1

OBRADA I ANALIZA SIGNALA

PREDAVANJA I VJEŽBE Pripremio: Igor Vujović

NAČIN POLAGANJA ISPITA- 2 kolokvija teorija+zadaci i projekt- Vježbanje timskog rada: podjela u timove, određivanje

vođe tima, podjela zadataka, rad na projektu, izvješće.- Svaki tim će napisati izvješće o načinu rada te tko je

točno što radio (tko je odgovoran za što). Također će napisati i rad od min. 6-8 stranica (12 Times, jednostruki prorijed, dvostupčasti format, A4)

- Kolokviji po 30 bodova, izvještaj i rad s projekta 5+25, zalaganje i dolasci na nastavu 5+5 bodova. Kolokviji po 40% za prolaz – uvjet, a onda se zbroje bodovi i dobije se ocjena:

[60-70] bodova dovoljan, ⟨70-80] dobar, ⟨80-90] vrlo dobar, ⟨90-100] odličan.

LITERATURAH. Babić, Signali i sustavi, FER, Zagreb, 1996. – dostupno na

InternetuT. Petković, Zbirka zadataka iz Signala i Sustava, FER, Zagreb –

dostupno na InternetuPredavanja i vježbe iz Digitalne obradbe signala, FER, dostupno

na Internetu.Alan V. Oppenheim, Signals and Systems, Prentice-Hall Signal

Processing Series (bilo koje izdanje)Proakis, Manolakis, Digital Signal Processing – Principles,

Algorithms and Applications,1992.Alfred Mertins, Signal Analysis, 1999 John Wiley & Sons Ltd,

Print ISBN 0-471-98626-7, Electronic ISBN 0-470-84183-4Steven T. Karris, Signals and Systems with MATLAB®

Applications, Orchard Publications, 2003, ISBN 0-9709511-8-3

VAŽNA PITANJA1. dio:• Svojstva Fourierove transformacije.• Spektar vremenski kontinuiranog periodičnog signala.• Usporedite elementarene kontinuirane i diskretne signale.• Objasnite međukorelaciju i autokorelaciju.• Parsevalova relacija.• Objasnite važnost δ funkcije i njeno svojstvo uzorkovanja signala.• Objasnite vezu između Fourierove i Laplaceove transformacije.• Oblici Fourierovih redova.• Operacije na signalima.

2. dio:• Objasnite poučak o uzorkovanju i njegove posljedice.• Objasnite temeljne razlike tipičnih FFT algoritama.• Objasnite grupno kašnjenje kod FIR.• Objasnite S/H 0.reda.• Definirajte diskretnu Fourierovu transformaciju i njena svojstva. Posebno objasniti

DFT aperiodičnih signala.• Koje su razlike između FIR i IIR?• Objasnite aliasing.• Koje su bitne karakteristike uzorkovanja u frekvencijskom području?• Zahtjevi na interpolacijski filtar.

2

DEFINICIJEŠto je obradba? Obradba je djelovanje s ciljem da se ulaz (npr.

sirovina u tvornici ili radio signal) pretvori u neki drugi oblik (npr. gotovi proizvod ili zvuk iz zvučnika) koji je svrsishodniji.

Što je analiza? Doslovno analiza je razlaganje složenog problema u manje, nezavisne, koji se mogu upravljati. Cilj je da se ti manji dijelovi lakše riješe, a to vodi rješenju složenog problema.

Što je signal? Ako se gleda područje komunikacija, obradbe signala i elektrotehnike, signal je vremenski promjenjiva veličina, često skalarna funkcija vremena, ali može biti i vektorska veličina i funkcija bilo koje druge relevantne nezavisne varijable. Teško je signal definirati precizno. U teoriji informacija signal je poruka koja se može kodirati, tj. niz stanja u komunikacijskom kanalu koji pretstavljaju poruku. U komunikacijskom sustavu odašiljač kodira poruku u signal, koji se, nadalje, prenosi do prijemnika. Matematički se predstavlja kao funkcija jedne ili više nezavisnih variajbli.

DEFINICIJEŠto je obradba signala?

To je analiza, interpretacija i rukovanje signalom. Signal od interesa može biti zvuk, slika, biološki signal, ECG, EEG, radar, itd.

Što je informacija?Informacija je rezultat obradbe, prikupljanja i organiziranja podataka na način da pridonosi spoznajama primatelja. (Primjer: iz slike se obradbom izdvajaju objekti –segmentacija. Nakon te obradbe imamo informaciju koji su objekti i koliko ih je u nekoj sceni. Dalje se ti objekti mogu pratiti u nizu slika – target tracking).

Iz automatizacije je poznato:Sustav je prirodna, društvena, tehnička ili mješovita tvorevina

koja u nekoj okolini djeluje samostalno s određenom svrhom. Tvorevina je skup elemenata koji stoje u takvom uzajamnom odnosu da ne postoje razdvojeni podsustavi.

DEFINICIJEDjelovanje označava obavljanje radnji pretvorbe energije, obrade

tvari ili obrade informacija. Svrha označava konačan rezultat djelovanja/djelatnosti izražene u nekom cilju, a za zadovoljavanje neke potrebe.

U Tablici 1.1. data su dva primjera koja pojašnjavaju pojmove djelatnosti, cilja i svrhe.

