METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne akademske ...METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko Brčić email: [email protected] Departman za Tehničke

Rešavanje jednačina ravnoteže u MKEMatrična analiza linijskih nosača u prostoruTransformacija iz lokalnog u globalni sistem

Oslobađanje veza na krajevima štapova

METODA KONAČNIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke naukeDržavni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata



Sadržaj

1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKERešavanje sistema jednačinaPrimeri ulaza i izlaza

2 Matrična analiza linijskih nosača u prostoruLinijski nosači u 3DMatrica krutosti punih nosača

3 Transformacija iz lokalnog u globalni sistemLokalni i globalni sistemFormiranje jednačina u globalnom sistemu

4 Oslobađanje veza na krajevima štapovaRedukcija matrice krutosti i vektora Q




Rešavanje sistema jednačinaPrimeri ulaza i izlaza

Sadržaj









Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE

Rešavanje sistema jednačinaJednačine ravnoteže koje se odnose na posmatrani računskimodel linijskog nosača (u ravni) imaju oblik

K∗q∗ = S∗ (1)

Matrica koeficijenata K∗ uz nepoznati vektor q∗ je globalnamatrica krutosti sistema štapovaVektor slobodnih članova S∗ je vektor opterećenja koji jeposledica spoljašnjih sila koje su koncentrisane u čvorovimanosača, kao i opterećenja koje deluje duž pojedinih štapova ikoje je zamenjeno ekvivalentnim čvornim opterećenjem






Rešavanje sistema jednačinaMatrica koeficijenata K∗ može da bude redukovana matricakrutosti, dobijena posle izbacivanja vrsta i kolona kojeodgovaraju sprečenim pomeranjima oslonačkih čvorova, ilitransformisana matrica krutosti, dobijena kada se elementimaglavne dijagonale koji odgovaraju sprečenim pomeranjimaoslonačih čvorova dodaju “jako veliki brojevi”U svakom slučaju, matrica koeficijenata K∗ je regularnamatrica i sistem uslovnih jednačina ravnoteže (1) može da sereši (postoji inverzna matrica)






Rešavanje sistema jednačina

Osnovne osobine matrice koeficijenata u jednačinama (1) susledeće:

1 matrica koeficijenata je simetrična2 matrica koeficijenata je retka matrica trakaste strukture (ima

puno elemenata koji su = 0, a širina trake zavisi od strukturenosača i od usvojene numeracije čvorova i štapova)

3 matrica koeficijenata je pozitivno definitna

Ove osobine su značajne i uslovljavaju način rešavanjadobijenih jednačinaRačunski modeli formirani primenom MKE mogu da budu jakoveliki (n× 106 nepoznatih), pa je način rešavanja jednačinaosnovni problem







Neka je data kvadratna matrica A = [aij ], (i, j = 1, 2, . . . , n),kao i vektor x = {xi} reda n, sa elementima u skupu realnihbrojevaMatrica A je simetrična ukoliko važi:

A = AT ili aij = aji (2)

Matrica A je pozitivno definitna ukoliko važi:

xTAx > 0 ili∑i

∑j

aijxixj > 0 (3)

za bilo koji vektor x 6= 0






Rešavanje sistema jednačinaKvadratna matrica koja je simetrična i pozitivno definitnanaziva se normalna matricaRešenje jednačina (1) dobija se (formalno napisano) kao

K∗q∗ = S∗ ⇒ q∗ = K∗−1S∗ (4)

Inverzna matrica kvadratne regularne matrice A definisana jerelacijom

AA−1 = A−1A = I

gde je I jedinična matrica reda n






Rešavanje sistema jednačinaInverzna matrica može da se dobije kao

A−1 =1

detAadjA

Sa adjA i detA označeni su adjungovana matrica matrice A ideterminanta matrice AMeđutim, osim izuzetno, jednačine ravnoteže ne rešavaju seodređivanjem inverzne matrice i njenim množenjem savektorom opterećenja, prema (4)






Rešavanje sistema jednačinaPostupci za rešavanje linearnih algebarskih jednačina dele sena dve generalne grupe:

1 direktni postupci rešavanja jednačina2 iterativni postupci rešavanja jednačina

Za rešavanje linearnih algebarskih jednačina “normalneveličine” (to je rastegljiv pojam!) efikasniji su direktni postupciZa nesimetričnu matricu koeficijenata najefikasniji je postupakLU dekompozicije (u varijantama Crout-a ili Doolittle-a)Nesimetrične matrice koeficijenata (matrice “krutosti”) javljajuse u analizi fluida i problemima interakcije fluida i konstrukcija






Rešavanje sistema jednačinaZa simetričnu matricu koeficijenata najefikasniji je postupakČoleskog (Cholesky method - varijanta LU dekompozicije zasimetrične matrice)Iterativni postupci rešavanja linearnih algebarskih jednačina(razne varijante gradijentnih postupaka) efikasniji su za “jakovelike sisteme” jednačinaOsnovne varijante gradijentnih iterativnih postupaka rešavanjalinearnih algebarskih jednačina su:

- metoda najmanjeg pada- metoda konjugovanih gradijenata






Rešavanje sistema jednačinaLU dekompozicija matrice znači da se regularna kvadratnamatrica A transformiše u obliku proizvoda dve matrice:

A = LU (5)

gde su L i U donja i gornja trougaona matrica, redomDonja trougaona matrica L je kvadratna matrica kod koje susvi elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuliSlično, gornja trougaona matrica U je kvadratna matrica kodkoje su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli







Ako se izvrši LU dekompozicija (5) matrice koeficijenatasistema jednačina Ax = b, dakle kada je A = LU , dobija se

LU x = b

Ovakva jednačina može da se posmatra kao dva povezanasistema jednačina:

Ly = b

Ux = y

Oba sistema se trivijalno rešavaju, jer su matrice koeficijenatatrougaone strukture






Rešavanje sistema jednačinaPrvi sistem jednačina, po privremeno nepoznatom vektoru y,rešava se zamenom unapred, polazeći od prve jednačine, pazatim redom:

y1 =b1α11

yi =1

αii(bi −

i−1∑j=1

αijyj) (i = 2, 3, . . . , n)






Rešavanje sistema jednačinaPri tome su sa αij obeleženi elementi matrice L:

L =

α11 0 0 . . . 0α21 α22 0 . . . 0...

