VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS:

STATICS

Ninth Edition

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

Lecture Notes:

J. Walt Oler

Texas Tech University

CHAPTER

© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

:نیروهای گسترده 5 مرکز هندسی و مرکز سطح

حمیدرضا فرنوش دانشگاه کاشان

94-95اول نیمسال

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

مقدمه

5 - 2

مقدمه

مرکز ثقل یک جسم دوبعدی

مرکز هندسی و گشتاور اول سطح ها و خط ها

مساحت و مرکز سطح شکل های متداول

طول و مرکز هندسی خطوط متداول

ورق ها و سطوح مرکب

5.1مسئله

تعیین مرکز سطح به روش انتگرالگیری

5.4مسئله

قضیه های پاپوس و گلدینوس

5.7مسئله

بارهای گسترده وارد بر تیرها

5.9مسئله

مرکز حجم: مرکز ثقل اجسام سه بعدی

مرکز حجم شکل های متداول سه بعدی

اجسام مرکب سه بعدی

5.12مسئله

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

مقدمه

5 - 3

. زمین نیروی گرانشی خود را به تمامی ذرات تشکیل دهنده جسم وارد می کند•این نیروها می توانند به وسیله تک نیروی معادل برابر با وزن جسم وارد شده

.بر مرکز ثقل آن جایگزین شود

ازمفهوم گشتاور اول . مرکز یک سطح مشابه به مرکز ثقل یک جسم است• .یک سطح برای تعیین مکان مرکز هندسی استفاده می شود

گلدینوس -مساحت یک سطح و یا حجم حاصل از دوران با قضیه های پاپوس• .تعیین می شود

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

مرکز ثقل یک جسم دوبعدی

5 - 4

مرکز ثقل یک ورق•

y

x

M xW x W

x dW

M yW y W

y dW

مرکز ثقل یک سیم•

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

مرکز هندسی و گشتاورهای اول سطح ها و خط ها

5 - 5

x

QdAyAy

y

QdAxAx

dAtxAtx

dWxWx

x

y

respect toh moment witfirst

respect toh moment witfirst

مرکز هندسی یک سطح•

dLyLy

dLxLx

dLaxLax

dWxWx

مرکز هندسی یک خط•

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

گشتاورهای اول سطح ها و خط ها

5 - 6

متقارن است، اگر برای ’BBیک سطح نسبت به محور •یافت شود که ’Pنقطه دیگر Pهر نقطه ای مانند

جسم ’BBباشد و ’BBعمود بر راستای ’PPراستای .را به دو قسمت مساوی تقسیم کند

گشتاور اول یک سطح نسبت به محور تقارنش صفر • .است

اگر یک سطح دارای یک محور تقارن باشد، مرکز • .هندسی روی آن محور قرار دارد

اگر یک سطح دارای دو محور تقارن باشد، مرکز • .هندسی آن در محل تقاطع آن دو محور است

متقارن است اگر برای Oیک سطح نسبت به مرکز •، جزء هم (x,y)با مختصات dAهر جزئی مانند

.موجود باشد (x,-y-)با مختصات ’dAمساحت

.مرکز هندسی سطح بر مرکز تقارن آن منطبق است•

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

مرکز هندسی سطح شکل های متداول

5 - 7

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

مرکز هندسی خطوط متداول

5 - 8

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

ورق ها و سطوح مرکب

5 - 9

ورق های مرکب•

WyWY

WxWX

سطوح مرکب•

AyAY

AxAX

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.1مسئله

5 - 10

برای ورق مسطح مقابل، گشتاورهای اول

و مکان مرکز yو xنسبت به محورهای

.هندسی را تعیین کنید

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.1مسئله

5 - 11

33

33

mm107.757

mm102.506

y

x

Q

Q

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.1مسئله

5 - 12

23

33

mm1013.828

mm107.757

A

AxX

mm 8.54X

23

33

mm1013.828

mm102.506

A

AyY

mm 6.36Y

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

تعیین مرکز سطح به روش انتگرالگیری

5 - 13

ydxy

dAyAy

ydxx

dAxAx

el

el

2

2

el

el

xA x dA

a xa x dy

yA y dA

y a x dy

drr

dAyAy

drr

dAxAx

el

el

2

2

2

1sin

3

2

2

1cos

3

2

dAydydxydAyAy

dAxdydxxdAxAx

el

el،یک مستطیل کوچک dAاگر دیفرانسیل سطح •

باشد، محاسبه هر یک از dyو dxبه اضالع انتگرال ها نیازمند انتگرالگیری دوگانه نسبت به

x وy است.

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.4مسئله

5 - 14

به روش انتگرالگیری، مختصات مرکز سطح

.زیر سهمی شکل مقابل را تعیین کنید

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.4مسئله

5 - 15

21

21

2

2

2

2

2

yb

axorx

a

by

a

bkakb

xky

3

30

3

20

2

2

ab

x

a

bdxx

a

bdxy

dAA

aa

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.4مسئله

5 - 16

1052

2

1

2

44

2

0

5

4

2

0

22

2

2

0

4

2

0

2

2

abx

a

b

dxxa

bdxy

ydAyQ

bax

a

b

dxxa

bxdxxydAxQ

a

a

elx

a

a

ely

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.4مسئله

5 - 17

10

42

1

22

2

0

23

21

21

21

2

0

22

0

22

abdyy

b

aay

dyyb

aaydyxaydAyQ

badyy

b

aa

dyxa

dyxaxa

dAxQ

b

elx

b

b

ely

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.4مسئله

5 - 18

43

2baabx

QAx y

ax4

3

103

2ababy

QAy x

by10

3

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

گلدینوس-قضیه های پاپوس

5 - 19

سطح دوار در اثر چرخش یک منحنی نسبت به یک • .محورثابت به وجود می آید

مساحت سطح دوار برابر است با •حاصلضرب طول منحنی مولد در مسافت

طی شده توسط مرکز هندسی در اثر چرخش

LyA 2

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

گلدینوس-قضیه های پاپوس

5 - 20

جسم دوار در اثر چرخش یک صفحه نسبت به یک • .محورثابت به وجود می آید

حجم جسم دوار برابر است با حاصلضرب •مساحت سطح مولد در مسافت طی شده

توسط مرکز هندسی در اثر چرخش

AyV 2

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.7مسئله

5 - 21

و سطح m 0/8قطر خارجی یک چرخ تسمه

. مقطع طوقه آن به صورت مقابل است

چنانچه این چرخ تسمه از جنس فوالدی با

باشد، جرم kg/m3 103 ×7/85 =ρچگالی

.و وزن طوقه را محاسبه کنید

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.7مسئله

5 - 22

3393633 mmm10mm1065.7mkg1085.7Vm kg 0.60m

2sm 81.9kg 0.60 mgW N 589W

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

بارهای گسترده وارد به تیرها

5 - 23

w (N/m)بار گسترده توسط نمودار نسبت بار به طول یا • . بار کل برابر است با سطح زیر منحنی بار. تعیین می شود AdAdxwW

L

0

AxdAxAOP

dWxWOP

L

0

بار گسترده را می توان با یک بار متمرکز جایگزین کرد، به •طوری که اندازه آن برابر با سطح زیر منحنی بار باشد و

.خط اثر آن از مرکز هندسی سطح عبور کند

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.9مسئله

5 - 24

یک بار گسترده ذوزنقه ای به یک تیر وارد

( ب)بار متمرکز معادل و ( الف. )می شود

عکس العمل در تکیه گاه های این تیر را

.تعیین کنید

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.9مسئله

5 - 25

.اندازه بار متمرکز برابر با سطح زیر منحنی بار است•

4500 15006 18.0 kN

2F

.خط اثر بار متمرکز از مرکز هندسی سطح عبور می کند•

kN 18

mkN 63 X m5.3X

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.9مسئله

5 - 26

0m .53kN 18m 6:0 yA BM

kN 5.10yB

0m .53m 6kN 18m 6:0 yB AM

kN 5.7yA

Bx

By Ay

0 :xF 0xB

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

مرکز حجم: مرکز ثقل اجسام سه بعدی

5 - 27

G مرکز ثقل جسم •

jWjW

jWrjWr

jWrjWr

G

G

dWrWrdWW G

.نتایج بدست آمده مستقل از جهت گیری جسم است•

zdWWzydWWyxdWWx

zdVVzydVVyxdVVx

dVdWVW and

:برای یک جسم همگن•

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

مراکز هندسی شکل های متداول سه بعدی

5 - 28

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

اجسام مرکب سه بعدی

5 - 29

برابر با مجموع کل Gگشتاور وزن کل در مرکز ثقل • .گشتاورهای وزن اجزاء است

WzWZWyWYWxWX

برای اجسام همگن•

VzVZVyVYVxVX

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.12مسئله

5 - 30

.مرکز ثقل قطعه مقابل را تعیین کنید

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.12مسئله

5 - 31

© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Statics

Nin

th

Ed

ition

5.12مسئله

5 - 32

34 in .2865in 08.3 VVxX

34 in .2865in 5.047 VVyY

34 in .2865in .6181 VVzZ

in. 577.0X

in. 577.0Y

in. 577.0Z