MÓDULO 5 - TALLER 1

Autoras

Segundo Ciclo del Nivel Básico

Dra. Nurys del Carmen GonzálezDra. Leandra Tapia

Febrero 2012

MÓDULO 5El espacio tridimensional

Taller 1Poliedros. Área lateral y total

Printcorp Servicios Gráficos Corporativos, S.R.L.

CONTENIDO

Centro de Estudios EducativosCEED

CONTENIDO

Módulo 5El espacio tridimensional

Actividad 1

Actividad 2

Actividad 3

Actividad 4

Actividad 5

Actividad 6

Actividad 7

Actividad 8

Actividad 9

Actividad 10

Actividad 11

Actividad 12

Actividad 13

Actividad 14

Actividad 15

Anexo

26

25

24

21

19

18

17

16

15

15Taller 1

28

29

31

33

34

35

36

9

Descripción

Propósitos

Contenidos

Productos del módulo

Bibliografía y otros recursos

Duración

9

9

10

11

11

11

El espacio tridimensional

Poliedros. Área lateral y total


MÓDULO 5El espacio tridimensional

DESCRIPCIÓN

MÓDULO 5

DIPOMADO EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

Segundo Ciclo del Nivel Básico9

Centro de Estudios EducativoCEED

Construir el concepto de volumen de un cuerpo.

Identificar, clasificar y construir cuerpos geométricos.

Conocer los sólidos y sus desarrollos planos.

Conceptuar y calcular áreas lateral y total, y volúmenes de los cuerpos estudiados.

Conocer y utilizar unidades cúbicas del Sistema Métrico Decimal.

Estimar volúmenes.

Explicar, argumentar y justificar razonamientos y conclusiones.

Valorar la potencia de la geometría para describir, analizar y entender el mundo que nos rodea.

Conocer y utilizar estrategias de aprendizaje por descubrimiento.

Conocer los principales recursos de apoyo al aprendizaje, como el metro cúbico, para la enseñanza-aprendizaje de contenidos geométricos y de medidas y utilizarlos correctamente.

Diseñar y ejecutar propuestas teórico-prácticas basadas en actividades manipulativo-representativas para el desarrollo de contenidos geométricos.

PROPÓSITOS

El espacio tridimensional

En este taller se analizan las características y propiedades de cuerpos geométricos. Se trabaja cómo

utilizar la visualización, el razonamiento espacial y los modelos geométricos para resolver problemas, las

unidades de medidas de volumen, el Sistema Métrico Decimal. Se aplicarán técnicas apropiadas,

herramientas y fórmulas para determinar medidas de volumen utilizando unidades estándares y no

estándares.

En el desarrollo de este taller los participantes aprenderán a utilizar materiales concretos que apoyen la

construcción de los diferentes contenidos, así como el manejo de las diferentes unidades de medidas de

volumen. También construirán recursos para desarrollar estos contenidos con sus estudiantes. Se

analizarán estrategias adecuadas para la construcción de los contenidos estudiados.

CONTENIDOS

DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA



10

Eje temático Contenidos

Conocimiento

• Concepto de volumen.

• Cuerpos geométricos. Clasificación.

• Volumen de cuerpos geométricos.

• Área lateral y área total de cuerpos geométricos.

• El metro cúbico.

• Aprendizaje por descubrimiento.

Conceptuales

Comunicación

• Explicación oral y escrita de los procesos seguidos

en las construcciones y mediciones.

• Interpretación y seguimiento de instrucciones

escritas.

• Lectura y análisis de información.

Procedimentales

Resolución de

problemas y

Toma de

decisiones

• Resolución de problemas.

• Utilización de diferentes estrategias en la solución

de problemas.

• Uso de los múltiplos y submúltiplos del metro

cuadrado y del pie cuadrado para resolver

problemas.

Razonamiento

matemático

• Medición y estimación de volúmenes utilizando el

metro cúbico, entre otros.

• Construcción de la fórmula para obtener el volumen

de cuerpos geométricos.

• Utilización de informaciones para generar

respuestas.

• Justificación de respuestas.

• Medición de volúmenes utilizando el metro cúbico y

unidades arbitrarias.

