nvsu.runvsu.ru/svedenfiles/education/346/B1.B.10-Algebra... · Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Нижневартовский государственный университет»

Факультет Информационных технологий и математики

21 апреля 2016 года

Рабочая программа дисциплины

Б1.Б.10 Алгебра и геометрия

Вид образования: Профессиональное образование

Уровень образования: Высшее образование (бакалавриат)

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 01.03.02 –Прикладная математика и

информатика

Направленность (профиль)

образовательной программы:

Прикладная математика и информатика в

экономике, Прикладная математика и

информатика в образовании

Тип образовательной программы: Программа академического бакалавриата

Форма обучения: (очная)

Срок освоения образовательной

программы:

(4 года)

Номер внутривузовской регистрации


01.03.02(95)-16-О, 01.03.02(96)-16-О

Нижневартовск

2016 г.

1. Цели освоения дисциплины:

Цель курса: обеспечить возможность овладения студентами теоретическими основами и

приложениями алгебры и аналитической геометрии.

Задачи курса:

• обеспечить овладение студентом навыками вычислительного и алгоритмического

характер ;

• изложить основные методы решения задач по разделам дисциплины;

• создать условия для реализации самостоятельной деятельности студентов;

способствовать развитию творческих и исследовательских способностей средствами

дисциплины;

• призван обеспечить овладение студентами теориями , методами и понятиями алгебры

и аналитической геометрии, необходимыми в дальнейшем для изучения дисциплин

прикладного (специальные дисциплины, курсы по выбору и т.д. ) характера;

• повышение общей математической культуры и развитие творческих способностей

будущего специалиста средствами математики;

• формирование готовности к деятельности в профессиональной среде/

2. Место дисциплины в структуре ОП бакалавриата

Учебная дисциплина Б1.Б.10 Алгебра и геометрия относится к вариативной части

цикла обязательных дисциплин учебного плана по направлению подготовки бакалавриата

01.03.02 – Прикладная математика и информатика.

Предметное содержание учебной дисциплины находится на стыке теории и

приложений. Стремительное развитие численной оптимизации привело к появлению

алгоритмов и программного обеспечения, пригодных для решения реальных прикладных

задач.

Особенно важное значение в изучении дисциплины имеет владение понятийным

аппаратом и методами линейной алгебры, аналитической геометрии и математического

анализа, а также предполагает знание основ методов численного решения задач

приведенного перечня дисциплин. Учебная дисциплина "Методы оптимизации"

обеспечивает преемственность в изучении следующих дисциплин: "Теория игр и

исследование операций", "Математическое моделирование", "Экономико-математические

методы". Курс, как никакой другой, важен для студента, как будущего специалиста в области

прикладной математики, поскольку непосредственными объектами деятельности являются

математические модели и методы для анализа и выработки решений в любой области

деятельности человека

Для освоения данной дисциплины студент должен:

Знать:

• категориально-понятийныйй аппарат линейной алгебры, аналитической

геометрии, математического анализа;

Уметь:

• применять методы линейной алгебры, аналитической геометрии,

математического анализа к решению задач.

Владеть:

• приемами аналитико-синтетической деятельности решения математических

задач;

• методами и приемами осуществления доказательств

3. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине.

3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения

дисциплины согласно матрице соответствия компетенций и составляющих ОП:

Компетенция Компонентный состав компетенций

Способность использовать базовые

знания естественных наук,

математики и информатики, основные

факты, концепции, принципы теорий,

связанных с прикладной математикой

и информатикой (ОПК-1)

Знает:

-методы решения оптимизационных задач и их

теоретическое обоснование (З1);

-основные понятия теории и классы

оптимизационных задач (З2).

Умеет:

- системно анализировать информацию (У1);

-применять математический аппарат к решению

оптимизационных задач и его обоснованию (У2);

-строить математические модели реальных

ситуаций и явлений (У3);

-определять инструментарий для решения

оптимизационных задач (У4);

-разрабатывать алгоритмы решения

оптимизационных задач (У5).

Владеет:

- опытом решения элементарных задач оптимизации

(В1);

-навыками анализа и интерпретации

(математической и экономической) результатов

решения (В2);

-навыками реализации межпредметных связей при

анализе конкретных ситуаций и явлений (В3).

3.2. Планируемые результаты обучения по дисциплине, соотнесенные с

формируемыми компетенциями.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать

• место модуля «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» среди других

изучаемых дисциплин и её значение при изучении последующих курсов;

• алгебру матриц, основные характеристики матриц, их определения и свойства;

• методы решения систем линейных алгебраических уравнений;

• методы векторной алгебры;

• свойства и уравнения основных геометрических образов

Уметь:

• вычислять определители n – го порядка различными способами;

• вычислять ранг матрицы различными способами;

• исследовать системы линейных алгебраических уравнений; решать системы

методами Крамера, Гаусса, с помощью обратной матрицы;

• находить фундаментальную систему решений однородной системы уравнений;

• находить базис и размерность линейного пространства;

• производить действия над векторами и находить разложение произвольного

вектора по любому базису;

• геометрически и аналитически представлять прямую и плоскость в пространстве;

• использовать аппарат векторной алгебры для анализа взаимного положения прямых

и плоскостей;

• приводить общие уравнения прямой в пространстве к каноническому виду;

• выводить канонические уравнения кривых второго порядка (окружность, эллипс,

гипербола, парабола);

• приводить общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду;

• применять методы линейной алгебры и аналитической геометрии к решению

инженерных, исследовательских и других профессиональных задач

Владеть:

• математической символикой для выражения количественных и качественных

отношений объектов;

• скалярным, векторным, смешанным и двойным векторным произведением

векторов;

• использованием их основных свойств, геометрическим и физическим смыслом;

• уравнениями основных геометрических образов – на плоскости и в пространстве;

• математическим аппаратом для описания, анализа, теоретического и

экспериментального исследования и моделирования физических и химических

систем, явлений и процессов, использования в обучении и профессиональной

деятельности.

4. Структура и содержание дисциплины Б1.Б.10 Алгебра и геометрия.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 10 зачетных единиц 360 часов.

4.1. Объем дисциплины и виды учебной работы:

Вид учебной деятельности Всего часов Семестр Семестр

1 2

Аудиторные занятия (всего)

В том числе:

Лекции 44 22 22

Практические занятия (ПЗ) 56 28 28

Лабораторные работы (ЛР)

Самостоятельная работа (всего) 195 93 102

КСР 2 1 1

Вид аттестации

63 экзамен 36 экзамен 27

Общая трудоемкость (часы)

360 180 180

Зачетные единицы 10 5 5

4.2. Разделы дисциплины и виды учебной работы

№

п/

п

Раздел

Дисциплины

Виды учебной работы, включая

самостоятельную работу

студентов и трудоемкость Формы текущего

контроля успеваемости

(по неделям семестра)

Форма промежуточной

аттестации (по

семестрам)

Лек

ци

и

Сем

ин

ар

с

ки

е

зан

яти

я

Ку

рсо

во

й

пр

оек

т

Са

мо

сто

я

-тел

ьн

ая

ра

бо

та

I СЕМЕСТР

1 Матрицы и

определители 3 2 12

Выступления на

семинаре.

Выполнение домашнего

задания.

2 Обратная матрица 1 2 12


семинаре.

Самостоятельная

аудиторная работа


задания

3 Ранг матрицы 2 2 12


семинаре.



Контрольная


Презентации


задания

4

Исследование систем

линейных уравнений

3 4 12


семинаре.




задания

5 Векторная алгебра 3 4 12


семинаре


задания

6

Прямая на плоскости

и в пространстве.

Плоскость

4 6 12


семинаре.

Контрольная



задания

Тестирование

Презентации

7 Кривые второго

порядка 2 4 12


семинаре.


задания

8 Общая теория кривых

второго порядка 4 4 9


семинаре.


задания

II СЕМЕСТР

9

Взаимное

расположение

подпространств

3 6 26


семинаре.

Индивидуальная работа

по темам 7-9


задания

10

Билинейные и

квадратичные

функции

3 5 26


семинаре.


задания

11 Евклидовы

пространства 6 8 26

12 Линейные

операторы 10 9 24

Итог 44 56 195

4.3. Содержание учебного материала по разделам (темам)

Тема 1: Матрицы и определители

Матрицы и определители. Основные определения. Виды матриц. Действия с

матрицами. Свойства арифметических операций над матрицами.

Определители 2-го, 3-го порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей и

элементарные преобразования. Теорема об определителе с углом нулей. Миноры и

алгебраические дополнения. Определитель произведения двух квадратных матриц.

Разложение определителей по элементам ряда. Теорема о ложном разложении. Построение

определителя разложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы.

Понятие обратимой матрицы. Присоединенная матрица. Единственность существования

обратной матрицы для невырожденной матрицы. Свойства обратных матриц. Решение

матричных уравнений. Правило вычисления обратной матрицы.

Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные, определенные и

неопределенные СЛУ. Метод Гаусса решения СЛУ. Метод Крамера и матричный метод

решения СЛУ.

Трансвекции и их связь с элементарными преобразованиями. Построение обратной

матрицы элементарными преобразованиями.

Тема2: Обратная матрица

Понятие обратимой матрицы. Присоединенная матрица. Единственность существования

обратной матрицы для невырожденной матрицы. Свойства обратных матриц. Решение

матричных уравнений. Правило вычисления обратной матрицы.

Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные, определенные и

неопределенные СЛУ. Метод Гаусса решения СЛУ. Метод Крамера и матричный метод

решения СЛУ.

Трансвекции и их связь с элементарными преобразованиями. Построение обратной

матрицы элементарными преобразованиями.

Тема3: Ранг матрицы

Векторные пространства.Определение и свойства. Линейная зависимость и

независимость векторов. Свойства линейной зависимости. Достаточные условия линейной

зависимости. Базис системы векторов. Ранг системы векторов. Теорема о базисах.

Столбцовый и строчечный ранги матриц. Инвариантность ранга матрицы при

элементарных преобразованиях. Теорема о существовании ранга матрицы. Вычисление ранга

матрицы с помощью элементарных преобразований. Использование определителей в

вопросах линейной зависимости векторов. Теорема о ранге. Лемма о главном миноре. Лемма

об окаймлении минора. Определение ранга матрицы через окаймляющие миноры.

Эквивалентность определений ранга матрицы. Алгоритм нахождения ранга матрицы с

помощью миноров.

Тема4: Исследование систем линейных уравнений

Условия совместности СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные СЛУ. Базис ситемы

решений. Фундаментальная система решений. Теорема о системе всех решений

произвольной СЛУ.

Тема5: Векторная алгебра

Линейные операции над векторами. Основные свойства линейных операций. Теорема

разложения. Координаты вектора в данном базисе. Деление отрезка в данном отношении.

Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения

в декартовых координатах. Вычисление координат вектора по скалярному произведению.

Скалярная проекция вектора на ось. Понятие левой и правой тройки векторов.

Смешанное произведение векторов. Признак компланарности векторов. Арифметические

свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через

координаты.

Векторное произведение векторов. Алгебраические свойства векторного

произведения. Выражение векторного произведения в декартовых координатах. Связь

векторного, скалярного и смешанного произведений векторов. Вычисление площади

Тема6: Прямая на плоскости и в пространстве. Плоскость

Уравнение линии на плоскости. Прямая на плоскости. Определение. Уравнение с

угловым коэффициентом. Общее и каноническое уравнения. Параметрическое уравнение.

Уравнение в отрезках. Направляющий и нормальный векторы прямой. Расстояние от точки

до прямой. Угол между прямыми на плоскости. Взаимное расположение прямых на

плоскости. Пучок прямых с центром в заданной точке. Уравнение пучка.

Плоскость. Уравнение поверхности. Плоскость. Определение. Векторное уравнение

плоскости. Параметрическое и детерминантное уравнение плоскости. Направляющий и

нормальный векторы плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Угол между

плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

Прямая в пространстве. Основные виды уравнения прямой. Параметрическое

уравнение. Нахождение направляющего вектора прямой. Прямая как пересечение

плоскостей. Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

Взаимное расположение прямых в пространстве. Вычисление расстояния от точки до

прямой. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Основные задачи о прямых и

плоскостях.

Тема7: Кривые второго порядка

Парабола. Определение. Ось, фокус, вершина параболы, директриса, фокальный

параметр. Каноническое уравнение параболы. Уравнение касательной к параболе.

Эллипс. Определение. Фокальная ось эллипса, фокальные радиусы, вершины эллипса,

фокальное расстояние. Каноническое уравнение эллипса в декартовом репере. Уравнение

эллипса со смещенным центром. Параметрическое уравнение эллипса. Геометрический

смысл полуосей эллипса.

Гипербола. Определение. Фокальная ось гиперболы, фокальные радиусы, вершины

эллипса, фокальное расстояние. Каноническое уравнение гиперболы в декартовом репере.

Уравнение гиперболы со смещенным центром. Параметрическое уравнение гиперболы.

Свойства гиперболы. Асимптоты гиперболы. Построение гиперболы. Фокальное свойство

коник. Эксцентриситет.

Тема8: Общая теория кривых второго порядка Упрощение (канонизация) общего уравнения кривой второго порядка. Классификация

коник. Центр коники, уравнение центра. Пересечение коники с прямой. Асимптотическое,

неасимптотическое направления. Касательная, асимптота. Диаметры коники. Главные

диаметры, главные направления.

Канонические уравнения и классификация коник с помощью инвариантов.

Ортогональные инварианты многочлена второй степени. Характеристический многочлен

Тема9: Взаимное расположение подпространств

Подпространства векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств.

Неравенство для размерности подпространства,, необходимое и достаточное условие

совпадения подпространства со всем пространством. Линейная оболочка системы

векторов, ее совпадение с пересечением всех подпространств, содержащих эту систему

векторов. Размерность линейной оболочки. Сумма и пересечение подпространств,

свойства этих операций. Понятие согласованного базиса. Размерность суммы двух

подпространств. Алгебраическое дополнение подпространства, разложение

пространства в прямую сумму подпространств. Примеры. Признаки прямой суммы.

Существование алгебраического дополнения к любому подпространству.

Тема10: Билинейные и квадратичные функции. Определение билинейной

формы. Примеры билинейных функций некоторых пространств. Матрица и ядро

билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при смене базиса

векторного пространства. Инвариантность ранга билинейной формы при смене базиса

векторного пространства. Новое доказательство теоремы о размерности пространства

решений однородной системы линейных уравнений. Квадратичная форма,

ассоциированная с билинейной формой.

Ортогональные векторы и ортогональные дополнения к подпространству.

Свойства ортогональных дополнений. Ортогональный базис. Матрица билинейной

формы, билинейная и квадратичная формы в ортогональном базисе. Существование

ортогонального базиса для симметрической билинейной формы. Процесс

ортогонализации Грама-Шмидта. Примеры построения ортогональных базисов

некоторых пространств.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции

квадратичных форм. Метод Якоби. Критерий Сильвестра.

Тема11: Евклидовы пространства.

