Modelli analitici per la stima della qualità creditizia nel mercato del

credito al consumo

Firenze20 Novembre 20082 Dicembre 2008 1

Lorenzo QuiriniResponsabile Servizio Sistemi

Decisionali, Scoring e Monitoraggio Consum.it Gruppo MPS

Consum.it

2

Società del Gruppo MPS specializzata nel credito al consumo

Consum.it

3

1999: inizio attività nel credito finalizzato (acquisto auto, mobili, …)2002: carte di credito revolving2003: prestiti personali clienti Gruppo MPS2006: nasce “Integra”, accordo con Unicoop Firenze 2008: 5.7 miliardi di crediti in portafoglio (ottobre)

Lo sviluppo di modelli interni per la valutazione e la gestione del rischio di credito

4

L’elemento base…

… Indice di affidabilità

Indicatore del rispetto degli obblighi contrattuali

5

Indice di affidabilità

Caso 1) presenza del piano di ammortamento (prestiti personali, finalizzati, mutui)

Caso 2) carta di credito (revolving, a saldo)

6

Caso 1)

Gli elementi da considerare:

Piano rimborso contrattuale

Piano rimborso effettivo

Epoca di osservazione

Attualizzazione flussi di cassa

7

Indice di affidabilitàDefinizione

Rh importo aleatorio corrisposto epoca h (mese)

rh rata contrattuale epoca h

i tasso di interesse periodale, per convenzione, quello contrattuale

t periodo di osservazione

t

t

t

1h

hh

1h

hh

i)(1r

i)(1RX

0 evalutazion di epocal' Data

8

Indice di affidabilità

Interpretazione 1

Affidabilità legata al pagamento parziale delle rate

a...i)(1r

i)(1RX

allora)(a arR Se

t

1h

hh

t

1h

hh

t

hh

1

9

Indice di affidabilità

Interpretazione 2

Affidabilità media legata alla probabilità del rispetto degli

impegni contrattuali alle varie epoche

p...)i)(1r

i)(1R(E)E(X

rata di pagamento generico del àProbabilit p

t

1h

hh

t

1h

hh

t

10

Indice di affidabilità

Interpretazione 3

Affidabilità quale indicatore di ritardo dei pagamenti

bt

1h

hh

t

1h

)bh(h

t v...i)(1r

i)(1RX

mesi in ritardo b

periodale sconto di fattorei1

1 v

11

Indice di affidabilità

b

i)(1ri)(1δ.p 1p-1)E(X

h-m

1hh

T-

DDT

1

12

T durata operazionePD probabilità di defaultm1 epoca ultimo versamentob importo finanziatoδ importo recuperato opportunamente attualizzato i tasso di attualizzazione

Interpretazione 4

Affidabilità finale e default

Una relazione tra affidabilità finale e probabilità default

13

DT

m

1hh

p1)E(X

allora

0b

rδ

se

0i Posto

1

Indice di affidabilitàUn esempio… di due posizioni

Istanti tempo 1 2 3 4 5 6

Pagamenti effettivi 0 0 0 300 0 0

Pagamenti contrattuali 100 100 100 100 100 100

Ritardi 100 200 300 100 200 300

Affidabilità epoca 0% 0% 0% 69% 57% 49%

Tasso interesse mensile 5%

Rata 100

Importo Finanziato 500

Istanti tempo 1 2 3 4 5 6

Pagamenti effettivi 0 0 0 300 200 100

Pagamenti contrattuali 100 100 100 100 100 100

Ritardi 100 200 300 100 0 0

Affidabilità epoca 0% 0% 0% 69% 93% 94%

14

Nella costruzione di prodotti finanziari cosa dobbiamo considerare?

15

Alcuni strumenti:

Simulazione Monte-Carlo

Analisi di sensitività

Correlazione tra i ranghi (Copule)

L’esercitazione

16

Indice di affidabilità

Caso 1) presenza del piano di ammortamento (prestiti personali, finalizzati, …)

Caso 2) carta di credito (revolving, a saldo)

17

Il processo stocastico di rapporto debitore: un esempio di carta revolving

1.33% tasso interesse periodale

Acquisti

Rimborsi

Spese

addebitate

Saldo ?1639.24 2036.12 1983.40 2034.20

32.29 14.29 0 5.29

80.00 80.00 80.00

Epoca h*=3 osservazione

1589.70 437.20 0.00 100.00

18

Il processo stocastico di rapporto debitore: la carta revolving

x

Acquisti

Rimborsi

Spese

addebitate

Saldo

Def ault

Ah*+2

Bh*+2

CH*+1 CH*+2

tasso interesse

Epoca h* osservazionea0 a1

s0 s1

b1

Uscita in equità

c0 c1

Sh*+1 Sh*+2

Bh*+1

Ah*+1

19

Il processo stocastico di rapporto debitore: carta di credito, cliente, dealer…

...,,2,1

0,0,0,0

)1(

...,,2,1

0,0;0,0;0,0;0,0

)1(

**

1

*

0000

1

000

hhhper

SBCA

BCAxSS

hhper

ssbbccaa

bcaxss

cas

hhhh

hhhhh

hhhh

hhhhh

20

L’affidabilità

Sia h* l’istante di valutazione del rapporto debitore

Si ipotizzano due eventi:

