UNIVERZITET U TUZLIPRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

Nermin Okicic

Metricki prostori

- Skripta -

Tuzla, 2013.

Sadrzaj

1 Predmetricki prostori 11.1 Prametricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Pseudometricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Kvazimetricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Ultrametricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Sumarni pregled geneze metrike . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Metricki prostori 152.1 Metrika i metricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Ograniceni skupovi u metrickom prostoru . . . . . . . 282.1.2 Topologija metrickih prostora . . . . . . . . . . . . . . 332.1.3 Ekvivalentnost metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.4 Potprostor metrickog prostora . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Neprekidna preslikavanja na metrickim prostorima . . . . . . . 502.2.1 Opste napomene o preslikavanjima . . . . . . . . . . . 502.2.2 Neprekidnost preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.3 Uniformna i Lipschitz neprekidnost . . . . . . . . . . . 55

2.3 Konvergencija u metrickim prostorima . . . . . . . . . . . . . 57

3 Kompletnost metrickih prostora 633.1 Kompletnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Kompletiranje metrickog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 Kategorijalnost skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Separabilnost metrickih prostora 79

5 Kompaktnost metrickih prostora 845.1 Definicija kompaktnosti i karakterizacije . . . . . . . . . . . . 845.2 Neprekidne funkcije na kompaktnim skupovima . . . . . . . . 915.3 Lokalna kompaktnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.4 Specijalni kriteriji relativne kompaktnosti . . . . . . . . . . . . 94

i

Sadrzaj

ii

6 Banachov stav o fiksnoj tacki 996.1 Kontrakcija i fiksna tacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2 Primjene Banachovog stava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Bibliografija 113

iii

Metricki prostori

Predgovor

Posmatrajmo dva primjera poznata nam iz matematicke analize

Primjer 0.1. Neka je f : R R. Funkcija f je neprekidna u tacki a R akoza proizvoljno > 0 postoji > 0, tako da je |f(x) f(a)| < , kad god je|x a| < .

Primjer 0.2. Posmatrajmo preslikavanje F : R2 R. Neka je L granicnavrijednost funkcije F kada se X(x1, x2) priblizava tacki A(a1, a2). To znacida za proizvoljno zadato > 0 postoji > 0, tako da je |F (x1, x2) L| < cim je 0 0 = d(a, b). a < c < b: d(a, c) + d(c, b) = 0 + 0 = 0 = d(a, b). a < b < c: d(a, c) + d(c, b) = 0 + c b > 0 = d(a, b).

Dakle, u sva tri slucaja vrijedi: d(a, b) d(a, c) + d(c, b).Na potpuno analogan nacin se razmatra i slucaj a > b, te zakljucujemo davrijedi osobina (M4). Time je definisana funkcija d hemimetrika na X .

Razdvajajuca prametrika kojoj se namece jos i uslov simetricnosti, nazivase semimetrika.

Definicija 1.1.5

Neka je X proizvoljan skup. Funkciju d : X X R, koja za bilokakve x, y X zadovoljava uslove(M1) 0 d(x, y) < +,

5Metricki prostori

(M2) d(x, y) = 0 x = y,(M3) d(x, y) = d(y, x),

nazivamo semimetrika na skupu X , a odgovarajuci prostor semimetrickiprostor.

1.2 Pseudometricki prostor

Hemimetricki prostor u kome vrijedi uslov (M3), koga nazivamo simetricnost,naziva se pseudometricki prostor.

Definicija 1.2.1

Neka jeX proizvoljan skup. Funkcija d : XX R, koja za proizvoljnex, y, z X zadovoljava uslove(M1) 0 d(x, y) < +,(M2) x = y = d(x, y) = 0,(M3) d(x, y) = d(y, x),

(M4) d(x, z) d(x, y) + d(y, z),zove se pseudometrika na skupu X . Odgovarajuci prostor je pseudome-tricki prostor.

Primjer 1.4. Neka su a = (a1, a2) i b = (b1, b2) tacke ravni R2 i neka je

funkcija d definisana sa

d(a, b) = |a2 b2|, (1.2)tj. jednaka apsolutnoj vrijednosti razlike drugih koordinata tacaka. Funkcijad je pseudometrika, a uredeni par (R2, d) je pseudometricki prostor.Posmatrajmo skup R2 i neka su a = (a1, a2) , b = (b1, b2) i c = (c1, c2) izR2. Treba provjeriti zadovoljava li funkcija d, definisana sa (1.2), uslove izDefinicije 1.2.1.

(M1) Vrijedi da je d(a, b) 0 jer je po definiciji funkcija jednaka apsolutnojvrijednosti koja je uvijek nenegativna.

(M2) Neka je a = b. Tada je d(a, b) = d(a, a) = |a2 a2| = 0. Dakle, drugiuslov pseudometrike vrijedi.

1.2. Pseudometricki prostor

6

b

b

b

b

(a1, a2)

(b1, b2)

d(a, b)

(a1, y)

(b1, y)

d(a, b) = 0

Slika 1.1: Primjer pseudometrike u ravni.

(M3) Simetricnost je zadovoljena jer je d(a, b) = |a2b2| = |b2a2| = d(b, a),za bilo koji izbor elemenata a i b iz R2.

(M4) Nejednakost trougla vrijedi za bilo koje a, b i c iz R2 jer je

d(a, c) = |a2c2| = |a2b2+b2c2| |a2b2|+|b2c2| = d(a, b)+d(b, c).

Prema tome, (R2, d) je pseudometricki prostor.

Primjer 1.5. Neka je X proizvoljan neprazan skup, x0 element iz X , a X

skup svih preslikavanja sa skupa X u skup R, tojest

X = {f | f : X R} .Tada je za proizvoljne f i g iz skupa X, funkcija definisana sa

d(f, g) = |f(x0) g(x0)| , x0 X fiksno, (1.3)pseudometrika na X.Provjerimo je li funkcija d, definisana sa (1.3), zaista pseudometrika.

(M1) Vrijedi da je d(f, g) 0 zbog definicije apsolutne vrijednosti, koja jeuvijek pozitivna.

(M2) Neka je f = g. Tada je f(x) = g(x) za svako x iz X . Kako ovo vrijediza svako x iz X , vrijedi i za x0, pa je f(x0) = g(x0) . Odavde je|f(x0) g(x0)| = 0, tj. d(f, g) = 0.

(M3) Simetricnost je zadovoljena jer je

d(f, g) = |f(x0) g(x0)| = |g(x0) f(x0)| = d(g, f) ,za bilo koji izbor funkcija f i g iz X.

7Metricki prostori

(M4) Posljednji uslov koji treba dokazati vrijedi za sve funkcije f , g i h, kojeslikaju X u R jer je

d(f, h) = |f(x0)h(x0)| |f(x0)g(x0)|+|g(x0)h(x0)| = d(f, g)+d(g, h).

Data funkcija zadovoljava sve uslove iz Definicije 1.2.1, pa je ona pseudome-trika na X.Primjetimo da za definisanu funkciju d nece vrijediti uslovM2. jer iz d(f, g) =0 slijedi da se funkcije f i g poklapaju samo u tacki x0, a ne obavezno i uostalim tackama domena.

1.3 Kvazimetricki prostor

Razdvajajuca prametrika koja zadovoljava nejednakost trougla zove se kva-zimetrika.

Definicija 1.3.1

Neka je X proizvoljan skup. Funkciju d : X X R, koja za bilokakav izbor elemenata x, y i z iz skupa X zadovoljava uslove

(M1) 0 d(x, y) < +,(M2) d(x, y) = 0 x = y,(M4) d(x, z) d(x, y) + d(y, z),nazivamo kvazimetrika, a uredeni par (X, d) nazivamo kvazimetrickiprostor.

Situacije mjerenja rastojanja opisane kvazimetrikom su ceste u realnom svi-jetu. Naime, ako mjerimo razdaljinu vremenom potrebnim da predemo odmjesta do mjesta, tada uslov (M3) ima smisla u mjestima smjestenim uravnicarskim predjelima, ali ako je selo u planinskom predjelu, onda vrijemeza stici od kuce u dnu brda do kuce na vrhu brda nije isto kao od kuce savrha brda do kuce u dnu brda. Isto tako, u gradovima sa sistemima ulicakoje mogu biti i jednosmjerne, rastojanje od ulaza u jednosmjernu ulicu doizlaza iz nje nije isto od izlaza do ulaza, u smislu mogucnosti prolaza krozulicu.

1.3. Kvazimetricki prostor

8

Primjer 1.6. Posmatrajmo skup R. Za proizvoljne elemente a i b iz R de-finisimo funkciju sa

d(a, b) =

{ |a b| za a b1 za a > b

. (1.4)

Tada je d kvazimetrika, a uredeni par (R, d) predstavlja kvazimetricki prostor.Topologija inducirana ovom kvazimetrikom je Sorgenfreyeva prava.Neka su a, b i c proizvoljni elementi iz R. Provjerimo uslove kvazimetrike.

(M1) Iz definicije date funkcije vidimo da je ona uvijek pozitivna.

(M2) Neka je a = b. Onda je d(a, b) = d(a, a) = |a a| = 0.Obrnuto, neka je d(a, b) = 0. Buduci da je d(a, b) 6= 1, to mora bitia b. Slijedi da je za a b, |a b| = 0, odakle je a = b.

(M4) Treba dokazati da vrijedi

d(a, b) d(a, c) + d(c, b). (1.5)

Moguca su tri slucaja:

1. Neka je a > b, tj. a b > 0. S obzirom na to u kojem je polozajuc u odnosu prema a i b postoje tri mogucnosti.

Ako je c < b < a, onda je

d(a, b) d(a, c) + d(c, b) 1 1 + |c b| ,

a kako je uvijek |c b| 0, to je zadovoljena relacija (1.5). Ako je b < c < a, onda je

d(a, b) d(a, c) + d(c, b) 1 1 + 1 ,

sto je uvijek tacno, pa opet vrijedi (1.5).

Ako je b < a < c, onda je

d(a, b) d(a, c) + d(c, b) 1 |a c|+ 1 ,

a kako je |a c| pozitivan broj, to posljednja relacija vrijedi,sto povlaci tacnost relacije (1.5).

Dakle, za a > b vrijedi nejednakost trougla, neovisno o tacki c .

2. Neka je a < b, tj. a b < 0. I u ovom slucaju, s obzirom napolozaj c u odnosu prema a i b, postoje tri mogucnosti.

9Metricki prostori

Neka je a < b < c. Pretpostavimo suprotno, da (1.5) nevrijedi, tj. da je zadovoljena relacija

d(a, b) > d(a, c) + d(c, b).

Na osnovu definicije udaljenosti d je

|a b| > |a c|+ 1.Kako je a < b, a prema tome a b < 0, to je na osnovudefinicije apsolutne vrijednosti |a b| = (a b) = b a;a analogno i |a c| = c a, pa uvrstavanjem dobivenog uprethodnu relaciju imamo, b a > c a + 1, a odavde jeb c > 1, sto je u kontradikciji sa b c < 0 (jer je b < c).Dakle, dosli smo do kontradikcije, pa data pretpostavka nevrijedi, tj. zadovoljena je relacija (1.5).

Neka je a < c < b. Pretpostavimo suprotno, da (1.5) nevrijedi, tj. da je zadovoljena relacija

d(a, b) > d(a, c) + d(c, b) .

Na osnovu definicije udaljenosti d je:

|a b| > |a c|+ |c b|.Odavde, buduci da je |a b| = b a, |a c| = c a i|c b| = b c, vrijedi

b a > c a+ b c 0 > 0 .Ovo je kontradikcija, tako da je nasa pretpostavka netacna,tj. i u ovom slucaju vrijedi nejednakost trougla.

Neka je c < a < b. Pretpostavimo suprotno, da (1.5) nevrijedi, tj. da je zadovoljena relacija

d(a, b) > d(a, c) + d(c, b).

Na osnovu definicije udaljenosti d je |a b| > 1 + |c b|.Buduci da je |a b| = b a i |c b| = b c, vrijedi

b a > 1 + b c c a > 1 .Dobivena nejednakost c a > 1 je u suprotnosti s nejed-nakoscu c a < 0 (koja vrijedi zato sto je c < a).

1.3. Kvazimetricki prostor

10

3. Neka je a = b. Tada je d(a, b) = 0, tako da nejednakost trouglavrijedi.

Ovime su pokazani uslovi definicije 1.3.1, pa je funkcija d kvazimetrika naskupu X .

Primjer 1.7. Posmatrajmo skup N i neka je funkcija q : NN R definisanasa

q(n,m) =

1m

ako n < m0 ako n = m1 ako n > m

za proizvoljan izbor elemenata n im iz N. Definisana funkcija je kvazimetrikana N. Neka su n, m i r proizvoljni elementi iz N. Treba provjeriti jesu lizadovoljeni uslovi iz Definicije 1.3.1.

(M1) Vrijedi da je q(n,m) 0 jer je funkcija q definisana tako da je uvijekpozitivna.

(M2) Neka je n = m. Tada, po definiciji funkcije q, slijedi da je q(n,m) = 0.Obrnuto, neka je q(n,m) = 0. Tada, po definiciji funkcije q, slijedi daje n = m.

(M4) Neka su n, m i r iz N. Treba ispitati u kojim se odnosima mogu naciovi brojevi.

Za n < m < r je q(n,m) = 1m, a q(n, r) + q(r,m) = 1

r+ 1.

Za n < r < m je q(n,m) = 1m, a q(n, r) + q(r,m) = 1

r+ 1

m.

Za m < r < n je q(n,m) = 1, a q(n, r) + q(r,m) = 1 + 1. Za m < n < r je q(n,m) = 1, a q(n, r) + q(r,m) = 1

r+ 1.