Tablica 1.1: Usporedba djelatnosti, cilja i svrheDJELATNOST CILJ SVRHA farmacija lijek zdravlje ribolov riba ishranaU sklopu ovog kolegija, definicija sustava se može preoblikovati

i na način:Sustav se može promatrati kao bilo kakav proces u transformaciji

signala. Sustav ima ulazni i izlazni signal. Izlazni je povezan s ulaznim preko transformacije sustava.

DEFINICIJENpr. sustav za poboljšanje slike transformira ulaznu sliku u

izlaznu koja ima željene karakteristike, kao npr. poboljšan kontrast.

Analiza sustava.To je dio elektrotehnike koji opisuje električne sustave i njihove karakteristike. Mnogi postupci analize sustava mogu se primijeniti i na ne-električne sustave, a osim mehaničkih, pneumatskih i hidrauličkih, važan dio primjene je u obradbi signala i komunikacijama.

3

UVODIako su obrada signala i slični kolegiji sadržani najčešće u

studijima električne provicijencije, važnost obradbe signala kreće se od društenih, preko tehničkih do prirodnih znanosti, od npr. ekonomije (analiza kretanja dionica) preko proučavanja plima i oseka (energetika, oceanologija i meterologija) do biomedicinskih signala. Stoga bi i u drugim studijima trebalo imati ovakav kolegij. Najčešće se obradba signala oblikuje kao kompjutorski program.

Većina signala se prikazuje u vremenskom području. O njima se više informacija može dobiti primjenom raščlambe (analize) signala, npr. transformacijom s pomoću neke analizirajuće funkcije. Fourier-ova transformacija (FT) je jedna od najuobičajenijih transformacija. To je najuobičajeniji način analize frekvencijskog sadržaja signala. Relativno nova transformacija je valićna (engl. wavelet, WT). Razlika između FT i WT je u tome što FT koristi duge periodičke valove (nizovi cos i sin), a WT kratke valne oblike ograničene na uski interval, kao funkciju za analiziranje.

Transformacije• Što je transformacija?• Zašto je trebamo?• Koje postoje?

– Laplaceova, FS, FT, DFT, FFT, Z, Gaborova, Radonova, WT, mogu se definirati različite, a u praksi su najbitnije integralne…

• Da li nam trebaju?

Što je transformacija i zašto je trebamo?• Transformacija: Matematička operacija koja uzima

funkciju ili red i mapira (prenosi, transformira, mijenja) ga u drugu/drugi.

• Transformacije su dobra stvar jer…– Transformacija funkcije može dati dodatne/skrivene

informacije o izvornoj funkciji, koje možda nisu dostupne/očite bez transformacija

– Transformacija jednadžbe može omogućiti jednostavnije i brže rješavanje (Laplace-ovatransformacija – dif. jedn.)

– Transformacija funkcije/niza može zahtjevati manje memorije, ako se vrši i sažimanje podataka

– Operacija može biti lakše izvršiva ako je na transformiranoj funkciji, nego na izvorniku (kao što će se kasnije vidjeti na primjeru konvolucije).

Svojstva transformacija• Najkorisnije transformacije su:

– Linearne: mogu se izvući konstante i primjeniti superpozicija

– Jedan na jedan: različite funkcije imaju različite transformacije

– Inverzibilne: za svaku transformaciju T, postoji inverzna transformacija T-1 koja može vratiti izvornu funkciju f (kao dugme “undo”)

• Kontinuirane transformacije: mapiraju funkciju u funkciju• Diskretne transformacije: mapiraju sekvencu (niz) u

sekvencu• Polu-diskretne transformacije: povezuju funkcije sa

sekvencama (nizovima)

)()()( gTfTgfT βαβα +=+

Tf F T-1 f

4

Kako izgleda transformacija?• Prikaz složene funkcije preko jednostavnih građevnih

blokova

• Sažeti prikaz upotrebom samo nekoliko blokova (koji se nazivaju osnovnim ili baznim funkcijama / kernelima)

• Sinusoidalni građevni blokovi su kod npr. Fourier-ove transformacije

• Neke transformacije daju frekvencijski prikaz izvorne funkcije

( ) ( )

)(),()(

anuo)(kontinuir )(),()(

)(diskretno

ložena

∫∫

∑∑

∑

=

=

==

•=

dxxfxKF

dFxKxf

fKFKFf

FunkcijaBaznafaktortežinskiFunkcijaS

jjijiij

ii

ii

i

ωω

ωωω

• Fourierov red

• Kontinuirana FT

• DFT

• Laplaceova

• Z-transformacija

Koje su poznatije transformacije?

∑∫−

=

− ==1

0

/2/2 ][21)( )(][

N

i

NktjNktj ekFtfdtetfkF πππ

∫∫ == − ωωπ

ω ωω deFtfdtetfF tjtj )(21)( )()(

∑∑−

=

−

=

− ==1

0

/21

0

/2 ][21 ][][

N

k

NkjN

n

Nkj ekFf[n]enfkF ππ

π

∫∫ == − dsesFtfdtetfsF stst )(21)( )()(π

∑∑−

=

−

=

− ==1

0

1

0][

21 ][][

N

z

znN

n

zn ezFf[n]enfzFπ

UVOD

Primjer analize govornog signala

UVOD

Tjedno kretanje Dow-Jonesa kao vremensko-diskretni signal

5

UVOD

Kontinuirani signal dobijen interpolacijom između dnevnih vrijednosti dionica.

