Notas Precalculo

PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.

COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 1 ~ AGO-DIC-2012

Definicin de funcin Una funcin es una regla. Para hablar acerca de una funcin, se requiere asignarle un nombre. Se emplearn letras como ,,, .para representar funciones. Por ejemplo, se puede usar la letra para representar una regla como sigue: "" es la regla cuadrado del nmero Cuando se escribe (2), se entiende aplicar la regla al nmero 2. Al aplicar la regla se obtiene (2) = 22= 4. De manera similar, (3) = 32= 9 y en general () = 2. Dominio y contradominio o Rango de la funcin Dominio de una funcin: es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los intervalos que le damos a X (variable independiente) forman el conjunto de partida. Grficamente lo observamos en el eje horizontal (abscisas). Leyendo como escribimos de izquierda a derecha. Rango de una funcin: Es el conjunto formado por las imgenes. Son los valores que toma la funcin Y (variable dependiente), por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le damos a X. La manera ms efectiva pare determinar el rango de una funcin consiste en graficar la funcin y ver los valores que toma Y de abajo hacia arriba. Funciones polinmicas Aquellas funciones cuya expresin algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinmicas tienen como dominio todo el conjunto de los nmeros reales: , puesto que a partir de una expresin polinmica, se puede sustituir el valor de por cualquier nmero que hayamos elegido y se puede calcular sin ningn problema el nmero real imagen Y. Son funciones polinmicas: la recta (funcin lineal o a fin), la parbola (funcin de segundo grado) y los polinomios de grado superior.

Definicin de funcin Una funcin es una regla que asigna a cada elemento en un conjunto A exactamente un elemento, llamado () , en un conjunto B.

Dom () = tambin se puede expresar Dom () = (,)



Funcin lineal La Recta Es un lugar geomtrico de todos los puntos, tales que, tomados dos puntos diferentes y cualesquiera P1(x1,y1) y P2(x2,y2) del lugar, el valor, de la pendiente m, resulta siempre una constante. Por experiencia sabemos que dos puntos determinan el segmento de recta por el que pasa una recta, y que esa recta es nica. En el plano cartesiano, una ecuacin con dos variables de primer grado tiene como grafica una recta. La frmula general de la recta es + + = 0, escrita en forma implcita, o bien = + en forma explcita. Para trazar una recta, lo ms prctico es buscar sus puntos de interseccin con los ejes X e Y. conocida la ecuacin, los puntos de interseccin se calculan dando el valor de cero a cada una de las variables, dado lo anterior se tiene lo siguiente:

a) Eje X se obtiene cuando y=0, y se denota por (x,0) b) Eje Y se obtiene cuando x=0, y se denota por (0,y)

En la forma = + , el valor de m destaca la caracterstica inclinacin de la recta respecto al eje X, llamada pendiente de la recta, y el valor de b indica el corte con el eje Y.

La letra griega se usa en matemticas para denotar cambio en. As, podemos pensar en la pendiente como: =

=

La pendiente m mide la inclinacin de la recta respecto al eje x. podemos hallar entonces, a partir de la pendiente del ngulo que forma dicha recta con el eje x teniendo en cuenta que: m = tg La ordenada al origen, es el punto de interseccin entre la recta y el eje y, es decir, es el valor de la ordenada para x=0, o sea la imagen de cero

Definicin de la pendiente de una recta Sea una recta que no es paralela al eje y sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) puntos distintos de , la pendiente m de es: =

Si es paralela al eje , entonces la pendiente de no est definida



-15

-10

-5

0

5

10

15

-20 -10 0 10 20

0

1

2

3

4

-15 -10 -5 0 5 10 15

-13

-8

-3

2

7

12

-12 -7 -2 3 8 13

Funcin constante A las funciones constantes es comn confundirlas con NO FUNCIONES, por no estar en trminos de x , Pero si aplicamos la definicin de funcin a f x c , cumplir con ella y por lo tanto es una funcin.

Funcin identidad es en la cual la pendiente es igual a uno 1m o sea f x x para la cual a cada valor que tome x a la variable dependiente f x le corresponder el mismo

Pendiente igual a 1

Funcin identidad

Carece del trmino constante.

Funcin creciente

Pendiente menor a cero

en

La funcin es decreciente

Pendiente igual a cero



Frmulas de lnea recta:

= ( ) Forma de punto pendiente para la ecuacin de una recta Una ecuacin para la recta que pasa por el punto (x1,y1) con pendiente es:

( ) = ( ) Ecuacin punto a punto Una ecuacin para la recta que pasa por el punto (x1,y1) con pendiente es:

tan = 1 + Angulo entre dos rectas Para calcular el ngulo entre dos rectas se utiliza la relacin:

Rectas paralelas Dos rectas son paralelas entre si, cuando sus pendientes son iguales, esto es, = siendo las pendientes de ambas rectas. Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares entre s, cuando el producto de sus pendientes es igual a 1. Esto es, = 1

= | + + | + Distancia de un punto a una recta La distancia comprendida entre el punto (,) y la recta + + = 0 est determinada por la relacin:



Analticamente, la ecuacin de una recta puede estar perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ngulo de inclinacin.

Normalmente dos variables y estn linealmente relacionadas si = + , donde y son nmeros reales y 0. Las relaciones lineales entre variables se presentan con frecuencia en problemas aplicados.

Ejemplo 1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(8,-2) y cuya pendiente es

.

Expresarla en su forma general y ordinaria. Solucin: a partir de la forma ordinaria tenemos = + Sustituimos los valores del punto y la pendiente en la ecuacin 2 = +

(8)

2 = + 345 = 2 245 = 345

Forma ordinaria =

+ Forma general

+ +

= 0

Ejemplo 2. Hallar la interseccin con los ejes coordenados y hacer la grfica del siguiente segmento de recta: 2 + 6 = 0 Solucin: si y = 0 si x = 0 2 + 6 = 0 = 2(0) + 6 2 = 6 = 6 =

= = 3

Interseccin de la recta con los ejes: (-3,0) y (0,6) Ejemplo 3. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(-6,8) Y B(3,-1), expresarla en su forma general. Solucin: clculo de la pendiente =

=

= 1

Clculo de la ordenada: = + Sustituyendo los valores del punto B y el valor de la pendiente en la ecuacin ordinaria 1 = 1

1 = 1(3) = 1 + 3 = 2

= 2 o bien en su forma general + 2 = 0



Ejemplo 4. Hallar los valores que deben tener los coeficientes de la ecuacin general + + = 0 de una recta, para que pase por los dos puntos A(2,3) y B(-4,1). Solucin: los puntos A y B estn sobre la recta, sus coordenadas deben satisfacer la ecuacin + + = 0, por lo tanto tenemos: Para el punto A(2,3) la ecuacin es 2 + 3 = Para el punto B(-4,1) la ecuacin es 4 + = Resolviendo las ecuaciones en trminos de C:

2 + 3 = . (1)4 + = (2)

= 37 Al sustituir en la ecuacin (1) =

Al sustituir en la formula general se tiene:

+ = 0

Al dividir la ecuacin por C y simplificamos se tiene: 3 + 7 = 0, por lo tanto = 1, = 3 = 7 Ejemplo 5. Hallar la distancia de la recta 4 5 + 10 = 0 al punto (2,3).

Solucin: la distancia de un punto a una recta est dada por: = || = |()()|() = la distancia entre la recta y el punto es , el signo indica que el punto y el origen estn del mismo lado de la recta. Ejemplo 6. Demostrar que los puntos (0,1),(3,5),(7,2)(4,2) son los vrtices de un cuadrado. Solucin: calcular la distancia de ,,

= 9 + 16 = 5 = 16 + 9 = 5 = 9 + 16 = 5 = 16 + 9 = 5



A

B

C

D -3-2-10123456

0 2 4 6 8

Ecuaciones de primer grado

Es un caso particular de una funcin lineal, cuando esta intersecta al eje de las abscisas, lo que significa que la variable dependiente es igual a cero 0f x , 0f x mx b o tambin se pueden originar al igualar o combinar dos funciones lineales. f x g x Donde f x y g x son funciones lineales.

Ecuaciones de primer grado con una incgnita Se requiere, para una mejor comprensin del tema, las siguientes definiciones: Igualdad: Es la expresin de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. Ejemplos: 3 = 3 + = + 5 = 3 2 Ecuacin: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incgnitas y que slo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incgnitas. Ejemplos: 2 = 02 3 = 0 3 + 4 = Identidad: Es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella. El signo de la identidad es, que se lee idntico a Ejemplos: ( ) = 2 + = ( + )( ) Existe una diferencia fundamental entre una ecuacin y una identidad; la ecuacin es posible resolverla conociendo ciertos procedimientos para ello, mientras que una identidad no. En realidad las identidades surgen cuando modificamos la forma de una expresin algebraica con un propsito determinado, por ejemplo al desarrollar un producto notable o al factorizar; tambin cuando al resolver una ecuacin se sustituyen las soluciones, la ecuacin se transforma en una identidad. Miembros: Se llama primer miembro de una ecuacin o de una identidad a la expresin que est a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la expresin que est a la derecha.