Za r < m < n je q(n,m) = 1, a q(n, r) + q(r,m) = 1 + 1m.

Za r < n < m je q(n,m) = 1m, a q(n, r) + q(r,m) = 1 + 1

m.

Prema tome, u svim mogucim slucajevima nejednakost trougla je za-dovoljena.

Kako su zadovoljeni trazeni uslovi iz Definicije 1.3.1, funkcija q je kvazime-trika.

11

Metricki prostori

1.4 Ultrametricki prostor

Semimetrika je, kao sto cemo vidjeti nesto kasnije, funkcija koja zadovoljavavec dovoljno uslova da prirodno odrazava ono sto zelimo nazvati metrickomfunkcijom. Jedan od uslova koji joj fali, a koji se prirodno namece je oso-bina M4.. Ovu posljednju osobinu mozemo modifikovati na razne nacine, ajedan od njih je takav da novodobijenu funkciju nazivamo ultrametrika, kojuponekad zovemo i supermetrika ili nearhimedovska metrika.

Definicija 1.4.1

Neka jeX proizvoljan skup. Funkciju d : XX R, koja za proizvoljnex, y, z X zadovoljava uslove(M1) 0 d(x, y) < +,(M2) d(x, y) = 0 x = y,(M3) d(x, y) = d(y, x),

(M4) d(x, z) max{d(x, y), d(y, z)},nazivamo ultrametrika na skupu X . Uredeni par (X, d) naziva se ultra-metricki prostor.

Po definiciji ultrametrike moze se zakljuciti da je svaki trougao u ultrame-trickom prostoru jednakokraki, tj. za proizvoljne a, b, c X vrijedi d(a, b) =d(b, c) ili d(a, c) = d(b, c) ili d(a, b) = d(a, c).

Primjer 1.8. Neka je X proizvoljan skup. Sa XN (N je skup prirodnih bro-jeva) oznacimo skup nizova elemenata iz X . Neka je za nizove a = (a1, a2, ...)i b = (b1, b2, ...) broj n broj do kojeg se nizovi poklapaju, odnosno a1 =b1, a2 = b2, ..., an = bn, ali an+1 6= bn+1. Neka je n = 0 za a1 6= b1. Uzme lise sve to u obzir, funkcija definirana sa

d(a, b) =

{2k ; (k N) k = min{i N | ai 6= bi}0 ; (k N) ak = bk (1.6)

je ultrametrika na X .Neka su dati nizovi a = (a1, a2, ...), b = (b1, b2, ...) i c = (c1, c2, ...), ciji suelementi iz X . Treba provjeriti vrijede li uslovi iz definicije ultrametrike.

(M1) Vrijedi da je d(a, b) = 2n 0 jer je eksponencijalna funkcija uvijekpozitivna.

1.4. Ultrametricki prostor

12

(M2) Neka je a = b. Tada je a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn, ..., odnosno vrijedi(k N) ak = bk, te je po definiciji d(a, b) = 0.Obrnuto, neka je d(a, b) = 0, onda je a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn, ..., ato znaci da je a = b.

(M3) Ako se a od b razlikuje na n-tom mjestu (d(a, b) = 2n), tada se i b oda razlikuje na istom mjestu (d(b, a) = 2n).

(M 4) Da bi se dokazalo da vrijedi ovaj uslov treba pretpostavit da je d(a, c) =2n, tj. da se nizovi a i c poklapaju u n prvih mjesta. Dakle, neka je

a = (a1, a2, ..., an, an+1, ...) , c = (a1, a2, ..., an, cn+1, ...).

Takode, neka je d(a, b) = 2m. Posmatrat cemo dva slucaja:

Za m < n bit ceb = (a1, a2, ..., am, bm+1, ...bn, ...),

iz cega slijedi da je i d(b, c) = 2m. Kako vrijedi da je m < n, toje i m > n, pa i 2m > 2n, pa na osnovu ovoga u

d(a, c) max{d(a, b), d(b, c)}proizlazi da je

2n max{2m, 2m} , tj. 2n 2m

cime je dokazano da u ovom slucaju vrijedi (M 4).

Neka je sada m n. Tada jeb = (a1, a2, ..., an, an+1, ..., am, bm+1...)

pa je d(b, c) = 2n. Zbog uslova m n vrijedi i 2m 2n, auvrstivsi ove rezultate u (M 4) dobiva se

d(a, c) = 2n = max{2m, 2n} = max{d(a, b), d(b, c)},sto je i trebalo dokazati.

Ako se u gornjem primjeru definise funkcija samo sa d(a, b) = 2n, onda onanije ultrametrika jer nije zadovoljen uslov (M2). Zaista, za a = b ne mozemodobiti d(a, b) = 0 jer eksponencijalna funkcija nikada nije jednaka nuli.Primjer koji slijedi ilustrira primjenu ultrametrike u lingvistici, s obziromna identicnost s prethodnim primjerom necemo ga dokazivati.

13

Metricki prostori

Primjer 1.9. Neka je dat skup rijeci proizvoljne duzine (konacne ili be-skonacne) u nekom alfabetu. Funkciju izmedu dvije razlicite rijeci defini-rajmo sa 2n, gdje je n prvo mjesto u kojem se rijeci razlikuju. Funkcijakoju dobijemo je ultrametrika.

Treba primijetiti da je u Primjeru 1.8 posebno razmatran slucaj kada jed(a, b) = 0, dok je taj dio u Primjeru 1.9 izbjegnut time sto je funkcijadefinisana izmedu razlicitih rijeci.Neke od varijanti zamjene uslova (M4), osim ovoga sa ultrametrikom, su

d(x, y) p(d(x, z) + d(z, y)) , relaksirana nejednakost trougla ,

d(x, y) pmax{d(x, z), d(z, y)} , inframetricka nejednakost .

1.5 Sumarni pregled geneze metrike

Do sad smo uveli definicije raznih funkcija koje zadovoljavaju neke uslove.Prametrika je funkcija definirana tako da zadovoljava samo uslov (M1). Do-davanjem novog uslova (M3), simetricnosti, na vec postojeci, doslo se dodefinicije simetricne prametrike. Dodavanjem uslova (M2) na uslov prame-trike definisana je razdvajajuca prametrika, a uslova (M4) hemimetrika.Dalje, zahtjevom dvaju novih uslova (M2) i (M3) na uslov prametrike dobijase semimetrika, dodavanjem (M3) i (M4) pseudometrika, a (M2) i (M4)kvazimetrika.Radi preglednosti i lakseg uocavanja razlika izmedu navedenih prostora po-smatrat cemo tablicu iz koje mozemo vidjeti koji je od uslova u kojem pros-toru zadovoljen.

Tip (M1) (M2) (M3) (M4)

Prametrika + - - -Razdvajajuca prametrika + + - -Simetricna prametrika + - + -

Hemimetrika + - - +Semimetrika + + + -Pseudometrika + - + +Kvazimetrika + + - +Metrika + + + +

Posljednji red u tablici predstavlja maksimum zahtjeva, ali takode i prirod-nih za intuitivno shvatanje mjerenja rastojanja objekata, te ce o njima biti

1.5. Sumarni pregled geneze metrike

14

rijeci u sljedecem poglavlju. Ultrametrika je zbog svoje posebne prirode uodnosu na metriku izostavljena iz tablice.

2Metricki prostori

2.1 Metrika i metricki prostor . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Ograniceni skupovi u metrickom prostoru . . . . . 28

2.1.2 Topologija metrickih prostora . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3 Ekvivalentnost metrika . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.4 Potprostor metrickog prostora . . . . . . . . . . . 47

2.2 Neprekidna preslikavanja na metrickim prosto-

rima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.1 Opste napomene o preslikavanjima . . . . . . . . . 50

2.2.2 Neprekidnost preslikavanja . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.3 Uniformna i Lipschitz neprekidnost . . . . . . . . . 55

2.3 Konvergencija u metrickim prostorima . . . . . 57

Granicni proces jedan je od najvaznijih pojmova matematicke analize. Fa-kat na kome pociva ovaj pojam jeste da smo u mogucnosti mjeriti rastojanjeizmedu proizvoljne dvije tacke realne prave. Sta vise, veliki broj pojmovaanalize nije vezan za algebarska svojstva skupa nego upravo za koncept uda-ljenosti. Ovo nas navodi na izucavanje skupova u kojima je moguce mjeritirastojanje izmedu tacaka, tj. vodi nas ka konceptu metrickog prostora,fundamentalnog pojma moderne matematike. U svojim radovima iz 1906Frechet 1 koristi pojmove metrike i metrickih prostora, ali formalno uvodenjepojma metrickog prostora je uradio Hausdorff.2

2.1 Metrika i metricki prostor

Iako smo neformalno pojam metrickih prostora uveli u prethodnoj glavi, sadacemo dati i formalno definiciju metrickih prostora.

1Maurice Frechet 1878-1973, francuski matematicar2Felix Hausdorff 1868-1942, njemacki matematicar

15

2.1. Metrika i metricki prostor

16

Definicija 2.1.1

Neka je X proizvoljan neprazan skup. Za funkciju d : X X Rkazemo da je metrika ili metricka funkcija na X , ako zadovoljava sljedecacetiri uslova, za proizvoljne x, y i z iz X :

M1. d(x, y) 0, (nenegativnost)M2. d(x, y) = 0 ako i samo ako x = y, (strogost)

M3. d(x, y) = d(y, x), (simetricnost)

M4. d(x, y) d(x, z) + d(y, z) (nejednakost trougla).Tada kazemo da je skup X snabdjeven metrikom d, a uredeni par (X, d)nazivamo metricki prostor. Elemente skupa X nazivamo tackama, arealan broj d(x, y) nazivamo rastojanjem izmedu tacaka x i y.

Dakle, metricki prostor je uredeni par (X, d), koga cine skup X i na njemuuvedena metrika d. Kratkoce radi, umjesto oznake (X, d), mi cemo za me-tricki prostor skoro uvijek koristiti jednostavno oznaku X , kad god je jasnoo kojoj je metrici rijec.Uslovi M1.-M4. nazivaju se aksiomi metrike, a pojedinacno to su nenega-tivnost (pozitivna definitnost) (M1.), strogost (M2.), simetricnost (M3.) inejednakost trougla (M4.). Uslov (M2.) cesto se naziva i uslov identicnostiili uslov nedegenerisanosti.Ukoliko uslov M2. zamijenimo slabijim uslovom

x = y onda d(x, y) = 0 ,

za d kazemo da je pseudometrika. Ukoliko se iz aksioma ispusti uslov M3.,za d kazemo da je kvazimetrika. Ako uslov M4. zamjenimo sa uslovom

d(x, y) max{d(x, z), d(z, y)} ,

koji je jaci od uslova nejednakosti trougla jer ocigledno vrijedi

max{d(x, z), d(z, y)} d(x, z) + d(z, y) ,

d nazivamo ultrametrikom. Ovime jos jednom potvrdujemo cinjenicu da supojmovi uvedeni u prethodnoj glavi slabiji od uslova za metriku i da je terminpredmetricki prostori opravdan.

17

Metricki prostori

Primjetimo da je uslov (M1) suvisan, tj. da se on moze dobiti iz preostalatri uslova metrike. Zaista, neka su x, y X proizvoljni. Tada vrijedi

0 = d(x, x) d(x, y) + d(x, y) = 2d(x, y) ,

odakle je jasno d(x, y) 0, pa zbog proizvoljnosti izabranih elemenata imamouslov (M1).

Takode je i uslov simetricnosti suvisan. Ako u (M4) umjesto z stavimox, dobijamo nejednakost d(x, y) d(y, x). Ako jos zamjenimo mjesta x i yu nejednakosti trougla i stavimo da je z = y, imamo i nejednakost d(y, x) d(x, y), sto sa prethodnom nejednakoscu daje uslov simetricnosti.

Dakle, metricka funkcija je u sustini opisana samo sa uslovima (M2) i (M4)te zato i nije najispravnije date uslove zvati aksiomama (aksiome morajuzadovoljavati uslov nezavisnosti), ali zbog prirodnosti zahtjeva u definicijimetrike se uobicajeno navode sva cetiri uslova.

Lema 2.1.1

U svakom metrickom prostoru (X, d) vrijedi pravilo mnogougla, tj. zaproizvoljne x1, x2, ..., xn X (n 3), vrijedi

d(x1, xn) d(x1, x2) + d(x2, x3) + + d(xn1, xn) .

Dokaz : Dokaz se izvodi matematickom indukcijom po n N i primjenomuslova (M4).

b

b

b

b

b

b

x1

x2

x3

xn1xn

Slika 2.1: Pravilo mnogougla

Lema 2.1.2

Za proizvoljne tri tacke x, y i z, metrickog prostora (X, d), vrijedi nejed-nakost

|d(x, y) d(y, z)| d(x, z) .

2.1. Metrika i metricki prostor

18

Dokaz : Neka su x, y, z X proizvoljni. Iz uslova nejednakosti trouglaimamo

d(x, y) d(x, z) + d(y, z) ,odakle imamo

d(x, y) d(y, z) d(x, z) . (2.1)Ako u gornjoj nejednakosti izvrsimo zamjenu mjesta elementima x i z dobi-jamo

d(z, y) d(y, x) d(z, x) ,pa mnozeci je sa 1 i koristeci simetricnost metrike imamo nejednakost

d(x, y) d(y, z) d(x, z) . (2.2)Iz (2.1) i (2.2) imamo

d(x, z) d(x, y) d(y, z) d(x, z) ,sto je ekvivalentno sa

|d(x, y) d(y, z)| d(x, z) .