Определение скалярного произведения. Матрица скалярного произведения. Неравенство

Коши-Буняковского. Длина вектора, угол между векторами, неравенство треугольника,

теорема Пифагора. Матрица Грама системы векторов и признак линейной независимости.

Применение матрицы Грама для записи скалярного произведения векторов.

Ортонормированные базисы. Эквивалентные условия ортонормированности

базиса. Свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

Ортогональные матрицы.

Нахождение ортогональной проекции вектора на подпространство и расстояния

от вектора до подпространства евклидова пространства. Изоморфизм евклидовых

векторных пространств.

Тема12: Линейные операторы.

Линейные отображения и линейные операторы. Задание линейного оператора указанием

образов векторов базиса. Матрица линейного оператора, смысл ее столбцов и строк.

Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора при переходе к

другому базису. Подобные матрицы.

Инвариантные подпространства. Свойства суммы и пересечения инвариантных подпро-

странств. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характери-

стическое уравнение. Условие приводимости матрицы линейного оператора к диагональной

форме. Свойства собственных векторов. Теорема о размерности собственных

подпространств линейного оператора.

Тема13:

5. Образовательные технологии

В процессе изучения дисциплины используются элементы проблемного обучения,

кейс-технология, балльно-рейтинговая технология оценки уровня учебных достижений

студентов.

Методы обучения: дискуссия, групповая работа, решение ситуационных задач,

индивидуальные задания, тестирование.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

Создание условий для реализации самостоятельной деятельности деятельности

студентов; развитие творческих и исследовательских способностей средствами дисциплины

- одна из основных задач изучения учебной дисциплины.

Самостоятельная деятельность студентов в рамках изучения "Методов оптимизации"

носит как аудиторный, так и внеаудиторный характер. Виды работ, осуществляемые в

рамках аудиторных занятий, ориентированы на осуществление контроля текущих учебных

достижений студентов, а также контроля за осуществлением внеаудиторных видов

самостоятельной работы студентами.

Самостоятельная работа студента предполагает:

• чтение обязательной и дополнительной литературы;

• содержательную работу с конспектом лекций;

• выполнение типовых и исследовательских домашних заданий;

• самостоятельные, контрольные работы и тестирование;

• подготовку презентаций.

Текущая и промежуточная аттестации осуществляются посредством балльно-

рейтинговой системы оценки учебных достижений студентов.

Система текущего контроля складывается из:

• контроля посещения и работы на практических занятиях, предполагающего

выполнение всех заданий, участие в обсуждении вопросов, решение задач у

доски ;

• контроля подготовки и выполнения домашних заданий;

• контроля выполнения аудиторных самостоятельных работ.

Промежуточный контроль включает:

• выполнение аудиторных контрольных работ по нескольким темам;

• тестирование по совокупности изученных тем;

• выполнение индивидуальных домашних работ по совокупности тем.

Для студентов, отсутствовавших на занятиях по уважительным причинам, требуется

отработать занятия:

• выполнить индивидуальное задание по пропущенным темам;

• представить конспекты источников и литературы по пропущенным темам.

Итоговая оценка за освоение программы учебной дисциплины выставляется по

следующей шкале:

• "отлично" – 95-100 баллов;

• "хорошо" – 75-94 балла;

• "удовлетворительно" – 55-74 балла;

• "неудовлетворительно" – менее 55 баллов;

•

Не исключаются альтернативные виды аудиторной и внеаудиторной

самостоятельной работы студентов, позволяющие повысить их рейтинг по дисциплине.

Форма итогового контроля экзамен – 1 и 2 семестр. Возможны как классическая

форма экзамена (билет с теоретическими вопросами и задачей), так и экзамен в форме

контрольной работам по совокупности содержания учебной дисциплины. Вопросы к

экзамену, а также виды типовых заданий для экзамена в письменной форме приведены в

ФОС.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)

7.1. Основная и дополнительная литература

Распределение Автор, название, Год Форма Места

учебных

изданий** (включая

учебники и

учебные

пособия):О -

Основное /

Д -

Дополнительное

( О / Д )

издательство, год издания

учебной и учебно-

методической литературы

издания издания:

печатное /

электронно

е

хранения

(печатные

издания) /

Ссылка на

ресурс

(электронные

издания)

1 2 3 4 5

О

Беклемишев Д.В. Курс

аналитической геометрии и

линейной алгебры

[Электронный ресурс]: учебник

для вузов/ Беклемишев Д.В.—

Электрон. текстовые данные.—

М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 309

c

2009

Режим доступа:

http://www.iprb

ookshop.ru/2500

6.— ЭБС

«IPRbooks», по

паролю

О

Кадомцев С.Б. Аналитическая

геометрия и линейная алгебра

[Электронный ресурс]/

Кадомцев С.Б.— Электрон.

текстовые данные.— М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2011.— 168 c.

2011


http://www.iprb

ookshop.ru/1717

2.— ЭБС

«IPRbooks», по

паролю

О

Беклемишева Л.А. Сборник

задач по аналитической

геометрии и линейной алгебре

[Электронный ресурс]: учебное

пособие/ Беклемишева Л.А.,

Петрович А.Ю., Чубаров

И.А.— Электрон. текстовые

данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ,

2006.— 496 c.

2006


http://www.iprb

ookshop.ru/1742

2.— ЭБС

«IPRbooks», по

паролю

Д

Беклемишев Д.В. Решение

задач из курса аналитической

геометрии и линейной алгебры

[Электронный ресурс]/

Беклемишев Д.В.— Электрон.


ФИЗМАТЛИТ, 2014.— 192 c

2014


http://www.iprb

ookshop.ru/2451

9.— ЭБС

«IPRbooks», по

паролю

Д

Магазинников Л.И. Линейная

алгебра и аналитическая

геометрия [Электронный

ресурс]: учебное пособие/

Магазинников Л.И.,

Магазинникова А.Л.—

Электрон. текстовые данные.—

Томск: Томский

государственный университет

систем управления и

радиоэлектроники, Эль

2012


http://www.iprb

ookshop.ru/1386

1.— ЭБС

«IPRbooks», по

паролю

Контент, 2012.— 180 c.

Д

Лебедева Е.А. Практические

занятия по линейной алгебре и

аналитической геометрии

[Электронный ресурс]: учебно-

методическое пособие/

Лебедева Е.А., Рощенко О.Е.,

Ерзина Т.И.— Электрон.

текстовые данные.—

Новосибирск: Новосибирский

государственный технический

университет, 2013.— 130 c.

2013


http://www.iprb

ookshop.ru/4542

8.— ЭБС

«IPRbooks», по

паролю

Д

Векторная алгебра,

аналитическая геометрия и

элементы линейной алгебры

[Электронный ресурс]:

варианты расчетного задания/

— Электрон. текстовые

данные.— М.: Московский

государственный строительный

университет, ЭБС АСВ, 2014.—

63 c.

2014


http://www.iprb

ookshop.ru/2372

0.— ЭБС

«IPRbooks», по

паролю

Д

Левин В.А. Элементы линейной

алгебры и аналитической

геометрии на базе пакета

«Mathematica» [Электронный

ресурс]/ Левин В.А., Калинин

В.В., Рыбалка Е.В.— Электрон.


ФИЗМАТЛИТ, 2007.— 192 c.

2007


http://www.iprb

ookshop.ru/1754

2.— ЭБС

«IPRbooks», по

паролю

О

7.2. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы

В читальных залах библиотеки НВГУ предоставляется доступ к следующим

электронным ресурсам:

lib.nvsu.ru

Электронный каталог обеспечивает доступ к библиографической

информации обо всех видах документов,

находящихся в фондах библиотеки:

книгах, журналах, авторефератах

диссертаций, статьях из периодических

изданий, а также к полным текстам

документов из электронной коллекции

библиотеки НВГУ

http://www.biblioclub.ru

«Университетская библиотека онлайн».

Условия доступа: Регистрация по IP-

адресам в локальной сети НВГУ,

которая позволяет пользоваться ЭБС из

любой точки, имеющей доступ к сети

Интернет.

ООО «ДиректМедиа».

Договор №83/03-14Е-

223 от 04.09.2014.

Действителен до

12.09.2015

http://iprbookshop.ru

Электронно-библиотечная система

IPRbooks –содержится более 15000

изданий: учебники, монографии, журналы

по различным направлениям подготовки

специалистов высшей школы.



которая позволяет пользоваться ЭБС

IPRbooks из любой точки, имеющей

доступ к сети Интернет.

ООО «АйПиЭрМедиа».

Договор №11/04-14Е-

223 от 08.10.2014.


20.10.2015.

http://e.lanbook.com

Электронно-библиотечная система

издательства «Лань» включает в себя как

электронные версии книг издательства

«Лань» и других ведущих издательств

учебной литературы, так и электронные

версии периодических изданий по

естественным, техническим и

гуманитарным наукам.



которая позволяет пользоваться ЭБС из

любой точки, имеющей доступ к сети

Интернет.

ООО «Издательство

Лань»

Договор № 32/01-15Е-

223 от 04.02.2015.


04.02.2016

http://diss.rsl.ru

«Электронная библиотека диссертаций»

Российской государственной

библиотеки содержит около 270000

полных текстов диссертаций. Ресурс

доступен с компьютеров, подключенных к

локальной сети НВГУ и имеющих выход в

Интернет.

Условия доступа: Обращаться в

читальные залы кор. № 1 и кор. № 4

ФГБУ «РГБ».

Договор № 04/02-15Е-

44/095/04/0224 от

30.04.2015.

Действителен

до30.04.2016.

При изучении дисциплины будут полезны ресурсы:

1. http://mat.net.ua/mat/index-chislennie-metodi.htm(электронные версии учебной

литературы для личного ознакомления)

2. http://www.gaudeamus.omskcity.com/PDF_library_natural-science_8.html

(электронная библиотека бесплатных учебников, лекций, конспектов и книг для вузов).

3. http://lib.mexmat.ru/books/68508

(Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета

Московского государственного университета )

4. http://virlib.eunnet.net/ (Виртуальная библиотека: представляет электронные версии

печатных изданий; приводятся ссылки на аналогичные ресурсы Урала, web-сайты

библиотек и т.п.)

5. http://www.mathelp.spb.ru/(лекции по высшей математике, ссылки, загрузка

электронных учебников)

6. http://libserv.mi.ras.ru/trudy_RAN.html (труды акдемических изданий, препринты)

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

Номер

аудит

ории

Наименование

оборудованных учебных

кабинетов, объектов для

проведения

практических занятий,

объектов физической

культуры и спорта с

перечнем основного

оборудования

Адрес

(местоположение)

учебных кабинетов,

объектов для

проведения

практических

занятий, объектов

физической

культуры и спорта (с

указанием номера

помещения в

соответствии с

документами бюро

технической

инвентаризации)

Собственность или

иное вещное право

(оперативное

управление,

хозяйственное

ведение), аренда,

субаренда,

безвозмездное

пользование

Документ -

основание

возникновения

права

(указываются

реквизиты и сроки

действия)

Компьютерный класс 207

Стол компьютерный с местом

для принтера - 12шт

Стол студенческий 2-х

местный - 27шт

Стул ученический 6 ростовой

группы - 27шт

Стул компьютерный - 26шт

Стол письменный - 1шт

Стол компьютерный "орех" -

1шт

Стол письменный с

подвесной тумбой - 1шт

Доска меловая аудиторная –

1шт

Коммутатор SuperStark 24port

-1шт

Источник бесперебойного

питания Back UPS-500-1шт

Монитор 17" ACER AL1717Fs

silver-black - 22шт

Проектор V11H233040 Epson

EMP-1810:LCD - 1шт

Системный блок R-Stale

Carbon Pentium D925

3.0GHz/i945Gc+клавиатура+м

ышь+сет.фил - 24шт

Шкаф 6U закрытый

подвесной, глубина 450 с патч

панелью 24port -1шт

628611, Тюменская

область, Ханты-

Мансийский автономный

округ -Югра, город

Нижневартовск, улица

Дзержинского, д. 11,

второй этаж , помещение

21.

Оперативное управление Свидетельство о

государственной

регистрации права

оперативного

управления №86-АБ

708564 от 11.11.2013г.

Срок действия –

бессрочно

Аудитория 410

Стол письменный с

подвесной тумбой - 3ШТ

Стол студенческий 2-х

местный - 25ШТ

Кафедра- 1ШТ

Доска меловая аудиторная -

1ШТ

Стул ученический 6 ростовой

группы - 50ШТ

Шкаф для учебных пособий -

4ШТ

Шкаф лабораторный

628611, Тюменская

область, Ханты-

Мансийский автономный

округ -Югра, город

Нижневартовск, улица

Дзержинского, д. 11,

четвертый этаж ,

помещение 35

Оперативное управление Свидетельство о

государственной

регистрации права

оперативного

управления №86-АБ

708564 от 11.11.2013г.

Срок действия –

бессрочно

пристенный секционный -

4ШТ

Стол преподавателя - 1ШТ

Стул офисный поворотный -

1ШТ

Рабочая программа составлена на основании федерального государственного

образовательного стандарта высшего образования направления подготовки 01.03.02

«Прикладная математика и информатика (уровень бакалавриата)», утвержденного приказом

Министерства образования и науки Российской Федерации № 36844 от «14»апреля 2015 г.

Составитель рабочей программы: _Горлова С.Н. к.п.н., доцент

СОГЛАСОВАНО

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры ________ФМО________

Протокол № 8 от «14» апреля 2016 г.

Заведующий кафедрой**

_________________ /Ильбахтин Г.Г./

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Нижневартовский государственный университет»

Факультет Информационных технологий и математики

Приложение 1

к Рабочей программе дисциплины

Фонд оценочных средств дисциплины

Б1.Б.10 Алгебра и геометрия

Вид образования: Профессиональное образование

Уровень образования: Высшее образование (бакалавриат)

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 01.03.02 –Прикладная математика и

информатика

Направленность (профиль)


Прикладная математика и информатика в

образовании, Прикладная математика и

информатика в экономике

Тип образовательной программы: Программа академического бакалавриата

Форма обучения: (очная)

Срок освоения образовательной

программы:

(4 года)

Номер внутривузовской регистрации


01.03.02(95)-16-О, 01.03.02(96)-16-О

Нижневартовск

2016г.

Контрольная работа № 4

Вариант № 1

1. Используя неравенство Коши – Буняковского решить систему уравнений

=

=++

=++

zy

zyx

zyx

x

2

222

log

12

6

.

2. Найти ортогональное дополнение к подпространству, порожденному

векторами

)1,2,3,1(1

−=a ,

)4,1,7,2(2

−=a .

3. Найти ортогональную проекцию вектора )1,0,1,3( −−=a на подпространство,

порожденное векторами

)1,1,2,3(1

−=b ,

)2,0,5,4(2=b .

4. Найти дефект, ядро и ранг преобразования, имеющего в базисе

)0,0,0,1(1=е ,

)0,0,1,0(2=е ,

)0,1,0,0(3=е ,

)1,0,0,0(4=е

матрицу

−

−

−

2347

3251

1120

1321

.

