Metodo Neyman

5/20/2018 Metodo Neyman

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INTRODUCCIN

El presente trabajo de investigacin tiene por objetivo hacer conocer el mtodo o

Afijacin Neyman y se pretende tener un material didctico que sirva de apoyo en el

desarrollo el curso de Teora de muestreo de la carrera de Administracin.

En ste trabajo se encuentra el muestreo aleatorio, la afijacin Neyman , su historia,

as como el clculo del tamao de estratos, las ventajas y desventajas de hallar ste

mtodo, las formulas y ejercicios propuestos que darn mayor entendimiento al tema.


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MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO

Un muestreo aleatorio estratificado es aquel en el que se divide la poblacin de

N individuos, en k subpoblaciones o estratos, atendiendo a criterios que

puedan ser importantes en el estudio (sexo, grupo de edad, nivel de estudios,lugar geogrfico, tamao del municipio, etc), de tamaos respectivos N1, ...,

Nk, y realizando en cada una de estas subpoblaciones muestreos aleatorios

simples de tamao ni.

AFIJACIN NEYMAN

En el ao 1934, DersyNeyman investigo matemticamente el problema de cal

podra ser la distribucin de la muestra en los estratos que diera el menor error

de muestra posible. Encontr que la respuesta consista en dejar que la tasa de

muestreo en cada estrato variara con la cantidad de variabilidad de cada

estrato, en otras palabras hacer la tasa de muestreo en un estrato dado

proporcional a la desviacin estndar en ese estrato. En esa forma el nmero

de elementos a extraer para la muestra en cada estrato dependera no solo del

nmero total de elementos total del estrado sino tambin de la desviacin

estndar de la caracterstica que se va a medir.

Para esta afijacin ptima el nmero de elementos que se selecciona en un

estrato est dado por la frmula:

Con una afijacin ptima el error estndar de la media se reduce a:

Para aplicar este tipo de afijacin, es necesario conocer los valores de en eluniverso.


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MTODO DE NEYMAN

Para realizar un muestreo estratificado por primera vez, lo ms prctico es

disear un muestreo preliminar exploratorio que permita conocer el valor de los

estimadores de la poblacin y las varianzas de cada estrato. Este primer

muestreo debe de planearse en tamao de acuerdo a la situacin real de la

poblacin (varianzas estimadas) para que no sea necesario incrementar el

nmero de observaciones una vez que se conocen los datos. En el primer

muestreo se debe calcular el valor n, que es el tamao de la muestra necesaria

para tener los lmites de error preestablecidos. Si n es mayor que la muestra

inicial, entonces es necesario recolectar nuevas observaciones y el mtodo de

Neyman va a ayudar para determinar de qu tamao debe ser la muestra de

cada estrato. El Mtodo Neyman tiene la ventaja de que incorpora el factor

costo, ya que uno de los objetivos del muestreo es recolectar la mayor cantidad

de informacin, con mayor precisin y al menor costo. Levantar una encuesta

va telefnica es evidentemente ms barato que levantar una encuesta en un

poblado lejano donde es difcil establecer un medio de comunicacin. Mtodo

de Neyman para el clculo del tamao de estratos.

FRMULA:

Siendo:

Notacin.

El subndice h indica el estrato, h=1,2,..., L

=/Npeso del estrato h-simo= Varianza para cada estrato= Estimador para el error= nmero de elementos en el estrato h de la poblacin.=nmero de elementos del estrato h en la muestra.N=

n= Valor obtenido en la i-sima unidad del h-simo estrato.=/fraccin de muestreo en el estrato h-si


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MTODO DE NEYMAN PARA EL CLCULO DEL TAMAO DE

ESTRATOS

En el mtodo Neyman es necesario conocer para cada estrato: El tamao total(o su estimador), la desviacin estndar (que se obtiene de informacin previa

o de la muestra exploratoria) y el costo de recolectar una encuesta en cada

estrato.

