Oddelek za fiziko

Seminar – 4. Letnik

Snopi svetlobe brez uklona

Avtor: Matjaž Gomilšek

Mentor: doc. dr. Igor Poberaj

Ljubljana, april 2010

Povzetek

V tem seminarju govorim o brezuklonskih snopih svetlobe, to je snopih, ki se med propagacijo v prečni smeri ne razširjajo, temveč ohranijo svoj intenzitetni profil. Kot posebno vrsto brezuklonskih snopov obravnavam tudi »pospešujoče« brezuklonske snope, ki se obnašanjo kot (kvanten) delec pod vplivom konstantne sile, čeprav se širijo skozi prazen prostor. Najprej povzamem majhen del splošne teorije uklona, nato pa podrobno razdelam klasifikacijo brezuklonskih snopov, obravnavam načine eksperimentalne realizacije približkov teh snopov in s primeri obravnavam edinstveno lastnost samoobnavljanja takih snopov.

2

0. Kazalo:

1. UVOD: ................................................................................................................................................... 2

2. TEORIJA UKLONA: ................................................................................................................................ 2

2.1. Od Maxwellovih enačb do skalarne Helmholtzeve enačbe: ......................................................................... 3 2.2. Obosni približek in obosna valovna enačba: ................................................................................................ 3 2.3. Električno in magnetno polje v obosnem približku: ..................................................................................... 4 2.4. Ohranitev energije v obosnem približku: ..................................................................................................... 5

3. KLASIFIKACIJA SNOPOV BREZ UKLONA: ............................................................................................... 6

3.1. Brezuklonski snopi, ki potujejo naravnost: .................................................................................................. 6 3.1.1. Eksperimentalna realizacija:...................................................................................................................... 8 3.2. »Pospešujoči« brezuklonski snopi: ............................................................................................................ 12 3.2.1. »Pospešujoči« brezuklonski snopi v (1+1)D: .......................................................................................... 12 3.2.2. »Pospešujoči« brezuklonski snopi v (2+1)D: .......................................................................................... 14 3.2.3. Eksperimentalna realizacija:.................................................................................................................... 15

4. SAMOOBNAVLJANJE BREZUKLONSKIH SNOPOV: .............................................................................. 16

4.1. Opis samoobnavljanja in izpeljava iz Babinet-ovega principa: .................................................................. 16 4.2. Primer samoobnavljanja Airy-jevega snopa in Poyntingov vektor: ........................................................... 16 4.3. Primer samoobnavljanja Bessel-ovega snopa in geometrijska senca: ........................................................ 17 4.4. Uporaba pojava samoobnavljanja: ............................................................................................................. 18

5. ZAKLJUČEK: ......................................................................................................................................... 19

6. LITERATURA: ...................................................................................................................................... 20

1. Uvod:

Snop brez uklona je snop svetlobe (lahko tudi zvoka, ali kakšnega drugega valovanja), katerega prečni profil intenzitete se s propagacijo skozi prazen prostor vzdolž dane osi ne spreminja, razen kvečjemu za tog premik celotnega profila intenzitete v prečni smeri. To je v velikem nasprotju z običajnimi snopi svetlobe, kot so npr. Gaussovi ali Laguerre-Gaussovi snopi, oziroma kar splošnimi uklonskimi vzorci, ki se med propagacijo skozi prazen prostor v prečni smeri tipično precej spreminjajo, na večjih razdaljah pa se ustalijo v dano obliko, ki se potem le še linearno razteguje v prečni smeri (splošen rezultat Fraunhofer-jevega uklona).

Poznamo dve širši družini snopov brez uklona: takšne, ki se širijo naravnost (»tipični« brezuklonski snopi, ki kot manj zanimiv primer vključujejo ravne valove), in takšne, ki skozi prazen prostor potujejo po parabolični trajektoriji (reče se, da ti snopi prosto »pospešujejo« v prostoru, iz podobnosti s trajektorijo delca pod vplivom konstantne zunanje sile). Žal vsi idealni brezuklonski snopi nosijo neskončno energije, tako da so eksperimentalno dosegljivi le (poljubno dobri) približki tem snopom.

V literature se včasih z imenom brezuklonski snopi misli le na snope, ki potujejo naravnost, vendar je to le posledica tega, da so pospešujoči brezuklonski snopi postali širše znani šele nedavno, okrog leta 2007, ko so bili tudi prvič eksperimentalno opaženi [15] (teoretično so bili napovedani v okviru kvantne mehanike že leta 1979 [13], vendar takrat teh rešitev še niso povezali z optiko). Po drugi strani pa so bili brezuklonski snopi, ki se širijo naravnost, napovedani [4] in tudi eksperimentalno opaženi [5] že leta 1987, od takrat dalje pa so v stalnem žarišču pozornosti.

Kot bomo videli ima brezuklonska narava teh snopov za posledico nekaj edinstvenih in nenavadnih lastnosti (npr. samoobnavljanje), kar jih naredi v praksi še bolj uporabne. Tako je bilo predlaganih in realiziranih že veliko različnih uporab brezuklonskih snopov, kjer njihove edinstvene lastnosti (predvsem velika globinska ostrina v primerjavi ostalimi snopi) pomenijo veliko prednost. Nekaj področij uporabe je [9]: optična in akustična pinceta [27], optično spajanje (optical binding), celična transfekcija [45-47], optična koherenčna tomografija [48], nelinearna fizika in optično slikanje.

2. Teorija uklona:

Za lažjo obravnavo in razumevanje snopov brez uklona si oglejmo nekaj malega teorije za valovno enačbo za EM polje, obosnim približkom in povezave s Fresnelovim uklonom.

3

2.1. Od Maxwellovih enačb do skalarne Helmholtzeve enačbe:

Za začetek zapišimo valovno enačbo za vektorski potencial (Riemann-Lorenz-ova enačba) v Lorenzovi umeritvi v neprevodnem, nenabitem, izotropnem in homogenem dielektriku:

kjer sta: in vektorski in skalarni potencial,

pa hitrost svetlobe v snovi z lomnim količnikom:

(

je hitrost svetlobe v vakuumu). Ti dve enačbi sta skupaj z definicijo električnega (

) in magnetnega polja ( ) popolnoma enakovredni Maxwellovim enačbam. Enaki obliki obeh enačb

veljata za tudi za kompleksen vektorski in skalarni potencial, iz katerih lahko izrazimo fizikalno resnična

potenciala kot: .

Predpostavimo sedaj, da ima vektorski potencial stalno (čisto!) polarizacijo opisano s kompleksnim Jonesovim vektorjem: (normalizacija: ) (skalarni približek), ter da polje niha s konstantno krožno frekvenco: (monokromatsko oz. stacionarno polje):

Zgornja valovna enačba se s tem nastavkom spremeni v skalarno Helmholtzevo oz. amplitudno enačbo v treh dimenzijah:

kjer je:

valovno število. Enaka enačba velja za vsako skalarno valovanje (tudi za zvok ali prečne odmike napete

opne) kadar niha polje s konstantno frekvenco (stacionarno polje).

V našem primeru je rešitev te enačbe točna rešitev Maxwellovih enačb v okviru skalarnega približka in predpostavke stacionarnega (monokromatskega) polja. Splošna časovno spreminjajoča se polja lahko sestavimo s superpozicijo

stacionarnih polj kot:

, kjer je rešitev zgornje enačbe pri danem , pa

je frekvenčni spekter, splošno polarizirana pa npr. kot: .