......

. . ....

αn1 αn2 αn3 . . . αnn






Rešavanje sistema jednačinaSa dobijenim rešenjem za yi jednačine Ux = y rešavaju sezamenom unazad (polazeći od poslednje jednačine):

xn =ynβnn

xi =1

βii(yi −

n∑j=i+1

βijxj) (i = n− 1, n− 2, . . . , 1)






Rešavanje sistema jednačinaSa βij obeleženi su elementi gornje trougaone matrice U :

U =

β11 β12 β13 . . . β1n0 β22 β23 . . . β2n...

......

. . ....

0 0 0 . . . βnn






Rešavanje sistema jednačinaU LU dekompoziciji za nesimetričnu regularnu matricuCrout-ov algoritam je tako formulisan da se elementi αij i βijefikasno određuju bez dodatnih memorijskih zahteva(“operacije u mestu”)Algoritam Čoleski za simetrične matrice je još efikasniji i tu seusvaja da je (zbog simetrije matrice A)

L = UT

Ako su elementi matrice koeficijenata A označeni sa aij , pričemu je matrica simetrična: aij = aji, onda se u metodiČoleskog dobijaju sledeći izrazi za elemente βij matrice U






Rešavanje sistema jednačinaelementi prvog reda matrice U

β11 =√a11, β1j =

a1jβ11

(j = 2, 3, . . . , n)

ostali elementi (za i = 2, 3, . . . , n)

βii =

√√√√aii − i−1∑k=1

β2ki

βij =1

βii(aij −

i−1∑k=1

βkiβkj) (j = i+ 1, i+ 2, . . . , n)






Rešavanje sistema jednačinaPrema tome, ako broj nepoznatih u jednačinama nije “suviševeliki”, jednačine ravnoteže se lako reše i dobija se vektornepoznatih generalisanih pomeranja u globalnom sistemu q∗

Iz dobijenog vektora pomeranja q∗ izdvajaju se vektorigeneralisanih pomeranja za svaki štap: q∗j , izraženi uglobalnom sistemuIzdvajanje čvornih pomeranja pojedinih štapova iz ukupnogvektora čvornih pomeranja za ceo nosač vrši se analognoprocesu “sabiranja” matrica krutosti, samo u suprotnom smeru







Čvorna pomeranja pojedinih štapova u lokalnom sistemudobijaju se iz čvornih pomeranja štapa u globalnom sistemuprema relaciji

qj = T j q∗j

gde je T j matrica transformacije za štap jNajzad, čvorne sile na krajevima štapova, izražene u lokalnomsistemu, dobijaju se na osnovu osnovne jednačine opterećenogštapa

Rj = Kj qj −Qj





Analiza linijskih nosača

Konvencije o pozitivnim smerovima

- sile na krajevima štapa Rj pozitivne su prema konvenciji umatričnoj analizi (u + smerovima lokalnih osa)

- sile na krajevima štapa N,T,M imaju drugu konvenciju opozitivnim smerovima






Rešavanje sistema jednačinaImajući u vidu:

- dobijene sile na krajevima štapova,- relacije između sila Rj i sila u preseku N,T,M na krajevima,- moguće spoljašnje opterećenje duž ose štapa

za svaki štap mogu da se odrede sile u preseku i nacrtajuodgovarajući dijagrami sila u presekuČvorna generalisana pomeranja q∗ su osnovne nepoznate uposmatranoj matričnoj analizi nosačaSile u presecima prikazane u vidu dijagrama sila u presekupretstavljaju glavne nepoznate u analizi nosačaTakođe, raspodela ugiba (pomeranja upravno na osu nosača)duž svakog od štapova posmatranog nosača pretstavljajuželjeni rezultat analize






Rešavanje sistema jednačinaImajući sve ovo u vidu osnovne faze matrične analizekonstrukcija (odn. osnovne faze MKE) su

1 unos podataka i defnisanje računskog modela (pre-processing)2 formiranje i rešavanje sistema jednačina (solution)3 obrada dobijenih rezultata (post-processing)

Prvi računarski programi kojima je implementirana matričnaanaliza konstrukcija (napisani u Fortran-u) imali su tekstuelnuulaznu datoteku i tekstualnu izlaznu datotekuNajbolji takav program bio je STRESS (napravljen na MIT-u)za statičku analizu linijskih nosača u ravni i prostoru





Generalna struktura programa na bazi MKE

Unos podataka Rešavanje jednačina Obrada rezultata





Sadržaj









Program STRESS

Primer ulazne datoteke za program STRESS

STRU PRIMER PRORACUNA RAVNOG OKVIRATYPE PLANE FRAMENUMB OF JOINT 8NUMB OF MEMB 9NUMB OF SUPP 2NUMB OF LOAD 4JOINT COOR1 0 . 0 . S2 12 . 0 . S3 3 . 4 .4 6 . 4 .5 9 . 4 .6 12 . 4 .7 6 . 8 .8 12 . 8 .





