Moderne acceleratorers fysik og anvendelse

Forelæsning 4b, uge 6/08, mandag d. 4/2 16:15-17:00

Kapitel 6 i Wilson: Imperfections and multipoles.

CirkeldiagrammetClosed-orbit distortionsOrbitkorrektionKort intro til dispersion (fra kap.5, mere næste mandag)Chromaticitet

WINAgile eksempel : Injektion i ASTRID

Beam ændring med kicker

Størst følsomhed for vinkelændringer i område med høj betafunktion, i.e. stor rumlig udstrækning og lille divergens.

Stor beta i en given retning forekommer ved en q-pol der fokuserer i densamme retning, dvs. ved QF i x-retningen og QD i z-retningen.

Cirkeldiagrammet

NB: Trykfejl i bogen:

Halvakserne i faseellipsen er

βεεβ == 'xogx

Vi kan nu indførex = x og p = β x’

Herved bliver ellipsen til en cirkel, på hvis omkreds koordinaterne for en partikel bevæger sig Q gange rundt på én omgang i maskinen.

Hvis den starter i A på figuren, er den altså i B efter én omgang. Vinkelen mellem A og B er såfrac(Q)*2π. (frac er decimaldelen)

(NB: I figuren er Q=27.6)

Transformation af cirkeldiagrammet

Man kan lave en yderligere koordinattransformation, således at faseellipsenikke blot bliver en cirkel, men at den transformerede fasevinkel varierer 2π forhver omgang i ringen. Transformationen er:

F er en funktion af afvigelsen fra det ideelle B-felt, og således 0 i det ideelle tilfælde. Hill’s ligning bliver da ligningen for en harmonisk oscillator med tvangskraft g (g er 0 i det ideelle tilfælde).

Løsningen, den harmoniske oscillator ser sådan ud:

Mange udregninger bliver så en del simplere. Man skal altså transformere sine koordinater, lave udregninger i det simplere ’rum’, og transformere tilbage igen.

Effekt af et kick

Ændring af closed orbit med en kort dipol, der tændes langsomt:

Vigtigt: Ovenstående figur viser closed orbit, ikke partikelbaner!

Max orbit distortion efter et kick

Fejl: φ skal være ψ i denne figur Her er vist en enkelt omgang i ringen. Closed orbit følger jo Hill’s ligning, og er altsåen cosinus.

Her er det samme vist i et (x,p) cirkeldiagram.Udregning af a giver, at max afvigelse fra x=0 er proportional med βK*β(s),hvor βK er β på kicket’s plads. 2π -

ρπββ

BBl

Qa K )(

)sin(2Δ

⋅=

Closed-orbit bumps

Her ses effekten af to bumper-dipoler der er placeret netop en halv betatronperiode fra hinanden. Som det fremgår ændres beamet kun mellem dipolerne. Bemærk udtrykket for Δy.

Her er der benyttet tre dipoler til at lave et bump der ikke behøver være en halv periode langt.

En typisk beam position monitor, eller pick-up.Ved at måle (R-L)/(R+L) fås et tal mellem -1 og +1 der angiver positionen.

Der anbringes ofte et sæt, således at man får både x og z positionen.

Vi har 8 sæt af denne type pick-up på ASTRID, plus 3 sæt button-pick-ups.

OrbitkorrektionBetragt en ring, hvor vi har n sæt korrektionsdipoler og n sæt pick-ups.Lad Δi være vinkelændringen (prop. med feltet) i korrektor nummer i, og lady1 være positionen i pick-up nummer i.

Man kan så beregne eller måle de enkelte elementer i en n*n matrix G hvor element Gpq angiver positionsændringen på pick-up p fra korrektionen Δq påkorrektor q.

Hvis matricen inverteres kan man udfra målte positioner udregne de korrektor-settings der er nødvendige for at bringe beamet til at ligge i en given position på alle pick-ups.

Resonant conditions, Q-værdi

ρπββ

BBl

Qa K )(

)sin(2Δ

⋅=

Den maximale beamekskursion i closed orbit som følge af et kick eller en dipolfejl er

Heraf fremgår, at heltallige Q værdier er fatale, da a da bliver uendelig.Dette er klart, idet en heltallig Q-værdi fysisk betyder, at beamet modtagersamme kick i samme retning i hvert omløb, og derfor hurtigt tabes.

I en quadrupol vil en fejl bevirke for stor afbøjning enten væk fra eller imod central orbit uanset fortegnet af x, og halv-heltals værdier af Q vil derfor føre til resonans.

Helt generelt skal man undgå at lQh+mQv = p , hvor p er et heltal. Summen |l|+|m| kaldes resonansens orden. Jo lavere orden, jo mere fatal (og hurtigtvirkende) er resonansen.

Q-diagram

I figuren er vist linier for resonanser op til 5.Jo lavere orden en resonans har, jo længere væk fra den bør man vælge sit arbejdspunkt. Jo større ’åbent’ område man vælger den i, jo bedre.

ASTRID tune diagram til 4. orden

Dispersion (preview)

En dispersion forskellig fra 0 bevirker at en partikelbane vil afvige fraidealbanen i position hvis den ikke har den nominelle impuls.

Dispersion er en funktion af s, og vi har altså:ppsDsx Δ

= )()(

Dispersion er, ligesom f.eks. β en maskinparameter, der er fastlagt af lattice.

En dipolmagnet giver dispersion, og derfor er horisontal dispersion normalt dominerende.På et sted med dispersion vil en lav-og højimpuls partikelbane altså ligge påhver sin side af central orbit.Dette har konsekvenser for fokuseringen i en quadrupol.

Kromaticitet

Eksempel på de fejl der opstår ved fokusering i en quadrupol i et område med dispersion. Høj- og lav-impulspartikler rammer linsen på hver sin side af central orbit.

Korrigering af kromaticitet: Sextupolmagnet

Til venstre ses en horisontal sextupol, der kan korrigere kromaticitet. Til højre ses et Q-pol/Sextupol par fra oven. Det er vigtigt, at sextupolen sidder i et høj-β område, dvs tæt på en fokuserende q-pol. Da vil den være fokuserende i den ene side, og defokuserende i den anden. På central orbit er effekten nul.I vertikal retning er effekten af sextupolen mindre, da β er mindre.

NB: Sextupoler kobler vertikal og horisontal bevægelse.

KromaticitetKromaticitet måles ved at ændre beamets impuls og se hvordan forkuseringen, dvs. Q-værdien ændres. Hvis Q-værdien ændres ΔQ ved en impulsændring påΔp defineres kromaticiteten Q’ : (Som symbol for kromaticitet benyttes ofte ξ).

Vi har definitionen af k for en q-pol:

men da Br er proportional med p er

Og altså

dvs

Kromaticiteten er altså: Q’ =

(fra afsnit 6.3)

Måling af kromaticitetEn impulsændring kan laves ved at ændre RF-frekvensen. Dispersion sikrer, at en partikel med højere impuls følger en længere bane i dipolerne, og dermed har en lavere omløbsfrekvens. Ved at ændre frekvensen ændres altsåpositionen i Q-polerne og derved Q-værdien, p.g. af dispersion.

En sådan måling er vist ifiguren.

Målingen foretages i et lille område nær den nominelle tune.

Kromaticiteten er nu givet ved liniens hældning.

Kromaticitet kan også måles ved at ændre feltet i dipolerne og måle tuneskiftet.