Še utemeljitev, zakaj delamo z vektorskim potencialom namesto direktno z električnim ali magnetnim poljem. Razlog je v tem, da valovna enačba za električno oz. magnetno polje ne nadomešča Maxwellovih enačb v celoti, temveč jih

le dopolnjuje (valovna enačba za , skupaj z Lorenzovo umeritvijo pa jih). Problem tiči v Gaussovem zakonu

( ), ki – v primeru predpostavke konstantne polarizacije v smeri ( oz. ) – dá dodaten pogoj, da mora biti amplituda polja ( oz. ) v smeri polarizacije konstantna. Če bi tako predpostavili kot začeten pogoj katerokoli polje, ki se v smeri spreminja, bi iz valovne enačbe sicer dobili rešitev, vendar ta rešitev ne bi ustrezala Maxwellovim enačbam (Gaussovemu zakonu). Nasprotno, pa vsak vektorski potencial nujno predstavlja

polje, ki ustreza vsem Maxwellovim enačbam (problema z divergenco ni, saj le posredno določa preko

umeritve, in tako zahteve po ničelni divergenci ni). Tako lahko brez škode predpostavimo, da ima konstantno

polarizacijo, brez da bi si s tem kakorkoli omejili izbiro začetne porazdelitve velikosti [1]. Ta detajl ključno vpliva na izračun transverzalnega Poyntingovega vektorja, povezanega s prečnimi energijskimi tokovi in z vrtilno količino svetlobnega snopa.

2.2. Obosni približek in obosna valovna enačba:

Za izpeljavo obosnega približka uporabimo nastavek: (ta izraz predstavlja raven val s smeri osi pomnožen s kompleksno amplitudo , odvisno od vseh treh koordinat), z uporabo katerega na Helmholtzevi enačbi dobimo:

4

Če predpostavimo, da se amplituda »počasi« spreminja v smeri osi (torej, da se polje res obnaša približno kot

raven val v smeri osi ), torej:

, kadar je:

, dobimo naslednji neenakosti (obosni

približek oz. paraxial approximation)1:

Z uporabo le-teh na valovni enačbi za dobimo obosno valovno enačbo (paraxial wave equation):

Presenetljivo je, da je ta enačba ravno Schrödingerjeva enačba iz nerelativistične kvantne mehanike za prost delec v

2D, če naredimo zamenjavi:

. Vlogo časa v Schrödingerjevi enačbi tako prevzame koordinata (glavna

smer širjenja valovanja), vlogo mase/ pa valovno število .

Z uporabo Fourierove transformacije (Fourierova propagacija) se da pokazati, da je reševanje obosne valovne enačbe natanko ekvivalentno izračunu Fresnelovega uklonskega integrala (Fresnelov uklonski integral podaja eksaktno rešitev obosne valovne enačbe oz. Schrödingerjeve enačbe za prost delec) [1]:

Tako ta enačba predstavlja zelo zanimivo povezavo med skalarno teorijo uklona v obosnem približku (Fresnelov uklon) in nerelativistično kvantno mehaniko, ki se s pridom uporablja pri interpretaciji uklonskih pojavov! Zamislimo si lahko tudi eksperiment, kjer z SLM (spatial light modulator) napravo ustvarimo želeno začetno porazdelitev amplitude , ki ustreza začetni valovni funkciji delca, nato pa spremljamo »časovni razvoj« tega »delca« enostavno s pomikanjem detektorja vzdolž osi z.

2.3. Nujnost uklonskega širjenja:

Zakaj bi sploh pričakovali, da se svetlobni snopi na velikih razdaljah uklonsko razširjo? Odgovor na to vprašanje lahko podamo na vsaj tri načine, odvisno od naše želje po natančnosti. Po moči in splošnosti v naraščujočem redu:

a) Fraunhoferjev uklon:

Fraunhoferjev uklon (kot limita Fresnelovega uklona, v primeru velike oddaljenosti opazovalca od izvora valovanja) pravi, da se na velikih razdaljah (velik ) prečni profil svetlobnega snopa približuje Fourierovi transformiranki profila pri , ta (končen) profil snopa pa se nato z večanjem v prečni smeri zgolj linearno razteguje. Tako je nujna neničelna divergenca snopa (kadar je Freunhoferjeva limita ustrezna), če le Fourierova transformiranka snopa ni delta funkcija (torej, če snop ni idealen raven val).

b) Obosni približek oz. Fresnelov uklon:

Posledica analogije s kvantno mehaniko je, da v obosnem približku (obosna valovna enačba) za svetlobne snopa velja Ehrenfestov teorem v obliki (povprečje označeno z ostrimi oklepaji je po amplitudnem profilu pri konstantnem ):

V primeru »nedoločenosti« prečne koordinate (kadar je ta definirana) dobimo ( ,

):

Tako tudi v okviru obosnega približka reproduciramo rezultat iz Fraunhoferjevega uklona za velike . 1 V resnici je sledita obe neenakosti iz:

, ne pa iz:

, kot je bilo zaradi preglednosti argumentirano zgoraj.

Neenakost:

je striktno strožja od neenakosti:

.

5

c) Maxwellove enačbe za vakuum:

Iz Maxwellovih enačb za vakuum sledi, da količina elektromagnetne energije znotraj kateregakoli končno debelega področja med dvema vzporednima ravninama s časom teži proti 0, za vsako končno-energijsko elektromagnetno polje [3,51]. To izključuje snope, ki se na veliki razdalji ne bi razširili, saj bi takšni snopi morali po definiciji vsebovati konstantno količino energije znotraj vsaj enega takšnega področja (normali ravnin ).

2.4. Električno in magnetno polje v obosnem približku:

Kompleksno električno polje: (pravo električno polje: ) in kompleksno magnetno polje: (pravo

magnetno polje: ) se v Lorenzovi umeritvi iz vektorskega potenciala izrazita kot:

Če uporabimo nastavke od zgoraj, upoštevamo obosni približek in predpostavimo (da je polarizacija vektorskega potenciala pravokotna na glavno smer širjenja snopa) dobimo [1]:

Vidimo, da ima kompleksno električno polje pretežno smer , kompleksno magnetno polje pretežno smer pravokotno na kompleksno električno polje (kot bi pričakovali za elektromagnetno valovanje), obe polji pa imata tudi manjšo komponento v smeri . Ta med drugim zagotavlja, da je Gaussov zakon ves čas izpolnjen (glej zadnji odstavek v 2.1.). Vidimo, da je polarizacija električnega polja približno enaka polarizaciji vektorskega potenciala ( ), in da je velikost polja v tej smeri ravno .

2.5. Energija v obosnem približku in možnost snopov brez uklonskega širjenja:

Iz časovno povprečnega Poyntingovega vektorja (

) sledi, da

se celoten pretok energije skozi ploskev pravokotno na ohranja (komponenti vzporedni pravimo tudi

intenziteta ; ima sicer neničelno komponento tudi v smeri pravokotno na , ne le vzporedno ):

Ta izraz je do konstante

enak normi funkcije , poznani iz kvantne mehanike, le da tukaj ta ni vedno 1,

temveč določa skupno energijo, ki jo nosi valovanje (

;

).

Vidimo, da so obosni snopi, ki nosijo končno količino energije ( ), natanko tisti, ki so opisani s, v smislu kvantne mehanike, normalizabilno valovno funkcijo , snopi, ki nosijo neskončno količino energije ( ), pa so opisani z ne-normalizabilno valovno funkcijo .

Razlika med snopi s končno in neskončno količino energije je pomembna, saj veliko rezultatov iz optike (npr. Fraunhofer-jev uklon) in kvantne mehanike (npr. Heisenbergov princip nedoločenosti in Ehrenfestov teorem) velja le za snope s končno količino energije (normalizabilen ). Tako imajo lahko snopi z neskončno količino energije nekatere lastnosti, ki so na prvi pogled v nasprotju s klasično teorijo optike in kvantne mehanike (npr. odsotnost uklona/širjenja snopa neglede na vse argumente podane v 2.3., prosto »pospeševanje« snopa/delca v praznem prostoru, samoobnavljanje snopa za oviro, …), vendar pa niso eksperimentalno dosegljivi.

