Introduo lgebra

Aderson Porto

2013/1

Sumrio

1 Inteiros 3Aula 01.04.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Aula 03.04.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Aula 10.04.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Aula 12.04.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Grupos 15Aula 15.04.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Aula 17.04.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Aula 19.04.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Aula 22.04.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Aula 24.04.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Aula 26.04.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Aula 29.04.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Aula 03.05.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Aula 08.05.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Aula 10.05.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Aula 13.05.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Aula 15.05.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Aula 17.05.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Aula 20.05.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Aula 22.05.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Aula 24.05.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Aula 27.05.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 Anis 80Aula 29.05.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Aula 07.06.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Aula 10.06.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Aula 12.06.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Aula 17.06.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Aula 19.06.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Aula 24.06.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Aula 26.06.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4 Extenso de Corpos 113Aula 03.07.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Aula 05.07.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Aula 08.07.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

i

Aula 10.07.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Aula 12.07.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Aula 15.07.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Aula 17.07.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Aula 19.07.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

1

Inteiros

2

Captulo 1

Inteiros

Aula 01.04.2013Aritmtica nos inteiros

Z = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . .}Temos que a, b Z

a+ b indica somaa b(= ab) indica o produto a oposto de aa b = a+ (b)

A adio (+) satisfaz

(i) (a+ b) + c = a+ (b+ c)

(ii) a+ 0 = a = 0 + a

(iii) a+ (a) = (a) + a(iv) a+ b = b+ a

Um conjunto munido de uma operao (+) que satisfaz (i), (ii) e (iii) chamado degrupo. Um conjunto munido de uma operao (+) que satisfaz (i), (ii), (iii) e (iv) chamado de grupo comutativo (ou grupo abeliano).

O produto () satisfaz:(i) (a b) c = a (b c)(ii) 1 a = a = a 1(iii) a b = b a

Um conjunto munido de uma operao () que satisfaz (i) chamado semigrupo. Umconjunto munido de uma operao () que satisfaz (i) e (ii) chamado monide. Umconjunto munido de uma operao () que satisfaz (i), (ii) e (iii) chamado monidecomutativo.

3

Alm disso,

a (b+ c) = a b+ a c(a+ b) c = a c+ b c

portanto (Z,+, ) um anel comutativo com identidade.Sabemos que

a b = 0 a = 0 ou b = 0Um anel comutativo com identidade, sem divisores de zero chamado domnio de inte-gridade. Portanto, (Z,+, ) um domnio de integridade.

Definio 1.1Dados a, b Z dizemos que a divide b (em smbolos a | b) se existe c Z tal que a c = b.A negao deste fato indicada por a - b.

Observao 1.1Se p primo e p | a b p | a ou p | b.

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Aula 03.04.2013

Proposio 1.2 (Propriedades da divisibilidade)Para quaisquer a, b, c Z, temos(i) a | b e b | a, b 6= 0 a = b(ii) a | b, b 6= 0 |a| |b|(iii) a | b, a | c a | (b+ c), , Z

a | b, a - (c+ b) a - c(iv) a | b, b | c a | c

Demonstrao. (i) Temos a | b e b | a b = na, a = mb; m,n Z b = nmb nm =1 (n,m) = (1, 1) ou (n,m) = (1,1) a = b ou a = b.

(ii) Temos a | b b = na, n Z |b| = |n||a| |a||b| =1

|n| 1 |a| |b| .(iii) a | b, a | c b = na, c = ma b = na, c = ma b+c = (n + n)

Z

a

a | (b+ c)(iv) a | b, b | c b = na, c = mb, n,m Z mb = nma, c = mb c = nma a |

c.

Algoritmo da Diviso(de Euclides)

Proposio 1.3Sejam a, b Z, b 6= 0. Ento existe um nico par de inteiros q, r tais que a = bq + r, com0 r < |b|, q o quociente e r e o resto da diviso (euclidiana) de a por b.

Demonstrao. Prova da existncia. Seja M = {h|b| : h Z, b Z, h|b| a}. Observeque M 6= e limitado superiormente. De fato, se a 0, tome h = 0; se a < 0, tomeh = a. Como M limitado superiormente, h0 Z tal que h0|b| o mximo de M . Sejar = a h0|b| 0. Assim

(h0 + 1)|b| > h0|b| (h0 + 1)|b| = h0|b|+ |b| > a r = a h0|b| < |b| a = h0|b|+ r, com 0 r < |b|

Agora se b > 0 tomamos q = h0; se b < 0 tomamos q = h0. Portanto a = bq + r, comoesperado. Isto prova a existncia do par (q, r).

Prova da unicidade. Se a = bq1 + r1 = bq2 + r2, 0 r1, r2 < |b|, ento b(q1 q2) =r2 r1 |b||q1 q2| = r2 r1|. Se q1 6= q2, ento |r2 r1| |b|. Contradio, pois0 r1, r2 < |b|. Portanto, q1 = q2, e assim r2 = r1.

5

Observao 1.2Algoritmo para encontrar q e r.

Suponha a b > 0.(i) Faa a1 := a

(ii) Calcule ai+1 = ai b(iii) ai+1 > 0 ? Sim volto em (ii) e troque i por i+ 1.

No Pare: o resultado

a =

{ib se ai+1 = 0(i 1)b+ ai se ai+1 < 0

M.D.C e M.M.C

Definio 1.4Sejam a, b Z no simultaneamente nulos. Um nmero natural d dito ser um mximodivisor comum de a e b se:

(i) d | a e d | b, e(ii) d qualquer nmero natural tal que d | a e d | b ento d | d.

Assim, se existe um mdc de a e b, ento ele nico.

Proposio 1.5 (existncia de mdc)Se a, b Z, no simultaneamente nulos, ento existe d N, d = mdc(a, b). Alm disso,existem , Z tais que d = a+ b.

Demonstrao. Seja M = {xa + yb | x, y Z}. Observe que M 6= , pois a M(a =1 a + 0 b). Considere M+ = {m M | m > 0}. Como M+ N, existe d M+ que mnimo de M+; portanto d = a+ b, para certos , Z. Afirmao: d o mdc(a, b).

(i) d | a. De fato, a = dq + r, com 0 r < d. Se r 6= 0, ento

r = a qd= a q(a+ b)= a(1 q) qb M+

Contradio, pois r < d e d o mnimo de M+ r = 0 e, assim, d | a. Analogamente seprova que d | b.

(ii) Se d N, d | a e d | b ento d | (xa+ yb) para quaisquer x, y Z. Em particulard | (a+ b) = d.

Logo (i) e (ii) provam a afirmao.

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Observao 1.3 (Algoritmo da diviso sucessivas)Suponhamos a b 6= 0, a > b > 0(i) a1 := a, a2 := b

(ii) Determine qi, ai+2 pelo algoritmo da diviso: ai = ai+1qi + ai+2, 0 ai+2 < ai+1(iii) ai+2 = 0 ? Sim Pare. O resultado ai+1 = mdc(a, b).

No. Volte em (ii) e faa i = i+ 1.

a1 = a2q1 + a3, 0 a3 < a2a2 = a3q2 + a4, 0 a4 < a3 < a2

...ai1 = aiqi1 + ai+1 ltimo resto no nulo o mdc(a, b)ai = ai+1qi

Definio 1.6 (M.M.C)Um nmero natural m dito ser um mnimo mltiplo comum de a e b se

(i) a | m e b | m, e(ii) Se m N tal que a | m e b | m ento m | m.

Se existe mmc(a, b) ento ele nico.

Proposio 1.7Se ab 6= 0 ento mmc(a, b) = |a||b|

mdc(a, b).

Demonstrao. Sejam d = mdc(a, b) e x =|a||b|d

. Escrevendo a = a1d e b = b1d, sabemos

que mdc(a1, b1) = 1. Observe que x =|a||b|d

=|a1d||b|d

= |a1||b| b | x, de forma anlogax = |b1||a| a | x. Verificamos a condio (i) da definio de mmc. Seja agora m Ztal que a | m e b | m. Como a | m m = aq = a1dq. Temos b | m b1d | m b1 |a1q b1 | q pois mdc(a1, b1) = 1, assim q = b1c m = a1db1c = a1db1dc

d=abc

d, logo

m = |m| =abcd

= |a||b||c|d = x|c| x | m. Est verificada a condio (ii) da definiode mmc. Portanto, de fato x = mmc(a, b).

Definio 1.8Um nmero inteiro p dito ser um primo se os nicos divisores de p so 1 e p, isto ,se p = ab ento |a| = 1 ou |b| = 1.

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Vamos reservar a palavra primo para indicar um inteiro primo positivo.

Proposio 1.9Sejam a, b Z e p um primo. Se p | ab ento p | a ou p | b.

Demonstrao. Suponhamos que p - a. Como p primo, temos mdc(p, a) = 1; portanto1 = p+ a b = apb = ab p | b.

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Aula 10.04.2013

Proposio 1.10Sejam a, b Z e p primo, se p | a b ento p | a ou p | b.

Demonstrao. Se p - a, como p primo, ento mdc(p, a) = 1. Assim 1 = p+ a, , Z b = pb+ ab p | b.

Teorema 1.11Seja a Z tal que |a| > 1. Se S = {x Z; x > 1 e x | a} ento o mnimo de S umprimo.

Demonstrao. Note que S 6= , pois |a| S. Seja p o mnimo de S. Para verificar que p primo, seja q um divisor de p, |q| > 1. Temos

|q| | p, p | a |q| | a |q| SMas |q| p e p mnimo de S. Portanto |q| = p, isto , q = p. Isto mostra que p primoe a demonstrao est completa.

Teorema 1.12 (Teorema fundamental da aritmtica)Seja a Z, com |a| > 1. Ento existem primos p1, p2, . . . , pr, r 1, inteiros primos nonecessariamente distintos, tais que

a = p1 prEssa decomposio nica a menos da ordem em que os primos aparecem.

Demonstrao. (Existncia) Pelo teorema anterior, existe p primo tal que p | a. Se p = |a|ento a = p. Ento a = pb, |b| > 1, |b| < |a|. Pelo 2o princpio da induo, b tem umafatorao,

b = p2 pr, pi primosfazendo p1 = p, obtemos a = p1 pr.

(Unicidade) Suponhamos

a = p1 pr = q1 qsem que os pis e os qjs so primos. Como p1 primo e p1 | q1 qs, segue que p1 | qj, paraalgum j, q j s. Reordenando, se necessrio, os primos na segunda fatorao, podemossupor j = 1. Logo

p1 = q1 p1p2 pr = p1q2 qscontinuando esse processo, obteremos r = s, aps reordenao, pi = qi, i = 1, . . . , r.

9

Observao 1.4Se na decomposio de um inteiro a como produto de primos coletarmos os primos repetidos,ento podemos escrever

a = p11 p22 pkk com i > 0

e p1, . . . , pk distintos.O teorema fundamental assegura que os expoentes is so unicamente determinados

por a.

Observao 1.5Se a um inteiro composto, a > 1, ento a divisvel por um primo p tal que p a. Defato, considere

A = {pi; pi primo e pi | a}Seja p1 = minA, temos a = p1 b b p1 > 1, logo

p21 p1 b p1 a

Definio 1.13Seja m > 1. Dados a, b Z dizemos que a congruente a b mdulo m se m | (b a).

a b (mod m)

Proposio 1.14Sejam a, b, c, d Z.(i) a b (mod m), c d (mod m) a+ c b+ d (mod m).(ii) a b (mod m), c d (mod m) a c b d (mod m).(iii) a b (mod m) an bn (mod m).

Demonstrao. (i) Temos m | a b e m | c d, logo

m | a+ c (b+ d) a+ c b+ d (mod m)

(ii) Note que

m | a b m | ac bcm | c d m | bc bd

} m | ac bd

logo ac bd (mod m).(iii) Usando o item (ii) indutivamente temos

a b (mod m) an bn (mod m)

10

Note que a relao de congruncia (mod m) uma relao de equivalncia sobre Z:(i) a a (mod m).(ii) a b (mod m) b a (mod m).(iii) a b (mod m) e b c (mod m) a c (mod m).

A classe de equivalncia de um inteiro a segundo a relao de congruncia (mod m) indicada por a (ou [a], ou ainda [a]m). Portanto

a = {b Z; b a (mod m)}

Proposio 1.15Se a e b so inteiros, ento a = b se, e somente se, a e b deixam o mesmo resto quandodividimos por m.

Demonstrao. Efetuando a diviso de a e b por m, obtemos

a = mq1 + r1, 0 r1 < mb = mq2 + r2, 0 r2 < m

logoa b = m(q1 q2) + (r1 r2)

de onde m | a b r1 = r2.Segue da proposio anterior que as classes de equivalncia da relao (mod m)

0, 1, . . . ,m 1Estas formam o conjunto quociente

Zmod m

= Zm = {0, 1, . . . ,m 1}Podemos definir as operaes de adio e multiplicao em Zm pondo a, b Zm

a+ b := a+ b e a b = a bEssas operaes esto bem definidas em razo da compatibilidade da congruncia mdulo

m com + e em Z. Com essas operaes temos as propriedades:1. (Zm,+) um grupo abeliano.