Conexiones

• Resolución de situaciones problemáticas de la

matemática y de la vida cotidiana.

• Análisis de los contenidos del curso en que enseña.

• Diseño de actividades para sus estudiantes.

Apreciación de la

matemática

• Escucha y sigue orientaciones verbales del

profesor.

• Respeto de los turnos de compañeros y

compañeras

• Valoración de los aportes de la matemática a

nuestra vida cotidiana.

• Valoración y disfrute de relacionar lo que aprende

con su trabajo como docente.

Actitudinales

Diseño de actividades para sus estudiantes.

Construcción de modelos de desarrollo plano de prismas.

Construcción de un metro cúbico.

Construcción de modelos de cuerpos geométricos.

PRODUCTOSDEL MÓDULO

BIBLIOGRAFÍA BASICA

DIPOMADO EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

Segundo Ciclo del Nivel Básico11


DURACION

24 horas

SEEC. (1995). Nivel Básico. Serie Innova 2000, 5.

Libros de texto de los grados en que enseñan los docentes.

Guías de los talleres.

Modelos de cuerpos geométricos.

Metro cúbico.

Cinta métrica.

ACTIVIDADES

Taller 1. Poliedros. Área lateral y total.

Taller 2.Conos, cilindros y esferas. Volumen.Unidades cúbicas.

Taller 3. Volumen de cuerpos geométricos.

Simbologías

Trabajo Individual

Trabajo en Pareja

Trabajo en Grupo

Puesta en Común

TALLER 1



ACTIVIDAD 1

Taller 1




15


Cuerpos geométricos

Observe a su alrededor, identifique objetos que tengan la forma de cuerpos geométricos.

Observe las fotografías siguientes, ¿qué cuerpo geométrico representa cada una?

ACTIVIDAD 2




16

De los cuerpos identificados en la actividad anterior, ¿cuáles tienen sus lados con forma de

polígonos?

¿Qué nombre reciben estos cuerpos?

Dibujen uno de ellos y escriban su nombre.

Los poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos llamados caras.

Se llama arista a cada una de las rectas que unen dos caras de un poliedro.

Se denomina vértice a cada punto común a tres o más aristas de un poliedro.

Caralateral

Altura

Base

Base

Vétice

Arista

ACTIVIDAD 2




17

¿Cuál es el origen de la palabra poliedro?

Los poliedros toman su nombre de acuerdo a la cantidad de caras que tienen.

¿Cómo se denomina un poliedro de seis caras?

¿Qué es un pentaedro?

¿Qué es un dodecaedro?

¿Cuál es la menor cantidad de caras que puede tener un poliedro?

Poliedro regular

ACTIVIDAD 3

Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos congruentes entre sí.

Hay cinco poliedros regulares:

Identifica cuáles de estos poliedros se encuentran en la caja de cuerpos geométricos.

ACTIVIDAD 4




18

Prismas

Observe el cuadro siguiente,

¿Son poliedros? Justifique su respuesta.

¿Cuántas caras tiene cada uno?

¿Cuáles son prismas?

¿En qué se parecen los poliedros que son prismas de los que no son prismas?

¿En qué se diferencian?

Éstos dos sólidos SON Prisma

Éstos dos sólidos NO SON prismas

Tome la hoja de patrones dados, recorte el patrón dado y construya un prisma.

Imagínese que conversa por teléfono con un amigo, ¿cómo le describiría lo que es un prisma?

Escríbalo.

ACTIVIDAD 5




19

Nombre de los Prismas

Observen uno de los prismas de la caja de materiales.

Señalen sus bases.

¿Son los polígonos de ambas bases?

¿Cómo están dispuestas las bases?

Los polígonos también se clasifican según el tipo de polígono que sea su base, según sea el

polígono de su base (regular o irregular) y según el tipo de paralelogramo que tengan en sus

caras laterales.

Nombre de los prismas

Prisma triangular

Según el polígono que forma cada una de sus bases. Completen la tabla:

ACTIVIDAD 5




20

Tipos de prismas

Prisma recto Prisma oblicuo

Un prisma es regular si sus bases son polígonos regulares.

Un prisma es irregular si sus bases son polígonos irregulares.