Ejemplo: 5 + 4 = 5 4 En la ecuacin anterior el miembro de la izquierda es: 5 + 4 y el miembro de la derecha 5 4. Trminos: Son cada una de las cantidades que estn conectadas con otra por el signo + o -, o la cantidad que est sola en un miembro. No deben confundirse los miembros de una ecuacin con los trminos de la misma, miembro y trmino son equivalentes slo cuando en un miembro de una ecuacin hay una sola cantidad. Ejemplo: 5 + 4 = 5 4 En esta ecuacin los trminos sern: 5, 4, 5, 4 Ejemplo: 3 = 7 2 Aqu el miembro de la derecha es 3 pero tambin es un trmino. Distinguiremos diversas clases de ecuaciones para aplicar en cada caso un procedimiento para su solucin. Clases de ecuaciones Una ecuacin numrica es una ecuacin que no tiene ms letras que las incgnitas. Ejemplos: = 3 4 + 2 = 0 Aqu la nica letra es la incgnita y. Una ecuacin literal es una ecuacin que adems de las incgnitas tiene otras letras que representan cantidades conocidas. Es importante sealar que a menos que se diga lo contrario, las ltimas letras del abecedario sern la que se usen para representar a las incgnitas. Ejemplo: 3 + 3 7 = 0 La incgnita es x y a es una cantidad conocida. Una ecuacin es entera cuando ninguno de sus trminos tiene denominador y fraccionaria cuando alguno de sus trminos tiene denominador. Ejemplo: 2 5 = 0

= 0

La primera es una ecuacin entera y la segunda fraccionaria. Con toda la informacin anterior ahora pasaremos a dar las definiciones necesarias considerando a las ecuaciones que solo tienen una incgnita. Grado de una ecuacin: Es el mayor exponente que tiene la incgnita en la ecuacin.



Ejemplos: 3 7 = + 1 2 = 9 2 + 3 4 = 0 Son ecuaciones de primer grado, segundo grado y tercer grado respectivamente. Races o soluciones: Son los valores de las incgnitas que verifican o satisfacen la ecuacin, es decir, que sustituidos en lugar de las incgnitas, convierten la ecuacin en identidad. Ejemplo: 3 5 = 1 Su raz es 2 porque si = 2 al sustituir tenemos: 3(2) 5 = 1 Ejemplo: 2 = 0 Tiene dos races 0 y

al sustituir cada uno de estos valores se verifica la igualdad.

As: 2(0) 0 = 0 o bien 2

= 2

=

= 0

Las ecuaciones de primer grado con una incgnita tiene una sola raz, de acuerdo con el teorema fundamental del Algebra que dice: Cada polinomio () de grado > 0 tiene al menos una raz. Y del teorema de las n races: Cada polinomio () de grado > 0 se puede expresar como el producto de n factores lineales. De aqu que, () tenga exactamente n races (no necesariamente distintas). Resolver una ecuacin es hallar sus races, o sea el valor o los valores de las incgnitas que satisfacen la ecuacin. Ahora bien para encontrar la mecnica requerida para resolver ecuaciones usaremos el Axioma fundamental de las ecuaciones: Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados sern iguales. Reglas que se derivan de este axioma.

Si a los dos miembros de una ecuacin se suma o se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Si los dos miembros de una ecuacin se multiplican o se dividen por una misma cantidad,

positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Si los dos miembros de una ecuacin se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae una misma raz, la igualdad subsiste.



Trasposicin de trminos: Consiste en cambiar los trminos de una ecuacin de un miembro al otro. Lo anterior se puede establecer como una serie de reglas operativas las cuales se describen a continuacin:

Cualquier trmino de una ecuacin se puede pasar de un miembro a otro cambindole el signo.

Ejemplo: 3 7 = Al trasponer queda 3 = 7

Trminos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuacin pueden suprimirse Ejemplo + 7 3 = 8 3

Los signos de todos los trminos de una ecuacin se pueden cambiar sin que la ecuacin vare.

Ejemplo: = 7 = 7 Resolucin de ecuaciones enteras de primer grado con una incgnita. Regla general

Se efectan las operaciones indicadas, si las hay.

Se hace la trasposicin de trminos, reuniendo en un miembro todos los trminos que contengan la incgnita y ene le otro miembro todas las cantidades conocidas.

Se reducen los trminos semejantes en cada miembro.

Se despeja la incgnita dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de la incgnita.

A continuacin se incluyen abundantes ejemplos de solucin de ecuaciones de primer grado. Las primeras se resuelven a detalle para mostrar el mtodo, se pide que resuelva el resto. Resolver las ecuaciones:

1. = Solucin:

5 8 = 15 3 = 15



=

R. = 2. + = Solucin:

4 = 2 1 4 = 1 R. =

3. = R. = 4. + = + R. =

5. = + R. =

En algunas ecuaciones de primer grado primero deberemos eliminar los signos de agrupacin en primer trmino. Las siguientes ecuaciones pertenecen a este tipo. 1. ( + ) = ( + ) Solucin:

2 1 = 8 3 3 + 3 = 5 + 1 2 = 6 =

R. = 2. = ( + ) + ( + ) Solucin:



15 10 = 6 2 + 3 15 4 = 1 + 10 11 = 11 =

R. = 3. ( ) ( + ) = ( + ) ( ) R. =

4. ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) R. =

5. + ( + ) ( + ) = ( + ) + ( ) R. = En el grupo siguiente de ecuaciones adems de signos de agrupacin tenemos productos que hay que desarrollar antes de resolver. 1. + ( ) = ( + ) Solucin:

+ 3 3 = 6 8 12 4 + 8 = 6 + 3 12 = 3 =

R. =

2. ( ) + (+ ) = ( ) Solucin:

5 5 + 32 + 48 = 6 21 37 5 = 21 43



32 = 63 =

R. = 3. (+ ) ( ) = ( ) ( + ) R. = 4. (+ ) = + ( ) R. =

5. ( ) ( ) = ( + ) ( + ) R. = Por ltimo incluiremos un grupo que requiere un poco ms de procedimientos. 1. ( ) [ + ( )] = Solucin:

14 3 + 2 [5 + 2 + 1] = 0 11 + 2 4 1 = 0 7 = 1 =

R. =

2. ( ) ( + )( ) = [( + )] Solucin:

9 42 + 49 5(2 4 + 2) = [3 1] 9 42 + 49 10 + 15 + 10 = + 3 + 1 + 27 3 = 1 59 30 = 58 =



R. =

3. ( + ) = { + [( )]} R. = 4. + = + ( ) ( + ) R. = 5. + ( + ) + = R. = Ecuaciones con expresiones fraccionarias Como anteriormente se indic, una ecuacin fraccionaria contiene uno o varios trminos con denominadores. Supresin de denominadores: Es una operacin que consiste en convertir una ecuacin fraccionaria en una ecuacin entera equivalente. Regla: Para suprimir denominadores en una ecuacin se multiplican todos los trminos de la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores. Cuando una fraccin cuyo numerador es un polinomio est precedida del signo menos, hay que tener cuidado de cambiar el signo a cada uno de los trminos de su numerador al quitar el denominador. Pasamos a resolver ecuaciones fraccionarias pero cuyo denominador es un monomio. Observe los primeros y como se resuelven para que usted resuelva el resto. Resolver las siguientes ecuaciones:

1.

+ =

Solucin:

+ 5 = (6)

+ 30 = 2 6 + 6 = 2 30 7 = 28



=

R. = 2.

+

=

+

= 0 (15)

9 10 + 3 = 0 = 3 R. = 3.

+

=

R. = 4.

+

=

R. = 5.

+ =

R. =

Desigualdades de primer grado

Las desigualdades se pueden obtener al preguntarse para cuales valores de la variable independiente x , la variable dependiente f x toma valores mayores que cero (+), o menores que cero (-). Tambien se puede aplicar mayores o iguales que cero o menores o iguales que cero

Si f x mx b 0 0 0 0f x f x tambien f x f x

Otra forma de donde puden surgir es de comparar funciones lineales

f x g x f x g x f x g x f x g x

f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h xf x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h x



Donde ,f x g x y h x son funciones lineales

Desigualdades

Resolver ecuaciones, por ejemplo, 6 + 17 = 8 2 5 = 0 es una de las tareas tradicionales de las matemticas. Pero es casi de la misma importancia en clculo saber resolver una desigualdad por ejemplo, 2 + 6 < 7 2 + 46 0 . Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los nmeros reales que la hacen verdadera. En contraste con una ecuacin, cuyo conjunto solucin en general, consta de un nmero o quiza un conjunto finito de nmeros, el conjunto solucin de una desigualdad por lo comn consta de un intervalo completo de nmeros o, en algunos casos, la unin de tales intervalos.

Propiedades de las desigualdades.

Dados dos nmeros reales, siempre podemos compararlos y decir si son iguales o cal es ms grande.

Escribimos < para decir que a es menor que b y que para decir que es menor o igual que.

En la recta, < significa que el punto correspondiente a est a la izquierda del que corresponde a .

El orden de los nmeros reales tiene las siguientes propiedades: a) Si y son nmeros reales, sucede una y slo una de las siguientes relaciones

(propiedad tricotoma). = , > , < b) Si < < , entonces a< (propiedad transitiva) c) Si < y , entonces + < + d) Si < , y > 0 entonces < e) Si < , y < 0 entonces > . podemos tener los tres casos siguientes.