2. (Zm, ) um monide comutativo.3. Valem as leis distributivas da multiplicao sobre a adio.

assim, (Z,+, ) anel comutativo com identidade.Exemplo 1.1Determine o resto da diviso de 1545 por 13.

Soluo. Note que 17 14 mod(13), da172 42 mod(13) 172 3 mod(13)176 1 mod(13)(176)7 17 mod(13)

assim 1745 = 1742 173 12 (mod 13).

11

Aula 12.04.2013

Definio 1.16Dados a, b Z uma equao do tipo ax b (mod m) chamada de congruncia linearmdulo m.

Exemplo 1.22x 8 (mod 6). Observe que x0 = soluo 4 soluo, e x0 = 1 soluo 1 soluo. Assim, no anel Z6 a equao 2x = 2 tem duas solues distintas 1 e 4. J aequao 5x = 2 tem uma nica soluo em Z6.

Proposio 1.17Sejam a, b,m Z, m > 1, a 6 0 (mod m). A congruncia linear ax b (mod m) temsoluo em Z se, e somente se, d = mdc(a,m) divide b. neste caso, se x0 uma soluoento o conjunto soluo S = x0 xd1, onde as classes so tomadas (mod m) exi = x0 + i

m

d, 0 i d 1. Assim, duas solues quaisquer so congruentes mdulo m

d.

Demonstrao. Seja d = mdc(a,m) d = a +m; , Z. Se d | b ento b = db1, b1 Z b = db1 = (a +m)b1 = a(b1) + (b1)m x0 = b1 soluo. Reciprocamente, se acongruncia ax b (mod m) tem uma soluo x0 Z ento m | (ax0 b) ax0 b =m, Z d = mdc(a,m) divide b. Nessas condies, seja x1 uma outra soluo ax1 b ax0 (mod m) m | a(x1 x0) m

d| ad

(x1 x0). Como md

relativamente

primo coma

d, segue-se que

m

ddivide x1 x0 duas solues quaisquer so congruentes

mdulom

d. Se xj = x0 + j

m

d, j Z uma soluo genrica ento, dividindo j por d temos

j = qd + i, o i d 1 xj = x0 + qd md

+ im

d xi (mod m) o conjunto soluo

x0 xd1 classes mdulo m.

Corolrio 1.18Se mdc(a,m) = 1 ento a congruncia linear ax b (mod m) tem uma nica classe desolues mdulo m.

Corolrio 1.19Se p um primo e p - a ento ax b (mod p) tem soluo nica (mod p).

Exemplo 1.34x 10 (mod 6) (em Z6 isso equivale 4x = 4). As solues em Z6 so 1 e 4. A soluoem Z , portanto, 1 4 (mod 6).

12

Exemplo 1.46x 45 (mod 27). Temos 3 = d = mdc(6, 27) | 45 e m

d= 9, portanto as solues so

3, 12, 21. Estas so as trs solues distintas em Z27.

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Grupos

14

Captulo 2

Grupos

Aula 15.04.2013

Introduo teoria de grupos

Definio 2.1Seja G um conjunto no vazio com uma operao binria

: GG G(g, h) 7 g h

Dizemos que (G, ) um grupo (ou, que G um grupo relativamente operao ) se satisfaz as seguintes propriedades:

(i) x, y, z G; (x y) z = x (y z) (associatividade)(ii) e G tal que e x = x = x e, x G (e uma -identidade)(iii) x G existe y G tal que x y = e = y x (y um -inverso de x)

Observao 2.1A -identidade e e o -inverso de um elemento x G so nicos.

Definio 2.2Um grupo (G, ) comutativo (ou abeliano) se x y = y x, x, y G.

Notao.

+e 1 0 - identidadex1 x1 x - inverso de xx y x y (= xy) x+ y

Vamos utilizar a notao multiplicativa e, uma vez fixada a operao sobre G, dizemosfrenquentemente do grupo G em vez de (G, ).

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Definio 2.3 (Potncias inteiras de elementos num grupo (G, ))Dado um elemento arbitrrio x G definimos x0 := 1, x1 := x e, para n 1, xn+1 :=xn x = x xn, xn := (x1)n = (xn)1, n 0.

Proposio 2.4 (Leis dos expoentes)Para todo x G, m,n Z, temos(i) xm+n = xm xn

(ii) (xm)n = xmn

Definio 2.5Indicamos por |G| a cardinalidade do conjunto G e chamamos esse nmero de ordem dogrupo G. Dizemos que G um grupo finito de G finito.

Exemplo 2.1(i) (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+), (Q \ {0}, ) = (Q, ), (R, ), (C, )

(ii) (Zm,+) grupo abeliano, onde a+ b = a+ b. (Zm,+) um grupo cclico gerado por1.

(ii) Seja G um conjunto constitudo pelos smbolos ai, i N com a multiplicao

ai aj :={ai+j se i+ j < mai+jm se i+ j m

Note que existe uma bijeo

: (Zm,+) (G, )i 7 ai

(i+ j) = (i+ j)

= ai+j

= ai aj= (i) (j)

isto diz que os grupos em (ii) e (ii) so isomorfos.(iii) S1 := {z C; |z| = 1} com a multiplicao complexa (grupo da circunferncia).(iv) Cn =

{cos

2kpi

n+ i sen

2kpi

n; 0 k n 1

}(razes n-simas complexas da uni-

dade), com a multiplicao complexa.

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Cn um grupo cclico, de ordem n, gerado por = cos2pi

n+ i sen

2pi

n. Um gerador

qualquer de Cn denominado de raiz n-sima primitiva da unidade. Uma raiz n-simaw de 1 em C primitiva se w 6= 1, wn = 1, mas wk 6= 1 se 0 < k < n. A raizk = cos

2kpi

n+ i sen

2kpi

nser primitiva se, e somente se, mdc(k, n) = 1. De fato, como

mdc(k, n) = 1 se, e somente se, existem r, s Z, tais que kr + ns = 1 pkr + pns = p.Assim, dada uma potncia p, temos

p = pkr+pns

= (k)pr(n)ps

= (k)pr 1ps= (k)pr

Logo, dado k uma raiz primitiva.Assim, o nmero de razes n-simas primitivas igual ao nmero de inteiros positivos k,

menores do que n, relativamente primos com n. Esse nmero indicado por (n) (funode Euler).

A funo possui as seguintes propriedades:

(p) = p 1, se p primo(p) = (p 1)p1 1(m n) = (m) (n) se mdc(m,n) = 1

Portanto se n = p11 prr , pis so primos distintos, ento(n) = (p1 1)p111 (pr 1)pr1r

= p11

(1 1

p1

) prr

(1 1

pr

)= n

(1 1

p1

) (

1 1pr

)= n

ri=1

(1 1

pi

)Em (Zn,+) = {0, 1, . . . , n 1}, k gerador se toda classe a mltiplo de k 1 , em

particular, mltiplo de a.

k = 1 k 1 (mod m) (2.1) k 1 = un u Z k + un = 1 mdc(k, n) = 1

(2.1) equivale a dizer que k invertvel mod n, pois k = 1 em Zn.Conclumos tambm com isso que os inteiros positivos, menores do que n e relativamente

primos com n so, precisamente, os representantes das classes dos elementos de Zn invertveispara a multiplicao.

(v) O conjunto U(Zn) das unidades de Zn (elementos invertveis para a multiplicaoem Zn) um grupo abeliano das unidades do anel Zn; U(Zn) tem ordem (n).

17

(vii) Rotaes no plano. Se um ngulo 0 2pi podemos considerar a rotao por esse ngulo em torno da origem do plano R2.

(~e1) = (cos , sen ) e (~e2) = ( sen , cos )

logo

[] =

[cos sen sen cos

]

18

Aula 17.04.2013Notao. Para um grupo cclico abstrato de ordem n

Cn = x | xn = 1 = {1, x, . . . , xn1}(vii) Seja p um primo e

Zp = {z C | zpn

= 1, para algum n N} um grupo abeliano sob a multiplicao complexa.

(viii) V4 ={[

1 00 1

],

[ 1 00 1

],

[ 1 00 1

],

[1 00 1

]}sob a multiplicao de ma-

trizes.(ix) GLn(C) = {(aij)nn | aij C, det(aij)nn 6= 0}.Se A = (aij), B = (bij) GLn(C), ento det(AB) 6= 0.GLn(C) um grupo sob a multiplicao de matrizes, chamado o grupo linear geral, de

grau n, sobre C. Exemplo: GLn(Zp) com p primo = GLn(p) = GL(n, p).

GL2(Z2) ={I2,

[1 01 1

],

[0 11 0

],

[1 10 1

],

[0 11 1

],

[1 11 0

]} |GL2(Z2)| = 6

Clculo da ordem de GLn(Zp).Temos que V = Znp = Zp Zp um espao vetorial sobre F = Zp. Uma base de

V constituda por n vetores LI.

= {v1, . . . , vn}A = (aij)nn GLn(Zp) {Av1, . . . , Avn} tambm base de V . Portanto, fixada umabase de V , o nmero de matrizes invertveis em GLn(F ) igual ao nmero de bases quese obtm como imagem de por matrizes em GLn(F ). Ou equivalentemente, |GLn(F )| onmero de distintas bases de V . Temos

pn 1 possibilidades para escolher o vetor v1pn p possibilidades para escolher o vetor v2 (independente de v1)pn p2 possibilidades para escolher o vetor v3...

pn pn1 possibilidades para escolher o vetor vnPortanto, |GLn(Zp)| = (pn 1)(pnp) (pn pn1).

No caso p = 2, n = 2. Observe que GLn(F ) um grupo no abeliano se n 2.|GL2(Z2)| = (22 1)(22 2) = 3 2 = 6

(x) SLn(F ) = {(aij)nn | det(aij) = 1} um grupo sob a multiplicao de matrizes(especial linear). A funo det : GLn(F ) F = F \ {0} sobrejetiva, pois F , amatriz

A =

0 00 1 0...

... . . ....

0 0 1

19

tem det(A) = e |SLn(F )| = |GLn(F )||F | 1 .(xi) Grupos de permutaes de X 6= . Sim(X) indica o conjunto de todas as bijees

: X X com a operao de composio de bijees. Se |X| = n ento escrevemos Snpara indicar Sim(X). Neste caso, |Sn| = n!. Em geral consideramos X = {1, 2, . . . , n}

=

(1 i n

(1) (i) (n))

Se , Sim(X) ento (x) = ((x)), x X. Para n = 3 temos

S3 =

{I =

(1 2 31 2 3

),

(1 2 32 1 3

),

(1 2 33 2 1

),

(1 2 31 3 2

),

(1 2 32 3 1

),

(1 2 33 1 2

)}(

1 2 32 1 3

)(1 2 33 2 1

)=

(1 2 33 1 2

).

Sinal de uma permutao :

sgn() =

1i

mpar. Portanto, se qualquer permutao do Sn, par mpar e mpar par. Segue que existe uma correspondncia biunvoca entre o conjunto An, daspermutaes, e o conjunto An = { | An}, das permutaes mpares. ComoSnAn An , temos que |An| = |Sn|

2=n!

2.

A3 =

{I,

(1 2 32 3 1

),

(1 2 33 1 2

)}Note que se n > 2 ento Sn no abeliano.(

1 2 32 1 3

)(1 2 33 2 1

)=

(1 2 33 1 2

)(

1 2 33 2 1

)(1 2 32 1 3

)=

(1 2 32 3 1

)(xii) Seja M um espeo mtrico

d : M M R(x, y) 7 d(x, y)

(i) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y(ii) d(x, y) = d(y, x)

(iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z)

Definio 2.7Uma bijeo : M M dita uma isometria de M se d((x), (y)) = d(x, y), x, y M .

Claro queId : M M

x 7 x uma isometria.

, isometrias isometria e 1 isometria. Portanto o conjunto Cong(M) (ouIsom(M)), grupo sob a composio de isometrias.Exemplo 2.2(M,d) = E2

Alguns tipos de isometrias:1) Translao por um vetor v

2) Rotao por um ngulo

3) Reflexo numa reta fixada rExerccio 2.2Provar que toda isometria de E2 uma composio entre 1), 2) e 3).

Se C M ento uma simetria de C qualquer isometria deM que deixa C invariante,isto , (C) = {(x) | x C} = C.

O grupo de simetrias de um polgono regular chamado de grupo diedral, e indicadopor Dn, possui ordem 2n.

21

Aula 19.04.2013Observao 2.2Se e sao reflexes do plano E2 em retas concorrentes r e s, respectivamente, as quaisformam entre si um ngulo , ento a composta uma rotao por um ngulo 2 emtorno da interseco r s = 0.Observao 2.3Se uma reflexo a rotao por

2pi

n, ento

Dn = {I, , 2, . . . , n1, , , 2, . . . , n1}indicamos Dn por

Dn =, | n = I, 2 = I, = 1

Dn tambm pode ser descrito por permutaes dos n vrtices de Pn.Tambm,

Dn =, | n = I = 2, ()n = I

Observao 2.4O grupo dos quatrnios.

Q3 = {1,1, i,i, j,j, k,k}

i

j

+ //

22

k

]]

ff

Q3 =a, b | a4 = 1, a2 = b2, ab = b1a

Subgrupos

Definio 2.8Seja G um grupo. Um subconjunto no vazio H G dito ser um subgrupo de G se

(i) HH

: H H H (H fechado para ).