5. Линейное преобразование ϕ в базисе )1,7(1

−=a , )10,2(2=a имеет матрицу

− 42

01,

преобразование ψ в базисе )3,1(1−=b , )5,2(

2=b имеет матрицу

−

−

12

47.

Найти матрицу линейного преобразования ψϕ + в базисе ϕψ21

, aa в базисе

21bb .

6. Привести квадратичную форму к каноническому виду

233121

2

3

2

2

2

12243 xxxxxxxxx +++++ .

7. Найти ортогональную проекцию вектора )2,2,2,5( −=a относительно

подпространства, заданного системой уравнений

=−++

=+++

=+++

0922

0223

032

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

.



=++

=++

72

1

222

444

zyx

zyx .


векторами

)3,1,2,2(1

−=a ,

)0,2,5,3(2=a ,

)0,1,0,1(3−=a

3. Найти ортогональную проекцию вектора )3,1,2,5( −−=a на подпространство,


)4,2,1,7(1

−=b ,

)2,2,3,4(2−=b .


)0,0,0,1(1=е ,

)0,0,1,0(2=е ,

)0,1,0,0(3=е ,

)1,0,0,0(4=е

матрицу

−

−

−

−

0111

10462

5231

5247

.


−=a , )7,2(2=a имеет матрицу

−

40

11,

преобразование ψ в базисе )4,6(1

−=b , )1,3(2=b имеет матрицу

−

11

29.



21bb .


233121

2

3

2

2

2

12422 xxxxxxxxx ++++− .

7. В евклидовом пространстве некоторое подпространство задано системой

уравнений

=−−

=−+

=+−

023

032

0332

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

Найти базис подпространства, ему ортогонального.



=++

=++

=+−

222222222

222

162549

94

2

15153

zyxyxzxzy

zyx

zyx

.


векторами

)4.3,0,2,2(1

−=a ,

)7,2,1,1,5(2

−=a .

3. Найти ортогональную проекцию вектора )4,6,3,2( −=a на подпространство,


)1,1,2,5(1

−=b ,

)5,2,3,7(2

−=b ,

)1,0,1,1(3−=b .


)0,0,0,1(1=е ,

)0,0,1,0(2=е ,

)0,1,0,0(3=е ,

)1,0,0,0(4=е

матрицу

−−

−

−

−

2311

22850

7431

8012

.

5. Линейное преобразование ϕ в базисе )2,7(1−=a , )1,2(

2=a имеет матрицу

19

02,


2−=b имеет матрицу

−−

72

15.



21bb .


233121

2

3

2

16223 xxxxxxxx −+−− .

7. Найти ортогональную проекцию вектора )2,1,7,4( −−=a относительно

подпространства, заданного системой уравнений

=−++

=+++

=+++

0922

0232

032

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

.



=++

=−+

6

1142222 zyx

zyx .


векторами

)1,2,3(1=a ,

)1,2,1(2

−=a .



)3,5,2,8(1−=b ,

)1,4,6,5(2=b ,

)1,1,0,1(3−=b .


)0,0,0,1(1=е ,

)0,0,1,0(2=е ,

)0,1,0,0(3=е ,

)1,0,0,0(4=е

матрицу

−

−

−

3200

5831

2692

6435

.


2=a имеет матрицу

−

32

11,


2=b имеет матрицу

− 91

27.



21bb .


233121

2

3

2

2

2

1342432 xxxxxxxxx −+−++ .

7. Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение к подпространству,

заданному системой уравнений

=−++

=−+

=−++

043

0223

032

4321

421

4321

xxxx

xxx

xxxx

.


1. Доказать, что если 222 ≤+ yx , то 2≤+ yx .


векторами

)5,3,2,1(1

−−=a ,

)2,6,4,2(2

−=a ,

)1,4,8,2(3=a .

3. Найти ортогональную проекцию вектора )5,2,0,3(=a на подпространство,


)4,5,2,0(1=b ,

)4,1,2,3(2−=b ,

)1,1,1,7(3

−−=b .


)0,0,0,1(1=е ,

)0,0,1,0(2=е ,

)0,1,0,0(3=е ,

)1,0,0,0(4=е

матрицу

−

−

−

0112

4318

21963

7321

.

5. Линейное преобразование ϕ в базисе )2,3(1=a , )3,1(

2−=a имеет матрицу

−

31

65,


−=b , )3,4(2=b имеет матрицу

−

72

18.



21bb .


233121

2

3

2

2

2

134223 xxxxxxxxx −−++− .

7. Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение к подпространству,

заданному системой уравнений

=−++

=−+−

=−+−

023184

013113

03432

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

.


1. Доказать, что если ayx +=+++ 1211 , то ayx 2≥+ .


векторами

)2,4,9,1,2(1

−=a ,

)3,5,1,7,3(2

−−=a .

3. Найти ортогональную проекцию вектора )3,4,1,2,5( −=a на

подпространство, порожденное векторами

)1,3,4,7,2(1

−=b ,

)3,1,2,5,4(2

−=b ,

)2,3,1,1,0(3

−=b .


)0,0,0,1(1=е ,

)0,0,1,0(2=е ,

)0,1,0,0(3=е ,

)1,0,0,0(4=е

матрицу

−−−−

−

−−−

2511

2631

3200

1831

.


−−=a , )5,2(2=a имеет матрицу

−

50

11,

преобразование ψ в базисе )2,3(1=b , )0,11(


21

62.



21bb .


233121

2

3

2

2

2

122264 xxxxxxxxx −+−++ .

7. Найти расстояние от вектора )1,0,4,2( −=a до подпространства, заданного

системой уравнений

=+++

=+++

04242

022

4321

4321

xxxx

xxxx.


1. Доказать, что 21414141 ≤+++++ zyx , если 1=++ zyx .


векторами

)3,4,2,5(1=a ,

)1,5,8,3(2−=a .

3. Найти ортогональную проекцию вектора )1,2,0,3,5( −=a на


)8,3,2,1,1(1−=b ,

)2,0,1,2,4(2

−=b .


)0,0,0,1(1=е ,

)0,0,1,0(2=е ,

)0,1,0,0(3=е ,

)1,0,0,0(4=е

матрицу

−

−

−

3475

1234

4113

0125

.


−=a , )3,2(2

−=a имеет матрицу

41

52,



−

72

13.



21bb .


233121

2

3

2

2

2

12422 xxxxxxxxx +++++ .

7. Найти расстояние от вектора )2,4,3,3( −=a до подпространства, заданного

системой уравнений

=−++

=−++

033

02

4321

4321

xxxx

xxxx.


1. Найти наибольшее значение функции 16292 +−++ xx .


векторами

)4,3,11(1−=a ,

)8,7,3(2

−=a .

3. Найти ортогональную проекцию вектора )1,1,0,0,0(=a на подпространство,


)1,2,0,0,11(1=b ,

)9,7,5,9,3(2

−=b .

4. Линейное преобразование ϕ в базисе )1,2(1=a , )5,1(


−

41

14,



− 16

45.



21bb .


)0,0,0,1(1=е ,

)0,0,1,0(2=е ,

)0,1,0,0(3=е ,

)1,0,0,0(4=е

матрицу

−

−

2011

5110

1112

1123

.


432441313221xxxxxxxxxxxx +++++ .

7. Найти расстояние от вектора )1,1,1,3,3( −−=a до подпространства, заданного

02232254321=+−+− xxxxx .


1. Доказать, что если 1=++ zyxzxy , то 1222 ≥++ zyx .


векторами

)14,3,7,2(1

−=a ,

)2,1,5,3(2

−=a ,

)1,1,8,5(3

−=a ,

)0,1,0,2(4=a .



−

−

35

12,


−=b , )6,5(2−=b имеет матрицу

72

31.



21bb .


)0,0,0,1(1=е ,

)0,0,1,0(2=е ,

)0,1,0,0(3=е ,

)1,0,0,0(4=е

матрицу

−

−

−−

−

4311

1342

2131

3120

.

5. Найти ортогональную проекцию вектора )4,3,1,4( −−=a на


)1,1,1,1(1=b ,

)1,2,2,1(2

−=b ,

)3,0,0,1(3=b .


213123

2

3

2

2

2

12243 xxxxxxxxx +++++ .

7. Найти расстояние от вектора )1,1,1,3,3( −−=a до подпространства, заданного

0235421=−+− xxxx .


1. Доказать, что если 4222 ≥++ zyx , то 4=++ zyxzxy .


векторами

)2,3,7,5(1

−=a ,

)1,6,9,4(2−=a .

3. Линейное преобразование ϕ в базисе )1,0,0(1=a , )1,1,0(

2=a , )1,1,1(

3=a имеет

матрицу

−

−

012

111

202

.

Найти матрицу линейного преобразования ϕ в базисе

)0,0,1(),2,1,0(),5,3,2(321=== bbb .


)0,0,0,1(1=е ,

)0,0,1,0(2=е ,

)0,1,0,0(3=е ,

)1,0,0,0(4=е

матрицу

−

−

−

−

1143

2413

0231

1321

.



)1,1,1,2(1

−=b ,

)0,3,1,1(2=b ,

)1,8,2,1(3=b .


313221

2

3

2

2

2

12442 xxxxxxxxx +++++ .

7. В евклидовом пространстве некоторое подпространство задано системой

уравнений

=+−−

=++−

=+−

032

023

0233

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

Найти базис подпространства, ему ортогонального.

2.5.1 САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО

ДИСЦИПЛИНЕ

1 семестр

Самостоятельная работа №1 по теме

”Уравнение прямой на плоскости ”

ВАРИАНТ 1

Дан треугольник ABC : А(–4; 2); В(4; –2); С(4; –7). Написать уравнение

медианы BD и высоты СЕ. Сделать чертеж.

ВАРИАНТ 2

Даны уравнения сторон треугольника x – 3y + 5 = 0, 3x + 4y + 2 = 0 и

5x – 2y – 14 = 0. Найти длину высоты, проведенной к стороне 3x + 4y + 2 = 0

ВАРИАНТ 3

Даны уравнения сторон треугольника 2x – 5y = 3, x + 3y = 7 и 3x – 2y + 1 = 0.

Написать уравнение высоты, опущенной на сторону 2x – 5y = 3


”Длина отрезка.

Деление отрезка в данном отношении.”

ВАРИАНТ 1

Дан треугольник ABC : А(5; 0); В(1; 2); С(–3; –2). Найти длину всех медиан.

Сделать чертеж.

ВАРИАНТ 2

Точка С(3; 5) делит отрезок АВ в отношении АС : СВ =3 : 4. Найти начало

отрезка – точку А, если его концом служит точка В(–1; 1). Сделать чертеж.


”Прямые и плоскости в пространстве.”

ВАРИАНТ 1

1. Даны точки М1(3; –1; 2) и М2(4; –2; –1). Составить уравнение плоскости,

проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору 21MM .

2. Найти точку пересечения прямых:

=+

=+

.852

05,13

yx

yx

ВАРИАНТ 2

1. Даны точки М1(0; –1; 3) и М2(1; 3; 5). Составить уравнение плоскости,

проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору 21MM .


=+−

=+−

.12

0235

yx

yx

ВАРИАНТ 3

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и через точку

М0(4; 0; 3).


=−

=+

.134

32

yx

yx

ВАРИАНТ 4

1. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Оz и проходящей через

точки М1(2; 2; 0) и М2(4; 0; 0).


=+

=−+−

.25

012

yx

yx


”Кривые 2 порядка”

ВАРИАНТ 1

1. Найти расстояние от центра окружности x2 + y

2 + 6x – 4y –12 = 0 до точки

А(3; –6). Сделать чертеж.

2. Дано уравнение эллипса 3x2 + 5y

2 – 15 = 0. Найти длины осей, координаты

фокусов и эксцентриситет. Сделать чертеж.

ВАРИАНТ 2

1. Дано уравнение окружности: x2 + y

2 – 4x – 14y + 28 = 0. Написать

уравнение концентрической окружности, у которой диаметр вдвое

меньше диаметра данной окружности. Сделать чертеж.

2. Написать уравнение эллипса, если фокусы его находятся в точках F1(3; 0)

и F2(–3; 0), а длина большей оси равна 12.


”Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между плоскостями.”

ВАРИАНТ 1

1. Определить расстояние от точки М(3; 5; –8) до плоскости

6х – 3у + 2z – 28 = 0

2. Написать уравнение плоскости, проходящее через точку М(2; –1; 5) и

перпендикулярно плоскостям 3х – 2у + z + 7 =0 и 5x –4y + 3z + 1 = 0

ВАРИАНТ 2

1. Найти уравнение плоскости, проходящее через точки М(2; –1; 4),

N(3; 2; –1) и перпендикулярно плоскости х + у + z – 3 = 0

2. Найти расстояние между плоскостями х – 3z + 2 = 0 и 2x –6z + 7 = 0

ВАРИАНТ 3

1. Найти уравнение плоскости, проходящее через точку М(2; 3; 1),

параллельно плоскости 5х – 3у + 2z – 10 = 0

2. Найти длину перпендикуляра опущенного из точки М0(2; 3; –5) на

плоскость 4х – 2у + 5z – 12 = 0

ВАРИАНТ 4

1. Найти уравнение плоскости, зная что точка Р(4; –3; 12) служит

основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту

плоскость.

2. Найти расстояние от точки М(1; 3; –2) до плоскости 2х – 3у – 4z + 12 = 0


”Скалярное, смешанное произведение векторов.”

ВАРИАНТ 1

1. Найдите угол между векторами { }1;2;2 −=а и { }1;1;4−=b

2. Даны векторы { }4;3;та = , { }7;;4 −= тb . При каком значении т эти векторы

перпендикулярны?

ВАРИАНТ 2

1. При каких значениях т векторы { }7;;2 та = , { }1;1; −= тb , { }2;2;1=с будут

компланарны?

2. Найти угол между векторами { }0;1;1=а и { }1;1;0=b

ВАРИАНТ 3

1. Определить значение т, если скалярное произведение векторов

{ }1;;2 тта −= и { }3;;1 тb = равно 3.

2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

jiа 32 += и kjb 23 +=


”Вычисление определителей. Ранг матрицы”

ВАРИАНТ 1

1. Вычислить определители, пользуясь их свойствами

1030

1023

1532

1021

−

−

2. Определить ранг матрицы при различных значениях параметрах λ .

+ 911

501

41

λ

λ

ВАРИАНТ 2


1261

5104

2305

0232

−

−


−

00

410

251

λ

λ

ВАРИАНТ 3


1322

1312

6100

4213

−

−


−

−

700

220

322

λλ


”Обратные матрицы”

ВАРИАНТ 1

1. Определить матрицу Х из уравнений

−=⋅

−

51

43

43

21Х

2. Вычислить обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

−

−

321

504

321

ВАРИАНТ 2


−=

⋅

21

21

42

13Х


−

−

−

211

331

521

ВАРИАНТ 3


Х⋅

−=

− 31

02

23

41


−−

511

323

215


”Решение систем линейных уравнений.”