< < < Conjunto e Intervalos

Definicin: Dados dos nmeros , en , con menor que , el intervalo definido por y es el conjunto de nmeros en que estn entre y . Los puntos y pueden o no pertenecer al intervalo, entonces podemos tener los siguientes casos.

a) Si y pertenecen al intervalo, ste se llama intervalo cerrado, y escribimos: [,]= { | }.



b) Si y no pertenece al intervalo, ste se llama intervalo abierto y escribimos: (,) = { | < < }.

c) Si alguno de los extremos, pero no ambos, pertenecen al intervalo tenemos estos dos casos (intervalos semiabiertos o semicerrados) (,] = { | }. [,) = { | }.

Desigualdades lineales

Ejemplo 1.

Hallar la solucin de la siguiente desigualdad 3 + 11 6 + 8 Ordenar terminos sejantes 3 6 8 11 (-1) 3 3 3 3 1 por lo tanto el conjunto es [1,)

Ejemplo 2. Hallar la solucin de la siguiente desigualdad 5 3 4 14 La desigualdad se separa en dos desigualdades. 5 3 4 y 3 4 14 5 3 4 3 4 14 5 + 4 3 3 18 9 3

6

3 [3,) (, 6] Se construye una tabla de valores y se sustituyen en la desigualdad original

Se multiplica la desigualdad por un nmero negativo y se cambia el orden de la desigualdad



(, 3] [3,6] [6,) X= 0 X=3 X=10 X=5 X=6

Finalmente el intervalo que cumplen con la solucion es: [3,6] o bien (, 6] U [3,) Ejercicios de desigualdade de primer grado

Para los siguientes ejercicos tambin indique que interpretacin tendrian los planteamientos matematicos en trminos de funciones 1.2 5 > 3 R . (4,) 2.3 + 11 < 5 R. (, 2) 3.1 < 3 + 4 16 R. [1,4] 4. 2 < 8 2 1 R. [

, 5]

5.5 3 16 6.

-

> 2 7. 3 3 + 7 12

8. 16 < 2 1312 23 9. 5 4 32 < 1 Aplicaciones de funcin lineal Ejemplo . Hallar las coordenadas del punto en el cual las rectas 3 4 + 6 = 0, 2 + 4 16 = 0 se interceptan. Solucin: se resuelve el sistema de ecuaciones Despejamos una de las incgnitas de las dos ecuaciones, elegimos la incgnita que tenga el coeficiente ms bajo 2 = 16 4 = 8 2 Sustituimos en la otra ecuacin la variable x, por el valor anterior 3(8 2) 4 = 6 Resolvemos la ecuacin obtenida 24 6 4 = 6, 10 = 30, = 3



Sustituimos el valor en la variable despejada = 8 2(3) = 2, = 3 por lo tanto las rectas se interceptan en el punto (2,3) Ejemplo 8. Se desea conocer la concentracin de Riboflavina (vitamina del grupo b), en una muestra de pescado, experimentalmente se realizo una curva de calibracin en el espectrofotmetro s21D, dicha curva cumple con la ley de Bouger Lambert-Beer (la absorbancia es directamente proporcional a la concentracin), a continuacin se muestran los datos inciales y finales de la curva.

a) Hallar la relacin matemtica entre absorbancia y % de concentracin b) Si la muestra dio una absorbacia de 0.047, qu porciento de concentracin le

corresponde? c) Si la muestra dio una absorbacia de 0.095, qu porciento de concentracin le

corresponde?

Solucin: Relacin matemtica entre absorbancia y % de concentracin Clculo de la pendiente: m =

= ..

.. = 0.29 Clculo de la ordenada: =() .= .( .) = . . Clculo de la concentracin a una absorbancia de 0.047 = .

. = = ... = 0.16 Clculo de la concentracin a una absorbancia de 0.095 = .

. = = ... = 0.32 Ejemplo 9. Los productos farmacuticos deben especificar dosis recomendada para adultos y nios. Dos formulas para modificar los niveles de medicamento para adulto y para nios, son:

Regla de Cowling: = ()

Regla de Frend: =

Si = 100 y dosis de adulto (en miligramos) y t denota la edad del nio (en aos).

a) Para qu edad las dos formulas especifican la misma dosis? b) Qu dosis se tiene para dicha edad?

% DE CONCENTRACION ABSORBANCIA 0.06 0.017 0.42 0.12



Solucin:

a) Si a = 100 entonces se tiene: =

+

= =

+

= 4.166 + 4.166 Cowling

=

=

= 8t Frend

Si las dosis son iguales para ambas ecuaciones y despejando a t tenemos que: 4.166 + 4.166 = 8t 8 4.166 = 4.166 3.834 = 4.166

= 1.09 b) 4.166 + 4.166 = 4.166(1.09) + 4.166 = 8.7

8t = 8(1.09) = 8.7 Ejemplo 10.

Se ha investigado que la frecuencia con que chirran los grillos es una funcin lineal afn a la temperatura ambiental. Los siguientes datos se obtuvieron experimentalmente.

x 41 44 F f(x) 4 16 Chirridos por minuto

a) Hallar la relacin matemtica de la frecuencia de chirridos de los grillos en funcin de la temperatura

b) Determine la frecuencia de chirridos a una temperatura de 43 F

Solucin:

Clculo de la pendiente =

= 4 Clculo de la ordenada al origen 4 = + 4(41) = 160 Ecuacin: = 160 + 4 El nmero de chirridos por minuto a una temperatura de 43 F es: = 160 + 4(43) = 12



Ejercicios propuestos

1. Hallar la pendiente y el ngulo de inclinacin de los siguientes segmentos de recta. a) (5,2),(9,6) solucin: = 1 = 45 b) (4,2),(4,7) solucin: = 90 c) (6,4),(5,8) solucin: = 1.09 = 133 d) (5,9),(10,9) solucin: = 0 = 0

2. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2,3) y tiene una pendiente

= 2. Solucin: = 2 1

3. . Un segmento de recta pasa por los puntos A (-3,-1) y B (2,-6). Hallar su ecuacin. Solucin: = 4

4. . Determinar la ecuacin del segmento de recta con pendiente 6 que pasa por el

punto P (

, 2) Solucin: = 6 + 5

5. Se tienen los siguiente puntos en el plano A(2,3) y B(-4,5), encontrar, la distancia entre los dos puntos y las coordenadas del punto medio

Solucin: = 6.325 (1,4) 6. Hallar la distancia entre los puntos (2,8)(3,5).

Solucin: 170

7. Sean (1,1) (3,0) dos puntos en el plano, determinar las coordenadas del punto medio M del segmento . Solucin: (1,

)

8. Graficar la siguientes rectas a) 6 + 2 3 = 0 b) 2 + 3 5 = 0 c) + + 3 = 0

d) + 2 = 0

9. Demostrar que los puntos (3,9),(4,3)(11,3) son colineales.

Solucin: = = =

10. Demostrar que los puntos (4,6),(2,4)(9,3) son los vrtices de un triangulo rectngulo.

Solucin: Ubicar los puntos en el plano



A

B

C

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

Los segmentos de recta que se formaran son perpendiculares y el producto de sus pendientes debe ser igual a 1, Por lo que es un triangulo rectngulo.

11. Calcular la longitud del segmento AB si se conoce que el punto A tiene por coordenadas (5,3), y el punto B tiene como coordenadas (4,1). Solucin: 85

12. Encontrar la ecuacin de la recta paralela a 2 + 7 = 0 que pasa por el punto (1,3). Solucin: 2 + 5 = 0 13. En los pases anglosajones suelen usar la escala Fahrenheit para medir temperaturas. En esta escala el punto de congelacin del agua se alcanza a 32F, y el de ebullicin a 212F. Nosotros usamos la escala Celsius en la que estos puntos se alcanzan a 0C y 100C respectivamente.

a) Hallar la ecuacin que relacione C con F y dibujarla. b) A cuntos C equivalen 80F? c) A cuntos F equivalen 36C?

Solucin: a) F = 1.8C + 32, b) 80 F = 26.7 C, c) 36 C = 96.8 F 14. Un beb pesa 10 libras al nacer y 3 aos ms tarde el peso del nio es 30 libras. Suponga que el peso W (en libras) en la infancia est linealmente relacionado con la edad t (en aos). a) Exprese w en trminos de t b) Cul es el peso en el sexto cumpleaos del nio? c) A qu edad el nio pesar 70 libras? Solucin: a) () = 10 + 6.66 b) 49.96 libras c) 9 aos



15. Si la dosis de un medicamento que se recomienda para un adulto es D en mg, entonces para determinar la dosis aceptable para un nio de edad , los farmacuticos usan la ecuacin = 0.0417( + 1), suponga que la dosis para un adulto es 200 mg.

a) Determine la pendiente y que representa b) cul es la dosis para un recin nacido?

Solucin: a) pendiente = 8.34 y represente el incremento en la dosis por cada ao en la edad, b) 8.34 mg

16. La relacin entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F) y Celsius (C) se expresa mediante la relacin: F = 1.8C + 32 Completar la siguiente tabla y determinar la temperatura a la cual las dos escalas tienen el mismo valor.

Solucin: -76F, -4F, 14F, 32F, -12.22C, 10C, 23.88C, 37.77C y ambas escalas son iguales en el valor de -40.

