Nemlineáris folyamatok vizsgálata:Plasztikus instabilitásra és földrengésre jellemző lavinák

szimulációja, és statisztikai elemzése

Győri TivadarFizikus MSc.

Témavezető:

dr. Nguyen Quang Chinh

Eötvös Lóránd Tudományegyetem

Anyagfizika Tanszék

Budapest, 2011.

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 3

2. Irodalmi áttekintés 52.1. Fémes anyagok képlékeny alakváltozása . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Plasztikus instabilitás, mint lavinaszerű jelenség . . . . . . . . . . . 62.3 Plasztikus instabilitások elmélete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Földrengések, mint nagy kiterjedésű, lavinaszerű jelenségek . . . . 17

2.3.1. Földrengések jellemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Földrengés és a plasztikus instabilitás kapcsolata . . . . . . . . . . 232.5. Földrengés Carlson-Langer-féle szimulációja . . . . . . . . . . . . 242.6. Vizsgálati módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6.1. A mélységérzékeny (dinamikus) keménységmérés . . . . . 262.6.2. Egytengelyű nyújtások anyagvizsgáló berendezéssel . . . . 272.6.3. Szimulációs számolások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Saját eredmények 293.1. Földrengésmodell szimuláció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1. Az A súrlódási együttható hatása . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.2. A húzólemez v sebességének a hatása . . . . . . . . . . . . 343.1.3. A kc és kp rugóerők változásának hatása . . . . . . . . . . 383.1.4. Véletlenszerű kezdeti feltételek hatása a szimulációra . . . 403.1.5. Földrengések erősségének eloszlása a szimulációban . . . . 413.1.6. A β kitevő hatása a rengéserősségek eloszlására . . . . . . 433.1.7. A húzólemez v sebességének hatása a β kitevőre . . . . . . 463.1.8. A B paraméter változásának hatása a β kitevőre . . . . . . . 48

1

3.1.9. A kc rugóállandó változásának hatása a β kitevőre . . . . . 513.1.10. A kp rugóállandó változásának hatása a β kitevőre . . . . . 53

3.1.11. Akckp

arány változásának hatása a β kitevőre . . . . . . . . 56

3.1.12. Kezdeti feltételek hatása a β hatványkitevőre . . . . . . . . 583.2. Plasztikus instabilitások szimulációja . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. Összefoglalás 684.1. Jövőbeli tervek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5. Köszönetnyilvánítás 70

2

1. fejezet

Bevezetés

A technikailag egyre fejlettebb iparágak, főleg a közlekedési járművek (repülőgé-pek, gépkocsik) gyártása egyre újabb és újabb igényeket támaszt a felhasználandóanyagokkal szemben. Legfőbb követelményként a gyártók a felhasznált fémek szi-lárdsági paramétereinek növekedését várják el, mivel a technikai eszközök egyreextrémebb körülményeknek vannak kitéve (például az űrtechnológiában), másrészta nagyobb szilárdságú anyagok felhasználása gazdaságosabb is lehet, mert fajla-gosan kevesebbet kell csak felhasználni a jobb anyagból. Az utóbbi évtizedekbenennek eredményeképpen óriási kutatómunka folyik egyrészt azért, hogy a kitűzöttcéloknak mind jobban megfelelő anyagokat állítsanak elő, másrészt azért, hogy rész-letesebben megismerjük azon folyamatokat, amelyek a fémek szilárdságnövelő me-chanizmusaival kapcsolatosak.

E kutatásban fontos szerepet játszanak a különböző ötvözetek és azon belül akülönböző alumíniumötvözetek. Már a század elején megfigyelték, hogy egyesalumíniumötvözetek állandó deformációsebességgel történő egytengelyű nyújtásasorán egy kritikus megnyúlás után ∆σ feszültségesések -lavinák- keletkeznek afeszültség-deformáció görbéken. Ezt a nemlineáris jelenséget a szakirodalom Portevin-Le Chatelier effektusnak (PLE), vagy plasztikus instabilitásnak nevezi. A PLE-effektus mechanizmusának megértése alapvetően fontos a gépjárműgyártásban, ugyanisbonyolultabb formájú személygépjármű és motor alaktrészek esetében nemkívántfelületdurvulást eredményezhet.

Szakdolgozatom első részében áttekintettem a PLE elméletét, majd a PLE-t mu-

3

tató ötvözetek egytengelyű nyújtási kísérletek során tapasztalt eredményeinek szi-mulálásával és a kísérletek során mért deformáció sebességek eloszlásának statisz-tikai vizsgálatával is foglalkoztam.

Szakdolgozatomban egy másik nemlineáris jelenséggel, a földrengéssel, is fog-lalkoztam. A földrengések egy egyszerű modelljét, a J.M. Carlson és J.S. Langer ál-tal készített földrengésmodellt továbbfejlesztettem. Kimutattam, hogy érdekes pár-huzam fedezhető fel a tektonikus kőzetlemezek találkozásánál létrejövő földrengé-sek és az egyes fémes ötvözetekben fellépő plasztikus instabilitások között. A dol-gozatomban foglalkozom a két jelenség közötti analógia vizsgálatával és az általamkészített földrengésmodell szimuláció eredményeinek kiértékelésével. Részletesenfoglalkozok a földrengés erősség eloszlásának statisztikai elemzésével, a szimulá-ciós paramétereknek valamint a kezdeti feltételek változtatásának hatásával. Kiszá-molom a szimulációban szereplő tömegpontok energiáját, amiből meghatározom aföldrengések energia eloszlásának gyakoriságát. Azokban az esetekben, amikor avalóságos földrengésekre jellemző hatványfüggés eloszlást kapok, tanulmányozoma hatványfüggvény kitevőjének a szimuláció paramétereitől való függését.

4

2. fejezet

Irodalmi áttekintés

2.1. Fémes anyagok képlékeny alakváltozása

Változó F erő hatására egy rúd megnyúlását megmérve a feszültség és a deformá-ció között fennálló kapcsolatot sematikusan az 2.1 ábrán láthatjuk. A görbe elsőszakasza (A pontig) a Hooke-törvény érvényességi tartománya, ahol a deformációés a feszültség között egyenes arányosság áll fenn. Az első szakaszt túllépve agörbe második tartományában az egyenes arányosság megszűnik (B pontig). Haezen szakaszban a terhelőerőt megszüntetve a test visszanyeri eredeti alakját, akkornemlineáris rugalmas tartományról beszélünk, ha nem akkor rugalmatlan alakvál-tozásról beszélünk. Még tovább növelve a feszültséget elérjük a folyáshatárt, aholaz anyag már kis feszültségnövekedés hatására is nagy alakváltozással reagál. A2.1. görbe ezen szakaszát plasztikus vagy képlékeny alakváltozás tartományánakhívjuk. A minta még nagyobb feszültségek hatására először befűződik valahol (Cpont), keresztmetszete csökken, és egyre kisebb terhelés mellett elszakad.

5

2.1. ábra. Sematikus feszültség-deformáció diagram

2.2. Plasztikus instabilitás, mint lavinaszerű jelenség

A feszültség-deformáció görbe általában tehát az egész tartományban monoton nő,azaz növekvő alakváltozáshoz növekvő feszültségre van szükség. 1923-ban Porte-vin és Le Chatelier észrevették [1], hogy a rezet és magnéziumot tartalmazó alu-míniumötvözeteken kapott deformáció görbék másképp viselkednek. Azt tapasztal-ták, hogy ezen típusú ötvözetek esetében a feszültség-deformáció görbére fűrész-fogszerű oszcillációk rakódtak rá egy bizonyos �c kritikus deformáció után . Azótaezt a jelenséget számos más ötvözetben is megfigyelték és a szakirodalomban álta-lában plasztikus instabilitásnak, Portevin-Le Chatelier-effektusnak (PLC), fogazottfolyásnak (serrated yielding) vagy rázkódó folyásnak (jerky flow) nevezi. Az effek-tust az ELTE anyagfizika tanszékén is intenzíven kutatják. Az egyetemen kétfajtaméréssel vizsgálják a plasztikus instabilitásokat a gyakorlatban. Az egyik lehetőséga dinamikus mikrokeménységmérés, amelyhez SHIMADZU DUH-202 dinamikusmikrokeménységmérő áll rendelkezésre. A másik lehetőség egytengelyű nyújtásokvizsgálata, amelyet anyagvizsgáló berendezés (materials testing machine, MTS) se-gítségével végeznek. A 2.2 ábrán Al-3atom%Mg minta állandó deformációs se-

6

besség mellett készített, egytengelyű nyújtás során kapott feszültség-deformációgörbe egy szakaszát láthatjuk, amelyen a plasztikus instabilitásokra utaló fűrész-fogszerű mintázatok figyelhetőek meg. Állandó erő-terhelési sebességgel történőmérés esetén a deformációt az idő függvényében ábrázolva lépcsőszerű alakzato-kat figyelhetünk meg (lásd 2.3. ábra). A mérést Al-Zn-Mg-Zr ötvözeten végezték.A PLC effektus hatására az állandó erő-terhelési sebességgel történő egytengelyűnyújtási kísérletekhez hasonlóan a dinamikus mikrokeménységmérések során is lép-csőszerű szakaszokat figyelhetünk meg az erő-benyomódás görbéken. A 2.4. ábraAl-1.45atom%Mg minta mikrokeménység méréssel készített erő-benyomódás gör-bét mutat. Megfigyelhetőek rajtuk az említett lépcsők. A vizsgálati módszerek és amérőberendezés részletes leírásával a 2.6 fejezet foglalkozik.