Lema 2.1.3

Za proizvoljne cetiri tacke x, y, z i t, metrickog prostora (X, d), vrijedinejednakost

|d(x, y) d(z, t)| d(x, z) + d(y, t) .

Dokaz : Primjenimo li Lemu 2.1.1 na elemente x, y, z i t imamo

d(x, y) d(x, z) + d(z, t) + d(t, y) ,odakle koristeci osobinu simetricnosti dobijamo

d(x, y) d(z, t) d(x, z) + d(y, t) . (2.3)Analogno vrijedi

d(z, t) d(z, x) + d(x, y) + d(y, t) ,a odavde imamo

(d(x, y) d(z, t)) d(x, z) + d(y, t) . (2.4)Iz (2.3) i (2.4) dobijamo trazenu nejednakost. Prije nego sto navedemo neke znacajnije primjere metrickih prostora, na-vedimo dvije vazne nejednakosti. Za njihovo dokazivanje neophodan nam jesljedeci pomocni stav.

19

Metricki prostori

Lema 2.1.4: Youngova nejednakost

Neka su a, b 0 i neka je za p > 1, broj q odreden tako da vrijedi1p+ 1

q= 1. Tada vrijedi

ab ap

p+bq

q.

Dokaz : Neka je 0 < m < 1. Posmatrajmo funkcije oblika f(x) = xm,definisane za x 0. Kako je f (x) = m(m 1)xm2 0 za svako x 0, toje za proizvoljno 0 < m < 1, funkcija f(x) konveksna na dole, sto geometrijskiznaci da se njen graf nalazi ispod tangente u odgovarajucoj tacki.

b

b

x = 1

1

Slika 2.2: Graf funkcije f(x) = xm sa tangentom u tacki 1.

Jednacina tangenta na posmatranu krivu u tacki x = 1 je y = m(x1)+1,pa na osnovu recenog vrijedi

xm m(x 1) + 1 .

Stavimo li u gornju nejednakost da je x = ap

bqi m = 1

p

a

bq

p

1p

(ap

bq 1

)+ 1 .

Mnozeci posljednju nejednakost sa bq

p+1 imamo

ab apb

q

p+1q

p+

(1 1

p

)b

q

p+1 .

Kako je 1 1p= 1

q, qp+ 1 q = 0 i q

p+ 1 = q, dobijamo trazenu nejednakost.

Pokazuje se da ce u pokazanoj vezi vrijediti jednakost ako i samo ako vrijediap = bq.

2.1. Metrika i metricki prostor

20

Teorem 2.1.1: Nejednakost Holdera a

Neka su ai i bi (i = 1, 2, ..., n) proizvoljni realni ili kompleksni brojevi ineka je za realan broj p > 1, broj q definisan sa 1

p+ 1

q= 1. Tada za svako

n N vrijedi,ni=1

|aibi| (

ni=1

|ai|p) 1

p(

ni=1

|bi|q) 1

q

.

aOtto Holder 1859-1937, njemacki matematicar

Dokaz : Oznacimo sa ai =ai(n

j=1 |aj |p) 1

p

i bi =bi(n

j=1 |bj|q) 1

q

(i = 1, 2, ..., n).

Ocigledno vrijedini=1

|ai|p =ni=1

|bi|q = 1 . (2.5)

Za svako i {1, 2, ..., n}, za brojeve |ai| i |bi| vrijedi Lema 2.1.4, tj.

|aibi| |ai|pp

+|bi|qq

, (2.6)

gdje p i q zadovoljavaju uslove teoreme. Sumiranjem po i = 1, 2, ..., n lijevei desne strane u (2.6), dobijamo

ni=1

|aibi| n

i=1 |ai|pp

+

ni=1 |bi|qq

.

Sada na osnovu (2.5) slijedi

ni=1

|aibi| 1 . (2.7)

S druge strane je

ni=1

|aibi| =n

i=1 |aibi|(nj=1 |aj|p

) 1p(n

j=1 |bj|q) 1

q

. (2.8)

Iz (2.7) i (2.8) imamo trazenu nejednakost. Pozitivni realni brojevi p i q koji zadovoljavaju uslov 1

p+ 1

q= 1, nazivaju

se konjugovani ili spregnuti brojevi, a specijalno ako je p = q = 2, gornjanejednakost se naziva Cauchy-Schwarzova nejednakost.

21

Metricki prostori

Teorem 2.1.2: Nejednakost Minkowskog a

Neka su ai i bi (i = 1, 2, ..., n) proizvoljni realni ili kompleksni brojevi ineka je p 1. Tada za svako n N vrijedi,

(ni=1

|ai + bi|p) 1

p

(

ni=1

|ai|p) 1

p

+

(ni=1

|bi|p) 1

p

.

aHermann Minkowski 1864-1909, njemacki matematicar

Dokaz : Ako je p = 1 nejednakost vrijedi iz uopstene nejednakosti za modul

|a+ b| |a|+ |b| .

Zato pretpostavimo da je p > 1 i neka je broj q odreden tako da bude1p+ 1

q= 1. Tada imamo

ni=1

|ai + bi|p =ni=1

|ai + bi||ai + bi|p1

ni=1

|ai||ai + bi|p1 +ni=1

|bi||ai + bi|p1 .

Primjenjujuci Holderovu nejednakost na obje gornje sume na desnoj straninejednakosti, dobijamo nejdnakost

ni=1

|ai + bi|p ( n

i=1

|ai|p) 1

p

+

(ni=1

|bi|p) 1

p

( n

i=1

|ai + bi|(p1)q) 1

q

.

Dijeleci ovu nejednakost sa izrazom u drugoj zagradi desne strane i koristecicinjenicu da je (p 1)q = p i 1 1

q= 1

p, dobijamo trazenu nejednakost.

Vrijede i opstije tvrdnje od gore navedenih, a odnose se na beskonacnesume.

Teorem 2.1.3

Neka su (an)nN i (bn)nN nizovi realnih ili kompleksnih brojeva, takvi da

su redovi

i=1

|ai|p ii=1

|bi|q konvergentni, za proizvoljno 1 < p < + i

2.1. Metrika i metricki prostor

22

1p+ 1

q= 1. Tada je i red

i=1

|aibi| konvergentan i vrijedi

i=1

|aibi| (

i=1

|ai|p) 1

p(

i=1

|bi|q) 1

q

.

Teorem 2.1.4

Neka su (an)nN i (bn)nN nizovi realnih ili kompleksnih brojeva, takvi da

su redovii=1

|ai|p ii=1

|bi|p konvergentni, za proizvoljno 1 p < +.

Tada je i redi=1

|ai + bi|p konvergentan i vrijedi

( i=1

|ai + bi|p) 1

p

(

i=1

|ai|p) 1

p

+

( i=1

|bi|p) 1

p

.

Obje ove nejednakosti imaju i svoj integralni oblik. Naime, vrijedi

ba

|x(t)y(t)|dt ( b

a

|x(t)|pdt) 1

p( b

a

|y(t)|qdt) 1

q

,

odnosno( ba

|x(t) + y(t)|pdt) 1

p

( b

a

|x(t)|pdt) 1

p

+

( ba

|y(t)|pdt) 1

p

.

Navedimo sada neke znacajnije metricke prostore.

Primjer 2.1. Neka je X proizvoljan skup i neka je za x, y X zadato

d(x, y) =

{0 ; x = y ,1 ; x 6= y .

Funkcija d jeste metrika i (X, d) nazivamo diskretni metricki prostor.

Primjer 2.2. Skup realnih brojeva R sa rastojanjem

d(x, y) = |x y| ; x, y R ,predstavlja dobro nam poznati Euklidov prostor realne prave.

23

Metricki prostori

Primjer 2.3. Sa Rn oznacavamo skup svih uredjenih n-torki realnih brojevax = (x1, x2, ..., xn). Metriku mozemo uvesti sa

1. d2(x, y) =

(ni=1

(xi yi)2) 1

2

.

2. dp(x, y) =

(ni=1

|xi yi|p) 1

p

(p 1).

Specijalno, za p = 1 je d1(x, y) =ni=1

|xi yi|.

3. d(x, y) = max1in

|xi yi|

b

b

(x1, x2)

(y1, y2)

(a) Metrika d2

b

b

(x1, x2)

(y1, y2)

(b) Metrika d1

b

b

(x1, x2)

(y1, y2)

(c) Metrika d

Slika 2.3: Primjeri razlicitih metrika na R2.

Ovim primjerom opravdavamo cinjenicu da je nekada neophodno koristitidefiniciju metrickog prostora kao uredenog para jer kao sto vidimo, na istomskupu se mogu zadati razlicite metrike.

Primjer 2.4. Skup svih konvergentnih nizova oznacavamo sa c, tj.

c ={x = (xn)nN | (n N)xn R(C) , lim

nxn R(C)

},

i ako uvedemod(x, y) = sup

nN|xn yn| ,

gdje su x = (xn)nN i y = (yn)nN proizvoljni nizovi iz c, on postaje metrickiprostor.

2.1. Metrika i metricki prostor

24

Primjer 2.5. Skup svih nula-nizova oznacavamo sa c0, tj.

c0 ={x = (xn)nN | lim

nxn = 0

},

i na njemu mozemo zadati metriku sa

d(x, y) = supnN

|xn yn| ,

gdje su x = (xn)nN, y = (yn)nN c0 proizvoljni.Primjer 2.6. Za proizvoljno 1 p < +, sa lp() ( = R ili = C)oznacavamo skup svih nizova (realnih ili kompleksnih) sumabilnih sa stepe-nom p, tojest

lp() =

{x = (xn)nN |

nN

|xn|p

25

Metricki prostori

Primjer 2.9. Gornji primjer mozemo i dalje generalizovati. Naime, neka jeX neprazan skup i (Y, dY ) metricki prostor. Sa B(X, Y ) oznacavamo skupsvih ogranicenih preslikavanja sa domenom X i kodomenom Y . Metriku naovom skupu mozemo uvesti na sljedeci nacin,

D(f, g) = supxX

dY (f(x), g(x)) ,

gdje su f, g B(X, Y ) proizvoljne. Za ispitivanje osobina metrike, u ovomprimjeru nam treba pojam ogranicenosti skupa, koga cemo nesto kasnijedefinisati.

Primjer 2.10. Za R, sa C() oznacavamo skup svih neprekidnih realnihfunkcija na . Metriku na ovom skupu definisemo sa

d(f, g) = supt

|f(t) g(t)| .

Specijalno, ako je = [a, b] dobijamo prostor neprekidnih funkcija na seg-mentu, C[a, b], na kome je metrika data sa

d(f, g) = maxatb

|f(t) g(t)| .

1

f

g

d(f,g)

Slika 2.4: Uobicajena metrika na C[a, b]

Primjer 2.11. Na skupu C[a, b] metriku mozemo uvesti i sa

d(f, g) =

( ba

|f(t) g(t)|2dt) 1

2

,

i tada imamo prostor neprekidnih funkcija sa tzv. kvadratnom metrikom.

2.1. Metrika i metricki prostor

26

Primjer 2.12. Neka je k N. Sa Ck[a, b] oznacavamo skup svih k-putaneprekidno diferencijabilnih funkcija definisanih na [a, b]. Metriku na ovomskupu uvodimo sa,

d(f, g) = supt[a,b]

max{|f(t) g(t)|, |f (t) g(t)|, . . . , |f (k)(t) g(k)(t)|} ,

gdje su f, g Ck[a, b].

Primjer 2.13. Skup Lebesgue integrabilnih funkcija sa p-tim stepenom (1 p < +) nad oblasti , oznacavamo sa Lp() i metrika je data sa

d(x, y) =

(

|x(t) y(t)|pdt) 1

p

.

Primjer 2.14. Neka je na skupu R2 zadata funkcija

x = (x1, x2), y = (y1, y2) R2 , d(x, y) = |x1 y1| .

Nije tesko provjeriti da funkcija d zadovoljava uslove M1, M3 i M4, ali nei uslov M2. Naime, sve tacke iz R2 sa istim prvim koordinatama imajuudaljenost nula i pri tome ne moraju obavezno biti iste. Dakle d nijemetrika ali je zadovoljen uslov: x = y d(x, y) = 0, pa je (R2, d) primjerpseudometrickog prostora.

Sa pojmom metricke funkcije sada smo u mogucnosti mjeriti i druga rasto-janja.

Definicija 2.1.2

Neka je x tacka metrickog prostora (X, d) i neka je A X . Udaljenosttacke x od skupa A predstavlja

d(x,A) = inf{d(x, y)| y A} .

Gornja definicija je korektna jer ako je A neprazan skup, onda je i skup{d(x, y)| y A} neprazan i ocigledno zbog osobine M1, ogranicen odozdo,pa infimum postoji. Jasno je da ako x A onda je d(x,A) = 0. Medutim,ako je d(x,A) = 0 ne mora biti x A, sto pokazuje primjer x = 0 i A = (0, 1).Ipak vrijedi.

27

Metricki prostori

Lema 2.1.5

Ako je skup A, podskup metrickog prostora (X, d), zatvoren, tada jed(x,A) = 0 ako i samo ako x A.

Lema 2.1.6

Za proizvoljan neprazan podskup A i proizvoljne tacke x i y metrickogprostora (X, d) vrijedi

|d(x,A) d(y, A)| d(x, y) .

Dokaz : Neka je > 0 proizvoljan realan broj. Oznacimo sa a = d(x,A) i sab = d(y, A). Na osnovu definicije infimuma skupa, postoji t A, takav da jed(y, t) b+ . Sada na osnovu Leme 2.1.3, za svako s A imamo

d(x, s) b d(x, s) d(y, t) + d(x, y) + d(s, t) + . (2.9)

Oznacimo sa

M = {d(x, s) b| s A} , N = {d(x, y) + d(s, t) + | s A} .