Un prisma es recto si sus caras laterales son rectángulos o cuadrados.

Un prisma es oblicuo de sus caras laterales son romboides o rombos.

Según el tipo de paralelogramo que forme sus caras laterales:

Según el polígono de su base son regular e irregular.

Tipos de prismas

Prisma regular Prisma irregular

ACTIVIDAD 6

21DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA



Caras, vértices y aristas

Observen los prismas construidos, luego completen la tabla siguiente:

Tipo de prisma 1-Lados

polígono base

2-Número de vértices

3-Número de caras

4-Número de aristas

Triangular

Rectangular

Pentagonal

Hexagonal

…

Base de n lados

¿Observan algún patrón en estos números? Le ayudaremos a encontrarlo:

Observe el polígono de base de cada prisma y la columna de los vértices. El número de

vértices, ¿qué es respecto de los lados del polígono de la base?


polígono base 2-Número de

vértices ¿Cómo se obtiene 2 a

partir de 1?

Triangular 3 6 2 x 3 = 6 vértices

Rectangular 4 2 x 4 = 8

Pentagonal

Hexagonal

…

Base de n lados

ACTIVIDAD 6




22

De lo anterior, si el polígono de la base tiene 12 lados, ¿cuántos vértices tendrá el prisma?

¿Y si tiene 20?

¿Y si tiene n lados?

Escriban la regla que permite obtener el número de vértices de un prisma conociendo el tipo

de prisma.

Observe el polígono de base de cada prisma y la columna de las caras, el número de vértices,

¿qué es respecto de los lados del polígono de la base?


polígono base 3-Número de

caras ¿Cómo se obtiene

3 a partir de 1?

Triangular

Rectangular

Pentagonal

Hexagonal

…

Base de n lados

De lo anterior, si el polígono de la base tiene 12 lados, ¿cuántas caras tendrá el prisma?

¿Y si tiene 20?


Escriban la regla que permite obtener el número de caras de un prisma conociendo el tipo de

prisma.

ACTIVIDAD 6




23

Observe el polígono de base de cada prisma y la columna del número de aristas, el número

de vértices, ¿qué es respecto de los lados del polígono de la base?.

Tipo de prisma

1-Lados polígono base

4-Número de aristas

¿Cómo se obtiene 4 a partir de 1?

Triangular 3 9

Rectangular 4 12

Pentagonal 5 15

Hexagonal 6 18

…

Base de lado n n 3n

De lo anterior, si el polígono de la base tiene 12 lados, ¿cuántas aristas tendrá el prisma?

¿Y si tiene 20?


Escriban la regla que permite obtener el número de aristas de un prisma conociendo el tipo

de prisma.

Escriba la regla general que establece el número de vértices, caras y aristas que tiene

un prisma según el número de lados que tenga la base.

ACTIVIDAD 7




24

Suponga que construye un prisma que tenga una base como ésta:

Sin construir el prisma, ¿cómo puede averiguar saber cuántas caras, vértices y aristas tiene?

Julia ha hecho un prisma que tiene 24 aristas. Descríbalo.

Responda cada pregunta. Justifique sus respuestas.

Un prisma:

¿Puede un prisma tener cuatro caras?

¿Puede un prisma tener cinco caras?

¿Puede un prisma tener seis caras?

¿Puede un prisma tener siete caras?

¿Puede un prisma tener ocho caras?

¿Cuál es el menor número de caras que puede tener un prisma?

Aplicación

ACTIVIDAD 8

Área lateral y área total




25

Resuelvan la situación siguiente:

Se desea empacar regalos para obsequiar a las madres de los estudiantes del 7º

de la escuela Enriquillo. Para el empaque se necesitan cajas como la siguiente,

¿Qué cantidad de cartón se necesita para construir una caja igual que esta?.

3 cm

7 cm

5 cm

En una caja de este tamaño, ¿qué tipo de regalo se podrá empacar?

¿Qué pueden hacer para averiguarlo?

¿Cómo resulta más sencillo averiguarlo?

