MJERE CENTRALNE TENDENCIJE MJERECENTRALNETENDENCIJEAritmetikasredinaMedijanModGeometrijska sredina GeometrijskasredinaHarmonijskasredinaMJERACENTRALNETENDENCIJEilisredinjavrijednost jestbrojanavrijednostkojareprezentiraskupinurezultatausluajevimakadarezultati p jimajutendencijugrupiranjaokonekevrijednosti vrijednosti.ARITMETIKA SREDINA ARITMETIKASREDINA_ OznaavaseXiliM(mean). Izraunizsirovihrezultata:zbrojsvihvrijednostinuskupurezultatapodijeljensukupnimbrojemrezultata.M=E X/NNpr.5,6,6,7,8M=32/5=6,4Uvjet za izraunavanje aritmetike sredine! Uvjetzaizraunavanjearitmetikesredine! Nepostojanjeekstremnihrezultata Ukoliko postoje: izbaciti ih! Ukolikopostoje:izbacitiih!Npr.10,12,14,13,35,11,16ARITMETIKA SREDINA Kod velikog broja rezultata koji su grupirani u razrede:ME ( f) / NKod velikog broja rezultata koji su grupirani u razrede:M=E (mxf)/N,gdjejemsredinarazreda,affrekvencija. g j j , jNprDate su frekvencije dobi zaposlenika u nekoj veoj organizaciji Npr. Datesufrekvencijedobizaposlenikau nekojveojorganizacijiInterval f20-29 146M = (24,5*146)+(34,5*210)+(44,5*151)+(54,5*121)+(64,5*88) / 716 =30-39 21040-49 151= 29812 / 716 = = 41 63650-59 12160-69 88= 41,636Zajednika aritmetika sredina Zajednikaaritmetikasredinak i ti k k j i j ili i t i ki t i li sekoristiakosmonekupojavuizmjerilivieputaisvakiputizraunaliaritmetikusredinu. Utomsluajunesmijemozbrojitisvearitmetikesredineipodijelitiihh b k d k l l njihovimbrojem,jerjearitmetikasredina,kaoteiterezultataosjetljivanavrijednostibrojrezultata.Toznaidabizajednikaaritmetikasredinazbogjedneekstremnearitmetikesredinemoglabitiznaajnopomaknuta, j dj t it tik di d bi i l b j j j amoguejedajetaaritmetikasredinadobivenaizmalogbrojamjerenja,paonauukupnombrojumjerenjanebismjelaimatiznaajnijiutjecaj. zajednikaM=E NiMi/E NiPrimjerzazajednikuaritmetikusredinuMjerenje N M N*M1 5 20,5 102,52 40 22 8803 17 23,1 392,74 35 22,2 777= 97 =2152,2zajed M= 2152 2 / 97 = 22 187 zajed. M 2152,2 / 97 22, 187Medijan (C) = centralna vrijednost Medijan(C)=centralnavrijednost vrijednostkojasenalazitonousrediniunizurezultataporedanihpoveliini. p p Formulazaizraunavanjepoloajacentralnevrijednosti: C= (N + 1) / 2 vrijednosti:C=(N+1)/2 Tomformulommoemoizraunatidasemedijannalazinpr.napetommjestuunizuionda oitamo tu vrijednost koja je centralna ondaoitamotuvrijednostkojajecentralnavrijednostilimedijan.Primjer izraunavanja medijana Primjer izraunavanja medijanaRedni broj rezultata Rezultat1. 5Poloaj C= (5+ 1) / 2 = 32. 63. 6C= 64. 75. 8Mod(D)=dominantnavrijednost vrijednost koja je u nizu mjerenja vrijednostkojajeunizumjerenjanajeepostignuta,odnosnovrijednostsnajveomfrekvencijom.Npr.5,6,6,7,8D= 6Rezultat FrekvencijaD= 6(f=2)5 16 27 18 1Geometrijskasredina(G)(logaritamskasredina) definirasekaontikorjenizumnoakaizmeuNbrojeva. jG=N\ X1X2.Xn i k j bil k ji b j l ili nemoeseraunatiakojebilokojibrojnulailinegativan. najeesekoristikaomjeraprosjenebrzinenekih promjena nekihpromjena.Primjer 1 Primjer1k j j 99 i l 2000 ik