17. En el juego de video que se muestra en la figura, un avin vuela de izquierda a derecha a lo largo de la trayectoria dada por y = 1 +

y dispara balas en la direccin tangente a

criaturas colocadas sobre el eje X, en X= 1, 2, 3 y 4

Mediante un clculo, la pendiente de la recta tangente a la trayectoria en P (1,2) es m = -1 y en Q(

,

) es m = -

, determine si una criatura ser blanco de balas cuando el avin est

en:

a) P b) Q

C F -60 -20 -10 0 10 50 75 100



18. A partir de las siguientes figuras, obtener la ecuacin lineal que relacione la distancia y el tiempo

19. En la superficie del mar, la presin del agua es cero y la presin total es la presin atmosfrica, la cual tiene un valor de 14.6885 lbf/plg2 , por debajo de la superficie la presin aumenta 4 lbf/plg2 por cada 10 pies que se desciende.

a) Determine una ecuacin para la relacin entre presin y profundidad del mar b) Trace una grafica de esta ecuacin obtenida c) Qu representa la pendiente y la ordenada al origen de la grafica?

20. La presin del gas es directamente proporcional a su temperatura (Ley de Gay Lussac). Si aumentamos la temperatura, aumentar la presin. Si disminuimos la temperatura, disminuir la presin. En la siguiente grfica hallar la ecuacin que relacione presin y temperatura



Temperatura

21. En el laboratorio de qumica se elabor una solucin, en la cual se midi la temperatura en dos tiempos diferentes, las temperaturas fueron de 5C y 50C. Para estudiarla es ms conveniente establecer una nueva escala de temperatura, a la cual la llamaremos grados OMEGA (), si a 0 le corresponden -10C y a 100 le corresponden 90C, determinar:

a) La funcin lineal, para calcular los grados Celsius como una funcin de los grados OMEGA.

b) Utilizando la funcin del inciso anterior calcula los grados Celsius que le corresponden a 60.

c) Calcula los grados omega que le corresponden a 5C y 50C.

22. Un auto inicia su movimiento en el kilometro 20 de una carretera, siendo las 13:00 hrs del da y 9 horas despus de haber comenzado, cruza el kilometro 70. Si este movimiento es rectilneo uniforme en todo momento (funcin lineal), determina:

a) La funcin lineal, para calcular el desplazamiento como una funcin del tiempo b) Utilizando la funcin del inciso anterior calcular a que kilometro llegar en el

momento en que han transcurrido 11 horas de viaje. (las condiciones del movimiento se mantendrn)

23. Un ingeniero qumico fabrica cosmticos y observa que cuesta 2200 pesos manufacturar 100 labiales rojo carmn en un da, y 4800 pesos producir 300 labiales en un da.

a) Si se supone que la relacin entre costo y nmero de labiales fabricados es lineal, encuentre una ecuacin que exprese esta relacin. Luego grafique la ecuacin.

b) Cul es la pendiente de la recta del inciso anterior y qu representa? c) cul es la ordenada al origen de esta recta y qu representa?

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 100 200 300 400 500

P r e s i n

K

atm



Funcin de segundo grado

La parbola

Las cnicas de Apolonio Pergamo (262-190 a.C), constaban de ocho libros. Esta obra es el resultado de estudiar las secciones de un cono a las que denomin cnicas. Apolonio descubri que se obtenan al cortar mediante una superficie plana un cono circular en diversas posiciones. Depende de cmo se corten, las secciones resultantes sern crculos, elipses, hiprbolas o parbolas. Aunque estos conceptos no tuvieron posibilidad de ser aplicados a la ciencia de su poca, su importancia ha quedado plenamente justificada con el paso del tiempo.

Uno de los puntos de la parbola es el punto medio entre el foco y la directriz, este punto es el vrtice. En este caso el vrtice es el origen. La distancia que hay entre el vrtice y el foco, as como entre el vrtice y la directriz es p. la recta que une al vrtice con el foco y que es perpendicular a la directriz se conoce como el eje de simetra. Un segmento de recta que

Une dos puntos de una parbola se conoce como cuerda de la parbola. La cuerda que pasa por el foco y es paralela a la directriz, y por tanto perpendicular al eje de simetra es el lado recto. La longitud del lado recto es 4p, o sea 4 veces la distancia del foco al vrtice. Esta longitud indica qu tan abierta o cerrada es la parbola. Formas Canoncas La ecuacin de la parbola de vrtice el origen y eje paralelo al eje es:

= 4 La ecuacin de la parbola de vrtice el origen y eje paralelo al eje es:

= 4

Definicin de la parbola Es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera, que su distancia a una recta fija, es igual a su distancia a un punto fijo, situados ambos en el mismo plano



Formas Ordinarias La ecuacin de la parbola de vrtice (, ) y eje paralelo al eje de las es: ( ) = 4( ) La ecuacin de la parbola de vrtice (, ) y eje paralelo al eje de las es: ( ) = 4( ) Forma general

La ecuacin + + + + = 0 es la ecuacin de una parbola, si alguno de los coeficientes de los trminos cuadrticos es cero, esto es: A o B=0

Comportamiento grfico y analtico de 2f x x . Esta funcin de segundo grado es la base para transformaciones posteriores, por lo cual es fundamental comprender su comportamiento. Para 0x tabulamos los valores correspondientes para f x

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x) 0 1 4 9 16 25 36 49 64

Observamos el comportamiento de los valores de la variable dependiente

Si a partir de 0x la variable independiente crece en uno, f x crece al cuadrado.

Si a partir de 0x la variable independiente crece en dos, f x crece al cuadrado.

Si a partir de 0x la variable independiente crece en tres, f x crece al cuadrado.

Y as sucesivamente.

Entonces para valores 0x , f x crece directamente proporcional al cuadrado.

La funcin es CRECIENTE.

La grafica completa tomando valores positivos y negativos de x



2f x x

La monotona ,0 0,decreciente y es Creciente

La funcin 2f x x es la funcin anterior ms una constante como 2 2f x x

Si tabulamos queda

x 0 1 2 3 4 5

21f x x 0 1 4 9 16 25

22 2f x x 2 3 6 11 18 27

Observemos el comportamiento de las variable dependiente 2f x , nos damos cuenta que

a cada valor de 1f x le debemos agregar 2 y ahora en base a los valores de x , 2f x

es directamente proporcional al cuadrado ms dos.

Para la grafica la variable independiente toma tanto valores positivos como negativos

-10123456789

10111213141516

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4



Grafica de 2 21 2 2f x x y f x x

Segn la grfica anterior nos damos cuenta que a cada punto de la funcin 1f x (curva en azul) se desplaza hacia arriba (aumenta) dos unidades resultando 2f x (curva en rojo) La monotona ,0 0,decreciente y es Creciente

Si en lugar de haber sumado dos a la funcin base 1f x le hubiramos restado alguna

constante como por ejemplo 23 1f x x .

Tabulamos considerando solamente 0x

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

21f x x 0 1 4 9 16 25 36 49 64

23 1f x x -1 0 3 8 15 24 35 48 63

Nos damos cuenta que a cada valor de la funcin base 1f x le restamos 1, para obtener

3f x .

Para la grfica si consideraremos tanto valores positivos como negativos de x

-10123456789

10111213141516

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4



Grafica de 2 21 3 1f x x y f x x

Segn la grfica anterior nos damos cuenta que a cada punto de la funcin 1f x (curva en azul) se desplaza hacia abajo (disminuye) una unidad resultando 3f x (curva en rojo) La monotona ,0 0,decreciente y es Creciente

La funcin 2f x x es la funcin base ms una constante directamente a la

variable independiente. Como 22f x x

Ahora consideraremos 2x (abscisa del vrtice)

Si tabulamos queda

x -2 -1 0 1 2 3 4 5

1f x 4 1 0 1 4 9 16 25

4f x 0 1 4 9 16 25 36 49

Para realizar la grfica si consideramos ms valores positivos y negativos de x

-2-10123456789

1011121314

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4



Grafica de 221 3 2f x x y f x x

De la grfica notamos que haber sumado dos a la variable independiente ocasiona un corrimiento hacia la izquierda en dos unidades de cada punto de la grfica base 1f x (azul) resultando la curva 4f x (roja)

Adems algo importante 2 22 4 4f x x x x La monotona , 2 2,decreciente y es Creciente

El siguiente ejercicio es para el alumno Si en la funcin 2f x x le restamos 3 directamente a la variable independiente quedando 23f x x 2 6 9f x x x Cmo sera su comportamiento analtico y grafico?

Ahora 2f x x lo cual es una constante que multiplica a la funcin base 21f x x como por ejemplo 25 2f x x . Realicemos una tabla igual que antes solo para 0x

x 0 1 2 3 4 5 6 7

21f x x 0 1 4 9 16 25 36 49

25 2f x x 0 2 8 18 32 50 72 98

0123456789

10111213141516

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5



Aqu observamos 5f x aumenta el doble del cuadrado, cuando x aumenta a partir del vrtice.

Grafica 2 21 5 2f x x y f x x

En la grfica vemos que a partir del vrtice si x aumenta, 5f x (curva roja) aumenta el doble del cuadrada para 0x .Muy importante el coeficiente 2 es positivo. La monotona ,0 0,decreciente y es Creciente

0123456789

10111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6



Si el coeficiente fuera negativo. Comencemos con 1 26f x x . Realicemos la tabla de valores. Para 0x

x 0 1 2 3 4 5 6 7

1f x 0 1 4 9 16 25 36 49

6f x 0 -1 -4 -9 -16 -25 -36 -49

Si el coeficiente del trmino cuadrtico es negativo. Observamos que a partir del vrtice, s x aumenta 6f x disminuye, o sea la funcin es decreciente y que 6f x tiene casi los mismos valores que 1f x , la nica diferencia es el signo.

