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Departamento de Ingeniería Industrial Método Dual

MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD)

Todo problema de programación lineal tiene asociado con él otro problema de programación lineal llamado DUAL. El problema inicial es llamado PRIMO y el problema asociado (sombra) es llamado el problema PRIMO. Los dos juntos son llamados problemas duales ya que ambos están formados por el mismo conjunto de datos. La solución básica factible óptima de estos problemas es tal que una puede fácilmente ser usada para la solución de la otra. La dimensión del problema de programación lineal influencia la elección del cálculo del primo o del dual. Si el primo tiene mas ecuaciones que variables, es frecuentemente mas fácil obtener la solución del dual ya que menor numero de iteraciones son requeridas. Además si el primo tiene solución, el dual tendrá solución. Una vez que el problema dual es formulado, el procedimiento de solución es exactamente el mismo que para cualquier problema de programación lineal.

Mecánicamente el dual es formulado partiendo del problema primo en la siguiente forma:

Si el primo es un problema de Maximización, el dual es un problema de Minimización y viceversa.1. Los coeficientes de la función objetivo del primo se convierten en las

restricciones constantes de las ecuaciones del dual.2. Las restricciones de las ecuaciones del primo se convierten en los

coeficientes de la función objetivo del dual.3. Los coeficientes de las variables del dual en las ecuaciones restrictivas son

obtenidas sacando la transpuesta de la matriz de coeficientes del primo ( los arreglos de los coeficientes en las columnas del primo se convierten en los coeficientes de las filas en el dual y viceversa ).

4. Los signos de la desigualdad son invertidos.5. Las Xn variables del primo son remplazadas por Wm variables en el dual.

Notación matemática:

Primo Contiene m ecuaciones y n variables.Dual Contiene n ecuaciones y m variables.

La notación matricial del Primo es:Max Z = CXsujeto a :

AX bx 0

La notación matricial del Dual es:Min Z = bt Wsujeto a :

At W Ct

W 0

M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS 1


RELACION DE LOS PROBLEMAS PRIMO Y DUAL

0 0

0 0

no res-tringida = 0

0 0

0 0

= 0 no restringida.

Ejemplo : PRIMO

Min Z = 3X1 - 2X2 + X3

Sujeto a :

2X1 - 3X2 + X3 1 2X1 - 3X2 + X3 12X1 - 3X2 + X3 - 1 - 2X1 + 3X2 - X3 -12X1 + 3X2 - X4 8 2X1 + 3X2 - X4 82X1 + 3X2 - X4 8 - 2X1 - 3X2 + X4 -8

x´s 0

DUALMax Z =

W1 - W2 + 8W3 - 8W4

Sujeto a :

2W1 - 3W2 + 2W3 - 2W4 3-3W1 + 3W2 + 3W3 - 3W4 -2

W1 - W2 1- W3 - W4 0

w´s 0


Problema de Minimización

Restricciones

Variables

Problema de Maximización

Variables

Restricciones


Ejemplo:Primo:Min Z = 2X1 + 3X2

Sujeto a; 2X1 + X2 ≤ 16 X1 + 3X2 ≥ 20 X1 + X2 = 10

X´s0

Dual:Max Z=16W1 + 20W2+10W3

Sujeto a;2W1 + W2 +W3 ≤ 2 W1 + 3W2 +W3≤ 3

W 1 ≤0, ,W2 0, W3 no restringida

Ejemplo:Primo:Maximizar Z = 3X1 - X2

Sujeto a; -X1 + 2X2 ≥ 5 X1 + 3X2 ≤ -2 X´s0

Dual:Max Z=5W1 - 20W2

Sujeto a; -W1 + W2 ≤ 3 2W1 + 3W2 ≤ -1

W 1 ≤ 0, ,W2 0

Ejemplo :Primo :Min Z = -2X1 +13X2 +3X3 - 2X4+ X5 + 5X6 Sujeto a;