Notacin:

=Tamao del estrato

=tamao de la muestra del estrato i

El subndiceidenota la unidad dentro del estrato.

n= tamao de la muestra

= Varianza muestral del estrato i

= Coste de una observacin del estrato = peso del estratoL=nmero de estratos

N=Tamao de la poblacin

= media poblacional del estrato=total poblacional del estrato i=varianza poblacional del estrato i = media muestral del estrato i=proporcin muestral del estrato i


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VENTAJAS:

Es econmico. Es rpido y controlable. Se obtiene una observacin rpida y exacta con un mayor control. Sus resultados pueden ser precisos o amplios por utilizar personal

especializado.

DEVENTAJAS:

Requiere de personal altamente calificado. No se permite hacer proyecciones sobre reas muy pequeas de la

poblacin o sobre poblaciones sujetas a muchos cambios en un lapsocorto de tiempo.

Los resultados estn sujetos a los errores del muestreo. Se debe tener en cuenta siempre la poblacin.


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MTODO DE NEYMAN PARA EL CLCULO DEL TAMAO DE

ESTRATOS

En el mtodo Neyman es necesario conocer para cada estrato: El tamao total (o suestimador), la desviacin estndar (que se obtiene de informacin previa o de la

muestra exploratoria) y el costo de recolectar una encuesta en cada estrato.

Los datos se pueden concentrar en una tabla.

El siguiente paso es calcular la ecuacin que se muestra para cada estrato en una columna

extra.

Ni si Ci Nisi/ci

Estrato 1 1170 8.2 3.00 5539.10

Estrato 2 980 8.0 2.80 4685.30

Estrato 3 920 8.2 3.00 4355.53

Estrato 4 1210 7.6 3.30 5062.23

19642.16

Para continuar con los clculos es necesario sumar la columna recin calculad

Para cada estrato se calcula el valor wi


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El ltimo paso es multiplicar cada valor wi por n (tamao de la muestra total) y se tendr el

tamao de la muestra de cada estrato.

Ni si ci Nisi/ ci wiEstrato 1 1170 8.2 3.00 5539.10 0.282

Estrato 2 980 8.0 2.80 4685.30 0.239

Estrato 3 920 8.2 3.00 4355.53 0.222

Estrato 4 1210 7.6 3.30 5062.23 0.258

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Ni Si Ci Nisi/ci Wi Si n=65ni

Estrato 1 1170 8.2 3.00 5539.10 0.282 18.33

Estrato 2 980 8.0 2.80 4685.30 0.239 15.50

Estrato 3 920 8.2 3.00 4355.53 0.222 14.41

Estrato 4 1210 7.6 3.30 5062.23 0.258 16.75

19642.16


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ERCICIOS PROPUESTOS

En una poblacin cuyas caractersticas son conocidas:

Estrato W S

I 0,45 4

II 0,35 5

III 0,20 6

E1= 0,8 E2= 1,02 E3= 2

Z= 1,96 N= 200

Determinar el tamao de la muestra, de acuerdo al Mtodo de Asignacin deNeyman.

DESARROLLO:

Para ello debemos tener en cuenta la siguiente frmula:

Para el I ESTRATO:

1. Hallar

=43, 218

2. Hallar = 200 (0,45)= 90

3. Hallar el tamao de muestracorregido


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Para el II ESTRATO:

1. Hallar

32, 31

Para el III ESTRATO:

1. Hallar

6, 91

2. Hallar = 200 (0,35)= 70


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2. Hallar = 200 (0,20)= 40


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MUESTREO ESTRATIFICADO CON ASIGNACIN DE NEYMAN

Cuando existen marcadas diferencias en la variabilidad de las observacionesdentro de los estratos, es recomendable utilizar la asignacin de Neyman, ya

que adems de tener en cuenta el tamao de los estratos se tiene en cuenta la

dispersin de los datos dentro de cada estrato. De esta manera se obtendr

una muestra ms grande de aquellos estratos que sean ms heterogneos.

Tamao de muestra para estimar la media con asignacin de Neyman

( )

Para repartir la muestra entre los estratos se utiliza la siguiente expresin:

EJEMPLO:

Se desea hacer un estudio sobre produccin media de madera aserrada en los

EE.UU.

