7 & 12

april / maj 98

Knud Brant Nielsen

- når 7 bliver 12 -

dia7&l2tonalitet - et kontinuum

version april 98

2

Indholdsoversigt

1. Forord side 32. Indledning 42.1 1000 år 42.2 Arnold Schönberg var tæt på 53. Fundet 63.1 Fra skala til slange 73.2 At tænke 12-tonalt, men skrive 7 83.3 Omkodning fra 7 til 12 84. 7&12-koder 104.1 Skalaer 104.2 Slanger 114.3 Transpositioner 125. Praktiske vink 135.1 Kvart/kvint-slangen 135.2 7-tonalitetens kromatiske skala = 12-tonal skala 145.3. Guidos baghånd 155.4. Transposition/modulation 165.5 Kromatisk halvtrin heltrin minus halvtrin 175.6 Enharmonik som formummet 12-alteration 185.7 12-tonalitetens små og store intervaller 195.8 - at kalde trold ved navn: 12-intervallernes navne 205.9 De 12-tonale intervaller 216. Perspektiver 227. Appendix: Gradnotation - et relevant studie-værktøj? 237.1 Intervalspændinger 237.2 Gradnotation 247.3 Gradnoterede skalaer 257.4. Nogle eksempler 267.5 Bach og Bartok gradnoteret 27

3

FORORD

Denne indføring er skrevet til musikstuderende og alle andre med interesse for musikteori.

Nyheden er dia12tonalitet (diatonisk tolvtonalitet) som organisk konsekvens af gængs notation og klaviatur og som naturlig udfoldelse af den velkendte diatoniske 7-tonalitets latente dynamik: af dia-7 fødes dia-12 til et sammenhængende dia7&12kontinuum.

Musikkens stof er toner, dens skrift er noder. 7-notationen på 5 linier er det ideelle sprog for 7-tonal musik. Århundreders erfaring har udviklet 7-notation og 7-klaviatur til perfekt værktøj og materiale for 7-tonal tænkning. Med rette er det gængse notationssystem blevet skriftsproget, den skriftsproglige forudsætning for en enorm musikalsk udvikling. Men det 7-tonale skriftsprog & klaviatur er så etableret at det er blevet synonymt med tonalitet, “tonalitet er 7-tonalitet”. En fatal fejlslutning!

I det årti hvor musikere som børn smadrede det legetøj de var vokset fra, var det ikke basun og harpe der måtte holde for, men flyglet, hvis klaviatur er synliggjort 7-tonalitet. Men stemningen er 7-tonal og 12-neutral: klaviaturet viser 7-tonalitet, mens stemningen er 12-neutralitet, oktaven delt i 12 lige store trin.

Bevidstgørelse af dia7&12tonalitet som et organisk kontinuum ligger ligefor: 7- tonaliteten kan forvandles til det den er, en del af et større rum, i princippet et uendeligt rum med uendelige muligheder for udfoldelse.

Benævnelsen 12-tonalitet står således i det efterfølgende for dia12tonalitet, altså ikke dodekafoniens ligedelte (= ligesvævende, neutrale) tolv lige store trin, men diatonisk 12-tonalitet opbygget af små og store trin med tonale spændinger og muligheder for modulation og transposition.

…

Grundlaget er diamatikeren og tonalteoretikeren Frede Schandorfs ’Om tonalitet’, og efterfølgende rummer i sig selv intet væsentligt nyt. Dog er denne indføring mit ansvar, præget og begrænset af min forståelse af Frede Schandorfs radikale grundforskning.

Jeg henviser til Frede Schandorfs værk som en særdeles seriøs og vægtig kilde til fornyelse og udvidelse af den personlige oplevelse og forståelse af det for europæisk musiktradition grundlæggende emne: tonalitet.

12-notationen er udførligt beskrevet og eksemplificeret i Frede Schandorfs ”Det 12’tonale nodelinjesystem”.

Knud Brant Nielsen

4

INDLEDNING: 1000 år

For 1000 år siden opdagede Guido fra Arezzo det princip for node-notation, som nu - 1000 år senere, i 1970'erne - Frede Schandorf fandt koden til. Dermed afsløredes 7&12-tonaliteten som et organisk sammenhængende, kontinuert sprog, et rummeligt tonerum for 1000 års ubrudt musikalsk udvikling, et traditionsbaseret, solidt fundament - potentielt også for en kommende kulturs mangfoldige muligheder for skabende udfoldelse. Allerede i 1600-tallet antyder mange løse fortegn, at en større tonalitet - 12- tonaliteten - trænger sig på:

Michelangelo Rossis orgeltoccata fra 1657 (Studio Per Edizioni Scelte, Firenze 1982 - s. 23) er noteret på 6 og 8 linier med elegant brug af 3 nøgler og viser et stadium i 7-notationens lange udvikling.

