Nastava matematike orijentirana na u čenike

Seminar za voditelje županijskih stručnih vijeća u srednjim školama

Crikvenica 23.travnja 2008. Zora Glavač, prof.

Učitelj bi rado ugradio u nastavni proces :

� Istraživački rad� Prezentaciju i interpretaciju rezultata i zaključaka � Opsežno utvrñivanje i primjenu stečenog

teorijskog znanja� Analizu dobivenih rješenja

� Aktivnost svih učenika � Korelaciju izmeñu grana matematike i korelaciju

s drugim predmetima

Najčešći izgovori da toga u nastavi ima malo:

� Nastavni sat je prekratak� I nastavnih sati ima malo� Gradivo je pre opsežno� Veliki broj učenika u razredu� Oskudna je opremljenost škole� Slab je interes učenika

Često se pitam:

� Ima li na nastavnom satu praznoga hoda?� Kako povećati broj riješenih primjera ?� Kako angažirati učenike pri uzimanju novog

gradiva?� Kako uposliti učenike za vrijeme usmene provjere

znanja?� Kako u ograničenom vremenu obraditi sve, a da

učenici ne osjete teret opsežnosti ? � Uče li učenici već na satu, kroz sve oblike rada?

U nastavi sam dugi niz godina i kontinuirano pronalazim unutarnje rezerve da, unato č zadanim okvirima, u čenicima pružim više, da oni brže i lakše usvoje gradivo i da na satu matematike dožive lako ću učenja i rada.

1. Racionalno korištenje vremena2. Sudjelovanje učenika u nastavnom procesu3. Pomoć pri usvajanju novih pojmova i pravila

Prezentirat ću neka svoja iskustva kojima postižem:

1. Ušteda vremena pri rješavanju složenih zadataka, ili kod istraživa čkog rada, raspodjelom posla po grupama.

� Grupni rad ne prekriva cijeli nastavni sat� Primjenjujem ga u trenutku kada se u

istraživanju ili u zadatku mogu samostalno i istovremeno odvijati više radnji

� Grupe preuzimaju odreñeni dio posla izvršavaju ga i vode računa o svakom pojedincu da je izvršio zadatak

� Rezultate kao puzzle slažemo u cjelinu

1.1.1.1. JednadJednadJednadJednadžžžžbe s apsolutnim vrijednostima be s apsolutnim vrijednostima be s apsolutnim vrijednostima be s apsolutnim vrijednostima

Primjer 1.Primjer 1.Primjer 1.Primjer 1.

� Uvodni primjer ima malo sadržaja da se ne zaguši bit metode rješavanja.

� A bit metode je: osloboditi se znaka apsolutno, naći rješenja i provesti analizu jesu li rješenja dobra.

4332 −=−⋅ xx

Primjer 2.Primjer 2.Primjer 2.Primjer 2. 153233 =−+− xx

-x+3+3(2-3x)=15 x-3+3(-2+3x)=15

2. slučaj: -x+3+3(-2+3x)=15

� Vrijeme rješavanja zadatka je smanjeno na trećinu

� Pažnja je usmjerena na analizu rješenja � Učenici vježbaju stručno interpretirati rezultat.� Učenik nije pasivno prepisivao cijelu izradu

zadatka. Jedan od slučajeva je riješio samostalno, ili uz pomoć grupe.

Učinak:

2. Uvje2. Uvje2. Uvje2. Uvježbavanje izrabavanje izrabavanje izrabavanje izračunavanja udaljenosti unavanja udaljenosti unavanja udaljenosti unavanja udaljenosti totototočaka i primjena u geometrijiaka i primjena u geometrijiaka i primjena u geometrijiaka i primjena u geometriji

Primjer 1. Točke A(-2,-1), B(1,0), C(2,3) i D(-1,2) vrhovi su romba . Provjeri to, te odredi površinu romba.

U bilježnicama svi crtaju sliku. Po četvorica računaju istu udaljenost. Dok oni računaju pripremim im sliku na ploči.Grupe upisuju rezultat na ploču, nakon čega svi izvodimo zaključak :

22BD :grupa .6 24AC :grupa 5.

10AD :grupa .4 10CD :grupa 3.

10BC :grupa .2 10 :grupa .1

==

==

==AB

82

2422

2

fe P

romb je četverokut 10

=⋅=⋅=

==== ADCDBCAB

Učinak:

� Računanje udaljenosti ponovio je svaki učenik, ali ne višestruko puta da bude dosadno.

� Ponovljena su ( ili naučena ) svojstva geometrijskog lika.� Napravljena korelacija analitičke geometrije s

geometrijom. � Elementarno gradivo oblikovano u problemski zadatak.