ВАРИАНТ 1

Решить систему линейных уравнений методом Крамера

−=++

=−+

=+−

.132

,04

,532

432

431

421

xxx

xxx

xxx

ВАРИАНТ 2


=−+

=−+

=++

−=−+

.183

,072

,942

,3323

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

ВАРИАНТ 3


−=−−

=+++

.22

,12

421

4321

xxx

xxxx


”Уравнение прямой на плоскости.”

ВАРИАНТ 1

Написать уравнение сторон треугольника: каноническое, параметрическое,

общее, в отрезках; если известны координаты вершин треугольника.

М(–4; 2), N(4; –2), P(4; –7)

ВАРИАНТ 2



P(–4; 4), Q(3; –1), R(2; –5)

ВАРИАНТ 3



М(–3; 0), F(3; 4), E(1; –10)

ВАРИАНТ 4



A(–3; 4), B(2; 5), C(6; –4)


”Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми ”

ВАРИАНТ 1

1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(5; –4) и

составляющей с осью Ох угол, тот же, что и прямая 5х + 2у – 3 = 0.

2. Написать уравнение прямой, если точка А(2; 3) служит основанием

перпендикуляра, опущенного на нее из начала координат.

ВАРИАНТ 2

1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения

прямых 2х – 3у – 1 = 0 и 3х – у – 2 = 0 и перпендикулярно прямой

–х + 3у – 1 = 0

2. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(6; 2) на

прямую х – 4у + 7 = 0

2.5.2 КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

1 семестр

Контрольная работа №1

ВАРИАНТ 1

1. Определить ранг матрицы с помощью миноров

−

−

−

5107

321

143

2. Найти ФСР

=++−

=+−+

.045

,03

4321

4321

xxxx

xxxx

3. Определить все значения λ , при которых вектор b линейно выражается

через остальные векторы. { }6;2;41 =а , { }8;6;32 =а ,

= λ;

12

5;63а , { }5;3;2=b

ВАРИАНТ 2


−−

−−

−−

3121

5101

1111


=−+−−

=−−+−

.0246

,0323

54321

54321

xxxxx

xxxxx


через остальные векторы. { }5;2;31 =а , { }7;4;22 =а , { }λ;6;53 =а , { }5;3;1=b

ВАРИАНТ 3


−

−

−

−

215

431

323

112


=−+−

=+−+

.034

,06823

4321

4321

xxxx

xxxx


через остальные векторы. { }5;3;21 =а , { }8;7;32 =а , { }1;6;13 −=а , { }λ;2;7 −=b


1. Вычислить ранг матрицы

−

−

−−

−

1325

2143

2111

3214

.

2. Найти обратную для следующей матрицы

410

023

101

.

3. Решить матричным методом систему линейных уравнений

=++

=−−

=++

115132

13

823

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

4. При каких λ существует матрица, обратная данной

−

−

23

356

45

λ

λ

?

____________________________________________________________



−−

−

−−

−

4321

6464

1111

1111

.


351

493

372

.

3. Решить матричным методом систему линейных уравнений

=++

=++

=++

1132

132

523

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

4. При каких λ система векторов ( )2,,21 λ−=a , ( )λ,5,62 =a , ( )4,2,53 =a

будет линейно зависимой?



−

−

−

−

2347

3512

131322

1235

.


987

654

321

.

3. Решить методом Крамера систему линейных уравнений

=++

=++

=++

16423

15232

1132

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

4. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра λ

563

135

123

λλλ

.

___________________________________________________________



−−

−

−−

−

2581

2341

2141

3211

.


−

−

121

011

322

.

3. Решить методом Крамера

=+−

=+−

=++

52

32

6

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

4. При каких λ система линейных уравнений

=++

=++

−=+−

λ321

321

321

43

369

123

xxx

xxx

xxx

имеет

решение?


ВАРИАНТ 1

1. Построить кривую второго порядка 01714422 =+−−+ yxyx

2. Построить кривую второго порядка 12233 22 =−−+ yxyx

3. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(1; 1), k = 1

(угловой коэффициент).

4. Уравнения сторон треугольника .0123,73,352 =+−=+=− yxyxyx

Написать уравнение высоты, опущенной на сторону .352 =− yx

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки ( ) ( )1;2;3,4;1;2 −− NM ,

перпендикулярно плоскости 03 =−++ zyx

ВАРИАНТ 2

1. Построить кривую второго порядка 05844 22 =−−+ yyx

2. Построить кривую второго порядка 010622 =+−− xyx

3. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(3; –2), k = –1


4. Через точку пересечения прямых 022 =++ yx и 0943 =++ yx проведен

перпендикуляр к прямой 0632 =−+ yx . Написать уравнение этого

перпендикуляра.

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки ( ) ( )3;1;1,1;0;2 −− QP ,

и перпендикулярно плоскости 0523 =+−+ zyx

ВАРИАНТ 3

1. Построить кривую второго порядка 04 22 =++ yхx

2. Построить кривую второго порядка 0443629 22 =−++− yxyx

3. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(–2; 5), k = 2

1−


4. Через точку пересечения прямых 032 =−− yx и 043 =+− yx проведена

прямая, параллельная прямой .1=+ yx Написать уравнение проведенной

прямой.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ( )5;3;2M и

перпендикулярно вектору (4; 3; 2)

3632

1312

1223

5024

−

−−

−

−

3242

4523

2343

5334

6224

4448

1363

4056

−

−

3254

6423

4561

5642

−

−

−

2164

7295

4173

2152

−

−

−−

−

5487

2354

7285

6393

−−−

−−−

−

−

6534

5752

6423

8533

−

−−

−−

−−

3523

5894

5743

3452

−−

−

−

−

5544

7855

6452

5233 −−−

2362

7394

4474

2253

−−

−−

−

−−

3632

1312

1223

5024

−

−−

−

−

3242

4523

2343

5334

6224

4448

1363

4056

−

−

3254

6423

4561

5642

−

−

−

2164

7295

4173

2152

−

−

−−

−

5487

2354

7285

6393

−−−

−−−

−

−

6534

5752

6423

8533

−

−−

−−

−−

3523

5894

5743

3452

−−

−

−

−

5544

7855

6452

5233 −−−

2362

7394

4474

2253

−−

−−

−

−−

3632

1312

1223

5024

−

−−

−

−

3242

4523

2343

5334

6224

4448

1363

4056

−

−

3254

6423

4561

5642

−

−

−

2164

7295

4173

2152

−

−

−−

−

5487

2354

7285

6393

−−−

−−−

−

−

6534

5752

6423

8533

−

−−

−−

−−

3523

5894

5743

3452

−−

−

−

−

5544

7855

6452

5233 −−−

2362

7394

4474

2253

−−

−−

−

−−

3632

1312

1223

5024

−

−−

−

−

3242

4523

2343

5334

6224

4448

1363

4056

−

−

3254

6423

4561

5642

−

−

−

2164

7295

4173

2152

−

−

−−

−

5487

2354

7285

6393

−−−

−−−

−

−

6534

5752

6423

8533

−

−−

−−

−−

3523

5894

5743

3452

−−

−

−

−

5544

7855

6452

5233 −−−

2362

7394

4474

2253

−−

−−

−

−−

ВАРИАНТ 1

1. Даны точки М1(3; –1; 2) и М2(4; –2; –1). Составить уравнение плоскости, проходящей

через точку М1 перпендикулярно вектору 21MM .


=+

=+

.852

05,13

yx

yx

3. Дан треугольник ABC : А(–4; 2); В(4; –2); С(4; –7). Написать уравнение медианы BD

и высоты СЕ. Сделать чертеж.

4. Даны координаты вершин треугольника М(-3, 4), P(8, 2), Q(6, -5). Написать

уравнение средней линии треугольника, параллельной стороне MQ.

ВАРИАНТ 2

1. Даны точки М1(0; –1; 3) и М2(1; 3; 5). Составить уравнение плоскости, проходящей

через точку М1 перпендикулярно вектору 21MM .


=+−

=+−

.12

0235

yx

yx

3. Даны уравнения сторон треугольника x – 3y + 5 = 0, 3x + 4y + 2 = 0 и

5x – 2y – 14 = 0. Найти длину высоты, проведенной к стороне 3x + 4y + 2 = 0


уравнение высоты, проведенной к стороне PQ.

ВАРИАНТ 3

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и через точку

М0(4; 0; 3).


=−

=+

.134

32

yx

yx

3. Даны уравнения сторон треугольника 2x – 5y = 3, x + 3y = 7 и 3x – 2y + 1 = 0.

Написать уравнение высоты, опущенной на сторону 2x – 5y = 3

4. Даны координаты вершин треугольника М(-3, 4), P(8, 2), Q(6, -5). Написать уравнение

медианы, проведенной стороне MP.

ВАРИАНТ 4

1. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Оz и проходящей через точки

М1(2; 2; 0) и М2(4; 0; 0).


=+

=−+−

.25

012

yx

yx

3. Дан треугольник ABC : А(5; 0); В(1; 2); С(–3; –2). Найти длину всех медиан.


уравнение прямой, проходящей через точку M, параллельно стороне QP.

1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет

нормальный вектор ( )3,0,5=n .

2. Даны точки ( )2;1;31 −M и ( )1;2;42 −−M . Составить уравнение плоскости,

проходящей через 1M , и перпендикулярной вектору 21MM .

3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OY и через точку

( )3;0;4M .

4. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и через две

точки ( )1;2;41 −M и ( )3;4;22 −M .

5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через три точки ( )2;1;11 −M ,

( )2;1;22M и ( )4;1;13M .

Найти каноническое уравнение эллипса , определить координаты его фокусов и

построить его: 1883656928 22 =−++ yxyx


построить его: 016494 22 =++−+ yxyx


построить его: 05266 22 =−−++ yxyx


построить его: 044659 22 =−++ xyx


построить его: 0478316 22 =−++ xyx

Самостоятельная работа №

Векторная алгебра

ВАРИАНТ 1

3. Найдите смешанное произведение векторов jiа 32 += , kjb 23 += и

kjic +−−= 32 .

4. Найдите угол между векторами { }1;2;2 −=а и { }1;1;4−=b

5. Даны векторы { }4;3;та = , { }7;;4 −= тb . При каком значении т эти векторы

перпендикулярны?

6. Дан треугольник ABC : А(5; 0); В(1; 2); С(–3; –2). Найти длину всех

медиан.

__________________________________________________

ВАРИАНТ 2

1. Найдите площадь треугольника ABC , где А(-4-2,-3); В(2,5,7); С(6,3,-1).

2. При каких значениях т векторы { }7;;2 та = , { }1;1; −= тb , { }2;2;1=с будут

компланарны?

3. Найти угол между векторами { }0;1;1=а и { }1;1;0=b .

4. Точка С(3; 5) делит отрезок АВ в отношении АС : СВ =3 : 4. Найти

координаты точки А, если В(–1; 1).

ВАРИАНТ 3

1. Найдите объем пирамиды PSQR, если ( )0,2,1−P , ( )1,3,2 −S , ( )2,4,0 −−Q ,

( )1,3,3 −−R .

2. Определить значение т, если скалярное произведение векторов

{ }1;;2 тта −= и { }3;;1 тb = равно 3.

3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

jiа 32 += и kjb 23 += .

4. В треугольнике ABC , где А(1; 0); В(-3; 2); С(0; –4), найти координаты

точки пересечения медиан.

ВАРИАНТ 4

1. Найдите векторное произведение векторовQS и SR , если ( )1,3,2 −S ,

( )2,4,0 −−Q , ( )1,3,3 −−R .

2. При каких значениях т объем параллелипиппеда, построенного на

векторах { }mà ;1;2 −= , { }4;0;òb = и { }1;5;3−=c равен 0?

3. Вычислить синус угла между векторам kjim 73 −+−= и kijn +−= 43 .

4. Найдите координаты начала отрезка AB , если его середина M(-1; 0; -5), а

конец В(-3; 2; 11).

Самостоятельная работа №11

Вариант №1

1. Найдите матрицу перехода от базиса { }/2/

1 ,ee к базису { }21 ,ee , если /

2

/

11 2 eee += , /

2

/

12 3eee −= .

2. По координатам вектора ( )7,2,1−=x в базисе { }321 ,, eee найдите его

координаты в базисе { }/3/

2

/

1 ,, eee , если 321

/

1 32 eeee −+= , 321

/

2 2eeee +−= ,

321

/

3 52 eeee −+= .

Вариант №2

1. Найдите матрицу перехода от базиса { }/3/

2

/

1 ,, eee к базису { }321 ,, eee , если

321

/

1 432 eeee −+= , 321

/

2 52 eeee +−= , 321

/

3 354 eeee ++= .

2. По координатам вектора /

2

/

1 eex += в базисе { }/2/

1 ,ee найдите его

координаты в базисе { }21 ,ee , если 21

/

1 43 eee −= , 21

/

2 eee −= .

Вариант №3

1. Найдите матрицу перехода от базиса { }321 ,, eee к базису { }/3/

2

/

1 ,, eee , если /

3

/

2

/

11 3eeee ++= , /

3

/

2

/

12 42 eeee +−= , /

3

/

13 53 eee += .

2. По координатам вектора 21 23 eex −= в базисе { }21 ,ee найдите его

координаты в базисе { }/2/

1 ,ee , если 21

/

1 35 eee += , 21

/

2 eee += .


Вариант №1

1. Векторы ( )1,1,11 =e , ( )2,1,12 =e , ( )3,2,13 =e и ( )14,9,6=x заданы своими

координатами в некотором базисе. Доказать, что 1e , 2e , 3e также

является базисом пространства и найти координаты вектора x в этом

базисе.

Вариант №2

1. Векторы ( )3,1,21 −=e , ( )5,2,32 −=e , ( )1,1,13 −=e и ( )7,2,6 −=x заданы своими

координатами в некотором базисе. Доказать, что 1e , 2e , 3e также

является базисом пространства и найти координаты вектора x в этом

базисе.

Вариант №3

1. Векторы ( )2,1,2,11 −−=e , ( )1,0,3,22 −=e , ( )4,1,2,13 =e , ( )0,1,3,14 −=e и

( )2,1,14,7 −=x заданы своими координатами в некотором базисе.

Доказать, что 1e , 2e , 3e , 4e также является базисом пространства и

найти координаты вектора x в этом базисе.


Вариант №1

1. Найдите базис и размерность каждого из подпространств,

порожденных векторами ( )1,0,2,11 =a , ( )0,1,1,12 =a , ( )2,1,5,33 =a и

( )0,1,0,11 =b , ( )1,0,3,12 =b , а также базис и размерность суммы и

пересечения указанных подпространств.

2. Определите, является ли линейным пространством над R множество Q

с обычными операциями сложения и умножения.

Вариант №2

1. Найдите базис и размерность каждого из подпространств,

порожденных векторами ( )2,1,2,11 −=a , ( )0,1,3,22 =a , ( )3,2,2,13 −=a и

( )1,1,0,11 −=b , ( )4,0,3,12 −=b , ( )1,1,1,13 =b а также базис и размерность суммы

и пересечения указанных подпространств.