Nekojemjesto1995.imalo2000stanovnika,1996.9000stanovnika,a1997.godine18000stanovnika.Kolikojeprosjenoporaslapopulacijasvakegodine?1996.brojstanovnika4,5putaveinego1995.X1=4,5 1997.brojstanovnika2putaveinego1996.X2=2G=22 5 , 4 x =9= 3.Populacija je u prosjeku rasla 3 puta godinje Populacija je u prosjeku rasla 3 puta godinje.Primjer 2 Primjer2. l d d l l d Prosjenaplaaseod1997do2002mijenjalanaslijedeinain:1997.g. 3056kn1998 g 3127 kn 1998.g. 3127kn1999.g. 3300kn2000.g. 3450kn2001.g. 3512kn2002.g. 3789knKoliko je prosjeno plaa rasla godinje?Primjer2 RjeenjeProsjena plaa se od 1997 do 2002 mijenjala na slijedei nain: Prosjenaplaaseod1997do2002mijenjalanaslijedeinain:1997.g. 3056kn1998.g. 3127kn1,02321999.g. 3300kn2000.g. 3450kn1,05531,04541,017972001.g. 3512kn2002.g. 3789kn1,078950789 , 1 * 01797 , 1 * 0454 , 1 * 0553 , 1 * 0232 , 1 = G523975 , 1= 1,044 =Provjera - 3056*1,044*1,044*1,044*1,044*1,044= 3790Harmonijska sredina (H) Harmonijskasredina(H) definirasekaorecipronavrijednostaritmetikesredinerecipronihvrijednosti p jnumerikevarijableNH1= Koristiserijetko,uglavnomkadaseelidobitiprosjek nekih odnosax1prosjeknekihodnosa.Primjer 1 Primjer1Ak d lj t d 200 k ki j d j Akoudaljenostod200kmnekivozaujednomsmjeruproebrzinomod50km/h,aupovratkubrzinom100km/h,kolikajeprosjenabrzinatogvozaatokomcijelogputa?Dakle,prosjenabrzinanije75km/hjertimeuraunnebismouzeliivrijeme.Naime,dajeonjedansatvozio100,adrugisat50h km H / 7 , 6603 , 0250110012= =+=km/h,ondabiprosjenabrzinabila75.Alionje200kmproaoujednomsmjeruza4sata(kadajebrzinabila50km/h),audrugomsmjeru za 2 sata (kada je vozio 100 km/h)50 00smjeruza2sata(kadajevozio100km/h).Tojeukupno6sati,a400/6=66,7Primjer 2 Primjer2Da bi se dobio povrat uloenih 1 mil kn Dabisedobiopovratuloenih1milknputemulaganjauinvesticijskiprojektApotrebnoje12mj,ulaganjem u projekt B 6 mj, ulaganjemuprojektB6mj,iuprojektC4mj.Akoinvestitorimauloenistiiznos,tj,1milknusvatriprojektatijekomrazdobljaod12mj,kolikojeutomsluajuprosjenovrijemepovratajediniceuloenogkapitala?Primjer 2 Rjeenje Primjer2.RjeenjeH3/ ( 1/12+1/6+1/4) 6 mj H=3/(1/12+1/6+1/4)=6mjUovombisluajubilopogrenoraunatiaritmetikusredinu(12+6+4)/3=7,33mj.Naime, u razdoblju investiranja od 12 mj investicija A rezultirala je s 1 mil kn, Naime,urazdobljuinvestiranjaod12mjinvesticijaArezultiralajes1milkn,investicijaBs2milkn,iinvesticijaCs3milkn(ukupno6milkn)).Pomnoimoli7,33mjs6milkndobivamoznatnovieod36mj(kolikojetrajaloij l j t i j kt j d (12 j *3) N i k ij vrijemeulaganjausvatriprojektazajedno(12mj*3).Naime,ukupnovrijemeinvestiranjapodijeljenorezultirajuimkapitalomdajeprosjenovrijemepovratajediniceuloenogkapitala.Stoga,traeniposjekpomnoenrezultiajuimkapitalommoradatiukupnovrijemeinvestiranja. g , p j p j p p j jTomzahtjevuudovoljavaharmonijskasredina.Uovomsluajuonaiznosi:6mj,akadpomnoimodobivenirezultatdobivenirezultats6tj.srezultirajuimkapitalom,dobivamo36tjbrojmjesecitrajanjasvihulaganja.Zadaci za vjebu Zadacizavjebu1 zadatak 1.zadatakIzraunati aritmetiku