Det samme udsnit (af The New Oxford History of Music, vol. Vl, p. 517) i nutidig 7-notation på to 5-liniesystemer med F- og G-nøgle. Toccataen udnytter skalaen ’d-kromatisk’ med es fis gis be og cis: i alt 12 forskellige toner.

Og her omskrevet til 12-tonal notation på to 7-liniesystemer med hhv. S- og K-nøgle (‘fis- og be-nøgle’). Notationen afdækker, at kromatikken er maskeret 12-tonalitet: accidentalierne forsvinder som dug for solen, ‘d-kromatisk er 12-tonalitetens stamskala, “12-tonal C-dur”, her begynder det ...

5

Arnold Schönberg var tæt på

I 1950 - som 75-årig - indleder Arnold Schönberg sit radioforedrag “J. S. Bach” således:

”Jeg plejede at sige: Bach er den første tolvtonekomponist. Det var naturligvis spøg. Jeg vidste ikke engang om ikke nogen før ham fortjente denne titel. Men sandheden, som denne konstatering er baseret på, er at fuga nr. 24 i h-mol af Det veltempererede Klaver bd. I begynder med en Dux i hvilken alle tolv toner forekommer (...)”

Først godt 25 år senere fandt Frede Schandorf 12-notationen:

12-notationen afslører hvad der havde været skjult i et kvart årtusinde: i tredje takt skaber his 12-tonal modulation fra 'h-kromatisk' til 'fis-kromatisk'. Efter at have brugt ti forskellige toner af 'h-kromatisk' indfører Bach fra dominanttonearten ’fis-kromatisk’ accidentaliet his, som er vekseldominanttertsen i 'fis-kromatisk'. De to resterende toner a og gis af 'h-kromatisk' hører også til 'fis-kromatisk' og bliver nu en del af kadencen, som fastslår den 12-tonale dominanttoneart 'fis-kromatisk' ...Samtidig modulerer gis 7-tonalt fra h-mol til dominanten fis-mol.

Denne enestående Dux har altså 13 forskellige toner: med den 13. tone modulerer Bach sit 12-kompleks til Dominanten, idet 7&12-tonalitet har h som fælles tonika og fis som fælles dominant.

Komponister har som Bach vist, hvordan 12-tonalitet kan noteres 7-tonalt. De måtte for det meste arbejde intuitivt.

Med Schandorfs fund af 12-notationen har vi i dag det adækvate og på fuldkommen måde anskuelige 12-tonale skriftsprog som perfekt hjælp til bevidstgørelse af 12-tonal tænkning.

Den dia12tonale bevidstgørelse kan ske på flere måder, men naturligst og enklest ved transskription fra 7- til 12-notation! Kan man i 2-transskribere - og det er både enkelt og let - så kan man også skrive og læse 12-tonaliteten gængs 7-tonalt - og får oveni en ny og dybere oplevelse af hvad 7-tonalitet kan være...

Dét er hvad denne introduktion går ud på.

6

FUNDET

Så længe der har eksisteret 7-notation, har 12-notationen været en latent mulighed, som et nyt svar på en gammel dansk gåde: “Hvad er det der er større end sin mor, når den bliver født?”--- “En istap!”--- “Ja, og 12-tonalitet!” Det kostede hårdt arbejde at afdække den, sløret som den er af 7-notationen og fordi det nu engang kan være svært at se skoven for bare træer. Som andre store svar er løsningen på denne gåde så enkel, at det kan undre at den ikke for længst er fundet.

7-klaviaturets smukke symmetri ligefrem opfordrer til at notere noderne ‘a h c d e f g’ i bas-notation - med midtertonen d centralt på midterste linie.

Så tilføjes fem kromatiske halvtrin - med gis nederst som den skævhed, der må tages med, fordi 12 er et lige tal. Dermed er løsningen givet:

Ved enkel, men konsekvent analogi:- som 7 toner kræver 5 linier, fordrer 12 toner 7 linier.- som 7-skalaens midterste tone noteres på den midterste af de 5 linier, skrives

12-skalaens midterste tone på den midterste af de 7 linier.- som 7 skalaens øvrige 6 toner har deres egne pladser trinvis op og ned,

placeres 12-skalaen øvrige 11 toner trinvis op og ned, hver på sin plads.- som 7-skalaens benævnes nedefra og op med alfabetets første bogstaver

a h c d e f g, har 12-skalaen navne nedefra og op med alfabetets følgende bogstaver I J K L M N O P Q R S T.