(ii)(H,

HH

) um grupo.

Proposio 2.9Um subconjunto H G um subgrupo de G se, e somente se,(i) H 6= (ii) a, b H, ab1 H

22

Exemplo 2.3G = (Z,+). H = mZ, m 1. Todo subgrupo de Z dessa forma.

Exemplo 2.4As rotaes do plano E2 um subgrupo de Isom(E2).

Exemplo 2.5{e} e o prprio G so subgrupos de G.

Exemplo 2.6As rotaes de Dn formam um subgrupo de Dn.

Exemplo 2.7Em qualquer grupo G, as potncias inteiras de dado elemento g formam um subgrupo deG, o subgrupo cclico gerado por g

g = {gn | n Z}

A ordem do subgrupo g chamada a ordem de g (ou perodo de g), O(g). Esta ordem o menor natural positivo tal que gn = 1, caso exista algum. Caso contrrio, g tem ordeminfinita (a ordem de 1G 1).

O grupo G dito peridico se todo elemento de G em ordem finita.Se as ordens dos elementos so limitadas ento dizemos que G tem expoente finito.O expoente de um grupo G o menor inteiro positivo exp(G) tal que

gexp(G) = 1, g GExemplo 2.8G = D4, ento exp(G) = 4.

G = D3 = S3, ento exp(G) = 6.

Notao. H G: H subgrupo de GH < G ou H G (H subgrupo prprio).

Exemplo 2.9O grupo alternado An subgrupo de Sn.

Exemplo 2.10SLn(F ) subgrupo de GLn(F ).

Proposio 2.10Se {Hi}iI qualquer famlia de subgrupos de um grupo G, ento

iIHi

tambm subgrupo de G.

23

Aula 22.04.2013

Definio 2.11 (Subgrupo gerado por um subconjunto)Sejam G um grupo e X G. U subgrupo de G gerado por X, indicado por X, , pordefinio a interseco de todos os subgrupos de G, que contm X, X =

XHG

H.

Se X = {x1, . . . , xn} um conjunto finito ento indicamos X = x1, . . . , xn. SeX = {x}, conjunto unitrio, temos X = x subgrupo cclico gerado por x. Neste caso,x = {xn | n Z} = {x1 x1

r

, r 0} onde r = 0 interpretado como sendo 1G.

Se X um conjunto qualquer, X = {x11 , x12 x1r | xi X, r 0} = K umsubgrupo, e contm X

XHG

H K. Por outro lado, se H contm X, ento H todas

as palavras da forma x11 , x12 x1r , r 0 K

XHG

H, portanto K =

XHGH.

Caso particular. Se H,K G, ento H,K = H K.

H,K

H K

H KNote que, pela definio, X o menor subgrupo de G que contm X. S (G) = {H | H G} parcialmente ordenado por incluso. Todo conjunto binrio {H,K} de S tem supremo e nfimo. {1G} H G.

portanto S um reticulado completo.

24

Exemplo 2.11G = (Z30,+)

1

2 3

5

6

10

15

0Exemplo 2.12G = S3

S3 =

I =(

1 2 31 2 3

),

(1 2 32 1 3

)

a

,

(1 2 33 2 1

)

b

,

(1 2 31 3 2

)

c

,

(1 2 32 3 1

),

(1 2 33 1 2

)S3

A3

3 a b c

{I}

2 2

2

Classes laterais e o Teorema de Lagrange

SejamG um grupo eH G. Definimos uma relaoH emG, quando x, y G, x Hy x1y H. Temos que H uma relao de equivalncia sobre G. (Analogamentepodemos considerar H , quando x H y xy1 H ). As classes de equivalncia darelao H so as classes laterais esquerda de H em G,

x = {xh | h H}De fato, x H y x1y H h H tal que x1y = h y = xh xH.

Para cada x G fixo, porm arbitrrio, a funo : H xH

h 7 xh

25

define uma bijeo entre H e xH. Portanto, cada classe lateral xH tem a mesma cardi-nalidade que H. (Analogamente para as classes laterais direita Hx, correspondente relao H ). Um transversal esquerda (respectivamente direita) de H em G , pordefinio, um conjunto constitudo por exatamente um representante de cada classe lateral esquerda (respectivamente, direita) de H em G. Se T um tal transversal, ento |T | a cardinalidade do conjunto quociente G/ H (vamos indicar esse quociente por G/H).Essa cardinalidade conhecida como o ndice de H em G e indicado por [G : H].

Proposio 2.12Se T um transversal esquerda de para H em G ento T1 = {t1 | t T} umtransversal direitade H em G.

Proposio 2.13Seja K H G. Se T um transversal esquerda de H em G e U um transversal esquerda de K em H ento

TU = {tu | t T, u U}

um transversal esquerda de K em G.

Demonstrao. Temos G =tT

tH e H =uU

uK, onde essas unies so disjuntas. Logo

G =tTuU

tuK (2.2)

Temos de provar que (2.2) uma unio disjunta. Assim, se t1u1K = t2u2K ento, comou1K H e u2K H, temos t1 H t2 t1 = t2 (pois T transversal esquerda de H emG) t1u1K =t2u2K u1K = u2K u1 = u2 (pois U transversal esquerda de K emH), logo (2.2) uma unio disjunta. Consequentemente, TU transversal esquerda de Kem G.

Agora, se [H : K] = |U | e [G : H] = |T | so finitos, ento [G : K] = |TU | = |T | |U | finito e vale:

Teorema 2.14Nas hipteses acima,

[G : K] = [G : H] [H : K]

26

Corolrio 2.15 (Teorema de Lagrange)Se G um grupo finito e H G, ento

|G| = [G : H] |H|

Em particular |H| divide |G| e |G/H| = |G||H| .

Corolrio 2.16Se G um grupo finito, ento | x | = O(x) divide |G|, x G.

Corolrio 2.17Se G finito de ordem prima, ento G cclico, gerado por qualquer um de seus elementosdiferentes de 1G.

Observao 2.5Se G um grupo cclico de ordem n, ento G tem exatamente 1 subgrupo (cclico) de ordemd, para cada d divisor de n.

Observao 2.6A4 no contm subgrupo de ordem 6, embora 6 | 12 = |A4|. Assim, a recproca to Teoremade Lagrange no vlida.

Corolrio 2.18 (Teorema de Euler)Sejam a, n inteiros, n 2, a 6= 0. Se mdc(a, n) = 1, ento a(n) 1 (mod n). Emparticular se p primo e p - a ento

ap1 1 (mod p) (Fermat)

Demonstrao. Faa G = U(n) = U(Zn) = {a Zn | mdc(a, n) = 1} |G| = (n). Logo, a G, O(a) | (n), isto

(a)(n) = 1 a(n) 1 (mod n)

Subgrupos normais

27

Definio 2.19Um subgrupo N G normal em G se xN = Nx, x G, equivalentemente xNx1 =N, x G.

Observao 2.7Basta exigir que xNx1 N, x G.

Se N subgrupo normal de G, ento escrevemos N E G. Neste caso, os conjuntosquocientes G/ H e G/H coincidem e, assim, escrevemos G

Npara indicar o conjunto

quociente.

Proposio 2.20Se N E G, ento a multiplicao de G induz uma multiplicao em G

N:

xN yN := xyN, x, y G

que tornaG

Num grupo, chamado o grupo quociente de G por N .

28

Aula 24.04.2013

Sejam G um grupo, N E G e GN

= {xN | x G} o seu grupo quociente. Vamosverificar que a operao

xN yN = xyN (2.3)

define uma multiplicao emG

N, ou seja, que o resultado dessa operao independe dos

particulares representantes que escolhemos em cada classe.Sejam x = xh, y = yk, h, k N , logo

xy = xhyk = xy y1hy hNEG

k = xyhk xyN

A multiplicao (2.3) est bem definida. Alm disso,G

N um grupo com essa operao.

Se G finito, entoGN = |G||N | (pelo Teorema de Lagrange).

Exemplo 2.13G = S3, N = A3.

[S3 : A3] = 2 A3 normal (todo grupo de ndice 2 normal).S3A3

=

{1,

(1 2 32 1 3

)}Exemplo 2.14G = D4 =

, | 4 = 2 = I, = 1

N =2

= {I, 2} E D4 (este o centro Z(D4)).D42 = {I , , , }

I = {I, 2} = N = {, 3} = N = {, 2 = 2} = N = {, 3 = 1} = N

D42

= V4 (grupo de Klein)

Exemplo 2.15(R,+) abeliano todo subgrupo normal. Seja N = (Z,+) (R,+), assim

(RZ,+

)= S1.

A funo

exp :RZ S1

t 7 e2tpii isomorfismo.

Seja H =QZ RZ

em

n,r

s QZ, logo(m

n

)+(rs

)=

(ms+ nr

ns

)QZ

um grupo peridico, mas no tem expoente finito.

29

Note que H =an/d

tem ordem d, para d divisor de n. Em geral ak, 0 k n 1,

tem ordem n/d, onde d = mdc(k, n).

(ak)n/d = (an)k/d = 1

Observao 2.8n =

d|n

(d).

Exemplo 2.16n = 12.

12 = (1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (12)

= 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4

Proposio 2.21Se G um grupo abeliano de ordem n no qual a equao xk = 1 tem no mximo k soluesem G, para cada k N, ento G cclico.

Demonstrao. Se G tem um elemento de ordem d (divisor de n), ento G tem um subgrupocclico de ordem d e, assim, como todo elemento desse subgrupo satisfaz a equao xd = 1,esse subgrupo o nico dessa ordem. Portanto, G tem no mximo um subgrupo de ordemd, para cada d | n. Separando os elementos de G segundo as suas ordens, temos

n =

(d), d | n

e existe um subgrupo cclico de ordem d. Portanto, como n =d|n

(d), conclumos que

existe um subgrupo cclico de ordem n G cclico.

Corolrio 2.22O grupo multiplicativo F = F \ {0} de um corpo finito um grupo cclico.

Demonstrao. Segue da proposio anterior uma vez que num corpo a equao xk = 1tem no mximo k solues, k N.Observao 2.9Se H e K so subgrupos de um grupo G, com um deles normal(digamos K) em G, ento

HK = H,K = KH

Neste caso, se H K = {1G}, ento dizemos que H complemento para K em HK.

30

Exemplo 2.17Sejam S3 = G, K = A3 e

H =

I,

(1 2 32 1 3

)logo KH = G, H K = {1} H complemento para K em G. Temos tambm que

H2 =

(1 2 33 2 1

) um outro complemento para K em G.

Conjugao num grupo

Definio 2.23Se G um grupo e x, y G, o conjugado de y por x o elemento xy = xyx1 (usa-se yxpara x1yx). Se H um subgrupo de G, ento o conjugado de H por um elemento x

xH := {xhx1 | h H}xH sempre um subgrupo de G. Isto segue das seguintes propriedades de conjugao.

Proposio 2.24Para quaisquer x, y, z G, valem(i) x(yz) = xy xz(ii) 1y = y

(iii) xyz = x(yz)

(iv) xy1 = (xy)1

Note que H normal em G se, e somente se, xH = H, x G (basta que xH H, x G).

Definio 2.25Se H G, ento o normalizador de H em G

NG(H) := {x G |x H = H}

este um subgrupo de G contendo H.

31

Definio 2.26Se X G um subconjunto (no vazio), ento o centralizador de X em G

CG(X) := {g G | gx = xg, x X}

ou, equivalentemente

CG(X) := {g G | g = xg, x X}

CG(X) sempre um subgrupo de G. Se X = {x}, escrevemos CG(x).

Observao 2.10Conjugao em G um relao de equivalncia: dois elementos g, h G so conjugados emG se existe x G tal que xg = h. Analogamente, dizemos que dois subgrupos H,K Gso conjugados em G se existe x G tal que xH = K.

As classes de equivalncia dessas relaes so respectivamente, as classes de conjugaode um elemento ou de um subgrupo.

C`(g) = {xg | x G}

e

C`(H) = {xH | x G}

Proposio 2.27Sejam G um grupo, g G e H G. Existe uma sobrejeo

: G C`(g)x 7 xg

Temos

xg = yg xgx1 = ygy1 y1xgx1y = g gx1y = x1yg x1y CG(g) y xCG(g)

logo

|C`(g)| = |G||CG(g)| = [G : CG(g)]

32

Analogamente,

: G C`(H)x 7 xH

xH = yH x1y NG(H) y xNG(H)portanto

[G : NG(H)] = |C`(H)|

33

Aula 26.04.2013G = {1G} C`(g1) C`(gk) (G uma unio disjunta de classes de conjugao).

C`(g) = {xgx1 | x G} = Gg|C`(g)| = 1 xg = gx, x G g Z(G).

Proposio 2.28 (Equao de classes)Se G um grupo finito, ento

|G| = |Z(G)|+

gi /Z(G)[G : CG(gi)] (2.4)

Demonstrao. De fato, |G| =ki=1

|C`(gi)|.

Definio 2.29Sejam G um grupo e p um primo. Dizemos que G um p-grupo se todo elemento de Gtem ordem potncia de p. Um grupo finito G um p-grupo se, e somente se, |G| = pn,para algum n 0.