Program STRESS


MEMB PROP PRISM1 THRU 3 AX 0 .1 IZ 0 .0014 THRU 7 AX 0 .2 IZ 0 .0028 THRU 9 AX 0 .3 IZ 0 .003MEMB INCI1 2 62 6 83 4 74 1 35 3 76 7 87 5 68 3 49 4 5





Program STRESS


MEMB RELE1 END MOME Z2 START MOME Z END MOME Z4 END MOME Z5 START MOME ZCONST E 20000000. ALLTABU ALLLOAD 1 ∗ OPTERECENJE ∗MEMB LOAD4 FORCE X UNIF 4 .84 FORCE Y UNIF −6.45 FORCE X UNIF 4 .85 FORCE Y UNIF −6.4JOINT LOAD8 FORCE Y −50. MOME Z −100.





Program STRESS


LOAD 2 ∗ POMERANJE OSLONCA ∗JOINT DISPL2 DISPL Y −0.02LOAD 3 ∗ TEMPERATURNA PROMENA ∗MEMB TEMP CHAN 0.000017 THRU 9 20 .LOAD 4 ∗ TEMPERATURNA RAZLIKA ∗MEMB END LOAD3 START MOME Z 100 . END MOME Z −100.SOLVEPROBLEM CORRECTLY SPECIFIED , EXECUTION TO PROCEED





Program ALIN - MKE

Analiza LInijskih Nosača (MKE)

Program ALIN za analizu linijskih nosača zasnovan na MKE(napisan u jeziku C++)Namena (osnovne mogućnosti) programa ALIN:

- analiza linijskih nosača u ravni i u prostoru- vrsta analize: statička, dinamička, stabilnost- statička analiza: Teorija I reda i Teorija II reda- analiza stabilnosti: određivanje kritičnog opterećenja- dinamička analiza: problem svojstvenih vrednosti i odgovor zadinamičku pobudu

- dinamička pobuda: vremenska funkcija opterećenja ili zadatiakcelerogram





Program ALIN - MKE

Analiza LInijskih Nosača (MKE)

Vrste (linijskih) konačnih elemenata implementiranih uprogram ALIN:

- rešetkasti nosači (Truss)- puni nosači (Beam)- tankozidni nosači (TWBeam)- kablovski nosači (Cable)

Predefinisane karakteristike materijala za Beton i ČelikMogućnost automatskog unošenja sopstvene težineNeki oblici poprečnih preseka: pravougaoni, kružni, I, T, opštipresek





Program ALIN - MKE

Deo jedne od datoteka: Enums.h

//−−−−−−−− g e n e r a lenum SPACE {s2D = 2 , s3D = 3} ;enum ANALYSIS {STATIC , DYNAMIC, STABILITY } ;enum OBJECT {SIMPLE , CST_BRIDGE, BUILDING , TOWER} ;//−−−−−−−− dynamicsenum DYNA_TYPE {EIGEN , RESPONSE} ;enum DYNA_SOLU {MODAL, DIRECT} ;enum DYNA_LOAD {TIME_FORCE, ACCELEROGRAM} ;//−−−−−−−− s t a b i l i t yenum STAB_ANAL {SECOND, CRITICAL , POSTCRIT} ;enum STAB_STIFF {EXACT, GEOMETRIC} ;enum STAB_LOAD {FIXED , VARIABLE} ;





Program ALIN - MKE

Deo jedne od datoteka: Enums.h

//−−−−−−−−− s t r u c t u r e and f i n i t e e l ement senum STRUCTURE {TRUSS, FRAME, TWBEAM, CABLE, MIXED} ;enum ELEMENTS {TRUSS_ELE, BEAM_ELE, TWBEAM_ELE, CABLE_ELE, MIXED_ELE} ;enum PLANE_STIFF {FOUR, SIX } ;//−−−−−−−−− ma t e r i a l and c r o s s s e c t i o n senum MATERIAL {CONCRETE, STEEL , OTHER, MIXED_MAT} ;enum SECTION {FULL , THIN_WALLED, BOTH} ;enum FULL_SECTION {RECT, CIRC , T_SEC, I_SEC , GEN_SEC, MIXED_SEC} ;enum TW_SECTION {OPENED, CLOSED, CLOSED_OPENED} ;//−−−−−−−−−− cab l e−s t a y ed b r i d g eenum INIT_SHAPE {LINEAR , NONLINEAR} ;enum AFTER_ISHAPE {NO, ADD_LOAD, DYNAMIC_EIG, DYNAMIC_RESP} ;enum TYPE_CABLE {BAR, ERNST, KAROUMI, BAR_SW, ERNST_SW, KAROUMI_SW} ;





Okvir u ravni - Teorija II reda: Program ALIN

Analiza obostrano uklještenog dvospratnog okvira po Teoriji II reda





Okvir u ravni - Teorija II reda

Program ALIN: deo ulazne datoteke






Program ALIN: deo izlazne datoteke






Poređenje dobijenih rezultata





Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj

Stabilnost proste grede

Materijal: beton MB30 (E = 31.5× 107 kPa), Presek: 10/10cm(J = 8.33× 10−6m4)






Stabilnost proste grede - ulazni podaci






Deo izlazne datoteka: Ojler-1.txt






Stabilnost proste grede - kritična silaKao što se vidi, dobijen parametar opterećenja je λ = 1.911Kako je sila pritiska definisana kao P = 150 kN, to je kritičnasila Pcr jednaka