1) Il conto chiude in equità epoca t

2) Il conto chiude in default epoca t

t= h*+1, h*+2, …, ω

21

L’affidabilità

Evento 1: uscita in equità epoca t

In questo caso l’affidabilità è pari a 1, vale a dire il titolare ha adempiuto agli obblighi contrattuali

1)t(X *eh

22

L’affidabilità

Evento 2: uscita in default epoca t

*h,...,h t....,*hh

hth

hth

*h,...,h t,...,*hh

hth

hthtt

*dh )x(A)x(a

)x(B)x(bSK

)t(X0 1

0 1

11

11

23

Una sintesi per l’affidabilità

Essendo pdh* (t) la probabilità che un conto in essere

all’epoca h* esca per default epoca tpeh* (t) la probabilità che un conto in essere

all’epoca h* esca in equità all’epoca t

,...,*ht *eh*eh

,...,*ht *dh)t(*dh*eh*h

)t(pp

))t(X(Eppaff

1

11

24

Stima probabilità di uscita in default e in equità

Il modello

25

Il modello (1)

T1 variabile aleatoria che descrive il tempo di uscita per default T1 ha valori in 1, 2, …, ω-1 T2 variabile aleatoria che descrive il tempo di uscita in equità contrattuale; T2 ha valori in 1, 2, …, ω

Sia phk = Prob(T1 = h, T2 = k)

26

Il modello (2)

Sussistono

phh = 0

1

1 1

1

h k

hkp

Se δ< 1 , la distribuzione non è propria;

1- δ è la probabilità di non osservare il default.

I n questo caso, si defi nisce un valore “fi ttizio” per T1, θ, che

rappresenta l’evento di “no default”.

Si ottiene una distribuzione congiunta:

,1,...,2,1 ,1,...,2,1

1h k

hkp

con prob(T1= θ , T2=k) = pθk

27

Il modello (3)

La stima dei phk dai dati di archivio non è semplice.

Si procede al calcolo delle seguenti grandezze:

lh,1 è la probabilità che un titolare che ha utilizzato la carta al tempo 0,

sia a rischio all’epoca h-1 e non vada in def ault f ra h-1 e h;

lh,2 è la probabilità che un titolare che ha utilizzato la carta al tempo 0,

sia a rischio all’epoca h-1 e non vada in def ault né esca in equità f ra h-1 e

h.

28

Il modello (4)

Sussiste

l-1,2 = l0,1 = l0,2 = 1≥ l1,1 ≥ l1,2 ≥ l2,1≥ l2,2 ≥ …≥ lh,1 ≥ lh,2 ≥ …≥ lω-1,1 ≥ lω-1,2 = lω,1 ≥ lω,2= 0

Oss.

1) l-1,2 = l0,1 = l0,2 = 1 è relativa all’intera popolazione di titolari fi nanziati

al tempo -1 e che hanno eff ettuato il primo utilizzo al tempo 0.

2) Vale lω-1,2= lω,1 in quanto il modello assume che al tempo ω non possa

essere osservato il default.

3) lω,2 = 0 per defi nizione di ω.

29

Il modello (5)

I l numero di parametri da stimare per il modello (4) è

2(ω-1).

Sebbene questi non siano suffi cienti a descrivere la distribuzione

congiunta, che possiede un numero di parametri

ω2- ω

tuttavia essi caratterizzano la distribuzione di

T = min(T1, T2)

30

Il modello (6)

Per h = 1, 2, …, ω-1,

,1,...,1 ,1,...,1,

211, ),(hi hhj

ijh phThTprobl

,1,...,1 ,1,...,1

212, ),(hi hj

ijh phThTprobl

Se la carta è a rischio al tempo h*, h* = 0, 1, 2, …, ω-2, è importante

fornire una stima del periodo nel quale la carta andrà in default

Per h = h*+1, …, ω-1

),(

),()1,1()(

*2

*1

2121

2*,

1,2,1*

hThTprob

hThTprobhThTprob

l

llhp

h

hh

dh

)(),(

),(

),(

),(*

2*

1

21*

2*

1

21 defaultinhTprobhThTprob

hThTprob

hThTprob

hThTprob

31

Il modello (7)

Analogamente, è possibile valutare la probabilità che una carta, a rischio

all’epoca h*, h* = 0, 1, 2, …, ω-1, chiuda regolarmente.