Jasno je, na osnovu (2.9), da vrijedi infM infN . Ako u 2.9 stavimo s = t,vidimo da je broj d(x, y)+ u skupu N , pa onda vrijedi i infM d(x, y)+.Kako ovo vrijedi za proizvoljno > 0 to onda vrijedi i

a b d(x, y) .

Gornje razmatranje mozemo u potpunosti iskoristiti zamjenjujuci mjestatackama x i y, te vrijedi i ba d(x, y), cime je iskazana tvrdnja dokazana.

Definicija 2.1.3

Neka su A i B neprazni podskupovi metrickog prostora (X, d). Rasto-janje izmedu skupova A i B definisemo sa

d(A,B) = inf{d(x, y)| x A, y B} .

2.1. Metrika i metricki prostor

28

Korektnost i ove definicije objasnjavamo na isti nacin kao maloprije. Ako seskupovi sijeku, jasno je da vrijedi d(A,B) = 0. Medutim, ako je d(A,B) = 0to ne znaci da je presjek skupova neprazan. Naprimjer, ako je A = (0, 1), aB = (1, 2), tada je d(A,B) = 0 i A B = . Ovo nam govori da definisanorastojanje izmedu skupova nije metrika na particiji od X , tj. na gore uvedennacin funkcija d : P(X) P(X) R zadovoljava samo osobine nenegativ-nosti i simetricnosti. Rastojanje izmedu dva skupa mozemo okarakterisati ipreko rastojanja tacke od skupa.

Lema 2.1.7

Neka je X metricki prostor. Za proizvoljne A,B X vrijedi

d(A,B) = infaA

d(a, B) = infbB

d(b, A) .

Dokaz : Neka su a A i b B proizvoljni. Tada vrijedi

d(a, b) infbB

d(a, b) = d(a, B) infaA

d(a, B) .

Odavde onda imamo da je

infaA,bB

d(a, b) = d(A,B) infaA

d(a, B) .

Pretpostavimo da je infaA

d(a, B) < d(A,B). Tada bi morao postojati a A,takav da je d(a, B) < d(A,B). Ovo opet znaci da je inf

bBd(a, b) < d(A,B), pa

bi opet morao postojati b B takav da je d(a, b) < d(A,B), sto je ociglednakontradikcija.

2.1.1 Ograniceni skupovi u metrickom prostoru

Definicija 2.1.4

Za skup A, podskup metrickog prostora (X, d), kazemo da je ogranicenili omeden ako je skup rastojanja medu tackama tog skupa ogranicenskup, tj.

(C > 0)(x, y A) 0 d(x, y) C .Specijalno, ako je A = X kazemo da jeX ogranicen prostor, a za metriku

29

Metricki prostori

kazemo da je ogranicena na X .

Primjer 2.15. Jedinicni krug B = {(x, y) R2|x2 + y2 1} je ogranicenskup u (R2, d2).

b

b

b

X1

X2

1

Kako je za (x1, y1), (x2, y2) R2 rastojanjezadato sa

d((x1, y1), (x2, y2)) =(x1 x2)2 + (y1 y2)2 ,

jasno je da je za proizvoljne dvije tacke iz Bnjihovo rastojanje manje ili jednako precnikukruga, tj.

d((x1, y1), (x2, y2)) 2 .

Primjer 2.16. Na R, funkcija zadata sa d(x, y) = arctg|x y| je metrika(pokazati) i kako je pri tome arctgx < pi

2za proizvoljno x R, prostor R sa

ovom metrikom je ogranicen.

Primjer 2.17. Neka je (X, d) proizvoljan metricki prostor. Funkcija d : X X R, zadata sa

d(x, y) =d(x, y)

d(x, y) + 1, x, y X ,

je metrika na X i pri tome za proizvoljne x, y X ocigledno vrijedid(x, y) 1 ,

te je (X, d) ogranicen prostor.

Definicija 2.1.5

Neka je A podskup metrickog prostora (X, d). Nenegativan broj

diamA = sup{d(x, y)| x, y A} ,

nazivamo dijametrom skupa A.

Jasno je da ako vrijedi diamA = +, da je tada skup A neogranicen, tj.vrijedi

2.1. Metrika i metricki prostor

30

Lema 2.1.8

Skup je ogranicen ako i samo ako mu je dijametar konacan.

Primjer 2.18. U prostoru l2 posmatrajmo skup A = {en | n N}, gdje jee1 = (1, 0, 0, ...) , e2 = (0, 1, 0, ...) , . . . , en = (0, 0, ..., 1

ntomjesto, 0, ...) .

Tada je za proizvoljne n,m N, d(en, em) =2, te je skup A ogranicen i

diamA =2.

Od osobina dijametra spomenimo sljedece dvije.

Teorem 2.1.5

Za proizvoljna dva podskupa A i B metrickog prostora (X, d) vrijedi

1. Ako je A B onda je diamA diamB.2. diam(A B) diamA + diamB + d(A,B).

Dokaz : 1) Ocigledno.2) Kako je

d(A,B) = inf{d(x, y) | x A , y B} ,to za proizvoljno > 0 postoje a A i b B, takvi da je

d(a, b) d(A,B) < .Neka su a A i b B proizvoljni, tada na osnovu relacije mnogougla vrijedid(a, b) d(a, a) + d(a, b) + d(b, b) < diamA+ d(A,B) + diamB + .

Kako je ovo vrijedilo za proizvoljno , zakljucujemo da za sve a A i sveb B vrijedi

d(a, b) diamA+ d(A,B) + diamB .Dakle, velicina diamA+ d(A,B) + diamB je jedno gornje ogranicenje skupa{d(x, y) | x, y A B}, pa vrijedisup{d(x, y) | x, y A B} = diam(A B) diamA + d(A,B) + diamB ,sto je i trebalo dokazati. Sada kao direktnu posljedicu gornjeg tvrdenja imamo sljedece tvrdenje.

31

Metricki prostori

Posljedica 2.1.6. Unija konacno mnogo ogranicenih skupova je ogranicenskup.

Da bi definisali jos jedan pojam vezan za ogranicenost skupova u metrickimprostorima, potreban nam je pojam pokrivaca skupa.

Definicija 2.1.6

Neka je (X, d) metricki prostor. Za familiju {Ai | Ai X , i I}kazemo da je pokrivac skupa X , ako vrijedi X =

iIAi.

Pri tome, ako je skup indeksa I konacan, govorimo o konacnom pokrivacu,odnosno o prebrojivom pokrivacu, ako je I prebrojiv skup.

Primjer 2.19. Familija {(a, b) | a, b R , a < b} je pokrivac skupa R, ali toje i familija {(p, q) | p, q Q , p < q}. Razlika je izmedu ostalog, sto je prvafamilija neprebrojiva, a druga predstavlja prebrojiv pokrivac.

Definicija 2.1.7

Za skup kazemo da je totalno ogranicen ako za svako > 0 postojikonacan pokrivac tog skupa, skupovima ciji je dijametar manji od .

Koristeci cinjenicu da je konacna unija ogranicenih skupova ogranicen skup,trivijalno vrijedi tvrdnja,

Teorem 2.1.7

Svaki totalno ogranicen skup je i ogranicen.

U opstem slucaju obrat ovog tvrdenja ne vrijedi, kao sto to mozemo vidjetina primjeru metrickog prostora (N, d), gdje je d diskretna metrika. Jasno jeda za proizvoljne n,m N vrijedi d(n,m) 1, ali ovaj skup nije totalnoogranicen. Zaista, uzmemo li da je = 1, ne postoji konacno mnogo skupovadijametra (duzine) manje od 1 koji bi pokrili skup N.Medutim, u konacnodimenzionalnim euklidskim prostorima ova dva pojmasu ekvivalentna.

2.1. Metrika i metricki prostor

32

Teorem 2.1.8

Svaki ograniceni podskup euklidskog prostora Rn (n N) je totalnoogranicen skup.

Dokaz : Neka je A R ogranicen skup. Tada je diamA konacan, a time cebiti i diam(A {0}) = d R+. Ako sa Id oznacimo segment [d, d] R,tada jeK =

ni=1

Id n-dimenzionalna kocka u Rn, ciji je centar u koordinatnom

pocetku, a precnik 2d.

x

y

z

Slika 2.5: Podjela kocke.

Neka je a = (a1, a2, ..., an) A proizvoljno, tada za svako i {1, 2, ..., n}vrijedi

|ai| a21 + a

22 + + a2n = d(a, 0) diam(A {0}) = d ,

te je A K. Jasno je sada da ako pokazemo totalnu ogranicenost za K, dace to vrijediti i za skup A.Za proizvoljno > 0 izaberimo k N, tako da je k > d

n

. Podijelimo li

svaki od segmenata Id = [d, d] na 2k jednakih dijelova koji su opet segmenti,oznacimo ih sa

Ii =

[d

k(i 1), d

ki

], i = (k 1),(k 2), ...,1, 0, 1, ..., k 1 ,

dobijamo podjelu velike kocke na sitnije kocke Ki1,i2,...,in = Ii1Ii2 Iin,kojih ukupno ima (2k)n, a koje ujedno predstavljaju konacan pokrivac kocke

33

Metricki prostori

K. Kako je stranica svake male kocke duzine dki kako je

diamKi1,i2,...,in =d

k

n < ,

zakljucujemo da je kocka K totalno ogranicen skup.

2.1.2 Topologija metrickih prostora

Postoje skupovi koji igraju kljucnu ulogu u matematickoj analizi, to su otvo-reni i zatvoreni skupovi. Oni cine topoloske karakteristike bilo kog skupa. Dabi smo izvrsili topologizaciju nekog skupa, moramo odrediti sta ce biti otvo-reni skupovi u njemu tojest, moramo odrediti topologiju na datom skupu.U metrickim prostorima topologizaciju radimo pomocu kugli, i kao sto cemovidjeti, topologija ce biti odredena upravo metrikom datog prostora.

Definicija 2.1.8

Neka je (X, d) metricki prostor. Za proizvoljno a X i za proizvoljnor > 0 skup

B(a, r) = {x X| d(a, x) < r}nazivamo otvorena kugla u X sa centrom u tacki a, poluprecnika r.Skup

K(x, r) = {x X| d(a, x) r}nazivamo zatvorena kugla centra a i poluprecnika r, a skup

S(x, r) = {x X| d(a, x) = r}

nazivamo sfera centra u a, poluprecnika r.

Primjer 2.20. Otvorena kugla B(x0, r) na realnoj pravoj je ogranicen inter-val (x0 r, x0 + r) sa centrom u x0 i duzinom 2r. S druge strane, svakiogranicen otvoren interval (a, b) na realnoj pravoj predstavlja otvorenu ku-

glu B

(a+ b

2,b a2

).

Isto tako, zatvorene kugle na realnoj pravoj su ograniceni segmenti (zatvoreniintervali) koji sadrze vise od jedne tacke.

Primjer 2.21. U R3 sa d2 metrikom centralna kugla poluprecnika R je

B(0, R) = {(x, y, z) R3 | x2 + y2 + z2 < R2} .

2.1. Metrika i metricki prostor

34

Primjer 2.22. U prostoru C[0, 1] sa standardnom metrikom, kugla B(f0, )je skup svih neprekidnih funkcija ciji graf lezi u -pojasu oko grafa funkcijef0.

1

f0

Slika 2.6: Kugla u C[0, 1] sa centrom u f0, poluprecnika .

Definicija 2.1.9

Za skup G podskup metrickog prostora (X, d), kazemo da je otvoren akovrijedi

(x G)( > 0) B(x, ) G .

Drugacije receno, skup G X je otvoren u metrickom prostoru ako semoze prikazati kao unija otvorenih kugli tog prostora. Naravno da je gornjadefinicija u skladu i sa topoloskom karakterizacijom otvorenog skupa kaookoline svake svoje tacke. Pri tome za skup A X kazemo da je okolinatacke x X ako postoji r > 0, tako da je B(x, r) A.Lema 2.1.9

Otvorene kugle u metrickom prostoru imaju sljedece osobine:

1. x B(x, r).2. B(x, r1) B(x, r2) = B(x,min{r1, r2}).3. y B(x, r) B(y, r d(x, y)) B(x, r).4. Otvorena kugla je otvoren skup.

Dokaz :

35

Metricki prostori

1. Neka je B(x, r) proizvoljna kugla u metrickom prostoru. Kako jed(x, x) = 0 < r, prema definiciji kugle x B(x, r).

2. Neka su B(x, r1) i B(x, r2) kugle sa istim centrom i razlicitim polu-precnicima. Ako y B(x, r1) B(x, r2), to je ekvivalentno sa y B(x, r1) i y B(x, r2). Ovo znaci da je d(x, y) < r1 i d(x, y) 0, kugla B(y, rd(x, y)) je dobro definisana. Nekaje sada z B(y, r d(x, y)) proizvoljan. Tada je d(y, z) < r d(x, y),odnosno d(x, y) + d(y, z) < r. Na osnovu nejednakosti trougla imamod(x, z) d(x, y) + d(y, z) < r, te je z B(x, r).

4. Prvo konstatujmo da je B(x, r) 6= jer x B(x, r). Neka je saday B(x, r) proizvoljan. Na osnovu 3. tada imamo B(y, r d(x, y)) B(x, r), te je na osnovu definicije otvorenog skup B(x, r) otvoren skup.

