Modeliranje u prostoru stanja

Matematički modeli dinamičkih sistema

Matematički modeli sistema

• Posmatramo sistem:

– kontinualan

– sa koncentrisanim parametrima

• Matematički model

– Obične diferencijalne jednačine (u osnovi nelinearan model)

• Sistem diferencijalnih jednačina višeg reda

• Sistem diferencijalnih jednačina 1. reda – Matematički model u prostoru stanja

• Linearizacija → Linearan model

– Linearan matematički model u prostoru stanja

Primer fizičkog sistema

• Amortizer se krede pod dejstvom gravitacione i pobudne sile f(t). Posmatramo sile koje deluju na masu.

• Matematički model se formira na osnovu Dalamberovog zakona

– Neka je

• Oblik rešenja diferencijalne jednačine

– partikularni deo xp

– homogeni deo xh

i

if 0

)()()()( tfgmtxktxctxm

)cos()( tFtf

)()()( txtxtx hp

Primer: Rešavanje diferencijalne jednačine

• Partikularni deo

• Nakon nalaženja izvoda, uvrštavanja u dj i izjednačavanja koeficijenata dodija se sistem algebarskih jednačina čije je rešenje

EtBtAtxp )cos()sin()(

k

mgE

c

mkAB

cmk

cFA

)(

)()(

2

222

• Homogeni deo

• Karakteristična jednačina

• D > 0 daje aperiodičan odziv

• D = 0 daje kritično-aperiodičan odziv

• D < 0 daje periodičan odziv

Koeficijenti q1 i q2 se određuju na osnovu poznavanja početnih uslova.

Primer: Rešavanje diferencijalne jednačine (2)

0 kxxcxm

m

cb

m

kaxaxbx

2,,02 2

02 22 abss

Dbabbs 22

2,1

tsts

h eqeqtx 21

21)(

btbt

h teqeqtx 21)(

Dp

ptqptqetx bt

h

)sincos()( 21

Primer - konkretno

Zadato: m=10kg, k=1000kg/s2, =8rad/s i

U početnom trenutku teg se nalazi na rastojanju 0.05m od ravnotežnog položaja i nema brzinu.

• a) c=400kg/s, F=0;

• b) c=200, F=0;

• c) c=100, F=0;

• d) c=400, F=200N;

• e) c=200, F=200;

• f) c=100, F=200

Kretanje sistema posmatrati tokom prvih 5 sekundi.

0)0(

05.0)0(

)cos(

x

x

tFmgkxxcxm

Formiranje sistema dif. jedn. 1. reda

Smene:

)()(1 txtx

)()(2 txtx

)()()cos()(

)()(

122

21

txm

ktx

m

ct

m

Fgtx

txtx

Matlab rešenje

function testosc(m,c,k,F,w,Tk)

x0 = [0.05; 0]; % pocetno stanje, x(0)=.05, v(0)=0

t = 0:Tk/1000:Tk; % vremenska osa

% partikularno resenje

A = w*c*F/((k-w^2*m)^2+(w*c)^2);

B = A/w/c*(k-w^2*m);

E = m*9.81/k;

xp = A*sin(w*t) + B*cos(w*t) + E; ...

function xp = oscil(t,x,F,m,w,c,k)

g=9.81;

xp = [ x(2); g+F/m*cos(w*t)-c/m*x(2)-k/m*x(1) ];

disp('Priguseno oscilovanje')

testosc( 10, 400, 1000, 0, 8, 5 ), pause % a

testosc( 10, 200, 1000, 0, 8, 5 ), pause % b

testosc( 10, 100, 1000, 0, 8, 5 ), pause % c

disp('Prinudno oscilovanje')

testosc( 10, 400, 1000, 200, 8, 5 ), pause % d

testosc( 10, 200, 1000, 200, 8, 5 ), pause % e

testosc( 10, 100, 1000, 100, 8, 5 ) % f

... ...

% homogeno resenje

b = c/2/m;, a = sqrt(k/m); % mx^2+cx+k==x^2+2bx+a^2

D = b^2-a^2;

if D > 0

disp('prosti, razliciti polovi')

s1 = -b+sqrt(D);

s2 = -b-sqrt(D);

q = [1 1; s1 s2] \ (x0-[E+B;w*A]);

xh = q(1)*exp(s1*t)+q(2)*exp(s2*t);

elseif D == 0

disp('dvostruk pol')

q = [1 0; -b 1] \ (x0-[E+B;w*A]);

xh = (q(1)+q(2)*t).*exp(-b*t);

else

disp('konjugovano-kompleksni polovi')

a = sqrt(-D);

q = [1 0; -b a] \ (x0-[E+B;w*A]);

xh = exp(-b*t).*(q(1)*cos(a*t)+q(2)*sin(a*t));

end

x = xp + xh; % part. + homogeno res.

