1

NAMA PELAJAR : MARSHIZAWATI BINTI RASIP

NO. TELEFON : 0176143324E-MEL : marshiza@gmail.com

FAKULTI PENDIDIKAN DAN BAHASASEMESTER SEPTEMBER 2012

HBMT4403TEACHING MATHEMATICS IN FORM

SIX

DISEDIAKAN OLEH:DISEDIAKAN OLEH:

PN MARSHIZAWATI BINTI RASIPPN MARSHIZAWATI BINTI RASIP

2

Nota : Pembezaan 3

Merupakan operasi atau konsep matematik yang digunakan dalam

kalkulus di mana sesuatu terbitan fungsi atau pembolehubah ditentukan

Ia juga merupakan songsangan bagi konsep pengamiran

KONSEP PEMBEZAAN

Nota : Pembezaan4

Pembezaan boleh ditakrifkan sebagai proses mencari Terbitan Fungsi. Pembezaan boleh digunakan sebagai alat untuk mengira atau

mengkaji kadar perubahan kuantiti berkenaan dengan perubahan dalam kuantiti lain. Contoh yang paling biasa adalah pengiraan halaju dan

pecutan. Halaju diberi oleh v = dx / dt, dimana 'x' adalah jarak yang diliputi oleh badan yang

bergerak dalam masa 't'.

Nota : Pembezaan 5

Definisi :TerbitanPengiraan kecerunan garis tangen, kadar serta-merta perubahan

fungsi, dan halaju seketika objek pada semua yang diperlukan untuk mengira had berikut.

Perubahan kecil notasi had ini juga boleh ditulis sebagai,

Ini adalah apa-apa had yang penting dan ia timbul di banyak tempat maka ia diberikan nama. Itulah terbitan. Berikut adalah definisi rasmi

terbitan.Terbitan berkenaan dengan x adalah fungsi dan

ditakrifkan sebagai,

Nota : Pembezaan(HBMT4403) 6

TERBITAN FUNGSI

Pembezaan Daripada Prinsip PertamaTerbitan fungsi y = f (x) pada titik (x, f (x)) bersamaan dengan kecerunan garis tangen kepada graf pada ketika itu. Ia boleh

ditakrifkan sebagai:

Di mana 'h' menghampiri sifar sebagai had. Rajah di bawah menggambarkan konsep ini secara grafik:

Formula terbitan (atas) memberikan kecerunan garis sekan di antara kedua-dua titik. Ketika nilai 'h' menjadi lebih kecil, kedua-dua titik menjadi lebih

dekat dan kecerunan sekan menghampiri garis tangen kepada lengkung itu pada (x, f (x)):

Nota : Pembezaan 7

Jika y = x n maka = n x n-1 , n R

Jika y = f (x) = e x maka = f ' (x) = e x

Jika y = e f(x) maka = e f(x) . f ' (x)

Jika y = ln x maka =

KAEDAH PEMBEZAAN

Nota : Pembezaan 8

Imbas Kembali: Fungsi terbitan ditakrifkan hanya untuk x positif, bukan untuk x = 0. Apabila r = 0, peraturan ini menunjukkan bahawa f '(x) adalah sifar untuk x ≠ 0, yang

hampir kepada peraturan malar(seperti yang dinyatakan di bawah).

Fungsi Eksponen dan Logaritma

Fungsi Trigonometri

Fungsi Songsangan Trigonometri

Nota : Pembezaan9

Imbas Kembali Mengenai Petua PembezaanBagi Satu Fungsi Pembolehubah

0)1 kdx

d

1)2 nn nxxdx

d

xgxfxgxfdx

d )3

Nota : Pembezaan 10

Petua Fungsi MalarTerbitan bagi fungsi malar adalah bersamaan 0 untuk

setiap nilai x

0 )1 kdx

d

Buktikan jika:

, kf(x) Maka:

kf(N)

0lim)()(

lim

Nx

kk

Nx

Nfxf f '(N)

NxNx

0)( Nf Maka:

0 f '(x)