Pokazano je bilo, da vsi brezuklonski snopi nosijo neskončno količino energije [3,51] (tudi če gledamo splošno, brez uporabe obosnega približka – glej 2.3.c), in jih zato eksperimentalno ne moremo natančno reproducirati. Ustvarimo lahko le njihove približke (kvazi-brezuklonske snope), ki nosijo končno količino energije in se zato pokoravajo znanim

6

principom iz optike in kvantnem mehanike, vendar pa na krajših razdaljah vseeno zadržijo »iluzijo« neintuitivnih lastnosti idealnih snopov brez uklona.

Prav zaradi te razlike med idealnimi snopi brez uklona in eksperimentalno dosegljivimi snopi (ki pa se na večjih razdaljah nujno razširijo) so, kmalu po njihovem odkritju, v znanstveni skupnosti nekaj časa potekale razprave glede primernosti imena »snopi brez uklona« oz. »brezuklonski snopi« (»diffraction-free beams« oz. »non-diffracting beams«) [2], vendar je bilo to ime kasneje sprejeto, z razumevanjem, da se nanaša v dobesednem smislu le na idealne snope, eksperimentalno dosegljivim približkom teh snopov pa so nadeli ime »quasi-non-diffracting beams« (»kvazi-brezuklonski snopi«).

3. Klasifikacija snopov brez uklona:

Naša definicija snopa brez uklona je naslednja: intenzitetni profil snopa v smeri prečno na smer širjenja (to

postavimo v smeri osi ) se s propagacijo vzdolž osi ne spreminja, razen za morebitni (lahko od odvisni) togi

premik (vendar ne rotacijo). To zapišemo kot:

To ni edina možna definicija (nekatere definicije zahtevajo: , druge dovolijo še rotacije in/ali skaliranje, ali

pa celo samo diskretno periodičnost prečnega intenzitetnega profila pri širjenju vzdolž osi – tej, najbolj splošni,

lastnosti pravijo tudi samoupodabljanje oz. self-imaging), vendar je naša dovolj splošna, da pokrije skoraj vse v praksi

zanimive snope.

Izkaže se, da sta možni rešitvi za in le dve: bodisi sta to linearni (brez škode tudi konstantni, če zamenjamo

optično os) funkciji (brezuklonski snopi, ki potujejo naravnost), ali pa kvadratni funkciji odmika (»pospešujoči«

brezuklonski snopi). Vsako vrsto teh snopov si bomo ogledali ločeno. Ponovno poudarimo, da vsi idealni brezuklonski

(tudi samoupodabljajoči) snopi nujno nosijo neskončno količino energije; njihove realizacije so tako zgolj približki.

3.1. Brezuklonski snopi, ki potujejo naravnost:

Odkriti so bili leta 1987, ko je Durnin v prelomnih člankih prvi opisal in tudi eksperimentalno izmeril brezuklonske

snope, ki potujejo naravnost. V članku [4] je izpeljal splošno obliko funkcije za takšne snope, v članku [5] pa nato

(skupaj z Miceli in Eberly) poročal še o eksperimentalni realizaciji posebne vrste (kvazi-)brezuklonskega snopa s

končno energijo – (kvazi-)Besselovega snopa.

Brezuklonski snopi, ki potujejo naravnost, so rešitve skalarne Helmholtzeve oziroma amplitudne enačbe (

), z lastnostjo, da se njihova transverzalna intenzitetne porazdelitev natanko nič ne spreminja, medtem ko

se propagirajo skozi prostor, oziroma:

Tu smo izvzeli toge linearne premike, saj bi to pomenilo le zamenjavo optične osi. Kar je Durnin pokazal [4] je, da je

najbolj splošna oblika takšnega snopa:

kjer je: (cilindrične koordinate), , tipično (da se intenziteta resnično ohranja, ne

pa, da pada z ), pogosto še (čeprav ni prave potrebe), in je poljubna kompleksna funkcija na intervalu

. Funkciji pravimo tudi kotni spekter (angular spectrum) brezuklonskega snopa. Transverzalni del rešitve:

je najbolj splošna rešitev enačbe:

, in je tako zgoraj zapisan zgolj rezultat separacije po

spremenljivki v amplitudni enačbi. Sledi, da je:

ustrezna

rešitev v obosnem približku. Opazimo, da je edina razlika med obosno in eksaktno rešitvijo v fazni hitrosti vzdolž .

7

Iz oblike rešitve vidimo tudi, da pri linearni kombinaciji dveh brezuklonskih snopov ( ) dobimo: a)

brezuklonski snop s kotnim spektrom: , če , oz. b) samoupodabljajoč snop s prostorsko

periodo:

, če .

Iz vsega zgoraj zapisanega sledi, da je brezuklonskih rešitev valovne enačbe neskončno mnogo (toliko, kot je

kompleksnih funkcij ), vendar pa je rešitev, ki ima cilindrično simetrijo (ki je torej neodvisna od kota ), le ena

sama, in sicer tista, katere kotni spekter je konstantna funkcija:

. Ta cilindrično simetrična rešitev

je [4]:

Ker je njen prečni profil opisan z 0. Besselovo funkcijo prvega reda pravimo takšnemu snopu Besselov snop 0. reda

oziroma kar Besselov snop (Bessel beam). Največjo intenziteto ima pri , ki pa nato oscilira in pada s

povečevanjem . Je najbolj znan brezuklonski snop, poleg ravnih valov, vendar ima to izrazito prednost pred njimi, da

ima izstopajoč vrh intenzitete, podobno kot Gaussov snop, vendar za veliko redov daljšo dolžino na kateri je dobro

fokusiran (globinska ostrina je veliko Rayleighovih dolžin ustreznega Gaussovega snopa).

Slika 1. Intenzitetni profil osnovnega Bessel-ovega snopa. [29]

Izpeljanke tega snopa so Besselovi snopi višjih redov:

kjer je . Ti snopi sicer nimajo cilindrične simetrije v sami kompleksni funkciji , jo pa ima intenziteta teh

snopov ( ). Snopi redov imajo pri ničelno intenziteto (»votla sredica«), zaradi člena pa se

tam nahaja tudi optičen vrtinec (fazna singularnost) moči , podobno kot pri Laguerre-Gauss-ovih snopih, ki nosi

tirno vrtilno količino [2].

Slika 2. Intenzitetni profil osnovnega (levo) in Bessel-ovega snopa višjega reda (desno). [2]

Besselovi snopi višjih redov ( , ) so rešitve 2D Helmholtzeve enačbe, če naredimo separacijo po

cilindričnih koordinatah . Zato tvorijo ortogonalen sistem funkcij, po katerih lahko razvijemo poljuben

brezuklonski snop, ki potuje naravnost.

Znani so le še trije primeri snopov, ki pridejo iz postopka separacije spremenljivk [6]: ravni valovi za kartezične

koordinate ( , ), Mathieu-jevi snopi za eliptične koordinate (

, kjer sta in kotni Mathieu-jevi funkciji, pa je parameter eliptičnosti) in parabolični snopi za

8

parabolične koordinate (sodi:

, in lihi:

, kjer

je ). Tudi vsi ti tvorijo ortogonalne sisteme funkcij za razvoj brezuklonskih snopov.

Poglavitna lastnost brezuklonskih snopov, ki jih naredi uporabne v praksi je to, da imajo pogosto zelo ozke in izrazite

vrhove (širine reda valovne dolžine svetlobe, recimo ), vendar zelo velike razdalje, na katerih ohranijo tako

ozek vrh (tudi za širok snop). Za primerjavo: Gaussov snop s širino grla pri valovni dolžini

ima dvojno Rayleighovo dolžino (razdalja, kjer je širina snopa pod dvojno širino grla) le .