UVOD

Signal koji prikazuje bogatstvo vrsta u ekosustavu.

ANALIZA SIGNALA - CILJGlavni cilj u analizi signala je dobiti informaciju iz signala koji je

povezan s fenomenom (pojavom) iz stvarnog svijeta. Primjeri su: analiza govora, slika i signala u medicinskim i

geofizičkim primjenama. Razlog analize takvih signala je da bi se postiglo bolje

razumijevanje odgovarajućih fizičkih fenomena. Također se analizom mogu naći sažeta prikaz stvarnih uvjeta koja zauzima manje prostora i tako učinkovitiji prijenos informacija.

Postupci analize signala kreću se od klasične Fourierove analize do različitih tipova linearne vremensko-frekvencijske transformacije te uključuje pristupe temeljene na modelima i nelinearne pristupe.

Podjele signala: kontinuirani i diskretni

Da bi u matematici razlikovali vremensko-diskretni i vremensko-kontinuirani signal, prvi se označava s x(n) ili x[n], a drugi s x(t). Uz to može biti i dodatnih varijabli, npr. x(s,t).

6

Podjele signala: stacionarni i nestacionarni

S obzirom na tip signalaimamo stacionarne i nestacionarne signale. Stacionarni signali sutakvi signali kod kojihsu sve frekvencijskekomponente prisutnekroz cijelo vrijeme. Nestacionarni signali sutakvi signali kod kojihse frekvencijskekomponente mijenjajutijekom vremenatrajanja signala.

Podjele signala: s obzirom na vremenski interval u kojem je definiran

- Nekauzalni (različiti od nule skoro svugdje)

- Kauzalni (=0 za t<0)

- Antikauzalni (=0 za t>0)

Podjele signala: s obzirom na predvidljivost signala

- Deterministički ili predvidljiviNpr. sinusna struja.- Stohastički ili slučajni (nepredvidljivi)Tipični predstavnici su šumovi u komunikacijama ili u slici.

Slučajni nestacionarni signal

Podjele signala: s obzirom na periodičnost- AperiodičniNe ponavljaju se nakon nekog

vremena (npr. pravac ili šum).

- Periodični Za periodične signale za svaki t

vrijedi: f(t) = f (t + T), gdje je T period. Posebno važni i poznati su periodični signali harmonijske funkcije (npr. sinusoidalni, pila, i dr.).

7

O OBRADBI SIGNALA• Obrada signala ima dugu i bogatu prošlost. To je tehnika

koja spaja neizmjerno mnogo disciplina uključujući: zabavu, komunikacije, svemirska istraživanja, medicinu, aheologiju i mnoge druge.

• Napredni algoritmi za obradu signala i sklopovljeprevladavaju u mnogim sustavima: od visokospecijaliziranih vojnih sustava, preko industrijskihaplikacija i primjena, pa sve do potrošačke elektronike. Sustavi u kućanstvu kao što su: televizija, satelitskiprijamnici, video rekorderi, video kamere ovise o sustavima za obradu signala i njihovom razvoju i unapređenju.

• U današnje vrijeme, ovisnost o sustavima za obradusignala je i još veća, pogotovo razvojem komunikacija, koje su i bežične i mobilne i višefunkcijske.

O OBRADBI SIGNALA• Prema nekim procjenama, u slijedećih deset godina,

razvojem i unapređivanjem mikroprocesora za obradusignala, kapaciteti za obradu signala porasti će za faktor200 ili čak i više.

• Obrada signala se bavi sa predstavljanjem, transformacijom i manipulacijom signala, tj. informacija, koje su sastavni dio signala. Npr. možemo poželjeti da odijelimo jedan ili više komponenti signala iz nekogzadanog signala.

• U komunikacijskim sustavima, uobičajno je, prije negoga obradimo, da ga pre-procesiramo, kao što su modulacija (modulation), tzv. “usklađivanje uvjeta”(signal conditioning) i postupak sažimanja (compressing) prije nego signal transmitiramo preko transmisijskogkanala uz pomoć predajnika (eng. transmiter), da bi gakasnije uz pomoć prijamnika (receiver) obradili.

O OBRADBI SIGNALA• Do 1960-tih tehnike obrade signala su bile iskjučivo

analognog karaktera. Tada su postojali i bili razvijenirazvijeni matematički temelji o numerici, ali zbogtehnologije koja je bila razvijena u tome vremenu, nijebilo moguće izvršiti neke od danas jednostavnihoperacija koje primjenjujemo pri obradi signala.

• Razvojem računala i informatičke tehnologije došlo je do nagle ekspanzije u obradi signala. Samim time se pojavila disciplina nazvana digitalana obrada signala.

• Osnovni aspekti digitalne obrade signala zasnovani su na obradi sekvenci uzoraka (signala). Ovi osnovniaspekti digitalne obrade signala su takođerkarakteristični za obradu signala kao što su: uređaji zasnimanje i obradu akustičnih površinskih valova (SAW), uređaji za snimanje i obradu slike (CCD kamere), uređajiza transport (CDT) i ostali.

• Kod digitalne obrade signala, signali se predstavljajunizovima konačne preciznosti, a obradba je na računalu.

