METALNE KONSTRUKCIJE 1 (B2K3M1)...Univerzitet u Beogradu –Građevinski fakultet Studijski program: GRAĐEVINARSTVO Modul: KONSTRUKCIJE Godina/Semestar: III godina / V semestar Naziv

Beograd, 2020.Sva autorska prava autora prezentacije i/ili video snimaka su zaštićena. Snimak ili prezentacija se mogu koristiti samo za nastavu na daljinu studenta Građevinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu u školskoj 2020/2021 i ne

mogu se koristiti za druge svrhe bez pismene saglasnosti autora materijala.

Univerzitet u Beogradu – Građevinski fakultet www.grf.bg.ac.rs

Studijski program: GRAĐEVINARSTVOModul: KONSTRUKCIJEGodina/Semestar: III godina / V semestar

Naziv predmeta: METALNE KONSTRUKCIJE 1 (B2K3M1)Nastavnik: Prof. dr Zlatko Marković

Naslov predavanja: Bočno-torziono izvijanjeDatum : 2. novembar 2020. godine

Metalne konstrukcije 1 P7-2



Teorijske osnove

Problem je prvi analizirao Timošenko.Linearno elastična teorija bočno-torzionog izvijanja.Osnovne pretpostavke su:– materijal idealno elastičan;– nosač idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija);– sprečena je torziona rotacija na osloncima (viljuškasti

oslonci);– poprečni presek nosača je obostrano simetričan i

konstantan duž raspona nosača (I presek);– poprečni presek zadržava svoj oblik nakon deformacije;– moment inercije Iz je mnogo manji od Iy;– deformacije su male (sin=; cos=1);


Deformisan oblik nosača

yy MMM cos

yy MMM sin

dxdvMMM yT


Osnovne diferencijalne jednačine problema

2

2

dxxwdEIMM yy

)(

2

2

dxxvdEIMM zy

)(

3

3

dxdEI

dxdGI

dxdvMM wtyT

Savijanje oko jače y-y ose

Savijanje oko slabije z-z ose

Torzija

EIy krutost na savijanje oko jače ose,

EIz krutost na savijanje oko slabije ose,

It torzioni moment inercije,

Iw sektorski moment inercije,

v, w i nepoznata generalisana pomeranja. P7-6


Diferencijalna jednačina bočno-torzionog izvijanja

Granični uslovi

02

2

2

4

4

z

ytw EI

MdxdGI

dxdEI

00 )( 0002

2 )()(

dxd 0)(L 02

2 )()( L

dxLd

)()()cos()sin()( xnchDxnshCxmBxmAx

Pretpostavljen oblik rešenja

P7-8

Kritičan moment bočno-torzionog izvijanja - Mcr

EIz krutost na savijanje oko slabije ose,

GIt torziona krutost

Iw sektorski moment inercije,

L raspon nosača (razmak tačaka bočnog pridržavanja).

z

t

z

wzcr EI

GILII

LEIM 2

2

2

2

2

2

2

2

LEIGI

LEIM w

tz

cr

Dati izrazi važe za viljuškasto oslanjanje na krajevima i konstantan dijagram momenata. Označava se i sa Mcr,E!

ili

Ncr,z torziona krutost

Faktori od uticaja na vrednost Mcr

– Krutost nosača (It, Iz i Iw);– Uslovi bočnog oslanjanja;– Način naprezanja (oblik dijagrama momenata

savijanja);– Položaj poprečnog opterećenja u odnosu na centar

smicanja poprečnog preseka;– Oblik poprečnog preseka (simetričan ili

monosimetričan);



Različiti uslovi oslanjanja i opterećenja

Uticaj dijagrama momenata savijanja

2

22

2 LEIGI

LEIMM w

tz

mEcrmcr ,

56230051751 2 ,,,, mmm

P7-11

Parametar m

P7-13

Modifikovan izraz za kritičan moment Mcr

jgjg

z

t

z

w

w

zcr zCzCzCzC

EIGIkL

II

kk

kLEICM 32

2322

22

2

2

1

C1 koeficijent koji uvodi u proračun različite oblike dijagrama momenata (C1 = m);

C2 koeficijent kojim se uzima u obzir položaj poprečnog opterećenja u odnosu na centar smicanja;

C3 koeficijent kojim se uzima u obzir nepoklapanje težišta i centra smicanja;

k i kw koeficijenti kojima se obuhvataju različiti uslovi oslanjanja;

zg rastojanje između centra smicanja i tačke u kojoj deluje opterećenje;

zj parametar koji uzima u obzir stepen asimetrije poprečnog preseka kod monosimetričnih preseka;

Za kompleksnije slučajeve Mcr može da se odredi primenom FEM ili prikladnog softvera (npr. LTBeam)


Koeficijenti C1, C2 i C3


Monosimetrični poprečni preseci i uticaj položaja opterećenja

Ay

sj dAzzyI

zz 21 22 )(

sQg zzz

Rastojanja (zQ i zs) su pozitivna kada se nalaze u prtisnutom delu preska, a negativne kada se nalaze u zategnutoj zoni!