3.1.1. Eksperimentalna realizacija:

a) Fourierova preslikava tankega krožnega kolobarja:

Ponovno si malce bolje podrobno poglejmo integral v izrazu za funkcijo . Vidimo lahko, da je ta integral le inverzna

2D Fourierova transformacija funkcije, ki je sorazmerna: , kjer je radij in polarni kot. Prvi način

realizacije je torej naslednji: uporabimo tanko lečo, da po Fourieru preslikamo ozko režo v obliki krožnega kolobarja,

na njej pa moduliramo amplitudo in fazo v skladu s kotnim spektrom , ki ga želimo reproducirati [5].

Slika 3. Eksperimentalna postavitev za preslikavo tankega krožnega kolobarja. [5,30]

V primeru, da na režo v takšni postavitvi pošljemo ravno valovanje ali osnoven Gaussov snop dobimo po preslikavi z

lečo osnoven Besselov snop, če pa na režo pošljemo snop, ki ima pri danem radiu konstantno amplitudo, fazo pa

oblike (npr. Laguerre-Gauss-ov snop) pa dobimo Besselov snop višjega reda. Seveda dobljeni snop ne bo

idealen, saj ima reža nujno končno debelino (idealna bi bila neskončno ozka), leča s katero preslikujemo ni

neskončno velika (aberacije, izguba energije) in energija, ki jo lahko pošljemo na režo je le končna (namesto

neskončna, kot pri idealnem brezuklonskem snopu). Snopi, ki jih tako ustvarimo, so tako le kvazi-brezuklonski snopi.

Največjo razdaljo, na kateri se snop še obnaša približno kot brezuklonski lahko ocenimo iz geometrijske optike.

Geometrijski žarki izhajajoči iz ene točke na utoru, so po preslikavi z lečo vsi med seboj vzporedni in tvorijo kot z

geometrijsko osjo, kjer je ta kot podan z relacijo:

, kjer je premer utora in goriščna razdalja leče. Tako

je (geometrijsko) osvetljen le stožec z osnovno ploskvijo na leči in višino [2]:

kjer je premer leče. predstavlja geometrijski »doseg« brezuklonskega snopa.

Iz izraza za dobimo še povezavo z valovnimi števili in brezuklonskega snopa (če geometrijsko interpretiramo

žarke kot ravne valove), kot (glej naslednje podpoglavje):

To metodo so Durnin et al. uporabili v [5], da so prvi pokazali obstoj Besselovega snopa. Glavna težava metode je, da

je količina energije, ki se izgubi ko pade svetloba na zaslon s krožni utorom, zelo velika [2] (za homogeno osvetlitev

kolobarja debeline se ohrani le

deleža vpadne svetlobe znotraj premera kolobarja ). Tako je intenziteta

snopa precej nižja od intenzitete vpadnega snopa, in sicer tem nižja, tem čistejši kvazi-brezuklonski snop imamo

(torej tem manjši je ); v idealnem primeru neskončno ozke reže ( ) je intenziteta dobljenega snopa ničelna!

9

Kot so opazili Durnin et al., pa zaradi neidealnosti celotne postavitve tudi intenziteta svetlobe na optični osi do

razdalje ni konstantna, ko osvetlimo postavitev z ravnim valovanjem (dobiti bi morali Besselov snop), temveč

precej oscilira (za snop na sliki je geometrijska ocena: , kar se dobro ujema z mestom začetka strmega

upada intenzitete):

Slika 4. Polna črta je osna intenziteta kvazi-Besselovega snopa, črtkana pa primerljivo širokega Gaussovega snopa. [5]

b) Uporaba stožčaste leče:

Na podoben način kot v prejšnjem podpoglavju, lahko tudi zaključimo, da izraz za funkcijo predstavlja le s funkcijo

uteženo kombinacijo ravnih valov, ki imajo svoje valovne vektorje na preseku sfere (na tej sferi ležijo

natanko tisti valovni vektorji, ki so dovoljeni po Helmholtzevi enačbi) s stožcem s simetrijsko osjo v smeri osi , tako

da je: , kjer sta in fiksni števili. Kot med plaščem in simetrijsko osjo stožca je

izražen z enačbo:

.

Slika 5. Geometrija valovnih vektorjev ravnih valov, ki sestavljajo brezuklonski snop. [28]

Ta vpogled v sestavo brezuklonskega snopa lahko izrabimo, da si zamislimo bolj učinkovit način za njegovo

realizacijo. V geometrijskem približku se raven val z valovnim vektorjem nadomesti z množico žarkov v smeri .

Tako bi torej morali dobiti brezuklonski snop, ki se širi naravnost, če vzamemo veliko žarkov, vseh pod kotom

glede na optično os, pod vsemi koti , amplitudno in fazno obteženimi še z . To pa je natanko snop za

stožčasto lečo (axicon lečo), če nanjo posvetimo z ravnim valom z dodano kotno odvisnostjo amplitude in faze .

Slika 6. Postavitev stožčaste leče za realizacijo kvazi-brezuklonskega snopa. [8]

Na tak način dosežemo, da se skoraj vsa energija (~100%) vpadnega snopa pretvori v kvazi-brezuklonski snop, kar je

izjemno pomembna prednost te metode tako pred prejšnjo (energetsko precej neučinkovito) metodo, kot tudi pred

ostalimi metodami (holografija ima npr. izkoristek le nekje od 40% do 60%) [2].

10

Uklonski kot in s tem tudi valovne vektorje snopa lahko geometrijsko ocenimo (za majhen ) kot:

kjer je kot med osnovno ploskvijo in plaščem ter relativni lomni količnik stožčaste leče glede na okolico.

Če je leča osvetljena v krogu premera , lahko ocenimo še razdaljo:

. Geometrijsko

osvetljeno področje je najširše pri:

, in ima tam premer:

.

Kot pri prejšnji postavitvi se tudi tu izkaže, da intenziteta na osi močno niha, če osvetlimo lečo z ravnim valom (z

namenom realizacije kvazi-Besselovega snopa), zaradi končne velikosti stožčaste leče, vendar se izkaže, da se te

oscilacije močno zmanjšajo, če osvetlimo lečo z ustrezno širokim Gaussovim snopom (velja: širina grla

Gaussovega snopa, s katerim osvetlimo lečo). Čeprav brez nihanj, pa intenziteta na osi žal tudi v tem primeru ni

konstantna (je gladka, vendar nekonstantna funkcija odmika ).

Slika 7. Intenziteta na osi kvazi-Besselovega snopa, dobljenega iz idealne stožčaste leče. [9]

Tudi problem z nihanjem intenzitete se ponovno pojavi, če ima stožčasta leča kakšne napake, npr. zaobljeno konico

[9] (s filtri se sicer da odpraviti tudi takšne napake [10]), ali pa če vpadni snop ni pravilno centriran [2].

Slika 8. Intenziteta na osi kvazi-Besselovega snopa, dobljenega iz stožčaste leče z zaobljeno konico. [9]

Neglede na te pomanjkljivosti je stožčasta leča osvetljena z Gaussovim snopom trenutno najbolj popularen in tudi

energetsko najbolj učinkovit (~100% učinkovitost) način, kako ustvariti osnoven Besselov snop [2]. Da ustvarimo višje

Besselove snope lahko uporabimo Laguerre-Gauss-ovo osvetlitev, saj na tak način dobimo ravno želeno kotno

odvisnost faze v snopu [7]. Druge kotne spektre je na tak način težje reproducirati.

Slika 9. Kvazi-Bessel-ov snop višjega reda iz stožčaste leče osvetljene z Laguerre-Gauss-ovim snopom. [7]

c) Holografija:

Najbolj vsestranska metoda za splošno oblikovanje snopov je brez dvoma holografija. Pri tej metodi uporabimo

bodisi statično ali pa spremenljivo holografsko ploščico kontrolirano s pomočjo računalnika (SLM oz spatial light

modulator naprava, ki je le posebna vrsta LCD zaslona), da na vpaden snop vnesemo želeno porazdelitev faze in/ali

11

amplitude. Tako lahko ustvarimo povsem poljubne snope, tudi kvazi-brezuklonske, z visoko učinkovitostjo (~40% do

~60%) [2].