Skica podjele obrade signala

Obrada signala

Tehnike u vremenskoj domeni

Tehnike u frekvencijskoj domeni

Filteri Fourier T.

Nestac./Stac. Signali Stacionarni Signali

Vremensko-frekvencijske tehnike

VALIĆNATRANSFORMACIJA

STFT

8

Suvremen pristup obradbi signalaiz prakse

Primjena obrade signala leži u činjenici da obradomjednog signala dobijemo drugi. Međutim, druga vrlovažna primjena obrade signala je interpretacija signala. U ovoj primjeni, usredotočuje se na dobivanjekarakteristike ulaznog signala, a ne da obradbom jednogsignala dobijemo na izlazu “neki” drugi. Indikativnaprimjer interpretacije signala je prepoznavanje govora.

Pristup obradbi signalaGlavni problem je interpretacija ulaznog signala ili kako

“izvući” informacije iz njega. Tipično, na prepoznavanjegovora primjenjujemo digitalnu obradu (filtriranje, tzv. utvrđivanje parametara i sl.), potom vršimoprepoznavanje uzoraka a sve u svrhu da proizvedemotzv. simboličku prezentaciju govora. Nadalje, ovajsimbolički izlaz nam može poslužiti kao ulaz u sustav zasimboličku obradu, kao što su ekspertni sustavi (npr. ekspertni sustav za učenje), da bi taj ekspertni sustavproveo konačnu interpretaciju signala.

Također, postoji i još uvijek nova kategorija obrade signala, tzv. “simboličko manipuliranje s izrazima za obradusignala” (the symbolic manipulation of signal processing expressions).

U ovoj klasi obrade, signali i sustavi su predstavljeni i manipulirani kao abstraktni podatkovni objekti.

Pristup obradbi signala• Jasno je i da obradu signala ne možemo vezati samo uz

jednodimenzionalne signale. Stoga, postoji i tzv. višedimenzionalna obrada signala (multidimensionalsignal processing). Obradu slike (image processing) možemo svrstati u potonju skupinu.

• Otprilike 30-tih godina prošlog stoljeća razvila se nova grana obrade signala tzv. multirezolucijska obradasignala (multiresolution signal analysis) ili poznatija podnazivom valićna (wavelet) analiza.

• Signal sam sebi nije svrha, nego nečemu služi. Ili je prijenosnik informacija o stanju nekog sustava ili se izravno veže uz stanja sustava. Teorijski se može analizirati sam signal bez sustava.

Obrada i analiza signalaObrada i analiza signala je formalno dio matematike, ali ne obične,

nego suvremene koja obuhvaća postignuća od XIX stoljeća nadalje, a značajnu ulogu igra Riemman, Hilbert, Gabor, Lebesgue, Fourier, itd. Obuhvaća područje i višedimenzionalne matematike i matematičke analize i diskretne matematike i statistike i dr. Stoga je važno razumijeti matematičku izraze i njihovo fizikalno značenje ili, u slučaju programskih rješenja, njihovu interpretaciju u programskom kodu.

Primjer: Koja je razlika između: z=x+y iz=0;for i=1:100 z=zeros(100,100); z=x+y;for j=1:100z=z + x(i,j)+y(i,j);end; end;Imamo matrice x i y koje imaju 100x100 elemenata. Treba zbrojiti sve

elemente matrica. Dobije se skalar (broj).Imamo 2 matrice čiji je zbroj nova matrica, čiji su elementi zbroj

elemeata pojedinačnih matrica.

[ ]∑∑= =

+=100

1

100

1),(),(

i jjiyjixz

9

Domena i kodomena analognog ili vremenski kontinuiranog signala

f(t) – signal je vremenska funkcija, a ovo označava vrijednost funkcije u trenutku t, gdje je t ∈ ℜ. Međutim, t može biti ograničeno na neki skup vrijednosti ili interval na vremenskoj osi.

Domena signala je skup ili podskup realnih brojeva. Kodomena je skup ili interval vrijednosti, koji se naziva područjem amplitudnih ili trenutnih vrijednosti ℜf(t) = F, f(t) ∈ F. Signal f je definiran kao funkcija f: T→F, tj. kao skup parova vrijednosti:

Tttftf ∈= ))(,(

Domena i kodomena digitalnog ili vremenski diskretnog signala

Kada je os signala T iz prebrojivog skupa trenutaka t0, t1, t2,..., tk kaže se da je os signala diskretna1. Vremenski trenuci tkmogu se poredati u rastući niz, a u praksi je razmak između njih jedak, pa je to monotono i strogo rastući niz. Indeksacijom elemenata skupa T, vremenske trenutke može se pridružiti skupu cijelih brojeva:

ili ako se označi preko koraka niza ili indeksa:

Najjednostavniji i najčešće primjenjen u praksi je aritmetički niz za koji se dobija: tk = Tk, gdje je T konstanta2 (kvant vremena). Domena je indeksirani vremenski niz, a kodomena je područje amplituda.

OPERACIJE NA SIGNALIMAPromjene na signalu događaju se kad signal prolazi kroz

medij ili sustav. Realizacijom pogodnog sustava mogu se generirati transformacije i modifikacije signala pogodne za neku fukciju, npr. za izdvajanje određenih informacija koje signal nosi ili prilagoditi signal prijenosu kroz određeni medij da bi se informacija mogla prenijeti na daljinu.