Todos los aserradores han sido agrupados en estratos, de acuerdo con la

produccin. Hace 5 aos se hizo un estudio similar en donde se estim la

desviacin estndar de la produccin (en miles de pies de tabla). Por lo tanto,

se dispone de la siguiente informacin:

Estrato Produccin

anual

N aserraderos Desviacin

Estndar1 5,000 Y + 538 9,0002 1,000-4,999 4,756 1,2003 Menos de 1,000 30,964 300

Determine el tamao de muestra necesario para estimar la produccin media

de madera con un error mximo de 25,000 pies de tabla y una confiabilidad del

95%


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Solucin:

N= 36,258

k=1.96

El error mximo es de 25,000 pies, pero se debe tener en cuenta que la

produccin est dada en miles, por lo tanto se divide por 1.000, es decir que Considerando la diferencia en el tamao de los estratos y en las desviaciones

estndar se trabaja con muestreo estratificado con la asignacin de Neyman.

Para determinar el tamao de la muestra se utiliza la ecuacin 6.30 y para

repartir la muestra en los estratos se usa la ecuacin 6.31

Se debe tomar una muestra de 1,473 aserraderos, repartidos as: 360 en el

estrato uno, 424 en el estrato dos y 690 en el estrato tres.

Tamao de muestra para estimar el total con asignacin de Neyman

( ) La muestra se reparte entre los estratos utilizando la expresin 6.31

Ejemplo:

La fbrica de tapas, desea determinar el tamao de muestra necesario para

estimar la produccin total, con un error mximo de 90,000 tapas y una

confiabilidad del 95%

Solucin:


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Se considera que la informacin suministrada en el ejemplo 6.7 corresponde a

una muestra piloto, de la cual se utilizan las varianzas obtenidas que son :

Teniendo en cuenta la gran diferencia presentada en las varianzas de los tresestratos y la diferencia en el tamao de dichos estratos, el tipo de muestreo

adecuado es el estratificado con asignacin de Neyman.

La formula para calcular el tamao de la muestra es la 6.32 y para reapartirla

en los estratos, se utiliza la ecuacin 6.31

N= 400 k=1.96

[]

[ ] [ ]

Por lo tanto, estimar la produccin total con un error mximo de 90,000 tapas y una

confiabilidad del 95%, se debe seleccionar una muestra de 69 mquinas, repartirlas asi:

15 manuales, 24 semiautomticas y 30 automticas

Tamao de muestra para estimar la proporcin con asignacin de Neyman

( ) Para estimar la muestra entre los estratos se utiliza la expresin:


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()

Muestreo estratificado con asignacin ptima: Cuando adems de tenermarcadas diferencias en la dispersin o variabilidad dentro de los estratos, el

costo para obtener la informacin de un estrato a otro vara, se recomienda

utilizar la asignacin ptima. Con sta asignacin se tiene en cuenta el tamao

de los estratos, la dispersin o variabilidad dentro de ellos y el costo para

recopilar la informacin.

Tamao de muestra para obtener la media con asignacin ptima

Dnde: ch = costo de hacer una observacin individual en el estrato h.

Una vez obtenido el tamao de la muestra, se reparte entre los estratosutilizando la siguiente expresin

Tamao de muestra para obtener el total con asignacin ptima

Una vez obtenido el tamao de la muestra, se reparte entre los estratosutilizando la siguiente expresin


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Tamao de muestra para estimar la proporcin con asignacin ptima

Dnde: ch = costo de hacer una observacin individual en el estrato h.

La muestra se reparte entre los distintos estratos, utilizando la expresin

TEOREMA

[Asignacin de Neyman] Sea E una poblacin con N elementos, dividida en k

estratos, con Ni elementos cada uno de ellos,i=1,,k

Sea n el nmero total de elementos al realizar el muestreo, y que se dividen en

cada estrato como

Sea X la v.a. que representa el carcter que intentamos estudiar. Sobre cada

estrato puede definirse entonces la v.a.


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Como el valor medio de X obtenida en una muestra de tamao ni en el estrato

Ei. Sea Var[Xi] la varianza de dicha v.a.; Entonces

Se minimiza cuando

Donde

ESTIMACIN DE PROMEDIOS Y TOTALES

Estimador del promedio y del total de ingresos por familia.

