Embed Size (px)
Citation preview
56
5. 5 Metode Dekomposisi LU
Pada metode merupakan hasil dari pengembangan dari metode sebelumnya dengan
beberapa manipulasi matriks aljabar.
5. 5. 1 Metode Dekomposisi LU Naif
Persamaan yang dipecahkan dalam bentuk notasi matriks :
[A] {X} = {C} (5. 5. 2)
yang dapat disusun
[A] {X} – {C} = 0 (5. 5. 3)
Jika persamaan (5. 5. 2) dapat dinyatakan ulang sebagai sistem segitiga atas dengan angka
1 pada diagonal :
4
3
2
1
34
2423
141312
x
x
x
x
1000
u100
uu10
uuu1
=
4
3
2
1
d
d
d
d
(5. 5. 4)
atau dalam bentuk matriks dapat disusun kembali
[U] {X} – {D} = 0 (5. 5. 5)
Misalkan terdapat matriks diagonal bawah :
44342414
332313
2212
11
llll
0lll
00ll
000l
(5. 5. 6)
Persamaan (5. 5. 3) jika dikalikan dengan (5. 5. 6) maka,
[L]{[U] {X} – {D}} = [A] {X} – {C} (5. 5. 7)
Jika persamaan ini berlkau maka,
[L] [U] = [A] (5. 5. 8)
dan
[L] {D} = {C} (5. 5. 9)
Persamaan (5. 5. 8) diacu sebagai persamaan LU dekomposisi dari [A]. Dari persamaan ini
dapat diperoleh penyelesaian dengan prosedur subtitusi dua langkah dengan menggunakan
[L] dan [U].
Satu cara untuk membuktikan rumusan ini adalah membuat metode Gauss dalam
bentuk dekomposisi LU, untuk mempermudah pengertian dapat ditunjukan illustrasi dari
metode ini.
57
Contoh 5. 5. 10
Gunakan teknik Gauss – Jordan untuk menyelesaikan persamaan
3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 13)
0.1x1 + 7x2 – 0.3 x3 = – 19.3 (5. 3. 14)
0.3x1 – 0.2x2 + 10 x3 = 71.4 (5. 3. 15)
Penyelesaian
Dengan menyatakan dalam bentuk matriks,
[A] =
102.03.0
3.071.0
2.01.03
setelah eliminasi maju, diperoleh matriks segitiga atas,
[U] =
0120.1000
293333.000333.70
2.01.03
faktor – faktor yang dipakai untuk memperoleh matriks segitiga atas dapat dibuat menjadi
suatu matriks segitiga bawah. Sehingga elemen-elemen a21 dan a31 dihilangkan dengan
menggunakan,
f21 = 3
1.0 = 0. 0333333 f31 =
3
3.0 = 0. 100000
dan akhirnya elemen f32 dihilangkan dengan menggunakan faktor,
f32 = 00333.7
2.0 = - 0. 0271300
[ A ] { X } = { C }
(a) Dekomposisi
[ U ] [ L ]
[ L ] { D } = { C }
(b) Maju
{ D }
Pensubtitusian
[ U ] { X }={ D }
(c) Mundur
{ X }
58
Jadi matriks segitiga bawah, adalah
[L] =
10271300.0100000.0
010333333.0
001
sehingga dekomposisi LU adalah,
[A] = [L] [U] =
10271300.0100000.0
010333333.0
001
0120.1000
293333.000333.70
2.01.03
dimana hasilnya dapat diperiksa dengan,
[L] [U] =
99996.92.03.0
3.070999999.0
2.01.03
102.03.0
3.071.0
2.01.03
5. 5. 2 Metode Dekomposisi Crout
Salah satu cara yang paling efektif diantara metode – metode perbaikan ini disebut
dekomposisi crout yang merupakan suatu algoritma yang efisien untuk memecah [A] atas
[L] dan [U], metode ini dikenal juga sebagai metode reduksi (metode reduksi Cholesky
atau metode Dolittle).
Misalkan matriks 3 x 3 berikut :
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
L =
1ll
01l
001
3231
21 U =
33
2322
131211
u00
uu0
uuu
Karena LU = A, maka hasil perkalian L dan U dapat ditulis,
LU =
3323321331223212311331
2313212212211121
131211
uululululul
uuluulul
uuu
= A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Sehingga,
u11 = a11, u12 = a12, u13 = a13 baris pertama U
l21u11 = a21 l21 = 11
21
u
a dan l31u13 = a31 l31 =
11
31
u
a kolom pertama L
59
l21u12 + u22 = a22 u22 = a22 – l21u12 baris pertama U
l21u13 + u23 = a23 u23 = a23 – l21u13 baris pertama U
l31u12 + l32u22 = a23 l32 = 22
123132
u
ula kolom kedua L
l31u13 + l32u23 + u33 = a33 u33 = a33 – (l31u13 + l32u23) baris Ketiga U