Kvazi-brezuklonske snope lahko npr. ustvarimo tako, da moduliramo vpadajoči Gaussov snop z ustrezno fazno

porazdelitvijo, ki jo z računalnikom optimiziramo tako, da dobimo za hologramom čim boljši približek idealnemu

brezuklonskemu snopu (na nek način simuliramo delovanje stožčaste leče, vendar z več kontrole tako nad samo

»lečo« kot nad kotnim spektrom generiranega brezuklonskega snopa) [9].

Drug način uporabe holografije pa je, da uporabimo holografsko napravo, da vpaden snop moduliramo z Fourierovo

transformacijo želenega snopa, za holografsko napravo pa postavimo na goriščni razdalji tanko lečo, ki to spremeni v

želeni snop. Ta metoda je zelo popularna npr. za ustvarjanje splošnih svetlobnih snopov ter pospešujočih

brezuklonskih snopov, vendar se za brezuklonske snope, ki potujejo naravnost, ne uporablja pogosto, saj ima enako

visoke izgube kot preslikava krožnega kolobarja (Fourierova transformacija brezuklonskega snopa je kolobar), le da

imamo tokrat več kontrole nad kotnim spektrom snopa.

Te energijske omejitve bi se lahko rešili tako, da bi najprej vzeli stožčasto lečo, da bi Gaussov snop spremenili v

Besselov snop, nato bi z navadno lečo po Fourieru preslikali ta Besselov snop, kjer je najbolj podoben idealnemu, na

goriščni razdalji za lečo nastavili holografsko ploščico, nato pa to še z eno navadno lečo po Fourieru preslikali nazaj in

dobili želeni snop. Energetska učinkovitost bi bila teoretično okrog ~45% [9]. Prednost te variante holografije pa je,

da imamo z njo daleč največ kontrole nad Fourierovo transformiranko snopa, bolj kot pri katerikoli drugi metodi, kar

se je izkazalo kot bistveno, pri realizaciji kvazi-brezuklonskih snopov, ki imajo v želenem območju praktično

konstantno intenziteto brez oscilacij! Takšni snopi so osnovna zahteva pri mnogih praktičnih aplikacijah.

Slika 10. Kvazi-Bessel-ov snop s približno konstantno intenziteto. [9]

S pomočjo te dodatne kontrole nad snopom je bilo pokazano [9], da lahko ustvarimo tudi snope zelo podobne

brezuklonskim, ki pa nimajo nujno konstantne, temveč lahko tudi povsem poljubno odvisnosti intenzitete

(konstantna na zgornji sliki), kot tudi poljubno odvisnost širine glavnega vrha snopa, v odvisnosti od razdalje vzdolž

optične osi (linearno padajoča na spodnji sliki):

Slika 11. Kvazi-Bessel-ov snop z linearno padajočo širino glavnega vrha snopa. [9]

d) Ostale metode:

Kvazi-brezuklonske snope je mogoče realizirati še na drugih veliko načinov, v podrobnosti katerih se tukaj ne bomo

spuščali. Nekaj teh je: večosni kristali [11] (možnost ustvarjanja in spreminjanja reda Besselovih snopov), nelinearni

mediji [12] (enako), Fabry-Perot-ov interferometer s krožnim kolobarjem (enakomernejša intenziteta kot pri

preslikavi kolobarja) in kot lastni način ustreznega resonatorja (z uporabo optičnih elementov v resonatorju) [2].

12

3.2. »Pospešujoči« brezuklonski snopi:

Drug velik sklop brezuklonskih snopov so tako imenovani »pospešujoči« brezuklonski snopi oz. krajše kar »pospešujoči« snopi.

Leta 1979 sta Berry in Balazs [13] v okviru kvantne mehanike teoretično napovedala obstoj rešitve 1D Schrödingerjeve enačbe za prost delec, katere gostota verjetnosti se s časom po obliki ni spreminjala, vendar je doživela le časovno odvisen premik vzdolž osi . Njuna rešitev je bila ob času prva Airy-jeva funkcija ( je rešitev diferencialne enačbe: ) zato sta jo poimenovala Airy-jev valovni paket, oziroma kasneje v okviru optike Airy-jev snop.

Slika 12. Graf funkcije Ai(x).

Premik, ki ga doživi ta valovni paket oziroma snop je kvadraten v času, tako da enakomerno pospešuje, čeprav ni zunanjega potenciala, ki bi povzročal ta pospešek – pospešuje v praznem prostoru brez zunanjih sil! Zato tudi ime »pospešujoči« snopi svetlobe. Na prvi pogled je to v nasprotju z Ehrenfestovim teoremom, ki pravi, da se povprečen položaj valovnega paketa lahko spreminja kvečemu linearno s časom, če ni zunanjih sil (v klasični mehaniki pravi 1. Newtonov zakon poenostavljeno: brez sil ni pospeška), Berry in Balazs pa sta pokazala, da se Airy-jev valovni paket premika (brez spremembe oblike) kvadratno s časom (»pospešuje«).

Rešitev tega »problema« je, da Airy-jev paket ni normalizabilen (snop nosi neskončno količino energije) in tako povprečen položaj snopa ni dobro določena količina, zato tudi nima smisla govoriti o njegovem spreminjanju s časom [13]. Na tak način (z nenormalizabilno valovno funkcijo) se lahko torej, na nek način, izognemo 1. Newtonovemu zakonu – vendar le v teoriji, saj nenormalizabilne valovne funkcije in snopi z neskončno količino energije ne morejo obstajati v fizičnem svetu.

Seveda vsak eksperimentalno dosegljiv približek Airy-jevemu snopu nosi le končno količino energije, ima dobro definiran povprečen položaj (oz. centroido, v žargonu optike), in se tako pokorava Ehrenfestovem teoremu – njegov povprečen položaj se spreminja kvečemu linearno s časom – vendar pa se lahko njegov glavni vrh intenzitete vseeno premika po parabolični trajektoriji (kot delec v gravitacijskem polju). Cena za to, da se vrh premika parabolično (na omejenem delu prostora), pa je, da snop za sabo pušča vedno debelejši rep, ki črpa energijo iz glavnega vrha.

Bilo je pokazano, da je Airy-jev snop/valovni paket edini pospešujoč brezuklonski snop, ki je rešitev 1D Schrödingerjeve enačbe [14] (ni pa edina takšna rešitev 2D Schrödingerjeve enačbe [19]), leta 2007 pa je bil (kvazi-)Airy-jev snop prvič opažen tudi eksperimentalno v okviru optike (to so naredili Siviloglou, Broky, Dogariu in Christodoulides [15]), za kar so izkoristili omenjeno tesno povezavo med obosnim približkom v valovni optiki in Schrödingerjevo enačbo v kvantni mehaniki.

3.2.1. »Pospešujoči« brezuklonski snopi v (1+1)D:

Obosna valovna enačba se v brezdimenzijskih spremenljivkah:

, ( je poljuben) glasi:

kjer je

. V teh spremenljivkah ima 1D končno-energijski Airy-jev snop ( eksponentno zaključen

Airy-jev snop, kjer je: ) z začetno hitrostjo (če dan snop na razdalji pomnožimo z

eksponentom: , dobimo v obosnem približku:

) obliko [16]:

13

V členu prepoznamo balistično (to je parabolično v ravnini – ) trajektorijo (vrha) snopa z začetnim

»strelnim kotom«:

in enakomernim pospeškom:

. Trajektorija vrha snopa je torej:

(analogno položaju delca pod vplivom ). Največji prečni odklon je:

[16].

