NUMERE COMPLEXE IN

  • View
    192

  • Download
    8

Embed Size (px)

Transcript

UTILIZAREA NUMERELOR COMPLEXE N CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV. 13-1.CURENI, TENSIUNI I IMPEDANE COMPLEXE Enunul problemei. Pentru un circuit neramificat de curent alternativ, cu reprezentarea vectorial din fig. 13-1, s i se exprime tensiunea i curentul prin numere complexe sub trei forme, algebric, trigonometric i exponenial, dac se cunosc: U 1 = 220 V, U 2 = 127 V i I = 2 A.

Fig. 13-1. Diagrama fazorial n planul complex.

1

Rezolvarea problemei. 1. Proiectarea vectorilor pe axele de coordonate real i imaginar. Adunarea vectorilor dup cum s-a artat i n paragraful 11-1, este uor de fcut dac se cunosc proieciile lor pe axele de coordonate x i y. Pentru cazul de aici, pentru tensiunile U 1 i U 2 , se obin: ' U 1 = U 1 cos 60 = 220 0,5 = 110 V; '' U 1 = U 1 sin 60 = 220 0,866 = 190 V; U '2 = 0 (proiecia pe axa x); ' U '2 = U 2 = 127 V. Dac se consider axa x axa real (+1) i axa y axa imaginar (+j) atunci tensiunile U 1 i U 2 pot fi reprezentate n complex, sub form algebric U 1 i U 2 astfel : ' '' U 1 = U 1 + j U 1 = (110 + j 190,5) V; ' U 2 = 0 - j U '2 = - j 127 V. Primul numr complex este reprezentat prin fazorul U 1 , iar al doilea prin fazorul U 2 . Pentru fazorul curentului I, care este reprezentat pe axa numerelor reale, proiecia pe axa numerelor imaginare este nul i fazorul curentului va fi : I = I + j 0 = 2 A. 2. Calcularea modulelor i a argumentelor. Valoarea absolut a fazorului, de exemplu U 1 , numit i modulul mrimii complexe U 1 , este determinat din triunghiul OKM din fig. 13-1. U1 = | U1 | =' (U 1' ) 2 + (U 2' ) 2

.

Pentru cazul de fa modulele U 1 , U 2 i I sunt cunoscute din datele problemei. Faza iniial a fazorului numit i argumentul marimii complexe, este pentru U 1 = 60, pentru U 2 = -90 i pentru I = 0, ca n fig. 13-1. 3. Formele reprezentrii complexe a fazorilor. Problema referitoare la alegerea formei de reprezentare a numerelor i a mrimilor complexe ine de modul n care se poate determina n mod univoc un fazor.

2

S-a artat, mai nainte, cum poate fi folosit proiecia real i imaginar, obinndu-se n acest felforma algebric a mrimii complexe. Dac fiecare din proieciile fazorului U 1 este scris prin modulul i ' '' argumentul su: U 1 = U 1 cos 60; U 1 = U 1 sin 60, atunci se obine forma trigonometric a mrimii complexe U 1 = U 1 cos 60 + j U 1 sin 60 = U 1 (cos 60 + j sin 60). Dup formula lui Euler : cos + j sin = e j , rezult : U 1 = U 1 (cos 60 + j sin 60) = U 1 e j 60 = 220 e j 60 V.

Ultima expresie se numete forma exponenial a mrimii complexe. Utiliznd aceast form : U 2 = U 2 e j 90 = 127 e j 90 ;

I = I e j 0 = I = 2A. Discuii suplimentare : 1. Din ce cauz se folosesc mai multe forme de exprimare a numerelor i a mrimilor complexe? Forma exponenial este format din valoarea absolut a mrimii complexe (modul) i direcia fazorului (argument). Avantajul major al formei exponeniale const n uurina efecturii operaiilor de nmulire i mprire a numerelor i mrimilor complexe, cum ar fi, de exemplu, calcularea impedanei complexe ca raportul dintre tensiunea complex i curentul complex. Ca dezavantaj, forma exponenial nu permite adunarea sau scderea mrimilor complexe, caz n care se recurge la forma algebric. Forma trigonometric mai este utilizat i la trecerea de la forma exponenial la forma algebric i invers. Mai jos se face trecerea de la forma algebric la forma exponenial i invers : U 1 = 220 e j 60 = 220 (cos 60 + j sin 60) = 220 0,5 + j 220 0,866 = (110 + j 190,5) V.