X1 - X2 + 4X4 – X5+ X6 = 16 X1 + 7X4 - 2X5 + 3X6 ≥ - 1 5X2 + X3 - X4+ 2X5 - X6 ≤ 5

Xi 0, para 1=1,2,3X4 ≤ 0X5, X6 No restringidas



Dual:Max Z=16W1 - W2+ 5W3

Sujeto a; W1 + W2 + ≤ -2 -W1 + + 5W3 ≤ 13 + + W3 ≤ 3 4W1 + 7W2 - W3 -2 W1 -2W2 +2W3 = 1 5W1 + 3W2 - W3 = 5

W 1 no restringida, ,W2 0, W3 ≤ 0

El valor óptimo en el primo, es siempre igual al valor óptimo del dual. Los valores absolutos de las variables del Dual (w`s) se encontraran en la tabla final (Optima) del primo en la fila Zj-Cj bajo las columnas de las variables que originalmente aportaron las columnas para formar la matriz identidad. De manera similar el valor absoluto de las variables del primo (x´s) se encontrará en la tabla Optima del Dual en la fila Zj-Cj bajo las columnas de las variables que originalmente aportaron las columnas para formar la matriz identidad.

INTERPRETACIÓN DE LAS VARIABLES DEL DUAL.

La solución del problema Dual representa la interpretación económica que es una forma de análisis marginal ( Que pasará si una entidad adicional del insumo es utilizada?). Las variables del Dual Wm en un problema Primo de Maximización de ganancias, son las ganancias marginales de cada insumo o producto adicional. Las variables del Dual son llamadas algunas veces costos marginales o precios sombra. Las variables del Dual Wm en un problema primo de Minimización de costos, son los costos marginales de cada insumo ó producto adicional. La limitación b en las ecuaciones del Primo determina si las variables del Dual se relacionan en insumos ó productos marginales.

Si la limitación b restringe a los factores de producción, el análisis marginal se refiere al insumo. Si la limitación b en las ecuaciones restringe el producto el análisis marginal se refiere al producto. El conocimiento de cuanta ganancia o costo cambiarán con una unidad adicional de cada uno de los varios recursos, puede ser una información valiosa.

Interpretación económica del Dual

Primo Dual

Min Z = Cx Max Z = wbSujeto a : sujeto a :Ax b wA Cbx 0 w 0



Si B es la base óptima para el problema primo y CB es el vector básico de costos, entonces sabemos que:

Z* = CB B-1 b = CB XB = w*b

del Dual

Por esto Wi* es la tasa de cambio de valor óptimo de la función objetivo, con el incremento de una unidad en b (limitación). Ya que w i* 0, Z se incrementará o permanecerá constante conforme bi se incremente.Económicamente, w* es un vector de precios sombra para el vector b.

Así, si la i va ecuación representa la demanda para producir al menos b i

unidades del producto i vo y Cx representa el costo total de producción, entonces wi* es el costo incremental de producir una unidad más del producto i vo.

Ejemplo:

PRIMO DUALMax Z =

15X1 + 10X2 Min Z = 1500w1

+ 1200w2

+ 500w3

Sujeto a :

2X1 + X2 1500 2w1 + w2 + w3 ≥ 15X1 + X2 1200 w1 + w2 ≥ 10X1 500 w1 0

w2 0x´s 0 w3 0

Tabla ÓptimaPrimo

Cj 15 10 0 0 0CB XB b X1 X2 S1 S2 S3 b/yrj

10 X2 900 0 1 -1 2 0 7500 S3 200 0 0 -1 1 1 1200

15 X1 300 1 0 1 -1 0 500Z 15 10 5 5 0 Zj

13500

0 0 5 5 0 Zj - Cj



Por cada unidad que incremente la disponibilidad del recurso 1, la función objetivo Z se mejorara en 5 unidades. Por cada unidad que incremente la disponibilidad del recurso 2, la función objetivo Z se mejorara en 5 unidades. Por cada unidad que incremente la disponibilidad del recurso 3, la función objetivo Z se mejorara en 0 unidades.