2.2. ábra. Plasztikus instabilitásra jellemző feszültségesések az állandó deformáció-sebességgel végzet MTS mérés során

7

2.3. ábra. Plasztikus instabilitásra utaló lépcsős deformáció állandó erő-sebességgelvégzett MTS mérés során

2.4. ábra. Plasztikus instabilitásra utaló lépcsős erő-benyomódás (F-h) görbe a di-namikus mikrokeménységmérés során

8

Plasztikus instabilitások elmélete [2]

A PLC effektus létrejöttének oka a diszlokáció-oldott atom kölcsönhatás. Ötvözőatomok hozzáadása egy fémhez nagyon széles tartományban képes megváltoztatnia fémek mechanikai tulajdonságait. Két fém oldhatósági határon belül szilárdolda-tot alkot. A szilárdoldatban az ötvöző atomok atomi szinten egyenletesen oszlanakel. Oldhatósági határon túl az ötvöző atomok mennyisége nagyobb, mint amit azalapfém oldani képes. Ekkor a fémben kiválások keletkeznek. Az első esetben afolyáshatár növekedését a szilárdoldatos keményedés okozza, amiért a diszlokáció-oldott atom kölcsönhatás felelős. A második esetben kiválásos keményedésről be-szélünk. A diszlokáció-oldott atom kölcsönhatás leírásakor kétféle hatást kell fi-gyelembe venni, a mátrixatomok méretbeli különbségéből (mérethatás), valamint arugalmas állandóik különbözőségéből adódó (modulusz) hatást. A mátrixban jelen-lévő diszlokációkhoz és az oldott atomokhoz is rendelhető valamekkora feszültség-tér és ezek kölcsönhatnak egymással. Helyezzünk el egy nyugvó, végtelen hosszú, bBurgers-vektorú egyenes éldiszlokációt a Vm atomtérfogattal rendelkező mátrixban,és egy V0 gömbszerű ötvöző atomot az (r, θ) polárkoordinátájú pontba a 2.5. ábraszerinti elrendezésben. Cottrell és bilby kiszámolta, hogy az éldiszlokációk és azoldott atomok között lévő kölcsönhatási energia a lineáris rugalmasságtan kereteinbelül:

Ek =µ

3π

1 + ν

1− νb∆

sin θ

r= A

sin θ

r, (2.1)

ahol ∆V = V0 − Vm az ötvöző és a mátrix atomok különbsége, µ és ν a mátrix-atomok nyírási modulusza és Poisson-száma. (2.1) kifejezésből látható, hogy azéldiszlokáció és az ötvöző atomok között mindig létezik vonzó kölcsönhatás. Haaz ötvöző atomok mérete nagyobb a mátrixatomoknál (∆V < 0), akkor az ötvö-zők energetikailag kedvezőbb helyzetben vannak a dilatált zónában (π < θ < 2π).Abban az esetben ha az oldott atomok mérete kisebb a mátrixatomok méreténél(∆V < 0), az ötvözők a diszlokációk összenyomott (komprimált) zónájában gyűl-nek össze (0 < θ < π). A vonzó kölcsönhatás miatt az anyagban lévő vakanciák

9

2.5. ábra. A diszlokáció-ötvöző kölcsönhatás sematikus rajza [3]

révén az oldott atomok a diszlokáció köré diffundálnak, így a diszlokáció körül ún.Cottrell-felhő alakul ki. Tiszta csavardiszlokáció és gömbszimmetrikus ponthibaközött nem lép fel kölcsönhatás a lineáris rugalmasságtan keretein belül. Anizotrópközegben elhelyezkedő diszlokáció, vagy kiterjedt ponthiba esetében a csavardisz-lokáció feszültségtere által létrehozott kölcsönhatás a távlosággal fordítottan ará-nyos. A mérethatásból származó nemlineáris tagok figyelembevételével mind azél, mind a csavardiszlokációk esetében r−2-al arányos energiajárulékok adódnak.Összeségében azonban a kölcsönhatásban a diszlokáció magjától nagyobb távolsá-gokra a (2.1)-ben látható r−1-nel változó energiajárulékok dominálnak. A maghozközeledve az összes lineáris eredményből adódó eredmény a kölcsönhatási energi-ára végtelent ad, ilyenkor érdemes a nemlokális-kontinuumelmélet idevágó eredmé-nyeit használni.

Alacsony hőmérsékleten az oldott atomok mozgékonysága kicsi, így befagyott-nak tekinthetőek. Ilyenkor a diszlokációk mozgását az oldott atomok feszültségterefékezi. Ezt az esetet súrlódásos esetnek hívjuk. A képlékeny alakváltozás megindí-tásához kellően nagy külső feszültségre van szükség, melynek hatására a diszlokációkimozdítható a vonzó atomok feszültségteréből.

Ha az ötvöző atomok diffúziós sebessége kellően nagy ahhoz, hogy a diszloká-

10

ció mozgását követni tudják, akkor az oldott atomok felhője megakadályozhatja adiszlokáció mozgását. Ez a jelenség a blokkolás jelensége.

Ha az ötvöző atomok mozgékonysága és a diszlokációk sebessége is kellőennagy, akkor fellép a PLC effektus. Kiszámolható az Einstein-féle diffúziós egyenletmegoldásával, hogy egy éldiszlokáció v sebességekkel történő mozgatásához szük-séges τb hosszegységre ható erő nagysága [2]:

F

L= τb = v

π

2

A2c0DkT

lnR

r0, (2.2)

aholL a diszlokáció hossza, τ a v sebességgel történő mozgatáshoz szükséges nyíró-feszültség, A a (2.1)-ben szereplő együttható, D a diffúziós együttható, r0 = 3− 4ba belső levágási sugár, R pedig a külső levágási sugár. Felhasználva, hogy r0 ≈ |A|kTés R ≈ D

vkapjuk:

F

L= τb = v

π

2

A2c0DkT

lnDkT

|A|v∼ v,

Az éldiszlokáció kis v sebességekkel történő mozgatása esetén a következő közelítőformula áll fenn:

τb =π

v

DA2c0kTb2

∼ 1v

A összefüggés kis és nagy sebességekre kapott alakjából következik, hogy létezikegy kritikus sebesség, ahol maximuma van az ötvözők által kifejtett fékezőerőnek:

vc =4DkT

|A|

A kapott diszlokáció-ötvöző kölcsönhatásból származó feszültség diszlokáció se-besség görbe a 2.6. ábrán látható. A kapott eredmény úgy értelmezhető, hogykis sebességeknél növekvő erő kell a Cottrell-felhő atomjainak növekvő sebességű

11

2.6. ábra. Diszlokáció-ötvöző kölcsönhatásból származó fékezőfeszültség

mozgatásához, azonban a kritikus sebességet meghaladva a szennyezőatomok le-szakadhatnak a diszlokációról, így kisebb feszültség is elegendő a diszlokációk nö-vekvő sebességű mozgatásához.

Az effektus leírása során azonban nem elég csak a diszlokáció-oldott atom köl-csönhatást figyelembe venni, ugyanis a képlékeny deformáció során egy diszlokációmozgását a többi diszlokáció gátolhatja. Két diszlokáció találkozásakor átmetsz-hetik egymást és rögzítődhetnek. Ekkor a külső feszültség már nem mindig leszelegendő a mozgatásukhoz. Másrészt két diszlokáció egymás mozgását feszültség-tereik kölcsönhatása révén is gátolhatja. Egy mozgó diszlokáció sebessége és amozgatáshoz szükséges τ csúsztatófeszültség között logaritmikus kapcsolt áll fenn,monoton növekvő fékezőerőt adva (2.7. ábra). Általános esetben a két hatás együt-tesen lép fel, aminek a hatására a 2.8. ábrán látható feszültség-diszlokációsebességfüggés érvényesül.

A PLE létrejöttében alapvetően fontos jelentősége van annak, hogy a kritikus se-besség felett a diszlokáció egyenletes mozgatásához szükséges feszültség csökkena sebesség növekedésével. A 2.8 jól látható, hogy nagy sebességeknél lényegébena diszlokációátvágási mechanizmusokhoz, azaz a lépcsők mozgatásához szükségesa τ feszültség, míg kisebb sebességeknél a Cottrell-felhők mozgatása is jelentősfeszültséget igényelhet. A görbe jellegzetessége az, hogy a v ∼= vc és a v = vm

12

2.7. ábra. Diszlokáció-diszlokáció kölcsönhatásból származó fékezőfeszültség

2.8. ábra. Diszlokáció-diszlokáció és diszlokáció-ötvöző kölcsönhatás együttes hatása

helyeken lokális maximuma, illetve lokális minimuma van a τ feszültségnek. Eb-ben a vc < v < vm tartományban a növekvő diszlokációsebességhez egyre kisebbfékezőerő tartozik, ezért ez a tartomány a stabil, hosszabb ideig tartó diszlokáció-mozgás szempontjából gátolt. Ha a diszlokáció ezen sebességtartományban lévő v

13

sebessége valamilyen oknál fogva megváltozik, akkor ennek hatására a sebességeaddig változik, amíg ki nem kerül a tiltott tartományból.

A következőekben áttekintjük, hogy a különböző v̄ átlagos diszlokációsebessé-gekhez milyen feszültség-deformáció görbék tartoznak, ha a diszlokációk és szennye-zők között fennálló kölcsönhatás alakja a 2.9. ábrán látható N alakú görbével adhatómeg.

2.9. ábra. A fékezőfeszültség sebességfüggése

Abban az esetben, ha v̄ � vm, azon diszlokációsebességeknél, amelyekre τ(v̄) >τmax, a diszlokációk sebessége nagyon nagy, ezért a Cottrel felhők vonzó hatása el-hanyagolható. Ilyen esetekben általában a szokásos sima feszültség-deformáció gör-bék mérhetőek. Ez teljesül v̄ > vm és τ(v̄) < τmax esetben is, ha az időegység alattlefékeződő diszlokációk száma elhanyagolható az újonnan keletkezett diszlokációkszámához képest.

Csökkentve a v̄ átlagos diszlokációsebességet (v̄ > vm továbbra is) az időegységalatt lefékeződő diszlokációk száma növekszik. A mintára kívülről rákenyszerítettdeformáció sebessége és ezzel együtt egy adott időpillanatban v̄ is állandó, így anem blokkolt diszlokációk sebességének nőnie kell. Ez figyelhető meg a 2.9. ábrán.Látható, hogy a kezdetben az 1 pontban tartozkodó v̄ sebességű diszlokációk egy ré-

14

szének sebessége kisebb lesz (lefékeződő diszlokációk 1→ 2′ átmenet), a maradékdiszlokációk sebessége pedig megnől (nem blokkolt diszlokációk 1 → 2 átmenet),miközben a feszültség is kismértékben megnövekszik. A feszültség további növe-kedésének következtében a 2 → 3 és a 2′ → 3′ állapotba kerül a rendszer, aholmégtöbb fékezett diszlokáció van jelen a rendszerben. Amennyiben τ > τmax afékezett diszlokációk kiszakadnak a Cottrell-felhők vonzásából és a tiltott sebesség-tartományon áthaladva elérik a 3 állapotot. Az átlagos diszlokációsebesség ennekhatására sokkal nagyobb lesz, mint ami az adott alakítási sebesség megtartásáhozszükséges. A feszültség ennek következtében lecsökken a 3 → 4 átmenetnek meg-felelően. A megnövekedett számú és sebességű diszlokációk a mintában létrejövőúgynevezett Lüders sáv létrejöttét eredményezik. A Lüders sáv mozgásának a hatá-sára a minta visszakerül az 1 állapotba. Az eddigiek alapján a feszültség-deformációgörbe jellegére a 2.10. ábrán látható alak várható.

2.10. ábra. A feszültség-deformáció görbe várható alakja, ha v̄ > vm

Ha a diszlikációk v̄ átlagsebessége vc és vm közé esik, akkor a mozgásukbanfékezett diszlokációk aránya magas lehet. Kiindulási pontként a 2.11 ábrán lát-ható 1 pontból indulunk, ahol gyakorlatilag minden diszlokáció erősen fékezett. Adiszlokációsebesség ebben a pontban túl kicsi ahhoz, hogy egy olyan képlékenyalakítási sebességet hozzon létre, amelyet a szakítógép keresztfejsebessége alapjánmegkövetelhető lenne. A feszültség ezért hirtelen emelkedik és az 1 → 2 állapotbakerülünk. A 2 pontban leválik egy Lüders-sáv, amelyben a diszlokációk lényegesennagyobb sebességgel tudnak mozogni, mint ami az alakítási sebesség megtartásához

15

2.11. ábra. A fékezőfeszültség sebességfüggése

szükséges lenne. Ennek hatására egy feszültségesés jön létre valamint a Lüders-sávdiszlokációi lelassulnak a vm sebességig (4. pont). Mivel ez a diszlokációsebességnagyobb a kívántnál, így a feszültség további csökkenése hatására a diszlokációklefékeződnek és az ábrán látható 5 állapotba kerülnek. A diszlokációk 5 pontbanlévő sebessége viszont alacsonyabb, mint ami a szakítógép keresztfejsebességéheztartozna, így a feszültség ismét emelkedik, aminek hatására újra eljutunk az 1-espontba. A folyamat hatására a 2.12 ábrán illusztrált feszültség-deformáció görbevárható.