2. Cum se determin impedana complex a unui circuit neramificat, avnd curentul I i tensiunile U 1 i U 2 , reprezentat n fig.13-1?

3

Pentru poriunea de circuit de tensiune U 1 i curentul I, impedana complex va fi : Z1 = Z1 ej1

=

U1 I

=

220 e j 60 2

= 110 e j 60 , unde :

Z 1 = 110 este modulul impedanei complexe

= 60 este argumentul impedanei complexe. 1Folosind formula lui Euler se obine : Z 1 = 110 (cos 60 + j sin 60) = (55 + j 93,5) Se observ c rezistena pur ohmic a poriunii de circuit examinat este r 1 = Z 1 cos 60 = 110 cos 60 i reactana (pentru cazul de fa inductiv) X L = Z 1 sin 60 = 110 sin 60, partea real a numrului complex Z 1 este chiar rezistena ohmic r 1 = 55 , iar partea imaginar a numrului complex este reactana inductiv X L = 95,3 , adic Z1 = r1 + j X L .11

1

Pentru poriunea de circuit cu tensiunea U 2 , impedana complex este: Z 2 = Z 2 e j =2

U2 I

=

127 e j 90 2

= 63,5 (cos 90 - j sin 90) =

= - j 63,5 , unde Z 2 = 63,5 i = - 90. 2 Cum era de ateptat, pe cea de a doua poriune a circuitului, n care tensiunea este defazat napoia curentului cu 90, nu exist rezisten activ (pur) i rezistena sa are un caracter capacitiv, deci Z 2 = X C = 63,5 i Z2 = - j XC . Astfel, partea real a impedanei complexe reprezint rezistena activ a poriunii de circuit i partea imaginar a numrului complex este reactana poriunii de circuit, reactan care poate fi inductiv dac numrul imaginar este pozitiv sau capacitiv dac numrul imaginar este negativ.

4

3. Cum se determin tensiunea la bornele unui circuit? Lund n considerare c, n cazul de fa, circuitul este format din dou laturi de circuit conectate n serie, cu tensiunile U 1 i U 2 , se obine tensiunea la borne U : U = U 1 + U 2 = 110 + j 190,5 - j 127 = (110 + j 63,5) V, cu modulul U = 110 +63 ,5 = 127 V.2 2

4. Cum se obine valoarea instantanee a tensiunii, pornind de la valoarea sa complex? Dac se cunoate expresia complex a tensiunii atunci se obine uor valoarea maxim a tensiunii i faza sa iniial. Pentru tensiunea complex U 1 = 220 e j 60 , valoarea maxim (amplitudinea) este : U1 = 2 220 V i faza iniial egal cu 60.m

Se obine : u 1 = 220 V.

2

sin ( t + 60) = 345 sin ( t + 60)

5. Se pot considera prile real i imaginar a tensiunii complexe i a curentului complex ca fiind componentele lor active i reactive? De exemplu, pentru prima poriune de circuit componenta activ a curentului este egal cu proiecia fazorului complex I pe fazorul tensiunii complexe U 1 , ca n fig.13-1. I a = I cos 60 = 2 0,5 = 1 A, iar componenta reactiv a curentului complex este egal cu proiecia pe o perpendicular ridicat pe fazorul tensiunii complexe, adic : I r = I sin 60 = 2 0,866 = 1,72 A. Este evident c pentru cazul general I a i I r , nu au nici un fel de legtur cu partea real i cu partea imaginar a numerelor complexe. Componenta activ i componenta reactiv a tensiunii complexe U 1 , in unele cazuri particulare, cum este i problema de mai sus, coincid cu partea real i cu partea imaginar a tensiunii complexe U 1 din cauza curentului prin circuit i care este orientat dup axa mrimilor reale.

