Momento Lineal y Colisiones

8/13/2019 Momento Lineal y Colisiones

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Javier Junquera

Momento lineal y colisiones

m1 m2v1i

Before collision

v2i

v1f v2f

After collision

(a)

(b)


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ibliografa

Fsica, Volumen 1, 3 edicin

Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr.

Ed. Thomson

ISBN: 84-9732-168-5

Captulo 8

Fsica, Volumen 1

R. P. Feynman, R. B. Leighton, y M. Sands

Ed. Pearson Eduacin

ISBN: 968-444-350-1

Captulo 9


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efinicin de momento lineal o cantidad de movimiento

caso no relativista)

Se define como momento lineal o cantidad de movimiento de unobjeto de masa mque se mueve con velocidad como el

producto de su masa por su velocidad.

Desglosando en trminos de sus componentes

El momento lineal es una magnitud vectorial (misma direccin y sentido que la velocidad)

Dimensiones: [p] = MLT-1

Unidades en el SI: kg m/s


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elacin entre cantidad de movimiento y fuerza

La tasa de variacin de la cantidad de movimiento con respecto altiempo es igual a la fuerza neta que acta sobre la partcula

Si la masa de la partcula no cambia, la expresin anterior se reduce a la segunda ley de Newton


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rincipio de conservacin de la cantidad de movimiento

caso de una partcula aislada)


Si la fuerza neta que acta sobre un objeto es igual a cero, la derivada de lacantidad de movimiento del objeto con respecto al tiempo es cero

La cantidad de movimiento del objeto debe ser constante

(primera ley de Newton)

Este es el caso de una partcula aislada (que no interacciona con el entorno)


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elacin entre cantidad de movimiento y fuerza


Esta es la forma original de la segunda ley de Newton, tal cul fue presentada por l.

Es ms general, ya que tambin es vlida en sistemas en los que la masa vara:

- un cohete que expulsa combustible a medida que se mueve,- sistemas relativistas (la masa depende de la velocidad)

Es una expresin verdaderamente til cuando se aplica a sistemas de dos o ms partculas


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sistemas aislados)

Consideremos un sistema compuesto por dos partculas que:

- pueden interaccionar entre s (ejercen fuerzas entre s)

- pero estn aisladas del entorno que las rodea (no se ejerce ninguna fuerza externa sobre el sistema)

En un determinado instante:

Cantidad movimiento de la partcula 1


Cantidad movimiento totalv2

m2

m1F21

F12

v1


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sistemas aislados)En un determinado instante:



Cantidad movimiento total

Cmo cambia la cantidad de movimiento con el tiempo?

Cambio de la cantidad de movimiento de la partcula 1


2 ley de Newto


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sistemas aislados)

Cmo cambia la cantidad de movimiento con el tiempo?



2 ley de Newto

Por la 3 ley de Newton

Combinndolo con las ecuaciones anteriores


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sistemas aislados)

Si la derivada temporal de la cantidad de movimiento total es cero, quiere decir que

O de forma equivalente


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sistemas aislados)

La generalizacin para un sistema con cualquier nmero de partculas es trivial

La cantidad de movimiento total de un sistema aislado permanece constante,independientemente de la naturaleza de las fuerzas internas


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mpulso y cantidad de movimiento

Supongamos que sobre un partcula acta una fuerza neta y que esta fuerzapuede variar con el tiempo

Podemos integrar esta ecuacin para hallar la variacin de la cantidad demovimiento de la partcula durante el intervalo de tiempo

La integral de una fuerza a lo largo del intervalo de tiempo durante el que acta

se denomina impulso de la fuerza

El impulso de una fuerza es un vector definido por


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eorema de la cantidad de movimiento y el impulso

El impulso total de la fuerza neta sobre una partcula es igual a la variacin dela cantidad de movimiento de la partcula

Tambin se aplica a un sistema de partculas, en el que consideramos lafuerza neta externa al sistema produce una variacin en la cantidad de

movimiento total del sistema

Cuando se proporciona impulso a un sistema, estamos implicando que se transfiereuna cierta cantidad de movimiento desde un agente externo al sistema


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mpulso como magnitud vectorial


El impulso es una magnitud vectorial, cuyo mdulo es igual al rea

comprendida bajo la curva del mdulo de la fuerza neta en funcin del tiemp

En la figura se supone que la fuerza neta vara con el tiempo y que es distintde cero en el intervalo

El vector impulso tiene la misma direccin que lavariacin de la cantidad de movimiento