2.12. ábra. A feszültség-deformáció görbe várható alakja vc > v̄ > vm esetben

16

Ha v̄ kisebb, mint a kritikus vc sebességérték, akkor sima feszültség-deformációgörbék mérhetőek.

A plasztikus instabilitások a megnyújtott vagy benyomódott mintában létrejövőanyagrengés következményeinek tekinthetőek, amelyek bizonyos szempontból ha-sonlóak a természetben előforduló makroszkópikus anyagrengésekhez, a földrengé-sekhez.

2.3. Földrengések, mint nagy kiterjedésű, lavinaszerűjelenségek

Ismeretes, hogy sok, a természetben előforduló, lavinaszerű jelenség létezik. Idetartoznak a hegyekben megfigyelhető hólavinák, a viharok erőssége és a legpusz-títóbb természeti katasztrófák közé tartozó cunamik. Ezen jelenségek csoportjábatartozó legismertebb jelenség a földrengés, amelyről később kimutatjuk, hogy sokszempontból is hasonlít a plasztikus instabilitásokhoz.

2.3.1. Földrengések jellemzése

Egy földrengések erősségét a gyakorlatban a magnitudójával vagy az intenzitásá-val szokták jellemezni [4]. Földrengés intenzitása alatt a földrengésnek egy adottföldrajzi helyen lévő emberekre és építményekre gyakorolt hatásának mértékét ért-jük. Az intenzitást 12 fokozatú EMS (Európai Makroszeizmikus Skála) adják meg.Épületek sérülésére az 5-ös fokozatúnál nagyobb intenzitásértékek esetén lehet szá-mítani. A magnitudó értéke a földrengés során a fészekben felszabaduló energialogaritmusával arányos, és a Richter-skála segítségével mérjük. A gyakorlatban arengések erősségét a szeizmográf által jelzett legnagyobb kitérésből és az epicent-rumtól való távolság segítségével határozzák meg. Az eddig feljegyzett földrengé-sek közül a legnagyobb 9,5-ös erősségű volt 1960-ban Chile-ben. Az utóbbi éveklegnagyobb földrengése Japánban a 2011 március 11-én bekövetkezett 9-es magni-

17

tudójú volt. Magyarországon évente 100-120 földrengés keletkezik, de ezek közülcsak 5-6 észlelhető. Az utóbbi 20 év legnagyobb földrengése 2011. január 29-énvolt a Richter-skála szerinti 4,5-ös erősségű Oroszlány körzetében. A magnitudóskála logaritmikus és a magnitudó értéke negatív is lehet.

A 2.13. ábra a világon évente előforduló földrengések átlagos számát mutatja.A bal oldalon a földrengések magnitudóját láthatjuk, és a magnitudók mellett a hoz-zájuk kapcsolódó terminológia is fel van tüntetve, míg a jobb oldalon a földrengé-sek által felszabaduló energiát látható. Ha egy rengés magnitudója egy egységgelnagyobb a másikénál, akkor az körülbelül 32-szer nagyobb felszabaduló energiátjelent.

2.13. ábra. A földön évente előforduló földrengések száma [4]

Az 1956-ban Beno Gutenberg és Charles F. Richter vette észre, hogy az m mag-nitudójúnál nagyobb földrengésekre a következő teljesül [5]:

log10Q = c− bm, (2.3)

ahol b egy univerzális konstans és értéke hozzávetőlegesen 0.8 < b < 1.2. A c

18

konstans az adott régió teljes szeizmikus aktivitásának mérőszáma. A kutatók aztis észrevették, hogy egy földrengés alatt felszabaduló energia exponenciálisan nő mnövekedésével:

log10E = c′ + dm, (2.4)

ahol d értéke nem ismert pontosan, azonban nagyságrendileg 1.5 < d < 2.5. Afenti két egyenletből E-t és Q-t kifejezve, majd átírva őket differenciális alakba, akövetkezőt kapjuk:

dQ = 10c−bm ln 10dm (2.5)

dE = 10c′+dm ln 10dm (2.6)

A két relációt egymással kombinálva a földrengések energia szerinti eloszlására akövetkező teljesül:

N(E) =dQ

dE=

10c−bm ln 10dm

10c′+dm ln 10dm=

10c−bm

E= 10−c

′+dmbd+c+c′

bd ∝ E−

bd+1 (2.7)

A földrengések energia szerinti eloszlására Gutenberg-Richter törvény szerinti hat-ványfüggés adódik:

N(E) =dQ

dE∝ E−1−

bd = Eβ − 1.4 < β < −1.6 (2.8)

A Gutenberg-Richter szabály szerint, ha egy területen évente egyszer fordul elő 100-as erősségű földrengés, akkor ugyanebben a térségben évente körülbelül ezerszerfordul elő egységnyi erősségű rengés minden évben. A mérések azt mutatják, hogya gyakorisági összefüggés földrajzi helytől jó közelítéssel független, és időben ál-landó. A következő két táblázatban (2.1-2.2. táblázat) a United States GeologicalSurvey (USGS) által 2000-2011 között világviszonylatban és az Amerikai Egyesültállamokban megfigyelt földrengések adatai láthatóak. A táblázatok után látható kétgrafikonon ábrázoltam az adatokat ( 2.14-2.15. ábrák) és az adatokra hatványfügg-

19

vényt illesztettem.

Magnitude 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Összesen8.0 to 9.9 1 1 0 1 2 1 2 4 0 1 1 0 147.0 to 7.9 14 15 13 14 14 10 9 14 12 16 21 4 1566.0 to 6.9 146 121 127 140 141 140 142 178 168 144 151 19 16175.0 to 5.9 1344 1224 1201 1203 1515 1693 1712 2074 1768 1895 1945 226 178004.0 to 4.9 8008 7991 8541 8462 10888 13917 12838 12078 12291 6801 10394 675 1128843.0 to 3.9 4827 6266 7068 7624 7932 9191 9990 9889 11735 2903 4309 98 818322.0 to 2.9 3765 4164 6419 7727 6316 4636 4027 3597 3860 3015 4559 128 522131.0 to 1.9 1026 944 1137 2506 1344 26 18 42 21 26 36 0 71260.1 to 0.9 5 1 10 134 103 0 2 2 0 1 0 0 258

2.1. táblázat. Földrengések a világon 2000-2011 között [6]

Magnitude 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Összesen8.0-9.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07.0-7.9 0 1 1 2 0 1 0 1 0 0 1 0 76.0-6.9 6 5 4 7 2 4 7 9 9 4 8 0 655.0-5.9 63 41 63 54 25 47 51 72 85 58 71 7 6374.0-4.9 281 290 536 541 284 345 346 366 432 289 648 32 43903.0-3.9 917 842 1535 1303 1362 1475 1213 1137 1486 1492 3579 64 164052.0-2.9 660 646 1228 704 1336 1738 1145 1173 1573 2380 4067 117 167671.0-1.9 0 2 2 2 1 2 7 11 13 26 36 0 1020.1-0.9 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2

2.2. táblázat. Földrengések az USA-ban 2000-2011 között [6]

A grafikonokról jól látható, hogy az adatok tényleg a 2.8 képlet szerinti hat-ványfüggést mutatnak. A grafikon készítése során a 4-4.9-es magnituójúnál kisebbadatokat nem vettem figyelembe USGS nemzetközi földrengés információs központnem foglalkozik 4,5-ös erősségűnél kisebb rengések figyelésével.

A földrengések modern értelmezései szerint a Gutenberg-Richter törvény sze-rinti hatványfüggés az önszerveződő kritikusság (self organized criticality) és azönhasonlóság elméleteivel magyarázható [5].

A Gutenberg-Richter törvényt követő földrengések logaritmikus skálán egyenesmentén helyezkednének el, azonban a valóságban a mérési adatok szerint kis mag-nitudó értékeknél a β kitevő megnövekszik és a nagy magnitudó értékeknél pedig

20

2.14. ábra. Földrengések gyakorisága az USA-ban 2000-2011 között

2.15. ábra. Földrengések gyakorisága 2000-2011 között világviszonylatban

kicsit lecsökken a 2.16. ábrán látottnak megfelelően. A letörés okaként a mérésiadatok hiányosságát szokták emlegetni és a jelenséget "roll-off"-nak nevezik. AKárpát medencében előforduló földrengések esetében a roll-off jelenségét jól mu-tatja a 2.17. ábra.

21

2.16. ábra. A Gutenberg-Richter törvény ideális esetétől való eltérés [7]

2.17. ábra. Földrengések gyakorisága a Kárpát medencében [8]

22

2.4. Földrengés és a plasztikus instabilitás kapcsolata

A földrengéselméletek szerint a földrengések nagyrésze két tektonikus lemez talál-kozásánál jön létre azáltal, hogy az egyik lemez a másik alá bukik. Lefelé haladásközben a felgyülemlett feszültségek révén a második lemez hirtelen, ugrásszerűenmegcsúszik. Ez a fajta földrengésmechanizmus elképzelhető a 2.18 ábrán láthatómódon úgy, mintha az egyik tektonikus lemezt egy sík lemez, a másik lemezt pedigrugókkal összekötött tömbök jelképeznék. A rugókkal összekötött lemezt egy másiklemez állandó sebességgel húzza, aminek hatására a két lemez egymáshoz képest ál-landó v sebességgel mozog. A súrlódási erő alakját úgy kell megválasztani, hogyaz függjön a tömegpontok sebességétől. A plasztikus instabilitások egytengelyű

2.18. ábra. Földrengésmodell sematikus rajza

nyújtásának modellje is azon az elven alapul, hogy a σ feszültség hatására megnyúj-tott testet N db szeletre osztjuk és az egyes szeletek deformációját és feszültségétvizsgáljuk. Bár a mechanizmus, ami a földrengések és a plasztikus instabilitásokdinamikáját vezérli teljesen más, a két jelenség között mégis formális kapcsolat fe-dezhető fel. A plasztikus instabilitásoknál jelenlévő N alakú görbe és a földren-géseknél megjelenő, tömegpontok sebességétől nemlineárisan függő súrlódási erőnegatív meredekségű szakasza lehetőséget teremt a PLE statisztikai vizsgálatára.Beláttuk, hogy a 2.8. ábrán látott N alakú feszültség diszlokációsebesség össze-

23

függés okozza a plasztikus instabilitásoknál megfigyelhető fűrészfogak és lépcsőkmegjelenését. A földrengésmodellek esetében is megválasztható egy olyan alakúF (Ẋ) alakú sebességfüggő súrlódási erő, amin egy ugyanolyan negatív meredek-ségű szakasz jelenik meg, mint a PLC effektus esetében látott N alakú görbén. Ezenanalógia következménye, hogy a későbbiekben a 3.2 pontban definiált plasztikus in-stabilitásokra jellemző normált sebességek eloszlása és a földrengések erősségénekgyakoriság eloszlása bizonyos esetekben ugyanazon statisztikának tesznek eleget.A két jelenség hasonlósága ezáltal lehetővé teszi, hogy a plasztikus instabilitásoktanulmányozását földrengésmodellek statisztikai vizsgálatán keresztül végezzük.