Otvorena i zatvorena kugla kao i sfera definisane su uvedenom metrikom naskupu. To ce naravno diktirati i oblik tih skupova, sto se moze ilustrativnovidjeti na primjeru prostora R2, sa metrikama d1, d2 i d.

X0b

r

(a) Kugla u metrickomprostoru (R2, d2).

(b) Kugla u metrickomprostoru (R2, d).

(c) Kugla u metrickomprostoru (R2, d1)

Teorem 2.1.9

Neka je (X, d) metricki prostor. Kolekcija svih otvorenih podskupovaod X ima sljedece osobine.

1. , X .2. U, V onda U V .

2.1. Metrika i metricki prostor

36

3. (i I)Oi iIOi .

4. (x, y X, x 6= y)(U, V )(x U y V U V = ).

Familija koja zadovoljava osobine 1., 2. i 3. naziva se topologija na X , aako zadovoljava jos i osobinu 4., naziva se Hausdorffova topologija na X .

Primjer 2.23. U R sa euklidskom metrikom, skupovi( 1

n, 1n

)(n N) su

otvoreni skupovi (intervali), a kako su jedini otvoreni skupovi u euklidskojtopologiji na R intervali i njihove unije, to skup

nN

(1n,1

n

)= {0} ,

nije otvoren skup. Ovime potvrdujemo cinjenicu iz 3. Teorem 2.1.9 daproizvoljan presjek otvorenih skupova ne mora biti otvoren skup.

Definicija 2.1.10

Neka je A podskup metrickog prostora (X, d). Za tacku x X kazemoda je unutrasnja tacka skupa A ako postoji > 0 takav da je B(x, ) A.Skup svih unutrasnjih tacaka skupa A nazivamo unutrasnjost (interior)skupa i oznacavamo ga sa Ao.

Primjer 2.24. Nije tesko pokazati da je unutrasnjost skupa [0, 1] R, skup(0, 1). Zaista, neka je x (0, 1). Kako je (0, 1) otvoren skup, postoji > 0takav da (x , x+ ) (0, 1) [0, 1], a to upravo znaci da je x unutrasnjatacka skupa [0, 1].S druge strane, 0 nije unutrasnja tacka skupa [0, 1] jer ne postoji r > 0 takavda (r, r) [0, 1].

U kontekstu unutrasnjosti skupa imamo karakterizaciju otvorenih skupova.

Teorem 2.1.10

Skup u metrickom prostoru je otvoren ako i samo ako su sve njegovetacke unutrasnje tacke tojest, ako i samo ako vrijedi A = Ao.

Neke od osobina untrasnjosti dajemo sljedecim tvrdenjem.

37

Metricki prostori

Teorem 2.1.11

Neka su A,B podskupovi metrickog prostora (X, d). Tada vrijedi:

1. Ao je otvoren skup.

2. Ao A.3. (Ao)o = Ao.

4. Ako je A B, onda je Ao Bo.5. (A B)o = Ao Bo.6. A0 Bo (A B)o.

Definicija 2.1.11

Neka je (X, d) metricki prostor. Tacku x A X nazivamo izolovanomtackom skupa A ako postoji okolina tacke x u kojoj osim tacke x nemadrugih tacaka iz skupa A.

Prostor koji se sastoji samo od izolovanih tacaka (atoma) naziva se diskretniprostor. Neka je (X, d) diskretan metricki prostor i neka je x X proizvoljan.Kako je x izolovana tacka, postoji > 0 takav da je B(x, ) {x}, tojestvrijedi B(x, ) = {x}. Zakljucujemo da su singltoni u diskretnim metrickimprostorima otvoreni skupovi, a samim tim je svaki podskup diskretnog pros-tora otvoren (kao unija svojih singltona). Naprimjer, N kao podprostor odR je diskretan prostor.

Definicija 2.1.12

Tacka x X je tacka nagomilavanja skupa A ako se u svakoj okolinitacke x nalazi bar jedna tacka skupa A razlicita od x.Skup svih tacaka nagomilavanja skupa A nazivamo izvodni skup i oznacavamoga sa A.

Primjer 2.25. 1. Skup A ={1, 1

2, 13, ...}na realnoj pravoj ima tacku 0 kao

tacku nagomilavanja. Sta vise, to je jedina tacka nagomilavanja tojest,A = {0}.

2.1. Metrika i metricki prostor

38

2. Podskup Z skupa R nema niti jednu tacku nagomilavanja, te je Z = .

3. Prema poznatoj teoremi iz matematicke analize, svaki realan broj jetacka nagomilavanja skupa racionalnih brojeva. Dakle Q = R.

4. Za proizvoljan interval (a, b) R, njegove tacke nagomilavanja su svenjegove tacke ukljucujuci i rubne tacke. Sta vise,

(a, b) = (a, b] = [a, b) = [a, b] = [a, b] .

Lema 2.1.10

Neka je (X, d) metricki prostor i A X . Ako je x0 tacka nagomilavanjaskupa A, tada za proizvoljno > 0 kugla B(x0, ) sadrzi beskonacnomnogo elemenata skupa A.

Dokaz : Pretpostavimo da za neko > 0 kugla B(x0, ) sadrzi samo konacnomnogo elemenata skupa A. Neka su to tacke x1, x2, ..., xn razlicite od x0.Oznacimo sa

= min{d(x1, x0), d(x2, x0), ..., d(xn, x0)} .

Tada kugla B(x0, ) ne sadrzi niti jednu tacku skupa A razlicitu od x0, stoje u kontradikciji sa definicijom tacke nagomilavanja.

Definicija 2.1.13

Skup je zatvoren ako je njegov komplement otvoren skup.

U skladu sa definicijom zatvorenih skupova iskazimo dualan stav za Teorem2.1.9.

Teorem 2.1.12

U proizvoljnom metrickom prostoru (X, d) vrijedi

1. , X su zatvoreni skupovi.

2. Ako su F1 i F2 zatvoreni skupovi onda je F1 F2 zatvoren skup.

39

Metricki prostori

3. Presjek proizvoljno mnogo zatvorenih skupova je zatvoren skup.

Primjer 2.26. U R sa euklidskom metrikom, skupovi[0, 1 1

n

](n N) su

zatvoreni skupovi (segmenti). Kako je

nN

[0, 1 1

n

]= [0, 1) ,

i pri tome [0, 1) nije zatvoren skup (u euklidskoj topologiji), potvrdujemocinjenicu iz 2. gornje teoreme da proizvoljna unija zatvorenih skupova nemora biti zatvoren skup.

Lema 2.1.11

Neka je O otvoren skup i F zatvoren skup u X . Tada je skup O \ Fotvoren, a F \O zatvoren skup u X .

Dokaz : Kako vrijedi skupovna jednakost O \ F = (X \ F ) O, kao presjekdva otvorena i O \F je otvoren skup. Analogno iz F \O = (X \O)F , kaopresjek dva zatvorena skupa i skup F \O je zatvoren.

Teorem 2.1.13

Podskup metrickog prostora je zatvoren ako i samo ako sadrzi sve svojetacke nagomilavanja.

Dokaz : Neka je (X, d) metricki porstor i A X . Pretpostavimo da jeA zatvoren. Slucajevi kada je A = i A = X ocigledno zadovoljavajutvrdnju da sadrze sve svoje tacke nagomilavanja. Zato neka je A neprazani razlicit od X . Tada postoji x / A, tojest x Ac, a kako je Ac kaokomplement zatvorenog otvoren skup, to postoji r > 0 tako da je B(x, r) Ac. Medutim, to onda znaci da postoji okolina tacke x koja nema nistazajednicko sa skupom A, te tacka x nije tacka nagomilavanja skupa A. Dakle,proizvoljna tacka iz X \ A nije tacka nagomilavanja skupa A odnosno, skupA sadrzi sve svoje tacke nagomilavanja.Suprotno, neka A sadrzi sve svoje tacke nagomilavanja. Neka je x Acproizvoljna. Tada ona nije tacka nagomilavanja skupa A, pa postoji r > 0,takav da B(x, r)A = . Ovo onda znaci da je B(x, r) Ac te je Ac otvorenskup kao okolina svake svoje tacke. Time je skup A zatvoren skup.

2.1. Metrika i metricki prostor

40

Primjer 2.27. 1. Skup N je zatvoren podskup realne prave.

2. Skup A ={1, 1

2, 13, ...}nije zatvoren u R jer A = {0}, a 0 / A.

Teorem 2.1.14

Zatvorena kugla u metrickom prostoru je zatvoren skup.

Dokaz : Neka je (X, d) metricki prostor i K(x0, r) = {x X | d(x, x0) r}proizvoljna kugla u njemu. Neka je y proizvoljan element iz (K(x0, r))

c. Tadaje d(y, x0) > r, te je r1 = d(y, x0) r > 0. Posmatrajmo sada proizvoljanz B(y, r1). Za njega vrijedi

d(z, x0) d(y, x0) d(y, z) > d(y, x0) r1 = r .

Dakle, z / K(x0, r), ili drugacije receno z (K(x0, r))c. Zakljucujemoda vrijedi B(y, r1) (K(x0, r))c, te je (K(x0, r))c otvoren skup, odnosnoK(x0, r) je zatvoren skup.

Definicija 2.1.14

Neka je (X, d) metricki prostor i neka je A X . Najmanji u smisluinkluzije, zatvoreni skup koji sadrzi skup A, nazivamo zatvorenje iliadherencija skupa A i oznacavamo ga sa A.

Nije tesko vidjeti da vrijedi

A ={F X| F zatvoren i A F} ,

a to je ustvari topoloska definicija zatvorenja skupa.Ranije smo pokazali da je otvorena kugla B(x0, r) otvoren skup, a zatvo-rena kuglaK(x0, r) zatvoren skup u metrickom prostoru. Medutim, u opstemslucaju ne vrijedi B(x0, r) = K(x0, r). Zaista, posmatrajmo proizvoljan ne-prazan skup X snabdjeven diskretnom metrikom d. Tada je za x X ,B(x, 1) = {x} = B(x, 1), ali je K(x, 1) = X . Dakle, zatvorenje otvorenekugle ne mora biti zatvorena kugla.Neke od opstih karakteristika zatvorenja dajemo sljedecim teoremom.

41

Metricki prostori

Lema 2.1.12

Neka su A i B proizvoljni podskupovi metrickog prostora X . Vrijedi,

1. Zatvorenje skupa je zatvoren skup.

2. A A.

3. (A) = A

4. A B A B.5. A B = A B.6. A B A B.

Primjedba 2.1.1. Treba primjetiti da je u 5. gornje teoreme iskazanacinjenica da je zatvorenje konacne unije skupova jednako uniji zatvorenjatih skupova. U opstem slucaju, za beskonacno mnogo skupova, to ne morada vrijedi, sto pokazuje primjer skupa racionalnih brojeva. Naime, vrijediQ = qQ{q}. Kako je {q} = {q} za proizvoljan singlton, to je

qQ{q} = qQ{q} = Q .

S druge strane je Q = R, te je

qQ{q} 6= qQ{q} .

Isto tako, u 6. u opstem slucaju ne vrijedi jednakost sto se vidi iz narednogprimjera.

Q I = = Q I = R R = R .U terminologiji tacaka nagomilavanja, adherencija se moze okarakterisatinarednom tvrdnjom.

Teorem 2.1.15

Neka je A podskup metrickog prostora (X, d). Tada vrijedi

A = A A .

Za proizvoljnu tacku x metrickog prostora (X, d) i njenu proizvoljnu okolinuN , postoji kugla B(x, r) N . Kako za svako r > 0 postoji n N, takav

2.1. Metrika i metricki prostor

42

da je 1n< r, to je onda B(x, 1

n) N . Dakle, familija {B(x, 1

n) | n N} cini

bazni sistem okolina tacke x koji je jos i prebrojiv, te metricki prostor (X, d)zadovoljava prvi aksiom prebrojivosti. Time smo ustvari pokazali sljedecutvrdnju.

Teorem 2.1.16

Svaki metricki prostor zadovoljava prvi aksiom prebrojivosti.

Teorem 2.1.17

U proizvoljnom metrickom prostoru (X, d) jednoclani skupovi su zatvo-reni.

Dokaz : Zaista, neka je x0 X proizvoljan (X neka je bar dvoclan skup).Posmatrajmo skup O = X \ {x0}. Za proizvoljno x O, je x 6= x0, te jer = d(x, x0) > 0. Posmatrajmo sada kuglu B = B(x,

r2). Ocigledno x0 / B

i pri tome je B(x, r2) O. Dakle, za proizvoljno x O, skup O je okolina

tacke x, tj. O je otvoren skup, a time je {x0} zatvoren skup. U opstem slucaju topoloskog prostora, jednoclani skupovi ne moraju bitizatvoreni skupovi. Na osnovu nam dobro poznate klasifikacije, iz gornjegzakljucujemo da je svaki metricki prostor T1-prostor. Medutim, za metrickeprostore vrijedi i jaca osobina.

Teorem 2.1.18

Svaki metricki prostor je T2 prostor.

Dokaz : Podsjetimo se, topoloski prostor je T2 prostor ili Hausdorffov pros-tor, ako se u njemu svake dvije razlicite tacke mogu separisati disjunktnimotvorenim okolinama. Da pokazemo ovu osobinu u metrickim prostorima,dovoljno je uzeti x, y X takve da je x 6= y, a tada je d(x, y) 6= 0, i po-smatrati kugle B

(x, d(x,y)

2

)i B

(y, d(x,y)

2

). Za proizvoljno z B

(x, d(x,y)

2

)vrijedi d(x, z) < d(x,y)

2, pa imamo

d(y, z) |d(x, y) d(x, z)| > d(x, y)2

,

43

Metricki prostori

a ovo ne znaci nista drugo nego da z / B(y, d(x,y)

2

). Zbog proizvoljnosti

elementa z, zakljucujemo da vrijedi

B

(x,d(x, y)

2

)B

(y,d(x, y)

2

)= ,

i pri tome je x B(x, d(x,y)

2

), a y B

(y, d(x,y)

2

).