Grafica 1 6f x y f x

Ahora para 27 3f x x observamos que el coeficiente es negativo, realicemos la tabla respectiva. Para 0x a la derecha del vrtice.

x 0 1 2 3 4 5 6 7

1f x 0 1 4 9 16 25 36 49

6f x 0 -3 -12 -27 -48 -75 -108 -147

-12-11-10

-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

101112

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4



Notamos que si x aumenta, los valores de 7f x disminuye en el triple del cuadrado. Esto a la derecha del vrtice, la funcin es decreciente.

Grafica 21 7 3f x y f x x

La monotona ,0 0,Creciente y es Decreciente

Transformacin de la funcin 2f x ax bx c en 2f x x Primero comencemos con la funcin 28 6 10f x x x la cual tiene uno como coeficiente del trmino cuadrtico.

28

28

28

2

8

6 106 10 106 10 9 . . .

3 1

9

. . .

9

f x x x No es un trinomio cuadrado perfectof x x x El hace que no sea un trinomio cuadrado perfecto y lo hacemos a un ladof x x x Sumamos y restamos para acompletar el T C P

f x x Factorizamos el T C P y r

19 0educimos los numeros

-40-39-38-37-36-35-34-33-32-31-30-29-28-27-26-25-24-23-22-21-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10

-9-8-7-6-5-4-3-2-10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5



Ahora nos damos cuenta que el vrtice de 1f x 1 0,0fV se desplaza tres unidades a la izquierda y uno hacia arriba

83,1fV y a la derecha del vrtice la funcin es directamente

proporcional al cuadrado

Grafica de 21 8 6 10f x y f x x x

La monotona , 3 3,decreciente y es Creciente

Ahora 29 2 8 6f x x x

29

29

29

29

2 8 6

2 4 3 2

2 4 3

4 4

3

2 4 3 4

f x x x No es un trinomio cuadrado perfectof x x x Factorizamos

Operaremos dentro del parentecisf x x x El hace que no sea un trinomio cuadrado perfecto y lo hacemos a un lado

f x x x Sumamos y restamos

2

9

2

9

. . .

2 2 7 . . . 3

2 2 14

4

2

para acompletar el T C P

f x x Factorizamos el T C P y reducimos los numeros

f x x Multiplicamos

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5



2 2

1 9 2 8 6f x x y f x x x

La monotona , 2 2,decreciente y es Creciente

El vrtice de 9f x con referencia al vrtice 1f x esta desplazado dos unidades a la derecha y 14 unidades hacia abajo, encontrndose en 2, 14V y adems de este vrtice a la derecha, es creciente y la funcin es directamente proporcional al doble del cuadrado. El siguiente ejercicio es para tomar en cuenta que no es forzoso que siempre nos encontremos con nmeros enteros.

-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10

-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

1011121314151617181920

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



210

2 210

210

2

10

3 10 710 73 1,3 3

10 7 1003 . . .3 3 36

5

25 259 9

433 9

f x x x

f x x x Factorizamos para dejar el coeficiente de x en observe los signos

f x x x Completamos el T C P sumando y restando simplificado

f x x

2

10

25 7 49 3 9

5 4 4 43 3 33 3 9 3

Factorizando y reduciendo

f x x Multiplicando por y simplificando

De lo anterior el vrtice en referencia al vrtice de 1f x esta desplazado 53

a la derecha y

43

hacia arriba o sea 10

5 4,3 3f

V

y el coeficiente del trmino cuadrtico es 3 por lo que a

la derecha del vrtice la funcin disminuye el triple del cuadrado. La funcin es decreciente a la derecha del vrtice

Grafica de 2 21 10 3 10 7f x x y f x x x

La monotona 5 5, ,3 3

Creciente y es Decreciente

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4



Intersecciones de la funcin 2f x ax bx c Con el eje de las ordenadas se da cuando la x toma el valor de cero y el punto de interseccin de obtiene evaluando la funcin en cero 0f Por ejemplo en 21f x x La interseccin es en 0x

21

1

00 0

f of

Ejemplo 2 3f x x x

2

2

30 0 3 00 0

0,0

f x x xff

Ejemplo

2

2

7 3

0 7 0 3 00 0

0,0

f x x x

ff

Ejemplo

2

2

3 5

0 3 0 50 5

0,5

f x x

ff

Ejemplo

2

2

4 7 4

0 4 0 7 0 40 4

0, 4

f x x x

ff



Ejemplo

2

2

3 10 2

0 3 0 10 0 20 2

0, 2

f x x x

ff

Con el eje de las abscisas se da cuando la f x toma el valor de cero y el punto de interseccin de obtiene igualando la funcin a cero 2 0f x ax bx c . Si la ecuacin formada no tiene solucin en el conjunto de los nmeros reales, significa que la curva de la funcin no intersecta al eje de las abscisas Ejemplo: 22 3 5 0f x x x si f x 2 3 + 5 = 0 con lo cual queda formada una ecuacin de segundo grado la cual es una situacin particular de la funcin de segundo grado correspondiente. Una ecuacin de segundo grado es completa si tiene la forma + + = 0 que contiene un trmino cuadrtico, uno lineal y uno independiente de x. Una ecuacin es incompleta si son de la forma + = 0o bien + = 0 Ejemplos: 3 7 = 0 2 + 3 = 0 Toda ecuacin de segundo grado posee dos races. Frmula general La deduccin de esta conocida frmula se incluye a continuacin: + + = 0 Trasponiendo + = Dividiendo la ecuacin entre a +

=

Completando el cuadrado, para lo cual agregamos a ambos trminos el cuadrado de la mitad del coeficiente del trmino lineal.



=

+

+

=

+

En el miembro izquierdo factorizamos y en el derecho sumamos las fracciones

+ =

Extrayendo la raz cuadrada en ambos miembros

+

=

Trasponiendo

=

Finalmente

=

Con lo anterior se ve que una ecuacin de segundo grado se puede resolver operando slo con sus coeficientes. Discriminante Una ecuacin de segundo grado tiene dos y slo dos races cuyos valores son:

= y = En cada una de estas expresiones la cantidad 4 se llama discriminante y dependiendo del valor que tenga ser el tipo de soluciones que se hallen. Naturaleza de las races El carcter de las races depende, como se dijo anteriormente del valor del discriminante. Por lo tanto pueden ocurrir tres posibilidades Races reales diferentes Se presenta este caso cuando el discriminante 4 > 0



Races reales iguales Se dar este caso cuando 4 = 0 Races complejas Por ltimo si 4 < 0 no podremos resolver dentro del campo de los nmeros reales, as que se recurrir a los nmeros imaginarios y por supuesto a los nmeros complejos. Lo cuan queda fuera de nuestro campo de estudio en este momento. Es importante notar que los coeficientes de la ecuacin de segundo grado pueden ser enteros o fraccionarios, en ste ltimo caso es posible multiplicar la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de ellos y se transformarn en enteros; pero pueden ser nmeros irracionales. An la solucin depende del valor del discriminante y si ste no es un cuadrado perfecto se obtendr una solucin con nmeros irracionales como ms adelante se ver. Pasamos ahora propiamente a exponer ejercicios con ecuaciones de segundo grado y su solucin. Nuevamente se pide revisar los primeros y resolver los ltimos. Resolver las siguientes ecuaciones por la frmula general:

1. + = Solucin:

= 3, = 5, = 2 = ()()()()

() =

=

=

R. = = = = = = 2. 4 + = Solucin:

= 4, = 3, = 22 = ()()

()



=

=

=

R. = = = = = = 3. + = R. = = 4. = R. = = 5. = R. = = En ocasiones primero se debe llevar la ecuacin a la forma + + = 0 antes de proceder a su solucin. Esta es la intencin del siguiente grupo de problemas. 1. ( + ) = + Solucin:

+ 3 5 3 = 0 2 3 = 0 = 1, = 2, = 3 = ()()()()

() =

=

=

R. = = = = = = 2. ( ) = ( + )( )



Solucin:

9 6 = 16 + 9 22 = 0 = 1, = 9, = 22 = ()()

() =

=

=

R. = = = = = = 3. + = ( )( + ) R. = = 4. ( ) ( + ) = R. = = 5. (+ ) = ( ) R. = = Creemos conveniente tambin incluir ecuaciones de segundo grado con denominadores para recordar los procedimientos requeridos para su solucin.

1.

=

Solucin:

= 0 (10)

2 5 3 = 0 = 2, = 5, = 3 = ()()()()

()



=

=

=

R. = = = = = = 2.

=

Solucin:

4

= 0 (2)

8 3 26 = 0 = 8, = 3, = 26 = ()()()()

() =

=

=

R. = = = = = = 3.

= ( )

R. = = 4.

( ) +

( ) =

R. = = 5.

=

R. = = + Otra forma muy comn de resolver ecuaciones de segundo grado es por factorizacin. Las siguientes ecuaciones se resuelven por este mtodo.