2.5. Földrengés Carlson-Langer-féle szimulációja

Az előző pontban említett, a földrengések mechanizmusát leíró legegyszerűbb mo-dellt J. M. Carlson és J. S. Langer vezette be és sematikus képe a 2.19. ábrán látható[9].

2.19. ábra. J.M. Carlson és J.S. Langer által készített szimuláció sematikus rajza

A modell N db m tömeggel rendelkező blokkot tartalmaz, amelyek az x tengelymentén helyezkednek el az Xj helyen. Mindegyik blokk kp rugóerővel kapcsoló-dik a két közvetlen szomszédjához. A blokkok felülről egy állandó v sebességgel

24

mozgó lemezhez vannak kapcsolva kp rugóerővel. Minden egyes blokk F (Ẋj) súr-lódási erővel kapcsolódik egy alsó lemezhez. A súrlódási erő csak az adott blokksebességétől függ. A fentiekben ismertetett rendszerre az alábbi mozgásegyenletekérvényesülnek:

mẌj = kc(xj+1 − 2xj + xj−1)− kp(xj − vt)− F (Ẋj) (2.9)

J. M. Carlson és J. S. Langer a szimulációjukban az alábbi alakú súrlódási erőt fel-tételezték (2.20. ábra ):

F (Ẋ) =F0

1 + Ẋ(2.10)

2.20. ábra. Carlson és Langer modellben használt súrlódási erő sematikus rajza

A 2.20. ábrán látható súrlódási erő maximuma a nulla értéknél F0 és a sebesség nö-vekedésével a súrlódási erő csökken, v =∞-ben az értéke nulla. Carlson és Langeraz általuk végzett szimulációban csak azon speciális megoldásokat vizsgálták, ami-kor a analitikusan megoldható.

25

2.6. Vizsgálati módszerek

2.6.1. A mélységérzékeny (dinamikus) keménységmérés

A keménységmérés lényege az, hogy a vizsgálni kívánt mintába egy mérőfejet nyom-nak. A vizsgált anyag keménysége az anyagban a mérőfej hatására keletkezettnyom nagyságának a mértéke. Mikrokeménység mérésről csak olyan szúrókemény-ségvizsgálat esetében beszélhetünk, amikor a mérőfejből származó minta átmérőjekisebb, mint 50µm. Kezdetben a mikrokeménységmérő berendezések mikromé-tert tartalmazó mikroszkópokkal voltak felszerelve. A nyomok általában azonbanannyira kicsik voltak, hogy az optikai leolvasás pontatlannak bizonyult. Az optikaileolvasás problémáját a mélységérzékeny mikrokeménységmérés oldotta meg. Ezeneljárás során a gép folyamatosan méri a terhelőerőt a benyomódási mélység függ-vényében. A mélységérzékeny mikrokeménységmérés előnye, hogy nemcsak azanyag keménységéről ad számot, hanem segítségével az anyagok olyan mechanikaitulajdonságai is meghatározhatóak, mint például a Young-modulusz, folyáshatár,szakítószilárdság. Az ELTE anyagfizika tanszékén a mikrokeménység méréseketSHIMADZU DUH-202 típusú dinamikus mikrokeménységmérővel végzik. A mé-rőműszer felépítése 2.21. ábrán látható. A műszer egy terhelést szabályzó, egy

2.21. ábra. SHIMADZU DUH-202 típusú dinamikus keménységmérő felépítése

26

bonyomódást mérő elektromechanikus, és egy hozzáépített mikroszkópból áll. Amikroszkóp segíti a merendő felület kiválasztását és a terhelés után keletkező nyommegtekintését. A mérőfej egy kétkarú emelő egyik karjához csatlakozik, míg azemelő másik karján egy tekercs helyezkedik el. A tekercs alatt egy kerámiamágnestalálható. A tekercsre áramot kapcsolva a kerámiamágnes eltaszítja azt. A terhelésmindezen feltételek mellett 0.1 − 0.2mN között változtatható 0.02mN pontosság-gal. A mérőfej elmozdulását egy induktív elmozdulásmérő érzékeli. A legnagyobbelérhető mélység 26µm. A terhelést biztosító áram számítógép segítségével vál-toztatható. A mérőműszer előre beállított sebességel nyomódik bele a mintába. Aterhelési sebesség régebben 0.7 − 70mN/s tartományban volt változtatható, azon-ban a nemrég felújított mérőberendezéssel elérhető a 0.025mN -os sebesség is. Arégi berendezéssel 2600 adatot lehetett felvenni maximálisan, az új berendezésselazonban 100 ezer adat is felvehető. Ezen újítások hatására sokkal pontosabb méré-sek végezhetőek.

2.6.2. Egytengelyű nyújtások anyagvizsgáló berendezéssel

Az egytengelyű nyújtási méréseket anyagvizsgáló berendezés segítségével végzik.Az ELTE-n rendelkezésre álló mérőrendszer sematikus rajza a 2.22. ábrán lát-ható. A vizsgálat során számítógép által vezérelt adatgyűjtő segítségével rögzíthetőa minta hosszváltozása és a mintát terhelő erő az idő függvényében. Az adatgyűjtéssebessége maximálisan 2500adat

sec. A méréseket rúd alakú mintákon végzik, amelyek

két vége egy-egy befogón keresztül egy erőmérő cellához illetve egy hidraulikusanmozgatható dugattyúhoz van csatlakoztatva. A minta és a befogók egy temperálókamrában helyezkednek el, aminek segítségével a minta hőmérséklete −40◦C −140◦C között változtatható. A mintát terhelő erő frekvenciája 0.001Hz − 40Hzközött változtatható. A minta hosszváltozását nagypotosságú, széles hőmérséklet-tartományban működő megnyúlásmérő segítségével határozható meg. A mérésekerő-vezérlés és deformáció-vezérlés üzzemódban végezhetőek. Erő vezérlés üzem-módban a gép hidraulikus vezérlőegységét úgy vezéreljük, hogy az erőmérőn ka-pott jel minden időpillanatban nagy pontossággal kövesse a számítógép által kiadottvezérlőjelet. A precíz jelkövetést a visszacsatoló rendszerbe beépített PID (ará-nyos, integráló, differenciáló) szabályzó teszi lehetővé. Ez az üzemmód a minta

27

2.22. ábra. Az anyagvizsgáló gép felépítése

megnyúlásának mérését teszi lehetővé. A minta belső súrlódása és a Young mo-dulusza is vizsgálható a minta deformációjának vagy terhelésének a függvényébendeformáció-vezérlés üzemmódban. Deformáció-vezérlés üzemmódban a hidrauli-kus vezérlőt úgy vezéreljük, hogy a nyúlásmérőn kapott jel követi a számítógépáltal kiadott vezérlőjelet.

2.6.3. Szimulációs számolások

A minták későbbi 3.2 részben ismertetendő plasztikus instabilitások egytengelyűnyújtását szimuláló program C programnyelven íródott.

A 3.1 pontban szereplő továbbfejlesztett Carlson-Langer-féle földrengésmodellszimuláció C++ programnyelven megírt negyed rendű Runge-Kutta algoritmust se-gítségével oldja meg a szükséges mozgásegyenleteket. A programhoz tartozó grafi-kus felület FLTK programnyelv segítségével készült.

28

3. fejezet

Saját eredmények

3.1. Földrengésmodell szimuláció

A szimulációt végrehajtó program Fast Light Toolkit (FLTK) és C++ programnyelvhasználatával készült, a 2.5 pontban említett Carlson és Langer modellen alapul.A (2.9)-ben szereplő másodrendű differenciálegyenletek megoldásait 4-ed rendűRunge-Kutta algoritmussal számolja ki. A program paraméterei és kimenetei a 3.1.ábrán láthatóak. A kimenet két ablakot tartalmaz. A baloldali ablak a testek ko-ordinátáját mutatja az idő függvényében, a jobboldali ablak pedig a tömegpontoksebességét az idő függvényében. A két ábrán kívül a program kiszámolja a föld-rengések energiáját és hisztogrammot is készít az energiákból, amit a programottartalmazó könyvtárba ment le. A program felületén egyszerű dobozok helyezked-nek el, amikbe bevihetőek a mozgásegyenlet különböző értékeinek paraméterei. Astart gomb segítségével indul a szimuláció, a quit gomb segítségével tudunk kilépnia programból és az L+ és R+ gombok segítségével tudunk nagyítani a bal és jobboldalon szereplő ábrákba úgy, hogy megadjuk a tmin, tmax, ymin, ymax dobozokbana nagyítandó tartományt. A refresh gomb lenyomása után az ábrák visszaugranakaz eredeti nagyítatlan helyzetükbe. A program a tmax dobozban megadott időpontigfut le. Természetesen a program futtatható grafikus felület nélkül is, ha a programneve után beadjuk sorba a mozgásegyenlet paramétereinek az értékeit.

29

3.1. ábra. A szimulációt végrehajtó program felhasználói felülete

A szimuláció a Carlson és Langer modellben szereplő súrlódási erő (2.10) sebes-ségfüggése helyett a (3.1) szerinti Zilahi Gyula [10] által, kísérletek alapján megál-lapított függvényalakot használtuk:

F (Ẋj) = [A(1− e− B|Ẋj | ) + C]

Ẋj

|Ẋj|(3.1)

A súrlódási erő kifejezésében kis sebességek esetén az exponenciális tag eltűnik ésilyenkor a maximális tapadási erő F (Ẋj) = A + C míg nagy sebességek esetén azexponenciális tag kiejti az első tagot, így a súrlódási erőre F (Ẋj) = C adódik. Akülönböző B értékekre kapott súrlódási erő alakjai a 3.2. ábrán láthatóak A = 0.1és C = 0.2 paraméter értékek mellett. Láthatóan a B együttható a súrlódási erősebességének csökkenésével kapcsolatos. Minél nagyobb B annál nagyobb sebes-ségeknél kezd el csökkenni a maximális tapadási súrlódási erő és egyre nagyobbsebességeknél érjük csak el az F (Ẋj) = C határértéket. A két határérték közöttlévő negatív meredekségű szakasz meredeksége egyre kisebb a paraméternöveke-dés hatására.

A sebességek ismeretében kiszámítottam az egyes tömegpontok energiáját is.