Proposio 2.30Se G um p-grupo finito, ento |Z(G)| > 1.

Demonstrao. Na equao de classes (2.4) p | [G : CG(gi)] para cada gi / Z(G). E comop | |G|, segue-se que p | |Z(G)|.Exemplo 2.18G = D4 = {, | 4 = 1 = 2, = 1}.C`() = {, } = {, 1}. Qual a classe de 2?

(2) = 2 = (2) = 2 2 Z(D4)Logo, C`(2) = {2}. Qual a classe de ?

= 1 = 11 = 2

Logo, C`() = {, 2}. Assim,D4 = {1, 2, , 1

C`()

, , 2 C`()

, , 1 C`()

}

34

Observao 2.11Um subgrupo N G normal em G se, e somente se, N a unio de classes completas deconjugao em G. De fato, N E G g N, x G, xg N C`(g) N .

G =gGC`(g) N = N G =

gG

N C`(g)

Q32

22

i

2

j2

k

2

12

{1}

O conceito de conjugao est intimamente relacionado ao conceito de subgrupo normal.

Homomorfismos

Definio 2.31Sejam (G, ) e (H, ) grupos. Uma aplicao : G H um homomorfismo do grupo(G, ) no grupo (H, ) se

(g1 g2) = (g1) (g2), g1, g2 G

Proposio 2.32Se : (G, ) (H, ) um homomorfismo de grupos, ento(i) (1G) = 1H

(ii) (g1) = (g)1

(iii) K G (K) (G)(iv) se sobrejetiva, ento N E G (N) E H.

Demonstrao. (iv) Sendo sobrejetiva, h H, g G tal que (g) = h. Ento, x N, gxg1 N (gxg1) = (g)(x)(g)1 h(x)h1 (N) (N) E H.

35

Definio 2.33Seja : (G, ) (H, ) um homomorfismo.(i) epimorfismo se sobre.

(ii) monomorfismo se injetiva.

(iii) isomorfismo se bijeo.

(iv) endomorfismo se (G, ) = (H, ).(v) automorfismo se (G, ) = (H, ) e isomorfismo.

Exemplo 2.19Se G qualquer grupo e N E G ento a aplicao quociente q : G G

N, q(g) = g = gN

um epimorfismo (isto segue da prpria definio de multiplicao de classes emG

N).

Exemplo 2.20

: (Z,+) (Q,+)n 7 n

1

monomorfismo.

Exemplo 2.21

exp :

(RZ,+

) (S1, )

t 7 e2tpii

isomorfismo.

Exemplo 2.22

exp : (R,+) (S1, )t 7 e2tpii

epimorfismo.

Definio 2.34Se : G H um homomorfismo de grupos, ento o ncleo de definido como sendo

Nuc() = {g G | (g) = 1H}

36

Proposio 2.35Nuc() sempre um subgrupo normal de G, Nuc() E G.

Assim, se : G H um homomorfismo, ento g1, g2 G tm a mesma imagem emH se, e somente se, g1 Nuc() = g2 Nuc() g11 g2 = x Nuc().

Teorema 2.36 (1o Teorema do Homomorfismo)Se : G H homomorfismo de grupos, ento induz um isomorfismo

:G

Nuc() Im H

Demonstrao.

G // //

q

Im() H

G

N

AA

Defina

:G

N Im()

g 7 (g)Vamos provar primeiramente que est bem definida e injetiva.

(g1) = (g2) (g1) = (g2) g1N = g2N g1 = g2Claramente,

(g1 g2) = (g1g2) = (g1g2) = (g1)(g2) = (g1) (g2)Como Im() = Im(), segue-se que isomorfismo.

O Teorema (2.36) importante pois ele nos diz precisamente que tipos de grupos devemser esperados como imagens homomorfas de um dado grupo. Eles devem ser escritos

na formaG

Konde K um subgrupo normal em G. Mas como a aplicao quociente

sobrejetiva, para todo subgrupo normal N de G,G

N uma imagem homomorfa de G. Assim

existe uma correspondncia bijetiva entre imagens homomorfas de G e subgrupos normaisde G. Se quisssemos encontrar todas as imagens homomorfas de G, poderamos faze-losem deixar G da seguinte maneira: encontrar todos os subgrupos normais de G e construir

todos os gruposG

N. O conjunto dos grupos assim construdos produz todas as imagens

homomorfas de G (a menos de isomorfismo).

37

Proposio 2.37Sejam G e H dois subgrupos, a G e b H.a) Se O s ento ars = e e assim n | (r s). Como O(b) | n e n | (r s) entoO(b) | (r s) e da brs = eH ou seja

f(ar) = br = bs = f(as)

Depois disso fcil ver que f homomorfismo.b) Temos O(a) = . Defina f : a H; f(a) = b e f(ar) = br, r Z. Como

O(a) =, temosar = as a(rs) = e r s = 0 r = s

Logo f est bem definida e homomorfismo. Suponha g : a H com g(a) = b e ghomomorfismo e vale g(ar) = g(a)r = br = f(ar). Logo f = g.

Exemplo 2.23Sejam G =

Z8Z

= 1 e H = Z10Z

. Ache todos os homomorfismos f : G H.O(1) = 8, os elementos de H suja ordem divide 8 so 0 e 5. Ento os homomorfismos

so

f1 : G H1 7 0 e

f2 : G H1 7 5

Proposio 2.38Sejam G = a um grupo cclico e f : G G um homomorfismo de grupos. Entof Aut(G) G = f(a).

38

Demonstrao. () Temos que f Aut(G). Seja g = ak G. Como f sobrejetiva, x = am G tal que f(x) = g ou seja f(am) = f(a)m = g g f(a) e da G = f(a).

() Temos G = f(a).1o Caso: |G|

Aula 29.04.2013Exemplo 2.24

log10 : (R++, ) (R,+)x 7 log10 x

isomorfismo.

Exemplo 2.25

det : GLn(F ) (F , )A = (aij)nm 7 detA

isomorfismo cujo ncleo SLn(F ) = {A GLn(F ) | det(A) = 1} GLn(F )SLn(F )

= F =F \ {0}.Exemplo 2.26

sgn : Sn {1, 1} 7 sgn()

um epimorfismo, cujo ncleo o grupo alternado An SnAn= C2.

Teorema 2.39 (Teorema da Correspondncia)Se N um subgrupo normal de um grupo G, ento existe uma correspondncia biunvocaentre o sub-reticulado dos subgrupos de G contendo N e o reticulado dos subgrupos deG

N. Nessa correspondncia, subgrupos normais correspondem a subgrupos normais.

GG

N

K H H K = q(K)

N 1

{1}

Essa correspondncia obtida por: H G ento, H = q(H) = {xN | x H} = HNN

.

40

(G) = {N G | N E G} S (G)

MN

N M (ambos normais em G)

M N (normal em G)

(G) um sub-reticulado dos subgrupos normais de G.

Exemplo 2.27G = Q3 e N = {1}.

Q3 // Q3

i j k i j k1 // 1

{1}

Automorfismos

Definio 2.40Aut(G) indica o grupo de todos os automorfismos de um grupo G, sob a composio deautomorfismos.

Se G = x ento um automorfismo Aut(G) fica determinado se conhecermos osseus valores nos elementos de x.

Exemplo 2.28G = (Z,+) = 1 = 1. Um automorfismo de (Z,+) fica determinado por seu valor nointeiro 1.

(1) = 1 = Id(1) = 1 = Id : x x, x Z

Aut(Z) = C2.

41

Exemplo 2.29Grupo dos automorfismos de alguns grupos cclicos.

G = C2 Aut(C2) = {Id}G = C3 Aut(C3) = C2

G = C4 =a | a4 = 1, possui como geradores a e a3 = a1, logo Aut(G) = C2. J

G = C5 =a | a5 = 1 possui 4 automorfismos.

Id : a a2 : a a23 : a a3 = a24 : a a4 = a1

22 : a27 a2 27 2(a2) = (a2)2 = a4 = a1

Logo O(2) = 4 no grupo Aut(C5) Aut(C5) = C4.O grupo G = C8 =

a | a8 = 1, possui como geradores: a, a3, a3, a1.

: a 7 a32 : a

7 a3 7 (a3)3 = a9 = a : a 7 a3 2 : a

7 a3 7 (a3)3 = a

Portanto Aut(G) = C2 C2 (Grupo de Klein).

Teorema 2.41Se G = Cn = a | an = 1, ento Aut(G) = U(n).

Demonstrao. Um automorfismo de Cn fica determinado pela imagem do gerador a. Paracada k U(n), temos um automorfismo k : a 7 ak temos

: U(n) Aut(Cn)k 7 k :Cn Cna 7 ak

est bem definida pois O(a) = n (k = l k l (mod n) ak = al). homomorfismo.

(k l) = (kl) = kl : a 7 akl = (al)k = k(al) = k l(a)

(k l) = (k)(l). Como um automorfismo leva gerador em gerador, |Aut(Cn)| =(n) = |U(n)| bijetor e, assim, isomorfismo.

42

Teorema 2.42(i) Aut(C2m) =

{1} se m = 1C2 se m = 2C2 C2m2 se m 3

(ii) Aut(Cpm) = C(p1)pm1 se p um nmero par.

Definio 2.43Sejam H,K grupos (multiplicativos). No produto cartesiano H K definimos a multipli-cao

(h1, k1) (h2, k2) := (h1h2, k1k2)

Com essa operao (H K, ) um grupo chamado o produto direto externo de H eK.

1HK = (1H , 1K), (h, k)1 = (h1, k1)

Associatividade segue da mesma propriedade em cada componente.

A mesma definio se estende para o produto direto de um nmero finito de gruposH1, . . . , Hr.

Observao 2.12Se G = (H K, ) ento podemos considerar os subgrupos H, K G definidos porH = H {1K} = {(h, 1K) | h H} e K = {1H} K = {(1H , K) | k K}.

Temos:

(i) H, K E G

(ii) H K = {1G}(iii) HK = G

(h, 1K) (1H , k) = (h, k)Quando um grupo G satisfaz as condies (i), (ii) e (iii) acima, dizemos que G o produtodireto interno de H e K.

Teorema 2.44Sejam H e K grupos finitos de ordem relativamente primas. Ento neste caso Aut(H K) = Aut(H) Aut(K).

43

Demonstrao. Seja Aut(H K), onde H = H = H {1K}, K = K = {1H} K eH K = H K = G(produto direto interno de H e K). Defina

: Aut(H K) Aut(H) Aut(K) 7 (

H , K)

Vemos que

H : H

HK : K

K

por questes de ordem.Por outro lado dado um par de automorfismos (, ) Aut(H) Aut(K), seja

(, ) : H K H K(h, k) 7 ((h), (k))

Isto define um automorfismo de H K de modo que essa restrio inversa de . Portanto um isomorfismo.

44

Aula 03.05.2013Observao 2.13V = Z2Z2 pode ser visto como um espao vetorial (de dimenso 2) sobre Z2 Aut(V ) =GL2(Z2) = S3Exerccio 2.3Num grupo finito G:

1. Se O(x) = 2, O(y) = p e xyx1 = yk, 1 k p 1 determine os valores de k.2. Se O(x) = 2, O(y) = 2n, n 2 e xyx1 = yk, 1 k 2n 1 determine os valores

de k.

3. Se O(x) = 3, O(y) = 7 e xyx1 = yk, 1 k 6 determine os valores de k.4. Se O(x) = p, O(y) = q, p < q e xyx1 = yk, 1 k q 1 estudar a relao entre p

e q.

Soluo. Primeiramente, vamos provar que se xyx1 = yk xynx1 = ykn. Usandoinduo, temos que para n = 1 a relao verdadeira j que a prpria hiptese. Supondoa relao vlida para todos os naturais menores do que n, devemos provar que a relao vlida para n. Assim

xynx1 = xyn1yx1 = (xyn1x1)(xyx1) HI= yk(n1)yk = ykn

Usando a relao xynx1 = ykn vamos provar que xnyxn = ykn

. Por induo, a relao vlida para n = 1, por hiptese. Supondo a relao vlida para todos os naturais menoresdo que n, devemos provar que a relao vlida para n. Assim

xnyxn = x(xn1yx(n1))x1

HI= xyk

n1x1

= (ykn1

)k usando a relao anteriormente provada

= ykn

Ento provamos que se xyx1 = yk, ento

xnyxn = ykn

(2.5)

Agora podemos aplicar este resultado aos exerccios acima.1. Fazendo n = 2 em (2.5), temos x2yx2 = yk

2 1 y 1 = yk2 yk21 = 1, comoO(y) = p, temos p | (k2 1) k2 1 (mod p).

2. Fazendo n = 2 em (2.5), da questo anterior temos yk21 = 1 O(y) | (k2 1)

k2 1 (mod 2n)3. Fazendo n = 3 em (2.5), temos x3yx3 = yk

3 yk31 = 1 7 | k3 1 k3 1(mod 7). Testando os valores de k, encontramos k = 1, 2, 4.

4. Fazendo x = p em (2.5), temos xpyxp = ykp y = ykp ykp1 = 1 O(y) |

(kp 1) q | (kp 1) kp 1 (mod q).Assim, observamos que se xyx1 = yk kO(x) 1 (mod O(y))

45

Exerccio 2.41. Verificar que Aut(S3) = S3.2. Verificar que Aut(Q3) = S3.3. Calcular Aut(D4).

Soluo. 1. Sabemos que S3 = , = {Id, , , 2, , 2}, onde

=

(1 2 32 1 3

)e =

(1 2 32 3 1

)e O() = O() = O(2) = 2 e O() = O(2) = 3. Sabemos tambm que umautomorfismo deve levar elementos em elementos de mesma ordem, ento para temos 3possibilidades de imagem e para temos 2 possibilidades de imagem, assim os automorfismodeS3 so

Id : 7 , 7 1 : 7 , 7 2 : 7 2, 7 3 : 7 , 7 2 4 : 7 2, 7 2 5 : 7 , 7 2

Vamos calcular a ordem de cada automorfismo:

Para 1

17 17 = 2 17 2 = 3 =

Para 2

27 2 27 22 = 4 = 27 2 =

Para 3

37 37 2 = 3 =

37 2 37 4 =

Para 4

47 2 47 24 = 6 =

37 2 37 4 =

Para 5

57 2 57 4 =

Logo O(1) = O(2) = 3 e O(3) = O(4) = O(5) = 2. Segue que S3 = Aut(S3).

46

Automorfismos de grupos cclicos

Seja

G = x | xn = 1 = Cn,onde n = p11 prr , pi : primos distintos. Faa mi =

n

pii, i = 1, . . . , r. Assim xi = xmi

possui O(xi) = pii Hi = xi = Cpii , Hi E G. Note que Hi (j 6=i

Hj

)= {1} e

G =ri=1

Hi. Portanto

G = Cp11 Cprr (= H1 Hr)Observe que x1 xr = y um elemento de ordem n em G. Assim

Aut(Cn) = Aut(Cp11 ) Aut(Cprr )Exemplo 2.30Aut(C20) = Aut(C4) Aut(C5) = C2 C4.

Corolrio 2.45Se m e n so inteiros relativamente primos e positivos, ento

U(m n) = U(m) U(n)

Em particular, (mn) = (m)(n).

Demonstrao. Sabemos que U(mn) = Aut(Cmn), e pelo Teorema (2.44) Aut(Cmn) =Aut(Cm) Aut(Cn) = U(m) U(n) U(mn) = U(m) U(n)Observao 2.14Alguns autores usam a notao Zm para indicar U(m).

Inn(G) = {x | x G} onde x indica a conjugao por x:x : G G

g 7 xg = xgx1A funo x denominada o automorfismo interno induzido por x. Frequentementeusa-se a notao Ix ou Ix para x.

: G Inn(G)x 7 x

homomorfismo cujo ncleo o centro Z(G). PortantoG

Z(G)= Inn(G). Alm disso

Inn(G) E Aut(G).

x1 = (x), x G, Aut(G)

O grupo quocienteAut(G)

Inn(G) chamado o grupo dos automorfismos externos de G, indicado

por Out(G).

47

Observao 2.15Dizer que um subgrupo N G normal em G, equivale a dizer que x(N) = N , para todox G, ou seja, que N invariante pelos automorfismo internos de G.

Quando um subgrupo N G invariante por todos os automorfismos de G, entodizemos que N caracterstico em G.

N carG (N) = N, Aut(G)

Definio 2.46Dizemos que um grupo G produto semidireto de H por K (nesta ordem) se

1. H E G, K G;2. H K = {1G};3. HK = G.

Exemplo 2.31Todo produto direto , trivialmente, sempre produto semidireto.

Exemplo 2.32G = S3, H = A3, K =

(1 2 32 1 3

)1. A3 E S3, K S3.2. A3K = S3.

3. A3 K = {1}.Exemplo 2.33Dn, m 3 um produto semidireto do subgrupo das rotaes por um grupo de ordem 2gerado por uma reflexo.

Dn =, | n = 1 = 2, = 1

1. E Dn, Dn.2. = 13. = Dn.

Exemplo 2.34Q3 no produto semidireto.

Note que se G produto semidireto de seus subgrupos N E G e K G ento GN= K.

Com efeito, pelo 2o Teorema do Homomorfismo

NK

N= KN K =

K

{1} = K

48

Em geral, dizemos que um grupo G uma extenso de M por K se G contm um

subgrupo normal N = M tal que GN= K. Representamos uma extenso por uma sequncia

(exata) de grupos e homomorfismos

1inj //M //

11// G

sobrepi // // K // 1

Neste caso, 1-1, pi sobrejetiva, eG

Im()= Im(pi). Se N = Im() ento N E G e

G

N= K.

49

Aula 08.05.2013Grupos de permutaes

Seja X 6= , Sim(X) o grupo das permutaes de X.Observao 2.16Se X e Y so conjuntos equivalentes (isto , existe uma bijeo f : X Y ), entoSim(X) = Sim(Y ).

X // X

f

Y

f1OO

Y//f()

De fato, Sim(X), seja f() = f f1. fcil ver que f() Sim(Y ) ef : Sim(X) Sim(Y ) homomorfismo f isomorfismo.

Assim se |X| = n, no perda de generalidade escrever Sn para indicar Sim(X) =Sim({1, . . . , n}).

Definio 2.47Um grupo de permutaes de X , por definio, qualquer subgrupo de Sim(X). Se G um tal grupo, s vezes usamos a notao g x (ou ainda gx) para indicar g(x), a imagemde x pela permutao g. Isso d uma ao de G esquerda de X:

1G x = x, x Xg1g2 x = g1 (g2 x)

Dado G Sim(X), podemos definir uma relao de equivalncia G sobre X pondo:x G y g G tal que g x = y (equivalentemente, g(x) = y). As classes de equivalnciadessa relao so chamadas de G-rbitas.

OrbG(x) := {g x | g G}

Dado um subconjunto X0 X, o G-estabilizador de X0, o conjunto

StabG(X0) := {g G | g x = x, x X0}

Se X0 um conjunto unitrio, X0 = {x}, ento escrevemos StabG(x) para indicarStabG({x}).Exerccio 2.5Verificar que StabG(X) subgrupo de G.

Soluo. Temos 1G StabG(X) pois 1G x = x, x X. Sejam g1, g2 StabG(X), logo x X, g1 x = x, g2 x = x. Mas g2 x = x g12 x = x, assim g1g12 x = g1 (g12 x) =g1 x = x. Segue que StabG(X) G.

50

Exemplo 2.35Seja G = V4 S4 e X = {1, 2, 3, 4}. Assim, StabV4(1) = {Id}.

Exemplo 2.36Seja G = S3. Assim

Stab(1) =

{Id,

(1 2 31 3 2

)}Dizemos que G Sim(X) transitivo sobre X se OrbG(x) = X, x X. Isto ,

x, y X, g G tal que g x = y.

Teorema 2.48 (rbita-Estabilizador)Seja G Sim(X). Para todo x X,

|OrbG(x)| = [G : StabG(x)]

Demonstrao. Seja

f : G OrbG(x)g 7 g x

sobrejetiva, por definio de OrbG(x). Alm disso, f(g) = f(h) g x = h x g1h x = x g1h StabG(x). Portanto f induz uma bijeo f : G

StabG(x) OrbG(x),

isto [G : StabG(x)] = |OrbG(x)|.

Corolrio 2.49Se G transitivo sobre X ento |G| = |X| [G : StabG(x)], x X. Em particular, se|X|

Definio 2.50Se Sn, seja G = . A G-rbita de um ponto i {1, 2, . . . , n} tambm chamadade -rbita.

(i)

""i

??

oo 2(i)

OrbG(i) = {n(i) | n N}

Neste caso, se X1, . . . , Xr so as distintas rbitas de ento X = X1 Xr, ondeesta unio disjunta e Xj = Orb(ij), j = 1, . . . , r. Vamos definir a permutao j =

Xj,

isto

j(x) =

{(x) se x Xjx se x / Xj

Definio 2.51O suporte de uma permutao Sn o conjunto

sup = {x X | (x) 6= x}

Exemplo 2.38Seja =

(1 2 31 3 2

) sup = {2, 3}.

Duas permutaes , so disjuntas se sup sup = .

Proposio 2.52Se e so permutaes disjuntas, ento = .

Demonstrao. Seja i sup (i) = (i), pois i / sup , isto , (i) = i. Observeque (i) sup. De fato, seja j = (i), suponhamos por absurdo que (j) = j, da((i)) = j (i) = 1(j) = i. Contradio, pois i sup (i) 6= i. Como(i) sup, ento (i) / sup , logo (i) = (i).

Voltando nossa permutao , vemos que supj = Xj e, assim, so todos disjuntos,pois Xj so classes de equivalncia, logo

jk = kj, j, k = 1, . . . , rCada j um ciclo de . Usamos a notao cclica para indicar um ciclo:

j =(ij (ij) tj1(ij)

), onde tj = |Xj| = |Orb(ij)

52

Agora, x X = {1, . . . , n}, existe j tal que x Xj. Portanto, (x) = j(x) e i(x) = xse i 6= j. Consequentemente,

= 1 rum produto de ciclos disjuntos. fcil verificar que uma tal decomposio nica, a menosda ordem em que esses ciclos aparecem.

Observao 2.17Na expresso de uma permutao como produto de ciclos disjuntos, em geral omitimosos ciclos de comprimento 1.

Exemplo 2.39(1 2 31 3 2

)= (1)(2 3) = (2 3)

Definio 2.53Um ciclo de comprimento 2 chamado de transposio. Um ciclo de comprimento k chamado de k-ciclo.

Observao 2.18A ordem de um k-ciclo, como elemento do grupo Sn, o seu comprimento k

Proposio 2.54Toda permutao Sn um produto de tranposies. Se um k-ciclo, ento podeser expresso como produto de k 1 transposies.

Demonstrao. Se = (i1, . . . , ik) um k-ciclo, ento podemos escrever.

= (i1 ik) (i1 i2)Consequentemente se uma permutao qualquer, ento escrevendo como produto deciclos disjuntos e decompondo cada um desses ciclos em produto de transposies, temos adecomposio de em produto de transposies.

Exemplo 2.40

=

(1 2 3 4 5 6 7 8 92 5 4 7 6 8 1 9 3

)= (1 2 5 6 8 9 3 4 7)

= (1 7)(1 4)(1 3)(1 9)(1 8)(1 6)(1 5)(1 2)

A decomposio de uma permutao como produto de transposies no nica, mas aparidade da quantidade de transposies se mantm.

Uma permutao par possui uma quantidade par de transposies.Uma permutao mpar possui uma quantidade mpar de transposies.

53

Corolrio 2.55O grupo simtrico Sn gerado pelo conjunto das transposies.

Exemplo 2.41S3 = (1 2), (1 3).

Tambm se |j i| 2, ento

(i j) = (j 1 j)(i j 1)(j 1 j)

Corolrio 2.56Sn gerado pelas transposies da forma (i i+ 1), i = 1, . . . , n 1.

54

Aula 10.05.2013Observao 2.19Se uma permutao par, ento um produto de um nmero par de transposies.Portanto, o grupo alternado An gerado pelas permutaes da forma (a b)(c d). Temos 2possibilidades:

(1) |{a, b, c, d}| = 3. Suponha a = d(a c)(a b) = (a b c)

(a b)(a c) = (a c b) = (a b c)1

(2) |{a, b, c, d}| = 4. Indicamos (a b)(c d) = ( )( ). Para n = 4 as permutaes do tipo( )( ) geram o grupo de Klein.

V4 = {Id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}Se n 5, ento existe e / {a, b, c, d} tal que

(a b c) = (a c)(d e)(d e)(a b)

alm disso,

(a b)(c d) = (a d c)(a b c)

logo provou-se

Proposio 2.57Para n 3, An gerado pelos 3-ciclos.

Observao 2.20An carSn An invariante por todo automorfismo de Sn. Os grupos caractersticospreservam a transitividade.

Classes de conjugao em Sn

Proposio 2.58Duas permutaes , Sn so conjugadas em Sn se, e somente se, , tm a mesmaestrutura cclica (as duas so o produto do mesmo nmero de ciclos e de mesmo compri-mento).

Demonstrao. Para demonstrar esta proposio, vamos apresentar uma regra bastantesimples para calcular a conjugada de uma dada permutao. Suponhamos que Sn levei j. Suponhamos que Sn leve i s e j t; ento 1(s) = (i) = (j) = t.Assim 1 leva s t. Em outras palavras, para determinar 1 substitui-se cadasmbolo em por sua imagem sob . Por exemplo, para determinar 1 onde =

55

(4 7)(1 2 3) e = (3 4 2)(5 6 7); ento, como : 5 5, 6 6, 7 4, 3 1, 4 7, 2 3,1 obtida de substituindo-se, em , 5 por 5, 6 por 6, 7 por 4, 3 por 1, 4 por 7e 2 por 3, de modo que 1 = (1 7 3)(5 6 4). Com este algoritmos para o clculode conjugados torna-se claro que duas permutaes que tm a mesma decomposio emciclos so conjugadas. De fato, se = (a1 a2 . . . an1)(b1 b2 . . . bn2) (x1 x2 . . . xnr) e = (1 2 . . . n1)(1 2 . . . nr) (1 2 . . . nr), ento = 1 onde poderamos usarcomo a permutao(

a1 a2 an1 b1 b2 bn2 x1 x2 xnr1 2 n1 1 2 nr 1 2 nr

)Agora trivial que duas classes conjugadas tm a mesma estrutura cclica, pois, pela nossaregra de calcular uma conjugada, substitui-se cada elemento num dado ciclo por sua imagemsob a permutao de conjugao.Exemplo 2.42(1 2 5)(1 2 3) = (2 5 3).

Exemplo 2.43Seja = (1 2 3) S4.

C`() = {(1 2 3), (1 2 4), (1 3 2), (1 4 2), (2 4 3), (2 3 4), (1 2 4), (1 4 3)}Se = (1 2) S4, ento

C`() = {(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4)}Se = (1 2)(3 4) S4, ento

C`() = {(1 2)(3 4), (1 3)(4 2), (1 4)(2 3)}Se = (1 2 3 4) S4, ento

C`() = {(1 2 3 4), (1 4 3 2), (1 3 2 4), (1 4 2 3), (1 2 4 3), (1 3 4 2)}Classes em S4 5 = P(4).

Em geral, pela proposio anterior, temos que cada classe de conjugao em Sn corres-ponde a uma partio de n. Portanto, o nmero de classes de conjugao em Sn P(n), onmero de parties do inteiro n.Observao 2.21Lembre-se que para se criar grupos normais basta unir classes de conjugao com aidentidade.Exemplo 2.44Classes de conjugao em A4.

C`A4(1 2 3) = {(1 2 3), (2 4 3), (1 4 2), (1 3 4)}Sabemos que |C`A4()| = [A4 : CA4()], onde CA4() = { S4 | S4 e = } =A4 CS4(). Logo A4A4 CS4()

= A4CS4()CS4()

Em A4, temos duas classes de 3-ciclos cada uma contendo 4 elementos.Note que em A5 temos 2 classes de conjugao de 5-ciclos, enquanto em S4 temos 2

classes de 3 ciclos.

56

Proposio 2.59Para n 5 todos os 3-ciclos so conjugados em An.

Demonstrao. Sabemos que se (a b c) e (x y z) so 3-ciclos em An ento Sn tal que(a b c) = (x y z). Se An, temos nosso resultado. Caso contrrio, produto de umnmero mpar de transposies, como n 5 existem d 6= e / {a, b, c} e, assim (d e) An(pois agora (d e) produto de um nmero par de transposies) e

(d e)(a b c) = (a b c) pela demonstrao da proposio (2.58)

= (x y z)

portanto, (a b c) e (x y z) so conjugados em An.

57

Aula 13.05.2013

Definio 2.60Um grupo G dito simples se os nicos subgrupos normais de G so {1G} e G.

Assim os nicos simples abelianos so os de ordem prima.

Teorema 2.61Os alternados An, n 3, n 6= 4, so simples.

Demonstrao. O grupo A3 tem ordem igual a 3 e portanto simples. Para n 5, sejaH 6= {Id} um subgrupo normal de An. Queremos mostrar que H = An. Pela Proposio(2.57) basta provar que H possui todos os 3-ciclos.

Suponhamos que H contenha um 3-ciclo (a b c). Ento para todo 3-ciclo (i j k), sabemospela Proposio (2.59), que An tal que (i j k) = (a b c)1, pois sendo n 5 temosque = (a b c) deixa pelo menos duas letras fixas e poderamos tomar como uma escolhapossvel = (a i)(b j)(c k)(d e); e obtemos que (i j k) H, pois H E An, sendo portantoinvariante por conjugao.

Temos agora de provar que H possui um 3-ciclo. Como H 6= {Id}, ento existe H \ {Id} e denotamos m := O() > 1. Seja p um divisor primo de m; ento = m/pe um elemento de H que tem ordem p. Escreva = 1 s, com os is ciclos disjuntos;sabemos que O() = mmc{O(1), . . . ,O(s)} e portanto todos os is so p-ciclos.

1o Caso: p = 2.

Neste caso todos os is so transposies e s um inteiro par, pois H An. Temoss 2 e, escrevendo 1 = (a b), 2 = (c d), temos = (a b)(c d)3 s. Encontrar um3-ciclo em H equivalente a encontrar em H um produto (i k)(i j) de duas transposies quetenham exatamente uma letra em comum, pois (i k)(i j) = (i j k). Numa primeira etapa,afirmamos que H contm um produto de duas transposies disjuntas. Evidentemente, pelaProposio (2.58), temos (a b c)(a b)(c d) = (a b c)(a b)(c d)(a b c)1 = (b c)(a d); como(a b c) e os is com i 3 so disjuntos ele comutam. Logo temos

(a b c) = (a b c)(a b)(c d)3 s(a b c)1= (a d)(b c)3 s H, pois H E An e (a b c) An

Usando que 1 H, temos

(a b c)(a b c)1 = (a d)(b c)3 s1s 13 (c d)(a b)= (a d)(b c)(c d)(a b)

= (a c)(b d) H

o que prova nossa afirmao.

58

Agora, tomando k 6= a, b, c, d (o que possvel pois n 5), temos

(a k)(b d) = (a k c)(a c)(b d)(a k c)1 H, pois(a c)(b d) H E An e (a k c) An

Logo, o produto (a c)(b d)(a k)(b d) pertence a H, isto , o 3-ciclo (a k c) H.

2o Caso: Se p = 3.

Se s = 1, ento = 1 um 3-ciclo em H e acabou.Se s 2, escrevendo 1 = (a b c) e 2 = (d e f), temos que = (a b c)(d e f)3 s;

note que todos os is, i = 1, 2, 3 . . . , s so disjuntos por hiptese, de modo que a, b, c, d, e, fno aparecem nos outros 3-ciclos 3, . . . , s; assim o 3-ciclo (b c d) disjunto de 3, . . . , s elogo comuta com todos eles. Temos ento

(b c d)(b c d)1 = (b c d)(a b c)(d e f)3 s(b c d)1= (a c d)(b e f)3 s H,

e portanto tambm, usando que 1 H,

(b c d)(b c d)11 = (a c d)(b e f)3 s1s 13 (d e f)1(a b c)1= (a c d)(b e f)(d f e)(a c b)

= (a d b c e) H

Assim, neste caso, encontramos em H um 5-ciclo, logo, em particular, um elemento deordem 5; sendo p = 5 um primo > 3, estamos reduzidos ao caso seguinte:

3o Caso: Se p > 3.

Escreva 1 = (a1 a2 a3 a4 . . . ap) e assim

= (a1 a2 a3 a4 . . . ap) 2 snote que todos os is so disjuntos por hiptese, de modo que a1, a2, a3, a4, . . . , ap noaparecem nos ciclos 2, 3, . . . , s; assim o 3-ciclo (a1 a2 a3) disjunto de 2, 3, . . . , s elogo comuta com eles. Temos ento:

(a1 a2 a3)(a1 a2 a3)1 = (a2 a3 a1 a4 ap)2 s H,

e portanto tambm

(a1 a2 a3)(a1 a2 a3)11 = (a2 a3 a1 a4 ap)(a1 a2 a3 a4 . . . ap)1 H.

Uma verificao imediata nos d que

(a2 a3 a1 a4 ap)(a1 a2 a3 a4 . . . ap)1 = (a1 a2 a4),

e assim encontramos um 3-ciclo em H.

59

Os grupos simples so os blocos de construo dos grupos.

S3

2

A3

2

{1}

C6 = x2

x23

{1}

S4

2

A4

3

V4

2

(1 2)(3 4)2

{1}

S5

2

A5

60

{1}

D4

2

2

22

{1}

Todo grupo de ordem 2p, com p primo, ou cclico ou diedral.

Definio 2.62Dizemos que G uma extenso de um grupo M por um grupo K se G contm um

subgrupo normal N = M tal que GN= K.

G //G

N= K

N = M {1}

{1}

Exemplo 2.45S3 extenso de C3 por C2.

C6 extenso de C2 por C2.C6 extenso de C2 por C3.A4 extenso de V4 por C3.

Teorema 2.63 (de Cauchy)Se G um grupo finito e p um primo divisor de |G|, ento G possui um elemento (e,portanto, um subgrupo) de ordem p.

60

Observao 2.22Considere, por exemplo, um grupo G de ordem 2p, p primo mpar. Portanto G contmum elemento xde ordem 2, um elemento y de ordem p. Sejam H = x , |H| = 2 eK y , |K| = p [G : K] = 2 K E G, logo

xy = yk K, 1 k p 1A questo decidir quais os possveis valores de k. Como x2 = 1, temos

y = x2

y = x(xy) = x(yk) = yk2

logo

k2 1 (mod p) k = 1 ou k = p 1Se k = 1 ento xy = yx e como G = x, y = HK, temos G = C2p. Se k = p 1 entoxy = y1, neste caso, G =

x, y | x2 = 1, yp = 1, xy = y1x = Dp.

Representaes permutacionais

Definio 2.64Sejam G um grupo e X 6= . Uma representao permutacional de G sobre X qualquerhomomorfismo : G Sim(X). |X| o grau da representao. Dizemos que fielquando Nuc() = {1G}. Neste caso G = Im() Sim(X), isto , G um grupo depermutaes de X.

Representao permutacional nas classes laterais de um grupo

Se H G, [G : H] = n, ento podemos considerar X = GH

= {xH | x G} (ou seT = {t1, t2, . . . , tn} um transversal esquerda para H em G, tomamos X = {th | t T}).

: G Sim(X)g 7 (g) : X X

tiH 7 gtiH = tg(i)H

Proposio 2.65Em relao funo definida acima temos

1. (g) Sim(X), g G.2. : G Sim(X) um homomorfismo.

Demonstrao. 1. Note que gtiH = gtjH t1i tj H i = j (g) injetiva, e comoX finito temos que (g) Sim(X).

2. (g1g2) : tiH g1g2(tiH) = g1(g2tiH) = g1(tg2(i)H) = tg1(g2(i))H = (g1)(tg2(i)H) =(g1) (g2)(tiH) uma representao permutacional de G nas classes laterais de H.

61

Pergunta-se: fiel? Nuc() = ? A identidade da imagem de nesse caso a aplicaoidntica pertencente ao Sim(X), assim

Nuc() = {g G | (g)(tH) = tH, t T}

logo, (g)(tH) = tH gtH = tH t1gt H g tHt1 g Nuc() g tT

tH =xG

xH = CorG(H).

Note que CorG(H) E G e CorG(H) H. Alm disso, este o maior subgrupo normalem G que est contido em H. Portanto temos:

Proposio 2.66Se G contm um subgrupo de ndice n, ento G contm um subgrupo normal cujo ndicedivide n!.

Demonstrao. De fato, Nuc() C G e GNuc()

= Sn [G : CorG(H)] | n!.

Note que uma representao transitiva, isto , Im() um grupo de permutaestransitiva, tH, sH X, existe g = st1 G tal que (g)(tH) = sH.

Definio 2.67Duas representaes permutacionais, : G Sim(X) e : G Sim(Y ) so equivalentes,se existe uma bijeo f : X Y , tal que g G

X(g) // X

f

Y

f1OO

(g)// Y

Teorema 2.68Toda representao permutacional transitiva de um grupo finito G equivalente repre-sentao de G nas classes laterais de um subgrupo.

62

Aula 15.05.2013Exemplo 2.46G = A4, H = V4 G

H= {H, (1 2 3)H, (1 3 2)H} temos uma representao : A4 S3.

Nuc() = V4 E A4 e Im() = A3

Corolrio 2.69 (Teorema de Cayley)Todo grupo G isomorfo ao grupo de permutaes sobre o conjunto X = G. Em particular,se |G| = n ento G isomorfo a um subgrupo de Sn.

Demonstrao. Basta tomar H = {1G}, de modo que cada elemento x G constitui umaclasse lateral de H.

: G Sim(G)g 7 g : GG

x 7 gxEssa representao tem a propriedade que somente 1G fixa ponto. Uma tal representao dita regular.

No caso, g a representao regular esquerda.

Exemplo 2.47G = D3 = {I, , 2, , , 2} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

I 2 2I I 2 2 2 I 2 2 2 I 2 2 I 2 2 I 2

2 2 2 I

A representao regular esquerda representa G no S6.

(1 2 3)(4 5 6) e (1 4)(2 6)(3 5)

Corolrio 2.70O grupo alternado A5 no contm subgrupo de ordem 15, 20 ou 30 .

Demonstrao. Sabemos que A5 simples, |A5| = 60 = 22 3 5. A5 no contm subgrupode ordem 30, pois tal subgrupo teria ndice 2 e seria, portanto, normal.

Suponha : A5 S3 a representao permutacional nas classes laterais desse H.Sabemos que N = Nuc() E A5 e N H. Pela simplicidade do A5, devemos ter N = {1}.Isto quer dizer que A5 = Im() S3. Contradio. Analogamente, para subgrupo deordem 15.

63

Proposio 2.71Se G um grupo finito e p o menor primo natural divisor de |G| = n, ento todosubgrupo de G, de ndice p, normal em G.

Demonstrao. Sejam H G, [G : H] = p, : G Sp (uma representao nas classes deH). Sabemos que

N = Nuc() H e GN= Im() Sp

portanto [G : N ] divide p! = p(p 1)!. Mas[G : N ] = [G : H] [H : N ] = p [H : N ] | p(p 1)! [H : N ] | (p 1)!

Entretanto, [H : N ] divide n. De [H : N ] | (p 1)!, segue que se [H : N ] > 1, os primosdivisores de [H : N ] so p. Por outro lado (p 1)! s divisvel por primos < p. Dessacontradio segue que [H : N ] = 1 H = N E G.

Corolrio 2.72Se p um primo, ento todo grupo de ordem p2 abeliano (= Cp2 ou Cp Cp).

Demonstrao. Sejam G um tal grupo e 1 6= x G O(x) = p ou p2.1. Se O(x) = p2 ento G = x = Cp2 .2. Se O(x) = p ento existe y G, y / x. Podemos supor que O(y) = p. Como

[G : x] = p = [G : y] x E G e y E G. Como y / x , x y = {1} e tambm,| x y | = p2 = |G| G = x y = Cp Cp (produto interno direto)

Definio 2.73Um p-grupo abeliano G dito elementar se

G = Cp Cp n vezes

= Zp Zp n vezes

Assim, um p-grupo abeliano elementar sempre pode ser visto como um espao vetorialsobre Zp.

Exemplo 2.48|Z2Z2Z2| = 8. Note que, desse modo, se G = Cp Cp

n vezes

ento Aut(G) = GLn(p)

Aut(V4) = GL2(2) = SL2(2) = S3.Teoremas de Sylow

64

Lema 2.74Sejam n, p N, com p primo. Ento a maior potncia de p que divide

(n

p

) tambm a

maior potncia de p que dividen

p.

Corolrio 2.75Se p a maior potncia de p que divide n, ento p -

(n

p

).

Definio 2.76Se |G| = p, com p primo e p - m, ento um subgrupo de G com ordem p chamado dep-subgrupo de Sylow de G (p-SS).

Exemplo 2.49G = A4, |A4| = 22 3.

H = V4 um 2-SS de A4.K = (1 2 3) um 3-SS de A4.

65

Aula 17.05.2013

Teorema 2.77 (1o Teorema de Sylow)Sejam p um primo e G um grupo finito de ordem n = pm, p - m. Ento G contm ump-SS (de ordem p.)

Demonstrao. Considere a famlia F = {X G : |X| = p} |F| =(n

p

). A

aplicao

: G Sim(F)g 7 g :FF

X 7 gXd uma representao permutacional de G sobre F F unio disjunta de G-rbitasdessa ao: F = OrbG(X1) OrbG(Xr).

OrbG(Xi) = {g(x) | g G, x Xi}= {g x | g G, x Xi}= {gXi | g G}

logo (n

p

)= |F| =

ri=1

|OrbG(Xi)|

Pelo Corolrio (2.75), p - F, segue-se que p - |OrbG(Xi)| = [G : StabG(Xi)] p - [G :StabG(Xi)] p | | StabG(Xi)| (pois p divide |G| = [G : StabG(Xi)] | StabG(Xi)| ).

Seja P = StabG(Xi) G p | |P |.Agora, para x Xi, g P, gx Xi p |P | = |Px| |Xi| = p. Portanto

|P | = p e, assim, P um p-SS de G.

Corolrio 2.78Se p um primo e pk divide |G|, ento G tem um subgrupo de ordem pk. Em particulartemos o teorema de Cauchy: se p | |G| ento G contm elemento de ordem p.

Demonstrao. Como G tem um p-SS P , temos que pk | |P |, pois |P | a maior potncia dep dividindo |G|. Mas, como um p-grupo finito tem subgrupo de todas as ordens dividindo asua ordem, segue que P , e assim G, tem um subgrupo de ordem pk.

Exemplo 2.50Seja G um grupo tal que |G| = 300 = 22 3 52 G tem subgrupo de ordem 1, 2, 3, 4, 5, 25.

66

Teorema 2.79 (2o Teorema de Sylow)Nas hipteses do 1o Teorema de Sylow. Seja P um p-SS de G. Se np indica o nmero dedistintos conjugados de P em G, ento np 1 (mod p) (Note que np = [G : NG(P )] P E G np = 1).

Demonstrao. Seja agora C = {gP | g G} a classe de conjugao de P em G. Nestecaso, a ao por conjugao e o estabilizador de P NG(P ).

|C | = np = [G : NG(P )]

Certamente, a restrio da ao a P , |P , d uma ao de P sobre C

|P : P Sim(C )x 7 x : C C

gP 7 x(gP ) = xgPNesta ao, C uma unio disjunta de P -rbitas.

C = {P} outras rbitas

Existem outras rbitas pontuais? (ou, Q C tal que PQ = Q?)No pode ter, pois se PQ = Q temos P NG(Q) e da, PQ G. Mas PQ = |P ||Q||P Q| =

p, > . Contradio! Portanto, np = |C | = 1 + |OrbP (Qi)| >1

. Como p | |OrbP (Qi)|,

temos np 1 (mod p).Exemplo 2.51Seja |G| = 30 = 2 3 5. Se P um 5-SS, |P | = 5 ento n5 1 (mod 5) e n5 | 6 n5 =1 ou 6.

Teorema 2.80 (3o Teorema de Sylow)Se p | |G|, ento todo p-subgrupo de G est contido em algum conjugado de P , onde P um p-SS.

Demonstrao. Seja H G, |H| = pk, k 1. Considerando C = {gP | g G}, e fazendoH atuar sobre C por conjugao, temos que C uma unio de H-rbitas.

C = OrbH(P1) OrbH(PS)

como p - |C | e como |OrbH(Pi)| potncia de p, devemos ter alguma rbita pontual Q C tal que HQ = Q HQ G. Mas se HQ 6= Q ento |HQ| > p = |Q| HQ =Q H Q.

67

Corolrio 2.81Todos os p-SS de G so conjugados em G.

Notao. SylP (G) = C = {P G | P p SS de G}.Exemplo 2.52Seja |G| = 30 = 2 2 3 5. Ento G tem um 5-SS normal em G ou um 3-SS normal. SejamP3 um 3-SS e P5 um 5-SS. Temos

n5 = 1 ou 6 e n3 = 1 ou 10

Se n5 = 6 e n3 = 10, ento teramos: 24 (6 (5)) elementos de ordem 5 + 20 (10 (3))elementos de ordem 3, o que nos daria um total de 44 elementos. Contradio, pois|G| = 30. Assim, n5 = 1 ou n3 = 1. Em qualquer caso, temos que P3P5 G. Observe queP3 P5 = {1}, pois P3 P5 subgrupo de P3 e tambm de P5 e, pelo Teorema de Lagrange,|P3 P5| deve dividir |P3| = 3 e tambm dividir |P5| = 5, logo |P3 P5| = 1. Assim

|P3P5| = |P3| |P5||P3 P5| =3 5

1= 15

Aplicando o 2o Teorema de Sylow ao grupo P3P5, temos que P3P5 possui um nico subgrupode ordem 3 e um nico subgrupo de ordem 5, assim ambos P3 e P5 so normais em P3P5.Portanto, acabamos de mostrar que, a menos de isomorfismo, existe um nico grupo deordem 15, a saber o C15. Observe que P3P5 NG(P3).

NG(P3)

P3P5

P3

Logo, n3 = [G : NG(P3)] [G : P3P5] = 2. Como sabemos que n3 = 1 ou 10, temos,portanto, que n3 = 1. Repetindo a argumentao para P5, encontraremos que n5 = [G :P5] [G : P3P5] = 2, e conclumos que n5 = 1 a nica possibilidade. Provamos portantoque G possui um nico subgrupo de ordem 3 e um nico subgrupo de ordem 5.

Agora, pelo 2o Teorema de Sylow, temos que{n2 1 (mod 2)n2 | 15

ento n2 = 1, 3, 5 ou 15. Seja P2 um 2-SS. Note que P2 P3P5 = {1}. Faamos P2 atuarpor conjugao sobre P3P5, assim sejam x P2 e y P3P5. Logo

xy = xyx1 = yk, k = 1, 2, . . . , 15

day = x2yx2 = xykx1 = (yk)k = yk

2

entok2 1 (mod 15) k = 1, 4, 11 ou 14

68

(i) Se k = 1, ento P2 / G e G = P2 P3 P5 = C30.(ii) Se k = 4, ento xyx1 = y4. Vamos analisar agora o que acontece com y3 e y5. Note

que (y3)5 = y15 = 1 e

xy3x1 = (y3)4 = y12 = y3 x, y3 = D5Temos que

y5 = C3 e normal em G, pois um 3-SS de G. Tambm x, y3 normal

em G. De fato, xy5x1 = (xyx1)5 = y20 = y5 e, obviamente, y5y3 = y3y5, assim y5

comuta com os dois geradores dex, y3

, logo as classes laterais direita e esquerda

dex, y3

em G so iguais. Podemos observar tambm que

y5 x, y3 = {1}, logo

G =y5 x, y3

= D10 C3.(iii) Se k = 11 xyx1 = y11. Logo

xy3x1 = (xyx1)11 = (y3)11 = y33 = y3

exy5x1 = (xyx1)5 = (y5)11 = y55 = y10 = y5

segue quex, y5

= S3. Temos que xy3 = y3x e y3y5 = y5y3, assim as classes laterias esquerda e direita de

x, y5

so iguais em G, logo

x, y5

E G e

y3 normal

em G pois um 5-SS e ainday3 x, y5 = {1}, logo G = y3 x, y5 = S3 C5.

(iv) Se k = 14 xyx1 = y14 = y1 G = D15Observao 2.23Se p e q so primos, p < q, q 6 1 (mod p), ento todo grupo de ordem pq, nessas condies cclico.

De fato, sejamH,K G, |H| = p, |K| = q. Assim, [G : K] = p K E G G = HK,por razo de ordem. Suponha que H = x e K = y, onde O(x) = p e O(y) = q. Hnormaliza K xy = yk, 1 k q 1, portanto

y = xpyxp = ykp

assim

kp 1 (mod q) k = 1 xy = yx

Como G = x, y, temos G abeliano e, assim, cclico.

Exemplo de um grupo no abeliano de ordem 21.Seja b =

(1 2 3 4 5 6 7

) S7, logo b2 = [1 3 5 7 2 4 6]. Se ab = b2 a =

(2 3 5

) (4 7 6

)e a, b S7 no abeliano e | a, b | = 21.

69

Aula 20.05.2013Produto semidireto

Sejam H e K grupos e : H Aut(K) um homomorfismo, de modo que temos umaao de H sobre K, por automorfismo, via . h H, k K, hk := (h)(k).

Exemplo 2.53Sejam H = C2 = x , K = C3 = y.

: x = C2 Aut(C3) = C2x 7 (x) : y y1

portanto, (x)(y) = xy = y1.

Uma vez fixada uma ao de H sobre K via , considere o produto cartesiano G = KHcom a seguinte operao binria:

(k1, h1) (k2, h2) := (k1(h1)(k2) k1h1k2

, h1h2)

Com essa operao, G um grupo chamado o produto semidireto externo de K por H.Prova da associatividade.

[(k1, h1) (k2, h2)] (k3, h3) = (k1h1k2, h1h2)= (k1

h1k2h1h2k3, h1h2 h3)

= (k1h1(k2

h2k3), h1 h2h3)= (h1, k1) (h2h2k3, h2 h3)= (k1, h1) [(k2, h2) (k3, h3)]

Prova da existncia de inverso.Considere

(k, h) (y, x) = (1K , 1H) (khy, hx) = (1K , 1H)logo

x = h1 e hy = k1 y = h1(k1)portanto

(k, h)1 = (h1

(k1), h1)

Agora considere H1 = (1K , H) G e K1 = (K, 1H) G. claro que G = H1 K1 =K1 H1 e (k, 1H) (1K , h) = (k, h).

Note que (y, x) G, (k, 1H) K1, temos(y, x) (k, 1H)

K1

(y, x)1 = (yxk, x) (x1y1, x1) = (k, 1H) K1

portanto K1 E G.Alm disso, H1 K1 = {1G}, logo G produto semidireto interno de K1 por H1. Mais

ainda,

(1K , h) (k, 1H) (1K , h)1 = (hk, h) (1K , h1) = (hk, 1H) = ((h)k, 1H)assim, a dada ao de H sobre K induz, em G, a conjugao por elemento de H1.

70

Aula 22.05.2013Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos

Comecemos com um p-grupo abeliano finito.

Teorema 2.82Sejam G um p-grupo abeliano finito e g G um elemento de ordem mxima em G, digamosO(g) = pn. Ento g um fator direto em G, isto , M E G tal que G = g M .

Corolrio 2.83Se G um p-grupo abeliano finito de ordem pn, ento existem 1 2 r tais quen = 1 + 2 + + r e

G = Cp1 Cp2 Cpr(o nmero r e os is so unicamente determinados pelo grupo G)

Demonstrao. Seja x1 G de ordem mxima, O(x1) = p1 , pelo teorema, existe M1 Gtal que G = x1 M1 = Cp1 M1. Seja x2 M1 de ordem mxima em M2 tal queO(x2) = p2 , 2 1 e M1 = x2 M2. Procedendo assim, obtemos

G = x1 x2 xr = Cpa1 Cp2 CprAlm disso

|Cpa1 Cp2 Cpr | = 1 + + rcomo |G| = n e G = Cpa1 Cp2 Cpr temos n = 1 + + r.

Corolrio 2.84O nmero de p-grupos abelianos no isomorfos (entre si) de ordem pn igual ao nmerode parties inteiras de n

Exemplo 2.54Se n = 4.

C16 = C24

C8 C2 = C23 C21C4 C4 = C22 C22C4 C2 C2 = C22 C21 C21C21 C21 C21 C21

4

3 + 1

2 + 2

2 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1

Observao 2.24Se A,B e C so grupos finitos ento

71

(1) AB = B A.(2) (AB) C = A (B C).

Teorema 2.85 (Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos Finitos)Seja G um grupo abeliano de ordem n. Ento existem inteiros d1, . . . , dk N tais quedk | dk1, . . . , d2 | d1 e G = Cd1 Cdk . Essa decomposio de G nica. Os nmerosd1, . . . , dk so os divisores elementares de G (ou os fatores invariantes).

Exemplo 2.55|G| = 100 = 52 22.

C25 C4 = C100C25 C2 C2 = C50 C2C5 C5 C4 = C20 C5C5 C5 C2 C2 = C10 C10

Observao 2.25S existe um grupo abeliano de ordem 10 = 21 51 e cclico C10.

Observao 2.26Todo grupo abeliano de ordem p1 p2 pk, pi 6= pj primos cclico isomorfo a Cp1p2pk .

72

Aula 24.05.2013Grupos solveis e nilpotentes

Definio 2.86Seja G um grupo. Uma srie subnormal em G uma cadeia finita.

(S ) G = G0 D G1 D D Gi D Gi+1 D D Gn = {1G}

onde cada Gi normal em Gi1, i = 1, . . . , n.

Exemplo 2.56{1} E V4 E A4 E S4.

Os subgrupos G1 so os termos da srie (S ) e os quocientesGiGi+1

so os fatores.

Uma srie subnormal (S ) uma srie normal se cada Gi E G.A srie {1} 2E (1 2)(3 4) 2E V4

3

E A42

E S4 uma srie subnormal de S4, mas no normal.

Uma srie subnormal (S ) uma srie de composio se os fatores so todos grupossimples ou, equivalentemente, se cada Gi maximal normal em Gi1, i = 1, . . . , n.

Definio 2.87Sejam

(S ) : G = G0 D G1 D D Gi D D Gn = {1G}(C ) : G = H0 D H1 D D Hi D D Hn = {1G}

A srie (C ) um refinamento da srie (S ) se cada termo de (S ) tambm um termo de(C ).

Exemplo 2.57A segunda srie um refinamento da primeira.

G = C24 = x2

Dx2 6Dx12 2D {1}

G = C24 = x2

Dx2 2Dx4 3Dx12 2D {1}

73

Exemplo 2.58

C302

3x2

3 x3

2

x65

{1}

Definio 2.88Duas sries subnormais (S ) e (C ) de um grupo G so equivalentes se existe um bijeoentre os conjuntos de fatores, tal que fatores correspondentes so grupos isomorfos.

Teorema 2.89 (de Jordan-Hlder)Se G um grupo finito ento quaisquer duas sries de composio de G so equivalentes.

Exemplo 2.59

S52

A3

60

{1}

Definio 2.90Um grupo G solvel se G tem uma srie subnormal com fatores abelianos.

(S ) G = G0 D G1 D D Gi D Gi+1 D D Gn = {1G}

onde cadaGi1Gi

abeliano, i = 1, . . . , n.

74

Exemplo 2.601) Todo grupo abeliano solvel.

2) Todo p-grupo finito solvel.

3) Os grupos diedrais so solveis.

Definio 2.91Um grupo G dito:

a) Metabeliano, se G tem um subgrupo normal N abeliano, tal queG

N abeliano.

b) Metacclico, se G tem um subgrupo cclico normal N , tal queG

N cclico.

Observao 2.27Uma srie subnormal com fatores abelianos tambm chamada de srie abeliana (ousrie solvel).

Definio 2.92Se G um grupo solvel, ento o comprimento derivado de G , por definio, ocomprimento da menor srie abeliana de G.

Exemplo 2.61Se G um grupo metabeliano (no abeliano) ento esse comprimento igual a 2.

Exemplo 2.62S4 D A4 D V4 D {1} `d = 3

O comprimento de uma srie igual ao nmero de fatores no triviais.

Definio 2.93Dado um grupo G, o grupo derivado de G , por definio, o subgrupo G de G, geradopelo conjunto dos comutadores.

G = [x, y] | x, y G

onde [x, y] = xyx1y1 = xy y1.

75

Aula 27.05.2013

G = G(0)

G = G(1) = [x, y] | x, y G

G = G(2)

G solvel se, e somente se, G(n) = {1G} para algum n N. O menor tal n, neste caso, chamado de comprimento derivado de G, que o comprimento da menor srie abelianade G, na hiptese de G ser solvel.

S4

S 4 = A4

S 4 = A4 = V4

S 4 = V

4 = {Id}

Teorema 2.94(i) Se G solvel e H G, ento H solvel.

(ii) Se G solvel e N E G, ento GN

solvel.

(iii) Se N E G, N solvel e GN

solvel, ento G soluvel.

Demonstrao. (i) Seja G um grupo solvel e {1} E G1 E G2 E E Gn1 E Gn = Guma cadeia solvel de G, isto :

(1) Gi1 E Gi, i {1, 2, . . . , n}.

(2)GiGi1

abeliano i {1, 2, . . . , n}.

Seja H G e defina Hi = H Gi, i {1, . . . , n}. Claramente temos H0 = {1} E H1 E E Hn1 E Hn = H G = H. Primeiramente, vamos provar que Hi1 E Hi, i {1, . . . , n}. De fato, se x Hi1 = Gi1 H e g Gi H, ento x Gi1 e x H, e

76

g H e g Gi. Assim, gx = gxg1 H e como Gi1 E Gi tambm temos gx Gi1, ouseja, gx Hi1 = Gi1 H. E est provado que Hi1 E Hi. Para mostrar que Hi

Hi1

abeliano basta observar que:

i : Hi GiGi1

x 7 i(x) = x Gi1 um homomorfismo cujo ncleo exatamente

Nuc(i) = {x Hi | x Gi1} = Hi Gi1 = H Gi Gi1 = H Gi1 = Hi1Pelo 1o Teorema do homomorfismo, temos

HiHi1

= Imi GiGi1

e comoGiGi1

abeliano, segue imediatamente queHiHi1

tambm abeliano.

(ii) Seja N E G, piG G = GN

a projeo cannica. Suponhamos G solvel. Vamos

provar que pi(G) = G tambm solvel. Seja

{e} = G0 G1 Gi1 Gi Gn1 Gn = G

tal que:

(1) Gi1 E Gi, i {1, . . . , n}

(2)GiGi1

so abelianos i {1, . . . , n}

Se Gi = pi(Gi) = {gi = pi(gi) | gi Gi} ento temos que:

e = G0 G1 Gi1 Gi Gn1 Gn = G

Vamos provar que

(1) Gi1 E Gi, i {1, . . . , n}

(2)GiGi1

so abelianos i {1, . . . , n}

De fato, seja i {1, . . . , n}.(1) seja pii = pi

Gi

: Gi Gi ( sobrejetivo) temos pelo teorema da correspondncia que:Gi1 E Gi Gi1 = pi(Gi1) E Gi e isto demonstra (1), pois pii(Gi1) = pi(Gi1) = Gi1.

(2) sejam u, v GiGi1

=pi(Gi)

pi(Gi1). Vamos provar que u v = v u e isto nos diz que Gi

Gi1 abeliano. De fato,

u = pi(gi) pi(Gi1) para algum pi(gi) pi(Gi), gi Gi.v = pi(hi) pi(Gi1) para algum pi(hi) pi(Gi), hi Gi.

77

Observe queGiGi1

abeliano e assim temos que:

giGi1 hiGi1 = hiGi1 giGi1ou seja,

gihiGi1 = higiGi1

Da segue imediatamente que existe:

xi1 Gi1 tal que gihi = higixi1Agora

u v = pi(gi)pi(hi)pi(Gi1)= pi(gihi)pi(Gi1)

= pi(higixi1)pi(Gi1)

= pi(higi)pi(xi1)pi(Gi1)

como pi(xi1) pi(Gi1), temos que

u v = pi(hi)pi(gi)pi(Gi1) = v u

e isto demonstra (ii).

(iii) Seja G um grupo, N E G e seja pi : G GN

= G a projeo cannica.

Suponhamos que G =G

Ne N sejam solveis.

Teorema 2.95 (Feit-Thompson(1963))Todo grupo de ordem mpar solvel.

Teorema 2.96 (Burnside(1911))Se p e q so primos ento todo grupo de ordem pa qb solvel.

78

Anis

79

Captulo 3

Anis

Aula 29.05.2013

Definio 3.1Temos que (A,+, ), A 6= um anel se:

1. (A,+) um grupo abeliano.

2. (A, ) um semigrupo ( associativa).3. Valem as leis distributivas a, b, c A:

a (b+ c) = ab+ ac(a+ b) c = ac+ bc

0 ou 0A indica o elemento neutro do grupo (A,+). Se (A, ) um monide com elementoneutro 1 (ou 1A), ento dizemos que (A,+, ) anel com identidade 1 (ou 1A).

Se (A, ) comutativo, ento dizemos que (A,+, ) um anel comutativo .

Definio 3.2Um anel (A,+, ) comutativo com identidade dito Domnio (ou Domnio de Integri-dade) se A no possui divisor prprio do zero, isto ,

a b = 0 a = 0 ou b = 0

Definio 3.3Um anel comutativo com identidade um corpo se todo elemento no nulo de A teminverso multiplicativo;

80

Definio 3.4Um anel com identidade (A,+, ) um anel com diviso se todo elemento no nulo deA tem inverso multiplicativo.

Definio 3.5Uma lgebra sobre um corpo K um anel (A,+, ) onde A tambm um espao vetorialsobre K, de modo que as operaes do anel so compatveis com a estrutura de espaovetorial (adio em A a adio de vetores) e a, b A, , K

a (b) = (a b) = (a) b

Exemplo 3.1(Zn,+, ) so anis comutativos com identidade, n 2.Exemplo 3.2Os corpos Q,R,Z.

Exemplo 3.3H: lgebra dos quatrnios reais

H = {a+ bi+ cj + dk | a, b, c, d R}onde por definio

a+ bi+ cj + dk = a + bi+ cj + dk a = a, b = b, c = c, d = d

A adio definida da seguinte forma:

(a+ bi+ cj + dk) + (a + bi+ cj + dk) = (a+ a) + (b+ b)i+ (c+ c)j + (d+ d)k

A multiplicao por escalar:

(a+ bi+ cj + dk) = a+ (b)i+ (c)j + (d)k

A multiplicao definida pela distributividade junto com as regras de multiplicao dogrupo dos quatrnios.

i

+

j

+ //

22

k

+

]]

ff

Logo

(a+ bi+ cj + dk) (a + bi+ cj + dk) = (aa bb cc dd) + (ab + ba + cd dc)i+ (ac + ca + db bd)j + (ad + da + bc cb)k

81

segue que H uma lgebra sobre R com essas operaes. Alm disso, se a+ bi+ cj+dk 6= 0,ento

1

a+ bi+ cj + dk=a bi cj dka2 + b2 + c2 + d2

assim, H uma lgebra de diviso no comutativa e tem R como centro.

Exemplo 3.4Note que (Z,+, ) um domnio de integridade que no um corpo.Exemplo 3.5Todo corpo um domnio de integridade.

Exemplo 3.6X 6= , A = (A,+, ) anel

F (X,A) = {f : X A}com adio e multiplicao pontuais.

f + g : X Ax 7 f(x) + g(x) e

f g : X Ax 7 f(x) g(x)

Assim, F (X, a) um anel, mas no necessariamente um Domnio. Por exemplo,

f :

{0 x 0x x > 0

e g :

{x x < 0

0 x 0

Temos f 6= 0 e g 6= 0, mas f g = 0.Exemplo 3.7Se (A,+, ) anel, ento o conjunto

Mn(A) = {(aij)nn | aij A} um anel com a adio e multiplicao de matrizes.

Exemplo 3.8Considere o conjunto das sequncias quase nulas de elementos de um anel (A,+, )

N (A) = {f : N A | f(x) = 0 para n > n0} um anel.

Definio 3.6Se (A,+, ) um anel, ento um subanel de (A,+, ) um subconjunto no vazio B Atal que B fechado para (+) e () e, com essas operaes, um anel.

Proposio 3.7 (Teste para subanel)Sejam (A,+, ) um anel e B A. Ento B subanel de A se, e somente se

82

(1) B 6= (equivalentemente 0A B )(2) a, b B {

a b Ba b B

Definio 3.8Um subconjunto B A, (A,+, ) um anel um ideal (bilateral) de A se(1) (B,+) (A,+)(2) a A, x B, a x B e x a Bem particular, um ideal um subanel.

Exemplo 3.9Todo subanel de Z ideal de Z.

Exemplo 3.10Se (K,+, ) um corpo, ento os nicos ideais de K so K e {0}.

De fato, seja B