3. Uvje3. Uvje3. Uvje3. Uvježbavanje rjebavanje rjebavanje rjebavanje rješšššavanja sustava avanja sustava avanja sustava avanja sustava jednadjednadjednadjednadžbibibibi

Primjer 1. Riješi sustav jednadžbi:

Zajednički analiziramo što nam je činiti i zaključujemo da se sustav može raspisati u četiri elementarna sustava čije rješavanje preuzimaju grupe (po dvije klupe grupa) slobodnim odabirom metode :

( ) ( )( ) ( ) 0132

0132

=++⋅++=−+⋅++

yxyx

yxyx

=++=−+

=++=−+

=++=++

=++=++

013yx

01 D

02

01 C

013yx

032yx B

02

032A

yx

yx

yx

yx

yx

Učinak:

� Zadatak ima neuobičajen oblik koji privlači pažnju svih učenika.� Nakon uvodnog razmatranja (kad je produkt jednak nuli ?) svi se

upuste u kombiniranje.� Rješavanje elementarnih sustava po grupama teče glatko i brzo.� Učenici su svi do jednog angažirani (slabiji utvrñuju rješavanje

sustava, a napredni osmišljavaju prezentaciju da bude drugačija-originalna.

� Naglasak se daje na prezentaciju dobivenih rješenja, bez prikaza rješavanja – samo se zapisuju rješenja. Komentira se kojom metodom je sustav rješavan, ima il rješenja, iz kojeg skupa brojeva su rješenja.

� Grupe se nadmeću koja će u zadanom (kratkom) vremenu upotrijebiti više metoda rješavanja.

4. Kori4. Kori4. Kori4. Korišššštenje grupnog rada pri tenje grupnog rada pri tenje grupnog rada pri tenje grupnog rada pri usmenoj provjeri znanjausmenoj provjeri znanjausmenoj provjeri znanjausmenoj provjeri znanja

Primjer 1. ( Zadatak za odličan)

Riješi sustav jednadžbi:

Učenik rastavlja na faktore prvu jednadžbu i formira dva sustava, jedan sustav rješava sam kao i polovina razreda koju on odabere, a druga polovina razreda radi drugi sustav od koje će on tražiti samo rezultat.

=+−=−++

052

012 22

yx

yxyx

Primjer 2. ( Zadatak za odliPrimjer 2. ( Zadatak za odliPrimjer 2. ( Zadatak za odliPrimjer 2. ( Zadatak za odličan)an)an)an)

Riješi sustav jednadžbi:

U koordinatnoj ravnini učenik pravi polja u kojima će imati pregled predznaka svih vrijednosti unutar znaka apsolutno.Odabire jedno polje i rješava,a ostalo prepušta grupama od kojih će prikupiti ostala rješenja i provesti analizu jesu li dobra.

=+

=−

4

2

yx

yx

5. Kori5. Kori5. Kori5. Korišššštenje grupnog rada pri obradi tenje grupnog rada pri obradi tenje grupnog rada pri obradi tenje grupnog rada pri obradi novog gradiva (istranovog gradiva (istranovog gradiva (istranovog gradiva (istraživaivaivaivački rad)ki rad)ki rad)ki rad)

1.Graf kvadratne funkcije:Razred formira 3 grupe prema redovima klupa. Svaki red

analizira po jedan parametar, crtajući grafove s različitim vrijednostima. U bilježnicama formuliraju zaključke,a za prezentaciju koriste gotove folije da uštedimo vrijeme.

2.Uvjet dodira pravca i krivulje drugog reda:Nakon frontalnog uvoda, što se želi pronaći, svaki red kao

grupa izvodi uvjet dodira s jednom od krivulja.Na prezentaciji ne ispisuju sve korake nego samo ključne,ali uz stručno tumačenje.

( ) 02

0)( yxxaxf +−=

Učinak:

� Nastavno gradivo predviñeno za više nastavnih sati obradi se u jednom.

� Učenik je proveo manji istraživački rad, a iz prezentacija može zaključiti da se do ostalih zaključaka došlo na isti način.

� Učenik uvježbava oblikovati rezultate svoga rada i javno ih izlagati.

� Ušteñeno vrijeme koristi se za rješavanje kombiniranih zadataka.

2. Pri obradi novog gradiva učenici moraju aktivno sudjelovati

� Predavanjem dužim od desetak minuta polučit ćemo slab rezultat.

� Pažnja učenika brzo popušta.� Čim su sigurniji da će duže potrajati

profesorovo izlaganje, tim prije prestanu pratiti, a često ne znaju ni što se obradilo na satu.

� Prepisuju s ploče mehanički s puno pogrešaka.

UUUUčenici pomaenici pomaenici pomaenici pomažu pri izvodu analitiu pri izvodu analitiu pri izvodu analitiu pri izvodu analitičke ke ke ke formule za povrformule za povrformule za povrformule za površšššinu trokutainu trokutainu trokutainu trokuta

Sliku s ploče prenose u bilježnicu.Ako ne dokuče sami, ponudi im se ideja

kako do rješenja.

PABC = PDECA+ PEFBC – P DFBA

Ponovi se formula za površinu trapeza.

Svaki red izračunava po jednupovršinu i diktiraju mi rezultate:

ABCP

( )

( )

( )11122122

23223332

11133133

2

12

12

1

yxyxyxyx

yxyxyxyx

yxyxyxyxPABC

−+−

−−+−

+−+−=

� Uočimo da se može izlučiti i nešto poništiti , pa ponovo zapošljavam grupe.

� Prvi red grupira članove s x1 i izlučuje ga, , drugi s x2, a treći s x3. Rezultate mi redom diktiraju nasumce prozvani učenici iz grupe.

� Na kraju zaključimo kako bi uglatu zagradu trebalo zamijeniti znakom apsolutne vrijednosti, da bi površina bila pozitivan broj.

� Pokažem im slikovito kako se spretno uvrštavaju koordinate točaka u formulu.

2

1

( ) ( ) ( )[ ]2131323212

1yyxyyxyyxP −+−+−=

A( 2 , 1 )B( 5 , 3 )C( 3 , 5 )A( 2 , 1 )B( 5 , 3 )

_

_

_

●

●

●

( ) ( ) ( )5

3131555322

1

=

−⋅+−⋅+−⋅=

P

P

SloSloSloSloženiji oblici eksponencijalnih nejednakostieniji oblici eksponencijalnih nejednakostieniji oblici eksponencijalnih nejednakostieniji oblici eksponencijalnih nejednakosti

Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: � Prepoznati metodu: supstitucija � Rade u parovima i kroz minutu prozivam nekoga da mi

izdiktira novi oblik nejednakosti ( )� Slijedeći prozvani učenik daje usmeno upute za rješavanje

kvadratne nejednadžbe (1. nul-točke, 2. skica parabole, 3. očitati rješenja)

� Prozivam da mi diktiraju rezultate :

� Dajem upute da ponovo vrate i zapišu produženu nejednakost pomoću potencija s bazom 3.

� Prozvani učenik diktira:� Slijedeći ispušta bazu i očitava interval rješenja

tx =3

01343 132 <+⋅− ++ xx

011227 2 <+− tt

3

1 t,

9

121 ==t

x3

12 333 −− << x

1,212 −−∈⇒−<<− xx

Učinak:

� Učenici su aktivni sudionici obrade novog gradiva

� Iako ih cijelo vrijeme vodim, oni osjećaju svoj doprinos u radu i zadovoljstvo ako su uspješni

� Sasvim sigurno znaju što se na satu obradilo� S lakoćom rješavaju analogne zadatke, jer su

s punom pažnjom prolazili kroz sve korake.

Obujam kugle

I. grupa: Izračunaj površine presjeka oba tijela na visini x kao fu nkcije

od R i x i usporedi ih.

II. grupa:Izračunaj površine presjeka oba tijela na visini u kao fu nkcije

od R i u i usporedi ih.

III. grupa: Izračunaj površine presjeka oba tijela na visini v kao

funkcije od R i v i usporedi ih.

3. Novi pojmovi i pravila će se lakše usvojiti ako ih uz stru čno tuma čenje i slikovito predo čimo.

GraniGraniGraniGranična vrijednost niza:na vrijednost niza:na vrijednost niza:na vrijednost niza:

aann

=∞→

limSTOPSTOP

22

3

4

a1

a2

a3

a4

aan

. . ....

2. 2. 2. 2. AsimptoteAsimptoteAsimptoteAsimptote funkcije funkcije funkcije funkcije

� Učenicima ne ide od ruke oblikovanje grafa funkcije, nakon što naprave numerički izračun svih važnih elemenata i sastave tablicu tijeka.

� Slikovite upute: a) Ucrtaj sve dobivene točke i asimptoteb) U maloj okolini tih točaka ucrtaj komadiće

krivulje prema tablici tijekac) Zamisli da je komadić krivulje grančica

bršljana, a asimptota zid i pusti da grančica raste i puzi uz zid.

d) Uz malo mašte spajanje grafa ide puno lakše

4. Logaritmi u stripu 4. Logaritmi u stripu 4. Logaritmi u stripu 4. Logaritmi u stripu

Brojna pravila lakše će se upamtiti ako se za njih osmisli priča.

Uz mali poticaj, mašti učenika nema granica.Napravili smo zidne novine na tu temu, i evo

uspješnijih sličica:

.log

1log =o

Da bi noć zamijenila danZemlja se mora okrenuti recipročno.

Mogu li se premjestiti?

Možeš, ali kao recipro čan, ispred log , ili u eksponent na x

=

xlog

Jesam li ja invalid, kad nemam bazu kao svi normalni logaritmi?

Ma ne brini! Imaš bazu,ali smo se kao ljudi ogovorili da ju ne isti češ. Kod log x baza je 10.

a

xxa

log

loglog =

Želim promjenu!

Ispunjavam svaku želju,ali pazi što zaželiš!

a