30

3.2. ábra. A súrlódási erő B paramétertől való függése (A = 0.1 és C = 0.2)

Az említett hatványfüggés igazolásához és a benne szereplő hatványkitevő meg-becsüléséhez hisztogramot készítettem a szimulációból kapott adatok segítségével,különböző paraméterbeállítások mellett. A következő 2 ábrán (3.3-3.4.ábra) 15 tö-megpont helyének az időbeli változását láthatjuk abban az esetben, amikor a tö-megpontok álló helyzetből indulnak, kezdeti sebességük vj(0) = 0. Mivel a testekugyanazzal a kezdeti feltétellel lettek elindítva, így a 15 grafikon egymásra illesz-kedik. A futtatás során a két rugóerő kc = 3 és kp = 5, a súrlódási tag együtthatóipedig A = 0.03, B = 1, C = 0.03 a felső lemez sebessége pedig v = 10. A 3.3 áb-rán látható hely-idő grafikonon - a plasztikus instabilitások jelenségénél látottakhozhasonlóan - itt is lépcsők jelennek meg. A lépcsők megjelenésének az az oka, hogya tömegpontok tapadással és csúszással váltakozva mozognak, valamint az, hogy acsúszási súrlódási együttható függ a testek és a lemez közötti sebességtől. A testekelőször a súrlódás erő hatására elkezdenek lassulni, majd megállnak, közben a felsőlemezhez kapcsolódó rugókban elkezd a rugalmas energia növekedni. A tömegpon-tok egy helyben tapadnak mindaddig, amíg a testekre ható erő meg nem haladja asúrlódási erőt, azaz következő reláció igazzá nem válik:

kcm

(Xj+1 − 2Xj +Xj−1)−kpm

(Xj − vt) ≥ F (Ẋj) (3.2)

31

3.3. ábra. A szimulációs x-t görbék a kc = 3, kp = 5, A = 0.03, B = 1,C = 0.03, v = 10 paraméterek mellett

3.4. ábra. A szimulációs v-t görbék kc = 3, kp = 5, A = 0.03, B = 1,C = 0.03, v = 10 paraméterek mellett

32

A 3.3.ábrához hasonló eredményeket kaphatunk ötvözetek állandó erő-sebességmellett végzett egytengelyű nyújtása során és a mikrokeménység mérések során ka-pott erő-benyomódás görben is (2.3 és 2.4. ábrák).

3.1.1. Az A súrlódási együttható hatása

A súrlódási tag A együtthatóját megnövelve az x-t görbéken tapasztalható lépcsőkhossza megnő és meredekebbek lesznek a felfutó szakaszok. Ezt láthatjuk példáula 3.5 és 3.6 ábrákon bemutatott hely-idő, illetve sebesség-idő diagrammokon, amitjóval nagyobb A érték mellett (A = 100) kaptunk. A 3.6. ábrán megfigyelhető se-besség idő diagrammon észrevehető, hogy a tömegpontok több időre tapadtak meg,mint amikor A kicsi volt, mindemellett a maximális sebességértékek is nagyobbaklettek, azaz a rendszerben tárolt energia megnövekedett.

3.5. ábra. A szimulációs x-t görbék a kc = 3, kp = 5, A = 100, B = 1,C = 0.03, v = 10 paraméterek mellett

33

3.6. ábra. A szimulációs v-t görbék a kc = 3, kp = 5, A = 100, B = 1,C = 0.03, v = 10 paraméterek mellett

3.1.2. A húzólemez v sebességének a hatása

A 3.7 és 3.8 ábra mutatja 15 tömegpont esetén a szimuláció kimenetét, amikor afelső lemez nem mozog (v = 0), nem húzza a tömegpontokat, melyek kezdetisebességgel rendelkeznek (meg vannak "lökve"). Mivel a felső lemez sebességev = 0, semmi sem táplál be energiát a rendszerbe, a súrlódás miatt a tömegpontokcsillapított rezgőmozgást végeznek, mind az x-t és v-t görbék időben lecsengőek.

Kis (v = 0.1) húzósebességet adva a felső lemeznek, a többi feltételeket pe-dig változatlanul hagyva, a kimeneti hely-idő és sebesség-idő görbék láthatóak a3.9 és 3.10 ábrákon. A tömegpontok kezdeti sebessége Ẋj = 1 nagyobb, mint afelső lemez sebessége, ezért a súrlódási erő hatására a tömegpontok sebessége las-sul egy kritikus értékig, majd beáll egy értékre és körülötte oszcillál. A sebesség-időgrafikonon (3.10. ábra) pontosan ezt figyelhetjük meg. A hely-idő (3.9. ábra) gra-fikonon a lépcsők emiatt csak egy kis idő eltelte után jelennek meg. A v paraméternövelésével változtatható az, hogy a hely-idő görbén adott időegység alatt mennyitemelkednek a lépcsők.

Ha a v paraméter értéke nagyon nagy, akkor a felső lemez egyszerűen elrántja a

34

3.7. ábra. A szimulációs x-t görbék a kc = 3, kp = 5, A = 0.03, B = 1,C = 0.03, v = 0 paraméterek mellett (nincs húzás)

3.8. ábra. A szimulációs v-t görbék a kc = 3, kp = 5, A = 0.03, B = 1,C = 0.03, v = 0 paraméterek mellett (nincs húzás)

35

3.9. ábra. A szimulációs x-t görbék a kc = 3, kp = 5, A = 0.03, B = 1,C = 0.03, v = 0.1 paraméterek mellett

3.10. ábra. A szimulációs v-t görbék a kc = 3, kp = 5, A = 0.03, B = 1,C = 0.03, v = 0.1 paraméterek mellett

36

tömegpontokat és a lépcsőképződés megszűnik. A tömegpontok ekkor elkezdenektávolodni az origótól. Minél nagyobb a beállított v sebesség, annál gyorsabban tá-volodnak az origótól. A 3.11. ábrán ezt figyelhetjük meg. Ha a v paraméter értékétnagyon kicsire vesszük, de még nem nullára, akkor a lépcsők megjelennek, azon-ban v értékével tartva a nullához a lépcsők egyre nagyobb t értékeknél kezdenek elkeletkezni, később indulnak meg a tömegpontok. Emellett a görbék meredekségeis csökken v csökkentésével. A 3.12. ábrán ezt figyelhetjük meg a v paraméterkülönböző értékei mellett.

3.11. ábra. A szimulációs x-t görbék a kc = 3, kp = 5, A = 0.03, B = 1,C = 0.03, v = 0.1 paraméterek mellett

37

3.12. ábra. A szimulációs v-t görbék a kc = 3, kp = 5, A = 0.03, B = 1,C = 0.03, v = 0.1 paraméterek mellett

3.1.3. A kc és kp rugóerők változásának hatása

A szimulációs tapasztalatok azt mutatják, hogy a lemez rugó kp értékét növelve ésa kc-t változatlanul hagyva az ugyanazon időintervallumon található lépcsők számamegnövekszik az idő-hely grafikonon, a sebesség-idő grafikonon is több perióduskeletkezik. Az eredeti beállítások mellett a kp értékét 5-ről 10-re növelve például,a 3.13 és 3.14 ábrák jól mutatják az említett változásokat. A kc rugóerő változta-tása a paramétereket nem változtatja, ugyanis az összes tömeg ugyanazon kezdetifeltételekkel indul. Mivel a tömegpontok relatív koordinátái végig ugyanazok, ígya testek között lévő távolság nem változik, ezért a rugóerő értéke nem befolyásoljaa szimulációt. Ha a kezdeti sebességeket véletlenszerű kezdőértékekből indítanánkel, akkor már ezen rugóerők értékének változtatása is befolyásolná a szimulációkimenetelét. Véletlenszerű kezdeti feltételek mellett a kc rugóerő a testek közöttikooperáció erősségét szabja meg. Minél nagyobb az értéke, a tömegpontok közöttlévő visszatérítő erő nagysága annál nagyobb.

38

3.13. ábra. A szimulációs x-t görbék a kc = 3, A = 0.03, B = 1, C = 0.03,v = 10 paraméterek mellett

3.14. ábra. A szimulációs v-t görbék a kc = 3, A = 0.03, B = 1, C = 0.03,v = 10 paraméterek mellett

39

3.1.4. Véletlenszerű kezdeti feltételek hatása a szimulációra

A következő ábrákon (3.15-3.16.ábra) n = 15 tömegpont, kc = 2.3, kp = 5 nagy-ságú rugóerő mellett és A = 3, B = 2, C = 1 súrlódási együtthatókkal készített szi-muláció grafikonjait láthatjuk abban az esetben, amikor a tömegpontok a t = 0 idő-pontban −1 és 1 közötti tartományban véletlenszerűen hozzárendelt (Ẋj ∈ [−1; 1],véletlenszerű) kezdeti sebességekkel indulnak. A grafikonok a szimulációnak csaka 200− 300 időintervallumon kinagyított részét ábrázolják. A véletlenszerűen meg-adott kezdeti feltételek miatt a 15 test elkezdi egymást a kc rugóerő révén húzniés tolni. Ennek hatására a lépcsők a 3.15. ábrán látható módon egymástól elto-lódva jelennek meg. A sebesség-idő grafikonon több egymástól elszeparált csúcsotláthatunk. A grafikonokat elemezve az állapítható meg, hogy a rendszerben meg-

3.15. ábra. A szimulációs x-t görbék az n = 15, kc = 2.3, kp = 5, A = 3,B = 2, C = 1, v = 1 paraméterek mellett

jelennek olyan, globális rétegmozgások, amik katasztrófához vezetnek, azaz szinteaz összes test egyszerre mozdul meg. A globális rétegmozgásokon kívül előfordulolyan is, amikor elszeparáltan csak egy-kettő test mozdul meg. Láttuk tehát, hogy

40

3.16. ábra. A szimulációs v-t görbék az n = 15, kc = 2.3, kp = 5, A = 3,B = 2, C = 1, v = 1 paraméterek mellett

véletlenszerű kezdeti sebességekkel indítva megbomlik a tömegpontok fent említettegyüttes mozgása. Emiatt például a rendszer teljes mozgási energiája egy adott tidőpontban már teljesen - vagy legalábbis nehezen - jósolható előre. A következő-ekben a rendszer teljes mozgási energiáját statisztikai módon elemezzük.

3.1.5. Földrengések erősségének eloszlása a szimulációban

A szimulációban kapott sebességekből kiszámolható az egyes tömegpontok ener-giája. Egy adott pillanatban a földrengés energiája az összes tömegpont kinetikusenergiájának az összege:

E(t) =n∑i=1

1

2mv2i (t) (3.3)

41

A földrengés energiájának kiszámolása után hisztogram készítésével kiszámol-ható az adott energiájú földrengések gyakorisága. A 3.17-3.18. ábrán a (3.4),(3.5)pontokban szereplő paraméter beállítások mellett futtatott szimulációk esetén lát-hatjuk a rendszer teljes kinetikus energiájának - a "földrengés" erősségének- gyako-riságát az energia függvényében.

n = 40, kc = 10, kp = 2, v = 1, A = 4, B = 5, C = 40 (3.4)

n = 15, kc = 40, kp = 4, v = 1, A = 12, B = 3, C = 5 (3.5)

3.17. ábra. Rengéserősségek gyakorisága n = 40, kc = 10, kp = 2, A = 4,B = 5, C = 40, v = 1 paraméterek mellett

42

3.18. ábra. Rengéserősségek gyakorisága n = 15, kc = 40, kp = 4, A = 12,B = 3, C = 5, v = 1 paraméterek mellett

A kapott adatokra f(x) = axb alakú függvényt illesztettem, ahol b a (2.8)-ben sze-repelő β kitevőnek felel meg . A két esetben a kapott illesztési paraméterek érté-kei az ábrákon fel vannak tüntetve. Az első esetben az illesztett exponens értékeb = −0.883 a másodikban pedig b = −0.975, ami a valóságban megfigyelhetőβ = [−1.1 : −1.5] értékekhez elég közel állnak. Az illesztések jósági tényezői 90%felettiek.