Voila! 7-tonalitetens kromatiske skala er lig med den diatoniske 12-skala!

7

Fra skala til slange

Hver for sig omordnes 7-skala og 12-skala til kvart/kvint-sekvens, til et 7-modul og et 12-modul, der er fælles om 7 toner og altså begge er kvart/kvint-ordnede:

Kvart/kvintsekvensen udvides, idet modulerne gentages med fortegn:

7-modulet ses gentaget mod højre som ♯-modul (med ♯ for hver node) og igen som x-modul (med x for hver node)…

Tilsvarende er 7-modulet gentaget mod venstre som ♭-modul og som ♭♭-modul …

Helt analogt kan 12-modulet gentages som ♯-modul (med ♯ for hver node) og igen som x-modul (med x for hver node)... Og tilsvarende som ♭-modul og som ♭♭-modul …:

Her er nu 7-slange og 12-slange (= kvart/kvintsekvens) noteret i violinnøgle, hhv. G-nøgle og K-nøgle, idet alle toner er noteret så de falder inden for én oktav.

7-slange og 12-slange har fælles eksponentrække (= talrække): hver tone har altså to notationer, som er fælles om én eksponent:

Forskellig er altså notation og bogstavnavn.Fælles er lyd (= frekvens) og tal (= eksponent).

Eksponenten er enkelttonens person- og socialnummer, der viser tonens individuelle placering i slangeordenen.

8

At tænke 12-tonalt, men skrive 7-tonalt

Men hvem vil skrive på 7 linier? Eller spille efter 7 linier?Ikke mange - endnu.

Men at lære sig at tænke 12-tonalt, mens man skriver og læser 7-tonalt, er både realistisk og relevant for musikalske hverdag - også enkelt og overkommeligt, fuldt ud besværet værd.

Og muligt uden mange ord, for den enkleste og naturligste måde at lære 12- tonaliteten at kende på er at transskribere fra 7 til 12 - og omvendt.

…

Omkodning fra 7 til 12

Koden til transskription fra 7-notation til 12-notation er - i al sin enkelhed - 7-slangen noteret over 12-slangen.

Her ses et udsnit af koden: tretten toner med eksponenterne fra -2 til +10:

Node for node omkodes fra 7 til 12: under hver enkelt 7-noteret tone ses dens 12- noterede oversættelse.

Hver tone får således to notationer og to bogstavnavne, der er fælles om én frekvens og én eksponent.

9

Med denne kode kan Bachs h-mol-tema transskriberes - node for node:

Hver node er enkel transskription - kun ikke h i første takt: som man i 7-notation oktaverer 7-slangens h ved at notere det 7 trin dybere i det 7-tonale notationssystem, bliver det 12-tonale L oktaveret, ved at det noteres 12 trin dybere i det 12-tonale notationssystem. I øvrigt sker transskriptionen ved at G-nøgle bliver K-nøgle, men ellers med uændret overføring af fælles 4/4s-tegn og 8'dels-pause, nodeværdier og taktstreger. De faste fortegn er analoge: h-mol er to kvinter fra 7-stamskalaen a-mol, heraf to faste ♯, og ’h-kromatisk’ er tre kvinter fra 12-stamskalaen 'd-kromatisk', derfor tre faste ♯.

Nu springer forskellen i øjnene: 7-notationens forvirrende otte løse fortegn i modsætning til 12-notationens ene løse fortegn. Her viser 12-notationen sin force: den afslører et 12-tonalt tema, der modulerer til dominanten: ♯ viser modulations-tonen (modulator) - helt som med følgende 7-tonale tema:

Dette 7-tonale tema (Bach: W. Kl. I fuga nr.7) anvender 8 forskellige toner: Es-durs 7 toner + modulationstonen a, som er den ny dominants terts (= i B-dur).

Analogt bruger det 12-tonale tema 13 forskellige toner: (=’h-12’s) 12 toner + modulations-tonen M♯ (= his), som er den ny vekseldominants terts (= i 'fis-12').