Pcr = λ× P = 1.911× 150 = 286.65 kN

Tačna vrednost Ojlerove kritične sile za prostu gredu je

Pcr,Eu =π2

`2EJ =

π2

323.15× 107 · 8.33× 10−6 = 287.748 kN

Dobijena relativna greška je

∆ =Pcr − Pcr,Eu

Pcr,Eu× 100 = −0.38%




Linijski nosači u 3DMatrica krutosti punih nosača

Sadržaj









Matrična analiza nosača u prostoru

Linijski nosači u 3D prostoruLinijski nosač je prostorni nosač:

- ukoliko se štapovi nosača nalaze u 3D prostoru- ako nosač pripada jednoj ravni, ali postoji opterećenje koje je⊥ na ravan nosača

Ako se posmatra linijski nosač u 3D prostoru razumno je da seglobalni kordinatni sistem OXY Z usvoji na standardni načinNa primer, da XY ravan bude horizontalna, a osa Zvertikalna, sa smerom na goreNa taj način smer gravitacije je jasno definisan, odn. sopstvenatežina nosača može lako da se automatski uzme u obzir






Linijski nosači u 3D prostoruProstorni nosači, slično kao i nosači u ravni, mogu da budurešetkasti i/ili puni, u zavisnosti od načina veze štapova učvorovimaKod rešetkastih 3D nosača sve veze u čvorvima su zglobne, asve spoljašnje veze i spoljašnje sile deluju samo u čvorovima(odn. zglobovima)Kod punih 3D nosača mora da postoji barem jedan čvor sakrutom vezom, a opterećenje može da deluje proizvoljno dužštapova






Linijski nosači u 3D prostoruAnaliza nosača u prostoru pretstavlja generalizacijurazmatranja nosača u ravniOsnovne relacije za štap, transformacije iz lokalnog u globalnikoordinatni sistem, način formiranja jednačina za sistemštapova, kao i unošenje graničnih uslova i rešavanje jednačinaravnoteže, formalno su isti kao i za nosače u ravniRazlika je u povećanju dimenzije prostora, a time i povećanjebroja statičko-kinematičkih veličina koje ulaze u analizu






Linijski nosači u 3D prostoru

Sa povećanjem broja nepoznatih u čvorovima štapa (konačnogelementa) povećavaju se dimenzije matrica krutosti i vektoraTime se i ukupan broj nepoznatih veličina povećava (naravno,zavisi od složenosti računskog modela)U zavisnosti od problema koji se posmatra: linearan /nelinearan, statički / dinamički, samo rešavanje sistemaalgebarskih jednačina ili problema svojstvenih vrednosti možeda bude prilično zahtevno po pitanju vremena rada procesora imemorijskih zahteva





Sadržaj









Matrična analiza punih nosača u prostoru

Matrica krutosti punih nosača u 3D

Štap nosača u prostoru (linijski element u 3D) ima dva čvorana svojim krajevima (dve čvorne tačke), označene sa ikU svakom čvoru nepoznate veličine su komponente vektorapomeranja i vektora rotacije čvoraZa prostorni nosač svaki od ovih vektora ima po 3 koordinatePrema tome, broj nepoznatih generalisanih pomeranja usvakom čvoru je 3+3=6Ukupan broj nepoznath veličina za jedan štap (gredni element)je 6+6=12






Matrica krutosti punih nosača u 3DVektori čvornih pomeranja i čvornih sila izražavaju se u odnosuna lokalni koordinatni sistem xyzLokalni koordinatni sistem xyz štapa ima početak u čvoru i, aosa x je u pravcu štapa, sa smerom i− kLokalne ose yz su u ravni poprečnog preseka i one su glavnecentralne ose inercije poprečnog presekaKomponente vektora pomeranja i rotacije u čvoru i, u odnosuna lokalni koordinatni sistem, date su sa:

ui =

uiviwi

ϕi =

ϕxiϕyiϕzi

(6)Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata





Matrica krutosti punih nosača u 3DKomponente vektora pomeranja i rotacije u čvoru k, u odnosuna lokalni koordinatni sistem, date su slično:

uk =

ukvkwk

ϕk =

ϕxkϕykϕzk

(7)Ukupan vektor generalisanih pomeranja za čvor i čine vektoripomeranja i rotacije:

qTi =

{uiϕi

}T={ui vi wi ϕxi ϕyi ϕzi

}(8)






Matrica krutosti punih nosača u 3DUkupan vektor generalisanih pomeranja za čvor k je,analogno,:

qTk =

{ukϕk

}T={uk vk wk ϕxk ϕyk ϕzk

}(9)

tako da je ukupan vektor generalisanih pomeranja za štap datsa

qT =

{qiqk

}T={ui · · · ϕzi uk · · · ϕzk

}(10)






Matrica krutosti punih nosača u 3DSlično su date i komponente vektora sila i spregova u čvoru i,u odnosu na lokalni koordinatni sistem:

Fi =

NiTyiTzi

Mi =

MxiMyiMzi

(11)odnosno u čvoru k:

Fk =

NkTykTzk

Mk =

MxkMykMzk

(12)Momenti Mxi, odn. Mxk su momenti torzije Mti, odn. Mtk






Matrica krutosti punih nosača u 3DUkupan vektor čvornih sila za čvor i čine vektori sila i spregova:

RTi =

{FiMi

}T={Ni Tyi Tzi Mxi Myi Mzi

}(13)

Slično je i za čvor k:

RTk =

{FkMk

}T={Nk Tyk Tzk Mxk Myk Mzk

}(14)