Nota : Pembezaan 11

Petua Fungsi Kuasa

1)2 nn nxxdx

d

Terbitan fungsi xn adalah bersamaan

Jika, ,n xf(x)

Maka,

1n- nxf '(x) Contohnya: Jika

4x Maka, 34x dy/dx

Nota : Pembezaan

12

KAEDAH PEMBEZAAN

• Petua Hasil Tambah - Hasil Tolak• Petua Hasil Darab• Petua Hasil Bahagi

• Fungsi Gubahan• Fungsi Mutlak

Nota : Pembezaan 13

xgxfxgxfdx

d )3

Terbitan bagi Hasil Tambah(atau Hasil Tolak) Dua Fungsi adalah sama denganHasil Tambah (atau Hasil Tolak) Terbitan bagi Dua Fungsi.

01083

75104

75104

2

23

23

QQdQ

dC

dQ

dQ

dQ

dQ

dQ

dQ

dQ

d

dQ

dC

QQ QC

Nota : Pembezaan 14

Petua Hasil Darab

xgxfxfxgxgxfdx

d )4

Terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan fungsi kedua didarabkan dengan terbitan hasil tambah

fungsi pertama didarabkan dengan terbitan fungsi kedua

Algoritma Mnemonik:

1d2)(2d1

Nota : Pembezaan 15

Tinjauan Semula Petua-petua Pembezaan Bagi Fungsi Satu

Pembolehubah

xgxfxfxgxgxfdx

d )4

1d22d1 :mnemonic algorithm

Petua Hasil Darab

ccxdx

da )5

cxcxcxdx

d 010

1)5 nn cnxcxdx

db

110 nnnn cnxnxcxcxdx

d

Petua Malar dan Petua Hasil Darab

Petua Malar , Petua Hasil Darab dan Petua Kuasa

Nota : Pembezaan 16

xg

xf

xg

xgxfxfxg

xg

xf

dx

d2

)6

22

1d2-2d1 :mnemonic Algorithm

Nota : Pembezaan 17

Untuk membezakan fungsi gubahan kita menggunakan aturan rantai yang ditulis

seperti berikut;

[ f (g (x)) ] = f ' (g (x)) g' (x) = f ' ( ) . g' (x)

Ini bermaksud membezakan fungsi luar, meninggalkan hujahfungsi luar sahaja, dan kemudian darabkan dengan terbitan

di dalam fungsi.

Nota : Pembezaan 18

Untuk mencari , daripada Fungsi Mutlak yang diberikan, kita perlu menggunakan

Petua rantai dan petua hasil darab

Teknik untuk mencari kita namakan sebagai Fungsi Mutlak

Nota : Pembezaan 19

Petua Pembezaan Melibatkan Fungsi Yang Pembolehubahnya

Berbeza

Nota : Pembezaan 20

10

1

1

..2)8

,...,

variableexog. one than more w/ rulechain

)7

variableexog. one w/ rulechain

x

y

dy

dz

dx

dz

xxgfzlet

xgyfdx

dy

dy

dz

dx

dz

xgfzlet

ndx

n

Nota : Pembezaan 21

Petua Rantaian

Ini adalah kes di mana dua atau lebih fungsi diterbezakan, yang mana setiap satunya

mempunyai pembolehubah tak bersandar

Dimana, i.e., , f(g(x))z

i.e., , f(y)z

i.e., , g(x)y

Z adalah fungsi pembolehubah y dan

Y adalah fungsi pembolehubah x

xgyfdx

xdg

dy

ydf

dx

ydf

dx

dy

dy

dz

dx

dz

)7

Nota : Pembezaan22

Petua Rantaian

Ini adalah kes di mana dua atau lebih fungsi diterbezakan, yang mana setiap satunya

mempunyai pembolehubah tak bersandar

dx

dy

dy

dz

dx

dz)7

f(Q)R Jika, Dan jika, g(L)Q

LL MRPMPPMR

LgQf

dL

dQ

dQ

dR

dL

dR

Nota : Pembezaan 23

Cari ,dxdz 1 dimana f(y)z dan .21 ), xg(xy Prosedur: Gantikan kebezaan jumlah y ke