Eksponentna zaključitev sicer kvari kvaliteto snopa za , vendar zagotovi normalizabilnost funkcije , in s tem

končnost energije snopa (norma v 1D [17]:

). Kadar je imamo opravka s pospešujočim

brezuklonskim snopom, če pa je pa le s pospešujočim kvazi-brezuklonskim snopom.

Kadar je je definirana tudi trajektorija centroide [16]:

, ki pa je le premica, in ni balistična

(v nasprotju z trajektorijo vrha snopa pri ). To zadošča Ehrenfestovemu teoremu (oz. 1. Newtonovemu zakonu v klasični mehaniki).

Slika 13. Idealen snop (a = 0) pri različnih v (različnih strelnih kotih). Na sliki sta s in zamenjana glede na besedilo.

Slika 14. Izmerjene trajektorije vrha snopa (levo) in centroide (desno) (a=0.08, x0=59μm). [16]

Na slikah se lepo vidi balistično obnašanje vrha snopa in linearnost centroide.

Slika 15. Primerjava idealnega Airy-jevega snopa (a=0, leva slika), in končno-energijskega (a=0.05, desna slika) z v=0. Na sliki sta s in

zamenjana glede na besedilo. [15]

Opazimo, da sta si oba snopa v okolici glavnega vrha precej podobna, oba na videz »pospešujeta«, vendar se s propagacijo snop z začne slabšati (glavnemu vrhu se intenziteta manjša, nihaji v prečni smeri pa počasi izginjajo). Tak razpad kvazi-Airy-jevega snopa je prikazan bolj podrobno na sliki 16.

14

Slika 16. Razpad kvazi-Airy-jevega snopa z a=0.1 . [17]

Bilo je pokazano [17] (Fraunhofer-jev uklon), da na večjih razdaljah intenzitetni profil takega, končno-energijskega Airy-jevega snopa, postaja vedno bolj podoben profilu Gaussovega snopa. Le na krajših razdaljah je še podoben idealnemu Airy-jevemu snopu (razpad snopa poteka od repa proti glavnemu vrhu – ta izgine zadnji). Kljub vsemu pa za zgornje snope na manjših razdaljah opazimo »pospeševanje« glavnega vrha snopa. Kaj pa če povečamo ?

Slika 17. Primerjava razpadov kvazi-Airy-jevih snopov z različnimi a. Na sliki ima s pomen -ja iz besedila. [18]

Za večje vrednosti parametra torej snop razpade mnogo prej, lahko celo tako hitro, da interpretacija s »pospeševanjem« glavnega vrha snopa ni več primerna na nobeni razdalji. Za uporabne »pospešujoče« kvazi-brezuklonske snope mora biti torej resnično parameter [18].

3.2.2. »Pospešujoči« brezuklonski snopi v (2+1)D:

Končno-energijski Airy-jev snop lahko posplošimo na 2D npr. kot produkt dveh 1D Airy-jevih snopov:

Vendar pa to, za razliko od 1D primera, ni edini (sicer eksponentno zaključen) primer »pospešujočega« brezuklonskega snopa. Bandres [19] je decembra leta 2009 pokazal, da je najbolj splošna oblika (vzdolž koordinate ) pospešujočega idealnega ( ) brezuklonskega snopa z naslednja:

kjer predstavlja začetni premik snopa vzdolž osi , pa je poljubna kompleksna funkcija .

pravimo linijski spekter pospešujočega brezuklonskega snopa, po analogiji s kontnim spektrom brezuklonskih

snopov, ki se širijo naravnost. V tem izrazu sicer ni začetne hitrosti, vendar bi jo zlahka dodali s členom ob , z zasukom koordinatnega sistema v x-y ravnini pa bi dobili tudi snop, ki pospešuje v poljubni smeri.

Funkcija je najbolj splošna rešitev enačbe [19]: (to je enačba za stacionarno

stanje kvantnega delca v linearnem potencialu – pospešujoče valovne pakete se da tako interpretirati kot stacionarna stanja delca v homogenem gravitacijskem polju, gledanega iz prosto padajočega koordinatnega sistema [21]). Za to enačbo obstajajo tudi separabilne rešitve, ki potem tvorijo bazo za razvoj vseh pospešujočih brezuklonskih snopov (npr. Airy-jevi snopi v kartezičnih in pospešujoči parabolični snopi v paraboličnih koordinatah

[20]). Za drži: da 2D Airy-jeve snope: ,

da 1D Airy-jeve snope: , snopa z različnima pa sta ortogonalna.

15

Slika 18. Nekaj pospešujočih brezuklonskih snopov z ustreznimi lininjskimi spektri. Od leve proti desni: 2D Airy-jev snop, parabolični snop

reda 5, 1D Airy-jev snop in dva »naključna« pospešujoča snopa. [19]

Pri linearni kombinaciji dveh pospešujočih snopov dobimo pospešujoč brezuklonski snop le, če je njun enak (zaradi

člena: ). Ker je poljubna kompleksna funkcija, je pospešujočih brezuklonskih snopov neskončno mnogo.

Slika 18 kaže le nekaj primerov. Vidimo, da imajo vsi dolg rep in so po konstrukciji nenormalizabilni. Končno

energijski so izpeljani snopi: , kjer je idealen

pospešujoč brezuklonski snop [19].

3.2.3. Eksperimentalna realizacija:

a) Holografija:

Najbolj direkten način realizacije pospešujočega kvazi-brezuklonskega snopa je, da z lečo po Fourieru preslikamo njegovo Fourierovo transformiranko pri . V brezdimenzijskih spremenljivkah je pri ta sorazmerna:

.

Slika 19. Fazna maska in rezultirajoči intenzitetni profil za 2D Airy-jev snop. [23]

Ustrezno porazdelitev faze in/ali amplitude lahko ustvarimo bodisi s SLM napravo (sliki zgoraj), ali pa s statičnim hologramom. Trenutno je holografija najbolj popularna metoda za realizacijo pospešujočega kvazi-brezuklonskega snopa.

b) Ostale metode:

Drug način za ustvarjanje kvazi-Airy-jevih snopov je uporaba asimetričnih nelinearnih fotonskih kristalov, ki izrablja izrazito nelinearne pojave, da pretvori Gaussov snop v približek Airy-jevega snopa. Ta metoda ima to prednost, da je popolnoma pasivna in omogoča povsem optično manipulacijo z Airy-jevimi snopi. Prednost metode je tudi možnost doseganja valovnih dolžin, ki niso primerne za holografske pristope [22].

Slika 20. Pretvorba Gauss-ovega snopa v Airy-jev snop s pomočjo nelinearnega fotonskega kristala. [22]

16

4. Samoobnavljanje brezuklonskih snopov:

4.1. Opis samoobnavljanja in izpeljava iz Babinet-ovega principa:

Ena izmed izjemnih lastnosti snopov brez uklona je samoobnavljanje (self reconstruction): če delu snopa postavimo (npr. neprepustno) oviro, se bo snop na neki karakteristični razdalji za oviro skorajda v celoti obnovil, tudi če ta ovira zastira dele snopa z največjo intenziteto (realnemu snopu se skupna intenziteta sicer zmanjša, vendar se oblika snopa ohrani).

Da bi razumeli zakaj pride do samoobnavljanja, se spomnimo na Babinet-ov princip [24], ki pravi, da je polje, ki se širi za oviro ( ) enako polju, kot bi se širilo skozi prostor, če ovire tam ne bi bilo ( ), minus del polja osnovnega snopa, ki bi izhajal iz mesta ovire same, če bi bila ovira v resnici luknja ( ). Bolj natančno:

Če je npr. ovira pri in pomnoži osnovno polje s funkcijo: , potem je pri :

in: .