Ejemplo:

Tabla inicial

XB X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZj–Cj -12 -20 -18 -40 0 0 0 X5 4 9 7 10 1 0 6000 X6 1 1 3 40 0 1 4000

Tabla final

XB X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZj-Cj 0 20/3 10/3 0 44/15 4/15 56000/3X1 1 7/3 5/3 0 4/15 -1/15 4000/3X4 0 -1/3 1/30 1 -1/150 4/150 200/3

Por cada unidad que incremente la disponibilidad del recurso 1, la función objetivo Z se mejorara en 0 unidades. Por cada unidad que incremente la disponibilidad del recurso 2, la función objetivo Z se mejorara en 44/15 unidades. Por cada unidad que incremente la disponibilidad del recurso 3, la función objetivo Z se mejorara en 4/15 unidades.

Teorema Fundamental de Dualidad.

Considerando las posibilidades de Programación Lineal Dual y Primo, exactamente 1 caso sucede;1).- Ambos poseen soluciones óptimas x* y w* con Cx* = w*b.2).- Un problema es no limitado; en tal caso el otro problema es factible.3).- Ambos no son factibles.

Propiedades de Separación de los Valores Objetivos

Dual Valor factible Cx



Valor factible wb Primo

Valor optimo de ambos objetivos

Obteniendo la solución del Dual a partir de la solución del primo fije w* = Co B-1

optima factible para la ecuación del Dual w*A 0

CoB-1 C CoB-1A-C 0valor en w*b = CoB-1 b zj - cj 0

w* = CoB-1

Ejemplo:

PRIMO DUALMax Z =

15X1 + 10X2 Min Z = 1500w1

+ 1200w2

+ 500w3

Sujeto a :

2X1 + X2 1500 2w1 + w2 + w3 ≥ 15X1 + X2 1200 w1 + w2 ≥ 10X1 500 w1 0

w2 0x´s 0 w3 0

Tabla óptimaPrimo

Cj 15 10 0 0 0CB XB b X1 X2 S1 S2 S3 b/yrj

10 X2 900 0 1 -1 2 0 7500 S3 200 0 0 -1 1 1 1200

15 X1 300 1 0 1 -1 0 500Z 15 10 5 5 0 Zj

13500

0 0 5 5 0 Zj - Cj

Solución Optima ( X2, S3, X1 ) = (900, 200, 300 ) y Z* = 13,500de esto :

Co = (10, 0, 15)



entonces: w* = CoB-1 = ( 5, 5, 0 )

Relación Primo - Dual

Considere la forma canónica de dualidad y sea xo y wo soluciones factibles a los problemas del Primo y del Dual respectivamente. Entonces Axo b; x 0; wo A C; y wo O. Multiplicando Axo b en la izquierda por wo O y a wo A C en el derecho por xo O obtenemos:

Cxo wo Axo wo b O

Dualidad y las condiciones KUHN-TUCKER :

Las condiciones de optimalidad par un problema de Programación Lineal estipula, que las condiciones suficientes y necesarias para que X sea un punto óptimo para

Min Z=Cx, Sujeto a;

Ax≤ b y x 0 son tal que exista un vector w* tal que :

1).- Ax* b, x* O2).- w*A C, w* O3).- w*(Ax-b) = O ---------> Cx* = w*b (C - w*A) x* = 0

Teorema de Holgura Complementaria :

Sea x* y w* cualquiera par de soluciones ópticas para el problema Primo y el Dual en forma canónica respectivamente.Entonces;

Cx* w* Ax* w*bpero Cx* = w*b; por esto

Cx* = w* Aw* = w*bdando como resultado

w* (Ax*-b ) = 0 y (C-w*A) x* = 0



Teorema :

( cj-w*aj ) xj* = 0; para j=1,2,.....,n

w*i (ai x* - bi ) = 0, para i =1,2,....,m

en le punto de optimalidad. Si una variable en un problema es diferente de cero, entonces la correspondiente ecuación en el otro problema debe ser ajustada (Ax-b=0) y si una ecuación en un problema no es ajustada (Ax-b≠0), entonces la correspondiente variable en el otro problema debe ser cero.