Las Medias aritmticas y Varianzas del Ingreso (en miles soles) por familia son:

x1= 1.041,18 x2= 2.011,54 x3= 3.181,67 s12 = 26.611,03s2

2= 40.430,77s3

2=

195.256,67n1= 17n2= 13 n3= 6N=355 N1=162 N2=132 N3=61

Estrato I


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1 1350

2 1240

3 1010

4 790

5 1130

6 850

7 890

8 1260

9 1060

10 950

11 1080

12 950

13 108014 860

15 1260

16 950

17 990

17700

n de ordeningresos mensuales

(miles soles)

Estrato II

1 2350

2 1830

3 2180

4 2020

5 1650

6 1920

7 2150

8 1960

9 2000

10 2260

11 1760

12 2140

13 1930

26150

n de orden ingresos mensuales

(miles soles)

Estrato III


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1 3210

2 2960

3 3460

4 3870

5 2600

6 2990

19090

n de orden ingresos mensuales

(miles soles)

La estimacin puntual:

Xst=WhXh=0,46(1.041,18)+0,37(2.011,54)+0,17(3.181,67) =1.764,10

El estimador de la varianza para el clculo del de estimacin:

Vxst=

=1.545,76

Sxst= = 39,32Los lmites del 95% para el promedio:

Xstsi= XsttSxst1.844,12

Xstsi= 1.764,10 2,035 (39,32)1.684,08

V= n1+n2+n3-3=17+13+6-3=33

Siendo:

=0,05, se tendr que el valor de t=2,035

Para el total estimado:

Xstsi= NXsttNSxst654.662,60

Xstsi= (355)1.764,10 2,035(355) (39,32)597.848,40


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EJERCICIOS PROPUESTOS

En una poblacin cuyas caractersticas son las siguientes:

Estrato W P

I 0,46 0.43

II 0,37 0.80

III 0,17 0.33

E1= 0.1 E2= 0.1 E3= 0.1

Z= 1,96 N= 352

Determinar el tamao de la muestra, por medio de la estimacin de unaproporcin.

DESARROLLO:

Para ello debemos tener en cuenta la siguiente frmula:

Para el I ESTRATO:

1. Hallar

=43, 31

2. Hallar

= 352 (0,46)= 162



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Para el II ESTRATO:

1. Hallar

22,74

2. Hallar = 352(0,37)= 130


19Para el III ESTRATO:

1. Hallar

14,44

2. Hallar

= 352 (0,17)

= 603. Hallar el tamao de muestra

corregido

12

n= 34+19+12

n=65


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CONCLUSIN

Proporcionar conocimientos bsicos de inferencia estadstica, regresin, series de

tiempo y muestreo, necesarios para el desarrollo de una investigacin o en el

desempeo profesional.


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RECOMENDACIONES

Cuando existen marcadas diferencias en la variabilidad de las

observaciones dentro de los estratos, es recomendable utilizar la

asignacin de Neyman, ya que adems de tener en cuenta el tamao de

los estratos se tiene en cuenta la dispersin de los datos dentro de cada

estrato. De sta manera se obtendr una muestra ms grande de

aquellos estratos que sean ms heterogneos.


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BIBLIOGRAFA

Martnez Bencardino, CiroEstadstica y muestreo / Ciro Martnez Bencardino. -- 13. ed. -- Bogot :EcoeEdiciones, 2012.

900 p.(Ciencias exactas. Matemticas)

Pag. 763

http://www.angelfire.com/sc/matasc/EyD/bioesta/muestreo.htm
http://www.facebook.com/l.php?u=http%3A%2F%2Fwww.angelfire.com%2Fsc%2Fmatasc%2FEyD%2Fbioesta%2Fmuestreo.htm&h=_AQGdt42Zhttp://www.facebook.com/l.php?u=http%3A%2F%2Fwww.angelfire.com%2Fsc%2Fmatasc%2FEyD%2Fbioesta%2Fmuestreo.htm&h=_AQGdt42Zhttp://www.facebook.com/l.php?u=http%3A%2F%2Fwww.angelfire.com%2Fsc%2Fmatasc%2FEyD%2Fbioesta%2Fmuestreo.htm&h=_AQGdt42Z

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