Če imamo sedaj osnovno polje , ki je snop brez uklona in je funkcija takšna, da je polje snop s

končno količino energije (to velja npr. za vsako oviro končne velikosti), potem:

(slika luknje se torej

razmaže na tem večjo površino, tem večji je , njena amplituda pa pada, saj se skupna energija vsakega snopa pri širjenju ohranja), medtem ko ostaja nemoten, saj je po predpostavki brezuklonski. Sledi, da je s povečevanjem zmoteno polje vedno bolj podobno nemotenemu polju, ne glede na obliko ali položaj ovire:

Tej lastnosti pravimo samoobnavljanje, in velja eksaktno le za idealne snope brez uklona. Zanimivo pa je, da se ta lastnost ohrani, tudi če imamo opravka le s kvazi-brezuklonskimi snopi, vsaj na relativno majhnih razdaljah. Okvirno: velja kjer je kvazi-brezuklonski snop še vedno brez znatnega širjenja, obnovitev snopa pa se zgodi kjer se bi npr. Gaussov snop s širino grla v velikosti ovire že znatno razširil (kar pa je lahko precej prej kot pa se začne sam kvazi-brezuklonski snop znatno širiti).

4.2. Primer samoobnavljanja Airy-jevega snopa in Poyntingov vektor:

Poglejmo si sedaj bolj podrobno, kako izgleda sam proces samoobnavljanja na primeru.

Slika 21. Samoobnavljanje končno-energijskega Airy-jevega snopa z: x0=77 μm, in: a=0.08, ki smo mu s kvadratno oviro zastrli glavni vrh.

Intenzitetni profili pri: z=0 cm,11 cm,30 cm za oviro. [23]

Vidimo, da se je uspešno obnovil glavni vrh snopa, brez da bi to bistveno vplivalo na obliko preostalega dela snopa. Da bi videli, da se je obnovitev zgodila ravno zato, ker se je, po Babinet-u, slika blokiranega dela snopa toliko razširila, da ne vpliva več znatno na obliko snopa si poglejmo glavni vrh Airy-jevega snopa, če bi ga pustili, da se prosto razširi (slika 22).

17

Slika 22. Slike glavnega vrha Airy-jevega snopa pri z=0 cm,30 cm. [23]

Vidimo, da se je na razdalji slika glavnega vrha Airy-jevega snopa razširila za približno 5-krat glede na začetno velikost pri , medtem ko se sam Airy-jev snop praktično ni razširil, kot je razvidno iz slike 21. Zaključimo lahko, da Babinetov princip deluje odlično za opis takšne samoobnovitve.

Da bi bolje razumeli kako, ne le zakaj, pride do samoobnovitve, pa si lahko ogledamo še transverzalne energijske tokove (transverzalne komponente Poyntingovih vektorjev), ki »oblikujejo« razporeditev intenzitete (prenašajo energijo v transverzalni smeri), medtem ko se veča.

Slika 23. Transverzalni energijski tokovi (puščice) pri samoobnovitvi Airy-jevega snopa pri z=1 cm,11 cm. [23]

Vidimo, da se samoobnovitev zgodi tako, da se energija/intenziteta, ki manjka na mestu zakritega glavnega vrha Airy-jevega snopa, tja prenese iz sosednjih vrhov (leva slika), katerim pa se na ta račun intenziteta zmanjša. Ko je samoobnovitev pri koncu (desna slika), pa se energijski tok večinoma preusmeri v smer kamor bi kazal, če ovire ne bi bilo (tukaj je to pod kotom 45° glede na x-os, kar je potrebno, da lahko snop v tej smeri »pospešuje«) [23].

4.3. Primer samoobnavljanja Bessel-ovega snopa in geometrijska senca:

Izpeljimo še oceno za razdaljo na kateri se snop, ki se širi naravnost, samoobnovi. Spomnimo se, da so takšni brezuklonski snopi sestavljeni iz tistih ravnih valov, ki oklepajo s smerjo širjenja en sam, fiksen kot. Zato bi v približku geometrijske optike, kjer opišemo raven val kot sestavljenega iz neskončnega števila vzporednih žarkov, pričakovali, da bi ovira postavljena na pot takšnemu snopu pri za sabo vrgla (geometrijsko) senco v obliki stožca, ki sega do [24]:

Slika 24. Geometrijska slika samoobnovitve kvazi-Bessel-ovega snopa. [24]

kjer je premer ovire, valovno število in transverzalno valovno število brezuklonskega snopa, ki se širi naravnost. Desni del velja za stožčasto lečo ter za preslikavo kolobarja. Poglejmo si sedaj kot primer samoobnavljanje

18

idealnega Bessel-ovega snopa, ki ima zastrt osrednji vrh s krožno oviro (slike pri

, kjer ovira

zastira snop vse do radia kjer vodoravna črta seka krivuljo):

Slika 25. Slike snopa pri z=0,zmin/2,zmin,4zmin, kjer ovira zastira snop do radia kjer vodoravna črta seka krivuljo. [24]

Vidimo, da se približek razdalje, na kateri se zgodi samoobnovitev, iz geometrijske optike v praksi precej dobro obnese.

Še slika Besselovega snopa, ustvarjenega iz stožčaste leče osvetljene z Gaussovim snopom, z več ovirami pri (sliki na mestu ovir in na mestu obnovitve snopa):

Slika 26. Samoobnovitev kvazi-Bessel-ovega snopa za večimi ovirami. [8]

Vidimo, da tudi pri večjem številu ovir samoobnovitev deluje izjemno dobro.

4.4. Uporaba pojava samoobnavljanja:

Samoobnavljanje je zelo uporabna lastnost brezuklonskih snopov, ki omogoča, da lahko npr. uporabimo te snope za manipulacijo večih delcev naenkrat (v postavitvi optične pincete). Tako lahko npr. optično manipuliramo z delci v dveh ali večih ravninah hkrati [25] (slika 27, levo), ali pa celo ustvarimo spontane 1D verige optično ujetih delcev v Bessel-ovem snopu (opazili so do 50 delcev v verigi dolgi več milimetrov [26]) (slika 27, desno).

19

Slika 27. Levo: eksperimentalna postavitev za manipulacijo z delci v večih ravninah naenkrat [25]. Desno: eksperimentalno opažena 1D

veriga delcev (premera 3 μm), ki se je spontano sestavila znotraj Bessel-ovega snopa [26].

Nov delec v verigi se ujame na mesto kjer se snop, zasenčen od sosednjega spodnjega delca, že deloma samoobnovi in tako ustvari mesto visoke intenzitete svetlobe, privlačno za nov delec. Ta delec nato na svojem mestu ponovno deloma zasenči snop, ki se samoobnovi šele neko razdaljo za njim in tako naprej. Tako dobimo 1D verigo napovedljivo prostorsko razmaknjenih delcev.

5. Zaključek: V tem seminarju sem predstavil nekaj splošne teorije uklona in povezave obosnega približka s kvantno mehaniko, nato pa sem si podrobneje pogledal brezuklonske snope svetlobe in podal njihovo klasifikacijo. Videli smo, da se brezuklonski snopi svetlobe delijo v grobem v dve širši družini: takšne, ki potujejo naravnost (predstavljajo nekakšne neskončne toge »palice« svetlobe) in takšne, ki med propagacijo skozi prazen prostor »pospešujejo« (se obnašajo kot kvantni delec v homogenem gravitacijskem polju, čeprav potujejo skozi vakuum).

Podrobneje smo si ogledali tudi eksperimentalne postavitve, v katerih lahko ustvarimo približke idealnih brezuklonskih snopov, in si na koncu pogledali še posebnost brezuklonskih snopov – lastnost samoobnavljanja.

Naj omenim, da so ti snopi (pospešujoči morda še bolj kot naravnost potujoči) predmet intenzivnih teoretičnih in eksperimentalnih raziskav v zadnjih letih, predvsem zaradi njihovih mnogih neintuitivnih lastnosti in potenciala za uporabo na mnogih raznolikih področjih (med drugim zelo obetavno na področju optične mikro-manipulacije [49]). Predvsem področje pospešujočih snopov je relativno mlado področje, ki je doživelo razcvet šele nekje v zadnjih treh letih, po prvi eksperimentalni potrditvi teoretičnih napovedi.