Frede Schandorfs 12-transskription af de indledende takter af Bartoks ’Strengemusik’ er et nyere eksempel på et kort tonalt udsving - inden for én takt. I tredje takt afslører 12-notationen som en seismograf det fine 12-tonale udsving, der i 7-notation tilsløres af de mange nødvendige løse fortegn.

10

7- & 12-KODER

For at kunne omkode fra 7 til 12 behøves kun slanger, skalaer og transpositioner.

slanger

Slanger i 7- & 12-notation, øverst med diskantnøgler, mellemst altnøgler, nederst basnøgler.

Dermed har vi koden til transskription fra 7-notation til 12-notation - og omvendt!

Oktavering i 12-notation er enkel, idet den følger reglerne:- ‘én gang linie, altid linie’ (noderne I K M O Q S og deres alterationer) - og- ‘én gang mellemrum, altid mellemrum’ (noderne J L N P R T og deres alterationer).Det vil sige at enhver node på linie oktaveres ved at man flytter noden til 6. linie over/under - og enhver node i mellemrum flyttes til 6. mellemrum over/under. Alternativt noteres pilespids over eller under noden som skal oktaveres. Skal flere noder oktaveres, noteres pilespids før første node og overstreget pilespids efter sidste node, svarende til det 7-tonale all’ ottava med stiplet linie.

11

skalaer

Skalaer i 7- & 12-notation, øverst med violinnøgler (G- & K-nøgle), midterst med altnøgler (C- og O-nøgle) og nederst med basnøgler (F- & S-nøgle).(i) over nøglen angiver, at stamskalaen har +6 = gis = I.(u) over nøglen angiver, at stamskalaen har -6 = as = U.Frede Schandorf har som regel brugt (u)-version.

12

transpositioner

Ikke mindst ved analyselæsning kan transpositioner af stamskalaen ‘d-kromatisk’ (‘d-12’/O-12) være nyttige.Venstre række er ♭-transpositioner, højre række ♯-transpositioner.Første og sidste nodes fælles eksponenttal angiver transpositionens faste 12-fortegn, fx nederste højre transposition: gis/l = +6 viser 6 faste 12-tonale ♯.

13

PRAKTISKE VINK

I koderne med bogstaver og eksponenter ligger al information om det 12-tonale materiale. Mens man omkoder fra 7 til 12, røber 12-tonaliteten sit væsen, afslører elskværdigt sine hemmeligheder.

Advarsel! : efterfølgende er således et brud på den pædagogiske regel der siger:“Hvis du forærer andre en løsning, har du afskåret dem fra selv at finde den.”

Men for den der gerne vil skyde genvej er her nogle praktiske vink med på vejen:

Kvart/kvint-slangen

Toner har navn og nummer:skalaen er deres alfabetiske ordenslangen er deres nummerorden

7 nabotoner i slangen danner en 7-skala, 12 nabotoner en 12-skala.

Tallet - eksponenten - er enkelttonens person- og socialnummer, der angiver tonens individuelle placering i slangeordenen og dermed dens sociale forhold til omgivelserne, dens spændingsværdi som tone i et interval.

Fx: tonen A = J har eksponenten +1 mens ♯F = S har eksponenten +4intervalspændingen er 3 grader, idet +1 er 3 positioner fra +4;

tonen ♭E = P har eksponenten -5 mens E = Q har eksponenten +2,intervalspændingen er 7 grader, idet -5 er 7 positioner fra +2.

14

7-tonal kromatisk skala = 12-tonal skala

En 7-tonal skala har 2 små og 5 store trin (2 halvtrin og 5 heltrin), mens en 12-tonal skala har 7 små og 5 store trin (7 halvtrin og 5 heltrin).

Det 7-tonale og det 12-tonale lille trin (halvtrin) er lige store, fx d-es / O-P eller e-f/ Q-R.Men det 12-tonale store trin (heltrin) er identisk med 7-tonalitetens kromatiske halvtrin, fx es-e / P-Q eller f-fis / R-S.

12-notationen har samme mangel som 7-notationen: den viser kun trin, ikke trinstørrelse.

Men læser man 7-notationen med 12-tonale briller, ses forskellen:

Det 12-tonale heltrin fremtræder i 7-notation som kromatisk halvtrin, dvs., med noderne placeret ved siden af hinanden på samme linie eller i samme mellemrum, men med forskelligt fortegn: trinforholdet aflæses således middelbart af fortegnsforskellen.Halvtrinnets noder ses derimod i begge notationer som naboer: den ene node på linie, den anden i mellemrummet over eller under - her ses trinforholdet umiddelbart af den relative placering.