3.1.6. A β kitevő hatása a rengéserősségek eloszlására

A hatványfüggésben szereplő β pataméter szimulációs paraméterektől való függé-sének megállapítása céljából kiválasztottam az alábbi paraméterbeállítást:

n = 15, kc = 10, kp = 2, A = 12, B = 3, C = 5, v = 1 (3.6)

43

Lefuttattam a szimulációt tmax = 400 időpontig. A szimuláció véletlen kezdetifeltételeit kiírattam egy fájlba, majd ezeket a kezdeti feltételeket lerögzítettem. Akapott kezdeti feltételek a 3.1. táblázatban láthatóak. A földrengések energiáját

i vi i vi i vi

1 0,824068 6 0,070355 11 0,2458792 0,268339 7 0,972569 12 0,6321593 0,550755 8 0,562706 13 -0,4998134 0,619555 9 0,020225 14 -0,3522455 0,820273 10 0,808909 15 -0,377552

3.1. táblázat. A kezdeti sebességek lerögzített értékei

az idő függvényében az 50 − 300 sec időintervallumban a 3.19. ábrán láthatjuk.A 3.19 ábráról leolvasható, hogy a [0; 200] energia intervallumon nagyon sok kü-lönböző erősségű földrengés előfordul. A kapott energiákból hisztogrammot készí-tettem, amit a 3.20. ábrán láthatunk. Az adatokra f(x) = axb hatványfüggvénytillesztettem, ahol az illesztett hatványkitevő b = −0.8879. Az illesztett hatvány-függvény nagyon jól illeszkedik az adatokra (az illesztés jósági tényezője 96%).A kapott adatokat ábrázoltam logaritmikus skálán is, amit a 3.21. ábrán láthatunk.Megfigyelhető, hogy a 3.21 ábrán látható görbe vége meredeken levág egy bizo-nyos érték után. A jelenségnek két oka lehet. Az egyik ok az, hogy a rendszerbebetáplált energia véges nagyságú, így akármeddig futtatnánk is a szimulációt, a be-táplált energiánál nagyobb rengések nem jelenhetnek meg. A betáplált energia főlega súrlódási erőben szereplő A együtthatótól és a v lemezsebességtől függ. A másikoka a letörésnek az, hogy a szimulációt csak véges tmax = 400 értékig futtatom. Anagyon nagy energiájú földrengések előfordulására a hatványfüggés miatt nagyonsokáig kellene várni.

44

3.19. ábra. Földrengések energiája az idő függvényében

3.20. ábra. Rengéserősségek gyakorisága az n = 15, kc = 10, kp = 2, A = 12,B = 3, C = 5, v = 1 paraméterek mellett

45

3.21. ábra. Földrengések gyakoriságának eloszlása logaritmikus skálán

3.1.7. A húzólemez v sebességének hatása a β kitevőre

A kezdeti feltételeket megtartva, külön-külön változtattam a paraméterek értékeités megvizsgáltam, hogy hogyan változik a β kitevő értéke ennek hatására. Elő-ször a v lemezsebesség értékét kezdtem el változtatni. Az első észrevehető dologaz volt, hogy a v paraméter növelése hatására egyre nagyobb energiák jelentek mega rendszerben, mivel a felső lemez sebességének növelése hatására egyre nagyobbenergiát táplálunk be folyamatosan a rendszerbe. A 3.20. ábrán, ahol v = 1, látha-tóan az energiaskálán a 100-as energiájú rengések gyakorisága már közel nulla. A vparaméter 5-ös értékre állítása esetében már az 1000-es energiájú rengések is előfor-dulnak. Másrészt a v paraméter növelésének hatására megjelenik egy csúcs, amineka kialakulását 3.22(a)-(c) ábrákon figyelhetünk meg. Az (a) ábrán v = 2, a (b) áb-rán v = 5, a (c) ábrán pedig v = 8 paraméterérték mellett láthatjuk a földrengésekerősségének energiájának az eloszlását. v = 2 esetén (a 3.22(a) ábrán) már látszik,hogy az eloszlás hatványfüggés jellege megszűnik, sőt nagyobb húzósebességekre

46

már inkább maximumot mutató eloszlások tapasztalhatóak. A maximum gyakorisága v paraméter növekedésével egyre nagyobb energiák felé tolódik el, majd elkezdszétfolyni. A 3.22(c) ábrán a csúcs maximuma körülbelül 700-nál helyezkedik el.

3.22. ábra. Földrengések erősségének eloszlása az n = 15, kc = 10, kp = 2,A = 12, B = 3, C = 5 paraméterek mellett és (a) v = 2, (b) v = 5 és (c) v = 8lemezsebességek esetén

47

3.1.8. A B paraméter változásának hatása a β kitevőre

A következőekben a β paraméternek a (3.1) formulában szereplőB súrlódási együtt-hatótól való függését vizsgáltam meg. A vizsgálat során azt tapasztaltam, hogya (3.6) paraméterekkel történő szimulációhoz képest már B kis értékekkel történőmegváltoztatása esetén is jelentősen megváltozott az eloszlás. Másrészt B növe-lésével az előforduló energiaértékek egyre csökkentek, míg B csökkentésének ha-tására pedig a hatványfüggés megmaradt, azonban egyre kevésbé illeszkedett azf(x) = axb hatványfüggvény az adatokra. B-t növelve egyesével az tapasztalhat-juk, hogy egy csúcs keletkezik és egyre nagyobb energiaértékek felé tolódik el. El-érve az előforduló legnagyobb energiákat az eloszlás középen olyan mintha egyen-letes lenne, a nagy energiáknál pedig megnövekszik. Mindezt a 3.23(e)-(f) ábrákonláthatjuk.

A β hatványkitevő B súrlódási együtthatótól való függésének megállapítása cél-jából a (3.6)-ban leírt paraméterekkel B = 2− 3.5-ig 0.1-es lépésközönként növel-tem a súrlódási együtthatót. A kapott hatványkitevőket a 3.2. táblázatban láthatjuk.A táblázatban lévő adatokat ábrázoltam, majd egyenest illesztettem rájuk. Az il-lesztett egyenest a 3.24. ábrán láthatjuk. Azon B értékeket, amelyekre még nemilleszkedett megfelelően a hatványfüggvény, négyzettel jelöltem az ábrán, és ki-hagytam őket az illesztésből. Az illesztett egyenes egyenlete f(x) = 0.43x− 2.52.A 3.24. ábrán leolvasható az illeszkedés jósága, 0.73-nak adódott, ami alapján meg-állapítható, hogy az adatokra az egyenes nem illeszkedik igazán jól. Mivel B = 0érték esetén a súrlódási tag sebességfüggése megszűnik, várható, hogy az eloszláshatványfüggés jellege is eltűnik. A B = 0 esetben az eloszlás alakjára a B = 10és B = 15 esetben látott eloszláshoz hasonló eredmény adódik (3.23(e)-(f) ábrák).B kis értékeinél az idő sebesség diagrammokon a tömegpontok sebessége sokszora negatív tartományban tartózkodik, míg növelve a súrlódási együtthatót a tömeg-pontok sebessége már csak a pozitív sebesség tartományokra korlátozódik. Ezt fi-gyelhetjük meg a 3.25(a)-(b) ábrákon a (3.6)-ban szereplő beállításokkal B = 1 ésB = 4 esetén.

48

3.23. ábra. Földrengések erősségének gyakorisága az n = 15, kc = 10, kp = 2,A = 12, C = 5, v = 1 paraméterek mellett és (a) B = 5, (b) B = 6 és (c) B = 7,(d) B = 8, (e) B = 10, (f) B = 15 esetén

49

B β B β B β

2 -1,443 2,6 -1,159 3,2 -1,06432,1 -1,976 2,7 -0,120 3,3 -0,97012,2 -1,785 2,8 -1,202 3,4 -1,10532,3 -1,517 2,9 -1,4161 3,5 -0,94232,4 -1,561 3 -0,9880 3,7 -0,79102,5 -1,296 3,1 -1,1306 - -

3.2. táblázat. A β hatványkitevő értékei a különböző B paraméter értékeknél azn = 15, kc = 10, kp = 2, A = 12, C = 5, v = 1 paraméterek esetén

3.24. ábra. A β hatványkitevő a B súrlódási együttható függvényében

50

3.25. ábra. A tömegpontok sebessége az n = 15, kc = 10, kp = 2, A = 12, C = 5,v = 1 paraméterek mellett (b) B = 1 és (b) B = 4 esetén

3.1.9. A kc rugóállandó változásának hatása a β kitevőre

A (3.6)-ban szereplő beállítások mellett a kc paraméter változtatásának hatására azenergiaeloszlás nem hasonlít hatványfüggvényre, amíg a kc meg nem haladja kpértékét (3.26(a)-(d) ábrák). A hatványfüggvény kc ≥ 2kp feltétel teljesülése ese-tén illeszkedik megfelelően (3.26(f). ábra). Meghaladva 2kp értékét, a hatvány-függvény mindig jól illeszthető és hangolásával a kitevő értéke változtatható. A kcrugóállandó nem befolyásolja nagymértékben a rendszerben előforduló maximálisenergiákat, ami megfigyelhető a 3.26(a)-(f) ábrákon is.

51

3.26. ábra. Földrengések erősségének gyakorisága az n = 15, kp = 2, A = 12,B = 3, C = 5, v = 1 paraméterek mellett és (a) kc = 0.1, (b) kc = 0.5, (c) kc = 1,(d) kc = 2, (e) kc = 3, (f) kc = 4 esetén

52

3.1.10. A kp rugóállandó változásának hatása a β kitevőre

A kp rugóállandó változtatása esetén a (3.6)-ban szereplő paraméterek mellett a hat-ványfüggés kp = 4 értékig fog fennállni és kp = 1 esetében az eloszlás hasonlíthatványfüggvényre, de nem illeszkedik rá megfelelően hatványfüggvény. A kp pa-raméter hatásával kapcsolatban is érvényes az előző pontban említett tapasztalat,nevezetesen a hatványfüggvény csak kc ≥ 2kp feltétel teljesülése esetén illeszkedikmegfelelően. A 3.27(a)-(f) ábrákon ezt figyelhetjük meg. kp = 5 értéket megha-ladva az eloszlásban megjelenik egy csúcs, ami kp = 100 értékig mindig jelen vanés a maximuma kp = 10− 20.