Sus unidades son iguales que las de la cantidad de movimiento MLT-1

ti

F

tft


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mpulso y fuerza neta


Dado que generalmente la fuerza puede cambiar con el tiempo, es

recomendable definir una fuerza neta promediada en el tiempo

ti tf

ti

F

(a)

tft

F

(b)

t

F

Area =Ft

El mdulo de esta fuerza neta puede interpretarse como el mdulo de unafuerza constante neta que proporcionara el mismo impulso a la partcula en el

intervalo de tiempo que la fuerza variable en el mismo intervalo de tiempo


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mpulso y fuerza neta


ti tf

ti

F

(a)

tft

F

(b)

t

F

Area =Ft

La variacin en la cantidad de movimiento

que se experimenta en una colisin es lamisma si el coche dispone de airbags que si

no dispone de ellos

El airbag permite que se experimente esavariacin en la cantidad de movimiento en

un intervalo de tiempo mayor

La fuerza mxima que se ejerce sobre lospasajeros se reduce y se incrementan las

posibilidades de no resultar herido


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proximacin basada en el impulso


En muchas situaciones haremos uso de la aproximacin basada en el impulso

- una de las fuerzas ejercidas sobre la partcula acta durante un brevinstante

- pero esa fuerza es mucho mayor que cualquier otra fuerza present

ti tf

ti

F

(a)

tft

F

(b)

t

F

Area =Ft

Esta aproximacin permite ignorar los efectos de otras fuerzas: dichosefectos son insignificantes durante el breve instante en el que acta la

fuerza ms grande

y son las cantidades de movimiento inmediatamente anterior yposterior a la colisin. En la aproximacin basada en el impulso, apenas

se produce movimiento de la partcula durante la colisin


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olisiones: definicin

Usamos el trmino colisin para describir un proceso durante el culdos partculas interaccionan por medio de fuerzas

Se supone que la fuerzas debidas a la colisin son mucho mayoresque cualquier otra fuerza externa presente

Podemos utilizar la aproximacin del impulso

El intervalo de tiempo durante el cul las velocidades de las partculascambian de sus valores iniciales a los finales se supone que es pequeo

Una colisin puede ser el resultado del contacto fsicoentre dos objetos. Esta situacin resulta habitual cuando

se trata de dos objetos macroscpicos (bolas de billar)

Pero debe generalizarse a situaciones en las que laspartculas que han colisionado (interaccionando por medio

de fuerzas) no han llegado nunca a estar en contacto

ll

p

+

+ +

He

(b)

m2m1

(a)

F12F21

4


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olisiones: conservacin de la cantidad de movimiento

Cuando dos partculas colisionan, las fuerzas de colisin pueden variar de una forma

muy compleja:Realizar un anlisis de la situacin utilizando la segunda ley de Newton es complicado

Sin embargo, sin importar la complejidad de la dependencia de las fuerzas con el tiempo,estas fuerzas son siempre internas al sistema formado por las dos partculas

Podemos considerar que las dos partculas forman un sistema aislado, ypor lo tanto su momento linear se conserva


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olisiones inelsticas: definicin

Se define una colisin inelstica como aquella en la que la energa cintica no se

conserva, aunque el momento total del sistema se conserve.

Cuando dos objetos colisionan y quedan unidos despus de la colisin, se produce unatransformacin del mximo porcentaje posible de la energa cintica inicial, y decimos que la

colisin es perfectamente inelstica

- dos coches que colisionan y quedan unidos, se mueven con una cierta velocidadcomn despus del choque,

- meteorito que colisiona con la Tierra y queda perfectamente sepultado en el suelo

Cuando dos objetos colisionan y no quedan unidos despus de la colisin, pero se pierdeparte de la energa cintica inicial, se dice que la colisin es inelstica sin ms adjetivos

- una pelota de goma que choca contra una superficie dura (parte de la energa

cintica se transforma en energa interna cuando la bola se deforma mientras est encontacto con la superficie).


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olisiones elsticas: definicin

Se define una colisin elstica como aquella en la que la energa cintica se conserva,

as como la cantidad de movimiento

Las colisiones reales en el mundo macroscpico, por ejemplo, las colisiones entre dos bolasde billar, son solo aproximadamente elsticas

Parte de la energa cintica se transforma y una cierta energa abandona el sistema en formade ondas mecnicas (el sonido del choque)

Entre partculas subatmicas si que se pueden producir choques perfectamente elsticos.

Las colisiones elsticas y perfectamente inelsticas son casos lmite:hay un gran nmero de colisiones posibles que caen dentro del rango

comprendido entre estos dos lmites


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olisiones elsticas e inelsticas: resumen

El momento del sistema se conserva en todas las colisiones

La energa cintica se conserva nicamente en las colisiones elsticas


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olisiones en una dimensin

Qu ocurre si la colisin tiene lugar a lo largo de una lnea recta?