Per h = h*+1, …, ω

),(

),(),()(

*2

*1

2121

2*,

2,1,* hThTprob

hThTprobhThTprob

l

llhp

h

hheh

= )equitàhT(prob)hT,hT(prob

)hT,hT(prob**

21

21

Oss.

Le probabilità locali pdh*(h*+1), peh*(h*+1) possono essere viste come

intensità di chiusura per default o di chiusura in equità rispettivamente.

32

Il modello (8)

Se il focus è su una delle due cause di elimazione si ottiene:

Lh è la distribuzione (decumulativa) di probabilità del tempo di def ault

defi nita da

...12,1

1,212

2,0

1,1010

l

lLL

l

lLLL

1

2,2

1,121

2,1

1,1 ...... Tprob

l

lLL

l

lLL

h

hhh

33

Il modello (9)

Analogamente, per Mh la f unzione di distribuzione (decumulativa) di

uscità in equità si ottiene:

...11,2

2,212

1,1

2,1010

l

lMM

l

lMMM

0......1,

2,1

1,

2,1

l

lMM

l

lMM

h

hhh

Le precedenti stime sono coerenti in quanto:

hhh MLl 2,

34

L’analisi statistica di sopravvivenza

35

Il focus sull’uscita per solo default

L’analisi di sopravvivenza

36

Il tempo aleatorio di osservazione è pari al minimo delle due seguenti grandezze:

Il tempo di default T1

Il tempo di censura C

L’analisi di sopravvivenza

epoca 1 2 3 4 5 6 7 8

carta 1 ☻uscita per default=3 mese

carta 2 ☺ uscita in equità = 5 mese

carta 3 ☼ uscita per osservazione = 8 mese

37

L’analisi di sopravvivenza

38

Il meccanismo di censura:- uscita in equità- inattività di utilizzo - tempo di osservazione

La funzione di sopravvivenza

39

)()( 1 tTPtS

Mesi da primo utilizzo

Qu

ota

so

pra

vvis

su

ti a

l d

efa

ult

0 10 20 30 40 50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lo stimatore Kaplan-Meier

ti i

i

n

dtS 1)(ˆ

40

Essendo ni il numero di carte in vita all’inizio dell’epoca i-madi il numero di default registrati nell’epoca i-ma tra coloro in vita all’inizio di tale periodoi pari ai periodi di osservazione

Lo stimatore Kaplan-Meier

Funzione di sopravvivenza e limiti di confidenza al 95%

0.970

0.975

0.980

0.985

0.990

0.995

1.000

1.005

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mesi di osservazione

Quota s

opravvis

suti al default

Stima K-M

lim inf 95%

lim sup 95%

41

DATI FITTIZI

La formula di Greenwood per la varianza

ti iii

i

)dn(n

d))t(S())t(Sr(av 2

42

La stima intervallare per S(t)

2/1

2

)))(ˆr(a(v)(ˆ

),(

%100)1(

tSztS

fissatottSper

confidenzadiIntervallo

43

L’esercitazione

44

Lo script S+ ( R )#Funzione di sopravvivenzau1<-survfit(Surv(TIMEN90, STATUS90)~1, Esercitazione2)

#Grafico stimatore K-M con intervalli di confidenza al 95%plot(u1, xlab="Mesi da primo utilizzo", ylab="Quota sopravvissuti al default")

#Funzione di sopravvivenza per gruppi di scoreu2<-survfit(Surv(TIMEN90, STATUS90)~E.SCORE, Esercitazione2)

#Grafico stimatore K-M con intervalli di confidenza al 95% per gruppi di scoreplot(u2, xlab="Mesi da primo utilizzo", ylab="Quota sopravvissuti al

default“,main="Funzione di sopravvivenza per score", lty=3:6)legend(5, 0.3, c(“D", “C", “B", “A"), lty=3:6)

#log-rank testu2<-survdiff(Surv(TIMEN90, STATUS90)~E.SCORE, Esercitazione2)

#Test chi-quadrou2

45

Impatto su redditivitàdel default e dell’uscita in equità

46

Il recupero in caso di default

47

t l’epoca in cui si è registrato il defaultRk il pagamento aleatorio effettuato all’epoca k, con k≥ t x il tasso di attualizzazioneSt il saldo all’epoca t

t

tk

)tk(k

t S

)x(RK

1

Una simulazione

48

I parametri:Tasso contrattuale annuo: 0.18ω = 25 meseNumero carte iniziali: 3000Kt variabile uniforme in [0, 0.6]pdh*(h*+1) costante pari a 0.01peh*(h*+1 ) costante pari a 0.04 A0 primo acquisto variabile uniforme in [-2400, 0)Ah spese successive variabili uniformi in [-800, 0) h =1, …, ω-1Bh incassi variabili uniformi in (0, min(800,-Sh-1)) h =1, …, ω-1Ch = -1 h =1, …, ω-1

