiii

i

n

iiiu

zyx

kjimrumJ

1

2

1

2 coscoscos)(

.

n

iiiiiiiiu kxyjzxiyzmJ

1

2coscoscoscoscoscos

,

n

iiiiiiiiu xyzxyzmJ

1

222 coscoscoscoscoscos ,

222 coscoscos zyxu JJJJ coscos2coscos2coscos2 xzyzxy JJJ .

Položaj ose Ou može biti određen i poznavanjem tačke kroz koju prolazi osa. Neka jeto tačka K čiji položaj je određen sa kzjyixOK

, tako da je

xcos ,

ycos ,

zcos ,

pa jezxJyzJxyJzJyJxJJ zxyzxyzyxu 2222222 .

Elipsoid inercijeIzaberimo tačku K, na osi Ou, tako da je

uJOK 1

. Tada je

zxJyzJxyJzJyJxJ zxyzxyzyx 2221 222 ,odnosno

01222),,( 222 zxJyzJxyJzJyJxJzyxf zxyzxyzyx

Ako su ose O , O i O , glavne ose inercije u tački O, tada je elipsoid inercije datsa

1222 JJJ .Ako se tačka O poklapa sa centrom masa, elipsoid inercije se tada naziva centralnielipsoid inercije, a njegove ose simetrije nazivaju se glavne centralne ose inercije.Elipsoid inercije može biti prikazan i u kanonskom obliku

12

2

2

2

2

2

cba ,

gde su poluose elipsoida inercije date sa

Ja 1 ,

Jb 1 ,

Jc 1 ,

odakle se vidi da većim poluosama odgovaraju manji glavni momenti inercije, iobrnuto.

Documents

Mehanika 2 - Svi Hendauti