A β hatványkitevőt ábrázoltam, miközben a kp rugóállandót 1.1−4-ig 0.1-es lé-pésközzel változtattam a (3.6)-ban feltüntetett beállítások mellett. A kapott kitevőka 3.3. táblázatban, az illesztett egyenes pedig a 3.28. ábrán látható. Az ábrán azokata pontokat, amelyekre a hatványkitevő illesztési hibája nagy, üres négyzettel ábrá-zoltam, és kihagytam az egyenes illesztésből, míg a többi adatot kereszttel jelöltem.A kapott egyenes egyenlete f(x) = 0.27x− 1.62. A meredekség és tengelymetszethibája kicsi, az illeszkedés jósága pedig az ábráról leolvashatóan csak 63.2%.

kp β kp β kp β kp β

1.0 -3.19042 2.1 -1.0335 2.35 -0.7709 3,3 -0,81891,1 -2.9097 2,2 -1.1431 2.36 -1.108 3,4 -0,66061,2 -2.6850 2.27 -1.0349 2.4 -0.8944 3,5 -0,68041,3 -2.0164 2.28 -0.8942 2.5 -1.0083 3,6 -0,71741,4 -1.4983 2.29 -1.2288 2.6 -0.8045 3,7 -0,69001,5 -1.1454 2.295 -0.9382 2.7 -0.8241 3,8 -0,63691,6 -1.7022 2.305 -1.1762 2.8 -0.7651 3,9 -0,63101,7 -1.2194 2.31 -1.0151 2.9 -0.8685 4 -0,56051,8 -1.0073 2.32 -0.8557 3.0 -0.76551,9 -1.1829 2.33 -1.2178 3,1 -0,71752 -0.9879 2.34 -1.0634 3,2 -0,7140

3.3. táblázat. A β hatványkitevő értékei a különböző B paraméterértékeknél

53

3.27. ábra. Földrengések erősségének gyakorisága az n = 15, kc = 10, A = 12,B = 3, C = 5, v = 1 paraméterek mellett és (a) kp = 1, (b) kp = 1.5, (c) kp = 2.5,(d) kp = 3, (e) kp = 5, (f) kp = 10 esetén

54

3.28. ábra. A β hatványkitevő a kp rugóállandó függvényében

55

3.1.11. Akckp

arány változásának hatása a β kitevőre

Megvizsgáltam a kc, kp csatolás együttes hatását a β kitevőre úgy, hogy a rugóállan-dók értékét elkezdtem együttesen változtatni, miközben az arányukat változatlanultartottam. Csak egész rugóállandó arányok esetén vizsgálódtam. A földrengésekenergia erősség eloszlása csak akkor volt hatványfüggvény alakú, amikor a kc na-gyobb volt a kp rugóállandónál. A szimulációk eredményei alapján tapasztaltam,hogy bizonyos kc/kp arány alatt és felett az energiaeloszlás alakja nem volt hat-ványfüggvény alakú. A (3.6) pontban szereplő beállítások mellett a kritikus arányalulról kc/kp = 3 és felülről kc/kp = 20 volt. A kc/kp = 20-as arány mellettaz eloszlás alakja még hasonlított a hatványfüggvényre, azonban az illesztési hi-bák megnövekedtek és a β kitevő értéke is lecsökkent. A 3.29(a)-(b) ábrákon a βhatványkitevő értékét láthatjuk különböző kc/kp arányok esetén a kc rugóállandófüggvényében . Az ábrákon feltüntetett jelmagyarázat mutatja, hogy melyik görbemilyen rugóállandó arányhoz tartozik. Megfigyelve az ábrákat észrevehető, hogy aβ hatványkitevő az említett kritikus arányok közötti tartománban−1 és−0, 6 közöttváltozik, másrészt az is észrevehető, hogy a kc vagy kp rugóállandó növelésével (akc/kp arányt állandónak tartva) a β kitevő értéke monoton nől. kc = 1 érték eseté-ben az illesztés semmilyen arány mellett nem bizonyult pontosnak, a kitevőkre −2és −3 körüli értékek adódtak.

A 3.30 ábrán feltüntettem 20, 30, 50 arányok mellett is az illesztett hatványkite-vők értékét. Megállapítható, hogy az adott arányok mellett a kapott kitevők sokkalkisebbek, mint a kritikus arányok közötti tartományban. A kitevő értéke itt −1, 5 és−3, 5 között változik. A hatványkitevők a kis kc értékektől eltekintve a 30-as és 50-es arányok esetében stabilan a−1, 75 és−2, 75 érték körül osszcillálnak. A kitevőkcsökkenése valószínűleg annak tudható be, hogy az ábrán feltüntett hatványkitevőkillesztési hibája nagyobb, mivel az illesztéseket úgy végeztem el, hogy a legtöbbeloszlás esetében kisebb csúcsok jelentek meg az eloszlás nagy energiájú részein.A kc/kp = 20-as arány esetében a hatványfüggés a kc = 10 − 12 között ez a csúcsnem jelentkezett, így ott a kitevő értéke körülbelül megegyezik a kritikus tartományközött lévő arányok esetén kapott kitevőkkel.

56

3.29. ábra. A β hatványkitevő a kp rugóállandó függvényében különböző kc/kparányok esetén, (a) kc/kp = 4, kc/kp = 8, kc/kp = 10, (b) kc/kp = 6, kc/kp =12, kc/kp = 14

57

3.30. ábra. A β hatványkitevő a kp rugóállandó függvényében kc/kp = 6, kc/kp =20, kc/kp = 30, kc/kp = 50 arányok esetén

3.1.12. Kezdeti feltételek hatása a β hatványkitevőre

A (3.6) pontban szereplő paraméterbeállítások mellett tízszer lefutattam a szimulá-ciót úgy, hogy a szimulációban szereplő tömegpontok kezdeti sebességét különbözőintervallumokon adtam meg véletlenszám generálással. A véletlenszám generálástnormális eloszlást alapul véve végeztem. A kezdeti sebességeket a [−0.5 : 0.5],[−0.75 : 0.75], [−1 : 1] és [−1.25 : 1.25] intervallumokon vettem. A kapott βparaméterek a 3.4. táblázatban láthatóak. A táblázatban feltüntettem az illesztetthatványkitevők tíz futtatásra vett átlagát és a kitevők szórását.

Az eredményekből az tükröződik, hogy a β paraméter nem nagyon függ attól,hogy a tömegpontok kezdeti sebességét a v lemezsebesség kis környezetében milyenintervallumban választom meg pszeudovéletlenszám generálással. Mindezek utánmég nagyobb intervallumokban is megadtam a kezdeti feltételeket, de azt tapasz-

58

i [−0.5 : 0 : 5] [−0.75 : 0.75] [−1 : 1] [−1.25 : 1.25]1 -1,03173 -1,54805 -1,24162 -1,198062 -1,03408 -1,45333 -1,36359 -1,210573 -1,08932 -1,19888 -1,31888 -1,400654 -1,3123 -1,65504 -1,04311 -1,102945 -1,49298 -1,47973 -1,27439 -1,17426 -1,00617 -1,30415 -1,01787 -1,267517 -1,39112 -1,2272 -1,33004 -1,082348 -1,2587 -1,24698 -1,44798 -1,550599 -1,16645 -1,38683 -1,28889 -1,24588

10 -0,90282 -0,96866 -1,03411 -1,27762βtlag -1,168567 -1,346885 -1,236048 -1,251036σ 0,19 0,19 0,15 0,14

σ(%) 19% 19% 15% 14%

3.4. táblázat. A β hatványkitevő értékei különböző kezdeti feltételek esetén

taltam, hogy a hatványkitevő ilyenkor is független volt a kezdeti feltételek megvá-lasztásától. Vannak természetesen olyan paraméter beállítások ahol az egymás utánitöbbszöri futtatások során egyáltalán nem jelenik meg hatványeloszlás, és vannakolyan beállítások is, ahol az esetek nagyrészében hatványeloszlást kapunk, míg egymásik részében a véletlenszám generálás hatására a földrengés energia erősség el-oszlására nem hatványfüggés adódik.

3.2. Plasztikus instabilitások szimulációja

Az irodalmi áttekintésben a PLE tárgyalásánál láttuk a 2.3 ábrán, hogy állandó ter-helési sebességgel végzett MTS mérések esetén a deformációfolyamat nem folyto-nosan megy végbe, hanem lavina sorozatokból áll. A plasztikus instabilitást mutatóminta deformáció-idő görbéje előállítható úgy, mintha egy sima (globális) görbérerakódnának rá a lépcsők. A globális görbe stabil, reprodukálható, nem nagyon függa terhelési sebességtől és � = A(t − t0)n alakú összefüggéssel írható le. A mérésiadatokra ilyen hozzárendeléssel definiált görbét illesztve az eredményt a 3.31 áb-rán láthatjuk. Láthatóan a függvény a görbe globális viselkedését jól leírja. A 3.31.

59

3.31. ábra. A 2.3 ábrán mutatott �− t görbe az illesztett globális függvénnyel

ábrán látható görbén jelentkező lépcsők a globális tulajdonságra rárakódó lokális je-lenségek. A 3.32(a) ábra a mérési adatokból numerikusan kiszámított �̇ deformációsebességeket mutatja az idő függvényében, míg a görbe egy részletesen kinagyí-tott tartományát a 3.32(b) ábrán láthatjuk. A lokális jelenség a globális deformációsebességtől nagymértékben eltérő viselkedést mutat. A lokális jelenség esetében adeformáció folyamata lasabb és gyorsabb szakaszokból tevődik össze. A lassabb ésgyorsabb tartományokra jellemző sebességek 2− 3 nagyságrenddel eltérnek a meg-felelő globális sebességektől. A kísérleti tapasztalatok azt mutatják, hogy a lokálisjelenségek esetében erős terhelési sebességfüggés tapasztalható. Adott t időpillanat-ban a lokális deformáció sebesség nagysága nem jósolható, ezért az adatok statisz-tikai elemzése szükséges a jelenség vizsgálatához. Az állandó deformáció sebes-séggel kapott fűrészfogszerű alakzatok esetében a feszültségesések ∆σ eloszlásátLebyodkin és társai már vizsgálták [11], azonban az állandó terhelési-sebességgelkapott deformáció sebességek eloszlását még nem vizsgálták eddig. A deformációsebességek statisztikai elemzése során a (3.7)-ben feltüntetett globális deformációsebesség és a deformáció sebesség hányadosaként definiálható λ normált (dimenzi-ótlan) sebességek eloszlását vizsgáltuk.

60

3.32. ábra. (a) Az egytengelyű nyújtási mérések során kapott deformáció sebességekaz idő függvényében , (b) ugyanezen görbe egy részlete kiemelve

�̇globlis =d�globlisdt

�̇ =d�

dt(3.7)

A normált sebesség tehát a következő alakú összefüggéssel definiálható:

λ =�̇

�̇globalis(3.8)

A mérési eredmények azt mutatják, hogy a normált sebességek eloszlása anyagtólés terhelési sebességtől függően különbözőek. Az Al-Zn-Mg-Zr minta esetében anormált sebességek eloszlása normál és logaritmiks skálán a 3.33 és 3.34 ábrákonláthatóak. Jól látható, hogy az adatok hatványfüggéssel írhatóak le. Mivel az ada-tokra D(λ) = Aλn alakú hatványfüggvény illeszkedik, így logaritmikus skálán azadatokra egyenes illeszthető, amit a 3.34. ábrán láthatunk.