Matrica krutosti punih nosača u 3DUkupan vektor čvornih sila R za ceo štap je dat kao vektor sa12 elemenata

RT =

{RiRk

}T={Ni · · · Mzi Nk · · · Mzk

}(15)

Prema tome, gredni element u prostoru ima dve čvorne tačke i12 čvornih nepoznatih veličina





Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa

Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa u prostoru -lokalne koordinate






Matrica krutosti punih nosača u 3DKao i u slučaju grednih elemenata u ravni, veza između čvornihsila i čvornih pomeranja, odn. osnovna relacija neopterećenogštapa, data je sa

R = Kq (16)

gde je K matrica krutosti štapaMatrica krutosti štapa u prostoru je kvadratna, simetrična,singularna matrica reda 12Elementi matrice krutosti prostornog štapa mogu da se odredena isti način kao i za štap u ravni (jedino je to znatno složenijei teže)






Matrica krutosti punih nosača u 3DMeđutim, u linearnoj teoriji štapa matrica krutosti prostornogštapa može da se (relativno) lako odredi primenom principasuperpozicijeNa osnovu principa superpozicije, koji važi u linearnoj teoriji,opšti slučaj prostornog naponskog stanja štapa može da serazdvoji na:

- aksijalno naprezanje (u pravcu ose x)- savijanje u ravni xy (oko ose z)- savijanje u ravni xz (oko ose y)- torziju (oko ose x)

Za vektore čvornih sila, pomeranja i matrice krutosti koji seodnose na pojedinačna naponska stanja koriste se oznake(indeksi), redom: a, sz, sy, t





Matrična analiza linijskih nosača u prostoru

Aksijalna matrica krutosti

Veza (16) za izdvojeno aksijalno naprezanje može da se prikažekao

Ra = Ka qa (17)

Matrica krutosti za aksijalno naprezanje Ka data je sa

Ka =E F

`

[1 −1−1 1

](18)

dok su vektori čvornih sila i pomeranja dati sa

Ra =

{NiNk

}qa =

{uiuk

}(19)






Matrica krutosti za savijanje u ravni xy

U izrazu (18) za matricu krutosti Ka sa E,F i ` označeni sumodul elastičnosti materijala, površina poprečnog preseka idužina štapaVeza (16) za izdvojeno savijanje u ravni xy (oko ose z) data jesa

Rsz = Ksz qsz (20)

Matrica krutosti za savijanje u ravni xy Ksz data je sa

Ksz =E Jz`3

12 6` −12 6`6` 4`2 −6` 2`2−12 −6` 12 −6`6` 2`2 −6` 4`2






Čvorne sile i pomeranja za savijanje u ravni xyVektori čvornih sila i čvornih pomeranja za savijanje u ravni xydati su sa

Rsz =

TyiMziTykMzk

qsz =

viϕzivkϕzk

(22)U izrazu (21) E i ` su modul elastičnosti i dužina štapa, dok jeJz moment inercije oko glavne centralne ose inercije preseka y






Matrica krutosti za savijanje u ravni xz

Veza (16) za izdvojeno savijanje u ravni xz (oko ose y) data jesa

Rsy = Ksy qsy (23)

Matrica krutosti za savijanje u ravni xz Ksy data je sa

Ksy =E Jy`3

12 6` −12 6`6` 4`2 −6` 2`2−12 −6` 12 −6`6` 2`2 −6` 4`2

(24)






Čvorne sile i pomeranja za savijanje u ravni xzVektori čvornih sila i čvornih pomeranja za savijanje u ravni xzdati su sa

Rsy =

TziMyiTzkMyk

qsy =

wiϕyiwkϕyk

(25)U izrazu (24) Jy je moment inercije oko glavne centralne oseinercije preseka z






Čvorne sile i pomeranja za torziju

Posmatra se torzija štapa (slobodna, neograničena torzija)Parametri pomeranja u čvorovima štapa su uglovi rotacije okoose štapa ϕxi i ϕxkŠtap ima dva stepena slobode, po jedan u svakom čvoru (kao iaksijalno naprezanje)Generalisane sile u čvorovima su momenti torzije Mxi i Mxk





Torziono napregnut štap

Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa u prostoru zaslučaj torzije






Matrica krutosti za torziju

Za štap izložen slobodnoj torziji (Saint Venant-ova torzija)veza između momenta torzije i ugla obrtanja štapa data je sa

Mx =GJ

`ϕ (26)

gde su- G . . . modul klizanja materijala štapa- J . . . torziona konstanta poprečnog preseka štapa

Matrica krutosti pri torziji dobija se na osnovu veze (26) iznačenja koeficijenata matrice krutosti (reakcije vezaobostrano uklještenog štapa za jedinična generalisanapomeranja)






Matrica krutosti za torzijuDobija se sledeća matrica krutosti za torziju štapa:

Kt =GJ

`

[1 −1−1 1

](27)

Vektori čvornih sila i čvornih pomeranja za torziju dati su sa

Rt =

{MxiMzk

}qt =

{ϕxiϕxk

}(28)






Torziona konstanta JTorziona konstanta J zavisi od oblika poprečnog preseka štapaU tehničkoj teoriji štapa torziona konstanta se određuje uzpretpostavku o slobodnoj Saint Venant-ovoj torzijiTo znači da se zanemaruje deplanacija poprečnog presekatokom torzijeKod tankozidnih štapova takva pretpostavka ne važi






Torziona konstanta JZa štap sa kružnim poprečnim presekom, sa prečnikom d,torziona konstanta jednaka je polarmom momentu inercijepreseka:

J =π d4

32

Za štapove pravougaonog preseka, sa širinom t i sa visinom h,torziona konstanta može da se odredi prema izrazu:

J =h t3

3

[1− 0.630 t

h+ 0.052

(t

h

)5](h ≥ t) (29)






Torziona konstanta JIzraz (29) može da se piše u obliku

J =h t3

3β

gde je β koeficijent koji se izračunava za različite odnose h/t imože da se tabulišeKada je pravougaoni presek dovoljno uzan, odn. u graničnomslučaju h/t→∞, dobija se izraz za torzionu konstantu

J =1

3h t3






Matrica krutosti za torzijuMatrica krutosti štapa opterećenog na torziju po strukturi jeista kao i matrica krutosti za aksijalno naprezanjeDovoljno je da se E F u matrici Ka zameni sa GJ i dobija sematrica krutosti KtVektor ekvivalentnog opterećenja za slučaj torzije određuje seslično kao i vektor ekvivalentog opterećenja za aksijalnonaprezanjeRazlika je, naravno, u različitom značenju elemenata ovihvektora (momenti torzije i aksijalne sile na krajevima štapa)






Matrica krutosti punih nosača u 3DZa svako od nezavisnih naponskih stanja odgovarajuća matricakrutosti, odn. submatrica ukupne matrice krutosti štapa,određuje se posebno, tako da veza (16) može da se prikaže uobliku:

RaRszRsyRt

=Ka

KszKsy

Kt

qaqszqsyqt

(30)Međutim, takav redosled i grupisanje čvornih sila i pomeranjanije praktičan






Matrica krutosti punih nosača u 3DOvakav kvazidijagonalan oblik matrice krutosti štapa uprostoru je pogodan i kompaktanMeđutim, to je matrica krutosti u lokalnom sistemu, a prilikomtransformacije iz lokalnog u globalni sistem takav oblik se gubiZato se generalisane sile i generalisana pomeranja prikazuju udrugačijem redosledu: prvo za čvor i, pa zatim za čvor kTo dovodi do odgovarajuće promene položaja pojedinih vrsta ikolona u matrici krutosti datoj sa (30)





Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa

Generalisane sile ili pomeranja na krajevima štapa u prostoru -lokalne koordinate u pogodnom redosledu





Submatrice krutosti štapa u prostoru

Položaj vrsta/kolona submatrica krutosti u ukupnoj matrici krutostištapa u prostoru





Elementi matrice krutosti štapa u prostoru






Matrica krutosti za aksijalno naprezanje

Statičko značenje elemenata matrice krutosti Kaza aksijalno naprezanje






Matrica krutosti za savijanje u xy ravni

Statičko značenje elemenata matrice krutosti Kszza savijanje u ravni xy






Matrica krutosti za savijanje u xz ravni

Statičko značenje elemenata matrice krutosti Ksyza savijanje u ravni xz






Matrica krutosti za torziono naprezanje

Statičko značenje elemenata matrice krutosti Kaza torziono naprezanje






Vektori ekvivalentnog opterećenjaVektor ekvivalentnog opterećenja Q kod nosača u 3D prostorujednak je negativnim vrednostima reakcija oslonaca obostranouklještenog štapaVektor ekvivalentnog opterećenja kod nosača u 3D prostoruodređuje se, u principu, na isti način kao i kod nosača u ravni -posebno za svaki slučaj opterećenja:

- aksijalno- savijanje u xy ravni- savijanje u xz ravni- torzija

Koriste se isti izrazi kao i za nosač u ravni, uz odgovarajućemomente inercije






Vektori ekvivalentnog opterećenjaKao i kod nosača u ravni, vektor ekvivalentnog opterećenjapretstavlja vektor ekvivalentnih sila u čvorovima koje upotpunosti zamenjuju spoljašnje opterećenje duž štapaOsnovna jednačina opterećenog štapa data je, po formi, istokao i kod nosača u ravni:

R = Kq −Q (31)

Razlika u odnosu na štap u ravni je u veličini matrica i vektora:u ravni 6, u prostoru po 12 elemenataRelacija (31) je u lokalnom sistemu štapa




Lokalni i globalni sistemFormiranje jednačina u globalnom sistemu

Sadržaj










Transformacija iz lokalnog u globalni sistemKao i kod nosača u ravni, osnovne relacije o štapu izvode se ulokalnom koordinatnom sistemu xyz koji je definisan u odnosuna štap: osa x je u pravcu ose štapa, sa smerom i− k, dok suose yz glavne centralne ose poprečnog presekaU sistemu štapova koji čini posmatrani nosač u prostorupoložaj svakog štapa određen je u odnosu na globalnikoordinatni sistem XYXKoordinatni početak globalnog sistema je pogodno izabranatačka O(0, 0, 0), dok je koordinatni početak lokalnog sistemaza svaki štap definisan u kraju štapa koji je usvojen za čvor i






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemU određivanju relacija između vektora prikazanih u lokalnom iliu globalnom sistemu, posmatra se slučaj kada se koordinatnipočeci lokalnog i globalnog sistema poklapajuOrtovi osa globalnog sistema XY Z su, redom, ~I, ~J, ~KOrtovi osa lokalnog sistema xyz su, redom, označeni sa ~ı,~,~kNeka su uglovi između osa globalnog i lokalnog sistema dati saγij (i, j = 1, 2, 3)






Transformacija iz lokalnog u globalni sistem

Štap (gredni konačni element) određen je u prostoru sa svojetri tačke:

- tačka Pi . . . početak štapa i- tačka Pk . . . kraj štapa k- tačka Pm . . . bilo koja tačka u lokalnoj ravni štapa xy