Važne operacije na jednom signalu mogu se svrstati u modificiranje vremenske i/ili amplitudne osi signala. Da se osigura jednoznačnost, pri modificiranju osi u oba smjera, tj. od stare u novu os i obratno, modifikaciju treba provesti funkcijama koje imaju inverziju. To će biti monotono rastuće ili padajuće funkcije.

Transformacija vremenske osi signala

Funkcija τ: Ts→Tn preslikava staru vremensku os Ts u novu Tn. Trenutak t slijedi iz tn =τ(ts) i trenutna vrijednost novog signala je un(t)=us(τ -1(t)) , t ∈ Tn.

Nova funkcija je kompozicija: un = us τ -1. Primjer linearne transformacije vremenske osi je:

τ(t) = t/a, t ∈ Ts

τ -1(t) = at, t ∈ Tn

un(tn)=us(atn) , t ∈ Tn.

Jedostavno rečeno, za |a|>1 dobija se linearno sažimanje (kompresija), a za |a|<1 ekspanziju ili rastezanje signala u vremenu. Kada je a<0 govori se o vremenskon inverziji. Kad je τ nelinearna funkcija, govori se o nelinearnom sažimanju ili ekspanziji vremenske osi (skale).

o

10

Manipulacija vremenskom osi

u(t)

t

Vremenska translacija signalaτ(t) = t - ϑ, t ∈ Ts

τ -1(t) = t + ϑ, t ∈ Tn ϑ ∈ℜSignal: un(tn) = us(t+ϑ), t∈Tn je vremenski pomaknut pa

prethodi ili zaostaje u ovisnosti o tome je li ϑ > 0 ili ϑ < 0. To se može iskoristiti za vremensku modulaciju signala.

Transformacija područja signalaNeka je T os signala. Područje starog signala je Us. Us:

T→Us se može preslikati u novo područje Un funkcijom ϕ:Us→Un. Transformacija područja izvornog signala preko funkcije ϕ rezultira u novom signalu un koji je definiran s: un(t) = ϕ(us(t)), t ∈T. Vrijednost un(t) je pridružena vrijednosti us(t) u istom trenutku t. Transformacija područja je funkcija funkcije, tj. kompozicija funkcije: un = ϕ us. Da bi se jednoznačno mogao dobiti stari signal iz novog, potrebno je da ϕ treba imati inverznu funkciju.

o

Preslikavanje signalaPreslikavanje signala jedna je od složenijih operacija na

signalima. Preslikavanje može biti trenutno kada ide preko neke obične funkcije f, koja trenutnoj vrijednosti signala u(t) jednoznačno pridružuje vrijednost rezultirajućeg signala v(t) u trenutku t, kako smo pokazali kod transformacije područja signala. v(t) = f(u(t)), v=f(u(t)), u ∈U. v∈V. Složenije preslikavanje signala je kad neka funkcija ili operator signalu pridružuje signal, odnosno kad se funkcija u cjelini ili segmentu preslikava u funkciju.

, u ∈U. v∈V. Primjer je integriranje. Integralne transformacije igraju veliku i važnu ulogu u obradbi signala. Ako funkcija ili operator signalu u definiranom intervalu [t1, t2] pridružuje signal v iz intervala [t1, t2] i može se pisati:

)(uFv =

11

OPERACIJE MEĐU SIGNALIMA: KONVOLUCIJA

Djelovanje više signala koje daje jedan rezultirajući signal može se opisati s funkcijom v(t) = f(u1(t),u2(t),...). Signal v se može dobiti iz komponenata ui. U općem slučaju to će biti nelinearna kombinacija.

Elementarne funkcije se ne mogu razložiti na dijelove. Složene funkcije su kombinacije elementarnih. Npr. v(t) = ax(t)+by(t). “a” i “b” su težinske konstante, a v(t) je zbroj pojačanih komponenti. Za a=b=1 dobija se obično zbrajanje. U praksi je važan i umnožak signala, v(t) =x(t)y(t)

Konvolucija je proces preklapanja 2 signala, a označava se kao f1(t)*f2(t), a jednaka je:

∫∞

∞−

− τττ dtff )()( 21 Primjer konvolucije (korelacije):Simulink – pattern matching

+ transformacija = pattern matching2

OPERACIJE MEĐU SIGNALIMA: KORELACIJA

Konvolucijom se dobija pun vektor ili matrica veličine izvornog signala. Međutim, ako nam je potreban jedan broj kojim će se opisati sličnost dva signala, koristi se korelacija. Od posebnog značenja je normalizirana1

korelacija koja se može izraziti i u postotcima.Strogo gledajući, korelacija je postupak utvrđivanja stupnja

vjerojatnosti da postoji linearna veza između 2 mjerne veličine (signala). Kada je nema, nema trenda da vrijednost jedne veličine mijenja vrijednost druge.

U MATLAB-u postoje 3 funkcije sa sličnom namjenom: - u tipičnoj analizi podataka, gdje je posebno značajan

stupanj povezanosti između varijabli, potrebno je izračunati korelacijske koeficijente za promatrane varijable (nije potrebno odvojeno računati kovarijancu),

- računanje matrice kovarijance i- među/auto-korelacija (engl. cross-correlation).