ACTIVIDAD 9

Una de las formas que puede resolverse el problema anterior es como sigue: se puede calcular el

área de cada cara de la caja o prisma. Así, para calcular la cantidad de cartón necesario para

construir la caja se puede seguir el procedimiento siguiente:




26

3 cm 7 cm

5 cm

Puede obtenerse calculando el área de cada cara que lo forma. Cada una de las seis caras que lo

forman es un rectángulo. Por tanto,

3 cm 7 cm

5 cm

7 cm

3 cm

5 cm

Área = 5 cm x 7 cm= 35

cm2

5 cm

7 cm

3 cm

7 cm

Área = 3 cm x 7 cm = 21

Área = 3 cm x 5 cm = 15

cm2

7 cm

3 cm

5 cm

Área de la superficie del prisma

Calculamos el área de cada cara por separado:

ACTIVIDAD 9




27

Recuerden que son seis caras y que las caras opuestas tienen igual superficie. Por tanto, el área

total será:

2 2 2 2 2 2 2Área Total: 35 cm + 35cm + 21cm + 21 cm + 15 cm + 15cm = 142 cm

O lo que es lo mismo:

2 2 2 2 Área Total: 2x35 cm + 2x 21cm + 2x15 cm = 142 cm

2De este resultado se desprende que el área total es 142 cm y la misma incluye las áreas de

las caras laterales más las dos caras de las bases.

Otra forma de averígualo es como sigue:

¿Qué polígono forman las caras laterales de un prisma cuando éste se desarrolla?

El área lateral es el área del rectángulo de la derecha. La base es este rectángulo es el perímetro

de la base del prisma, ¿por qué?

La altura del rectángulo que forman las caras laterales es la altura del prisma.

Por lo tanto el área lateral es:

A Lateral = Pb× h, entonces,

P = 3 cm + 3cm + 5 cm + 5 cm

P= 16 cm

A Lateral

= 16 cm×7 cm

A Lateral= 112 cm2

3 cm

7 cm

5 cm

7cm

5cm

3cm

3 5 3 5

ACTIVIDAD 9




28

El área total se obtiene sumando al área lateral el área de las dos bases del prisma. Como el

prisma es cuadrangular se tiene:

Como son dos polígonos iguales entonces el área total es:

3 cm × 5 cm = 15 cm2,

ÁreaTotal= A Lateral

+ 2(3 cm × 5 cm)

ÁreaTotal = 112 cm2 + 30 cm2

ÁreaTotal = 142 cm2

área lateral de un prisma es el perímetro de la base por la altura del prisma:

El área total de un prisma esel área lateral más dos veces el área de la base:

A Lateral = PBase× altura

ATotal = A Lateral + 2 ABase

ACTIVIDAD 10

Aplicación

Calculen el área total del prisma siguiente si la arista AB mide 8

pulgadas, la arista BB´ mide 15 pulgadas y la arista BC mide 3 pulgadas.

A’

A

D’ C’

B’

C

B

ACTIVIDAD 10




29

Calculen el área lateral y el área total de los prismas siguientes:

4 cm 14 cm

6 cm

a-

24 cm

6 cm

4 cm

b- 5 cm

10 cm

6 cm

c-

ACTIVIDAD 11

Pirámides

Observe los objetos y monumentos de las fotografías siguientes,

¿qué forma tienen?:

ACTIVIDAD 11




30

¿Qué es la base de una pirámide?

¿Qué forma tienen las caras laterales?

Los elementos notables de las pirámides son:

apotema

vértice

arista lateral

cara lateral

arista básica

base

altu

ra

Qué clase de triángulos son las caras laterales de una pirámide regular?, ¿por qué?

Observen una de las pirámides de la caja de materiales. Tiene ____ vértices, esto es, hay ____

puntos donde se juntan las caras.

¿Cuántas aristas tiene? Tiene _____ aristas, esto es, hay ____ bordes. En cada borde o arista se

juntan dos caras.

La pirámide observada se llama _________ porque tiene un _________________ en su base,

tiene _____ triángulos como caras laterales.

ACTIVIDAD 11




31

¿Podría construir un sólido que sea a la vez una pirámide y un prisma? ¿Por qué si o por qué no?

Compare las pirámides con los prismas. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?