Koristeci Lemu 2.1.5 i Lemu 2.1.6 pokazuje se da za metricke prostore cakvrijedi i osobina normalnosti (svaka dva zatvorena disjunktna skupa se moguseparisati otvorenim disjunktnim okolinama tih skupova), sto zajedno sa oso-binom T1 govori da je svaki metricki prostor T4 prostor.

2.1.3 Ekvivalentnost metrika

Otvorene skupove u metrickom prostoru smo uveli koristeci pojam otvo-rene kugle, koji je metricki pojam, pa zato kazemo da je ta topologija nametrickom prostoru indukovana metrikom tog prostora. Kako metrika nanekom skupu mozemo definisati raznih, postavlja se pitanje kakve su tadaveze izmedu odgovarajucih topologija?

Definicija 2.1.15

Neka su d1 i d2 dvije metrike definisane na X . Kazemo da su ove metriketopoloski ekvivalentne i pisemo d1 d2, ako se topoloske struktureindukovane tim metrikama podudaraju, tj. ako za topologiju 1 na(X, d1) i topologiju 2 na (X, d2) vrijedi 1 = 2.

Teorem 2.1.19

Metrike d1 i d2 definisane na X su topoloski ekvivalentne ako i samo akoza svako x X i za svaku kuglu B1(x, r1) u metrici d1, postoji kuglaB2(x, r2) u metrici d2, tako da je B2(x, r2) B1(x, r1) i obrnuto, ako zasvaku kuglu B2(x, r2) u metrici d2, postoji kugla B1(x, r1) u metrici d1,tako da je B1(x, r1) B2(x, r2).

Dokaz : Neka su na X definisane dvije metrike za koje je d1 d2 i neka je zax X , B1(x, r1) proizvoljna otvorena kugla. Tada je B1(x, r1) otvoren skupu topologiji 1, a zbog topoloske ekvivalentnosti metrika, ona je otvoren skupi u topologiji 2. Na osnovu Definicije 2.1.9 onda postoji kugla B2(x, r2),

2.1. Metrika i metricki prostor

44

takva da je B2(x, r2) B1(x, r1). Analogno se pokazuje da za kuglu B2(x, r1)u metrici d2, postoji kugla B1(x, r1) u metrici d1, tako da je B2(x, r2) B1(x, r1).Za dokaz obratnog smjera, neka za svaku kuglu u metrici d1 postoji kuglau metrici d2, koja je sadrzana u njoj i obrnuto. Neka je O 1 proizvoljanotvoren skup u metrickom prostoru (X, d1). Tada prema Definiciji 2.1.9,postoji otvorena kugla B1(x, r1), takva da je x B1(x, r1), za svako x O.Prema pretpostavci onda postoji i kugla B2(x, r2) u metrici d2, takva da jex B2(x, r2) B1(x, r1) O, pa zakljucujemo da je skup O otvoren i utopologiji 2, sto znaci da je 1 2. Na identican nacin se pokazuje davrijedi i obratna inkluzija 2 1, sto daje jednakost topologija, a time itopolosku ekvivalentnost posmatranih metrika.

Teorem 2.1.20

Neka su (X, d1) i (X, d2) metricki prostori. Ako postoje konstante C1 > 0i C2 > 0, takve da je za sve x, y X zadovoljeno

d1(x, y) C1d2(x, y) i d2(x, y) C2d1(x, y) ,

tada su metrike d1 i d2 topoloski ekvivalentne.

Dokaz : Neka je B1(x0, r) proizvoljna kugla u (X, d1). Posmatrajmo kuglu

B2

(x0,

r

C1

)=

{x X | d2(x0, x) < r

C1

}.

Neka je x B2(x0,

rC1

)proizvoljan. Tada je d2(x0, x) 0)(x, y X) d1(x, y) C1d2(x, y) d2(x, y) C2d1(x, y) ,kazemo da su uniformno ekvivalentne. Takode, iz gornjeg tvrdenja vidimoda ako su metrike uniformno ekvivalentne da su one tada i topoloski ekviva-lentne.

45

Metricki prostori

Na osnovu gornjeg kriterija sada mozemo pokazati ekvivalentnost ranijepomenutih metrika d1, d2 i d na Rn (n N).

b b

b

(x1, y1)

(x2, y2)Neka je n = 2, tada su spomenute metrike

d1((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 x2|+ |y1 y2| ,

d2((x1, y1), (x2, y2)) =(x1 x2)2 + (y1 y2)2 ,

d((x1, y1), (x2, y2)) = max{|x1x2|, |y1y2|} .

Ocigledno je d1 rastojanje zbir kateta formiranog trougla, d je duza odtih kateta, a d2 je hipotenuza tog trougla (Euklidsko rastojanje). Pri tomevrijedi

d((x1, y1), (x2, y2)) 1 d1((x1, y1), (x2, y2))i

d1((x1, y1), (x2, y2)) 2d((x1, y1), (x2, y2)) ,sto prema gornjoj teoremi znaci da su d1 i d metrike topoloski ekvivalentne.Takode je jasno da vrijedi

d(x1, y1), (x2, y2) 1 d2(x1, y1), (x2, y2)

i

d2(x1, y1), (x2, y2) 2d(x1, y1), (x2, y2) ,

tj. i metrike d2 i d su topoloski ekvivalentne. Nije tesko vidjeti da je rela-cija biti topoloski ekvivalentan relacija ekvivalencije, te su sve tri metriketopoloski ekvivalentne.U opstem slucaju za n N vrijede nejednakosti

d d2 n d ,

d d1 n d ,d2 d1

n d2 ,

Teorem 2.1.21

Za svaku metriku d na X , postoji njoj topoloski ekvivalentna metrika ukojoj je X ogranicen skup.

2.1. Metrika i metricki prostor

46

Dokaz : Neka je (X, d) metricki prostor. Posmatrajmo funkciju d : XX R, zadatu sa

x, y X , d(x, y) = d(x, y)1 + d(x, y)

.

Pokazimo da je d takode metrika na X . Za proizvoljne x, y X je ociglednod(x, y) = d(x,y)

1+d(x,y) 0 jer je d metrika, pa je zadovoljen uslov (M1).

Neka je d(x, y) = 0. Na osnovu definicije funkcije d, to je ekvivalentnosa cinjenicom da je d(x, y) = 0, a opet zbog toga sto je d metrika, to jeekvivalentno sa time da je x = y, sto je uslov (M2).Simetricnost (uslov (M3)) se takode ima trivijalno jer

d(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)=

d(y, x)

1 + d(y, x)= d(y, x) .

Za dokaz nejednakosti trougla (uslov (M4)), posmatrajmo prvo funkciju f :R {0} R {0}, f(x) = x

1+x. Kako je f (x) = 1

(1+x)2, zakljucujemo da je

f (x) 0, za sve x R {0}, pa je funkcija f rastuca na citavom domenu.Odatle zakljucujemo da za proizvoljne x, y X vrijedi

f(x+ y) f(x) + f(y) .

Neka su sada x, y, z X proizvoljni. Tada imamo

d(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y) d(x, z) + d(z, y)

1 + d(x, z) + d(z, y) d(x, z)

1 + d(x, z)+

d(z, y)

1 + d(z, y),

odakle je d(x, y) = d(x, z) + d(z, y), tj. vrijedi nejednakost trougla.Kako za proizvoljne x, y X vrijedi

d(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y) 1 ,

zakljucujemo da je X ogranicen, odnosno d je ogranicena metrika.Za proizvoljne x X i r > 0 oznacimo sa Bd(x, r) kuglu u metrickom pros-toru (X, d). Kako je ocigledno zadovoljena nejednakost d(x, y) d(x, y),za proizvoljne x, y X , to na osnovu pokazanog u dokazu prethodne te-oreme, postoji kugla Bd(x, r), takva da je Bd(x, r) Bd(x, r).S druge strane, za proizvoljnu kuglu Bd(x, r) u (X, d), lahko se pokazuje dakugla Bd(x,

r1+r

), zadovoljava uslov Bd(x,r

1+r) Bd(x, r). Na osnovu svega

ovoga zakljucujemo da su topologije indukovane ovim metrikama, jednake.

47

Metricki prostori

Primjedba 2.1.2. Primjetimo da ce i funkcija d(x, y) = min{1, d(x, y)}zadovoljiti sve osobine koje zadovoljava i funkcija d konstruisana u dokazuove teoreme.Metriku u kojoj je prostor ogranicen nazivamo ogranicena metrika.

Teorem 2.1.22

Neka su d1 ogranicena i d2 neogranicena metrika na X . Tada ove dvijemetrike nisu uniformno ekvivalentne.

Dokaz : Neka je d1 oogranicena, a d2 neogranicena metrika na nepraznomskupu X . Tada postoji > 0, takav da je

(x, y X) d1(x, y) M .S druge strane, kako metrika d2 nije ogranicena, za svako > 0 postojat cex, y X , takvi da vrijedi d2(x, y) > .Ako bi ove dvije metrike bile uniformno ekvivalentne, morao bi postojatipozitivan realan broj C takav da bi vrijedilo

d2(x, y) Cd1(x, y) ,za sve x, y X . Ako stavimo = CM onda bi moralo vrijediti

d2(x, y) > ,

za neke x, y X , ali istovremeno id2(x, y) Cd1(x, y) < CM = ,

sto je ocigledno nemoguce. Sta vise, moze se pokazati da uniformno ekvivalentne metrike definisane naistom skupu, moraju biti istovremeno ili ogranicene ili neogranicene. Kao stosmo primjetili, uniformno ekvivalentne metrike su i topoloski ekvivalentne.Medutim, u opstem slucaju obrat ne vrijedi. Naime, u Teoremu 2.1.21 me-trika d i konstruisana metrika d jesu topoloski ekvivalentne, ali na osnovuTeorema 2.1.22 jasno je da one ne mogu biti uniformno ekvivalentne.

2.1.4 Potprostor metrickog prostora

Neka je sada (X, d) proizvoljan metricki prostor i neka je Y X . Kakod : X X R, mozemo posmatrati njenu restrikciju d|YY kao restrikcijufunkcije na podskup, koja tada ocigledno predstavlja metriku na skupu Y .Ovo cemo formalizovati sljedecom definicijom.

2.1. Metrika i metricki prostor

48

Definicija 2.1.16

Neka je (X, d) metricki prostor i Y X . Definisimo funkciju dY :Y Y R sa

x, y Y , dY (x, y) = d(x, y) .Tada je dY metricka funkcija indukovana metrikom d, a uredeni par(Y, dY ) nazivamo metrickim potprostorom prostora (X, d).

Ocigledno, funkcija dY iz gornje definicije predstavlja restrikciju funkcije dna skup Y Y X X .Primjer 2.28. Segment [0, 1] shvatamo kao potprostor realne prave, prihva-tajuci da je rastojanje za dva elementa x, y [0, 1] zadato sa d(x, y) = |xy|,tj. preuzimajuci metriku iz nadredenog prostora.

Primjer 2.29. Kako je svaka neprekidna funkcija na [a, b] R i ogranicena,metriku na C[a, b] takode preuzimamo iz B[a, b], pa kazemo da je C[a, b]potprostor od B[a, b].Kako je C1[a, b] C[a, b], metriku mozemo preuzeti, ali kako se pokazuje,bolja metrika na C1[a, b] je zadata sa

dC1(f, g) = d(f, g) + d(f, g) ,

gdje je d metrika na C[a, b].

Topologija na potprostoru, indukovana dobijenom indukovanom metrikom,okarakterisana je na sljedeci nacin.

Teorem 2.1.23

Neka je (Y, dY ) potprostor metrickog prostora (X, d).

1. Skup O Y je otvoren u prostoru Y ako i samo ako postoji skupU X otvoren u X , tako da je O = U Y .

2. Skup V Y je zatvoren u prostoru Y ako i samo ako postoji skupF X zatvoren u X , tako da je V = F Y .

Dokaz : 1. (=)Neka je V Y otvoren u Y . Tada prema karakterizaciji otvorenih skupova,za svaki x V , postoji kugla BY (x, rx) takva da je x BY (x, rx) V .

49

Metricki prostori

Promatrajmo kuglu BX(x, rx) s istim sredistem i radijusom, ali u prostoruX . Ocito vrijedi BY (x, rx) = BX(x, rx) Y . Ali skup U =

xV BX(x, rx)

je otvoren u X (kao unija kugli u X), pa je

U Y =(

xVBX(x, rx)

)Y

=xV

(BX(x, rx) Y )

=xV

BY (x, rx) = V .

(=)Neka je V Y , i U X otvoren skup u X takav da je V = UY . Tvrdimoda je V otvoren skup u Y . Kako je V U , za svaki x V postoji kuglaB(x, rx) takva da je x B(x, rx) U . Tada je x B(x, rx)Y UY = V .Medutim, B(x, rx) Y = BY (x, rx), dakle je x BY (x, rx) V , pa je Votvoren u Y .Dokaz tvrdenja 2. je ostavljen za vjezbu. U skladu sa gornjim tvrdenjem, odnosno sa karakterizacijom otvorenih sku-pova na potprostoru metrickog prostora, dajemo sljedecu karakterizaciju ku-gle na potprostoru.