Pojmovi i definicije vezani za korelaciju

Autokorelacija – mjera statističke ovisnosti između 2 uzorka slučajnog procesa. Za slučajni proces X(t), auto-korelacija je očekivanje: Rxx(t1,t2) = E[X(t1) X(t2)].

Autokovarijanca – za slučajni proces f(t) mjera promjenjivosti “mean-removed” procesa: Cf(t1,t2) = E[f(t1)f(t2)T]-E[f(t1)]E[f(t2)T]; za slučajni vektor x, mjera srednje kvadratne variajblinosti slučajnog vektora X oko svoje srednje vrijednosti: Λx=E[(x-E[x])(x-E [x])T].

Korelacija – matematička operacija usporedbe ponašanja 2 signala da bi se odredilo koliko su slični. Koristi se uspješno u identifikaciji sustava.

)(*)()(*)()(ˆ

ωωωωω

jujujujyjg =

Pojmovi i definicije vezani za korelaciju

Korelacija, nastavak – vremenska ili prostorna funkcija ili niz koja nastaje integriranjem umnoška dva signala.

Korelacijski koeficijent – mjera sposobnosti da se predvidi slučajnu varijablu x kao linearnu funkciju od druge funkcije y. Iznosi:

Ako je modul = 1 implicira da postoji linearna povezanost između x i y, a za = 0 da je nema.

Korelacijska sličnost – nenormalizirana koralacija 2 realna vektora definira se kao unutarnji (skalarni) umnožak

[ ] [ ] [ ]yx

yExExyEσσ

ρ ⋅−=

∑=

=n

iii yxC

1

12

Pojmovi i definicije vezani za korelaciju

Međukorelacija (engl. cross-correlation) – mjera korelacije ili sličnosti 2 signala. Za slučajni proces x(t) i y(t), data je s Rxy (t1,t2) =E[x(t1)y(t2)]

Kovarijanca – očekivanje umnoška dvije slučajne veličine (bez istosmjerne komponente1):

[ ] [ ]TTfg tgtfEtgtfEttC )()()()(),( 212121 −=

Neki pojmovi o sustavimaSustav je vremenski-invarijantan ako vremenski pomak

ulaznog signala uzrokuje vremenski pomak izlaznog signala.

Sustav je linearan ako posjeduje svojstvo superpozicije: Ako se ulazni signal sastoji od zbroja nekoliko signala, onda je izlazni signal jednostavna superpozicija odziva sustava na te pojedinačne signale.

Kombinacija vremenske invarijantnosti i linearnosti čini najznačajniju grupu sustava: LTI (engl. Linear time invariant) sustavi.

Pregled tipičnih karakteristika elemenata (blokova) u elektronici i automatici

Pregled tipičnih karakteristika elemenata (blokova) u elektronici i automatici

13

Primjer: Multiplikator napravljen s blokovima za kvadriranjeSpajanje blokova

Paralelni spoj:

Kaskada:

Kompozicija funkcija

Zbroj funkcija

14

Implicitni sustavi

Formulacija jednadžbi implicitnog sustava (onaj koji ima petlje povratne veze) može biti izvedena privremenim prekidom petlji povratne veze da bi se dobio eksplicitan sustav. U dobivene jednadžbe eksplictnog sustava se dodaju jednadžbe koje izražavaju zatvaranje petlji.

Obradba analognih signala• Obradba analognih signala

– pasivnim mrežama– aktivnim analognim mrežama

– digitalnim sustavima

Analogniprocesor

Analogni

izlaz

Analogni

ulaz

Sampleand Hold A/D Digitalni

procesor D/ARekonstruk-

cijskifiltar

Analogni

ulaz

Analogni

izlaz

Anti-Aliasing

filtar

Uzorkuj i zadrži

Filtar protivpreklapanja

SIGNALI OPISANI U MATEMATIČKOM OBLIKU

Uzmimo primjer mreže sa slike. Sklopka je otvorena, a u t=0 je zatvaramo. Kako matematički opisati izlazni napon? Prvo ga treba podijeliti u 2 dijela: do zatvaranja sklopke i prije (t<0 i t≥0). Izlazni napon može se matematički opisati sa:

⎩⎨⎧

∞<≤<<∞−

=tut

uul

izl 000

Valni oblik izlaznog napona

ELEMENTARNI KONTINUIRANI SIGNALI

• Step funkcija ili koračna ili jedinična odskočna funkcija (engl. Unit Step Function)

• Ramp (engl. Unit Ramp Function)

• Delta funkcija (engl. Unit Delta Function)• Signum funkcija (predznak) )(tδ

t

15

Step funkcija

Kod step funkcije amplituda se naglo mijenja u t=0 ili u nekom drugom trenutku (npr. trenutku uključenja sklopke). Nagli porast iz 0 u 1 je diskontinuitet funkcije.

Ostali oblici step funkcije

Pravokutni impuls kao zbroj step funkcija

Step-funkcija odlično opisuje uključivanje na mrežu konstatnog napona. Npr. ako se trošilo priključi na akumulator od 12 V to se može opisati sa 12u0(t). Ako se sinusoidalni napon primjeni na trošilo, taj se valni oblik opisuje s: Um · sinωt · u0(t-t0).

Zadatak 1.Matematički opišite signal v(t).