Vértices, caras y aristas

ACTIVIDAD 12

Observen las pirámides de la caja de materiales, luego completen la tabla siguiente mostrando la

relación entre el número de lados de la base, los vértices, las caras y las aristas de la pirámide:

Tipo de pirámide

Lados base polígono

Número de vértices

Número de caras

Número de aristas

Triangular

Rectangular

Pentagonal

Hexagonal

…

Base de n lados

ACTIVIDAD 12




32

Observen el patrón que se genera y respondan:

De lo anterior, si el polígono de la base tiene 10 lados, ¿cuántos vértices tendrá la pirámide?

¿Y si tiene 17?


Si el polígono de la base tiene 10 lados, ¿cuántas caras tendrá la pirámide?

¿Y si tiene 17?


Si el polígono de la base tiene 10 lados, ¿cuántas aristas tendrá la pirámide?

¿Y si tiene 17?


Escriba la regla general que establece el número de vértices, caras y aristas que tiene una

pirámide según el número de lados que tenga su base.

José dice que ha hecho una pirámide con 13 aristas, pero que se le ha olvidado en su casa. ¿Le

crees? ¿Por qué si o por qué no?

La figura anterior muestra una pirámide regular y su desarrollo. Como puede observar, todas las

caras laterales son triángulos isósceles iguales.

¿Cuáles son las áreas que debemos calcular?

Si b es la base de cada cara lateral y a su apotema (altura de cada triángulo), entonces el área de

cada cara es , que es el área del triangulo.

¿Cómo puede calcular el área de los 5 triángulos que forman la superficie lateral de la pirámide?

Puede observar que el área de los 5 triángulos que conforman la superficie lateral de la

pirámide. Observe que 5b es el perímetro de la base de la pirámide. Por tanto, el área de la

superficie lateral es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema:

ACTIVIDAD 13




33

Área total de una pirámide

Observen las ilustraciones siguientes, ¿qué representan?.

A=2abx

2

5 ab x

2

ap´

ACTIVIDAD 13




34

El área lateral de la pirámide es: A Lateral =2apx

B = área de la base

El área total de la pirámide es: ATotal = Bap+

x

2

Aplicación

ACTIVIDAD 14

Halle el área lateral y el área total de una pirámide cuya base es un cuadrado de 3 pies de lado si

su apotema mide 8 pies.

Halla el área lateral y el área total de las pirámides siguientes:

12 cm

7 cm

15 cm

7 cm

7 cm

18 cm

7 cm

La base de una pirámide regular es un pentágono de 14cm de lado. Si la apotema del polígono

base es 10cm y la altura de la pirámide 32cm, ¿cuál es su área total? El área total de una 2 2pirámide hexagonal es 520cm . Si la base tiene un área de 81cm , ¿cuál es su área lateral?.

ACTIVIDAD 15

Tarea




35

1.Traer el metro cuadrado que construyeron en el módulo 3. Lo necesitarán para una actividad del Taller 2

2. Construir un cubo de 1 dm de lado y un cubo de 1 cm de lado.

3. Clasifique los siguientes prismas de acuerdo a sus bases:

3. Busquen en el libro de texto del grado cómo trabaja los temas anteriores. Analicen:

Cuáles de estos temas se trabajan.

Cuáles actividades proponen.

Después de trabajado este taller, ¿cuáles actividades agregarían?

Realice todos los ejercicios planteados. ¿Pudo resolverlos?

¿Qué estrategia puede utilizar para resolverlos?

Una de las estrategias que puede utilizar es ingresando al foro propuesto en el blog del

diplomado. Puede ingresar y realizar sus consultas en:

Blog del Diplomado: http://www.matematicaparadocentes.blogspot.com/

Correo electrónico del módulo: [email protected]

Todos los que ingresen y consulten al foro recibirán 10 puntos

extras en la evaluación del módulo

A N E X O




36

Las gráficas siguientes muestran el desarrollo de varios prismas. Haz estos dibujos en una cartulina,

recórtalos y construye los prismas. Las líneas de trazos indican las pestañas para pegar.

A N E X O




37

A N E X O




38



Impreso en Santo Domingo, Reública Dominicana

Por

750 Ejemplares

Printcorp Servicios Gráficos Corporativos, S.R.L.

Documents

MÓDULO 5 - TALLER 1