Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Mikro II: Oligopol
Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski)
1 / 31
Oligopol
Wst ↪ep
G lowny obszar zainteresowania to porownanie cen, ilosci orazefektywnosci poszczegolnych struktur rynkowych.
Poznalismy zachowanie ga l ↪ezi dzia laj ↪acych w innych strukturachrynkowych:
doskona la konkurencjamonopolkonkurencja monopolistyczna
Teraz czas na oligopol.
2 / 31
Oligopol
Wybor strategii.
Klasyfikacja:
brak zmowy
gra sekwencyjna
przywodztwo ilosciowe - Stackelbergprzywodztwo cenowe - pomini ↪ete
gra jednoczesna
ustalanie produkcji - Cournotustalanie ceny - Bertrand
zmowa
3 / 31
Oligopol
Przywodztwo ilosciowe (model Stackelberga). I
Lider ustala wielkosc produkcji przed nasladowc ↪a, nasladowcawybieraj ↪ac swoj ↪a wielkosc produkcji y2 zna wielkosc produkcji lideray1 - asymetria. Nasladowca po zaobserwowaniu wielkosci produkcjilidera wybiera swoj ↪a produkcj ↪e, kieruje si ↪e maksymalizacj ↪a zysku.Problem nasladowcy:
maxy2
[p(y1 + y2)y2 − c(y2)]
Rozwi ↪azanie tego problemu daje funkcj ↪e reakcji nasladowcyy2 = R2(y1). Patrz Rysunek 27.1
4 / 31
Oligopol
Przywodztwo ilosciowe (model Stackelberga). II
Poniewaz lider moze sobie tez rozwi ↪azac problem nasladowcy, to znafunkcj ↪e reakcji nasladowcy. Znaj ↪ac j ↪a bierze t ↪a wiedz ↪e pod uwag ↪emaksymalizuj ↪ac zysk. Problem przywodcy (lidera)
maxy1
[p(y1 + R2(y1)qy2
)y1 − c(y1)]
Rozwi ↪azanie tego problemu daje nam wielkosc produkcji lidera y1,co razem z funkcj ↪a reakcji daje wielkosc produkcji nasladowcy y2 i latwo tez policzyc cen ↪e i zyski. Zauwaz, ze w rownowaga sk lada si ↪eze strategii dla obydwu graczy (a nie ich akcji). Czym rozni si ↪estrategia od akcji. Strategia musi przewidywac jakie akcje graczepowinni podj ↪ac w kazdym mozliwym stanie swiata, ktory mozewyst ↪apic w trakcie gry. Poniewaz lider rusza si ↪e pierwszy jegostrategia to po prostu wybor wielkosci produkcji, natomiast
5 / 31
Oligopol
Przywodztwo ilosciowe (model Stackelberga). III
poniewaz nasladowca rusza si ↪e drugi to jego strategia musiuwzgl ↪edniac kazd ↪a mozliw ↪a decyzj ↪e lidera (stan swiata) a zatemstrategia nasladowcy jest funkcj ↪a (tutaj nazwan ↪a funkcj ↪a reakcji).
Definicja.
Rownowaga Stackelberga sk lada si ↪e ze strategii dla lidera yL orazstrategii dla nasladowcy RN(yL), spe lniaj ↪acych(i) yL rozwi ↪azuje problem lidera.(ii) yN = RN(yL) rozwi ↪azuje problem nasladowcy dla kazdego yL.
6 / 31
Oligopol
Przywodztwo ilosciowe (model Stackelberga). IV
Interpretacja graficzna. Jezeli mamy liniowy popyt (i przyjmiemy dlawygody, ze zyski s ↪a zero), wowczas problem nasladowcy przyjmujepostac
π2(y1, y2) = [a− b(y1 + y2)]y2
= ay2 − by1y2 − by22
a funkcja reakcji ma postac (po wyliczeniu pochodnej ze wzgl ↪edu nay2):
y2 =a
2b− 1
2y1
Patrz Rysunek 27.1
7 / 31
Oligopol
Przywodztwo ilosciowe (model Stackelberga). V
Podobnie lider (firma 1) rozwi ↪azuje
π1(y1) = [a− b(y1 + R2(y1))]y1
= ay1 − by21 − by1y2
Podstawiaj ↪ac pod R2(y1) otrzymujemy
π1(y1) = [a− b(y1 +a
2b− 1
2y1)]y1
= [a− b(1
2y1 +
a
2b)]y1
= ay1 −b
2y2
1 −a
2y1
=a
2y1 −
b
2y2
1
8 / 31
Oligopol
Przywodztwo ilosciowe (model Stackelberga). VI
aby znalezc wielkosc produkcji maksymalizuj ↪ac ↪a zysk policzymypochodn ↪a ze wzgl ↪edu na y1 :
a
2− by1 = 0
rozwi ↪azuj ↪ac ze wzgl ↪edu na y1 otrzymujemy
y1 =a
2b
Rownowaga Stackelberga: strategia firmy 1 y1 = a2b oraz strategia
firmy 2 y2 = a2b −
12y1. Patrz Rysunek 27.2
9 / 31
Rysunek: Funkcja reakcji oraz linie jednakowego zysku.
powrot powrot
Rysunek: Rownowaga Stackelberga i Cournot.
powrot powrot
Oligopol
Jednoczesne ustalanie ilosci (model Cournot). I
Kazda firma ustala wielkosc swojej produkcji przy danymprzypuszczeniu (jest to przypyszczenie a nie wiedza) co do wielkosciprodukcji drugiej firmy. Niech y1 b ↪edzie wyborem firmy 1 a y e2 niechb ↪edzie przypuszczeniem 1 (z ang. belief) firmy 1 co do wielkosciprodukcji firmy 2. Firma 1 w oparciu o swoje przypuszczenie co dowielkosci produkcji firmy 2, rozwi ↪azuje problem
maxy1
p(y1 + y e2 )y1 − c(y1)
Rozwi ↪azanie tego problemu daje nam funkcj ↪e reakcji firmy 1:y1 = R1(y e2 ). Podobnie wygl ↪ada problem firmy 2
maxy2
p(y e1 + y2)y2 − c(y2)
ktorego rozwi ↪azanie daje nam funkcj ↪e reakcji firmy 2: y2 = R2(y e1 ).12 / 31
Oligopol
Jednoczesne ustalanie ilosci (model Cournot). II
Definicja.
Rownowaga Cournot sk lada si ↪e ze strategii dla kazdej firmy (y1, y2),gdzie yi , i ∈ {1, 2}, maksymalizuje zysk firmy i przy danej produkcjifirmy j (drugiej firmy).
Zatem w rownowadze musi zachodzic
y1 = R1(y2)
y2 = R2(y1)
13 / 31
Oligopol
Jednoczesne ustalanie ilosci (model Cournot). III
Interpretacja graficzna. Jezeli mamy liniowy popyt (i przyjmiemy dlawygody, ze koszty s ↪a zero), wowczas firma 2 rozwi ↪azuje
π2(y1, y2) = [a− b(y1 + y2)]y2
= ay2 − by1y2 − by22
a funkcja reakcji ma postac (po wyliczeniu pochodnej ze wzgl ↪edu nay2):
a− by1 − 2by2 = 0
y2 =a
2b− 1
2y1
a linia jednakowego zysku jest dana rownaniem
ay2 − by1y2 − by22 − π2 = 0
Patrz Rysunek 27.1
14 / 31
Oligopol
Jednoczesne ustalanie ilosci (model Cournot). IV
Podobnie firma 1 rozwi ↪azuje
π1(y1, y2) = [a− b(y1 + y2)]y1
= ay1 − by21 − by1y2
a funkcja reakcji ma postac (po wyliczeniu pochodnej ze wzgl ↪edu nay1):
a− 2by1 − by2 = 0
y1 =a
2b− 1
2y2
Patrz Rysunek 24.2
1W podr ↪eczniku jest to t lumaczone jako oczekiwanie, niestety nie jest to dobret lumaczenie. W j ↪ezyku angielskim uzywa si ↪e teorio growo poj ↪ecia belief, a nieexpectation. Zatem nalezy w polskim tez rozrozniac pomi ↪edzy przypuszczeniem aoczekiwaniem. S ↪a to inne poj ↪ecia, chociaz wydaj ↪a si ↪e podobne.
15 / 31
Oligopol
Wiele firm w warunkach rownowagi Cournot. I
Porownanie doskona lej konkurencji, oligopolu i monopolu.
Przypuscmy, ze mamy n jednorodnych firm w danej ga l ↪ezi, wowczasY = y1 + y2 + ...+ yn. Wraz ze wzrostem ilosci firm marza spada iw nieskonczonosci jest rowna kosztowi krancowemu. Wiemy, ze w
16 / 31
Oligopol
Wiele firm w warunkach rownowagi Cournot. II
optimum MR = MC . W warunkach gry Cournot przychod firmyi = 1, 2, .., n, Ri = p(Y )yi = p(y1 + ...+ yi + ..+ yn)yi . Wowczas
MR = p′(y1 + ..yi + ...+ yn)yi + p(y1 + ..yi + ...+ yn)
= p(Y ) + p′(Y )yi
= p(Y ) +dp
dYyi
= p(Y )
[1 +
1
p(Y )
dp
dYyiY
Y
]= p(Y )
[1−
yiY
−dYdp
pY
]
= p(Y )
[1− si|εp|
]
17 / 31
Oligopol
Wiele firm w warunkach rownowagi Cournot. III
gdzie si = yiY − udzia l firmy i w rynku, |εp| − elastycznosc cenowa
popytu. Podstawiaj ↪ac do warunku MR = MC
p(Y )
[1− si|εp|
]= MC
Jezeli na rynku dzia la jedna firma si = 1, wowczas ten warunek taksamo jak monopolisty. Wraz ze wzrostem liczby firm si malejezatem marza firmy i µi = 1[
1− si|εp |
] maleje i poniewaz si →n→∞
0 to
µi →n→∞
1. Zatem rownowaga Cournot sytuuje si ↪e pomi ↪edzy
doskona l ↪a konkurencj ↪a a monopolem. Ponadto oligopol w sytuacjizarowno rownowagi Cournot jak i Stackelberga jest nieoptymalny.
Obserwacja: Zauwaz, ze jezeli mamy duz ↪a liczb ↪e firm (w sytuacjigry Cournot) to rownowaga doskonale konkurencyjna jest bliskimprzyblizeniem zachowania na tym rynku.
18 / 31
Oligopol
Jednoczesne ustalanie ceny (model Bertranda). I
W poprzednim modelu ustalilismy, ze firmy konkuruj ↪a ilosciowo.Tutaj przyjmiemy rozwazymy podobn ↪a sytuacj ↪e gdy firmy konkuruj ↪acenowo. Dla uproszczenia koszty krancowe s ↪a sta le i takie same wewszystkich firmach MC = c, a koszty sta le wynosz ↪a zero FC = 0.
Definicja.
Rownowaga Bertranda sk lada si ↪e ze strategii dla kazdej firmy (p1, p2),gdzie yi , i ∈ {1, 2}, maksymalizuje zysk firmy i przy danej cenie firmy j(drugiej firmy).
19 / 31
Oligopol
Jednoczesne ustalanie ceny (model Bertranda). II
Rownowaga pi = c. Sk ↪ad ten wynik, przypuscmy, ze firma 2 ustalacen ↪e na poziomie p2 > c. Wowczas jest optymalnym dla firmy 1ustalic cen ↪e p1 = p2 − ε, gdzie ε jest dowolnie ma l ↪a liczb ↪a, wowczasfirma 1 przejmuje ca ly popyt. Firmy b ↪ed ↪a tak sobie nawzajemobnizac ceny, az dojd ↪a do pi = MC , gdy obnizenie ceny ponizej MCoznacza ujemne zyski.
W rownowadze Bertranda otrzymujemy t ↪a sam ↪a wielkosc produkcji icen ↪e jak w doskona lej konkurencji. Alokacja w rownowadzeBertranda jest Pareto efektywna.
20 / 31
Oligopol
Zmowa. I
Firmy operuj ↪ace na danym rynku zmawiaj ↪a si ↪e i podejmuj ↪a wspolniedecyzj ↪e ile produkowac tak aby zmaksymalizowac wspolne zyski.
Problem maksymalizacji zysku ma postac
max(y1,y2)
p(y1 + y2)(y1 + y2)− c1(y1)− c2(y2)
Niech yKi oznacza produkcje firmy i w warunkach kartelu, wowczaszyski obydwu firm wynosz ↪a
πK1 (yK1 , yK2 ) = p(yK1 + yK2 )y1 − c1(yK1 )
πK2 (yK1 , yK2 ) = p(yK1 + yK2 )yK2 − c2(yK2 )
21 / 31
Oligopol
Zmowa. II
gdzie πKi − zyski firmy i w warunkach kartelu. Rozwi ↪azuj ↪ac problemmaksymalizacji zysku kartelu otrzymujemy (liczymy pochodne po y1
i y2)
p′(y1 + y2)(y1 + y2) + p(y1 + y2) = MC1(y1) (27.1)
p′(y1 + y2)(y1 + y2) + p(y1 + y2) = MC2(y2) (27.2)
Zauwaz, ze w sytuacji zmowy kartelowej pojawia si ↪e pokusa odejsciaod niej. Przyjmijmy (bez utraty ogolnosci), ze firma 1 trzyma si ↪eumowy a firma 2 rozwaza czy powinna si ↪e trzymac umowy czyzdewiowac. Wowczas
π2(y1, y2) = p(y1 + y2)y2 − c2(y2)
22 / 31
Oligopol
Zmowa. III
zatem przy ustalonym y1 = yK1
∂π2(yK1 , y2)
y2= p′(y1 + y2)y2 + p(y1 + y2)−MC2(y2)
poniewaz, chcemy policzyc czy op laca si ↪e firmie 2 zdewiowac zprodukcji w warunkach kartelu yK2 obliczymy wartosc tej pochodnejw punkcie (yK1 , y
K2 ):
∂π2(yK1 , yK2 )
y2= p′(yK1 + yK2 )yK2 + p(yK1 + yK2 )−MC2(yK2 )
23 / 31
Oligopol
Zmowa. IV
Podstawiaj ↪ac z (27.2) otrzymujemy:
∂π2(yK1 , yK2 )
y2= p′(yK1 + yK2 )(yK2 + yK1 − yK1 ) + p(yK1 + yK2 )−MC2(yK2 )
= p′(yK1 + yK2 )(yK2 + yK1 ) + p(yK1 + yK2 )−MC2(yK2 )
− p′(yK1 + yK2 )yK1
= −p′(yK1 + yK2 )yK1 > 0
(zauwaz p′(·) < 0).
Zatem zwi ↪ekszaj ↪ac produkcj ↪e ponad poziom wyznaczony przez kartelkazda firma zwi ↪eksza swoj zysk.
24 / 31
Oligopol
Strategie Kar I
Poniewaz firmy maj ↪a bodzce do wy lamywania si ↪e z umowykartelowej potrzebna jest strategia kar. Potrzebujemy wowczas grypowtarzalnej (czyli przysz losci).
Rozwazmy duopol z lozony z dwoch identycznych firm.
Niech πm b ↪edzie zyskiem gdy obie firmy trzymaj ↪a si ↪e umowy, a πczyskiem Cournot, zauwaz πm > πc . Rozwazmy strategi ↪e: ”Trzymamsi ↪e umowy w okresie 0, jezeli do momentu t (w l ↪acznie) trzyma les si ↪eumowy to w okresie t + 1 tez trzymam si ↪e umowy, jezeli domomentu t kiedykolwiek z lama les umow ↪e to ja ci ↪e karz ↪e produkuj ↪acna poziomie Cournot”. Niech 1
1+r b ↪edzie dyskontem czasowym
25 / 31
Oligopol
Strategie Kar II
zysku (a r− stop ↪a procentow ↪a). Wowczas wartosc obecna wyp lat zpowyzszej strategii wynosi
πm+πm
1 + r+
πm(1 + r)2
+... = πm+πm
1+r
1− 11+r
= πm+πm
1+r1+r−1
1+r
= πm+πmr
Natomiast wartosc obecna z dewiacji z powyzszej strategii (niech πdoznacza zysk gdy dewiuj ↪acej firmy gdy druga firma trzyma si ↪eumowy, zauwaz πd > πm) wynosi
πd +πc
1 + r+
πc(1 + r)2
+ ... = πd +πcr
26 / 31
Oligopol
Strategie Kar III
Kiedy dewiacja si ↪e nie op laca? Gdy
πd +πcr< πm +
πmr
co po przekszta lceniach daje
r <πm − πcπd − πm
Czyli dewiacja si ↪e nie op laca jezeli r jest wystarczaj ↪aco ma le, czyli1
1+r wystarczaj ↪aco duze co oznacza, ze wystarczaj ↪aco duzo liczymysi ↪e z przysz losci ↪a. Zatem z powyzsz ↪a strategi ↪a kar kartel mozeokazac si ↪e stabilny. Inne podobne strategie, ktore daj ↪a podobnywynik, to karanie przez krotszy okres np. 1 okres lub kilka okresow.
27 / 31
Oligopol
Porownanie rozwi↪
azan.
Bertrand produkuje tyle co konkurencja doskona la (i jest efektywny),oligopol produkuje pomi ↪edzy doskona l ↪a konkurencj ↪a a monopolem.Monopol produkuje najmniej i najdrozej.
28 / 31
Oligopol
Podsumowanie.
Rozne typy oligopolu (Cournot, Stackelberg, Bertrand)
Rozne struktury daj ↪a rozne ceny i produkcji.
Miesci si ↪e pomi ↪edzy doskona l ↪a konkurencj ↪a a monopolem.
Lektura: Varian, rozdzia l 27. bez 27.3-4
29 / 31
Oligopol
Pytania sprawdzaj↪
ace I
Zdefiniuj rownowag ↪e Cournot dla przypadku dwoch firm. Zapiszproblem obydwu firm dla liniowej funkcji popytu i zerowych kosztow.Zilustruj rownowag ↪e na rysunku.
Zdefiniuj rownowag ↪e Stackelberga dla przypadku dwoch firm. Zapiszproblem nasladowcy i lidera dla liniowej funkcji popytu i zerowychkosztow. Zilustruj rownowag ↪e na rysunku.
Zdefiniuj rownowag ↪e Betranda dla przypadku dwoch firm, ktoremaja sta ly i tak ↪a sam ↪a funkcj ↪e kosztow (zerowe koszty sta le i kosztkrancowy rowny c). Znajdz rownowag ↪e, wyjasnij mechanizm dojsciado tej rownowagi. Czy alokacja w rownowadze Betranda jestefektywna?
30 / 31
Oligopol
Pytania sprawdzaj↪
ace II
Wyjasnij czy mozliwa jest zmowa w modelu jednookresowym,wyt lumacz intuicyjnie? A w modelu z nieskonczonym horyzontemczasowym?
Scharakteryzuj sytuacj ↪e rynkow ↪a w modelu Cournot wzgl ↪edemmonopolu i doskona lej konkurencji. Jak wygl ↪ada sytuacja wprzypadku zawi ↪azania kartelu.
31 / 31