sredinu medijan i mod za slijedei niz Izraunatiaritmetikusredinu,medijanimodzaslijedeinizrezultata:120113117118128129131122116118 1181 Zadatak Rjeenje 1.Zadatak RjeenjeM=1212/10=121,2Pol C = (10+1)/2 = 11/2 = 5.5 C = 119 PolC (10+1)/2 11/2 5.5C 119D=1182.ZadatakIzraunati aritmetiku sredinu iz grupiranih rezultata:R d S di d F k ij Razred Sredina razreda (m)Frekvencija(f)200 204 202 1 200-204 202 1205-209 207 1210-214 212 2215-219 217 3220-224 222 5225-229 227 8230-234 232 2235 239 237 2 235-239 237 2240-244 242 12 Zadatak Rjeenje 2.Zadatak RjeenjeM=(mxf)/N=5590/25=223,63.ZadatakNeki je anketar u tri razliita grada kupovao papir za istraivake svrhe. Neki je anketar u tri razliita grada kupovao papir za istraivake svrhe. Prosjena cijena pakovanja papira u pojedinom gradu, kaoi broj kupljenih pakovanja u svakom od tri grada navedeni su dolje. Koliko je tog anketara prosjeno stajalo svako pakovanje papira? p j j p j p pGrad Cijena pakovanja Broj kupljenih pakovanja papira pakovanja papiraibenik 41,00 kn 5Split 35,00 kn 15Zadar37,00 kn 93 Zadatak Rjeenje 3.Zadatak RjeenjeM=Mi*Ni/N=1063/29=36.66MJEREVARIJABILNOSTIRasponS d j d j SrednjeodstupanjeStandardnadevijacijaKoeficijentvarijabilnostiPoluinterkvartilnorasprenjeVarijabilnost? Varijabilnost?Kodmjerenjaodreenihpojava,rezultatiestoimajutendencijugrupiranjaokosrednjevrijednostikojabi j g p j j j jtrebalareprezentiratiskuprezultata.k d k Akosuvrijednostinekognizamjerenjagustogrupiraneokosrednjevrijednostitadaonadobroreprezentirarezultate rezultate.Kodminimalnoggrupiranjarezultatasrednjavrijednost g g p j j jslaboreprezentirarezultate.Varijabilnost?Npr.akosurezultatinekognizamjerenjasvijednaki,onda je taj rezultat sredinja vrijednost i ona dobro ondajetajrezultatsredinjavrijednost,ionadobroreprezentirarezultate,adistribucijaizgledaovako:MVarijabilnost?Ako su svi rezultati u mjerenju neke pojave razliiti i nepokazuju tendenciju grupiranja onda aritmetika sredina ne pokazuju tendenciju grupiranja, onda aritmetika sredina nereprezentira dobro rezultate, a distribucija izgleda ovako:MMVarijabilnost?Mjeracentralnetendencijesamaposebi nijed lj t t lt t dovoljanreprezentantrezultata.Potrebnojeznatiikakoserezultatigrupirajuokoaritmetikesredine,odnosnokakvaje distribucija. , j jNa taj nain saznajemo i koliko dobro aritmetika Natajnainsaznajemoikolikodobroaritmetikasredinareprezentirarezultate.Mjere varijabilnosti Mjerevarijabilnosti ukazujunatokolikorezultativarirajuokosrednjevrijednosti. j jRASPONR j lik i j i j j Rasponjerazlikaizmeunajveeginajmanjegrezultatauskupini.N jj d t ij li i j j i j Najjednostavnija,aliinajmanjepreciznamjeravarijabilnosti. Npr: U skupini rezultata 1 34 6 27 33 17 raspon Npr:Uskupinirezultata1,34,6,27,33,17,rasponrezultataje341=33. Nedostaci ove mjere: jedan ekstremni rezultat znatno Nedostaciovemjere:jedanekstremnirezultatznatnopoveavaraspon,aiobinojeveitojeveibrojmjerenjanekepojave. j j p jSREDNJE ODSTUPANJE SREDNJEODSTUPANJE prosjena veliina odstupanja