1. = Solucin:

( 3)( + 2) = 0 3 = 0 + 2 = 0 R. = = 2. + = Solucin:

+ 7 18 = 0 ( + 9)( 2) = 0 + 9 = 0 2 = 0 R. = = 3. = R. = = 4. = R. = 5. + = R. = = Las ecuaciones literales tambin deben ser incluidas en este estudio, ahora que se conocen los mtodos fundamentales para resolver ecuaciones de segundo grado; esto permitir seleccionar el mtodo ms adecuado. 1. + = Solucin:

( + 7)( 5) = 0 + 7 = 0 5 = 0 R. = = 2. 10 =



Solucin:

10 + 37 36 = 0

= 0

()()

= 0 ()()

= 0

(2 + 9)(5 4) = 0 2 + 9 = 05 4 = 0 R. = = 3. + = R. = = 4. = + R. = = 5. + = R. = = Cuando falta el trmino lineal o el independiente de una ecuacin de segundo grado, la solucin suele ser ms fcil, por eso se incluyen dos bloques ms para considerar esta posibilidad. Primero veamos las ecuaciones incompletas del tipo + = 0 1. = Solucin:

=

16 = 0 ( + 4)( 4) = 0 + 4 = 0 4 = 0 R. = =



2. 5 = Solucin:

5 = 55 =

11 = 0 + 11 11 = 0 + 11 = 0 11 = 0 R. = = 3. 7 + = R. = = 4. = R. = = 5. ( + )( ) = R. = = Ahora ecuaciones incompletas del tipo + = 0 estas tienen la peculiaridad de que una de las soluciones siempre ser cero. 1. = Solucin:

5 = 0 ( 5) = 0 = 0 5 = 0 R. = = 2. 4 = Solucin:

4 + 32 = 0



4( + 8) = 0 4 = 0 + 8 = 0 R. = = 3. = R. = = 4. + = ( + ) R. = = 5. ( ) ( + ) = R. = = Finalizamos esta parte incluyendo ecuaciones que no son de segundo grado pero que pueden resolverse usando los mtodos de stas. 1. + = Solucin:

( 9)( 1) = 0 9 = 0 1 = 0 ( + 3)( 3) = 0( + 1)( 1) = 0 + 3 = 0 3 = 0 + 1 = 0 1 = 0 R. = = = = 2. + = Solucin:

( 9)( 4) = 0 9 = 0 4 = 0 ( + 3)( 3) = 0( + 2)( 2) = 0 + 3 = 0 3 = 0 + 2 = 0 2 = 0 R. = = = =



3. + = R. = = = = 4. + = R. = = = = 5. + = R. = = = = Desigualdades de segundo grado Surgen de preguntarnos Para qu valores de x la funcin de segundo grado 2f x ax bx c es mayor que cero o para que valores de x la funcin de segundo

grado 2f x ax bx c es menor que cero ?

0 00 0

f x f xf x f x

Cuando f x es una funcin de segundo grado: 2 2

2 2

0 00 0

ax bx c ax bx cax bx c ax bx c

Tambin pueden surgir de comparar dos funciones de segundo grado

f x g x f x g xf x g x f x g x

Cuando f x y g x son funciones de segundo grado. Otra situacin es de comparar una funcin de segundo grado con una lineal

f x g x f x g xf x g x f x g x

Cuando f x es una funcin de segundo grado y g x es una funcin lineal.



Desigualdades con trmino cuadrtico

Hallar para que valores de x la funcin 22 3f x x x es menor que cero 2 3 < 0

Factorizando: ( + 1)(2 3) < 0 Se tienen dos casos: i) + 1 < 0 2 3 < 0 < 1 2 < 3 (,1) (,

)

ii) + 1 > 0 2 3 > 0 > 1 2 > 3 (1,) (

,)

Tabla de valores propuestos (,1) (1,

) (

,) X= -5 X=-1 X=2 X=0 X=

Solucin: los valores que cumplen con la desigualdad estn en el intervalo (1,

) Ejemplo Hallar los valores de x que satisfaga la condicin f x g x Para 2 25 3 3 2f x x x y g x x 5 + 3 3 + 2 Ordenando la desigualdad se tiene 2 + 3 2 0 Factorizando la desigualdad ( + 2)(2 1) Se tienen dos casos: i) + 2 0 2 1 0 2 2 1 [2,) [

,)

ii) + 2 0 2 1 0 2 2 1 (,2] (,

]

Tabla de valores propuestos (,2] [2,

] [

,)

X= -3 X=-2 X=1 X=0 X=

Solucin: (,2] [

,)



Ejercicios de desiguialdades de segundo grado Para los siguientes ejercicos da una interpretacion en trminos de funciones segn el planteamiento matematico 1) > 7 10 R. (-,2) U (5,)

23) 2 3 5x x

2) 2 3 10 0x x R. (-,-2) U (5,)

24) 4 5 9 0x x

Ejercicios Graficar la siguiente parbola completando el trinomio cuadrado perfecto. Y = 5 + 20 + 17 Se desea la forma: = ( ) + Se procede a factorizar los trminos en x: = 5( + 4) + 17 Se completa el cuadrado: 5( + 4 + 4 4) + 17 5[ + 2) 4] + 17 5( + 2) 3 Vrtice: V(-2,-3) Intersecciones con los ejes de coordenadas Si y = 0 A partir de la ecuacin obtenida: Y = 5( + 2) 3 5( + 2) 3 = 0 Se despeja x-. x =

2 o bien x1 = 2 y x2 = 2

Si x = 0 en Y =5 + 20 + 17 entonces se tiene: y = 17 Cul es la monotona de la funcin? Para qu valores de x la funcin es mayor que cero? Para qu valores de x la funcin es menor que cero? Ejemplo Obtener el vrtice y las intersecciones de la parbola =

+ 2, haciendo uso del trinomio

cuadrado perfecto. Solucin: Se desea la forma: = ( ) + Se procede a factorizar los trminos en x: =

( + 4)

Se completa el cuadrado: =

( + 4 + 4 4)



=

[( + 2) 4] =

( + 2) 2

Vrtice: V(-2,-2) Intersecciones con los ejes de coordenadas Si y = 0 A partir de la ecuacin obtenida =

( + 2) 2

0 =

( + 2) 2

( + 2) = 2

( + 2) = 4 + 2 = 4 = 2 2 por lo tanto se tiene (0,0) y (-4,0) Si x = 0 en =

( + 2) 2

=

(0 + 2) 2 Y = 0 la interseccin es en (0,0) Cul es la monotona de la funcin? Para qu valores de x la funcin es mayor que cero? Para qu valores de x la funcin es menor que cero? Ejercicios Ejemplo La rapidez de crecimiento (en libras por mes) de un infante est relacionada con el peso actual (en libras) por la frmula = (21 ) , donde es una constante positiva y 0



Ejercicios propuestos

1. Hallar los puntos de interseccin de la parbola + 12 + 4 8 = 0 con la recta 4 6 = 0. Solucin:

,5 (1,2) 2. A partir de las siguientes parbolas calcular, a) las coordenadas del vrtice, b) las intersecciones con los ejes coordenados c) Monotonia, d) 0 0y y y .

i) 24 6 8 0y x x ii) 3 9 5 2 = 0 iii) 24 6 13 0y x x

3. Graficar la siguiente funcin completando el trinomio cuadrado perfecto. Y = 2 + 8 Solucin: Vrtice: V(-1,9) Intersecciones con los ejes de coordenadas (2,0), (4,0), (0,8) Cul es la monotona de la funcin? Para qu valores de x la funcin es mayor que cero? Para qu valores de x la funcin es menor que cero? 4. Graficar la siguiente funcin completando el trinomio cuadrado perfecto. Y = 4 Solucin: Vrtice: V(2,-4) Intersecciones con los ejes de coordenadas (4,0), (4,0), (0,0) Cul es la monotona de la funcin? Para qu valores de x la funcin es mayor que cero? Para qu valores de x la funcin es menor que cero? 5. Obtener el vrtice y las intersecciones de la funcin = 3

, haciendo uso del

trinomio cuadrado perfecto. Solucin: V(1,

)

Intersecciones: 7 1, 0, 7 1, 0, (0, 3) Cul es la monotona de la funcin? Para qu valores de x la funcin es mayor que cero? Para qu valores de x la funcin es menor que cero?



6. Obtener el vrtice y las intersecciones de la funcin =

+ 2 + 7, haciendo uso del trinomio cuadrado perfecto. Solucin: V(3,10) Intersecciones: 30 + 3, 0, 30 + 3, 0, (0, 7) Cul es la monotona de la funcin? Para qu valores de x la funcin es mayor que cero? Para qu valores de x la funcin es menor que cero? Aplicaciones de funciones de segundo grado 14. El nmero de manzanas que produce cada rbol en una huerta depende de la densidad de rboles plantados. Si se plantan arboles en un acre de tierra, entonces cada rbol produce 900 9 manzanas, as que el nmero de manzanas producidas por acre es () = (900 9),cuntos rboles se deben plantar por acre a fin de obtener la produccin mxima de manzanas? Solucin: = 50arboles de acre 15. La trayectoria que sigue una persona al saltar desde una plataforma de 7 metros de altura est dada por la ecuacin = 2 + 8, donde es la distancia horizontal y es la altura, ambas variables estn dadas en metros. a) A qu distancia entrara al agua a partir del punto mximo? b) Cul es la altura mxima total que alcanza la persona a

partir del nivel del agua Solucin: a) 9 metros; b) 3 metros 16. Cuando cierto frmaco se toma oralmente, su concentracin en el torrente sanguneo del paciente despus de minutos est dada por () = 0.06 0.0002 donde 0 t 240 y la concentracin se mide en mg/L. cundo se alcanza la concentracin mxima, y cul es esa concentracin mxima?