Uticaj položaja poprečnog opterećenja na vrednost Mcr


Granična nosivost nosača na bočno-torziono izvijanje

– Uticaj imperfekcija (zaostali naponi, početne geometrijske imperfekcije,...);

– Granična vrednost momenta nosivost (Mu) je manja od kritičnog momenta bočno-torzionog izvijanja (Mcr) ;

– Stvarno ponašanje nosača odstupa od bifurkacionog modela stabilnosti

Bočno-torziono izvijanje nosača sa početnim geometrijskim imperfekcijama

Modifikovane diferencijalne jednačine:

Lxxv sin)( 00

Lxx sin)( 00

početna imperfekcija bočnog pomeranja (savijanje oko z-z ose)

početna imperfekcija obrtanja preseka (uniformna i ograničena torzija)

zcr

cr

NM

,

0

0

vrednost amplituda početnih imperfekcija su

međusobno zavisne!

2

2

0 dxxvdEIM zy)()(

dxvvdM

dxdEI

dxdGI ywt

)( 03

3

Lx

MMMM

xvcry

cry sin/

/)(

1 0

Rešenja diferencijalne jednačine:

Lx

MMMM

xcry

cry sin/

/)(

1 0


Uticaj geometrijskih imperfekcija


Graničan moment nosivosti na bočno-torziono izvijanje Mu

uticaj početnih imperfekcija

22

1

LTLTLTRky

u

ΦΦMM

,

2121

LTLTΦ

2

2

2 2

/,,

,max,

/

Lx

s

zel

z

yel

EdyEd dx

hxxvdWEI

WM

Maksimalan napon u najopterećenijem preseku (x=L/2):

Graničan moment Mu se dobija iz uslova yEd fmax,



Relativna (bezdimenzionalna) vitkost za bočno-torziono izvijanje

Mcr kritični moment bočno-torzionog izvijanja;My,Rk karakterističan moment nosivosti poprečnog preseka;My,Rk = My,pl za preseke klase 1 i 2;My,Rk = My,el za preseke klase 3;My,Rk = My,eff za preseke klase 4.

cr

RkyLT M

M ,

Veza granični moment - bezdimenzionalna vitkost



Proračun nosivosti elementa na bočno-torziono izvijanje prema EC3

MEd proračunska vrednost momenta savijanja;Mb,Rd proračunska nosivost na bočno-torziono izvijanje;LT bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja;Wy odgovarajući otporni moment;fy granica razvlačenja.

1MyyLTRdb fWM /,

4 klasu za3 klasu za

2 i 1 klase za

yeff

yel

ypl

y

WWW

W

min,,

min,,

,

01,,

Rdb

Ed

MM

Bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja LT

Evrokod 3 daje dve alternative za proračun:– Opšta metoda (za sve oblike preseka, daje

konzervativnije vrednosti);– Metoda za standardne vrućevaljane profile i

ekvivalentne (obostrano simetrične) zavarene profile.

Pored toga, postoji uprošćena metoda za mestimično bočno-pridržane nosače u zgradarstvu.



Opšta metoda

LT koeficijent imperfekcije za bočno-torziono izvijanje

1122

LTLTLT

LT

220150 LTLTLTLT ),(,

Oblik poprečnog preseka Kriva izvijanja

LT

Vrućevaljani I preseci h/b 2h/b 2

ab

0,210,34

Zavareni I preseci h/b 2h/b 2

cd

0,490,76

Ostali poprečni preseci - d 0,76


Metoda za vrućevaljane profile

20150 LTLTLTLTLT )(, ,

Poprečni preseci Kriva izvijanja

LT

Vrućevaljani I preseci h/b 2h/b 2

bc

0,340,49

Zavareni I preseci h/b 2h/b 2

cd

0,490,76

400 ,, LT750,

Poređenje opšte metode i metode za valjane profile

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Opšta metoda

Metoda za valjane profile


Modifikovana vrednost koeficijenta LT,mod

– Uticaj oblika dijagrama momenat se uzima preko modifikovanog koeficijenta.