12-tonalt betragtet kan 7-notationen således ses som en ‘analyse-notation’, der - i visse henseender - røber hvad 12-notationen ikke umiddelbart fortæller.

15

Guidos baghånd

Guido rækker en hjælpende hånd, når en 12-skala skal noteres 7-tonalt. Eller – om man vil - når en 7-kromatisk skala skal opbygges.For eksempel den 12-skala, der udgør tonematerialet til Fuga 8 i dis-mol af Wohltemperiertes bind I:

Guidos baghånd viser fordelingen mellem 12-notationens notationens små og store trin = 7-notationens diatone og kromatiske halvtrin:

Man bruger altså hånden én gang + et ekko + én gang til.

Guido gav os notationssystemet og dermed kimen til det skriftsprog, som muliggjorde og fremmede 7-tonal tænkning. Schandorf dechifrerede den kromatiske skala som identisk med diatonisk 12-tonalitet (dia12tonalitet), der vokser organisk ud af 7-tonaliteten.

Hvem kunne vide at Guido havde 12-tonaliteten i baghånden?

16

Transposition / Modulation

Af kvart/kvintslangens 7 midterste toner -3 -2 -l 0 +1 +2 +3 dannes 7-stamskalaen d-dorisk:

7-stam-modulet kan flyttes fx 3 positioner til venstre i slangen, dvs. transponeres (moduleres) til -6 -5 -4 -3 -2 -1 0, hvilket giver 3 faste ♭’er, f-dorisk:

Af kvart/kvintslangens 12 midter-toner -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 dannes analogt 12-stamskalaen ‘d-kromatisk’ (=‘d-12’) / ‘O-12’:

12-stammodulet kan - igen analogt - flyttes fx 7 positioner til venstre i slangen, dvs. transponeres (moduleres) til -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1, hvilket giver 7 faste ♭’er, ‘des-kromatisk’ (‘des-12’) / ‘♭N-12’:

…

(De 12-tonale skalanavne er praktisk arbejdsjargon i denne korte indføring, der ikke berører de tolv 12-tonale modi (‘kirketonearter’). De her brugte skalanavne har den fordel at de implicit angiver fortegnsantallet: tonen d/O har eksponenten 0, altså har ‘d-12’/ ‘O-12’ nul 12-tonale fortegn; tonen des/♭N har eksponenten -7, altså har ‘des-12’ / ‘♭N-12’ syv 12’tonale ♭’er.)

17

Kroma(tisk halvtrin) = heltrin minus halvtrin

Der er 7 kvart/kvinter mellem tonerne i det 7-tonale kromatiske halvtrin, fx f-♯f:

og der er 12 kvart/kvinter mellem tonerne i det 12-tonale kromatiske halvtrin, fx P-♯P:

Fælles for 7-&12-notation: noden gentages med ♯ foran.

Men 12-kromaet i 7-notation:Det er ikke til at se det, hvis man ikke lige ved det …

…

Det kromatiske halvtrin er den rest der bliver tilbage når det diatoniske halvtrin trækkes fra det diatoniske heltrin efter formlen: stor minus lille kroma:

Nodenavnene bekræfter den analoge dannelse af kromaet:

7-tonalt:heltrin: f g

minus halvtrin: ♯f ger lig med kroma: f ♯f

12-tonalt:heltrin: P Q (= es e)

minus halvtrin: ♯P Q (= dis e)er lig med kroma: P ♯P (= es dis )

18

Enharmonik som formummet 12-alteration

Traditionel enharmonisk omtydning er interval-identisk med 12-tonal alteration. Intervallet mellem omtydningens to toner er et 12-tonalt kroma. Ved enharmonisk omtydning er den ene af tonerne ofte underforstået, altså unoteret. Når 7-notation læses, dvs. tænkes 12-tonalt, tolkes enharmonisk omtydning som 12-tonal alteration der betyder 12-tonalt udsving eller modulation.