[ts,xs] = ode23(@oscil,[0,Tk],x0,[], F,m,w,c,k);

plot(t,x,'r',ts,xs(:,1),'b.-')

Rezultati

Priguseno oscilovanje

a) prosti, razliciti polovi

b) dvostruk pol

c) konjugovano-kompleksni polovi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Rezultati (2)

Prinudno oscilovanje

d) prosti, razliciti polovi

e) dvostruk pol

f) konjugovano-kompleksni

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Nelinearan model

Matematički model u prostoru stanja

Model sistema čine (Košijeva forma):

• Sistem diferencijalnih jednačina 1. reda

• Sistem algebarskih jednačina

02121

202212122

101212111

)0(),,,...,,,...,,()(

......

)0(),,,...,,,...,,()(

)0(),,,...,,,...,,()(

nnrnnn

rn

rn

xxtuuuxxxftx

xxtuuuxxxftx

xxtuuuxxxftx

),,...,,,,...,,()(

...

),,...,,,,...,,()(

),,...,,,,...,,()(

2121

212122

212111

tuuuxxxgty

tuuuxxxgty

tuuuxxxgty

rnmm

rn

rn

Matematički model u prostoru stanja (2)

• Vektorski zapis

)),(),(()(

)0(),),(),(()( 0

tttt

tttt

uxgy

xxuxfx

ru

u

u

2

1

u

my

y

y

2

1

y

nx

x

x

2

1

x

Primer 2

• Amortizer se krede pod dejstvom gravitacione sile i pobudne sile f(t). Međutim, ne može se smatrati da je sila u opruzi linearna za sva istezanja, nego je ona funkcija pomeraja x, Fk=Fk(x). Ukoliko je ta sila Fk(x)=ax3 i pobudna sila f(t)=Fcos(t) odrediti vrednost pomeraja x(t).

)()( tfmgxfxcxm k

Fk(x)

Primer 2 – Matlab simulacija

function xp = oscil2(t,x,F,m,w,c)

% sila u opruzi je nelinearna

g = 9.81;

a = (1e5)/3;

xp = [ x(2); g+F/m*cos(w*t)-c/m*x(2)-a/m*x(1)^3 ];

x0=[0.05;0];

m=10; c=100; F=0; w=8; Tk=3; % F=30

[tn,xn] = ode23(@oscil2,[0,Tk],x0,[], F,m,w,c);

plot(tn,xn(:,1),'b.-')

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

F=0 F=30

Linearni modeli Linearizacija

Osobine linearnog sistema

• Ako je

• Linearan sistem zadovoljava principe

– Superpozicije

Princip superpozicije: Odziv linearnog sistema na pobudu datu zbirom pojedinačnih pobuda može se dobiti kao suma odziva na pojedinačne pobude, koje na sistem deluju nezavisno jedna od druge.

– Homogenosti • Sistem opisan relacijom y(t)=u2(t) nije linearan jer ne zadovoljava princip

superpozicije. u12(t)=y1(t); u2

2(t)=y2(t). Po principu superpozicije bi moralo biti: (u1(t)+u2(t))2=y1(t)+y2(t)=u1

2(t)+ u22(t), što nije tačno.

• Sistem y(t)=mu(t)+b nije linearan jer ne zadovoljava princip homogenosti: m(ku(t))+bky(t).

)(

)(

22

11

ufy

ufy

)( 2121 uufyy

)( 11 umfym

Princip linearizacije

))(()( txfty

)(tx

)(ty

)(ˆ ty

)(ˆ tx

)(ˆ)(ˆ txmty

0

Dobro

poklapanje

x

y

Radna

tačka

• Radnu tačku čine vrednosti ulaza i promenljivih stanja (ili izlaza)

• Izbor radne tačke?

– Najčešde (uobičajene) vrednosti promenljivih

• Vrednosti u ustaljenom stanju – nominalne vrednosti

• Predstava vrednosti promenljih

– Inkrementalna vrednost je priraštaj u odnosu na nominalnu vrednost

• Primer y(t)=mu(t)+b se može razmatrati u radnoj tački i model linearizovan oko radne tačke zadovoljava uslove linearnosti.

Radna tačka

bukmyktumty

tyykty

tukmbukmbtuukmbtkumty

btumty

),(ˆ)(ˆ

))(ˆ()(

)(ˆ))(ˆ()()(

)()(

1

1

vrednostlnainkrementa)(ˆ

vrednostnominalna

)(ˆ)()(ˆ)(

tx

x

tyytytxxtx

Linearizacija nelinearne funkcije

x

x

xx

x

fmxmxfxxf

xx

fxfxxf

xx

fx

x

fxfxxf

txfty

,ˆ)()ˆ(

ˆ)()ˆ(

...ˆˆ)()ˆ(

))(()(

2

2

2

21

)(ˆ)(ˆ

)(

)(ˆ)())(ˆ()(ˆ

)(ˆ)(

txmty

xfy

txmxftxxftyy

tyyty

1. Odrediti radnu tačku – pisanjem i rešavanjem odgovarajudih algebarskih jednačina

2. Prepisati sve linearne članove kao sume

– nominalne i

– inkrementalne vrednosti

3. Zameniti sve nelinearne članove sa prva 2 sabirka razvoja u Tejlorov red

4. Skratiti konstantne članove u differencijalnim jednačinama (Upotrebiti algebarske jednačine koje određuju radnu tačku.)

5. Definisati početne vrednosti inkrementalnih promenljivih

Koraci linearizacije

xxx )0()0(ˆ

Primer 3

• Amortizer se krede pod dejstvom gravitacione sile i pobudne sile f(t). Sila u opruzi je nelinearna Fk(x)=ax3. Odrediti linearan model sistema i simulirati njegovo ponašanje.

)()( tfmgxfxcxm k

Fk(x)

Primer (3)

• U ustaljenom stanju prelazni proces je prošao

– Svi izvodi su nula

– Srednja vrednost f(t)=0

• radna tačka

• Linearizacija nelinearnog člana Fk(x)=ax3

• Nakon zamene

0,3 ffmgxa 3

a

mgx

)(ˆ)(

)(ˆ)(

txxtx

tfftf

)(ˆ)ˆ(ˆˆ 3 tffmgxxaxcxm

)(ˆ3)(ˆ)(

)())(ˆ( 23 txxaxatxx

xFxFtxxF

xx

k

ffmgxxaxaxcxm ˆˆ3ˆˆ 23

)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ tftxktxctxm

23 xak

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Primer 3 – Matlab simulacija

function xp = oscil3(t,x,F,m,w,c)

% linearizovan model

a = 1e5*0.1433^2;

xp = [ x(2); F/m*cos(w*t)-c/m*x(2)-a/m*x(1) ];

xnom = 0.1433;

x0=[0.05-xnom;0];

m=10; c=100; F=0; w=8; Tk=3; % F=30

[tn,xn] = ode23(@oscil3,[0,Tk],x0,[], F,m,w,c);

plot(tn,xn(:,1),'b.-')

F=0 F=30

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

• Uporedni rezultati nelinearnog i linearnog modela

Primer 3 – Matlab simulacija (2)

x0=[0.05;0];

m=10; c=100; F=0; w=8; Tk=3; % F=30

xnom = 0.1433;

[tn,xn] = ode23(@oscil2,[0,Tk],x0,[], F,m,w,c);

[tl,xl] = ode23(@oscil3,[0,Tk],x0-xnom,[], F,m,w,c);

plot(tl,xl(:,1)+xnom,'g.-',tn,xn(:,1),'b.-')

F=0 F=30

Nelinearan dinamički model

• Posmatra se nelinearan model

• Ili model sastavljen od diferencijalnih jednačina višeg reda.

02121

202212122

101212111

)0(),,,...,,,...,,()(

......

)0(),,,...,,,...,,()(

)0(),,,...,,,...,,()(

nnmnnn

mn

mn

xxtuuuxxxftx

xxtuuuxxxftx

xxtuuuxxxftx

),,...,,,,...,,()(

...

),,...,,,,...,,()(

),,...,,,,...,,()(

2121

212122

212111

tuuuxxxgty

tuuuxxxgty

tuuuxxxgty

mnrr

mn

mn

)),(),(()(

)0(),),(),(()( 0

tttt

tttt

uxgy

xxuxfx

• Nastao linearizacijom – povezuje inkrementalne promenljive

• Sistem linearnih običnih diferencijalnih jednačina 1. reda

• Sistem linearnih algebarskih jednačina

• Pisanje “kapica” se izbegava

Linearan matematički model u prostoru stanja

022112211

202222212122221212

101121211112121111

ˆ)0(ˆ),(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆ

......

ˆ)0(ˆ),(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆ

ˆ)0(ˆ),(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆ

nnrnrnnnnnnnn

rrnn

rrnn

xxtubtubtubtxatxatxatx

xxtubtubtubtxatxatxatx

xxtubtubtubtxatxatxatx

)(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆ

...

)(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆ

)(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆ

22112211

222212122221212

121211112121111

tudtudtudtxctxctxcty

tudtudtudtxctxctxcty

tudtudtudtxctxctxcty

rmrrrnmnmmm

rrnn

rrnn

Linearan matematički model u prostoru stanja Vektorski format

ttt

ttt

uDxCy

xxuBxAx

0)0(,

nrn

r

nnn

n

bb

bb

aa

aa

1

111

1

111

BA

mrm

r

mnm

n

dd

dd

cc

cc

1

111

1

111

DC

Matrica stanja Matrica upravljanja

(ulaza)

Matrica izlaza Matrica ulaza/izlaza

(direktnog upravljanja)

Izbor promenljivih stanja

• minimalan skup linearno nezavisnih promenljivih

• ne moraju imati fizičku interpretaciju

• veličine uz koje stoji prvi izvod u diferencijalnim jednačinama

• obično predstavljaju elemente koji su sposobni da prime i uskladište energiju

Primer

a) Formirati matematički model u prostoru stanja za električno kolo na slici.

b) Ako se za izlaznu velicinu usvoji struja kroz otpornik R, formirati jednačinu izlaza.

c) Formirati jednačinu izlaza ako se za izlazne veličine usvoje struje kroz izvore e1 i e2.

+

e1e2

L C

R

+

+

e1

e2

L C

R+

ul uc

i i2i1

.

211

1 RiRidt

diLRiue L

212 RiRiuRiue CC

dt

duCi C2 11

1 Riedt

duRC

dt

diL c

12 Riuedt

duRC C

C

Primer (a)

211211111 eeuRiueRie

dt

duRCRie

dt

diL cC

C

211 111

eL

eL

uLdt

diC

12

111i

Cu

RCe

RCdt

duC

C

2

11

1

10

11

11

10

e

e

RC

LLu

i

RCC

L

dt

dudt

di

Cc

RC

LL

RCC

L1

0

11

=B 11

10

A

Primer (b, c)

b) ...

c) ...

2

11

2121

12221

10

10

1111

11i ;

e

e

Ru

i

Ri

eR

uR

iuR

eR

ii

iuR

eRdt

duCiii

C

CC

CC

212

11

11e

Ru

Rii

ii

C

2

11

2

1 10

001

1

01

e

e

Ru

i

Ri

i

C

Prednosti koncepta prostora stanja

• Koncept prostora stanja ima nekoliko prednosti u odnosu na klasični pristup, posebno ako se posmatra sa aspekta korišdenja digitalnih računara:

– Određivanje rešenja sistema diferencijalnih jednačina prvog reda je brže na digitalnom računaru, nego rešavanje odgovarajude diferencijalne jednačine višeg reda.

– Uprošteno je matematičko opisivanje upotrebom vektorske notacije

– Uključivanje početnih uslova sistema je jednostavno.

– Model se može primeniti na vremenski promenljive, nelinearne, stohastičke i diskretne sisteme.

Odnos između matematičkog modela sistema u vremenskom i kompleksnom domenu

• Model sistema u vremenskom domenu

• Nakon primene Laplasove transformacije

• Funkcija prenosa

)(

0, 0

tutty

ttutt

DCx

xxBAxx

sUssY

sUss

susss

DBAIC

BAIX

BAXX

1

1

DBAIC 1

ssU

sYsW

sUsWsY

Analiza sistema u prostoru stanja

• U vremenskom domenu

• Nakon primene Laplace-ove transformacije Početni uslovi ne moraju biti nula!

)()()0()( sUsss BXAXX

)()0()()( sUss BXXAI

)()()0()()( 11 sUsss

BAIXAIX

)()()0()()( 11 sUsssY

DBAICXAIC

)()()( sUssY DXC

ttt

ttt

uDxCy

xxuBxAx

0)0(,

Kretanje sistema

• Računa se preko Fundamentalne matrice sistema

• Kretanje promenljivih stanja x(t)

• Kretanje izlaza y(t)

kretanje stanja sistema pod

dejstvom početnih uslova

kretanje stanja sistema pod

dejstvom spoljne pobude

t

duttt0

)()()0()()( BΦxΦx

11 )()( AIΦ sLt

kretanje izlaza sistema pod

dejstvom početnih uslova

kretanje izlaza sistema pod

dejstvom spoljne pobude

t

tuduttty0

)()()()0()()( DBΦCxΦC