5

13-2. CIRCUIT (RAMIFICAT) PARALEL CU MAI MULTE RAMURI.

Enunul problemei : S se calculeze prin metoda numerelor complexe, toi curentii din circuitul din fig. 11-1 pentru variabile indicate n paragraful 11-1.

Rezolvarea problemei : 1. Calculul impedanelor din circuit. Cum s-a indicat mai nainte (paragraful 13-1 discuia suplimentar 2) rezistena, reactana capacitiv i reactana inductiv se scriu sub forma lor complex R, -j X C i j X L .

6

Dndu-se valorile elementelor de circuit pentru a calcula reactana capacitiv i reactana inductiv : X C = C = 150 .11 2 fC

= 2 50 21,2 10 6 =

1

10 6 100 21 ,2

= 21 ,5 =

10 4

X L = L = 2 f L = 2 50 0,19 = 60 . X C = 150 ; X L = 60 ;

Impedanele complexe ale ramurilor ACB i ADB, Z 1 i Z 2 sunt : Z 1 = R 1 + j X L = (80 + j 60) = 100 e 36 ,86 j = 100 e j 37

.

Z 2 = R 2 - j X C = (260 - j 150) = 300,166 e j 29 ,98 = 300 e j 30 . Impedana complex total Z este :Z1 Z 2 30000 e j 7 3000 e j 7 100 e j 37 300 e j 30 Z = Z + Z = 80 + j 60 + 260 j 150 = 340 j 90 = 34 j 9 = = 1 2

3000 e j 7 35 ,17 e

j14 ,82 '

= 85 e

j 21 , 50 '

Z = 85 e

j 2 5 ' 1 0

.

Se obine acelai rezultat ca la paragraful 11-1, discuia suplimentar 4. 2. Calculul curenilor : Considerm fazorul la borne orientat dup axa numerelor reale pozitive. Atunci fazorul tensiunii va fi : U = U = 120 V. Curentul total complex I I =U Z

=

120 85 e2180 '

= 1,4 e j 21 50

7

Curenii compui din ramuri : I1 = I2 =U Z1 U Z2

= =

120 100 ej 37

= 1,2 e j 37 A.

120 300 e j 30

= 0,4 e j 30 A.

3. Calculul fazorului tensiune U CD se aplic a doua teorem a lui Kirchhoff sub forma ei complex, pentru conturul ACDA I 1 Z 1 + U CD - I 2 Z 2 = 0 de unde rezult : U CD = I 2 Z 2 - I 1 Z 1 = 0,4 e j 30 260 - 1,2 e j 37 80 =

Ui =1

n

i

=

I Z =1

n

= 104 (cos 30 + j sin 30) - 96 (cos 37- j sin 37) = = 104 0,866 + j 104 0,5 - 96 0,601 = = 90,066 + j 52 - 76,669 + j 57,774 = = 13,3976 + j 109,7747 = = 13,4 + j 109,8 = = 110,6 e j 83 V.

Discuii suplimentare : 1. De ce s-a considerat fazorul tensiunii ca fiind orientat dup axa numerelor reale? Direcia fazorului U poate fi aleas n mod arbitrar. Alegerea fcut permite obinerea unei expresii simple pentru tensiunea complex U (fr parte imaginar) fiind egal cu 0. U=Uej 0

=U

8

2. Cum este ordinea calculului circuitului, dac se cunosc fie curentul dintr-o ramur oarecare, fie tensiunea? n acest caz orientm fazorul asociat mrimii cunoscute (fie curent, fie tensiune) dup axa numerelor reale (axa x, abscis) i se va exprima acest fazor printr-un numr complex care este egal cu valoarea efectiv (a curentului sau tensiunii), faza iniial considerndu-se egal cu 0. 3. Cum decurg calculele dac alegem o alt direcie iniial pentru fazorul tensiunii, U ? Dac, spre exemplu, lum U = j U, adic orientm vectorulU

d