2. Определите, является ли линейным пространством над R множество

всех векторов декартовой плоскости, концы которых лежат в первой

четверти, с обычными операциями сложения и умножения на число.

Вариант №3 1. Найдите базис и размерность каждого из подпространств,

порожденных векторами ( )0,0,1,11 =a , ( )0,1,1,02 =a , ( )1,1,0,03 =a и

( )0,1,0,11 =b , ( )1,1,2,02 =b , ( )2,1,2,13 =b а также базис и размерность суммы и

пересечения указанных подпространств.

2. Определите, является ли линейным пространством над R множество

( )RM n всех квадратных матриц n -го порядкас обычными операциями

сложения и умножения на число.


Вариант №1 1. Найдите матрицу билинейной формы в новом базисе, если известны ее

матрица в старом базисе

987

654

321

и формулы перехода

++=

+=

−=

321

/

3

31

/

2

21

/

1

eeee

eee

eee

.

2. Запишите алгоритм нахождения ортогонального дополнения к

подпространству, заданному системой линейных уравнений.

Вариант №2 1. Найдите матрицу билинейной формы в новом базисе, если известны ее

матрица в старом базисе

−

−

301

022

120

и формулы перехода

−+−=

−=

−+=

321

/

3

31

/

2

321

/

1

3

2

eeee

eee

eeee

.

2. Запишите алгоритм нахождения ортогональной проекции вектора на

подпространство, заданное системой линейных уравнений.


Вариант №1

1. Определить, является ли функция двух аргументов ( ) ( )BAtrBAf +=,

билинейной в пространстве ( )FM n , где F - поле.

Вариант №2

1. Определить, является ли функция двух аргументов ( ) vuvuf ⋅=,

билинейной в пространстве Cvu ∈, , где C - векторное пространство

над R .

Вариант №3

1. Определить, является ли функция двух аргументов ( ) ∫=b

a

uvdtvuf ,

билинейной в пространстве [ ]baC , .


Вариант №1 1. Найдите ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

вектора ( )12,9,12 −−=v относительно подпространства, порожденного

векторами ( )4,1,21 −=a , ( )7,5,32 −=a , ( )6,5,43 −−=a .

Вариант №2

1. Найдите ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

вектора ( )10,2,5,3 −−=v относительно подпространства, порожденного

векторами ( )11,17,8,41 −=a , ( )3,5,4,22 −=a , ( )2,4,6,33 −=a .


Вариант №1 1. Найдите ортогональное дополнение к подпространству, заданному

системой линейных уравнений

=−++

=+++

=+++

0922

0323

032

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

.

Вариант №2 1. Найдите уравнения, задающие ортогональное дополнение к

подпространству, заданному системой линейных уравнений

=−++

=−+

=−++

043

0223

032

4321

421

4321

xxxx

xxx

xxxx

.

Вариант №3 1. Определите базис ортогонального дополнения к подпространству,

порожденному векторами ( )4,5,11,31 =a , ( )10,5,12,42 =a , ( )4,6,13,13 =a .


Вариант №1

1. Приведите квадратичную форму 313221

2

3

2

2

2

1 126494 xxxxxxxxx +−−++ к

нормальному виду.

2. Запишите матрицу квадратичной формы.

3. Определите преобразование, приводящее квадратичную форму к

каноническому виду.

Вариант №2


2

3

2

2

2

1 241232 xxxxxxx −−++ к





Вариант №3


2

3

2

2

2

1 12995 xxxxxxx −−++ к






Вариант №1

1. В некотором базисе линейное отображение задано матрицей

−

−

−

=

11183

010

365410

A . Найдите в вещественном линейном пространстве

базис, в котором матрица отображения имеет диагональный вид.

Вариант №2 1. В некотором базисе линейное отображение задано матрицей

−−

−−

=

522

302

320

A . Найдите в вещественном линейном пространстве

базис, в котором матрица отображения имеет диагональный вид.

Вариант №3 1. В некотором базисе линейное отображение задано матрицей

−

−

−

=

166

276

265

A . Найдите в вещественном линейном пространстве базис,

в котором матрица отображения имеет диагональный вид.


Вариант №1

1. Найдите матрицу линейного оператора ( ) ( )32211321 3,2,,, xxxxxxxx ++→ в

пространстве 3R в базисе из единичных векторов.

2. Запишите алгоритм нахождения базиса и размерности пересечения

двух подпространств, заданных векторами.

Вариант №2 1. Найдите матрицу линейного оператора

( ) ( )323221321 32,23,23,, xxxxxxxxx +−−−→ в пространстве 3R в базисе из

единичных векторов.

2. Запишите алгоритм нахождения базиса и размерности суммы двух

подпространств, заданных векторами.


Вариант №1

1. Найдите собственные значения и собственные векторы

−

−

−

045

419

547

.

Вариант №2


−

−

121

210

113

.

Вариант №3


−

−

−

375

254

496

.

Вариант №4


−

−

221

044

001

.

Вариант №5


−

−−

−

335

201

212

.


Вариант №1 1. Методом Якоби найдите каноническую квадратичную форму,

конгруэнтную 02052081217 22 =++++ xyxyx , и преобразования,

приводящие к найденному каноническому виду.

Вариант №1

1. Методом Якоби найдите каноническую квадратичную форму,

конгруэнтную 0464222 =+++++ yzxzxyzyx , и преобразования,


Вариант №1 1. Методом Якоби найдите каноническую квадратичную форму,

конгруэнтную 0244343 22 =−++++ yzxyxzzxyx , и преобразования,



Вариант №1

1. Найдите матрицу линейного оператора n

n

dx

fdf → в линейной оболочке

mxmxxx sin,cos,...,sin,cos,1 .

2. Найдите угол между вектором ( )1,1,2,2=x и подпространством

( ) ( )2,1,1,0,1,4,4,3 −−−=L .

3. Найдите собственные числа матрицы AAT ⋅ , где A - матрица-строка.

Вариант №2

1. Найдите матрицу линейного оператора TXX → в пространстве ( )RM n .

2. Найдите линейную оболочку подпространства, ортогонального

подпространству, заданному системой линейных уравнений

=−++

=−++

033

02

4321

4321

xxxx

xxxx.

3. В пространстве L непрерывных функций на отрезке [ ]ππ ,− со

скалярным произведением ( ) ( ) ( )∫−

=π

ππdttgtfgf

1, найти проекцию

функции mt на подпространство ntntttV sin,cos,...,sin,cos,1= .


Вариант №1

1. Определите, можно ли в пространстве 2P многочленов степени, не

превосходящей 2, задать скалярное произведение как

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )110011, gfgfgfgf ++−−= .

2. Найдите матрицу линейного оператора проектирования на плоскость

XOY векторов, выходящих из начала координат, действующего в

пространстве 2R .

Вариант №2

1. В евклидовом пространстве 2P многочленов степени, не

превосходящей2, скалярное произведение задано как:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )110011, gfgfgfgf ++−−= . Найдите угол между векторами

( ) 21 xxxf +−= и ( ) xxg +1 .

2. Найдите матрицу линейного оператора VUA →: , если

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

−−=

11

11/

/

ff

ffxfA в базисе { }2,,1 xx .

Вариант №3

1. Докажите, что векторы xcos , x2cos , линейно независимы.

2. Найдите матрицу линейного оператора

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxxfxxfA 2121 ///2 ++−+= в базисе { }2,,1 xx .

Вариант №4

1. Можно ли в 2R ввести скалярное умножение как :

( ) 22122111 3, yxyxyxyxyx +−−= ?

2. Пусть c - фиксированный ненулевой вектор в евклидовом

пространстве 2V векторов плоскости. A - линейный оператор,

x3cos

действующий в этом пространстве и ортогонально проектирующий

векторы из 2V на ( )cL . Найдите матрицу этого линейного оператора в

каом-либо базисе.

Вариант №5

1. Найдите матрицу линейного оператора поворота на угол ϕ вокруг оси

OY , действующего в пространстве 3R .

2. Найдите все инвариантные подпространства трехмерного

пространства относительно линейного оператора, заданного матрицей

−

−

111

202

224

.

Вариант №6

1. Найдите матрицу линейного оператора дифференцирования в

пространстве 2P многочленов степени, не превосходящей 2, в базисе

{ }21,1,1 xxx +++ .

2. Разложите элемент xx −+ 24 пространства 4P по базису

( ) ( ) ( ){ }4323,3,3,3,1 −−−− xxxx .

Вариант №7

1. Определите, является ли преобразование подобия с коэффициентом

подобия µ линейным? Найдите матрицу указанного преобразования.

2. Докажите, что векторы { }2,,1 xx линейно независимы.

Вариант №8


OX , действующего в пространстве 3R .

2. Элемент ( ) xxx eeexf 32 243 ++−= линейной оболочки

( )1,,,2 232 −+− xxxxx eeeeeL разложите по базису

{ }xxxxxxxxx efeefeeefeeef 3

4

32

3

32

2

32

1 ,,,1 =+=++=+++= .

Вариант №9 1. Является ли линейным преобразование симметрии относительно оси

xy = , действующее в пространстве векторов плоскости OXY ?

2. Докажите, что, если 222

yxyx +=+ , то ( ) 0, =yx .

Вариант №10 1. Будет ли преобразование параллельного переноса линейным?

Напишите матрицу этого преобразования.

2. В ( )xxL cos,sin скалярное произведение элементов xBxAf cossin 111 += и

введено формулой ( ) 212121 , BBAAff += . Найдите

матрицу оператора 2

2

dx

d в базисе xx cos,sin . Докажите, что оператор

ортогонален.

Нижневартовский Государственный гуманитарный университет

Кафедра физико-математического образования

Направление – 010400.62 «Прикладная математика и информатика»

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

2011-2012 уч.год.

2-й семестр.

Утверждаю:

Зав.кафедрой Л.Г.Кузнецова

Экзаменационная контрольная работа

xBxAf cossin 222 +=

Вариант №1 3. Найдите матрицу линейного оператора

( ) ( )32211321 3,2,,, xxxxxxxx ++→ в пространстве 3R в базисе из

единичных векторов.

4. Найдите матрицу перехода от базиса { }/3/2

/1 ,, eee к базису { }321 ,, eee

если 321/1 432 eeee −+= , 321

/2 52 eeee +−= , 321

/3 354 eeee ++=

5. Решить систему уравнений

=++−

=++

4223

3222

444

zyx

zyx

6. Привести квадратичную форму к сумме квадратов 2332

2221

21 5422 xxxxxxx ++++ .





2011-2012 уч.год.


Утверждаю:



Вариант №2

3. Найдите матрицу линейного оператора

( ) ( )323221321 32,23,23,, xxxxxxxxx +−−−→ в пространстве 3R в

базисе из единичных векторов.

4. Найдите матрицу перехода от базиса { }/2/1 ,ee к базису { }21,ee , если

/2

/11 2 eee += ,

/2

/12 3eee −= .


=−−

=++

2562

15222

222

zyx

zyx

6. Привести квадратичную форму к сумме квадратов 23

223121

21 424 xxxxxxx +++− .





2011-2012 уч.год.


Утверждаю:



Вариант №3


OY , действующего в пространстве 3R .

4. Найдите матрицу перехода от базиса { }321 ,, eee к базису { }/3/2

/1 ,, eee

если /3

/2

/11 3eeee ++= ,

/3

/2

/12 42 eeee +−= ,

/3

/13 53 eee += .


=−+

=++

333

322

424

zyx

zyx

6. Привести квадратичную форму к сумме квадратов

32312123

22 24433 xxxxxxxx −+++ .

I. Алгебраические системы (группы, кольца, поля).

2 вариант.

1. Решением уравнения

=⋅

123

321

312

321x является…

A)

=

132

321x ;

B)

=

312

321x ;

C)

=

213

321x ;

D)

=

231

321x ;

E)

=

123

321x .

_____________________________________________________________

2. Обратным для любого элемента а группы { } ⋅,0\Q является...

А) а

1 ;

В) - а ;

С) 1;

D) а− ;

Е) 2

а .

_____________________________________________________________

3. Операциями, определенными на множестве Z , являются...

А) bаbа =o ;

В) babа sinsin ⋅=o ;

С) 22 bаbа +=o ;

D) ),( baНОДbа =o ;

Е) аbbа =o .

______________________________________________________________ 4. Группу образуют:

A) { } ⋅⟩⟨ ,0\R ;

B) { } ⋅⟩⟨ ,0\Q ;

C) +⟩⟨ ,N ;

D) +⟩⟨ ,Z ;

E) ⟩++=⟨ babaR 3, o .

____________________________________________________________

II. Комплексные числа.

5. Алгебраическая форма 31

4

iz

+= равна…

A) 34 iz −= ;

B) 344 iz −= ;

C) 341 iz += ;

D) 31 iz −= ;

E) 31 iz += .

_____________________________________________________________

6. Тригонометрическая форма числа 31

4

iz

+= равна…

A)

⋅+=6

sin6

cos2ππ

iz ;

B)

−⋅+

−=

3sin

3cos2

ππiz ;

C)

−⋅+

−=6

sin6

cosππ

iz ;

D)

−⋅+

−=

6sin

6cos2

ππiz ;

E)

⋅+=3

sin3

cos2ππ

iz .

______________________________________________________________

7. Число 24Z , 31

4

iz

+= равно…

A) 224

;

B) –224

;

C) i2-24

;

D) 2-24

;

E) –i224

.

______________________________________________________________

8. Корни уравнения ( ) ( ) 010751 2 =−−++ zizi равны…

A) ii −−− 1,5 ;

B) ii −−1,5 ;

C) ii +− 1,5 ;

D) ii −1,5 ;

E) i+1,5 .

______________________________________________________________ 9. Расстояние между точками i+2 и 15 −i равно:

A) i41− ;

B) 5;

C) 3;

D) 19 ;

E) 5 .

_____________________________________________________________

10.Комплексное число 90

99sin

90

99cos

ππiz += является первообразным корнем из

единицы степени:

A) 180;

B) 90;

C) 20;

D) 3;

E) 9.

______________________________________________________________

III. Матрицы, определители и СЛУ.

11. Решение уравнения

==⋅

100

010

001

, EEXA ,

=

134

012

001

A равно…

A)

−

−

132

012

001

;

B)

−

−

132

012

001

;

C)

−

−

−

100

12

001

;

D)

−

−

100

410

521

;

E)

−

−−

100

410

521

.

____________________________________________________________

12. Матрица

=

40

210

01

α

αA обратима при α…

A) 0≠α ;

B) 2,0 ≠≠ αα ;

C) 2≠α ,

D) ,2−≠α 1≠α ;

E) 1,2 ≠≠ αα .

______________________________________________________________

13. Значение Adet ,

=

0031

1222

0010

2121

A равно…

А) -3 ;

В) 3 ;

С) 5 ;

D) –5 ;

Е) 1.

_____________________________________________________________

14.

=+

=+

=+

2

1

2

zx

yx

yx

αα

имеет единственное решение при α…

А) 0≠α ;

В) 1≠α ;

С) 1−≠α ;

D) 1±≠α ;

Е) 1,0 ≠≠ αα .