pojedinanih rezultata od aritmetike sredine bez prosjenaveliinaodstupanjapojedinanihrezultataodaritmetikesredine,bezobziranasmjerodstupanja.E , XM, /N Primjer:5,5,2,6,4 M=4,4,N=5,E=22, 54,4,=0,6, 54,4,=0,6 , , , ,, 24,4,=2,4, 64,4,=1,6, 44,4,=0,4E=5,6Srednjeodstupanje=5,6/5=1,12Rezultatiprosjenoodstupajuodaritmetikesredineza1,12. Srednjeodstupanjedajeinformacijeonainugrupiranjarezultata,alisenekoristijerseiznjeganemoguizvoditidaljnjaraunanja.STANDARDNA DEVIJACIJA i VARIJANCA STANDARDNADEVIJACIJAiVARIJANCA Standardna devijacija je mjera koja pokazuje kako se gusto rezultati nekog mjerenja Standardnadevijacijajemjerakojapokazujekakosegustorezultatinekogmjerenjagrupirajuokoaritmetikesredine.Koristiseuzaritmetikusredinukaomjerucentralnetendencijeiimasmislaakosurezultatinormalnodistribuiraniilibarempriblinonormalno. Jedanodnainadaseizbjegnupredznaciodstupanjajedaseodstupanjakvadriraju.Akosekvadriranaodstupanjazbrojeiizraunaimsearitmetikasredina,dobija se mjera varijabiliteta koja se zove VARIJANCA To je prosjena suma dobijasemjeravarijabilitetakojasezoveVARIJANCA.Tojeprosjenasumakvadriranihodstupanja.V=E (X M)2 /N 1 Tajjepojamvarijancenemoguegrafikipredoiti.Ipak,drugikorijenizvarijancemoeseprikazatikaopotpunodefiniranirazmaknaskalirezultata.TojeSTANDARDNADEVIJACIJA(sdilio)jersekoristikaostandardzamjerenjevarijabiliteta rezultata varijabilitetarezultatasd=V =sd2Standardna devijacija StandardnadevijacijaM 1sd=68,26%rezultataM 2sd=95,44%rezultataM 3sd=99,73%rezultataIzraunavanjestandardnedevijacijeizsirovihrezultata2) ( =M XSd1 NSd2ili2) (2 =NXXSd1 NSdPrimjer Primjerl Rezultati:5,5,2,6,4M=4 4 N=5 E=22 M=4.4,N=5,E=22N 1umjestoNNbiseunazivnikumoglokoristitikadabiimalisverezultateizpopulacije. p p jBuduidatonajeenijesluajjerraspolaemosamoodreenimuzorkomizpopulacije,nikadneraunamopravuaritmetikusredinupopulacijenistandardnudevijaciju populacije devijacijupopulacije.Koritenjem N 1 u nazivniku dobija se bolja KoritenjemN 1unazivnikudobijaseboljaaproksimacija.IzraunavanjesdizgrupiranihrezultataTablica potrebno: 2) ' (2' Nfxfxi om = sredina razredaf = frekvencijaX = intervalna udaljenost m od 1 =NNi ojprivremene M (sredina razreda s najveom frekvencijom):1, 2, 3... fX = f *XfX2= fX *XN = fi = br rezultata u razrednom intervaluIzraunavanje sd iz grupiranih rezultata Primjer Izraunavanjesdizgrupiranihrezultata Primjer.Datesufrekvencijedobizaposlenikaunekojveojorganizaciji:Raz. interval f m X' fx' f x'220-29 146 24,5 -1 -146 146 20 29 146 24,5 1 146 14630-39 210 34,5 0 0 040 49 151 44 5 1 151 151 40-49 151 44,5 1 151 15150-59 121 54,5 2 242 48460-69 88 64 5 3 264 792 60 69 88 64,5 3 264 792=716=511 =1573i=107157162511157310= o99 , 12715716261121157310 ==715Drugi nain raunanja M i sd iz DruginainraunanjaMisdizgrupiranihrezultata:fd) *'(iNfidM M *) * (' + =gdje je:d'=m M*2)'( fid((

d =m-Mm=sredina razreda2) ' ( )2*) (( M M iNfisd =((