Koordinate ovih tačaka date su u globalnom sistemu XY Z:

Pi(Xi, Yi, Zi) Pk(Xk, Yk, Zk) Pm(Xm, Ym, Zm)

Jedinični vektor lokalne ose x određen je sa tačkama Pi i Pk:

~ı =

−−→PiPk

PiPk= cos γ11~I + cos γ12 ~J + cos γ13 ~K





Lokalni sistem štapa u prostoru

Štap (gredni element) u prostoru

Položaj štapa u prostoru određen sa tri tačke i, j, k (odn. i, k,m)





Lokalni sistem štapa u prostoru

Štap (gredni element) u prostoru

Položaj štapa u prostoru određen sa tri tačke 1, 2, 3 (odn. i, k,m)






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemJedinični vektor ~eim u lokalnoj ravni xy određen je sa tačkamaPi i Pm:

~eim =

−−−→PiPm

PiPm

Jedinični vektor ~k lokalne ose z određen je sa vektorskimproizvodom

~k =~ı× ~eimNajzad, jedinični vektor ~ lokalne ose y određen je vektorskimproizvodom

~ = ~k ×~ı






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemPrema tome, ortovi osa lokalnog sistema štapa određeni su uodnosu na globalni koordinatni sistem sa tri navedene tačke:početak štapa, kraj štap i bilo koja (pomoćna) tačka u lokalnojglavnoj ravni štapa xyKoordinate ortova lokalnih osa date su sa kosinusima uglovakoje zaklapaju sa osama globalnog sistemaTakve relacije mogu da se prikažu u matričnom obliku

~ı~~k

= cos γ11 cos γ12 cos γ13cos γ21 cos γ22 cos γ23

cos γ31 cos γ32 cos γ33

~I~J~K







Matrica u relacijama (32) naziva se matrica rotacije λ

λ =

cos γ11 cos γ12 cos γ13cos γ21 cos γ22 cos γ23cos γ31 cos γ32 cos γ33

(33)Matrica rotacije je ortogonalna matrica:

λ−1 = λT

Položaj sistema xyz u odnosu na sistemXY Z određen je,prema tome, matricom rotacije λ







Relacije između ortova dva sistema (32) mogu da se napišu uobliku

~ı~~k

= [λ]

~I~J~K

(34)Kako je matrica rotacije ortogonalna, onda važi

~I~J~K

= [λ]T

~ı~~k

(35)







Posmatra se proizvoljan vektor ~R koji može da se izrazi ili uglobalnom sistemu ili u lokalnom sistemuU globalnom sistemu vektor ~R označava se sa gornjimindeksom ()∗

Prikazano u matričnom obliku, isti vektor može da se prikaže ujednom ili u drugom sistemu, čiji su ortovi povezanimeđusobno matricom rotacije λ

- u globalnom sistemu

R∗T = {R∗1, R∗2, R∗3}

- u lokalnom sistemu

RT = {R1, R2, R3}Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemNapisano u vektorskom obliku, isti vektor u dva prikaza R∗ iR može da se napiše

- u globalnom sistemu

R∗T = R∗1 ~I +R∗2~J +R∗3 ~K (36)

- u lokalnom sistemu

RT = R1~ı+R2 ~+R3 ~k (37)






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemImajući u vidu relacije između jediničnih vektora lokalnog iglobalnog sistema date sa (34), odn, (35), između različitihprikaza istog vektora (36) i (37) mogu da se uspostave relacije

- vektor u lokalnom sistemu prikazan preko vektora u globalnomsistemu

R = λT R∗ (38)

- vektor u globalnom sistemu prikazan preko vektora u lokalnomsistemu

R∗ = λR (39)






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemProizvoljan vektor u dva prikaza R∗ i R može da bude vektorsila F ili vektor momenata M u čvoru i ili u čvoru kTakođe, to može da bude vektor pomeranja u ili vektorrotacije ϕ u čvoru i ili kPrema tome, između ovih vektora, koji mogu da se prikažu ulokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije

- Čvorne sile (za čvor i ili k){Fi,kMi,k

}=

[λT

λT

]{F ∗i,kM∗i,k

}(40)






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemPrema tome, između ovih vektora, koji mogu da se prikažu ulokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije(nastavak)

- Čvorna pomeranja (za čvor i ili k){ui,kϕi,k

}=

[λT

λT

]{u∗i,kϕ∗i,k

}(41)

Relacije (40) i (41) mogu da se prikažu skraćeno u obliku

Ri,k = tTR∗i,k qi,k = t

Tq∗i,k (42)







U relacijama (42) uvedene su oznake

Ri,k =

{Fi,kMi,k

}qi,k =

{ui,kϕi,k

}tT =

[λT

λT

](43)

Ako se napišu relacije za oba čvora i i k, dobija se

R = T TR∗ q = T Tq∗ (44)

gde je T matrica transformacije reda 12

T =

[tt

](45)






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemAnalogno, i za vektor ekvivalentog opterećenja Q važi istatransformacija:

Q = T TQ∗ (46)

Kako je matrica rotacije ortogonalna, to je i matricatransformacije takođe ortogonalna matrica, pa važe relacije

R∗ = TR q∗ = Tq Q∗ = TQ (47)

Relacije (44) i (46) pretstavljaju transformaciju iz globalnog ulokalni sistem, dok su relacije (47) transformacija iz lokalnog uglobalni sistem






Generalisane sile (pomeranja) u lokalnom i u globalnom sistemu





Sadržaj










Osnovna jednačina opterećenog štapa

Posmatra se osnovna jednačina opterećenog štapa (31)

R = Kq −Q (48)