Y

X



Funciones Racionales

Una funcin racional se define como aquella que se puede expresar como el cociente de dos funciones polinomiales. Por consiguiente, si y son funciones polinomiales y es la funcin definida como

() = ()()

El dominio

De una funcin racional consiste en los nmeros reales excepto aquellos para los que el denominador es cero. Al graficar una funcin racional, se recomienda tener cuidado en el comportamiento de la grfica cerca de esos valores.

El Contradominio o rango

De una funcin racional consiste en los nmeros reales () (variable dependiente) para los cuales, la variable independiente x existe en el conjunto de los nmeros reales, lo podemos determinar mediante el despeje que se muestra a continuacin.

Si ;s x y f x ax b y g x cx d

ax bycx d

y cx d ax bcxy dy ax bcxy ax b dyx cy a b dy

b dyxcy a

El contradominio es el conjunto de valores de y que no ocasionen cero en el denominador de la ltima expresin, a sea el contradominio es el conjunto de los nmeros reales y

donde ayc

s aDom y c Ejemplos de funciones racionales:

() =

() =

() =

() =



Ejemplo 1. Bosquejar la siguiente grafica () =

() = 1

x puntos

(4) = 14 = 14 -4 (4, 14) (2) = 12 = 12 -2 (2, 12) (1) = 11 = 1 -1 (1,1)

12 = 1 12 = 2 12 ( 12 ,2)

14 = 1 14 = 4 14 ( 14 ,4)

12 = 1 12 = 2 12 (12 ,2)

14 = 1 14 = 4 14 (14 , 4)

(1) = 11 = 1 1 (1,1) (2) = 12 = 12 2 (2, 12)



-10 -5 5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

smbolo significa xa- xa+ x- x

tiende a por la izquierda tiende a por la derecha tiende a menos infinito; es decir, disminuye sin cota tiende a infinito; es decir, incrementa sin cota

ASNTOTAS

Es el comportamiento de la curva para valores extremadamente grades (positiva o negativamente) ya sea en la variable independiente o en la variable dependiente.

() 0+

() = 0

() = 0-

() = 0 Asntota horizontal

Asntota vertical



ASNTOTA VERTICAL

Es el valor de las abscisas para el cual la funcin denominador se hace cero y la funcin del numerador es diferente de cero, es un valor fuera del dominio de la funcin. En nuestra

simbologa si

f xs xg x

es el valor que hace que 0g x y 0f x , para determinarlo

simplemente se plantea la ecuacin correspondiente, en el caso de ax bs xcx d

la

ecuacin es 0cx d y por lo tanto dxc

es la asntota vertical. Cabe mencionar que

como esta asntota es una recta vertical la cual NO ES UNA FUNCIN.

ASNTOTA HORIZONTAL

Es una funcin constante a la cual la variable dependiente se acerca cada vez ms conforme la variable independiente se aleja de cero ya sea hacia y una forma de

determinarla es a partir de la funcin ax bycx d

despejando a la variable independiente x

ax bycx d

y cx d ax bcxy dy ax bcxy ax b dyx cy a b dy

b dyxcy a

De la ltima expresin de calculamos que valor de y (variable dependiente) ocasiona que

el denominador sea cero mediante la ecuacin 0cy a en este caso ayc

ayc

Es la funcin constante el cual es la asntota horizontal

El cmo se defini a las asntotas, tanto verticales como horizontales, es de forma intuitiva a partir de la observacin de las grficas, la definicin formal de las asntotas se dejara para cursos posteriores, ya que es necesario el concepto de lmite.



-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-15 -10 -5 0 5 10 15

Transformaciones de =

Ejemplo 2. Bosqueje la siguiente funcin

() = 3 5

Tenemos una funcin racional de la forma () =

, se puede graficar si se desplaza,

alarga o refleja la grafica de () =

. (Recordar el tema 2.4)

() = 3(

) Factor 3 () = 3(( 5)) Puesto que () =

Podemos observar que la grafica de () se obtiene de la grafica de () desplazando 5 unidades a la derecha y alargando verticalmente por un factor de 3. As () tiene una asntota vertical en = 5 y una asntota horizontal en = 0 La monotona 5 Decreciente



-3

-2

-1

0

1

2

3

-15 -10 -5 0 5 10 15

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10


() = 6 + 23 + 4

Al hacer la divisin larga tenemos () = 6

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-15 -10 -5 0 5 10 15

() = 1

Reflexin de la grafica () =

() = 1 + 4

Desplazamiento horizontal de cuatro unidades a la izquierda

() = 6 1 + 4

Desplazamiento vertical de seis unidades hacia arriba



0

2

4

6

8

10

12

-15 -10 -5 0 5 10 15

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-15 -10 -5 0 5 10 15

-6

-4

-2

0

2

4

6

-15 -10 -5 0 5 10 15

Finalmente se puede observar que la grafica de () se desplaza 5 unidades a la izquierda, y se desplaza hacia arriba 6 unidades. As () tiene una asntota vertical = 4 y una asntota horizontal = 6. La monotona 4 Creciente


() = 2 + 3 1

divisin larga se tiene () = 2 +

Al realizar la

() = 6 + 23 + 4

() = 1

() = 5



-6

-4

-2

0

2

4

6

-15 -10 -5 0 5 10 15

-30

-20

-10

0

10

20

30

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0bservamos que la grfica de () se desplaza 1 unidad a la derecha, y se desplaza hacia arriba 2 unidades. As () tiene una asntota vertical = 1 y una asntota horizontal = 2. y su interseccin con el eje es en el punto (0,3) y (

, 0) con el eje .

La monotona 1 Decreciente

() = 5 1

() = 2 + 5 1



Intersecciones

Intersecciones con el eje de las ordenadas

Al igual que en las funciones de segundo grado es cuando la variable independiente x toma el valor de cero y para determinar el punto de interseccin tan solo hay que evaluar la funcin en cero 0f siempre y cuando 0f exista.

Ejemplo determina la interseccin con el eje vertical para

1f xx

Evaluamos la funcin en 0x

100

f no existe en por lo tanto no hay interseccin con el eje vertical.


35

g xx


30 5

305

0

30,5

g

g


() =


6 234

6 0 2300 4

2304

230,4

xt xx

t

t




() = 2 + 3 1


2 0 3

0 1301

0 3, 3

0

0

p

p

p

Interseccin con el eje de las abscisas Es un caso particular de la funcin racional, es cuando la variable dependiente toma el valor

de cero para

0 0h x h xf x y f xg x g x

o sea queda planteada una

ecuacin racional. Una ecuacin racional tambin puede surgir de la combinacin de funciones, las cuales no trabajares en este momento. Ejemplo determina la interseccin con el eje horizontal para

1 10 0f x si f x entoncesx x

Al querer despejar, multiplicando por ambos lados por x

1 0

1 0

x xx

Lo cual es un absurdo matemtico, por lo que no existe interseccin con el eje de las abscisas

Ejemplo determina la interseccin con el eje horizontal para

3 30 05 5

g x si g x entoncesx x

.

Y solo resta despejar a x



3 05

3 5 0 55

3 0

x

x xx

Nuevamente concluimos que no hay interseccin con el eje horizontal.

Ejemplo determina la interseccin con el eje las abscisas para

6 23 6 230 04 4

x xt x si t x entoncesx x

Despejemos x

6 23 4 0 44

6 23 06 23

23 236 6

23 ,06

x x xxxx

x

El cual es el punto de interseccin

Ejemplo determina la interseccin con el eje horizontal para

2 3 2 3 0 01 1

x xp x si p x entoncesx x

Solo resta despejar a x

2 3 1 0 11

2 3 02 3

3 32 2

3 ,02

x x xxxx

x

El cual es el punto de interseccin con el eje horizontal



Mostramos ahora ecuaciones en donde el denominador es compuesto y en algunos casos se requiere factorizar el denominador. 1.

+

=

Solucin:

=

3(2 1) = 15 6 3 = 15 6 = 15 + 3 6 = 12 =

R. = 2.

=

Solucin:

2(4 + 1) = 3(4 1) 8 + 2 = 12 3 8 12 = 3 2 4 = 5 =

R. =

3.

=

R. = 4.

=

R. =

5.

=



R. =

Desigualdades racionales Surgen al preguntarnos Qu valores de x hacen que la f x sea mayor que cero (+)? Que valores de x hacen que la f x sea menor que cero (-)? O sea 0 0 0 0f x f x f x f x Para

h xf x donde h x ax b y g x cx dg x

Tambin pueden tener su origen en el comparar dos funciones utilizando los signos

Un par de situaciones importantes si al querer despejar x en una desigualdad, multiplicamos o dividimos, utilizamos un nmero negativo, hay que invertir el signo de la desigualdad. Y la otra es que el denominador nunca debe ser igualado a cero aunque el signo del planteamiento sea .