______________________________________________________________

15.

=+

=+

=+

03

02

0

zy

zy

zx

α

α

имеет ненулевые решения при α…

А) 2

3;0 == αα ;

В) 1=α ;

С) 0=α ;

D) 2

3=α ;

Е) 2

3;1 == αα .

___________________________________________________________

16. Значение определителя

0...

...............

...0

...0

...

xxx

xxx

xxx

xxxx

равно:

A) ( ) nnx

11−− ;

B) ( )nx− ;

C) nx ;

D) nx ;

E) ( )2−− nx .

___________________________________________________________

17. СЛУ

=++−

−=−−

=+−

2242

12

02

321

321

321

xxx

xxx

xxx

имеет:

A) 0 решений;

B) 1 решение;

C) 2 решения;

D) 3 решения;

E) бесконечно много решений.

_____________________________________________________________ 18. Значения m , n и k для kmn CBA ××× = 234 равны соответственно:

A) 2, 4, 3;

B) 4, 3, 2;

C) 2, 3, 4;

D) 3, 4, 4;

E) 2, 3, 3.

______________________________________________________________ 19. Точки с координатами ( )2,2 −− k , ( )k,7− , ( )0,2−k лежат на одной прямой при k ,

равном:

A) 10/3;

B) 2;

C) 0;

D) -5;

E) 0, 2.

______________________________________________________________

IV. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость многочленов,

приводимость и неприводимость многочленов. Алгебраическая замкнутость

поля комплексных чисел.

20. НОД { } ,, gf 1,1222 23234 +−−=+−+−= xxxgxxxxf равен…

А) х2+1 ;

В) х+1 ;

С) х-1 ;

D) (х-1)2 ;

Е) (х+1)2 .

____________________________________________________________

21. Многочлен kxxxf ++= 3)( 3 имеет кратные корни при k …

А) i2± ;

В) 2± ;

С) 31,2 i±− ;

D) 31,2 i±− ;

Е) 31 i± .

_____________________________________________________________

22. При условии if −== 2,0)( αα , корнями многочлена

10834 234 −++−= xxxxf являются…

А) 1,2 ±± i ;

В) 2,2 ±± i ;

С) 2,2 ±± i ;

D) ii ±± ,2 ;

Е) ii 21,2 ±± .

_____________________________________________________________ 23. Неприводимыми в [ ]xZ являются:

A) 123612 35 −+− xxx ;

B) 83 −x ;

C) 1525103 234 −+− xxx ;

D) 155 23 −+− xxx ;

E) 164 +x .

___________________________________________________________ 24. Остаток при делении ( )xf на ( )( )31 −+ xx , если ( ) 51 =−f , ( ) 13 =f , равен:

A) 4+− x ;

B) 2+− x ;

C) 3+x ;

D) 2;

E) 6.

___________________________________________________________

25.Для многочлена ( ) 5105363 2345 +++++= xxxxxxf кратность корня 1−=x равна:

A) 1;

B) 2;

C) 3;

D) 4;

E) 5.

___________________________________________________________

V. Многочлены от многих переменных, симметрические многочлены.

26. Сумма квадратов всех корней многочлена [ ]xCxf ∈)(

10834)( 234 −++−= xxxxxf равна…

А) 8 ;

В) 10 ;

С) 6 ;

D) -6 ;

Е) -10 .

____________________________________________________________

27. Высший член многочлена ),,( zyxf при лексикографическом

упорядочении одночленов от переменных x, y, z

)()()(),,( 423422633 xyxzyxxzyxxzyxf +⋅++⋅++= равен…

А) x3 y

2 z

10 ;

В) x9 y

2 ;

С) x8 y

2 ;

D) x4 z

10 ;

Е) x9.

____________________________________________________________

28. Степень многочлена 1024554645353 xyzxzyxyzxyxzyx +++++ по сово-купности

переменных zyx ,, равна:

A) 7;

B) 8;

C) 9;

D) 10;

E) 11.

__________________________________________________________

VI. Векторные пространства.

29. Векторы )4,,0(;)2,1,0(;),0,1( αα === cba линейно независимы

при α ...

А) 0≠α ;

В) 2,0 ≠≠ αα ;

С) 2≠α ;

D) 1≠α ;

Е) 1,0 ≠≠ αα .

__________________________________________________________

30. Размерность ),,,( dcbaL

( ) ( ) ( ) ( )1,0,0,0,2,4,2,0,1,2,1,0,1,2,0,1 ==== dcba равна...

А) 0 ;

В) 1 ;

С) 2 ;

D) 3 ;

Е) 4.

____________________________________________________________ 31. Размерность суммы подпространств, порожденных векторами ( )5,3,21 −=a ,

( )1,0,12 =a , ( )3,3,03 −=a и ( )3,2,11 −−=b , ( )1,3,42 −=b , ( )1,1,3 =b , равна:

A) 0;

B) 1;

C) 2;

D) 3;

E) Верный ответ не указан.

_____________________________________________________________

32.Размерность пересечения подпространств, порожденных векторами ( )5,3,21 −=a ,

( )1,0,12 =a , ( )3,3,03 −=a и ( )3,2,11 −−=b , ( )1,3,42 −=b , ( )1,1,3 =b , равна:

A) 0;

B) 1;

C) 2;

D) 3;

E) 4.

_____________________________________________________________

VII. Евклидовы пространства.

33. Система векторов cba ,, ортогональна

( ) ( ) ( )0,1,1,0,1,0,0,1,0,,0, === cba βα при α..., β... А) 1,1 == βα ;

В) 0,0 == βα ;

С) 0,1 == βα ;

D) 1,0 == βα ;

Е) 2,0 == βα .

____________________________________________________________

34. Угол между векторами a и b ( ) ( )0,0,0,1,0,1,0,1 == ba равен...

А) 6

π ;

В) 4

π ;

С) 3

π ;

D) 2

π ;

Е) 0.

___________________________________________________________ 35. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы ( )0,4=x , ( )1,1=y , равна:

A) 38 ;

B) 4;

C) 28 ;

D) 8;

E) 16.

___________________________________________________________

VIII. Линейные отображения и их матрицы.

36. Матрица отображения ( ) ( )yxyzхzyx −+→ ,,,, равна...

А)

− 011

010

101

;

В)

− 111

010

100

;

С)

001

100

011

;

D)

− 011

110

111

;

Е)

−

111

101

011

.

______________________________________________________________

37. Ранг отображения ( ) ( )yxzyxyztzyx ++−→ ,,,,,, равен...

А) 0 ;

В) 1 ;

С) 2 ;

D) 3 ;

Е) 4.

_______________________________________________________________

38. Дефект отображения ( ) ( )yxxyyxtzyx −−−+→ ,,,,,, равен…

А) 0 ;

В) 1 ;

С) 2 ;

D) 3 ;

Е) 4.

_______________________________________________________________

39. В пространстве многочленов базисе

2,,1

2x

x матрица линейного операто-ра

дифференцирования имеет вид:

A)

000

100

010

;

B)

010

001

000

;

C)

02/10

001

000

;

D)

102/1

001

000

;

E)

000

2/100

010

.

_____________________________________________________________

40. Матрицей линейного оператора в базисе { }21 ,ee ′′ при

−=′

−=′

22

121

ee

eee и матрице линейного

оператора

−10

01 в базисе { }21 ,ee является:

A)

−

−

11

10;

B)

−

−

01

11;

C)

−11

10;

D)

−

10

01;

E)

−10

01.

_______________________________________________________________

IX. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

41. Собственные значения отображения ( ) ( )zyxyzzyx +−→ ,,,, равны...

A) i±;1 ;

B) i±− ;1 ;

C) 2

51;1±

;

D) 2

51;1±−

;

E) 2

51;1±

− .

________________________________________________________________

42. Собственные векторы отображения ( ) ( )zzyxzyx ,,,, −+−→ ,

соответствующие 1=λ , равны...

A) ( ) xxxx ∀,,, ;

B) ( ) xx ∀,0,0, ;

C) ( ) xxxx ∀− ,2,2, ;

D) ( ) xxxx ∀− ,2,, ;

E) ( ) xxxx ∀,2,2, .

__________________________________________________________________

Х. Кольца. Кольца классов вычетов, Евклидовы и факториальные кольца.

43. Решения ( )25mod74 ≡x равны…

A) Zkkx ∈+= ,254 ;

B) Zkkx ∈+= ,258 ;

C) Zkkx ∈+= ,255 ;

D) Zkkx ∈+= ,256 ;

E) Zkkx ∈+= ,257 .

_________________________________________________________________

44. Решения 6

;24 Zxx ∈=⋅ равны…

A) 7,5,2321=== xxx ;

B) 5,221== xx ;

C) 4,221== xx ;

D) 4,521== xx ;

E) 2,221−== xx .

_______________________________________________________________

45.Многочлены ( ) 12 += xxf и ( ) 12 ++= xkxxg над 3Z являются функционально равными

при k , равном:

A) 0;

B) 0, 1;

C) 1, 2;

D) 2;

E) 3Zk ∈∀ .

_______________________________________________________________

ХI. Расширение полей, алгебраические и конечные расширения.

46. Элементы ( )3iQ однозначно представляются в виде:

А) { }QСССiС ∈+ 1010 ,/3 ;

В) { }QCССССiCiСС ∈+++ 32103210 ,,,/33 ;

С) { }QССiСС ∈+ 1010 ,/3 ;

D) { }QССССiСС ∈++ 210210 ,,/3 ;

Е) Верный ответ не указан.

_________________________________________________________________

47. Степень расширения ( )[ ]QiQ :54 равна...

А) 2;

В) 4;

С) 6;

D) 8;


_________________________________________________________________ 48. Истинными являются утверждения:

A) ( )6 77 Q∈ ;

B) ( )64 33 Q∈ ;

C) ( )45 22 Q∈ ;

D) ( )773 Q∈ ;

E) ( )123 42 Q∈ .


3 вариант.


=

⋅

231

321

132


A)

=

312

321x ;

B)

=

132

321x ;

C)

=

213

321x ;

D)

=

123

321x ;

E)

=

231

321x .

____________________________________________________________

2. Обратным для любого элемента а группы +,Q является...

А) 1;

В) 0;

С) а

1 ;

D) - а ;

Е) –1.

____________________________________________________________


А) abа blog=o ;

В) 1−+= babа o ;

С) { }babа ,max=o ;

D) а

bbа =o ;

Е) 2bbа =o .

_____________________________________________________________ 4. Группу образуют:

A) ⋅⟩⟨ ,Q ;

B) ⋅⟩⟨ + ,Q ;

C) +⟩⟨ ,2n ;

D) +⟩⟨ ,nZ ;

E) { }⟩+∈+⟨ ,,:2 Qbaba .


5. Алгебраическая форма i

z+

=3

2 равна…

A) iz 232 += ;

B) iz 232 −= ;

C) 22

3 iz −= ;

D) iz −= 3 ;

E) 44

3 i− .

_____________________________________________________________

6. Тригонометрическая форма числа i

z+

=1

22 равна…

A)

⋅+=4

sin4

cos2ππ

iz ;

B)

⋅+=4

sin4

cos2ππ

iz ;

C)

−⋅+

−=

4sin

4cos2

ππiz ;

D)

−⋅+

−=

4sin

4cos2

ππiz ;

E)

⋅+

=

4

3sin

4

3cos2

ππiz .

_____________________________________________________________

7. Число 24Z , i

z+

=1

22 равно…

A) 224

;

B) –224

;

C) i2-24

;

D) 2-24

;

E) –i224

.

_____________________________________________________________

8. Корни уравнения ( ) 05342 =−−−− iziiz равны…

A) ii 32,1 −−−− ;

B) ii 32,1 ++ ;

C) ii 32,1 −− ;

D) ii 32,1 −+ ;

E) ii 32,1 +− .

______________________________________________________________

9. Комплексное число 60

66sin

60

66cos

ππiz += является первообразным корнем из единицы

степени:

A) 6;

B) 20;

C) 60;

D) 66;

E) 120.

_____________________________________________________________ 10. Расстояние между точками 54 −i и i23− равно:

A) 10;

B) 14;

C) 2;

D) 86 −i ;

E) 86 +− i .

____________________________________________________________



==⋅

100

010

001

, EEXA ,

=

001

100

010

A равно…

A)

010

001

100

;

B)

001

010

001

;

C)

010

101

010

;

D)

001

010

100

;

E)

100

010

100

.

____________________________________________________________

12. Матрица

=

1010

01

01

αα

A обратима при α…

А) 1≠α ;

В) 1−≠α ;

С) 0≠α ;

D) 1±≠α ;

Е) 1,0 ≠≠ αα .

____________________________________________________________


=

1201

3212

0102

0201

A равно…

А) 3 ;

В) -3 ;

С) 5 ;

D) –5 ;

Е) 2.

____________________________________________________________

14.

=+

=+

=+

24

12

3

zy

zy

zx

α

α

имеет единственное решение при α…

А) 2≠α ;

В) 1≠α ;

С) 1−≠α ;

D) 1±≠α ;

Е) 0≠α .

____________________________________________________________

15.

=+

=+

=+

04

02

0

zy

zy

zx

α

α


А) 0=α ;

В) 2=α ;

С) 1=α ;

D) 2=α ;

Е) 3=α .

_____________________________________________________________ 16. Точки с координатами ( )1, −kk , ( )1,0 , ( )1, −− kk лежат на одной прямой при k ,

равном:

A) 0;

B) 0, 3;

C) 0, 1;

D) 1;

E) 0, 2.

______________________________________________________________ 17. Значения m , n и k для kmn CBA ××× = 234 равны соответственно:

A) 2, 3, 3;

B) 2, 3, 2;

C) 3, 3, 2;

D) 3, 2, 2;

E) 3, 2, 3.

____________________________________________________________

18. СЛУ

=++−

=++−

=+−+−

=−−−

432

063

1242

12

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx






____________________________________________________________


1...000

...............

1...010

1...001

1...111

равно:

A) ( )2−n ;

B) ( ) nn 1

1−− ;

C) !2n ;

D) ( ) ( )211 −− −

nn

;

E) ( )( )nn 12 −− .

____________________________________________________________




20. НОД { } ,, gf 1,1222 23234 −+−=++++= xxxgxxxxf равен…

А) х-1 ;

В) х+1 ;

С) (х-1)2 ;

D) (х+1)2 ;

Е) х2+1 .

__________________________________________________________

21. Многочлен 13)( 3 ++= xkxkxf имеет кратные корни при k …

А) i2

1± ;

В) 2

1± ;

С) 1± ;

D) i± ;

Е) 31 i± .

__________________________________________________________

22. При условии if +−== 1,0)( αα , корнями многочлена

2232 234 +++−= xxxxf являются…

А) 1,1 ±±− i ;

В) ii ±±− ,1 ;

С) ii ±±− 1,1 ;

D) 2,1 ±±− i ;

Е) ii 2,1 ±±− .