Az egytengelyű állandó terhelési-sebességgel végzett nyújtási kísétletek soránlétrejövő plasztikus instabilitások szimulálásánál is a Lebyodkin és munkatársai [11]által javasolt, a korábban ismertetett földrengést leíró Carlson és Langer modellhez[9] hasonló, a 3.35. ábrán látható sematikus gondolatból érdemes kiiindulni. Adott

61

3.33. ábra. A λ normált sebességek eloszlása

3.34. ábra. A λ normált sebességek eloszlása logaritmikus skálán

62

3.35. ábra. A plasztikus instabilitások egytengelyű nyújtását szimuláló modell se-matikus rajza

egy minta (rúd), amit két oldalról σ feszültséggel terhelünk. A plasztikus instabili-tásokra jellemző inhomogén deformáció miatt gondolatban feldaraboljuk a rudat Ndarab egyenlő szeletre, és kc erősségű rugókkal kapcsoljuk össze. A σ feszültség ha-tására az i-edik darabka deformációja �i, deformáció sebessége pedig �̇i. Az i-edikszeletre ható feszültség ekkor a szeletek deformáció sebességtől függő feszültség-tagjától és a szomszédos szeletek deformácójától függ:

σi = σ(�̇i) + k[(�i − �i−1) + (�i − �i+1)] (3.9)

Minden egyes szelet feszültsége σ, csak a szeletek deformáció sebességtől függő fe-szültség tagjának és a szomszédos szeletek deformációjától függő tagnak az arányaváltozik.

σi = σ (3.10)

Feltételezve, hogy az alkalmazott külső feszültség sebessége állandó, a σ0 konstanstbevezetve a σ feszültség az alábbi alakba írható:

σi = σ0 + σ̇t, (3.11)

ahol a t paraméter akkor veszi fel zérus értékét, amikor a σ elérte a σ0-t. A szimu-

63

láció fizikai alapját az irodalmi áttekintésben említett N alakú görbének a beépíteseképzi, amit leegyszerűsítve, sematikus mutat a 3.36. ábra. A szimuláció folyamata6 lépésből áll.

3.36. ábra. A szimulációba beépített N alakú görbe sematikus rajza

1. Első lépés a kezdeti feltételek megadása. A t = 0 időpontban σ = σ0, a stabilI-es ágon indul a deformáció. Mindegyik szelet egy �̇i(0) kezdeti sebességgeldeformálódik. A deformáció a t = 0 időpillanatban minden szeletre nulla,�i(0) = 0, azaz kezdetben a minta deformálatlan. Az �̇i értékét véletlensze-rűen adjuk meg az �̇0 egy környezetében.

2. Második lépés a szeletek deformációjának a kiszámolása, ami a következőképlet alapján történik:

�i = �i + �̇i∆t, (3.12)

A teljes deformáció az egyes szeletek deformációjának az összege elosztva aszeletek számával:

�teljes =1

N

N∑i=1

�i (3.13)

64

3. A szimuláció harmadik lépése a szeletek deformáció sebességtől függő fe-szültségtagjának a számolása a (3.9), (3.11)) egyenletek átalakításval az alábbimódon:

σ(�̇i) = σ0 + σ̇t− k[2�i − �i+1 − �i−1]. (3.14)

A σ(�̇i) feszültségtagok kiszámolása után a szeletek deformációs sebességemeghatározható az N-alakú görbéből.

a) Ha előző ciklusban �̇i az I-es ágról volt leolvasva:

• Ha σ(�̇i) ≤ σmax, akkor �̇i-at továbbra is az I-es ágról kell leolvasni

• Ha σ(�̇i) > σmax, akkor �̇i-at a II-es ágról kell leolvasni

b) Ha előző ciklusban �̇i a II-es ágról volt leolvasva:

• Ha σ(�̇i) ≥ σmin, akkor �̇i-at továbbra is a II-es ágról kell leolvasni

• Ha σ(�̇i) < σmin, akkor �̇i-at a I-es ágról kell leolvasni

4. Utolsó előtti lépésként a minta teljes deformációsebessége megkapható a sze-letek deformációsebességének az összegből, ha elosztjuk a szeletek számával:

�̇teljes =1

N

N∑i=1

�̇i (3.15)

5. Meghatározva a teljes deformációsebességet a második lépéshez visszatérvea szeletek deformációjának a kiszámítása következik az új t időpontban. Aszimuláció ezek után egy beállított tmax időpontig futtatható.

A 3.37(a) és 3.37(b) ábrákon láthatjuk a szimuláció kimenetét a (3.16)-ban szereplőparaméterek mellett:

N = 100, σmax = 350, σmin = 240, �̇min = 0.001, �̇max = 10−6,

σ̇ = 2, σ0 = 240, T = 2000, dt = 0.12, k = 2 · 106 (3.16)

65

A kapott görbéket összehasonlítva a 2.3 és 3.32(a) ábrákon látható mérési eredmé-nyekkel megállapítható, hogy a lépcsőképződés a plasztikus instabilitások egytenge-lyű nyújtását leíró szimulációval jól reprodukálható. A terjedelem korlátozás miattmost csak egy olyan esetet mutatok, ami alátámasztja a kísérleti tapasztalatokat, ésa λ hatványkitevő szimulációs paraméterektől való függésével sem foglalkozok. A3.37(c), 3.37(d) ábra mutatják a (3.8) formulával definiált λ normált sebességek el-oszlását normál és logaritmikus skálán. Jól látható, hogy az ábrákon megfigyelhető

3.37. ábra. Az egytengelyű nyújtási szimuláció kimenete a 3.16 pontban szereplőparaméterek mellett, (a) a plasztikus instabilitásokra jellemző lépcsős deformáció,(b) a deformáció sebességek az idő függvényében, (c) a λ normált sebességek el-oszlása, (d) a λ normált sebességek eloszlása logaritmikus skálán

66

eredémnyek jól leírják a kísérleti tapasztalatot, mely szerint a normált sebességekeloszlása D(λ) = Aλn hatványfüggést mutat. A kapott kitevő n = −1.87, amimegközelíti az Al-Zn-Mg-Zr minta esetében kapott n = −2.07 értéket.

Láttuk tehát, hogy a földrengésmodellek és a plasztikus instabilitások közöttnemcsak a fizikai háttér a közös, hanem a két jelenség szimulációjának folyamata istöbb szempontból hasonló.

67

4. fejezet

Összefoglalás

Dolgozatomban megismerkedtem a plasztikus instabilitások elméletével, a jelenségvizsgálati módszereivel. Betekintést nyerhettem a mérési adatok kiértékelésénekmenetébe és megvizsgáltam a PLC effektust mutató ötvözetek egytegelyű nyújtásátleíró szimulációt. Készítettem egy szimulációt, ami a plasztikus instabilitásokkalanalóg jelenséget, a tektonikus közetlemezek egymáson való csúszát leíró földren-gést szimulál. Utánanéztem a földrengés szimuláció kapcsán a földrengés elméletekalapjainak és megismerkedhettem az önszerveződő kritikusság fogalmával. A szak-dolgozatom eredményeit röviden a következőkben foglalhatjuk össze:

• Vizsgáltam a plasztikus instabilitásra jellemző normált sebességek eloszlásáta PLC effektusra vonatkozó szimulációban. Megállapítható, hogy bizonyosesetekben a normált sebességek eloszlása hatványfüggést mutat.

• Megvizsgáltam a földrengésmodell szimulációban szereplő különböző para-méterek hatását a szimulációra

• Kimutattam, hogy bizonyos esetekben a szimulációban szereplő földrengé-sek erősség gyakoriságának eloszlása ugyanolyan hatványfüggéssel írható le,mint a plasztikus instabilitásokra jellemző normált sebességek eloszlása.

• Megvizsgáltam a hatványfüggésben szereplő kitevő különböző paraméterek-től való függését

68

4.1. Jövőbeli tervek

A plasztikus instabilitások egytengelyű nyújtását leíró szimulációban nyitott kérdés,hogy a normált sebességekre kijövő hatványfügvény megjelenésének mik a feltéte-lei. A hatványkitevő különböző paraméterektől való függésének vizsgálata fontosfeladat lenne. Távlati célok között szerepel még a szabálytalan lépcsőképződés le-írása is.

Az általam készített földrengés modell további fejlesztésekre szorul. Érdemeslenne a szimulációhoz készíteni egy programot, ami szimulálná az adott paraméter-beállítások mellett a tömegpontok mozgását, másrészt a készített grafikus felület istovábbi javításokra a szorul. További vizsgálatok lennének szükségesek arra nézve,hogy a lépcsők képződésére és a földrengés erősség eloszlásra milyen hatással vana súrlódási erő alakja. A hatványfüggvény kitevőjének függése a paraméterek csa-tolásától is kérdéses. A modell kaotikusságának vizsgálata is elengedhetetlen lenne.

69

5. fejezet

Köszönetnyilvánítás

Köszönöm szépen dr. Nguyen Quang Chinhnek, a szakdolgozatom elkészítésébennyújtott segítégét, a sok tanácsáért és konzultációiért, és a diplomám többszöri ala-pos átolvasásáért. Mindemellett hálámat szeretném kifejezni neki az egyetementartott szemináriumok diáinak átnézéséért és a sok építő jellegű kritikáért.

Szeretném megköszönni édesapámnak, édesanyámnak, testvéremnek és család-tagjaimnak, hogy tanulmányaim során végig minden helyzetben mellettem áltak,bátorítottak lehetővé téve ezzel e munka elkészítését.

70

Irodalomjegyzék

[1] A. Portevin- F. Le Chatelier, Compt. Read. Acad. Sci. Paris 176(1923) 507.

[2] Bérces György: Magyar Fizikai Folyóirat XXXIII. kötet 4-5-6. fü-zet: A képlékeny alakváltozás mechanizmusai 1985

[3] H. Blumenauer, G. Push Műszaki törésmechanika, Műszaki kiadó,Budapest (1987)

[4] Hun-Reng: (Magyarország földrengési információs rendszere)www.foldrenges.hu

[5] P. Bak K. Chen Factal Dynamics of Earthquakes

[6] United States Geographical Survey: www.USGS.com

[7] wikipedia (Gutenberg-Richter törvény)

[8] Zsíros Tibor: A Kárpát-medence szeizmicitása és földrengés veszé-lyessége (Magyar földrengés katalógus, 456 1995)

[9] J. S. Langer, J. M. Carlson Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 2632

[10] Zilahi Gyula: Súrlódási erő vizsgálata tapadás-csúszás átmenetek-ben, TDK dolgozat (2007)

[11] A. Lebyodkin, Y.Brechet, Y. Estrin, L.P. Kubin Phys. Rev. Lett. 74(1995) 4758.

71

[12] Horváth Győző: Al-Mg és Al-Zn-Mg-Cu ötvözetek plasztikus tulaj-donságai, Dipomamunka (2000)

[13] Csikor Ferenc: Plasztikus instabilitások Al-Cu, Al-Mg és Al-Si öt-vözetekben, dinamikus mikrokeménységmérések során, Diploma-munka (1999)

[14] Csanádi Tamás: A felületen centrált köbös fémek mechanikai tulaj-donságainak vizsgálata, Diplomamunka (2008)

72