Lema 2.1.13

Neka je (X, d) metricki prostor i (Y, dY ) njegov potprostor. Za pro-izvoljno y0 Y i r > 0 vrijedi

BY (y0, r) = BX(y0, r) Y ,

gdje je BY (y0, r) otvorena kugla u Y sa centrom u y0, poluprecnika r, aBX(y0, r) otvorena kugla u X sa centrom u y0, poluprecnika r.

Primjer 2.30. Ako posmatramo [0, 1] kao potprostor od euklidskog prostoraR, prema gornjoj lemi vrijedi

B[0,1](0, 1) = BR(0, 1) [0, 1] = (1, 1) [0, 1] = [0, 1) ,dok je

B[0,1]

(1

2,1

3

)= BR

(1

2,1

3

) [0, 1] =

(1

6,5

6

).

2.2. Neprekidna preslikavanja na metrickim prostorima

50

Teorem 2.1.24

Neka je (Y, dY ) potprostor metrickog prostora (X, d).

1. Svaki podskup od Y koji je otvoren u Y , otvoren je u X ako i samoako je Y otvoren u X .

2. Svaki podskup od Y koji je zatvoren u Y , zatvoren je u X ako isamo ako je Y zatvoren u X .

Dokaz : 1. Neka je svaki otvoren skup u Y otvoren i u X . Kako je svakiprostor otvoren skup u sebi, to je Y otvoren u Y , a onda je otvoren i u X .Neka je sada Y otvoren u X i neka je O proizvoljan otvoren skup u Y . Tadamora postojati otvoren skup U u X , takav da je O = U Y . Kako su i U iY otvoreni u X i O X , to je i O kao presjek otvorenih skupova, otvorenskup u XDokaz pod 2. ostavljen je za vjezbu.

2.2 Neprekidna preslikavanja na metrickim

prostorima

2.2.1 Opste napomene o preslikavanjima

Prije nego uvedemo pojam neprekidnosti preslikavanja na metrickim prosto-rima, podsjetimo se neke opste terminologije preslikavanja.

Definicija 2.2.1

Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Pod preslikavanjem skupa X u skupY podrazumijevamo proizvoljno pravilo ili zakon f kojim elementimaskupa X pridruzujemo elemente skupa Y . Ukoliko svakom elementuskupa X pridruzujemo najvise jedan element skupa Y , za preslikava-nje kazemo da je jednoznacno, u suprotnom kazemo da je preslikavanjeviseznacno.

Ukoliko je E X i F Y , slikom skupa E u preslikavanju f podrazumi-jevamo skup

f(E) = {f(x) | x E} = {y Y | (x E) y = f(x)} .

51

Metricki prostori

Predslika skupa F u preslikavanju f je skup

f1(F ) = {x X | f(x) F} ,

pri cemu ovdje ni u kom slucaju ne podrazumijevamo postojanje inverznogpreslikavanja, vec samo uvodimo notaciju za one elemente skupa X cija jeslika u skupu F .

Definicija 2.2.2

Neka su X i Y proizvoljni skupovi i f : X Y .Za preslikavanje f kazemo da je surjektivno ili da je surjekcija ako jef(X) = Y , tj. ako je svaki element skupa Y slika bar jednog elementaskupa X .Za preslikavanje f kazemo da je injektivno ili da je injekcija ako za pro-izvoljne x1, x2 X , takve da je x1 6= x2, vrijedi f(x1) 6= f(x2), tj. akose razliciti elementi domena preslikavaju u razlicite elemente kodomena.Za prelikavanje f kazemo da je bijektivno ili da je bijekcija ako je isto-vremeno i injektivno i surjektivno.

Preslikavanje idX : X X , zadato sa idX(x) = x za x X , naziva seidenticko preslikavanje i primjer je bijektivnog preslikavanja, a preslikavanjei : X Y gdje je X Y , zadato sa i(x) = x za x X , naziva se inkluzija iprimjer je injektivnog, ali ne i surjektivnog preslikavanja.

Definicija 2.2.3

Neka su X i Y proizvoljni skupovi i f : X Y jednoznacno preslikava-nje. Kazemo da je preslikavanje g inverzno preslikavanje preslikavanjaf ako g : Y X i za sve x X i y Y vrijedi

f(g(y)) = y i g(f(x)) = x ,

tj. f g = idY i g f = idX .

Teorem 2.2.1

Preslikavanje f : X Y ima inverzno preslikavanje ako i samo ako je fbijekcija. U tom slucaju je inverzna funkcija jedinstvena i oznacavamoje sa f1, koja je i sama bijekcija.

2.2. Neprekidna preslikavanja na metrickim prostorima

52

2.2.2 Neprekidnost preslikavanja

Definicija 2.2.4

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori. Za preslikavanje f : X Ykazemo da je neprekidno u tacki x0 X ako

( > 0)( > 0)(x X)(dX(x0, x) < dY (f(x0), f(x)) < ) .

Preslikavanje je neprekidno naX ako je neprekidno u svakoj tacki x X .

Ako u gornjoj definiciji uzmemo da su X = Y = R, dobijamo poznatu namdefiniciju neprekidnosti realne funkcije realne promjenljive,

( > 0)( > 0)(x X)(|x x0| < |f(x) f(x0)| < ) .

Primjer 2.31. Posmatrajmo preslikavanje A : C[0, 1] C[0, 1], definisano sa

Af(x) =

x0

f(t)dt ,

gdje je C[0, 1] prostor neprekidnih funkcija definisanih na [0, 1] sa standard-nom metrikom. Za proizvoljne f, g C[0, 1] i proizvoljno x [0, 1] vrijedi,

|f(x) g(x)| = x0

f(t)dt x0

g(t)dt

x0

|f(t) g(t)|dt

x0

maxt[0,1]

|f(t) g(t)|dt

= d(f, g)

x0

dt d(f, g) .

Dakle,d(Af,Ag) = max

x[0,1]|Af(x) Ag(x)| d(f, g) ,

pa je za proizvoljno > 0 dovoljno izabrati = , za koga ce onda vrijeditida kad god je d(f, g) < , onda je d(Af,Ag) < , te je preslikavanje Aneprekidno na C[0, 1].

53

Metricki prostori

Teorem 2.2.2

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . Sljedecatvrdenja su ekvivalentna.

1. f je neprekidna na X .

2. (x X)( > 0)( > 0) f(B(x, )) B(f(x), ).3. Za svaki otvoreni skup V Y je f1(V ) otvoren skup u X .

Dokaz : (1. 2.)Neka je f neprekidna funkcija. Neka je x0 X proizvoljan. Tada vrijedi

( > 0)( > 0) (d(x, x0) < d(f(x), f(x0)) < ) .Drugacije receno, vrijedi

( > 0)( > 0) (x B(x0, ) f(x) B(f(x0), )) ,odnosno

( > 0)( > 0) (f(x) f (B(x0, )) f(x) B(f(x0), ) ,ili u skupovnom obliku ovo znaci

f (B(x0, ))) B(f(x0), ) .(2. 3.)Neka vrijedi iskaz 2. i neka je V proizvoljan neprazan otvoren skup u Y .Neka je x f1(V ) proizvoljan. To znaci da je f(x) V , a zbog otvorenostiskupa V , postoji > 0, takav da je B(f(x), ) V . Na osnovu 2., za takav postoji > 0, tako da vrijedi

f(B(x, )) B(f(x), ) V .Primjenimo li poznate nam stvari iz preslikavanja, imamo

B(x, ) f1 f(B(x, )) f1(V ) .Dakle za proizvoljan x f1(V ), postoji kugla B(x, ) f1(V ), pa jef1(V ) otvoren skup.(3. 2.)Neka su x X i > 0 proizvoljni. Tada je B(f(x), ) otvoren skup i

2.2. Neprekidna preslikavanja na metrickim prostorima

54

f(x) B(f(x), ). Na osnovu 3. je onda i f1 (B(f(x), )) otvoren skup.Osim toga je x = f1 f(x) f1 (B(f(x), )), pa zbog otvorenosti, postoji > 0, takav da je B(x, ) f1 (B(f(x), )). Iz posljednjeg onda imamo

( > 0)( > 0)f(B(x, )) B(f(x), ) .

Gornjom teoremom dajemo jednu karakterizaciju neprekidnosti preslikava-nja, a treba se prisjetiti da smo u opstoj topologiji upravo iskazom 3. defi-nisali ovaj pojam. Zbog bogatije strukture metrickih prostora u odnosu natopoloske prostore, i definiciju neprekidnosti smo prilagodili toj cinjenici, sciljem lakseg ispitivanja te osobine.

Primjer 2.32. Neka je (X, dX) diskretan metricki prostor i (Y, dY ) proizvoljanmetricki prostor. Tada je svako preslikavanje f : X Y neprekidno. Zaista,neka je x0 X proizvoljno. Za > 0 neka je < 1. Tada je BX(x0, ) ={x0}, a onda je

f(BX(x0, )) = {f(x0)} BY (f(x0), ) ,

sto prema 2. gornje teoreme znaci neprekidnost preslikavanja f .

Naravno da karakterizacija pojma neprekidnosti ima raznih. Ovdje cemospomenuti jos dvije, a dokaze tih cinjenica ostavljamo citaocu za vjezbu.

Teorem 2.2.3

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . f je neprekidnopreslikavanje ako i samo ako za proizvoljan zatvoren skup F Y , jef1(F ) zatvoren skup u X .

Teorem 2.2.4

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . f je neprekidnopreslikavanje ako i samo ako za proizvoljan skup A X vrijedi f(A) f(A).

Konstrukciju novih neprekidnih funkcija pomocu dati neprekidnih funkcijadobijamo na osnovu sljedeca dva tvrdenja.

55

Metricki prostori

Teorem 2.2.5

Neka su f, g : X Y neprekidna preslikavanja i neka je a R, tada sui preslikavanja a f , f g i f g neprekidna preslikavanja.

Teorem 2.2.6

Kompozicija neprekidnih preslikavanja je neprekidno preslikavanje.

Uobicajeno sa C(X) obiljezavamo skup svih neprekidnih realnih funkcijadefinisanih na X , gdje je X metricki prostor. Takode dogovorno umjestoC([a, b]) pisemo jednostavno C[a, b], za skup svih neprekidnih funkcija defi-nisanih na segmentu [a, b].

2.2.3 Uniformna i Lipschitz neprekidnost

Uvedimo jos jedan pojam vezan za metricke prostore, ali i u cvrstoj vezi saneprekidnoscu preslikavanja.

Definicija 2.2.5

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . Za preslikavanjef kazemo da je uniformno (ravnomjerno) neprekidno ako za svako > 0postoji > 0, tako da za sve x X vrijedi f(BX(x, )) BY (f(x), ).

Gornju definiciju smo mogli iskazati i uslovom

( > 0)( > 0)(x, y X)(dX(x, y) < dY (f(x), f(y)) < ) .

Ocigledno da fiksiranjem jedne velicine u uslovu (x, y X) dobijamo uslovneprekidnosti preslikavanja f , tj. uniformno neprekidno preslikavanje je ineprekidno, dok obrat u opstem slucaju ne vazi.Zaista, posmatrajmo preslikavanje f(x) = 1

xna (0,+). Neprekidnost po-

smatrane funkcije se ima iz sljedeceg rasudivanja. Neka su x0 (0,+) i > 0 proizvoljni. Stavimo da je a = x0

2i oznacimo sa = min{x0 a, a2}.

Za proizvoljan x (0,+), takav da je |x x0| < , je ocigledno x x0 |xx0| < x0 a, iz cega zakljucujemo da je a < x, a time je a2 < xx0. Sadaimamo 1x 1x0

= |x0 x|xx0 < a2 a2

a2= .

2.2. Neprekidna preslikavanja na metrickim prostorima

56

Dakle, f je neprekidna u x0. Pokazimo da f nije uniformno neprekidna na(0,+).Neka je = 1 i neka je > 0 proizvoljan. Izaberimo x0 = min{, 1} i neka jex = x0

2. Tada je |x x0| = x02 2 < , ali1x 1x0

= 1x0 1 = .Razlika pojmova neprekidnosti i uniformne neprekidnosti je ta sto u pojmuneprekidnosti funkcije, postojeci ovisi o proizvoljno izabranom , ali i otacki u kojoj posmatramo neprekidnost, dok kod uniformne neprekidnostinjegov izbor ovisi samo o .Pored navedena (standardna) dva pojma neprekidnosti preslikavanja, spome-nimo i treci koji se cesto susrece u funkcionalnoj analizi.

Definicija 2.2.6

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . Za preslikavanjef kazemo da je Lipschitz neprekidno sa X u Y ako postoji konstantaC > 0 takva da za sve x, y X vrijedi

dY (f(x), f(y)) CdX(x, y) .

Iz definicije je jasno da je C konstanta, koju nazivamo Lipschitzova konstanta,i ne smije ovisiti o izboru x, y X . Time je ocigledno da je svaka Lipschitzneprekidna funkcija i uniformno neprekidna, dok obrat u opstem slucaju nevazi.

Posmatrajmo ponovo funkciju f(x) =1

x, ali sada na intervalu (a,+), gdje

je a > 0. Za proizvoljne x1, x2 (a,+), na osnovu Lagrangeove teoremepostoji c izmedu x1 i x2 takav da je

1

x1 1x2

= 1c2(x1 x2) .

Izbor broja c nam garantuje da on pripada intervalu (a,+), te vrijedic2 > a2, a tada je 1x 1x0

1a2 |x1 x2| .Gornja nejednakost nam govori da za proizvoljno izabrano > 0, dovoljno jeizabrati = a2 iz cega se onda zakljucuje uniformna neprekidnost funkcijef na (a,+). Medutim, iz posljednje nejednakosti zakljucujemo i da Lipsc-hitzova konstanta M = 1

a2ocigledno ovisi o posmatranom intervalu (a,+),

57

Metricki prostori

a samim tim i o izboru elemenata x1 i x2, te ova funkcija nije Lipschitzneprekidna na (a,+).Primjer 2.33. Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori. Svako konstantnopreslikavanje sa X u Y je Lipschitz neprekidno, a takvo je i identicko presli-kavanje sa X u X .