___________________________________________________________ 23. Неприводимыми в [ ]xZ являются:

A) 164 −x ;

B) 110 24 +− xx ;

C) 148 ++ xx ;

D) 691532 234 +−+− xxxx ;

E) 624 −− xx .

____________________________________________________________

24. Остаток при делении ( )xf на ( )( )21 −+ xx , если ( ) 91 =−f , ( ) 32 =f , равен:

A) 3;

B) 9;

C) 12;

D) 12 −x ;

E) 72 +− x .

_____________________________________________________________

25.Для многочлена ( ) 83210 345 −+−+= xxxxxf кратность корня 1−=x равна:

A) 1;

B) 2;

C) 3;

D) 4;

E) 5.

____________________________________________________________



2232)( 234 ++++= xxxxxf равна…

А) 2 ;

В) –2 ;

С) 4 ;

D) –4 ;

Е) 6 .

__________________________________________________________



)()()(),,( 333322 yxxzxyxzxyxzyxf +⋅++⋅++= равен…

А) x3 y

z

6 ;

B) x6 y

2 ;

C) x6 ;

D) x3 z

6 ;

E) x5 y

4 .

__________________________________________________________

28. Степень многочлена 342594262 zxyyzxxzyxzyx ++++ по совокупности


А) 6;

B) 7;

C) 8;

D) 9;

E) 10.

__________________________________________________________


29. Векторы )1,0,1(;)0,,1(;)0,1,( === cba αα линейно независимы

при α ...

А) 1≠α ;

В) 1−≠α ;

С) 0≠α ;

D) 1±≠α ;

Е) 1,0 ≠≠ αα .

_____________________________________________________________


( ) ( ) ( ) ( )0,1,1,1,0,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,1 ==== dcba равна...

А) 0 ;

В) 1 ;

С) 2 ;

D) 3 ;

Е) 4.

____________________________________________________________ 31. Размерность суммы подпространств, порожденных векторами ( )4,3,21 −−=a ,

( )0,1,52 −=a , ( )8,5,13 −=a и ( )0,1,21 −=b , ( )2,0,32 −=b , ( )2,2,13 −−=b , равна:

A) 0;

B) 1;

C) 2;

D) 3;


______________________________________________________________

32.Размерность пересечения подпространств, порожденных векторами ( )4,3,21 −−=a ,

( )0,1,52 −=a , ( )8,5,13 −=a и ( )0,1,21 −=b , ( )2,0,32 −=b , ( )2,2,13 −−=b , равна:

A) 0;

B) 1;

C) 2;

D) 3;

E) 4.



( ) ( ) ( )1,,,1,0,,,0,1,0,0,1 βαβα −=== cba при α..., β... А) 1,1 == βα ;

В) 0,0 == βα ;

С) 0,1 == βα ;

D) 1,0 == βα ;

Е) 2,0 == βα .

_____________________________________________________________

34. Угол между векторами a и b ( ) ( )1,1,1,1,0,0,1,1 −== ba равен...

А) 6

π ;

В) 4

π ;

С) 3

π ;

D) 2

π ;

Е) π .

__________________________________________________________ 35. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы ( )0,3=x , ( )2,1=y , равна:

A) 36;

B) 6;

C) 218 ;

D) 318 ;

E) 18.

___________________________________________________________


36. Матрица отображения ( ) ( )xzyxzyх ,,,, +→ равна...

А)

− 011

010

101

;

В)

− 111

010

100

;

С)

001

100

011

;

D)

− 011

110

111

;

Е)

−

111

101

011

.

____________________________________________________________

37. Ранг отображения ( ) ( )tyxxzyxtzyx +++→ ,,,,,, равен...

А) 0 ;

В) 1 ;

С) 2 ;

D) 3 ;

Е) 4.

_____________________________________________________________

38. Дефект отображения ( ) ( )xzzyyxtzyx ,,,,,, ++→ равен...

А) 0 ;

В) 1 ;

С) 2 ;

D) 3 ;

Е) 4.

_______________________________________________________________


−=′

+=′

12

211

ee


оператора

−

01


A)

−

−

10

11;

B)

−

−

12

11;

C)

10

11;

D)

−−

12

11;

E)

−

11

10.

______________________________________________________________

40. В пространстве многочленов базисе { }21,1,1 xxx +++ матрица линейного оператора


A)

−

000

200

110

;

B)

− 021

001

000

;

C)

000

210

100

;

D)

000

210

110

;

E)

021

010

000

.

______________________________________________________________


41. Собственные значения отображения ( ) ( )zzyxzyx ,,,, +→ равны...

A) i±;1 ;

B) 0;1 ;

C) i±− ;1 ;

D) 0;1− ;

E) i±;0 .

_______________________________________________________________

42. Собственные векторы отображения ( ) ( )zzyxzyx −+→ ,,,, ,


A) ( ) xxxx ∀,,, ;

B) ( ) xxxx ∀,,2, ;

C) ( ) xx ∀,0,0, ;

D) ( ) xxx ∀,0,, ;

E) ( ) xxx ∀,,0, .

_______________________________________________________________



A) Zkkx ∈+= ,218 ;

B) Zkkx ∈+= ,2112 ;

C) Zkkx ∈+= ,2111 ;

D) Zkkx ∈+= ,2113 ;

E) Zkkx ∈+= ,2110 .

_________________________________________________________________



A) 10,6,2321=== xxx ;

B) 6,7,2321=== xxx ;

C) 6,221== xx ;

D) 10,621== xx ;

E) 10,6,4321=== xxx .

_________________________________________________________________

45. Многочлены ( ) 222 −+= xxxf и ( ) 12 ++= kxxxg над 3Z являются функ-ционально

равными при k , равном:

A) 2;

B) 1;

C) 0;

D) –1, 0;

E) 3Zk ∈∀ .

_________________________________________________________________


46. Элементы ( )3 4Q однозначно представляются в виде:

А) { }QСССССС ∈++ 2103

23

10 ,,/164 ;

В) { }QССССС ∈+ 2103

10 ,,/4 ;

С) { }QСССССС ∈++ 2103

210 ,,/44 ;

D) { }QСС ∈+ 03

0 /4 ;

Е) { }QСССС ∈+ 1010 ,/4 .

__________________________________________________________________

47. Степень расширения ( ) ( )[ ]iQiQ :53 равна...

А) 2;

В) 3;

С) 5;

D) 6;


_________________________________________________________________ 48. Истинными являются утверждения:

A) ( )6 33 Q∈ ;

B) ( )65 33 Q∈ ;

C) ( )4 33 Q∈ ;

D) ( )335 Q∈ ;

E) ( )4 93 Q∈ .


4 вариант.


=

⋅

213

321

231


A)

=

312

321x ;

B)

=

213

321x ;

C)

=

123

321x ;

D)

=

231

321x ;

E)

=

132

321x .

___________________________________________________________

2. Обратным для любого элемента а группы +,R является...

А) 0;

В) 1;

С) а

1 ;

D) - а ;

Е) а +1.

____________________________________________________________


А) bаbа −=o ;

В) 2abbа =o ;

С) 2

babа

−=o ;

D) { }babа ,min=o ;

Е) abbа −=o .

_____________________________________________________________ 4. Поле образуют:

A) { } ⋅⟩+∈+⟨ ,,,:2 Qyxyx ;

B) ⋅⟩+⟨ ,,Q ;

C) ⋅⟩+⟨ ,,N ;

D) ⋅⟩+⟨ ,,Z ;

E) { } ⋅⟩+∈+⟨ ,,,: Qyxyix .



z−−=

1

22 равна…

A) iz 22 +−= ;

B) iz 22 −= ;

C) iz 22 += ;

D) iz 22 −−= ;

E) iz −= 2 .

___________________________________________________________


z−

=3

4 равна…

A)

⋅+=6

sin6

cos2ππ

iz ;

B)

⋅+=3

sin3

cos2ππ

iz ;

C)

⋅+=3

sin3

cos2ππ

iz ;

D)

⋅+=6

sin6

cos2ππ

iz ;

E)

⋅+= ππ3

2sin

3

2cos2 iz .

____________________________________________________________


z−

=3

4 равно...

A) 224

;

B) –224

;

C) i2-24

;

D) 2-24

;

E) –i224

.

____________________________________________________________

8. Корни уравнения ( ) 051232 =−−−− iziiz равны…

A) ii 23,1 −−− ;

B) ii 23,1 −+ ;

C) ii 23,1 ++ ;

D) ii 23,1 +−− ;

E) ii 23,1 +− .

____________________________________________________________

9.Комплексное число 40

44sin

40

44cos

ππiz += является первообразным корнем из единицы

степени:

A) 88;

B) 80;

C) 44;

D) 40;

E) 20.

_____________________________________________________________ 10. Расстояние между точками i32 − и 4+i равно:

A) i42 + ;

B) i42 −− ;

C) 52 ;

D) 6;

E) 20.

_____________________________________________________________



==⋅

100

010

001

, EEXA ,

=

100

001

010

A равно…

A)

100

001

010

;

B)

010

100

001

;

C)

010

100

111

;

D)

010

100

101

;

E)

010

001

001

.

___________________________________________________________

12. Матрица

=

100

5510

14αA обратима при α…

А) 0≠α ;

В) 8≠α ;

С) 1≠α ;

D) 1,8 ≠≠ αα ;

Е) 8,0 ≠≠ αα .

___________________________________________________________


=

1300

2212

0100

1221

A равно…

А) 3 ;

В) 5 ;

С) -3 ;

D) 5 ;

Е) -2.

___________________________________________________________

14.

=+

=+

=++

12

384

22

yx

yx

zyx

α имеет единственное решение при α…

А) 1≠α ;

В) 0≠α ;

С) 1−≠α ;

D) 2≠α ;

Е) 2−≠α .

____________________________________________________________

15.

=+

=+

=+

010

0

0

zx

yx

yx

αα


А) 1=α ;

В) 1−=α ;

С) 0=α ;

D) 1±=α ;

Е) 2=α .

_____________________________________________________________


0...321

...............

...021

...301

...321

−−−

−−

−

n

n

n

равно:

A) 0;

B) nn ;

C) !n ;

D) ( ) nn 1

1−− ;

E) ( )!2−n .

__________________________________________________________

17. СЛУ

=+−

=++

=+−−

=−+

02

05

016126

0863

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx






___________________________________________________________ 18. Значения m , n и k для kmn CBA ××× =323 равны соответственно:

A) 3, 3, 2;

B) 3, 3, 3;

C) 2, 2, 2;

D) 2, 3, 3;

E) 2, 3, 2.

____________________________________________________________ 19.Точки с координатами ( )1,0 −k , ( )4,2 − , ( )kk, лежат на одной прямой при k , равном:

A) –1, -2;

B) 0;

C) 0, 1;

D) 1;

E) 2, 4.

______________________________________________________________




20. НОД { } ,, gf 1,122 2334 +−−=−−+= xxxgxxxf равен…

А) (х-1)2 ;

В) (х+1)2 ;

С) х-1 ;

D) х2-1 ;

Е) х+1 .

____________________________________________________________

21. Многочлен 23)( 3 ++= xkxxf имеет кратные корни при k …

А) 2

3

2

1,1

i±− ;

В) 2

3

2

1,1

i±− ;

С) 1± ;

D) 2

3

2

1 i± ;

Е) 2

3

2

1 i±− .

_____________________________________________________________

22. При условии if 21,0)( −== αα , корнями многочлена

5242 234 −++−= xxxxf являются…

А) ii ±± ,21 ;

В) 1,21 ±± i ;

С) ii 2,21 ±± ;

D) 2,21 ±± i ;

Е) ii 21,21 ±−± .


A) 367281476 2345 xxxxx +−+− ;

B) 646 +x ;

C) 273 3 −x ;

D) 432 −− xx ;

E) 124 ++ xx .

_____________________________________________________________

24.Остаток при делении ( )xf на ( )( )112 −− xx , если 22

1−=

f , ( ) 51 −=f , равен:

A) 23 −x ;

B) 16 +− x ;

C) x ;

D) –7;

E) 2

11.

_______________________________________________________________

25.Для многочлена ( ) 11471914 2345 −+++−−= xxxxxxf кратность корня 1−=x равна:

A) 1;

B) 2;

C) 3;

D) 4;

E) 5.

_____________________________________________________________



5242)( 234 −++−= xxxxxf равна…

А) 4 ;

В) -4 ;

С) 6 ;

D) –6 ;

Е) 2 .

___________________________________________________________



)()()(),,( 222644 yxxzxyxzхуxzyxf +⋅++⋅++= равен…

A) х

4 у

6 ;

B) x7 y

2 ;

C) x3 у

2 z

5;

D) x4 y

5 ;

E) x5 yz

7.

___________________________________________________________

28.Степень многочлена 6342553652211 zyxzyxzyxzyxx ++++ по совокупности


А) 9;

B) 10;

C) 11;

D) 12;

E) 13.

_____________________________________________________________


29. Векторы )1,0,0(;),1,2(;)1,4,( === cba αα линейно независимы

приα ...

А) 0≠α ;

В) 8≠α ;

С) 1≠α ;

D) 1,8 ≠≠ αα ;

Е) 8,0 ≠≠ αα .

___________________________________________________________


( ) ( ) ( ) ( )1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,2,0,1,4,8 ==== dcba равна...

А) 0 ;

В) 1 ;

С) 2 ;

D) 3 ;

Е) 4.

____________________________________________________________ 31. Размерность суммы подпространств, порожденных векторами ( )1,2,11 =a , ( )1,1,12 −=a ,

( )3,3,13 =a и ( )1,3,21 −=b , ( )2,2,12 −=b , ( )1,1,13 =b , равна:

A) 1;

B) 3;

C) 0;

D) 2;

E) 4.

______________________________________________________________

32.Размерность пересечения подпространств, порожденных векторами ( )1,2,11 =a ,

( )1,1,12 −=a , ( )3,3,13 =a и ( )1,3,21 −=b , ( )2,2,12 −=b , ( )1,1,13 =b , равна:

A) 1;

B) 3;

C) 4;

D) 2;

E) 0.

____________________________________________________________



( ) ( ) ( )1,0,0,1,0,1,1,0,,0,0, −=== cba βα при α..., β... А) 2,1 == βα ;

В) 1,1 =−= βα ;

С) βα = ;

D) βα −= ;

Е) 1,0 == βα .

_____________________________________________________________

34. Угол между векторами a и b ( ) ( )0,0,1,1,0,0,1,0 == ba равен...

А) 6

π ;

В) 4

π ;

С) 3

π ;

D) 2

π ;

Е) 0.

__________________________________________________________ 35. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы ( )3,0=x , ( )1,1=y , равна:

A) 3;

B) 9;

C) 18;

D) 29 ;

E) 39 .


36. Матрица отображения ( ) ( )yxzyzyxzyx −+++→ ,,,, равна...

А)

− 011

010

101

;

В)

− 111

010

100

;

С)

001

100

011

;

D)

− 011

110

111

;

Е)

−

111

101

011

.