Que valores de x hacen que 42 3

xf xx

sea mayor que cero

40 02 3

xf x o seax

Lo anterior se cumple si

1 2

3 1 2

3

4 0 2 3 030

230, ,2

0,

x y x

x x

S S

S S SS

4 5

6 4 5

6

4 0 2 3 030

23,0 ,2

3,2

x y x

x x

S S

S S S

S

3 6

3, 0,2

T

T

S S S

S



Que valores de x hacen que 6 234

xf xx

sea menor o igual que cero

6 230 04

xf x o seax

Lo anterior se cumple s

1 2

3 1 2

3

6 23 0 4 023 46

23 , , 46

x y x

x x

S S

S S SS

4 5

6 4 5

6

6 23 0 4 023 46

23, 4,6

234,6

x y x

x x

S S

S S S

S

3 6

234,6

234,6

T

T

T

S S S

S

S

Ejemplo

S 42 3

xf xx

que valores de x producen que f x sea mayor que 2

Planteamos 42 + 3 > 2 Es esencial que todos los trminos diferentes de cero estn en el mismo lado del signo de desigualdad. Se ordena la desigualdad

2 > 0

Se resuleve la fraccin ()

> 0

> 0

Solucin: (,

)



Ejemplo

Para 13

xf xx

encontrar que valores de x hacen que 2 sea menor que f x

Planteamos

2 < + 1 3

Ordenando la desiguialdad

+ 2 > 0

3 5 3 > 0

Lo anterior se cumple si:

1 2

3 1 2

3

3 5 0 3 05 33

5 , 3,3

3,

x y x

x x

S S

S S SS

4 5

6 4 5

6

3 5 0 3 05 33

5, ,33

5,3

x y x

x x

S S

S S S

S

3 6

5, 3,35, 3,3

T

T

T

S S S

S

S

Ejercicios propuestos De las siguientes funciones encuentre las intersecciones con los ejes, asntotas y grafique la funcin. Y tambin determine 0, 0f x p x , 0, 0h x g x , 0, 0r x n x y 0, 0j x i x

1.() = 1 1 5. () = 4 4 + 2 2.() = 1 + 4 6.() = 4 3 + 7 3.() = 3 + 6 7. () = 2 + 66 + 3 4.() = 2 2 8. () = 2 + 3 1



Funcin radical f x x El dominio de la funcin es 0x ya que solo para estos valores f x pertenece al conjunto de los nmeros reales, en ocasiones los ejemplos sencillos ocultan informacin ya que no siempre x debe ser mayor o igual que cero sino es la expresin en el interior del radical la que debe ser 0

Solo que en este caso el Subradical tan solo es x pero en trminos generales si f x g x

El dominio de la funcin se determina resolviendo la desigualdad 0g x En este ejemplo 0g x x x es el dominio de la funcin f x x Si realizamos la grfica de la funcin anterior

Grafica f x x

El contradominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales. Nos damos cuenta que no es una funcin ya que para cada valor del dominio le corresponden dos valores para la variable dependiente. Por lo anterior para tratarla como una funcin tan solo tomamos un signo de la raz ya sea f x x f x x lo ms comn es tomar el valor positivo.

Quedando

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425



Grafica f x x

Con lo cual el rango queda como 0, Para la funcin f x x es la funcin anterior mas una contante, lo que ocasiona que el contradominio de la funcin se modifique Por ejemplo en 2f x x el dominio no se modifica pero el 2 produce un desplazamiento vertical o sea todos y cada uno de los puntos de la grfica 1f x x se desplazan dos unidades hacia arriba

Grfica de 1 2f x x y f x x

El rango de la funcin 2f x x es 2, Ejercicio para el alumno realiza la grafica, determina el dominio y contradominio para 5f x x

Funcin f x x o sea se le suma una constante directamente a la variable independiente

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25



Ejemplo 3f x x

Primero determinemos el dominio de la funcin 3g x x el dominio de la funcin es 0g x o sea 3 0x 3x

3,fDom x Quiere decir que sumarle una constante a la x repercute en un corrimiento a la izquierda en tres unidades de la funcin base 1f x x y cuyas graficas comparadas se muestran a continuacin

Grafica 1 3f x x y f x x

El rango de ambas funciones es Ejercicio para el alumno Si 4f x x determina el dominio, rango realiza la grfica de la funcin Respuestas

4,

0,f

f

Dom x

Contradominio

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425



Grfica 1 4f x x y f x x

Ejemplo determina el dominio , rango y grfica para 5 3f x x 5 3g x x

Dominio es cuando 0 5 3 0g x o sea x 3 5

53

5,3f

x

x

Dom x

El contradominio 0, Grfica 1 5 3f x x y f x x

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425

-2-10123456789

10

-14-13-12-11-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14



Ejemplo para 4 2 3f x x determina el dominio, contradominio y grfica de la funcin Para el dominio

4 20

4 2 04 2

2412

1 ,2f

g x xg x

xx

x

x

Dom x

Para el contradominio vemos que se re resta 3 a la funcin radical, por lo que el contradominio es 3,

Grfica de 1 4 2 3f x x y f x x

Funcin 2f x ax bx c procedimiento para calcular el dominio de este tipo de funciones es

Muy similar al anterior si lo visualizamos como f x g x el dominio de la funcin se obtiene al resolver la desigualdad 0g x que va a ser una desigualdad de segundo grado. Ejemplo

Determina el dominio y rango de 2 2 15f x x x donde 2 2 15g x x x El dominio esta dado por 20 2 15 0g x o sea x x al resolver la desigualdad

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25



, 5 3,fDom x El rango es 0, porque no hay desplazamiento vertical, ya que no se le suma o resta alguna constante.

Grfica 21 2 15f x x y f x x x

Ejercicio para el alumno

Determina el dominio, rango y grfica para 2 2 8f x x x

, 2 4,fDom Contradominio 0,

Grfica 2 2 8f x x x

-10123456789

10111213141516

-16-15-14-13-12-11-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-10123456789

1011121314151617181920

-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920



Funcin ax bf xcx d

Determinar el dominio de este tipo de funciones es muy parecido a lo realizado antes

Con ax bg xcx d

y el dominio es 0g x

Por ejemplo 6 23

4xf xx

para determinar el dominio 6 23

4xg xx

y replanteamos

6 230 04

xg x o seax

resolviendo la desigualdad

23, 4 ,6f

Dom

Por ejemplo 3 5

3x xf

x

para determinar el dominio 3 5

3x xg

x

y replanteamos

0g x o sea 3 5 03

xx

resolviendo la desigualdad anterior, determinamos el dominio

5, 3,3f

Dom x

Ejercicios Propuestos

Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones. 1. () = 3 + 2 R. Dominio y rango todos los reales

16. () =

2. 2 + 3 = 7 R. Dominio y rango todos los reales

17. () =

3. 3 + 2( + 4) = 6 18. () = 2 + 4 Df:[5,) Rf: [0,)

4.

= 5 19.() = 15 5

5. 3

Df: , Rf: (, ) 20.() = 7

6. () = + 5 4 21.() = 6 + 8

7. () = 6 + 8 Df: 22.() = 3 4 4 Df: [ , ]



, Rf:

8.() = + 1 23. () = 12 Df: (-,-3][4,)

9.

Df: -{-

},

Rf: -{

}

24.() = 2 7 + 6 10. () =

Df: -{-

}, Rf: -

{}.

25.() = 2 + 3 14

11. () =

26. () =

Df: (1,)

12. () =

27. () =

Df: (2, )

13.() =

Df: -{1}. Rf: -{2}.

28. () =

14. () =

Df: (,1) (1,4) (4,)

29. () =

15. () =



Funcin compuesta Composicin de funciones Para ilustrar el concepto supongamos que para una dada en el dominio de g, el valor de la funcin () es un nmero en el dominio de la funcin . Eso quiere decir que se puede evaluar (); en otras palabras, se puede evaluar (). El dominio de es el conjunto de toda en el dominio de tal que () est en el dominio de . En la figura anterior se ilustra las relaciones entre ,. ntese que para en el dominio de , primero hallamos () (que debe estar en el dominio de ) y luego, en segundo trmino, encontramos (()). Para la funcin compuesta , invertimos este orden, primero hallamos () y en segundo trmino hallamos (()). El dominio de es el conjunto de toda en el dominio de tal que () est en el dominio de . Ejemplo 1. () = + 1() = 1 () = ( 1) + 1 () = + 1 1 () = 1 + 1 = () = = x Df: Df:

()() = (()) ()() = (())

COMBINACIONES ARITMTICAS

Si son dos funciones, la composicin de , representada por , es la funcin definida por:

La composicin de , representada por , es la funcin definida por:

x

g(x) f(g(x))



Ejemplo 2. () =

() = + 1 () = + 1 1 () =

() = = () = = Df: Df: -{} Ejemplo 3. () = 2() = + 5 () = 2 + 5 () = + 5 2 se debe cumplir: 2 + 5 0 El dominio de () = [5,) el dominio de () = [2,) + 5 2 0, + 5 0 as mismo: 2 + 5 0 2 0 al resolver las siguientes desigualdades, 27 entonces Df: [27,) tenemos 1,por lo tanto Df: [1,) 2 entonces Df: [2,) y 5 Df: [5,) Se debe cumplir que el Dominio de () el dominio de () debe estar en el este en el dominio de (), por lo tanto dominio de () . por lo tanto Dfg: [2,) los valores sern: [1,) Ejemplo 4. () = 3() = + 2 () = 3 + 2 () = ( + 2) 3 + 2

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Notas Precalculo