I sin komposition 'L'Enharmonique' (takt 15-18) belyser Jean Philippe Rameau forholdet mellem enharmoniske toner:

7-tonalt er tonearten g-mol med to faste♭, og 12-tonalt ‘g-12/‘T-12 med ét fast♭. De enharmoniske toner, som Rameau spiller ud mod hinanden, ses i citatets første takt som ‘gis/I og i anden takt som 'as/♭I'. Forskellen mellem de to toner ses af deres melodiske sammenhænge, den første er ‘a gis (e) a' / 'J I (Q) J' og den anden 'g as g' / 'T ♭I T'. De to motiver er hinandens spejlvending og eksponerer de to enharmoniske toner som modsætninger, der så at sige vender hinanden ryggen og danner janushovedeffekten: 'a gis a' viser gis som opadrettet energi, mens 'g as g' viser as som nedadrettet energi. Tonerne viser den almene regel for enharmoniske toner, at højeste eksponent (her gis = +6) er opadrettet, mens laveste eksponent (her as = -6) er nedadrettet. Enharmoniske toner er således diametralt modsatrettet energi. Ved enharmonisk omtydning = 12-tonal alteration ændres hidtidig bevægelsesretning:når gis bliver as, konverteres potentiel opad-energi til potentiel nedad-energi.

19

12-tonalitetens små og store intervaller

Efterfølgende forstås - for at fremme konsekvent analogi:– ren kvart som ‘lille’ kvart og forstørret kvart som ‘stor’ kvart – og– formindsket kvint som ’lille’ kvint og ren kvint som ‘stor’ kvint.

Analogt med 6 små og 6 store intervaller i 7-tonaliteter der 11 små og 11 store intervaller i 12-tonalitet.

Overgangen fra 7- til 12-tonalitet betyder partnerskift:– ‘lille’ kvint og ‘stor’ kvart finder sammen og danner par– øvrige fem små finder forstørrede som partnere og forvandler dem til store– og øvrige fem store finder formindskede som partnere og gør dem til små,

i alt 11 par med 12-kromaet som den lille fælles forskel.

I 7-tonaliteteten er forskellen 7-kromaet -i 12-tonalitet er forskellen 12-kromaet.

Med f som akse ses de seks 7-tonale par symmetrisk grupperet:

Med P som akse ses de elleve 12-tonale par tilsvarende symmetrisk grupperet:

Og her 12-intervallerne omkodet til 7-notation:

Visuelt forvirrende! Men det er der råd for: nye navne!

20

- at kalde trold ved navn: 12-intervallernes navne

Det er let at oversætte fra 7-navn til 12-navn - blot en enkel regel:

‘lille og formindsket bliver lille, stor og forstørret bliver stor’

Fx: e-gis?Tænk: “e = nul, f= etter, fis = toer, g = treer, gis =firer” - og

“e-gis er en stor terts’ - og“stor og forstørret bliver stor “,

altså: “e-gis er en stor firer”.Eller: “e-gis spænder fire 12-trin og er derfor en firer” - og

“stor i 7 er stor i 12, derfor stor,altså: “e-gis er en stor firer”.

Partneren er let at finde: tænk enharmonisk:“gis ændres til as: e-as er en lille firer”.

Tjek: “e = nul, f etter, fis = toer, g = treer, as =firer” - og“e-as er en formindsket kvart” - og“lille og formindsket bliver lille”,

altså: “e-as er en lille firer”.Eller: “e-as spænder fire 12-trin og er derfor en firer” - og

“formindsket i 7 er lille i 12, derfor lille,altså: “e-as er en lille firer“.

12-tonale intervalnavne

På næste sides oversigt er noteret de 12-tonale intervallers navne:

rent nul = rent nul = 0 = 0lille efter & stor etter = ’1 & 1’lille toer & stor toer = ’2 & 2’lille treer & stor treer = ’3 & 3’lille firer & stor firer = ’4 & 4’lille femmer & stor femmer = ’5 & 5’lille sekser & stor sekser = ’6 & 6’lille syver & stor syver = ’7 & 7’lille otter & stor otter = ’8 & 8’lille nier & stor nier = ’9 & 9’lille tier & stor tier = ’10 & 10’lille elver & stor elver = ’11 & 11’ren tolver = ren tolver = 12 = 0

21

De 12-tonale intervaller

22

PERSPEKTIVER

I sin komposition “L’Enharmonique” veksler teoretikeren og komponisten Jean Philippe Rameau mellem gracieusement og hardiment, sans altérer la mesure, mellem ulige lange og lige lange nodeværdier: komponisten bruger kontrasten ulige-lige som strukturerende princip for sin komposition.

Rameau gør brug af kontrasten ulige – lige varigheder. En anden mulighed ville være ulige – lige intervalstørrelser. Altså at sætte uligedelt dia12tonalitet over for ligedelt dodekafoni, det konsekvent tonale over for det gennemført ikke-tonale.

For komponisten vil bevidstgørelsen af dia12tonaliteten kunne give et afsæt for en fornyet undersøgelse af de muligheder, som ligger i en bevidst udnyttelse af vekselvirkningen mellem at komponere med uligedelte og med ligedelte intervaller.