Ejemplo:

Dada la solución óptima del problema Dual, encontrar la solución óptima del problema Primo utilizan el Teorema de Holgura Complementaria.

Primo: Min Z=2x1 +3x2 +5x3 +2x4 +3x5

Sujeto a: x1 + x2 + 2x3 + x4 + 3x5 4 2x1 - 2x2 + 3x3 + x4 + x5 3

x’ s O

Dual: Max Z= 4w1 +3w2

Sujeto a:w1 +2w2 2w1 -2w2 32w1 +3w2 5 w’s Ow1 + w2 23w1 + w2 3

Solución óptima w1* = 4/5; w2*= 3/5 y Z* = 5

Utilizando el teorema de Holgura complementaria tenemos que al sustituir los valores de las w’s en las restricciones del Dual encontramos que la restricciones 2,3 y 4 no son ajustadas por lo que x2 , x3 y x4 son iguales a cero y la restricción 1 y 5 son ajustadas por lo que x1 y x5 son diferentes de cero.

Restricciones del Dual

1a. w1 +2w2 2 4/5 +2 ( 3/5 ) = 2 ; 2 2, ajustada por lo que x1 O



2a. w1 -2w2 3 4/5 -2 (3/5 ) = -2/5 ; -2/5 3 , no es ajustada por lo que x2 = O.

3a. 2w1 +3w2 5 2 (4/5) +3 ( 3/5 ) = 17/5; 17/5 5, no es ajustada por lo x3 = O.

4a. w1 + w2 2 4/5 + 3/5= 7/5 ; 7/5 2 , no es ajustada por lo que x4 = O

5a. 3w1 + w2 3 3 ( 4/5 ) + 3/5 = 3; 3 3 , ajustada por lo que x5≠ O.

Sustituyendo los valores de las x’s iguales a cero en las restricciones del primo obtenemos que;

1a. x1 +x2 + 2x3 +x4 +3x5 4 x1 +3x5 4

2a. 2x1 -2x2 +3x3 +x4 +x5 3 2x1 + x5 = 3

Resolviendo este sistema de ecuaciones de 2x2

x1 +3x5 = 4 y 2x1 + x5 =3

Tenemos que: x1* = 1 , x5* = 1 y Z* =5.

NOTA: Dual-PrimoSe consideran únicamente las ecuaciones del Primo que correspondan a las variables básicas del Dual.

Primo-Dual Se consideran únicamente las ecuaciones del Dual que correspondan a las variables básicas del Primo.

Ejemplo:

PRIMO DUALMin Z = -x1 + 2x2 - 3x3 Max Z = 6w + 4w2 +10 w3

Sujeto a ; Sujeto a ; w1-w2 -1

x1 + x2 + x3 = 6 w1 +w2 2-x1 + x2 +2x3 = 4 w1 +2w2 +w3 -3



x3 = 10. w1 , w2 no restringidas en signo

x1 , x2, x3 0 w3 0.

Tabla optima

Z X1 X2 X3 X6 bZ 1 0 0 0 -13/2 - 4X1 0 1 0 0 -1/2 2X2 0 0 1 0 -3/2 2X3 0 0 0 1 1 2

B = B-1 = entonces : W = CBB-1 = ( 1/2, 3/2, -13/2 )

Z* = - 4

w1 se asocia a la 1a. Ecuación del primo (Variable artificial x5 )w2 se asocia a la 2a. Ecuación del primo (Variable artificial x6 )w3 se asocia a la 3a. Ecuación del primo (Variable artificial x4 )

Teorema de Holgura Complementariaw1(x1 + x2 + x3 - 6 ) = 0 ajustada w1 0w2(-x1 + x2 + 2x3 - 4 ) = 0 ajustada w2 0w3(x3 - 10 ) = 0 ajustada w3 = 0

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 del Dual

w1 - w2 = -1w1 + w2 = 2

Se obtiene que w1 = 1/2 y w2 = 3/2, después sustituyendo en la 3a. Ecuación del Dual se tiene que w3 = -13/2


1 1 1-1 1 2 0 0 1

½ ½ ½½ -3/2 -3/20 0 1

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