Tavola di eliminazione e quota di recupero

Epoca Pop Def. Eq. Recupero 0 3000 0 0 1 3000 27 109 0.280 2 2864 41 119 0.286 3 2704 27 97 0.279

... 12 1749 24 64 0.291

... 23 982 13 39 0.214 24 930 11 28 0.279 25 891 0 891

49

Flussi riferiti al gruppo default a 12 mesi

Epoca Default Acquisti Pagamenti Spese 12 0 -25923.17 0.00 -24.00 12 1 -10368.03 7414.09 -24.00 12 2 -8715.78 8230.73 -24.00 12 3 -10449.54 8157.81 -24.00 12 4 -10099.17 8473.60 -24.00 12 5 -10185.19 10257.58 -24.00 12 6 -10068.74 9181.53 -24.00 12 7 -11601.57 9178.37 -24.00 12 8 -9576.05 9342.18 -24.00 12 9 -10175.21 9285.29 -24.00 12 10 -11022.67 9566.73 -24.00 12 11 -8432.70 11150.70 -24.00 12 12 0.00 12720.69 0.00 Affidab. 0.8018 prob. def. 0.0080 tir annuo -0.6861 Perdita -23935.74 euro

50

Flussi riferiti al gruppo titolari usciti in equità

Epoca Default Acquisti Pagamenti Spese 25 0 -2032366.00 0.00 -1660.00 25 1 -620213.50 656230.80 -1551.00 25 2 -579627.00 658261.30 -1432.00 25 3 -521423.70 626124.80 -1335.00 25 4 -501907.10 608484.60 -1237.00 25 5 -471739.10 538017.70 -1167.00 25 6 -448971.70 535698.00 -1075.00 25 7 -394624.70 521953.70 -982.00 25 8 -358213.90 480523.50 -891.00 25 9 -319892.40 467626.80 -804.00 25 10 -294004.90 408461.30 -726.00 25 11 -271436.10 352952.50 -666.00 25 12 -240165.90 334293.70 -602.00 25 13 -209034.70 348410.70 -524.00 25 14 -170471.70 315944.00 -450.00 25 15 -165551.60 272689.80 -392.00 25 16 -134363.20 264786.80 -336.00 25 17 -120863.50 196560.80 -292.00 25 18 -91797.71 212209.70 -241.00 25 19 -78529.86 174250.00 -196.00 25 20 -60319.35 157098.80 -155.00 25 21 -46617.63 133179.70 -115.00 25 22 -24691.77 134009.90 -67.00 25 23 -11167.57 107888.50 -28.00 25 24 0.00 59422.07 0.00 Affidab. 1.0000 tir annuo 18.00 Guadagno 38158.40 euro

51

Flussi riferiti al gruppo titolari attivi al 24° mese

Acquisti Pagamenti Spese 26 0 -1058830.00 0.00 -891.00 26 1 -338978.30 295269.00 -891.00 26 2 -361308.20 304546.50 -891.00 26 3 -355251.80 314413.00 -891.00 26 4 -348015.00 317796.00 -891.00 26 5 -352028.50 319908.70 -891.00 26 6 -356228.10 320588.30 -891.00 26 7 -359548.50 322132.20 -891.00 26 8 -353006.40 330613.30 -891.00 26 9 -341590.00 332472.70 -891.00 26 10 -358746.00 340461.00 -891.00 26 11 -363867.50 336905.70 -891.00 26 12 -349981.30 330053.90 -891.00 26 13 -351234.30 345654.70 -891.00 26 14 -358983.20 341266.60 -891.00 26 15 -363280.60 336756.20 -891.00 26 16 -347761.80 349990.80 -891.00 26 17 -361133.70 347214.60 -891.00 26 18 -354062.50 335289.30 -891.00 26 19 -361459.00 341569.60 -891.00 26 20 -348569.50 340182.10 -891.00 26 21 -364060.00 338950.30 -891.00 26 22 -365704.70 335977.50 -891.00 26 23 -357075.40 341632.50 -891.00 26 24 -355226.90 353684.30 -891.00 26 25 0.00 2208285.00 0.00 Affidab. 1.0000 Tir annuo 0.18 Guadagno 573406.00

52

Esiti economico-finanziari sul portafoglio simulato

I VALORI MEDI DAI DATI DI GRUPPO Prob. default cumulata 0.1497 Affidabilità media 0.9547 INDICATORI SINTETICI DI PORTAFOGLIO Interessi 503445.80 Redditività 0.0821 Tasso nomin. 0.1800 Affid. port. 0.9736

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