U jedn. (48) unosi se (44) za vektor q, pa se zatim jednačinamnoži sa leve strane sa matricom T :

TR = TKT Tq∗ − TQ

Imajući u vidu relacije (47), dobija se

R∗ = K∗q∗ −Q∗ (49)






Formiranje jednačina u globalnom sistemu

Relacija (49) je osnovna jednačina opterećenog štapa uglobalnom koordinatnom sistemuMatrica K∗ je globalna matrica krutosti štapa u prostoru, reda12

K∗ = TKT T (50)

Kao i u slučaju štapa u ravni, matrica krutosti štapa uglobalnim koordinatama je kvadratna, simetrična i singularnamatrica“Sabiranje” matrica krutosti K∗ štapova nosača u prostoru vršise, načelno, isto kao i kod nosača u ravni





Analiza nosača u prostoru

Formiranje jednačina u globalnom sistemuKao rezultat, dobija se jednačina ravnoteže sistema, uglobalnom koordinatnom sistemu

K∗q∗ = S∗ (51)

Matrica K∗ je matrica krutosti sistema štapova, vektor q∗ jevektor pomeranja čvorova nosača, dok je S∗ vektoropterećenja (vektor slobodnih članova u jednačinama)U jednačinu ravnoteže (51) unose se granični usloviredukcijom, ili, bolje, transformacijom matrice krutostiSmatra se da su već uneti granični uslovi, tako da je matricaK∗ u jedn. (51) regularna matrica




Redukcija matrice krutosti i vektora Q

Sadržaj










Oslobađanje veza na krajevima štapovaKod nosača u prostoru, ukoliko nisu u pitanju prostornerešetke, štapovi su obično kruto vezani na oba kraja (štapovi“tipa k”)Međutim, moguće je da su neke od veza na jednom kraju (iliba oba) ukinute, odn. moguće je da su jedna ili više čvornihsila jednake nuliU takom slučaju mora da se koriguje matrica krutosti ulokalnom sistemu







Posmatra je osnovna jednačina opterećenog štapa (48)

R = Kq −Q (52)

Za štap u prostoru vektori i matrica u jedn.(52) su reda n = 12Jednačina (52) može da se prikaže u skalarnom obliku:

Ri =

n∑j=1

kij qj −Qi (i = 1, 2, . . . , 12) (53)

gde su kij elementi matrice krutosti štapa K






Oslobađanje veza na krajevima štapovaNeka je element broj k vektora čvornih sila jednak nuli(ukunuta je veza broj k):

Rk =

n∑j=1

kij qj −Qk = 0

Iz ovog uslova dobija se čvorno pomeranje broj k u obliku

qk = −1

kkk

n∑j=1,j 6=k

kkj qj +1

kkkQk (54)







Relacije (53), odn. komponente čvornih sila na krajevimamogu da se napišu i u obliku

Ri =

n∑j=1,j 6=k

kij qj + kik qk −Qi (i = 1, 2, . . . , 12) (55)

Ako je čvorna sila broj k jednaka nuli, Rk = 0, u jedn. (55)unosi se čvorno pomeranje qk prema (54):

Ri =

n∑j=1,j 6=k

kij qj −kikkkk

n∑j=1,j 6=k

kkj qj −Qi +kikkkk

Qk (56)







Jednačine (56) mogu da se napišu u obliku

Ri =

n∑j=1,j 6=k

krij qj −Qri (57)

gde je (za i = 1, 2, . . . , n),

krij = kij − kikkkjkkk

(j = 1, 2, k − 1, k + 1, . . . , n) (58)

kao i

Qri = Qi −kikkkk

Qk (i = 1, 2, . . . , n) (59)






Oslobađanje veza na krajevima štapovaGornji indeks r ukazuje na redukovane elemente matricekrutosti i vektora ekvivalentnih silaU izrazu za redukovan element matrice krutosti (58) dobija seza j = k:

krik = kik − kikkkkkkk

= 0 (i = 1, 2, . . . , n) (60)

Prema tome, u jednačine (57) može da se uključi i član saindeksom j = k, tako da se dobija

Ri =n∑

j=1

krij qj −Qri (61)







U jednačini (61) redukovani elementi matrice krutosti dati susa

krij = kij − kikkkjkkk

(i, j = 1, 2, . . . , n) (62)

Kao što se vidi, red lokalne matrice krutosti ostaje n = 12, pričemu su elementi u redu i koloni matrice krutosti kojiodgovaraju broju k ukinute čvorne sile, Rk = 0, jednaki nuliRedukovan vektor ekvivalentnih čvornih sila dat je sa (59)






Oslobađanje veza na krajevima štapovaZa svako oslobađanje veza na krajevima vrši se redukcijakoeficijenata matrice krutosti štapa u lokalnom sistemu, prema(62), kao i redukcija elemenata vektora ekvivalentnogopterećenja prema (59)Za štap u prostoru kod koga je izvršeno oslobađanje nekih vezana krajevima, osnovna jednačina opterećenog štapa data je sa

R = Krq −Qr (63)


Rešavanje jednacina ravnoteže u MKERešavanje sistema jednacinaPrimeri ulaza i izlaza

Matricna analiza linijskih nosaca u prostoruLinijski nosaci u 3DMatrica krutosti punih nosaca

Transformacija iz lokalnog u globalni sistemLokalni i globalni sistemFormiranje jednacina u globalnom sistemu

Oslobaanje veza na krajevima štapovaRedukcija matrice krutosti i vektora Q

Documents

METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne akademske ...METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko Brčić email: [email protected] Departman za Tehničke