For musikteoretikeren muliggør fundet af den dia12tonale notation og tænkning med dens næsten dobbelte antal intervaller et kompletterende modspil til ‘Analyse efter Allen Forte-metoden’. En udbygget dia12tonal teori ville kunne skabe et naturligt og ligeværdigt modspil til Allen Forte-analyse. Og en samtænkning af dia12tonal teori og Forte-analyse kunne vise sig at være frugtbar.

Med bevidstgørelse af det komplementære forhold mellem ligedelte og uligedelte intervaller og dermed dybest set forholdet mellem trin og grad stilles der arbejdsværktøj til rådighed til løsning af en potentiel opgave for det kommende årtusind: at forene traditionelt dodekafone arbejdsteknikker med dia12tonal tænkning til en organisk helhed under udfoldelse af utallige latente muligheder for udvidet og intensiveret udtryk i en rigt facetteret dia-dodekafoni.

Sidst, men ikke mindst - eller - måske først og fremmest: komponisters undersøgelse alene af dia12tonalitetens mange muligheder kunne tænkes at åbne for ny, endnu uhørt tonal musik, ikke mindre varieret og mangfoldig end de forløbne århundreders 7-tonale musikalske skaben.

23

APPENDIX:GRADNOTATION - ET RELEVANT STUDIE-REDSKAB?

Intervalspændinger

Når 7-stamtone-slangen udvides med et oktaveret og gentaget f, ses - inden for rammen - 7-tonalitetens seks par komplementær-intervaller, øverst små og nederst store intervaller:

Øverste talrække ’76543210’ noterer hvor mange intervaller der kan dannes af stamtonerne, fx angiver tallet 5 at der er 5 store sekunder og 5 små septimer. Noderne uden for den stiplede ramme er identiske, kun ♯ gør forskellen: til venstre angiver tallet 7, at der er 7 mulige rene oktaver og 7 mulige rene primer, mens tallet 0 til højre angiver, at forstørret prim (=kromatisk halvtrin=7-kroma) og formindsket oktav ikke findes i stamtonaliteten.Nederste talrække ’01234567’ noterer - hypotetisk - intervallernes spændingsgrad:fx har de store sekunder og små septimer spændingsgraden 2, idet der er i slangen er to kvart/kvinter mellem noderne f og g. Den rene prim og den rene oktav med tallet 0 er spændingsfri, mens 7-kroma og formindsket oktav med tallet 7 har en spænding på 7 grader.

Når - tilsvarende - 12-stamtone-slangen udvides med et oktaveret/tolveret og gentaget es/P, ses - mellem de stiplede linier - 12-tonalitetens elleve par komplementær-intervaller, øverst små og nederst store intervaller:

Også her er angives antallet af den øverste talrække ‘12 11 . . . 1 0’ og grad-spændingen af den nederste talrække ‘0 1 . . . 11 12’. Mens intervalantallene øges, forbliver de hidtidige spændingsgradtal uændrede, fx øges antallet til 10 store sekunder og 10 små septimer / 10 store toere og 10 små tiere - med 2 som uændret spændingsgrad.

24

Også her er noderne udenfor den stiplede ramme identiske, med ♯ som eneste forskel. Intervalantallet 12 til venstre viser, at der er 12 rene primer og 12 rene oktaver, mens tallet 0 til højre angiver, at der ikke kan dannes formindsket prim (12-tonalt kromatisk halvtrin = 12-tonalt kroma) af de 12 stamtoner. Gradtallet 12 viser, at 12-kromaet med langt overgår 7-kromaet med hensyn til spænding.

Begge samlede nodebilleder indicerer, at det er kvart/kvintslangens bevægelse inden for oktavrammen, der gradvist ud fra den rene prims 0-gradspænding genererer det 7-tonale kromas 7-spænding og det 12-tonale kromas 12-spænding. Det er grundlaget for den efterfølgende hypotetiske gradnotation.

Gradnotation

Enkelttonens tal (=eksponent) angiver tonens spændingsgrad, tonens gradtal, i forhold til det 7-tonale d = det 12-tonale 0. Graderne kan - som middel til bevidstgørelse - noteres på et særskilt grad-notationssystem med et vilkårligt linietal. Her er valgt 7 linier:

7- og 12-notationen er fælles om gradnotationen. Mens 7- og 12-notation noterer trin, dvs., relativ tonehøjde, noterer den fælles gradnotation grad som udtryk for tonal spænding. På gradsystemets midterste linie placeres d = O som 0 grader. Herudfra ordnes alle øvrige toner; fx har g/T fælles gradtal -1, der i gradsystemet har sin plads i mellemrummet under midterste linie, altså lige under tonen d/O med graden 0; og ais = ♯K har fælles gradtal +8, der noteres på 1. bilinie over gradsystemet.