dalam z dan bahagikan kepadaDengan mengandaikan

1dx0dx2

10

12

21

1

22

11

2)4 )2

)3 )1

x

y

dy

dz

dx

dzdx

x

ydx

x

ydy

dxx

ydx

x

y

dy

dzdzdy

dy

dzdz

dx

Nota : Pembezaan 24

y

x

BT

R

A

Kecerunan lengkungan, y = f(x),

pada titik R atas lengkungan

diberi oleh lengkungan tangen

di R. Ia juga diberi oleh nilai

di atas titik R, yang mana ia

boleh dikira menggunakan

persamaan lengkungan. Oleh

itu, kita boleh mengira

kecerunan tangen bagi

lengkungan pada sebarang titik

R

Nota : Pembezaan 25

Jika A (x1 , y1) ialah titik pada garisan y = f(x), kecerunan garis (pada garis lurus) atau kecerunan tangen di atas garis (lengkungan) nilai apabila x = x1

Kecerunan Tangent pada A (x1 , y1):

= Kecerunan Tangen

Persamaan Tangen: y – y1 = m tangent (x - x1)

Kecerunan Normal pada A (x1 , y1):

m normal = - 1 __

m tangent

Kecerunan normal

Persamaan Normal : y – y1 = = m normal (x - x1)

Nota : Pembezaan 26

Jika y suatu fungsi x, maka    merupakan kadar

perubahan y terhadap x. Sebagai contoh

jika r mewakili jejari dalam meter dan tmewakili

masa dalam saat, r ialah fungsi t, maka  

 mewakili kadar perubahan jejari terhadap masa.

 

Nilai     yang positif mewakili kadar perubahan

menokok bagi y terhadap x manakala nilai  

  yang negatif mewakili kadar perubahan

menyusut bagi y terhadap x.

Nota : Pembezaan 27

CONTOH-CONTOH SOALAN BERKAITAN TOPIK PEMBEZAAN

Nota : Pembezaan 28

SOALAN-SOALAN PEMBEZAAN

Soalan 3: Cari kecerunan fungsi y = 3x2 apabila x = 5.

JawapanSoalan 1: Cari pembezaan bagi

Jawapan

Soalan 2: Cari pembezaan bagi Jawapan

Soalan 4: Bezakan terhadap x. 

Soalan 5: Bezakan

2x3 + x +

2

2 2

x

xx

.

Jawapan

Jawapan

Nota : Pembezaan 29

Jawapan soalan 1:

Nota : Pembezaan 30

Jawapan soalan 1:

Nota : Pembezaan 31

Jawapan soalan 3:

Dengan itu, apabila x = 5

Nota : Pembezaan 32

Bahagikan : 1 + 2x1

Bezakan: 6x2 + 2x2

21

2

1 x 4.

Jawapan soalan 4:

Nota : Pembezaan 33

Pemboleh ubah adalah m dan oleh itu terbitan fungsi adalah terhadap m. Pembezaan mesti diselesaikan dengan menggunakan hukum rantai. Ia adalah:             

Jawapan soalan 5:

Nota : Pembezaan 34

TAMATSEKIAN

TERIMA KASIH

Nota : Pembezaan 35

RUJUKANRUJUKAN

Nor Hayati Md Yusof.Aisah Ali. (2011)HBMT4403Teaching Mathematics In Form Six. OUM.Meteor.Doc.Sdn.Bhd.SelangorMohd Nasir Mahmud.et.al. (2011)HBMT4303Teaching Mathematics In Form Five. OUM.Meteor.Doc.Sdn.Bhd.Selangor

Expert Math Tutoringhttp://www.expertmathtutoring.com/Differentiation-Knowledge-Examples.php

Bab 3:Penggunaan Pembezaanhttp://www.oocities.org/enotebvp/bab3/bab_3_penggunaan_pembezaan.htm

Differentiationhttp://www.mathslearn.co.uk/core2differentiation.html

Differentiation From First Principlehttp://www.mathsrevision.net/alevel/pages.php?page=23

http://math2.org/math/derivatives/more/trig.htm