Necesitamos ms ecuaciones para resolver el problema

Datos

Ecuaciones

Conservacin de lacantidad de movimiento

(ecuacin 1)

Si el choque esperfectamente inelstico

Si el choque es elsticoConservacin ener. cintica

Casos intermediosCoeficiente de restitucin

Incgnitas


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oeficiente de restitucin

e = 0: Choque perfectamente elstico

e = 1: Choque elstico


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olisiones perfectamente inelsticas en una dimensin

Consideremos dos partculas de masas yque se mueven a lo largo de la misma lnea recta con velocidades iniciales y

Suponemos que el movimiento es unidimensional (prescindimos de vectores)

Before collision

(a)

m1 m2v1i v2i

After collision

(b)

vf

m1+ m2

Las dos partculas colisionan de frente, se quedanunidas y a partir de ese momento se mueven con una

velocidad comn despus de la colisin

Como la cantidad de movimiento de un sistema aislado seconserva en cualquier colisin

Generalmente las colisiones inelsticas son difciles de analizar, a no ser que seproporcione informacin adicional. Desde un punto de vista matemtico este hecho

se refleja en que suele haber ms incgnitas que ecuaciones

En este caso, el hecho de que la

colisin sea perfectamente inelstica

proporciona la segunda ecuacin

que necesitamos


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olisiones perfectamente elsticas en una dimensin

Consideremos dos partculas de masas yque se mueven a lo largo de la misma lnea recta con velocidades iniciales y

Las dos partculas colisionan de frente, y abandonan elpunto de colisin con velocidades diferentes

Como la cantidad de movimiento de un sistema aislado seconserva en cualquier colisin

m1 m2v1i

Before collision

v2i

v1f v2f

After collision

(a)

(b)

Si la colisin es elstica tambin se conserva la energa cintica

Como estamos tratando un sistema unidimensional, podemos prescindir de los vectores y describir lasvelocidades de las partculas a partir de sus celeridades, con el signo algebraico correspondiente

Dos ecuaciones con dosincgnitas: y


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m1 m2v1i

Before collision

v2i

v1f v2f

After collision

(a)

(b)

Mtodo alternativo que implica ciertas manipulaciones

matemticas pero que simplifica la solucin

Simplificamos el factor !y trasponiendo

Descomponemos en factores ambos lados de la ecuacin

Separamos los trminos que contienen y en la ecuacin de conservacin del momento


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m1 m2v1i

Before collision

v2i

v1f v2f

After collision

(a)

(b)

Mtodo alternativo que implica ciertas manipulaciones

matemticas pero que simplifica la solucin

Dividiendo las dos ecuaciones

O agrupando en cada lado de la ecuacin los valores

iniciales y finales

Esta ecuacin, junto con la condicin de conservacin de la cantidad de movimiento, sepueden utilizar para resolver problemas de choques elsticos en una dimensin

La velocidad relativa de los dos objetos antes de lacolisin es igual a la velocidad relativa de los dos

bjetos despus de la colisin, pero con signo negativo


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m1 m2v1i

Before collision

v2i

v1f v2f

After collision

(a)

(b)

Si suponemos que las masas y las componentes iniciales de lavelocidad de los dos objetos son conocidas, podemos conocer las

velocidades finales (sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas)

En estas ecuaciones deben incluirse los signos apropiados paracomponente de la velocidad


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m1 m2v1i

Before collision

v2i

v1f v2f

After collision

(a)

(b)

Casos particulares

Las masas de los dos objetos son iguales

Los dos objetos intercambiansus velocidades


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m1 m2v1i

Before collision

v2i

v1f v2f

After collision

(a)

(b)

Casos particulares

se encuentra inicialmente en reposo

Si adems, entonces

El objeto pesado continuasu movimiento sin alterarse

despus de la colisin

El objeto ms ligero saledespedido con una velocidad igual

a, aproximadamente, dos veces lavelocidad inicial del objeto pesado


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m1 m2v1i

Before collision

v2i

v1f v2f

After collision

(a)

(b)

Casos particulares

se encuentra inicialmente en reposo

Si adems, entonces

La velocidad del objetoligero se invierte

El objeto pesado permaneceprcticamente en reposo


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olisiones en tres dimensiones

En una colisin general entre dos objetos en un espacio tridimensional,

el principio de conservacin de la cantidad de movimiento implica que lacantidad de movimiento total en cada dimensin se conserva

La cantidad de movimiento total en un sistema aislado se conserva.Este principio aplica a todos los casos de los choques que consideramos en este tema


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olisiones en dos dimensiones

Qu ocurre si la colisin tiene lugar en un plano?

Datos Incgnitas

Ecuaciones

Conservacin de lacantidad de movimiento

(ecuaciones 1 y 2)

4. Coeficiente de restitucino alguna de las

componentes finales

Necesitamos ms ecuaciones para resolver el problema

3. Si el choque eselstico, conservacin

de la energa cintica


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olisiones en dos dimensiones

Qu ocurre si la colisin tiene lugar en un plano?Ejemplo

(a) Before the collision

v1i

(b) After the collision

v2fcos

v1fcos

v1fsin

v1f

v

2f

v2fsin

EL objeto 1 choca, sin apenas rozarlo, con el objeto 2La partcula 2 se encuentra inicialmente en reposo

Suponemos que el choque es elstico

onservacin de la energa cintica

onservacin de la cantidad de movimiento

3 ecuaciones y 4 incgnitas necesitaramos como dato una de las cuatro magnitudes

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