Obstaja še veliko vidikov teh snopov, ki se navezujejo na podano snov, vendar bi njihova vključitev presegala okvirje tega seminarja – predvsem bi se lahko bolj osredotočili tudi na specifične uporabe teh snopov v praksi, vendar te pogosto zahtevajo nekaj predznanja.

Teoretično bi lahko obravnavo razširili še na nestacionarne oz. pulzne snope (npr. tako imenovane X-wave snope [31], ali pa Airy-jeve [32] in Airy-Bessel-ove pulze [33]), ali pa v drugo smer na splošne samoupodabljajoče snope [34] (ti so npr. helični snopi, katerih intenzitetni profil se med propagacijo ne spreminja, le vrti se okrog optične osi [35]).

V tesni povezavi z uporabo brezuklonskih snopov je tudi obravnava spinske (polarizacija) in tirne vrtilne količine valovanja (struktura snopa) [36] in preko tega tudi celotno področje singularne optike [37,38,50]. Ta npr. obravnava objekte kot so optični vrtinci – fazne singularnosti s pripisanim topološkim nabojem, ki lahko nosijo vrtilno količino. Takšna fazna singularnost se npr. nahaja v sredini vsakega višjega Laguerre-Gauss-ovega in Bessel-ovega snopu in je pomembna v praksi, saj jo lahko npr. uporabimo za (povsem optično) vrtenje delcev z optično pinceto [39,40].

Zanimivo področje, ki se ga nismo lotili, je tudi področje femtosekundne in nelinearne optike, kjer lahko uporabimo npr. Airy-jeve ali Bessel-ove pulzne snope za učinkovito ustvarjanje tankih filamentov – kanalov – ionizirane plazme v snovi (Bessel-ov snop ustvarja ravne, Airy-jev snop pa celo ukrivljene filamente [41-43]), s pomočjo katerih bi lahko npr. ustvarjali zapletena fotonska vezja (s temi snopi bi kontrolirano »izdolbli« ravne ali krive kanale v substratu), ali pa nekega dne celo preusmerjali strele (proženje strel po tem mehanizmu je bilo že eksperimentalno potrjeno [44]).

Če povzamem, obravnavali smo le delček tega zanimivega in hitro rastočega področja optike, osredotočili smo se pa predvsem na natančno razčlenitev snopov brez uklona in razlago njihovih nenavadnih lastnosti.

20

6. Literatura:

[1] H. A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics (Prentice Hall, New Jersey, 1984). [2] D. McGloin in K. Dholakia, Contemporary Physics 46, 15 (2005). [3] T. T. Wu in H. Lehmann, J. Appl. Phys. 58, 2064 (1985). [4] J. Durnin, J. Opt. Soc. Am. A 4, 651 (1986). [5] J. Durnin, J. J. Miceli, Jr. in J.H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 58, 1499 (1987). [6] M.A. Bandres, J.C. Gutiérrez-Vega in S. Chávez-Cerda, J. C. Opt. Lett. 29, 44 (2004). [7] J. Artl in K. Dholakia, Opt. Commun. 177, 297 (2000). [8] C. N. Anderson, M. Sc. thesis, University of Arizona, 2005. [9] T. Čižmár in K. Dholakia, Opt. Express 17, 15558 (2009). [10] O. Brzobohatý, T. Čižmár in P. Zemánek, Opt. Express 16, 12688 (2008). [11] T. A. King et al., Opt. Commun. 187, 407 (2001). [12] D. Ding in D. Ding, J. Y. Lu, Phys. Rev. E 61, 2038 (2000). [13] M. V. Berry in N. L. Balazs, Am. J. Phys. 47, 264 (1979). [14] K. Unnikrishnan in A. R. P. Rau, Am. J. Phys. 64, 1034 (1996). [15] G. A. Siviloglou, J. Broky, A. Dogariu in D. N. Christodoulides, Phys. Rev. Lett. 99, 213901 (2007). [16] G. A. Siviloglou, J. Broky, A. Dogariu in D. N. Christodoulides, Opt. Lett. 33, 207 (2008). [17] G. A. Siviloglou in D. N. Christodoulides, Opt. Lett. 32, 979 (2007). [18] I. M. Besieris in A. M. Shaarawi, Opt. Lett. 32, 2447 (2007). [19] M. A. Bandres, Opt. Lett. 34, 3791 (2009). [20] M. A. Bandres, Opt. Lett. 33, 1678 (2008). [21] D. M. Greenberger, Am. J. Phys. 48, 256-256 (1980). [22] T. Ellenbogen, N. Voloch-Bloch, A. Ganany-Padowicz in A. Arie, Nat. Photonics 3, 395 (2009). [23] J. Broky, G. A. Siviloglou, A. Dogariu in D. N. Christodoulides, Opt. Express 16, 12880 (2008). [24] Z. Bouchal, J. Wagner in M. Chlup, Opt. Commun. 151, 207 (1998). [25] V. Garcés-Chávez, D. McGloin, H. Melville, W. Sibbett in K. Dholakia, Nature 419, 145 (2002). [26] V. Garcés-Chávez et al., Appl. Phys. Lett. 85, 4001 (2004). [27] F. G. Mitri, Ann. Phys. 323, 1604 (2007). [28] J. C. Gutiérrez-Vega, M. D. Iturbe-Castillo in S. Chávez-Cerda, Opt. Lett. 25, 1493 (2000). [29] Z. Bouchal, Czech. J. Phys. 53, 537 (2003). [30] C. A. McQueen, J. Arlt in K. Dholakia, Am. J. Phys. 67, 912 (1999). [31] J. Y. Lu in J. F. Greenleaf, IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control 39, 441 (1992). [32] P. Saari, Opt. Express 16, 10303 (2008). [33] A. Chong, W. H. Renninger, D. N. Christodoulides in F. W. Wise, Nat. Photonics 4, 103 (2009). [34] R. Piestun, Y. Y. Schechner in J. Shamir, J. Opt. Soc. Am. A 17, 294-303 (2000). [35] C. Paterson in R. Smith, Opt. Commun. 124, 134-140 (1996). [36] J. Allen, M. W. Beijersbergen, R. J. C. Spreeuw in J. P. Woerdman, Phys. Rev. A 45, 8185 (1992). [37] Z. Bouchal in J. Courtial, J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 6, S184 (2004). [38] M. V. Berry, in. Intl. Conf. on Singular Optics, M. S. Soskin, ed., Proc. SPIE 3487, 1 (1998). [39] J. C. Gutiérrez-Vega in C. López-Mariscal, J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 10, 015009 (2008). [40] K. Volke-Sepulveda et al., J. Opt. B: Quantum Semiclassical Opt. 4, S82 (2002). [41] J. Kasparian in J.-P. Wolf, Science 324, 194 (2009). [42] P. Polynkin et al., Science 324, 229 (2009). [43] J. Kasparian in J.-P. Wolf, J. Eur. Opt. Soc, Rapid Publ. 4, 09039 (2009). [44] J. Kasparian et al., J. Eur. Opt. Soc, Rapid Publ. 3, 08035 (2008). [45] D. J. Stevenson et al., J. R. Soc. Interface (2010) [Epub ahead of print]. [46] X. Tsampoula et al., Appl. Phys. Lett. 91, 053902 (2007). [47] C. T. A. Brown et al., J. Biophot. 1, 183 (2008). [48] K.-S. Lee in J. P. Rolland, Opt. Lett. 33, 1696 (2008). [49] J. Baumgartl, M. Mazilu in K. Dholakia, Nat. Photonics 2, 675 (2008). [50] J. F. Nye in M. V. Berry, Proc. R. Soc. Lond. A. 336, 165 (1974). [51] A. Sezginer, J. Appl. Phys. 57, 678 (1985).