_____________________________________________________________

37. Ранг отображения ( ) ( )xzzyyxtzyx ,,,,,, ++→ равен...

А) 0 ;

В) 1 ;

С) 2 ;

D) 3 ;

Е) 4.

______________________________________________________________

38. Дефект отображения ( ) ( )tyxxzyxtzyx +++→ ,,,,,, равен...

А) 0 ;

В) 1 ;

С) 2 ;

D) 3 ;

Е) 4.

______________________________________________________________

39.Матрицей линейного оператора в базисе { }21 ,ee ′′ при

−=′

+=′

12

211

ee


оператора

−10


A)

−

11

10;

B)

−

23

01

C)

− 21

01;

D)

− 23

01;

E)

−−

−

21

01.

______________________________________________________________

40.В пространстве многочленов базисе { }xxx −− 2,1,1 матрица линейного оператора


A)

000

200

110

;

B)

−

000

200

110

;

C)

−

000

100

210

;

D)

200

110

000

;

E)

012

001

000

.

______________________________________________________________


41. Собственные значения отображения ( ) ( )zzyxzyx ,,,, −+−→ равны...

A) i±;1 ;

B) 1;0 ± ;

C) 0;1− ;

D) 0;1 ;

E) i±;0 .

_________________________________________________________________

42. Собственные векторы отображения ( ) ( )zyxyzzyx +−→ ,,,, ,


A) ( ) xxxx ∀,,, ;

B) ( ) xxxx ∀,,2, ;

C) ( ) xxxx ∀,,,2 ;

D) ( ) xxxx ∀− ,2,, ;

E) ( ) xxxx ∀,,2,2 .

_________________________________________________________________



A) Zkkx ∈+= ,156 ;

B) Zkkx ∈+= ,157 ;

C) Zkkx ∈+= ,155 ;

D) Zkkx ∈+= ,158 ;

E) Zkkx ∈+= ,154 .

________________________________________________________________



A) 5,221== xx ;

B) 4,221== xx ;

C) 5,4,2321=== xxx ;

D) 3,521== xx ;

E) 5,4,3321=== xxx .

________________________________________________________________

45. Многочлены ( ) 122 ++= xxxf и ( ) 12 +−= kxxxg над 3Z являются функционально


A) –2, 0;

B) 1;

C) 2;

D) 1, 0;

E) 1, 2.

________________________________________________________________


46. Элементы ( )4 5iQ однозначно представляются в виде:

А) { }QССiСС ∈+ 104

10 ,/5 ;

В) { }QССССiСС ∈++ 2104

210 ,,/5 ;

С) { }QCСССiСCiСС ∈+++ 32104

324

10 ,,,/12555 ;

D) { }QСCСССССCiСС ∈++++ 432104

434

210 ,,,,/12555 ;

Е) { }QСССiС ∈+ 104

10 ,/5 .

_________________________________________________________________

47. Степень расширения ( ) ( )[ ]612 5:5 QiQ равна...

А) 2;

В) 4;

С) 6;

D) 12;

Е) 24.

____________________________________________________________ 48. Истинными являются утверждения:

A) ( )3 22 Q∈ ;

B) ( )226 Q∈ ;

C) ( )64 22 Q∈ ;

D) ( )54 22 Q∈ ;

E) ( )6 22 Q∈ .


5 вариант.


=

⋅

213

321

312

321x

является…

A)

=

213

321x ;

B)

=

123

321x ;

C)

=

312

321x ;

D)

=

132

321x ;

E)

=

231

321x .

____________________________________________________________

2. Обратным для любого элемента а группы ⋅+ ,R является...

А) 1;

В) 0;

С) а

1 ;

D) - а ;

Е) -а

1.

_____________________________________________________________


А) аbbа 2=o ;

В) а bbа =o ;

С) bаbа 2+=o ;

D) 22 bаbа −=o ;

Е) 2)( bаbа +=o .

_____________________________________________________________ 4.Кольцо образуют:

A) { } ⋅⟩+∈+⟨ ,,,:2 Qyxyx ;

B) ⋅⟩+⟨ ,,Q ;

C) ⋅⟩+⟨ + ,,Z ;

D) ⋅⟩+⟨ ,,Z ;

E) { } ⋅⟩+∈+⟨ ,,,: Qyxyix

_____________________________________________________________



z−

=3

1 равна…

A) iz += 3 ;

B) 22

3 iz += ;

C) 44

3 iz += ;

D) 44

3 iz −= ;

E) 22

3 iz −= .

_________________________________________________________


z−

=1

2 равна…

A)

−⋅+

−=4

sin4

cosππ

iz ;

B) 4

sin4

cosππ

⋅+= iz ;

C)

⋅+=4

sin4

cos2ππ

iz ;

D)

−⋅+

−=

4sin

4cos2

ππiz ;

E)

⋅+=4

3sin

4

3cos2

ππiz .

_________________________________________________________


z−

=1

2 равно…

A) 224

;

B) 1 ;

C) 2-24

;

D) i224

;

E) -1.

_________________________________________________________

8. Корни уравнения ( ) 0121 2 =+++− izzi равны…

A) 1, −− i ;

B) 1,i ;

C) 1, −i ;

D) 1,i− ;

E) 1,1 i+ .

___________________________________________________________

9. Расстояние между точками i23+− и 1+i равно:

A) 17 ;

B) 5;

C) 3;

D) 72 ;

E) i+− 4 .

__________________________________________________________

10. Комплексное число 13

20sin

13

20cos

ππiz += является первообразным корнем из

единицы степени:

A) 7;

B) 40;

C) 26;

D) 20;

E) 13.

___________________________________________________________



==⋅

100

010

001

, EEXA ,

−

−

=

100

410

521

A равно…

A)

100

410

321

;

B)

100

410

231

;

C)

−

−

100

410

321

;

D)

−

−

100

410

321

;

E)

−

−

100

410

321

.

__________________________________________________________

12. Матрица

=

001

282

141 αA обратима при α…

А) 1≠α ;

В) 0≠α ;

С) 1,0 ≠≠ αα ;

D) 2≠α ;

Е) 0,2 ≠≠ αα .

___________________________________________________________


=

0031

2122

0010

1221

A равно…

А) 3 ;

В) -3 ;

С) 5 ;

D) –5 ;

Е) 2.

____________________________________________________________

14.

=++

=+

=+

1

12

2

zyx

yx

yx

α имеет единственное решение при α…

А) 2≠α ;

В) 1≠α ;

С) 2−≠α ;

D) 1−≠α ;

Е) 0≠α .

____________________________________________________________

15.

=+

=+

=++

0

04

0

yx

yx

zyx

α

α


А) 4=α ;

В) 1=α ;

С) 0=α ;

D) 2=α ;

Е) 3=α .

_________________________________________________________


nnnn

nnn

nnn

nnn

...

...............

...3

...2

...1

равно:

A) ( ) ( )nnn −− 11 ;

B) ( )!12 −n ;

C) ( ) !1 nn− ;

D) !n

E) ( ) !11n

n−− .

____________________________________________________________

17. СЛУ

=+

=+−

=−+

=−−

032

042

02

037

31

321

321

321

xx

xxx

xxx

xxx






____________________________________________________________ 18. Значения m , n и k для 233 ××× = kmn CBA равны соответственно:

A) 3, 2, 3;

B) 2, 2, 3;

C) 2, 2, 2;

D) 3, 2, 2;


____________________________________________________________ 19. Точки с координатами ( )k,1− , ( )0,2 , ( )1,1 +− kk лежат на одной прямой при k ,

равном:

A) –2, 0;

B) 1± ;

C) 2± ;

D) 1, 0;

E) –1, 0.

______________________________________________________________




20. НОД { } ,, gf 1,1 2334 +−−=−−+= xxxgxxxf равен…

А) х-1 ;

В) х+1 ;

С) х2+1 ;

D) х2-1 ;

Е) (х+1)2 .

___________________________________________________________

21. Многочлен 23)( 3 ++= xkxkxf имеет кратные корни при k …

А) i± ;

В) 1± ;

С) 2

1± ;

D) 2

i± ;

Е) 31 i± .

____________________________________________________________

22. При условии if +−== 2,0)( αα , корнями многочлена

5464 234 ++++= xxxxf являются…

А) 1,2 ±±− i ;

В) ii ±±− ,2 ;

С) 4,2 ±±− i ;

D) 2,2 ±±− i ;

Е) ii ±±− 2,2 .

____________________________________________________________

23. Остаток при делении ( )xf на ( )( )113 +− xx , если 33

1=

f , ( ) 71 =−f , равен:

A) 3

2− ;

B) 21;

C) x4 ;

D) 16 +− x ;

E) 22 −− x .

_____________________________________________________________

24.Для многочлена ( ) 19527 234 −−+−= xxxxxf кратность корня 1=x равна:

A) 1;

B) 2;

C) 3;

D) 4;

E) 0.


A) 164 +x ;

B) 6152137 234 −−+− xxxx ;

C) 14497 23 +−+ xxx ;

D) ;

E) 232 2 −− xx .

____________________________________________________________



5464)( 234 ++++= xxxxxf равна…

А) 4 ;

В) 2 ;

С) -2 ;

D) –4 ;

Е) 6 .

___________________________________________________________



)()()(),,( 432363 zyxzxyxyxzyxf ++⋅++⋅+= равен…

A) y

6 z

7 ;

B) x6 y ;

C) x6 ;

D) xy9 ;

E) xy7 z

4.

___________________________________________________________

28. Степень многочлена 28456645349 yzxzxyzyyxzyxx +++++ по совокуп-ности


A) 8;

B) 9;

C) 10;

D) 11;

E) 12.

____________________________________________________________


29. Векторы )0,0,1(;)1,2,(;)1,,1( === cba αα линейно независимы

приα ...

А) 2≠α ;

В) 0≠α ;

С) 1,0 ≠≠ αα ;

D) 1≠α ;

Е) 2,0 ≠≠ αα .

____________________________________________________________


( ) ( ) ( ) ( )0,0,1,1,0,0,0,1,0,1,2,2,0,1,2,1 ==== dcba равна...

А) 0 ;

В) 1 ;

С) 2 ;

D) 3 ;

Е) 4.

____________________________________________________________ 31. Размерность суммы подпространств, порожденных векторами ( )1,2,11 =a , ( )1,1,12 −=a ,

( )3,3,13 =a и ( )1,3,21 −=b , ( )2,2,12 −=b , ( )1,1,13 =b , равна:

A) 1;

B) 3;

C) 0;

D) 2;

E) 4.

______________________________________________________________

32.Размерность пересечения подпространств, порожденных векторами ( )1,2,11 =a ,

( )1,1,12 −=a , ( )3,3,13 =a и ( )1,3,21 −=b , ( )2,2,12 −=b , ( )1,1,13 =b , равна:

A) 1;

B) 3;

C) 4;

D) 2;

E) 0.

______________________________________________________________



( ) ( ) ( )1,0,0,1,0,0,1,,,0,0,1 === cba αβ при α..., β... А) 0,0 == βα ;

В) 1,0 −== βα ;

С) 1,0 == βα ;

D) 1,1 == βα ;

Е) 0,1 == βα .

_____________________________________________________________

34. Угол между векторами a и b ( ) ( )1,0,1,0,1,0,1,0 −=−= ba равен...

А) 6

π ;

В) 4

π ;

С) 3

π ;

D) 2

π ;

Е) π .

_____________________________________________________________ 35. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы ( )2,1=x , ( )1,3−=y , равна:

A) 50;

B) 51;

C) 51 ;

D) 25;

E) 325 .

____________________________________________________________


36. Матрица отображения ( ) ( )zyxzxyxzyx +++−→ ,,,, равна...

А)

− 011

010

101

;

В)

− 111

010

100

;

С)

001

100

011

;

D)

− 011

110

111

;

Е)

−

111

101

011

.

_____________________________________________________________

37. Ранг отображения ( ) ( )yxxyyxtzyx −−−+→ ,,,,,, равен...

А) 0 ;

В) 1 ;

С) 2 ;

D) 3 ;

Е) 4.

_____________________________________________________________

38. Дефект отображения ( ) ( )yxzyxyztzyx ++−→ ,,,,,, равен...

А) 0 ;

В) 1 ;

С) 2 ;

D) 3 ;

Е) 4.

________________________________________________________________


−=′

=′

212

21 2

eee

ee и матрице линейного

оператора

−

01


A)

−12

10;

B)

−

−−

2

11

2

11

;

C)

−

−−

112

1

2

1;

D)

−

−−

2

1

2

12

3

2

1

;

E)

−

−

12

11;

__________________________________________________________

40. В пространстве многочленов базисе ( )

−−

2

1,1,1

2x

x матрица линейного оператора


A)

000

100

010

;

B)

010

001

000

;

C)

000

110

000

;

D)

02/10

001

000

;

E)

102/1

001

000

.

______________________________________________________________


41. Собственные значения отображения ( ) ( )zzyxzyx −−+→ ,,,, равны...

A) i±;1 ;

B) 1;0 ± ;

C) 1;0 ;

D) 1;0 − ;

E) i±;0 .

________________________________________________________________

42. Собственные векторы отображения ( ) ( )yxyyxzyx −−+→ ,,,, ,


A) ( ) xxxx ∀,,, ;

B) ( ) xxxx ∀,,2, ;

C) ( ) xxx ∀− ,0,, ;

D) ( ) xxxx ∀−− ,,, ;

E) ( ) xxxx ∀− ,,2, .

_________________________________________________________________



A) Zkkx ∈+= ,114 ;

B) Zkkx ∈+= ,116 ;

C) Zkkx ∈+= ,115 ;

D) Zkkx ∈+= ,117 ;

E) Zkkx ∈+= ,118 .

_________________________________________________________________



A) 10,7,3321=== xxx ;

B) 11,7,3 321 === xxx ;

C) 7,321== xx ;

D) 10,321== xx ;

E) 11,321== xx .

_________________________________________________________________

45. Многочлены ( ) 122 +−= xxxf и ( ) 12 ++= xkxxg над 3Z являются функцио-нально


A) 1;

B) 0;

C) 2;

D) 0, 2;

E) 3Zk ∈∀ .

________________________________________________________________


46. Элементы ( )3 5iQ однозначно представляются в виде:

А) { }QССiСС ∈+ 103

10 ,/5 ;

В) { }QССССiСС ∈++ 2103

210 ,,/5 ;

С) { }QCССССCiСС ∈+++ 32103

33

210 ,,,/255 ;

D) { }QССССiСС ∈++ 2103

23

10 ,,/255 ;


_________________________________________________________________

47. Степень расширения ( ) ( )[ ]5:58 QiQ равна…

А) 2;

В) 4;

С) 6;

D)8;

Е) 16. _________________________________________________________________

48. Истинными являются утверждения:

A) ( )553 Q∈ ;

B) ( )63 55 Q∈ ;

C) ( )6 55 Q∈ ;

D) ( )3 55 Q∈ ;

E) ( )5253 Q∈ .

Documents

nvsu.runvsu.ru/svedenfiles/education/346/B1.B.10-Algebra... · Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное