Metodo de Transporte

Método de Transporte

Descripción del problema de transporte1.Un conjunto de m puntos de suministro a partir

de los cuales se envia un bien. El punto de suministro abastece a lo mas Si unidades.

2.Un conjunto de n puntos de demanda a los que se envía el bien. El punto de demanda j debe recibir a lo menos dj unidades del bien.

3.Cada unidad producida en el punto de suministro i y enviada al punto de demanda j incurre en un costo Cij


Modelo Determinación de un plan de costo mínimo para

transportar mercancías desde varia fuentes (ej. Fabrica, CD) a varios destinos (ej. Almacenes, Bodegas)

Objetivo del Modelo Determinar la cantidad (Xij) que se enviará de

cada fuente de suministro (i) a punto de demanda (j), tal que minimice el costo total

Método de Transporte Supuesto

El costo de transportar en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas

Datos del Modelo Nivel de oferta (recurso) en cada fuente u origen

(Si) Cantidad de demanda en cada destino (dj) Costo de transporte unitario (Cij) del bien entre

cada fuente de suministro (i) y cada destino (j)

arco

Método de Transporte Representación del Modelo

Fuentes de Suministro Destinos

c11, X11

cmn, Xmn

Red de m fuentes y n destinos

Ruta por la cual se transporta el mercadería

1

2

m

.

.

.

S1

S2

Sm

Unidades de oferta

1

2

n

.

.

.

d1

d2

dn

Unidades de

demanda

nodo

Método de Transporte Función Objetivo

Minimizar Z = Σ Σ cijxij

Restricciones La suma de los envíos desde una fuente no puede ser

mayor que su oferta Σ xij ≤ Si i = 1,2,…., m

La suma de los envíos a un destino debe satisfacer la demanda Σ xij ≥ di j = 1,2,…., n

No - Negatividad xij ≥ 0 para todas las i y j

m n

i=1 j=1


El modelo descrito implica que la oferta total (ΣSi) debe ser cuando menos igual a la demanda total(Σdj)

Cuando la oferta total es igual a la demanda total (ΣSi = Σdj) , la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado

Análisis de Caso MG Auto Co. MG Auto Co. tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y

Nueva Orleans. Sus centros de distribución principales están

ubicados en Denver y Miami. Las capacidades de las tres plantas durante el

trimestre próximo son de 1000, 1500 y 1200 automóviles.

Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2300 y 1400 vehículos.

El costo de transporte de un automóvil por tren es aproximadamente de 8 centavos por milla.

Análisis de Caso MG Auto Co. El diagrama de la

distancia recorrida (millas) entre las plantas y centros de distribución es el siguiente:

Denver Miami

Los Ángeles 1000 2690

Detroit 1250 1350

Nueva Orleans

1275 850

El costo por automóvil calculado a partir del costo por milla recorrido (redondeados a números enteros) son los siguientes

Denver Miami

Los Ángeles 80 215

Detroit 100 108

Nueva Orleans

102 68

Análisis de Caso MG Auto Co. Variables de Decisión

xij = Nº de automóviles transportados de la planta i (fuente) al centro de distribución j (destino)

Función Objetivo Minimizar Z = 80x11 + 215x12 + 100X21 + 108x22 +

102x31 + 68x32 Sujeto a

Restricciones de Capacidad en Plantax11 + x12 ≤ 1000

x21 + x22 ≤ 1500 x31 + x 32 ≤ 1200

Restricciones de Demandax11 + x21 + x31 ≥ 2300

x12 + x22 + x32 ≥ 1400 Restricciones de No – Negatividad

xij ≥ 0 para todas las i y j

Análisis de Caso MG Auto Co. Uso de Tabla de Transporte

Tabla en forma de matriz donde sus filas representan las fuentes y sus columnas representan los destinos. Los elementos de costo cij se resumen en la esquina superior derecha de la celda en la matriz (i,j)

FuentesDestinos

OfertaDenver Miami

Los Ángelesc11 c12

1000x11 x12

Detroitc21 c22

1500x21 x22

Nueva Orleansc31 c32

1200x31 X32

Demanda 2300 1400

Análisis de Caso MG Auto Co. Uso de Tabla de Transporte

Los elementos de costo cij se resumen en la esquina superior derecha de la celda en la matriz (i,j)

FuentesDestinos

OfertaDenver Miami

Los Ángeles80 215

1000x11 x12

Detroit100 108

1500x21 x22

Nueva Orleans102 68

1200x31 X32

Demanda 2300 1400

Análisis de Caso MG Auto Co. Suponga que en el caso MG Auto Co. No se

desea enviar vehículos desde la planta de Detroit al centro de Distribución de Denver.

¿Cómo se puede incorporar esta condición en el modelo de MG Auto Co.?

Modelo de Transporte en Desequilibrio Cuando la oferta total (ΣSi) es menor que la demanda

total (Σdj)

Suponga que en el caso MG Auto Co. la capacidad de la planta en Detroit baja de 1500 a 1300 La oferta total (ΣSi = 1000+1300+1200 = 3500) <

que la demanda total (Σdj = 2300 + 1400 = 3700) No será posible cubrir la Dda. en los centros de

distribución

Modelo de Transporte en Desequilibrio Reformulación del problema de transporte de

manera que distribuya la cantidad faltante = 3700 – 3500 = 200 Agregar una Fuente (planta) Ficticia con capacidad

igual a la capacidad que falta ( 200 automóviles) Se permite que la planta ficticia, en condiciones

normales, envíe su producción a todos los centros de distribución

Como la planta no existe y no habrá ningún envío físico, el costo de transporte unitario corresponde al costo de escasez, en caso de no existir se asigna costo cero.

Modelo de Transporte en Desequilibrio

FuentesDestinos

OfertaDenver Miami

Los Ángeles80 215

1000x11 x12

Detroit100 108

1300x21 x22

Nueva Orleans102 68

1200x31 X32

Planta Ficticia0 0

200x41 X42

Demanda 2300 1400

Modelo de Transporte en Desequilibrio Cuando la oferta total (ΣSi) es mayor que la demanda

total (Σdj)

Suponga que en el caso MG Auto Co. la demanda en el centro de distribución de Denver disminuye a 1900 La oferta total (ΣSi = 1000+1500+1200 = 3700) > la

demanda total (Σdj = 1900+ 1400 = 3300)

Modelo de Transporte en Desequilibrio Reformulación del problema de transporte de manera

que distribuya la sobrante = 3700 – 3300 = 400 Agregar un Destino (centro de distribución) Ficticio

con demanda igual al excedente de producción (400 automóviles)

Se permite que el destino ficticio, en condiciones normales, recibe automóviles desde todos los centros de distribución

Como el centro de distribución no existe y no habrá ningún envío físico, el costo de transporte unitario correspondiente es cero

FuenteDestino

OfertaDenver Miami Centro Ficticio

Los Ángeles

80 215 01000x11 x12 x13

Detroit100 108 0

1500x21 x22 x23

Nueva Orleans

102 68 01200

x31 X32 X33

Demanda 1900 1400 400

Modelo de Transporte en Desequilibrio

Modelo de Transporte en LindoMODEL

SETS:

PLANTAS/P1,P2,P3,…./:CAP;

DEMANDAS/D1,D2,…./:DEM;

ARCOS(PLANTAS,DEMANDAS):COSTOS,EMBARQUE;

ENDSETS

MIN=@SUM(ARCOS:COSTOS*EMBARQUES)

@FOR(DEMANDAS(J):

@SUM(PLANTAS(I):EMBARQUE(I,J))≥DEM(J));

@FOR(PLANTAS(I):

@SUM(DEMANDAS(J):EMBARQUE(I,J))≤CAP(I));

DATA:

CAP=1000,1300,1200;

DEM=2300,1200;

COSTOS=80,215,

100, 108

102, 68;

ENDDATA

END

Solución del Método Simplex de Transporte Formato de la tabla de transporte

m orígenes n destinos Si recursos en el origen i Demanda di en el destino j Costo Cij por unidad distribuida desde el

origen i al destino j

Formato tabla de coeficientes de restricciones

Fuentes (origen)

Costo por Unidad Distribuida

RecursosDestinos

1 2 …… n

1

2.

m

C11

C21

.

Cm1

C12

C22

.

Cm2

C1n

C2n

.

Cmn

S1

S2

.

SmDemanda d1 d2 ……. dn

X11 X12 … X1n X21 X22 … X2n … Xm1 Xm2 … Xmn

1 S1

S2

…

Sm

Restricciones de

Origen

2

…. . .

m

1 d1

d2

…

dn

Restricciones de

Demanda

2 ……

…

n

Solución del Método Simplex de Transporte Método Simplex Simplificado o Simplex de Transporte

1. El método simplex de transporte no utiliza variables artificiales

2. La fila (0) actual se puede obtener sin usar ninguna otra fila, con solo calcular los valores de ui y vj.

Como cada variable básica debe tener coeficiente cero en la fila (0), estos valores se pueden obtener resolviendo el sistema de ecuaciones: cij - ui - vj = 0 para cada i y j tal que Xij es variable básica

Lo cual se puede hacer de manera directa de la tabla de costos

Reglón cero de tabla simplex después de cualquier iteración

ui = múltiplo del reglón i original que se resto (de manera directa o indirecta) del reglón 0 original en todas las iteraciones del método simplex que condujeron al tableau actual

vj = múltiplo del reglón m+j original que se resto (de manera directa o indirecta) del reglón 0 original en todas las iteraciones del método simplex que condujeron al tableau actual

VB EC Z Xij Xj Xm+jLADO

DERECHO

Z 0 -1 Cij - ui - vj M-ui M-vj

Reglón cero de tabla simplex después de cualquier iteración Si Xij es una variable no básica Cij - ui - vj se interpreta

como la tasa a la que cambiaria Z si se aumenta el valor de Xij

El reglón 0 puede obtenerse sin utilizar ningún otro reglón, tan solo con calcular los valores de ui y vj de manera directa.

Como cada variable básica debe un coeficiente igual a cero en el reglón 0, estos valores se pueden obtener de u i y vj si de resuelve el sistema de ecuaciones C ij – ui – vj = 0 para toda i,j tal que Xij es VB

Solución del Método Simplex de Transporte Método Simplex Simplificado o Simplex de Transporte

3. La variable básica que sale se puede identificar de manera sencilla, ya que el modelo permite ver cómo debe cambiar la solución cuando crece el valor de la variable entrante.

Como resultado, la nueva solución básica se puede identificar sin cálculos posteriores en la tabla simplex

Solución del Método Simplex de Transporte Para el desarrollo del modelo de transporte a mano es conveniente registrar

esta información en la tabla simplex de transporte

Información adicional que se agrega en cada celda:

DestinosRecursos ui

1 2 …… n

Fuentes

1c11 c12 ……

C1n S1

2c21 C21 ……

c2n S2

…… …

3mcm1 cm1 ……

cmn Sm

Demanda d1 d2 ….. dnZ =

vj

Si Xij es una variable básica

cij

(Xij)

Si Xij es una variable no básica

cij

cij – ui - vj

Solución del Modelo de Transporte Etapa : Determinar una solución

factible inicial Regla de la Esquina Noroeste Método de Costo Mínimo Método de Aproximación de Vogel

Etapa : Determinar la variable que entra, que se elige entre las variables no-básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad (método Simplex), detenerse; de lo contrario continuar con el paso 3

Etapa : Determinar la variable que sale (condición de factibilidad) de entre las variables de la solución inicial básica actual y obtener una nueva solución básica. Regresar al paso 2

DestinosRecursos

1 2 3 4

Origen

1

10 0 20 11

15x11 x12 x13 x14

2

12 7 9 20

25x21 x22 x23 x24

3

0 14 16 18

5x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10 45

Solución Básica:Regla de la Esquina Noroeste Determinación de la Solución Inicial

Se requiere que ΣSi = Σdj

Este requisito da origen a m + n – 1 ecuaciones independientes

Por lo tanto, una solución factible debe incluir m + n – 1 variables básicas.

Solución Básica:Regla de la Esquina Noroeste Asignar la máxima cantidad posible a la variable X11 de manera que

se satisfaga totalmente la demanda (columna) o bien, se agote el recurso (fila).

Se tacha la columna ( o fila) haciendo que las variables sean iguales a cero.

Cuando simultáneamente se satisfacen una columna o fila, solo se tacha una de ellas.

Esta condición garantiza la ubicación automática de las variables NO-básicas cero, si las hay.

Ajustar la cantidad de recursos y demanda de todas las filas y columnas no tachados.

La cantidad factible máxima se asigna al primer elemento de la nueva columna (fila).

El proceso se termina cuando se deja de tachar exactamente una fila o una columna.

Solución Básica:Regla de la Esquina Noroeste X11 = 5

Como se satisface la demanda , se tacha la columna 1

Los recursos en la fila 1 se reducen a 10

Destinos

Recursos

1 2 3 4

Origen

1

10 0 20 11

15x11 x12 x13 x14

2

12 7 9 20

25x21 x22 x23 x24

3

0 14 16 18

5x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10 45

/ 10X11 = 5

N

O




X12 = 10 Como se agota el recurso se

tacha la fila Falta satisfacer una demanda

de 5 unidades en la columna 2

Destinos

Recursos

1 2 3 4

Origen

1

10 0 20 11

15X11 =5 x12 x13 x14

2

12 7 9 20

25x21 x22 x23 x24

3

0 14 16 18

5x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10 45

/ 10

/5

N

O

X12=10





tacha la fila 1 Falta satisfacer una demanda

de 5 unidades en la columna 2 X22 = 5

Como se satisface la demanda, se tacha la columna 2

Los recursos en la fila 2 se reducen a 20 unidades

Destinos

Recursos

1 2 3 4

Origen

1

10 0 20 11

15X11 = 5 X12 = 10x13 x14

2

12 7 9 20

25x21 x22 x23 x24

3

0 14 16 18

5x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10 45

/ 10

/5

/ 20

N

O

X22 = 5



Los recursos en la fila 2 se

reducen a 5

Destinos

Recursos

1 2 3 4

Origen

1

10 0 20 11

15X11 = 5 X12 = 10x13 x14

2

12 7 9 20

25x21 X22 = 5 x23 x24

3

0 14 16 18

5x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10 45

/ 10

/5

/ 20/ --- 5

N

O

X23=15



Los recursos en la fila 2 se

reducen a 5 X24 = 5

Como se agota el recurso se tacha la fila 2

Falta satisfacer una demanda de 5 unidades en la columna 4

Destinos

Recursos

1 2 3 4

Origen

1

10 0 20 11

15X11 = 5 X12 = 10x13 x14

2

12 7 9 20

25x21 X22 = 5 X23 = 15x24

3

0 14 16 18

5x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10 45

/ 10

/5

/ 20/ --- 5

/5

N

O

X24 = 5





tacha la fila 2 Falta satisfacer una demanda

de 5 unidades en la columna 4 X34 = 5

Como se satisface simultánea-mente la demanda y se agota la oferta, solo se tacha la fila 3 o la columna 4.

El proceso termina

Destinos

Recursos

1 2 3 4

Origen

1

10 0 20 11

15X11 = 5 X12 = 10x13 x14

2

12 7 9 20

25x21 X22 = 5 X23 = 15X24 = 5

3

0 14 16 18

5x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10 45

/ 10

/5

/ 20/ --- 5

/5

N

O

X34 = 5

Solución Básica:Regla de la Esquina Noroeste Solución Básica Inicial

Las variables básicas son: X11=5, X12=10,

X22=5, X23=15,

X24=5 y X34=5

Las variables restantes son No- básicas e iguales a cero

El costo de transporte asociado es:

Z = 5*10 + 10*0+ 5*7 + 15*9 +

5*20 + 5*18 = $ 410

Destinos

Recursos

1 2 3 4

Origen

1

10 0 20 11

15X11 = 5 X12 = 10 x13 x14

2

12 7 9 20

25x21 X22 = 5 X23 = 15 X24 = 5

3

0 14 16 18

5x31 x32 x33 X34 = 5

Demanda 5 15 15 10 45

N

O

Solución Básica:Método del costo Mínimo

Asignar el valor más grande posible a la variable con el menor costo unitario en toda la tabla Los empates se rompen en forma

arbitraria Ajustar los recursos (fila) y demanda

(columna) Tachar la fila o columna satisfecha

Si una fila o columna se satisfacen simultáneamente solo una puede tacharse

Repetir el proceso asignando el mayor valor posible a la variable con menor costo unitario, hasta que quede una columna o fila sin tachar

Determinar el resto de las variables sin asignación

DestinosRecurso

s1 2 3 4

Origen

1

10 0 20 11

15x11 x12 x13 x14

2

12 7 9 20

25x21 x22 x23 x24

3

0 14 16 18

5x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10 45

Solución Básica:Método del costo Mínimo X12 y X31 tienen costos c12 = 0 y

c31 = 0, se elige X12

X12 = 15 Se satisface la demanda y la

oferta. La nueva demanda es cero y la nueva oferta es cero

Se tacha la columna 2

Se elige X31

X31 = 5 Se satisface la demanda y la

oferta. La nueva demanda es cero y la nueva oferta es cero

Se tacha la fila 3

Destinos

Recursos

1 2 3 4

Origen

1

10 0 20 11

15x11 x12 x13 x14

2

12 7 9 20

25x21 x22 x23 x24

3

0 14 16 18

5x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10 45

X12 =15--- 0

--- 0

X31=5--- 0

--- 0

Solución Básica:Método del costo Mínimo Se elige X23, c23 = 9

X23 = 15 Se satisface la demanda.

La nueva demanda es cero y la nueva oferta es 25 -15 = 10

Se tacha la columna 3

Se elige X11, c11 = 10 Como la demanda y oferta

restantes son cero X11 = 0 Se tacha la columna 1

Destinos

Recursos

1 2 3 4

Origen

1

10 0 20 11

15x11 x12 x13 x14

2

12 7 9 20

25x21 x22 x23 x24

3

0 14 16 18

5x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10 45

X12 =15--- 0

--- 0

X31 =5--- 0

--- 0

X23 =15

--- 0

--- 10

X11 = 0

Solución Básica:Método del costo Mínimo Como solo queda una

columna sin tachar se determinan las variables básicas remanentes: X14 = 0 X24 = 10

Costo = 0*10 + 15*0 + 0*11 + 15*9 + 10*20 + 5*0 = $ 335

Este costo es menor que el obtenido por la regla de la Esquina Noroeste

Destinos

Recursos

1 2 3 4

Origen

1

10 0 20 11

15x11 x12 x13 x14

2

12 7 9 20

25x21 x22 x23 x24

3

0 14 16 18

5x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10 45

X12 =15--- 0

--- 0

X31 =5--- 0

--- 0

X23 =15

--- 0

--- 10

X11 = 0 X14 = 0

X24 =10

Solución Básica:Método de Aproximación de Vogel (VAM) Método heurístico que suele producir una mejor

solución inicial que los dos métodos anteriores.

VAM suele producir una solución inicial óptima, o próxima al óptimo

Costa de tres pasos

Solución Básica:Método de Aproximación de Vogel (VAM) PASO 1: Evaluar una penalización para

cada fila (columna) restando el menor elemento de costo de la fila (columna) del elemento de costo menor siguiente en la misma fila (columna)

Filas

F1: 10 – 0 = 10;Penalización = 10 F2: 9 – 7 = 2; Penalización = 2 F3: 14 – 0 = 14; Penalización = 14

DestinosRecursos Penalización

1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15 10x11 x12 x13 x14

212 7 9 20

25 2x21 x22 x23 x24

30 14 16 18

5 14x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10

DestinosRecursos

1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15 x11 x12 x13 x14

212 7 9 20

25x21 x22 x23 x24

30 14 16 18

5x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10

Solución Básica:Método de Aproximación de Vogel (VAM)

PASO 1

Columnas

C1: 10 – 0 = 10; Penalización = 10

C2: 7 – 0 = 7; Penalización = 7 C3: 16 – 0 = 16; Penalización =

16 C4: 18 – 11 = 7; Penalización = 7


1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15 10x11 x12 x13 x14

212 7 9 20

25 2x21 x22 x23 x24

30 14 16 18

5 14x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10


1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15 10x11 x12 x13 x14

212 7 9 20

25 2x21 x22 x23 x24

30 14 16 18

5 14x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10

Penalización 10 7 7 7

Solución Básica:Método de Aproximación de Vogel (VAM) PASO 2: Identifique la fila o columna con la

mayor penalización, rompiendo empates en forma arbitraria. Fila 3

Asigne el mayor valor posible a la variable con el costo más bajo de la fila o columna seleccionada.

Ajústese la oferta y la demanda y táchese la fila o columna satisfecha. Si una fila o columna se satisfacen al mismo tiempo, sólo una de ellas debe tacharse, y a la fila (columna) restante se le asigna una oferta (demanda) cero.

Cualquier fila o columna con oferta o demanda cero no debe utilizarse para calcular penalizaciones futuras (en el paso 3)


1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15 10x11 x12 x13 x14

212 7 9 20

25 2x21 x22 x23 x24

30 14 16 18

5 14x31 x32 x33 x34

Demanda 5 15 15 10Penalización 10 7 7 7


1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15 x12 x13 x14

212 7 9 20

25x22 x23 x24

30

0X31=5

Demanda 0 15 15 10

Penalización

140

X31 = 5

0

0

Solución Básica:Método de Aproximación de Vogel (VAM) PASO 3: a) si solo hay una filo o columna sin tachar

deténgaseb) Si solo hay una fila (columna) con oferta

(demanda) positiva sin tachar, determínese las variables básicas de la fila (columna) a través del método de costo mínimo

c) Si todas las filas y columnas sin tachar tienen oferta y demanda cero (asignadas), determínese las variables básicas cero a través del método de costo mínimo. Deténgase

d) De lo contrario, calcúlense las penalizaciones de las filas y columnas no tachadas y después diríjase al paso 2. (Las filas y columnas con oferta y demanda cero asignadas no deben utilizarse para determinar penalizaciones.

Nuevo conjunto de penalizaciones ( la fila 3 con oferta cero no se

utiliza)


1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15 11x12 x13 x14

212 7 9 20

25 2x22 x23 x24

30

0 ---X31=5

Demanda 0 15 15 10

Penalización - 7 11 9


1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15 x12 x13 x14

212 7 9 20

25x22 x23 x24

30

0X31=5

Demanda 0 15 15 10

Penalización

Solución Básica:Método de Aproximación de Vogel (VAM) Nuevo conjunto de penalizaciones

La fila 1 y columna 3 empatan con penalización = 11.

Se elige la columna 3 en forma arbitraria

Se asigna X23 = 15 Se ajusta la demanda a cero y la

oferta a 25-15 = 10 Se elimina la columna 3


1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15 11x12 x13 x14

212 7 9 20

25 2x22 x23 x24

30

0 ---X31=5

Demanda 0 15 15 10

Penalización - 7 11 9


1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15 x12 x13 x14

212 7 9 20

10X22 X23 =15 x24

30

0X31=5

Demanda 0 15 0 10

Penalización

Solución Básica:Método de Aproximación de Vogel (VAM) Nuevo conjunto de penalizaciones

Se elige la fila 2 Se asigna X22 = 10 Se ajusta la oferta a cero y la

demanda a 15-10 = 5 Se tacha la fila 2


1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15 11x12 x14

212 7 9 20

10 13X22 X23 =15 x24

30

0 -X31=5

Demanda 0 15 0 10

Penalización - 7 - 9

DestinosRecursos

Penalización1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15 x12 x14

212 7 9 20

0X22 = 10 X23 =15 x24

30

0X31=5Demanda 0 5 0 10

Penalización

Solución Básica:Método de Aproximación de Vogel (VAM) Siguientes Aplicaciones: X12 = 5; se tacha la columna 2

X14 = 10; se tacha la fila 1 y

X24 = 0

Costo = 5*0 + 10*11 + 10*7 + 15*9 + 0*20 + 5*0 = $ 335

DestinosRecursos


Origen

110 0 20 11

15 x12 x14

212 7 9 20

0X22 = 10 X23 =15 x24

30

0X31=5Demanda 0 5 0 10

Penalización

DestinosRecursos


Origen

110 0 20 11

15 X12 = 5 X14 = 10

212 7 9 20

0X22 = 10 X23 =15 X24 = 0

30

0X31=5Demanda 0 5 0 10

Penalización

Una compañía tiene tres plantas que fabrican cierto producto que debe mandarse a cuatro centros de distribución. Las plantas 1,2 y 3 producen 12, 17 y 11 cargas mensuales, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir 10 cargas al mes. La distancia en millas desde cada planta a los respectivos centros de distribución es la siguiente.

El costo del flete por cada embarque es de $100 mas $0,50/milla

Se desea determinar cuántas cargas deben mandarse desde cada planta a cada uno de los centros de distribución para minimizar el costo total del transporte

Formule el problema como un problema de transporte construyendo la tabla de costos y requerimientos apropiada

Obtenga la solución inicial por el método del costo mínimo y posteriormente utilice esta solución inicial. para resolver el problema.

PlantasCentros de Distribución

1 2 3 4

1 800 1300 400 700

2 1100 1400 600 1000

3 600 1200 800 900

Esquina Noroeste

Plantas Centros de Distribución

Recursos1 2 3 4

1 500 750 300 450

1210 2

2 650 800 400 600

17 8 9

3 400 700 500 550

11 1 10

Demada 10 10 10 10 $ 22.500

Modelo de Transporte


Recursos1 2 3 4

1 500 750 300 450

12X11 X12 X13 X14

2 650 800 400 600

17X21 X22 X23 X24

3 400 700 500 550

11X31 X32 X33 X34 Demada 10 10 10 10 Z = ?

Costo Minimo


Recursos1 2 3 4

1 500 750 300 450

12 10 2

2 650 800 400 600

17 10 7

3 400 700 500 550

1110 1

Demada 10 10 10 10 $ 20.650

Vogel


Recursos1 2 3 4

1 500 750 300 450

12 2 10

2 650 800 400 600

17 7 10

3 400 700 500 550

1110 1

Demada 10 10 10 10 $ 20.300

Tres plantas generadoras de energía eléctrica, con capacidades de 25, 40 y 30 millones de kilowatts-hora (kWh), suministran electricidad a tres ciudades cuyas demandas máximas son de 30, 35 y 25 millones de kWh. El costo en unidades monetarias (u.m.) de la venta de corriente eléctrica a las diferentes ciudades, por millón de kWh es la siguiente:

Durante el mes de agosto se incrementa un 20% de la demanda en cada una de las tres ciudades. Para satisfacer el exceso de demanda, la compañía eléctrica debe comprar electricidad adicional de otra red a un precio de 1000 u.m. por millón de kWh. Sin embargo, esta red no está conectada a la ciudad 3.

Formule el problema como uno de transporte con el fin de establecer el plan de distribución más económico desde el punto de vista de la compañía eléctrica.

Obtenga una solución inicial básica mediante los métodos de esquina noroeste, costo mínimo y Vogel.

PlantaCiudad

1 2 3123

600320500

700300480

400350450

PlantaCiudad

Recursos1 2 3

1 600 700 400

25

2 320 300 350

40

3 500 480 450

30

Dda. 30 35 25

Modelo de Transporte

PlantaCiudad

Recursos1 2 3

1 600 700 400

25

2 320 300 350

40

3 500 480 450

30

4 1000 1000 M

13

Dda. 36 42 30 Z = ?

Costo Minimo

PlantaCiudad

Recursos1 2 3

1 600 700 400

25 25

2 320 300 350

40 40

3 500 480 450

3023 2 5

4 1000 1000 M

1313

Dda. 36 42 30 $ 49.710

Esquina Noroeste

PlantaCiudad

Recursos1 2 3

1 600 700 400

2525

2 320 300 350

4011 29

3 500 480 450

30 13 17

4 1000 1000 M

13 13

Dda. 36 42 30 $ 41.110

Vogel

PlantaCiudad

Recursos1 2 3

1 600 700 400

25 25

2 320 300 350

40 40

3 500 480 450

3023 2 5

4 1000 1000 M

1313

Dda. 36 42 30 $ 49.710

Determinación de la Variable de Entrada Prueba de Optimidad por Método de Multiplicadores

La variable que entra será la variable no básica de la solución inicial, con la variable C*pq más positiva

Cálculo de C*pq Se asocian los multiplicadores ui y vj con la fila i y la columna j de la tabla de

transporte Para cada variable básica Xij de la solución actual, los multiplicadores ui y

vj deben satisfacer la ecuación dada por:

ui + vj = Cij para cada variable Xij

Se producen m + n – 1 ecuaciones con m+n incógnitas Los valores de los multiplicadores se obtienen suponiendo un valor arbitrario

para cualquiera de los multiplicadores (en general ui se hace igual a cero) y se resuelven las m + n – 1 ecuaciones de los m + n – 1 multiplicadores desconocidos restantes

La evaluación de cada variable no básica Xpq esta dada por:

C*pq = up + vq – Cpq

Determinación de la Variable de Entrada Solución Inicial Regla de Esquina Noroeste:

Variables Básicas: X11 = 5, X12= 10,

X22 = 5, X23= 15,

X24 = 5, X34= 5

Con Costos c11 = 10 c12 = 0

c22 = 7 c23 = 9

c24 = 20 c25 = 18

Recurso

10 0 20 1115

5 1012 7 9 20

255 15 5

0 14 16 185

5Demanda 5 15 15 10

Determinación de la Variable de Entrada Ecuaciones asociadas a la Solución Básica

Multiplicadores asociados a las Variable Básica

Xjj : ui + vj = cij

Dado u1

X11: u1 + v1 = c11 v1 = X12: u1 + v2 = c12 v2 = X22: u2 + v2 = c22 u2 = X23: u2 + v3 = c23 v3 = X24: u2 + v4 = c24 v4 = X34: u3 + v4 = c34 u3 =

Recurso

10 0 20 1115

5 1012 7 9 20

255 15 5

0 14 16 185

5Demanda 5 15 15 10

u1 =

v1 = v2 =

u2 =

u3 =

v3 = v4 =

Determinación de la Variable de Entrada Ecuaciones asociadas a la Solución Básica


Xjj : ui + vj = cij

Sea u1= 0 X11: u1 + v1 = 10 v1 = 10 X12: u1 + v2 = 0 v2 = 0 X22: u2 + v2 = 7 u2 = 7 X23: u2 + v3 = 9 v3 = 2 X24: u2 + v4 = 20 v4 = 13 X34: u3 + v4 = 18 u3 = 5

Recurso

10 0 20 1115

5 1012 7 9 20

255 15 5

0 14 16 185

5Demanda 5 15 15 10

u1 = 0

v1 = 10v2 = 0

u2 = 7

u3 = 5

v3 = 2 v4 = 13

Determinación de la Variable de Entrada Cálculo de multiplicadores de variables básicas usando la tabla de

costos

Multiplicadores asociados a las Variable BásicaXjj : ui + vj = cij

Sea u1= 0 X11: u1 + v1 = 10 v1 = 10 X12: u1 + v2 = 0 v2 = 0 X22: u2 + v2 = 7 u2 = 7 X23: u2 + v3 = 9 v3 = 2 X24: u2 + v4 = 20 v4 = 13 X34: u3 + v4 = 18 u3 = 5

Recurso

10 0 20 1115

5 1012 7 9 20

255 15 5

0 14 16 185

5Demanda 5 15 15 10

u1 = 0

v1 = v2 =

u2 =

u3 =

v3 = v4 =

Determinación de la Variable de Entrada


Soluciones de Variables No Básicas, Xpq

Cpq* = up + vq – Cpq Recurso

10 0 20 1115

5 1012 7 9 20

255 15 5

0 14 16 185

5Demanda 5 15 15 10

u1 = 0

v1 = 10 v2 = 0

u2 = 7

u3 = 5

v3 = 2 v4 = 13 Recurso

10 0 20 1115

5 10 C13* C14*

12 7 9 2025C21* 5 15 5

0 14 16 185C31* C32* C33* 5

Demanda 5 15 15 10

u1 = 0

v1 = 10 v2 = 0

u2 = 7

u3 = 5

v3 = 2 v4 = 13



Soluciones de Variables No Básicas, Xpq

Cpq* = up + vq – Cpq

X13 C13* = u1 + v3 – C13

X14 C14* = u1 + v4 – C14

X21 C21* = u2 + v1 – C21

X31 C31* = u3 + v1 – C31

X32 C32* = u3 + v2 – C32

X33 C33* = u3 + v3 – C33

Recurso

10 0 20 1115

5 1012 7 9 20

255 15 5

0 14 16 185

5Demanda 5 15 15 10

u1 = 0

v1 = 10 v2 = 0

u2 = 7

u3 = 5

v3 = 2 v4 = 13



Soluciones de Variables No Básicas, Xpq :

C* = up + vq – Cpq X13: C*13 = u1 + v3 – C13 = 0 + 2 – 20 = -18

X14: C*14 = u1 + v4 – C14 = 0 + 13 – 11 = 2

X21: C*21 = u2 + v1 – C21 = 7 + 10 – 12 = 5

X31: C*31 = u3 + v1 – C31 = 5 + 10 – 0 = 15

X32: C*32 = u3 + v2 – C32 = 5 + 0 – 14 = - 9

X33: C*33 = u3 + v3 – C33 = 5 + 2 – 16 = - 9

Recurso

10 0 20 1115

5 1012 7 9 20

255 15 5

0 14 16 185

5Demanda 5 15 15 10

u1 = 0

v1 = 10 v2 = 0

u2 = 7

u3 = 5

v3 = 2 v4 = 13

Uso de la tabla de costos para determinar C*pq asociada a las variables no

básicas, Xpq : C*pq = up + vq – Cpq

Recurso

10 0 20 1115

5 1012 7 9 20

255 15 5

0 14 16 185

5Demanda 5 15 15 10


u1 = 0

v1 = 10 v2 = 0

u2 = 7

u3 = 5

v3 = 2 v4 = 13 Recurso

10 0 20 1115

5 10 C*13= C*13=

12 7 9 2025C*23= 5 15 5

0 14 16 185C*31= C*32= C*33= 5

Demanda 5 15 15 10

u1 = 0

v1 = 10 v2 = 0

u2 = 7

u3 = 5

v3 = 2 v4 = 13

Determinación de la Variable de Entrada La solución no es óptima

La variable que entra será la variable no básica de la solución inicial, con la variable C*pq

más positiva

La variable entrante es X31

Determinación de la Variable que SalePrueba de Factibilidad: Construcción de un ciclo para

la variable que entra Formar un ciclo cerrado con las variables básicas de la

solución básica inicial y la variable entrante (X31)

Realizar el análisis de lo que sucede con las variables básicas actuales si la variable que entra (X31) se incrementa en una unidad

DestinosRecurso

s1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

155 10

212 7 9 20

255 15 5

30 14 16 18

5X31 5Demanda 5 15 15 10

Determinación de la Variable que SalePrueba de Factibilidad

Análisis de lo que sucede con las variables básicas actuales si la variable que entra (X31) se incrementa en una unidad

Si X31 = 1 entonces: X11 disminuye una unidad X12 aumenta una unidad X22 disminuye una unidad X34 disminuye una unidad X24 aumenta una unidad X23 se mantiene

DestinosRecurso

s1 2 3 4

Origen

1(-) 10 (+) 0 20 11

155 10

212 (-) 7 9 (+) 20

255 15 5

3(+) 0 14 16 (-) 18

5X31 5Demanda 5 15 15 10

Determinación de la Variable que Sale La variable que sale se selecciona de entre las variables de

esquina del ciclo que disminuirán (etiquetadas (-) en la tabla) cuando la variable que entra (X31) aumente arriba del nivel cero.

Se selecciona la variable más pequeña como la variable que sale, ya que será la primera en llegar al valor cero y cualquier disminución posterior la volverá negativa.

DestinosRecursos

1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

155 (-) 10 (+)

212 7 9 20

255 (-) 15 5 (+)

30 14 16 18

5X31 5 (-)

Demanda 5 15 15 10

Determinación de la Variable que Sale Selección de la variable que sale (la mas pequeña)

X11, X22 y X34 son las tres variables básicas que pueden salir, se puede tomar cualquiera de ellas. Se elige X34

Sale X34 = 0, entra X31 = 5

Se recalculan las otra variables básicas sumando o restando 5 dependiendo del signo (+) o (-) en la tabla

Las variables básicas actuales con valor cero se consideran como variables positivas. Destinos

Recursos1 2 3 4

Origen

110 0 20 11

15X11= 0 X12= 15

212 7 9 20

25X22= 0 15 X23= 10

30 14 16 18

55

Demanda 5 15 15 10

Determinación de la Variable que Sale El nuevo costo es 0*10 + 15*0 + 0*7 + 15*9 + 10*20 + 5*0 + 0*18 = $335

El costo de la primera iteración fue de $ 410.

La diferencia es $410 - $335 = $ 75$75 = X31 ∙ C31* = 5 * 15

Se revisa la optimidad de la nueva solución básica calculando los nuevos multiplicadores ui, vj, Cpq*

¿La solución es óptima??

ResumenEntra X31

Fuentes

Destinos

Recurso ui

Fuentes

Destinos

Recurso ui1 2 3 4

1 2 3 4

1 10 0 20 11

15 0

1(-) 10 (+) 0 20 11

15 5 10 -18 2 5 10

2 12 7 9 20

25 7

2 12 (-) 7 9 (+) 20

25 5 5 15 5 5 15 5

3 0 14 16 18

5 5

3(+) 0 14 16 (-) 18

5 15 -9 -9 5 X31 5

Demanda 5 15 15 10$ 410

Demanda 5 15 15 10

vj 10 0 2 13 vj

Entra X31 Sale X34

Fuentes

Destinos

Recurso ui

Fuentes

Destinos

Recurso ui1 2 3 4

1 2 3 4

1 10 0 20 11

15

1 10 0 20 11

15 -70 15 0 15 -18 2

2 12 7 9 20

25

2 12 7 9 20

25 0 0 15 10 5 0 15 10

3 0 14 16 18

5

3 0 14 16 18

5 -175 5 -24 -24 -15

Demanda 5 15 15 10$ 335

Demanda 5 15 15 10

vj vj 17 7 9 20

ResumenEntra X21

Fuentes

Destinos

Recurso ui

Fuentes

Destinos

Recurso ui1 2 3 4

1 2 3 4

1 10 0 20 11

15 -7

1(-) 10 (+) 0 20 11

15 0 15 -18 2 0 15

2 12 7 9 20

25 0

2(+) 12 (-) 7 9 20

25 5 0 15 10 X21 0 15 10

3 0 14 16 18

5 -17

3 0 14 16 18

5 5 -24 -24 -15 5

Demanda 5 15 15 10$ 0

Demanda 5 15 15 10

vj 17 7 9 20 vj

Entra X21 Sale X11

Fuentes

Destinos

Recurso ui

Fuentes

Destinos

Recurso ui1 2 3 4

1 2 3 4

1 10 0 20 11

15

1 10 0 20 11

15 -7 15 -5 15 -18 2

2 12 7 9 20

25

2 12 7 9 20

25 00 0 15 10 0 0 15 10

3 0 14 16 18

5

3 0 14 16 18

5 -125 5 -19 -19 -10

Demanda 5 15 15 10$ 335

Demanda 5 15 15 10

vj vj 12 7 9 20

ResumenEntra X14

Fuentes

Destinos

Recurso ui

Fuentes

Destinos

Recurso ui1 2 3 4

1 2 3 4

1 10 0 20 11

15 -7

1 10 (-) 0 20 (+) 11

15 -5 15 -18 2 15 X14

2 12 7 9 20

25 0

2 12 (+) 7 9 (-) 20

25 0 0 15 10 0 0 15 10

3 0 14 16 18

5 -12

3 0 14 16 18

5 5 -19 -19 -10 5

Demanda 5 15 15 10$ 335

Demanda 5 15 15 10$ 335

vj 12 7 9 20 vj

Sale X24

Fuentes

Destinos

Recurso ui

Fuentes

Destinos

Recurso ui1 2 3 4

1 2 3 4

1 10 0 20 11

15

1 10 0 20 11

15 -7 5 10 2 5 -11 10

2 12 7 9 20

25

2 12 7 9 20

25 00 10 15 0 10 15 -2

3 0 14 16 18

5

3 0 14 16 18

5 -125 5 -7 -7 0

Demanda 5 15 15 10$ 315

Demanda 5 15 15 10OPTIMO

vj vj 12 7 9 18

Soluciones Múltiples

Prueba de factibilidad en una minimización

Si todos los C*pq < 0 la solución es óptima única;

Si algunos C*pq = 0 la solución es óptima

múltiple, cada celda igual a cero indica una ruta alterna, sin que varíe Z;

Si se tienen varios C*pq > 0 se toma el más negativo

y se asigna en dicha celda, es decir, se realizan nuevas asignaciones (reasignaciones).

Soluciones Múltiples Solución inicial

D E F G

A 0

B 5

C 10 10 15 5

Optimo 1:De A Unidades CostoA F 10 5A G 10 0B F 30 5C D 10 10C E 15 10C G 20 5

Solución Optima No Degenerada Z *1 = $550

Soluciones Múltiples

Optimo 2:

D E F GA 10 10B 30C 15 30

De A Unidades CostoA D 10 5A F 10 5B F 30 5C E 15 10C G 30 5

Solución Optima Degenerada Z*2 = $550

Soluciones MúltiplesOptimo 3:

D E F GA 20B 10 20C 15 30

DE A Unidades CostoA F 20 5B D 10 5B F 20 5C E 15 10C G 30 5

Solución Optima Degenerada Z*3 = $550

Problemas deTransbordo

MODELO DE TRANSBORDO

• Se reconoce mediante el uso de nodos intermedios o transitorios para el envío de recursos entre las distintas fuentes (oferta) y destinos (demanda)

• Se construye una malla con orientación desde las fuentes (nodos de inicio) hacia los destinos (nodos de llegada), utilizando amortiguadores (nodos transitorios) que permiten recibir y transferir recursos. Las flechas que unen los nodos de la malla representan los eventuales flujos de recursos en la secuencia de distribución

MODELO DE TRANSBORDO Luego, la malla permite convertir un modelo de transbordo en

un modelo de transporte regular y resolverse como tal, utilizando los amortiguadores

Así, la malla reconoce tres tipos de nodos:

Nodos puros de Oferta: solo transfieren recursos Nodos de Transbordo: entregan y reciben recursos Nodos puros de Demanda: solo reciben recursos

El amortiguador debe ser suficientemente grande para permitir

que los recursos se transfieran desde las fuentes hacia los

destinos

ESQUEMA DE TRANSBORDO

Un esquema simple del modelo de transbordo se expresa como una red de modelo de asignación

D1

D2

Nodos puros de Oferta

Nodos puros de Demanda

A1

A2

Nodos de Transbordo

F1

F2

F3

EJEMPLO DE TRANSBORDO

• Dos fábricas de automóviles, P1 y P2, están conectadas a tres distribuidores, D1, D2 y D3, por medio de dos centros de tránsito, T1 y T2, de acuerdo con la red que se muestra en la siguiente diapositiva

• Las cantidades de la oferta en las fábricas P1 y P2, son de 1000 y 1200 automóviles, y las cantidades de la demanda en las distribuidoras D1, D2 y D3, son de 800, 900 y 500 automóviles. El costo de envío por automóvil (en cientos de pesos) entre los pares de nodos, se muestra en los eslabones (arcos) de conexión de la red

800

900

500

1200

1000

D3

D2

D1

T1

T2

P1

P2

3

4

42

5

8

65

39

RED - MODELO DE ASIGNACION

800

900

500

1200

1000 T1

T2

P1

P2

XP1T1XP1T2

X T2D2X P2T1

XP2T2

X T1D1

XT1D2

XD

1D2

XD

2D3X

T2D3

D2

D1

D3

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

F.O. Mín Z = 3XP1T1 + 4XP1T2 + 2XP2T1 + 5XP2T2 + 8XT1D1 + 6XT1D2 + 4XT2D2 + 9XT2D3 + 5XD1D2 + 3XD2D3

s.a.

P1: XP1T1 + XP1T2 = 1000P2: XP2T1 + XP2T2 = 1200T1: XP1T1 + XP2T1 = XT1D1 + XT1D2

T2: XP2T2 = XT2D2 + XT2D3

D1: XT1D1 = XD1D2 + 800D2: XT1D2 + XT2D2 + XD1D2 = XD2D3 + 900D3: XT2D3 + XD2D3 = 500

Xij > 0

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL


• Nodos puros de Oferta

• Nodos de Transbordo

• Nodos puros de Demanda

El modelo de transbordo se convierte a un modelo de transporte con seis puntos de origen (P1, P2, T1, T2, D1 y D2)

y cinco de destino (T1, T2, D1, D2 y D3)

P1, P2

D3

T1, T2, D1, D2

MODELO DE ASIGNACIONPROBLEMA DE TRANSPORTE

800

900

500

1200

1000

T1

P1XP1T1

XP1T2 XP2T1

XT1D2

XD1D2

XD2D3

D1

P2

T1

T2

T2

D2

D1

D2

D3

XT2D3

XP2T2XT1D1

XT2D2

MODELO

DESTINO

FUENTET1 T2 D1 D2 D3 OFERTA

P1

P2

T1

T2

D1

D2

DEMANDA

NODOS PUROS DE OFERTAY NODOS PUROS DE DEMANDA

Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos puros de oferta y puros de demanda, queda:

Oferta en un Nodo puro de Oferta

Demanda en un Nodo puro de Demanda

Oferta Original

Demanda Original

Un nodo puro de oferta no posee amortiguador

Un nodo puro de demanda no posee amortiguador

MODELO

DESTINO


P1 1000

P2 1200

T1

T2

D1

D2

DEMANDA 500

NODOS DE TRANSBORDO

Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos de transbordo, se establece de acuerdo a:

Oferta en un Nodo de Transbordo

Demanda en un Nodo de Transbordo

Oferta Original

Amorti-guador

Demanda Original

Amorti-guador

+

+

La oferta necesariamente posee un amortiguador, mientras que a veces se encuentra oferta original

La demanda necesariamente posee amortiguador, mientras que en ocasiones hay demanda original

NODOS DE TRANSBORDO

La oferta del nodo de transbordo T1 sí posee oferta original, mientras que la oferta del nodo de transbordo T2

no posee oferta original

400

400

200

300

500

200

P1

P2

T1

T2

D1

D2

D2

NODOS DE TRANSBORDO

La demanda del nodo de transbordo T1 no posee demanda original, mientras que la demanda del nodo de transbordo

T2 sí posee demanda original300

200

300

600

400

200

P1

P2

T1

T2

D1

D2

D2

MODELO

DESTINO


P1 1000

P2 1200

T1 B1

T2 B2

D1 B3

D2 B4

DEMANDA B1 B2B3+80

0B4+90

0500

Se obtiene la 1ª solución mediante método de Vogel

P1

T1Ofta

Dda

1000

1200

B1

900+B4800+B3B1 B2 500

3

T2 D1 D3D2

P2

T1

B2

B3

B4

T2

D1

D2

3

5

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M M

M

M

M

M

4

5

M

2

8 6

4 9

M

M


Obtener la primera solución factible mediante Vogel, implica asignar el máximo número de unidades posible

en las celdas de menor costo marginal, según los sucesivos gradientes

No obstante, en ocasiones, la celda de menor costo marginal puede asociarse con un máximo número de

unidades determinado por los amortiguadores. Luego, se requiere definir los rangos posibles para cada

amortiguador

800 < B1 < 2200 0 < B3 < 1400

0 < B2 < 1400 0 < B4 < 500


P1

T1Ofta

Dda

1000

1200

500

3T2 D1 D3D2

P2

T1

T2

D1

D2

3

5

M

M

M

M

M

M

M

M

M M

M

M

M M

M

M

M

M

4

5

M

2

8 6

4 9

M

1

3

M

5

M

1 1 M 1 6

800

*

800

1000

1400

400

500

B1

B2

B3

B4

B1 B2 800+B3900+B4

2

*

MM

M

3

* *

MM


Al calcular los gradientes del método de Vogel, se van obteniendo los valores de los amortiguadores

Valores de los amortiguadores:B1 = 800

B2 = 1400

B3 = 0

B4 = 500Si es que hay 2 o más gradientes de igual valor (como sucede con los gradientes + M ), entonces se asigna el

máximo número de unidades posibles en aquella celda de menor costo unitario de transporte

1ª asignación: XD2D3 = 500, gradiente fila D2 = M

2ª asignación: XT1D2 = 1400, gradiente fila T2 = M

3ª asignación: XT1D1 = 800, gradiente fila T1 = M

4ª asignación: XP2T1 = 800, gradiente fila P2 = 3

5ª asignación: XP1T2 = 1000

6ª asignación: XP2T2 = 400

Asignación manual

Así, Vogel determina la 1ª solución básica factible, sin embargo falta verificar la condición de optimalidad e iterar

vía simplex si es que se requiere



m + n - 1 = 10Sin embargo, la asignación inicial mediante

método de Vogel tiene solamente 6 variables básicas

Deben ingresarse cuatro valores 0 a la base

XT1T2 = 0, XT2T2 = 0, XD1T2 = 0, XD2T2 = 0

Luego, se deben calcular los precios sombra para verificar si la solución básica factible es o no es óptima

EJEMPLO DE TRANSBORDOOfta

Dda

1000

1200

500

3

3

5

M

M

M

M

M

M

M

M

M M

M

M

M M

M

M

M

M

4

5

M

2

8 6

4 9

M

800

800

1000

1400

400

500

0

0

0

0

P1

T1 T2 D1 D3D2

P2

T1

T2

D1

D2

B1

B2

B3

B4

B1 B2 800+B3900+B4

Se deben calcular todos los precios sombra

EJEMPLO DE TRANSBORDOOfta

Dda

1000

1200

500

3

3

5

M

M

M

M

M

M

M

M

M M

M

M

M M

M

M

M

M

4

5

M

2

8 6

4 9

M

800

800

1000

1400

400

500

0

0

0

0

E

E

E

+M

+M

+M

+M +M

+M

+2

Ya que ij > XJ

0 i,jA Solución óptima

E E

E

EE

EE

E

E

E

P1

T1 T2 D1 D3D2

P2

T1

T2

D1

D2

B1

B2

B3

B4

B1 B2 800+B3900+B4

EJEMPLO DE TRANSBORDOSolución óptima del ejemplo de transbordo:

XJ = ( XP1T2, XP2T1, XP2T2, XT1T2, XT1D1,

XP1T2

XP2T1

XP2T2

XT1T2

XT2T2

XT2D2

XD1T2

= 1400

= 1000

= 800

= 0

= 400La solución no es única,

pues es una solución degenerada

XT2T2, XT2D2, XD1T2, XD2T2, XD2D3 )

XT1D1

XD2T2

XD2D3= 800 = 500

= 0

= 0

= 0

Z = (1000*4) + (800*2) + (400*5) + (800*8) + (1400*4) + (500*3) = 21.100 ($100)

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Metodo de Transporte