– Modifikovani koeficijent LT,mod se koristi umesto koeficijenta LT.

– Ne primenjuje se za opštu metodu!

1fLT

LT mod,

280 21 1 501 ),()(, LTckf

mc Ck // 11 1


Kada ne treba kontrolisati bočno-torziono izvijanje?

– Kod nosača koji su kontinualno pridržani u nivou pritisnute nožice;

– Kod nosača koji su dovoljno često bočno pridržani u nivou pritisnute nožice (Lc < 50 if,z);

– Kod nosača zatvorenih poprečnih preseka kružnog i kvadratnog poprečnog preseka;

– Kod poravougaonih šupljih profili kod kojih je odnos visina/širina preseka manji od 10 (h/b < 10), ili (prema Kaimu):

gde je relativna vitkost na izvijanje oko slabije z-z ose;– Bočno-torziono izvijanje nije merodavno kada je relativna vitkost

manja od 0,4, kao i kada je:

zbh // 10

z

16020 ,/ ,, LTcrEdy MM


Mere za povećanje nosivosti na bočno-torziono izvijanje

Problem bočno-torzionog izvijanja može se reši sledećimkonstruktivnim merama: obezbeđenjem bočnog pridržavanja pritisnute nožice, progušćavanjem tačaka njenog bočnog pridržavanja, promenom oblika poprečnog preseka nosača, odnosno

usvajanjem poprečnih preseka koji su manje osetljivi(HEA, HEB), ili neosetljivi na bočno-torzionoizvijanje kao što su zatvoreni (sandučasti) poprečnipreseci.


Kontrola razmaka tačaka bočnog pridržavanja

Lc razmak između susednih tačaka bočnog pridržavanja;kc koeficijent korekcije kojim se uzima u obzir oblik dijagrama momenata;if,z poluprečnik inercije ekvivalentne pritisnute nožice;1 vitkost na granici razvlačenja (= 93,9);My,Ed maksimalna proračunska vrednost momenta savijanja između tačaka

pridržavanja;Mc,Rd proračunska nosivost poprečnog preseka na savijanje oko y-y ose;

granična relativna vitkostMetalne konstrukcije 1 P7-32

Edy

Rdcc

zf

ccf M

MiLk

,

,

,

01

1000 ,, LTc 5010400 ,,, c

Kod bočno pridržanih nosača u zgradarstvu bočno-torziono izvijanje ne treba proveravati kada je:

zfEdy

Rdczfcc i

MM

iLk ,,

,,, 50 50 1

Ekvivalentna pritisnuta nožica


Uprošćena metoda za mestimično bočno pridržane nosače u zgradarstvu

Kod bočno pridržanih nosača kod kojih razmak tačaka bočnog pridržavanja nije dovoljno mali, odnosno kada je relativna vitkost ekvivalentne pritisnute nožice veća od granične, moment nosivosti na bočno-torziono izvijanje može da se odredi kao:


RdcflRdb MkM ,,

kfl koeficijent modifikacije (Evrokod 3 preporučuje: kfl = 1,10); bezdimenzionalni koeficijent izvijanja ekvivalentne

pritisnute nožice.Koeficijent kfl se određuje na osnovu relativne vitkosti ekvivalentne pritisnute nožice i odgovarajuće krive izvijanja:- kriva d za zavarene preseke kod kojih je h/tf 44 ;- kriva c za sve ostale preseke; gde je h ukupna visina poprečnog preseka, a tf debljina pritisnute nožice.


Bočno pridržavanje nosača

5000 /Le m

m,m

1150

20

20 8 8

Le

hM

Le

Nq qEdqEdd

MEd maksimalna proračunska vrednost momenta savijanja duž nosača;e0 imperfekcija;q deformacija sprega u svojoj ravni usled opterećenja q (Iterativan postupak kako bi se uzeli uticaji II reda); Kada se za proračun primenjuje teorija II reda: q =0;m broj nosača koji su pridržani spregom;h visina nosača

Spreg mora da bude sposoban da prihvati uticaje u svojoj ravni:

h

Documents

METALNE KONSTRUKCIJE 1 (B2K3M1)...Univerzitet u Beogradu –Građevinski fakultet Studijski program: GRAĐEVINARSTVO Modul: KONSTRUKCIJE Godina/Semestar: III godina / V semestar Naziv