MTH131  Review  Integration  Worksheet  Part  1  

                                                                             !"#$

%− !'#$

(+ 𝑐,                                                                          = 3 .

!𝑑𝑥 = 3 ∗ lnx + 𝐶                        =  −1 sin 𝑥 𝑑𝑥  

                                                                                                                                                                                                                                                             = −[− cos 𝑥 ] + 𝑐                                                                                                                                                                                                                                                                =  cos(x)  +C  Use  trig  rule                                            𝑈𝑠𝑒  𝑡ℎ𝑒  𝑟𝑢𝑙𝑒   𝑥F = !G#$

FH.                𝑈𝑠𝑒  𝑡ℎ𝑒  𝑟𝑢𝑙𝑒  𝑏𝑟𝑖𝑛𝑔  contstants  out                                

 and  1𝑥 = 𝐼𝑛  𝑥  

                                                                       

u = 2x,                                                                                                                !$S#$

TS+ !U

$"#$

'"

+ 𝐶                    u=  3x  and  du=3  dx                                                                                                                                                                                                                                                              .

(𝑑𝑢 = 𝑑𝑥   → 𝑒W .

(  du  

du = 2  dx                                                                                                          𝑈𝑠𝑒  𝑡ℎ𝑒  𝑟𝑢𝑙𝑒   𝑥F = !G#$

FH.                .

(𝑒W 𝑑𝑢 = .

(𝑒W + 𝐶                                                                                            

.X𝑑𝑢 = 𝑑𝑥     →         cos 𝑢   .

X𝑑𝑢                                                                                                                                                          =  .

(𝑒(! + 𝐶  

½  sin  u+  C  =  ½  sin  (2x)  +  c                                                                                                                                                                        𝑈𝑠𝑒   𝑒! = 𝑒!  𝑟𝑢𝑙𝑒  Use  u  substitution  and  trig  identity  

                                                                                                 =  𝑡𝑎𝑛Z. 𝑥                                                                              2 .

.Z!'𝑑𝑥 = 2 ∗ 𝑠𝑖𝑛Z. 𝑥 + 𝐶                          =  3! .[

(+ 𝐶    

Trig  identity                                                                                Trig  Identity    May  not  need  to  know  this  #7  and  #  8                                                                                                                        use  rule 𝑎! = \]

^[\+C  

 Part  2  –  U  substitution  

                                                                                               u=  7x+2                                                                                                    u=2𝒙𝟐                                                                                          u=𝒙𝟑  du=  7dx  ,  𝟏

𝟕𝒅𝒖 = 𝒅𝒙                                                    du=  4x,  𝟏

𝟒𝒅𝒖 = 𝒙 ∗ 𝒅𝒙                                  du=3𝒙𝟐dx  

𝒔𝒊𝒏(𝒖) 𝟏𝟕  𝒅𝒖 =   𝟏

𝟕𝒔𝒊𝒏(𝒖)𝒅𝒖                          = 𝟕 𝒙𝒆𝟐𝒙𝟐dx                                                            = 𝒄𝒐𝒔 𝒖 𝒅𝒖  

𝟏𝟕−𝒄𝒐𝒔𝒖 + 𝒄                                                                                          =𝟕 𝒆𝒖 𝟏

𝟒𝒅𝒖 =   𝟕

𝟒𝒆𝒖𝒅𝒖                      =[sinu]  +  C  =  sin(𝒙𝟑) + 𝑪  

= −𝟏𝟕𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 + 𝟐 + 𝑪                                                              =  𝟕

𝟒𝒆𝟐𝒙𝟐 +  𝑪                                                            Use  trig  rule  

Use  substitution  and  trig  identity                    use       𝑒! = 𝑒!  𝑟𝑢𝑙𝑒      

                                                                 u=  ln  x                                                                                                                    u=  ln  x                                                                        u=7𝒙𝟐+1  du=  1/x  dx                                                                                                      du=  1/x  dx                                            du=  14x  dx           𝟏

𝟏𝟒𝒅𝒖 = 𝒙 ∗ 𝒅𝒙  

..HW'

𝑑𝑢 = tan 𝑢 Z. + 𝐶                                 u  du = W'

X+ 𝐶            =  𝟑 𝒙( 𝒙𝟐+1)𝟖𝒅𝒙  

tan lnx Z.+C                                                                                        =    qrs'

X  +C                          =3   𝑢t .

.%𝑑𝑢 = (

.%𝑢t𝑑𝑢                                  

Trig  identity,                                                                  Rule   𝑥𝑟 =𝑥𝑟+1

𝑟+1                        = (

.%∗ Wu

v+ 𝑐 →   .

%X(𝒙𝟐+1)𝟗+C  

may  not  need  to  know        Great  free  resources  to  check  your  answers:  http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+3x*%287x%5E2%2B1%29%5E8+dx    For  more  problem  sets  to  practise  a  good  website  is:  https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/ProblemsList.html   Helpful Rules and Laws when doing Integrals: Laws

∫x dx = x2/2 + C

∫x2 dx = x3/3 + C ∫(1/x) dx = ln|x| + C ∫ex dx = ex + C ∫ax dx = ax/ln(a) + C ∫ln(x) dx = x ln(x) − x + C ∫cos(x) dx = sin(x) + C ∫sin(x) dx = -cos(x) + C ∫sec2(x) dx = tan(x) + C

Rules

∫cf(x) dx = c ∫f(x) dx ∫xn dx = xn+1/(n+1) + C ∫(f + g) dx= ∫f dx + ∫g dx ∫(f - g) dx= ∫f dx - ∫g dx Integration by Parts When two functions are multiplied together, but is also helpful in other ways. You will see plenty of examples soon, but first let us see the rule:

∫u* dv = u*v −∫v du u is the function u(x) v is the function v(x) Ex. ∫ex sin(x) dx Choose u and v: u = sin(x), du= cos(x) dv = ex , v = ex

∫ex sin(x) dx = sin(x) ex -∫cos(x) ex dx (color code it to the integration by parts above) We can use integration AGAIN by parts again for ∫cos(x) ex dx: u = cos(x), du= -sin(x), v = ex dv = ex

∫u* dv = u*v −∫v du (plug and chug) ∫cos(x) ex dx= cos(x) ex + ∫sin(x) ex dx Now put it together: ∫ex sin(x) dx = sin(x) ex - (cos(x) ex −∫−sin(x) ex dx) Simplify: ∫ex sin(x) dx = ex sin(x) - ex cos(x) −∫ ex sin(x)dx Now we have the same integral on both sides (except one is subtracted) so bring ∫ ex sin(x)dx to one side ... 2∫ex sin(x) dx = ex sin(x) − ex cos(x) Simplify: ∫ex sin(x) dx = ex (sin(x) - cos(x)) / 2 + C