Gradnotationen viser ikke oktavposition: alle 7-tonale ais = 12-tonale ♯K - fra subkontraoktav til firestreget oktav - noteres på første bilinie over gradsystemet.

25

Gradnoterede skalaer

Den 7-tonale stamskala (d-dorisk):

Det er fast regel for forholdet mellem trinnotation og gradnotation, at

ligebevægelse viser stort eller forstørret interval - og atmodbevægelse viser lille eller formindsket interval

Gradnotationen anskueliggør forholdet mellem store og små trin: de 5 store 7-tonale trin i den stigende skala ses i gradnotationen som stigende bevægelse med 2 graders spænding, der afbalanceres af de 2 små 7-tonale trins faldende bevægelse med 5 graders spænding.

Den 12-tonale stamskala ‘d-12’ / ‘O-12’:

Gradnotationen viser også her forskellene mellem store og små 12-tonale trin: de 5 store 12-tonale trin i den stigende skala fremtræder i gradnotationen som stigende bevægelse med 7 graders spænding, der afvejes af de 7 små 12-tonale trins faldende bevægelse med 5 graders spænding.

26

Nogle eksemplerNogle kommenterede eksempler på gradnotation:

a. gentagen gradnode viser ren prim / nul-interval eller én (eller flere) oktaver / tolvere.

b. ligebevægelse mellem trin- og gradnotation viser at intervallet er stort (eller forstørret).

c. modbevægelse mellem trin- og gradnotation viser at intervallet er lille (eller formindsket).

d. komplementærintervaller er gradudsving inden for en oktav / tolver.

e. kromaets gradspændingstal er lig med tonalitetens størrelse: 7-tonalitet har et kroma(tisk halvtrin) med 7 graders spænding, 12-tonalitetens kroma(tiske halvtrin) har 12 graders spænding.

f. en (7-tonal) heltoneskala viser kun ligebevægelse, idet den kun rummer store og forstørrede intervaller: store sekunder, store tertser, forstørrede (=store) kvarter, forstørrede kvinter, forstørret sekst / store intervaller: store toere, store firere, store seksere, store ottere, stor tier.

g. en (7-tonal) ufuldkommen dominantnoneakkord med lille none viser kun modbevægelse, idet den kun rummer små og formindskede intervaller: små tertser, formindskede (=små) kvinter, formindsket septim / små intervaller: små treere, små seksere, lille nier.

27

Bartok og Bach gradnoteret

Under 7- og 12 af Bartok-citatet tilføjes den fælles gradnotation:

I gradnotationen springer det 12-tonale kroma i øjnene som øverste og nederste node (første og sidste node i tredje takt), graderne +7 og -5, der anskuelig 12 graders spændingen mellem trinnotationens dis/P og es/P.Som en øverste gradlinie kan læses +5 +5 +5 +7 +5 +5 (tre gange et vedholdende cis/N i de første to takter, så spidstonen dis/♯P i tredje takt, så tilbage til to gange cis/N i tredje og fjerde takt). I kontrast til denne brudte rette linje (tegner en nederste gradlinje en fin bølgen: -4 -4 -5 -4 -5 -4 (b/K og es/P).

De to/tre faste ♯ i 7- og 12-notationen af Bach-temaet forårsager i gradnotationen et højere nodeleje: det 12-tonale kroma ses som spidsnoderne -2 og +10 i anden og tredje takt, tonerne c og his/N og ♯N i trinnotationen.Hos Bach er det iøjnefaldende, at der overvejende er modbevægelse mellem gradnotationen på den ene side og de to trinnotationer på den anden side: de små og formindskede, dvs. de sammentrækkende intervaller dominerer. Mens Bartok kun har en lille overvægt af sammentrækkende intervaller, benytter Bach 15 sammen-trækkende (små og formindskede) over for kun 5 udvidende (store og forstørrede) intervaller, altså tre gange så mange sammentrækkende intervaller.Hermed tydeliggør gradnotationen, hvilken koncentreret centripetal energi, der bærer denne tungtvejende fugasats med karakteren Largo: bred, stor, gavmild.