Definicija 2.2.7

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . Za preslikavanjef kazemo da je izometrija iz X u Y ako vrijedi

(x, x X) dY (f(x), f(x)) = dX(x, x) .

Ako postoji izometrija iz X u Y , kazemo da se X moze izometricki smjestitiili uloziti u Y . Sa stanovista teorije metrickih prostora, tj. ako nas interesujesamo odnos izmedu objekata (udaljenost), a ne i vrsta objekata, onda nepravimo razliku izmedu prostora X i njegove izometricke slike f(X) Y iprosto pisemo X Y , a citamo X je izometricki ulozen u Y . Primjetimoda je svaka izometrija automatski injektivno preslikavanje. Ako je izometrijai surjektivna, onda kazemo da su prostori izometricni i pisemo X = Y (nepodrazumijevamo skupovnu jednakost).Osim toga je svaka izometrija i Lipschitz neprekidno preslikavanje (Lipschit-zova konstanta je 1).

2.3 Konvergencija u metrickim prostorima

Definicija 2.3.1

Neka je (X, d) metricki prostor. Za niz (xn)nN X kazemo da konver-gira ka x0 X , ako vrijedi

d(xn, x0) 0 , (n) .

Cinjenicu da niz (xn)nN konvergira ka tacki x0, uobicajeno zapisujemo sa

xn x0 (n) ili limn

xn = x0 .

Gore definisanu konvergenciju nazivamo konvergencija po metrici jer kao stocemo vidjeti, izucavat cemo i neke druge vrste konvergencija.

2.3. Konvergencija u metrickim prostorima

58

Primjer 2.34. Primjetimo da ce u metrickom prostoru sa diskretnom metri-kom konvergentni nizovi biti samo oni nizovi koji su pocev od nekog indeksakonstantni nizovi.

Primjer 2.35. Posmatrajmo prostor C[1, 2] sa standardnom maksimum

metrikom. Njemu pripadaju funkcije fn(x) = (1 + xn)

1

n (n N) i f(x) = x.Za proizvoljno x [1, 2] i proizvoljno n N vrijedi,0 fn(x)f(x) = (1+xn) 1n x (xn+xn) 1n x = x( n

21) 2( n

21) .

Dakle,

d(fn, f) = maxx[1,2]

|fn(x) f(x)| 2( n2 1) 0 , (n) ,

sto znaci da je niz (fn)nN konvergentan ka funkciji f po metrici d.Posmatrajmo sada kvadratnu metriku d2 na C[1, 2],

f, g C[1, 2] , d2(f, g) =( 2

1

|f(x) g(x)|2dx) 1

2

.

Kako generalno vrijedi,

d2(f, g) =

( 21

|f(x) g(x)|2dx) 1

2

( 2

1

(maxt[1,2]

|f(t) g(t)|)2dx) 1

2

= d(f, g)

( 21

dx

) 12

= d(f, g) ,

to ce posmatrani niz biti konvergentan i u metrici d2. Kako dati funkcionalniniz nije konstantan, prema prethodnom primjeru ovaj niz nece biti konver-gentan u diskretnoj metrici.Ovim primjerom samo potvrdujemo cinjenicu da konvergencija ovisi o izborumetrike na datom skupu tojest, konvergentan niz u jednoj metrici moze bitidivergentan u nekoj drugoj metrici.

Lema 2.3.1

Neka je (xn)nN niz u metrickom prostoru (X, d). Sljedeca dva tvrdenjasu ekvivalentna.

1. limn

xn = x0 .

2. Za svako > 0, postoji samo konacno mnogo clanova niza (xn)nN

59

Metricki prostori

koji se nalaze van kugle B(x0, ).

Pomocu konvergencije sada mozemo okarakterisati zatvorene skupove, atime i zatvorenje skupa u metrickom prostoru.

Lema 2.3.2

Neka je F X zatvoren skup i neka je (xn)nN F takav da limn

xn =

x0. Tada x0 F .

Dokaz : Neka je F X zatvoren skup, tada je F = F . Ako je (xn)nN Ftakav da lim

nxn = x0, onda za proizvoljno > 0 u kugli B(x0, ) postoji

beskonacno mnogo tacaka posmatranog niza (tj. skupa F ), a to znaci dax0 F = F .

Lema 2.3.3

Neka je A proizvoljan podskup metrickog prostora (X, d). Tada vrijedi,

A = {x X | ((xn)nN A) limn

xn = x} .

Jasno je da ako je postojeci niz (xn)nN A, niz razlicitih tacaka takavda limn xn = x, da je tada tacka x tacka nagomilavanja skupa A. Usuprotnom, ako je postojeci niz jedino konstantni niz, tacka x je izolovanatacka skupa. Kao posljedicu gornje leme imamo

Posljedica 2.3.1. Svaka adherentna tacka skupa A je ili tacka nagomilava-nja ili izolovana tacka.

Sada mozemo dati kompletnu karakterizaciju zatvorenja nekog skupa. Na-ime, za proizvoljan skup A, tacke skupa A su:

izolovane tacke skupa A, tacke nagomilavanja skupa A koje pripadaju skupu A i tacke nagomilavanja skupa A koje ne pripadaju skupu A.

Na osnovu definicije rastojanja tacke od skupa, sada imamo jednu intere-santnu karakterizaciju adherencije skupa.

2.3. Konvergencija u metrickim prostorima

60

Lema 2.3.4

Neka je X metricki prostor i A X proizvoljan podskup. Tada vrijedi

A = {x X| d(x,A) = 0} .

Dokaz : Ako je x A = A A tada, ako x A, jasno d(x,A) = 0. Nekaje x A. Za proizvoljno > 0, postoji a A, takav da je a B(x, ), tj.d(x, a) < . Ovo opet znaci da je d(x,A) = 0.Obratno, neke je za neko x X , d(x,A) = 0. To znaci, na osnovu definicijeinfimuma, da za svako > 0, postoji a A, takav da je d(x, a) < . Ovoopet znaci da je B(x, ) A 6= , tj. x A A = A.

Teorem 2.3.2

Konvergentan niz moze konvergirati samo jednoj tacki.

Dokaz : Neka je (xn)nN X za koga vrijedi xn x i xn x (n ).Na osnovu relacije trougla imamo

0 d(x, x) d(x, xn) + d(xn, x) ,

za proizvoljno n N. Desna strana tezi 0 kada n , pa ocigledno moravrijediti d(x, x) = 0, odnosno x = x.

Teorem 2.3.3

Svaki konvergentan niz je ogranicen.

Dokaz : Neka je (xn)nN X i neka xn x0 (n ). Uzimajuci da je = 1, imamo da postoji n0 N, takav da za svako n n0, vrijedi

d(xn, x0) < 1 .

Oznacimo sa R = max{d(x0, x1), d(x0, x2), ..., d(x0, xn01)}. Neka je sadaR = R + 1. Tada ocigledno vrijedi

(n N) xn B(x0, R) ,

tj. niz je ogranicen.

61

Metricki prostori

Neka je dat proizvoljan nit (xn)nN u metrickom prostoru (X, d) i neka je(nk)kN proizvoljan niz prirodnih brojeva takvih da je

n1 < n2 < < nk < ,tada za niz (xnk)kN kazemo da je podniz niza (xn)nN i pisemo (xnk)kN (xn)nN.

Lema 2.3.5

Ako niz (xn)nN konvergira ka tacki x u metrickom prostoru, tada i svakinjegov podniz (xnk)kN konvergira ka x.

Dokaz : Neka za dati niz (xn)nN X vrijedi xn x, n , tada zasvako > 0, postoji n0 N, tako da za sve n n0 vrijedi d(xn, x) < .Neka je (xnk)kN bilo koji podniz datog niza. Tada postoji k0 N, takav daje nk0 > n0, a tada ce i za svako k k0 vrijediti d(xnk , x) < , sto znaci daxnk x, kada k . Odnos konvergencije niza u podprostoru i nadredenom mu prostoru iskazu-jemo sljedecom vezom.

Teorem 2.3.4

Neka je (X, d) metricki prostor i Y X . Neka je (an)nN Y . Tadaan a (n ) u Y sa podprostor metrikom ako i samo ako an a(n) u X .

Sada sa pojmom konvergencije u metrickim prostorima mozemo dati i do-datne karakterizacije pojmova neprekidnosti i uniformne neprekidnosti.

Teorem 2.3.5

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . Neka je x X ,sljedeca tvrdenja su ekvivalentna

1. Preslikavanje f je neprekidno u x.

2. Za proizvoljan niz (xn)nN X , takav da xn x (n), vrijedif(xn) f(x) u Y , kada n.

Ovu cinjenicu smo mogli iskazati i formulacijom da je f neprekidno preslika-vanje sa X u Y ako i samo ako za proizvoljan niz (xn)nN X , konvergentan

2.3. Konvergencija u metrickim prostorima

62

u X je niz (f(xn))nN Y konvergentan u Y i tada pisemo

limn

f(xn) = f( limn

xn) .

Ona prestavlja tzv. Heineovu definiciju neprekidnosti preslikavanja, za raz-liku od klasicne definicije koju jos nazivamo i Cauchyjeva defnicija neprekid-nosti.

Teorem 2.3.6

Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori i f : X Y . Sljedeca dvatvrdenja su ekvivalentna:

1. Preslikavanje f je uniformno neprekidno sa X u Y .

2. Za proizvoljne nizove (xn)nN, (xn)nN X , takve da je limn

dX(xn, xn) =

0, vrijedi limn

dY (f(xn), f(xn)) = 0.

Negacijom u gornjoj teoremi dolazimo do cinjenice da preslikavanje f nijeuniformno neprekidno ako i samo ako za proizvoljno > 0 postoje nizovi(xn)nN, (xn)nN X , takvi da je lim

ndX(xn, x

n) = 0 i pri tome je za sve

n N dovoljno velike, dY (f(xn), f(xn)) .Teorem 2.3.7

Metricka funkcija je neprekidna funkcija svojih argumenata.

Dokaz : Neka je (X, d) proizvoljan metricki prostor i neka su (xn)nN, (yn)nN X , takvi da xn x0 i yn y0 (n). Koristeci Lemu 2.1.3, imamo

|d(xn, yn) d(x0, y0)| d(yn, y0) + d(xn, x0) 0 (n) ,

tj.limn

d(xn, yn) = d(x0, y0) .

3Kompletnost metrickih

prostora

3.1 Kompletnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Kompletiranje metrickog prostora . . . . . . . . 71

3.3 Kategorijalnost skupova . . . . . . . . . . . . . . 75

U ranijim kursevima matematicke analize upoznali smo se sa Cauchyjevimkriterijem konvergencije numerickih nizova i redova. Taj kriterij je vaziou metrickom prostoru realnih brojeva, ali kao sto cemo vidjeti, u opstemslucaju metrickih prostora slican kriterij ne postoji. Upravo ta cinjenicadovodi nas do jedne od najvaznijih osobina metrickih prostora, pojma kom-pletnosti prostora.

3.1 Kompletnost

Definicija 3.1.1

Neka je (X, d) metricki prostor. Za niz (xn)nN X kazemo da jeCauchyjev niz ako vrijedi

( > 0)(n0 N)(n,m N)(n,m n0 d(xn, xm) < ) .

Drugacije receno, niz je Cauchyjev ako vrijedi

limn,m

d(xn, xm) = 0 .

Primjer 3.1. Posmatrajmo niz (fn)nN C[0, 1], zadat sa fn(t) = tn (n N,t [0, 1]).Za proizvoljno fiksno t [0, 1) i za n,m N (neka je npr. n < m) imamo

fn(t) fm(t) = tn tm = tn(1 tmn) tn .

63

3.1. Kompletnost

64

Pustajuci da n tezi u beskonacnost, desna strana tezi ka 0, pa zbog proizvolj-nosti t [0, 1), zakljucujemo

d(fn, fm) = maxt[0,1]

|fn(t) fm(t)| 0 , (n,m) .

(Ocigledno je gornje tacno i za t = 1) Dakle, posmatrani niz je Cauchyjev.

Primjer 3.2. Posmatrajmo numericki red

n=1

1

n. Formirajmo niz njegovih

parcijalnih suma

(sn)nN =

(n

k=1

1

k

)nN

.

Neka su m,n N razliciti i neka je n < m, tada vrijedi

sm sn = 1n+ 1

+1

n + 2+ + 1

m.

Ako specijalno uzmemo da je m = 2n, vrijedit ce aproksimacija

s2n sn = 1n+ 1

+1

n + 2+ + 1

2n n 1

2n=

1

2,

sto nam govori da niz (sn)nN nije Cauchyjev niz.

Teorem 3.1.1

Svaki Cauchyjev niz je ogranicen.

Dokaz : Neka je (xn)nN Cauchyjev niz. Na osnovu definicije Cauchyjevogniza, stavljajuci n = n0 imamo

( > 0)(m n0) d(xm, xn0) < .Ovo znaci da se svi clanovi niza, osim njih konacno mnogo, nalaze u kugliB(xn0 , ). Oznacimo sa

R = max{d(x1, xn0), d(x2, xn0), ..., d(xn01, xn0)} .Jasno je sada da za svako n N vrijedi xn B(xn0 , R + ), tj. niz jeogranicen.

65

Metricki pr