M'=provizorna M (s najveom f)Istiprimjer na2.nainRaz. intervalf m did'fid*'fid*2)'(20-29 146 24,5 -10 -1 -146 14630-39 210 34,5 0 0 0 040-49 151 44,5 10 1 151 15150-59 121 54,5 20 2 242 48460-69 88 64,5 30 3 264 792i=10 716 5111573637 41 10 *5115 34 = + = M21573637 , 41 10 *7165 , 34 = + = M99 , 122) 5 , 34 64 , 41 ( ) 100 *7161573( = = sdZAJEDNIKA STANDARDNA DEVIJACIJA ZAJEDNIKASTANDARDNADEVIJACIJA Zaj.Sdizvienezavisnihuzorakajestkorijensumesvihstandardnihdevijacija. j jSdn Sd Sd Sd Sd Sd .... 4 3 2 1 + + + + = Sdn Sd Sd Sd Sd Sd .... 4 3 2 1 + + + +KOEFICIJENTVARIJABILNOSTI Ak t j d ij j d k it tik di i jih t d d Akopostojedvijejednakearitmetikesredineinjihovestandardnedevijacije,ondajenatemeljus.d.relativnolakozakljuitikojirezultativievariraju.M ti k d j liit it tik di t k j Meutim,kadaseusporeujurazliitearitmetikesredinetekojeprocijenitisamonatemeljus.d.kojisurezultatirelativnovarijabilniji.N d 10 i i t k i lt t ij j it tik Npr.sd=10neznaiistozaskupinurezultataijajearitmetikasredina2i100. Dabisemoglausporeivativarijabilnostrazliitihpojava,koristiseKOEFICIJENT VARIJABILNOSTI k ji k j k liki k KOEFICIJENTVARIJABILNOSTIkojipokazujekolikipostotakvrijednostiaritmetikesredineiznosivrijednoststandardnedevijacije.KOEFICIJENTVARIJABILNOSTI100XSdV =XKoristi kada se eli utvrditi u kojem Koristikadaseeliutvrditiukojemsvojstvunekagrupavariravie,auk j j ili k j d i i kojemmanjeilikojaodgrupavariravie,akojamanjeuistomsvojstvu.Primjer 1 Primjer1N k i i d N612 i it ik i j j i NaskupiniodN=612ispitanika,primjenjenisutestnumerikihsposobnostiitestrijenika.DatesuMisd,azanimanasukojemodtadvasvojstvaispitanicivievariraju.M1=134,4sd1=6,06M2= 29 2 sd2= 3 89 M2=29,2sd2=3,89V1=6,06x100/134,4=4,51%V2=3,89x100/29,2=13,32%Dakle vie variraju u drugom svojstvu! Dakle,vievarirajuudrugomsvojstvu!Primjer 2 Primjer2Utvrenojeda10godinjedjevojiceimajuvisinuM=134,9cmsd=6,43,dj i adjeaciM=134,4cm,sd=6,06.Varirajuliuvisiniviedjeaciilidjevojice?Rjeenje Rjeenje/ Djevojice:V=(6.43*100)/134.9=4.77%Djeaci:V=(6.06*100)/124.4=4.51%Djevojicenetovievarirajuuvisinioddjeaka.Zadacizavjebu1 zadatak 1zadatakl Izsetarezultata:1012151417161915izraunajte raspon srednje odstupanje i standardnu devijaciju izraunajteraspon,srednjeodstupanjeistandardnudevijaciju.1 Zadatak rjeenje 1.Zadatak rjeenjeRaspon=7Srednje odstupanje = 2.22 Srednjeodstupanje 2.22Sd=2.662.ZadatakIzgrupiranihrezultataizraunajtesd:m f142 1147 1152 3157 5162 6 162 6167 12172 8177 4182 4187 3192 2197 1 197 12 Zadatak rjeenje 2.Zadatak rjeenjeSd=11.93 Zadatak 3.Zadatak.IzgrupiranihrezultataizraunajteM,sdikoef.varijabilnosti.i f157-159 1160-162 2163-165 9166 168 15 166-168 15169-171 25172-174 28175-177 20178-180 16181-183 13184-186 5187-189 13 Zadatak rjeenje 3.Zadatak rjeenjeM=173.47sd=5.94 sd 5.94koef.varijabilnosti=3,42%4 zadatak 4.zadatakDatesuaritmetikesredineistandardnedevijacije; izraunajte koef.varijabilnosti. devijacije;izraunajtekoef.varijabilnosti.M1=67,2sd1=5,3M2=83 4 sd2=5 8 M2=83,4sd2=5,84 Zadatak rjeenje 4.Zadatak rjeenjek.V1=(5,3*100)/67,2=7,89k. V2= (5,8*100)/83,4=6,95 k.V2 (5,8 100)/83,4 6,95