Diskontinuiteti su na 2 i 4 sekunde. [ ])2()(2)( 001 −−⋅= tututv

Linija 1:

Linija 2:

Linija 3:

Ukupni v(t):

[ ])4()2(2)( 002 −−−⋅−= tututv

[ ])6()4(2)( 003 −−−⋅= tututv

[ ] [ ][ ]

[ ])6()4(2)2(2)(2)6(2)4(2)4(2)2(2)2(2)(2)6()4(2)4()2(2)2()(2)()()()(

000000

000000

0000321

−−−+−−⋅=−−−++−+−−−−=−−−⋅++−−−⋅−−−⋅=++=

tututututututututututututututututvtvtvtv

Probajte za općeniti periodični signal ovakvog oblika dokazati da je:

16

Zadatak 2.Opišite matematički signal sa slike.

Zadatak 3.

Jedn. pravca Jedn. pravca

Ogran.pravca na interval. Ogran.pravca na interval.

Opišite matematički signal sa slike.

Zadatak 4.Opišite matematički signal sa slike. Jedinična ramp funkcija

Izvorna definicija:

Zbog svojstva integrala često se piše :

17

Delta funkcijaJedinična impulsna ili delta funkcija, δ, je, matematički gledano,

derivacija step funkcije.

Dobivanje delta funkcije iz ramp i pravokutnog impulsa (kombinacije stepova)

⎩⎨⎧

=∞≠

=0 ,0 ,0

)(tt

tδ⎩⎨⎧

=∞≠

=0

00 ,

,0)(

tttt

tδ

Važnost delta-funkcije kod uzorkovanja

Svojstvo uzorkovanja delta-funkcije:Za a = 0, . Stoga množenje δ(t) s bilo

kojom funkcijom f(t) rezultira uzorkovanjem funkcije u vremenskim trenucima gdje δ nije jednaka nuli. Proučavanje vremensko-diskretnih sustava temelji se na ovom svojstvu.

Dokaz je relativno jednostavan. Pošto je δ (t) = 0 za svaki t<0 ili t >0, za svaki takav t je i umnožak f(t)δ (t) također = 0 (množenje s nulom bilo kojeg broja je nula).

Ako se f(t) =f(0)+(f(t)-f(0)). Integrirajući umnožak delte i f(t) slijedi:

)()()( 00 tdtttt φδφ∫∞

∞−

=−⋅

Važnost delta-funkcije kod uzorkovanja

[ ]

[ ]

[ ]

)0()0()()(.

)()0()()(

:

0)0()0()0()(,1)(

00)()0()(00)(

)()0()()0(

)()0()()()0()()(

0

δδ

ττδττδτ

τδτ

ττδτδ

ττδττδ

ττδτττδττδτ

τ

fttftj

dfdf

Ostaje

fffftt

tdfftt

dfdf

dffdfdf

tt

t

tt

ttt

=

=

=−=−==

≠∀=−⇒≠∀=

=

−+=

∫∫

∫

∫∫

∫∫∫

∞−∞−

=

∞−

∞−∞−

∞−∞−∞−

Svojstvo uzorkovanja delta funkcije

Svojstvo prosijavanja (sifting) δ(t)

Svojstvo prosijavanja govori da je:

Ako se pomnoži f(t) s δ(t-α) i integrira od -∞ do +∞, dobiva se vrijednost f(t) za t = α. Dokaz:

Uz pretp. . Zato

)()()( ααδ fdtttf =−∫∞

∞−

18

Derivacije delta funkcijePrva derivacija δ-funkcije – engl. doublet.Druga derivacija δ-funkcije – engl. triplet.

Svojstvo uzorkovanja derivacije:

Svojstvo prosijavanja derivacije:

PRIMJER SLOŽENOG SIGNALA

Izrazite naponski valni oblik sa slike kao zbroj jediničnih step funkcija u intervalu -1 < t < 7 (s). Koristeći se tim rezultatom, izračunajte derivaciju i skicirajte joj valni oblik.

PRIMJER SLOŽENOG SIGNALA

Za dati valni oblik vide se prekidi (engl. discontinuites) u t = -1, t = 2, t = 7. Stoga δ(t – 1) = 0, δ(t – 4) = 0 i δ(t – 5) = 0. Izrazi koji sadrže te delta funkcije također nestaju (=0). Primjenom svojstva uzorkovanja:

PRIMJER SLOŽENOG SIGNALA

Može se primjetiti da je negativni šiljak iznosa 2 na t = -1, a dva pozitivna šiljka na t = 2 i t = 7. Ti se šiljci događaju u prekidima na tim točkama.

19

Odskočna i delta funkcija u Matlabu

Matlab ima ugrađene i odskočnu i delta funkciju. Dobile su ime po matematičarima koji su radili na njima: Heaviside(t) i Dirac(t).

syms k a t; % Definiramo simboličke varijableu=k*sym('Heaviside(t-a)') % Stvara je jedinična odskočna funkcija za t = a.u =k*Heaviside(t-a)d=diff(u) % Računa se derivacija jedinične step funkcijed =k*Dirac(t-a) % ovo ispisuje Matlabint(d) % Integrira se delta funkcijaans =Heaviside(t-a)*k % ovo ispisuje Matlab

ZADACIIzračunajte:

ELEMENTARNI DISKRETNI SIGNALI

Jedinična koračna funkcija u diskretnom obliku:

Jedinični impuls (Dirac) u diskretnom obliku:

Vrijede npr. svojstva:X(n)δ(n)=x(0)δ(n)δ(n)=u(n)-u(n-1)

[ ]⎩⎨⎧

≥<

=0,10,0

nn

nu

[ ]⎩⎨⎧

=≠

=0,10,0

nn

nδ

Usporedba Diraca za kontinuirane i diskretne signale

Svojstvo prosijavanja: Bilo koja sekvenca može se izraziti preko delta funkcija:

⎩⎨⎧

=≠

=0 ,10 ,0

][nn

nδ⎩⎨⎧

=≠

=−knkn

kn ,1 ,0

][δ ][nδ

n

1

∑∞

−∞=−⋅=

kknkxnx ][][][ δ

][]0[][][ nxnnx δδ ⋅=⋅

Za općenitu funkciju

20

ELEMENTARNI DISKRETNI SIGNALI

Kompleksni eksponencijalni signal u diskretnom vremenu:

x(n) = Cαn.

ELEMENTARNI DISKRETNI SIGNALI θjeCC = 0Ω= jeαα

( )( )θα

θαα

+Ω⋅+

++Ω⋅=

nCf

nCCn

nn

0

0

sin

cos

ELEMENTARNI DISKRETNI SIGNALI

Signal=1

Signal=1

Max. frekvencija = π

Usporedba kontinuirane i diskretne eksponencijale

• Kontinuirana

• Diskretna

( ) ( )[ ]tjtCeCtx tj

00 sincos)( 0

ωω

ω

+⋅=⋅=

πω2

00 =f

( ) ( )[ ]njnCeCnx nj

00 sincos][ 0

ωω

ω

+⋅=⋅=

Frekvencije naωo±2πn su identične

21

ELEMENTARNI DISKRETNI SIGNALI

!Identični signali za

frekvencije razdvojene s 2π.

ZADATAKNađite period signala:

tjtjee 16

43

2 ππ

+ . Pun postupka:

- rastavi se obje komponente na cos + jsin - iskoriste se trigonometrijske transformacije - dobiju se ili cos ili sin ili cos+jsin istog argumenta, a što se može preračunati u

eksponencijalni oblik. - određuje se period ukupnog signala.

Trik postupak:

- odredi se period pojedinačnih komponenti - nađe se zajednički period (sl. zajed. nazivniku)

2424jezajednicki,83

82164

323

2

22

11

=

=⇒=

=⇒=

ukTi

TT

TTππ

ππ

Ako postoje različite amplitude, ne radi uvijek pa treba pripazit!!!!!

TRANSFORMACIJE SIGNALA:LAPLACEOVA

Dinamičko ponašanje sustava može se ispitivati u vremenskom i frekvencijskom području. U vremenskom području dinamika linearnog sustava se može iskazati linearnom diferencijalnom jednadžbom n-tog reda ili primjenom varijabli stanja s n linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. I u jednom i u drugom slučaju treba riješiti diferencijalne jednadžbe što je vrlo težak posao. Unutar teorije automatskog upravljanja razvijene su posebne matematičke metode kojima se lakše dolazi do opisa ponašanja sustava. Pouzdan način je primjena Laplaceove transformacije kojom se diferencijalne jednadžbe iz vremenskog područja preslikavaju u algebarske jednadžbe u kompleksnom području (varijabla s = σ+ j ω). Daljnja se analiza može vršiti u kompleksnom ili frekvencijskom (σ= 0; te je s = j ω) području. Rješenje dobiveno u kompleksnom području preslikava se inverznom Laplaceovom transformacijom u vremensko područje.

TRANSFORMACIJE SIGNALA:LAPLACEOVA

Lapl. transf.

Inv.lap.transf. L- -1F(s) =

U puno problema vrijednosti u vremenima t većim od nekog referentnog vremena, može se primjeniti dvostrana Laplaceova transformacija:

Lf(t) =

A postoji samo ako je:

F s f t e dtst( ) ( )= −∞

∫0

∫∞+

∞−

=j

j

stdsesFj

tfσ

σπ)(

21)(

22

SVOJSTVA LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE

1. Poučak linearnosti: ako se funkcija f(t) možetransformirati, te ako je k konstanta ili neovisna o t i s, vrijedi: L kf(t) =k L f(t) = k F(s)

Ako se funkcije f 1(t) i f2 (t) mogu transformirati, tada vrijedi: L f1(t) ± f2(t) = L f1(t) ± L f2(t) = F1(s) ± F2(s)

2. Poučak prigušenja: ako je funkcija f(t) prigušena članome-at, gdje je a > 0, vrijedi:

L e f tat− ( ) = e f t e dt f t e dt F s aat st a s t− −∞

− +∞

= = +∫ ∫( ) ( ) ( )( )

0 0

Prigušenju originala odgovara pomak slike u lijevo. Raspirivanju originala odgovara pomak slike u desno: L e f tat ( ) =F(s - a)

SVOJSTVA LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE

3. Teorem pomaka: ako funkcija f(t) ima Laplaceovu transformaciju F(s), onda vremenski pomaknuta funkcija f(t) za vrijednost a, gdje je a > 0, daje transformat: L f(t-a) = e F sas− ( ) 4. Teorem početne vrijednosti: ako se funkcija f(t) i njena prva derivacija ′f t( ) mogu transformirati, tada vrijedi: lim f t lim sF s

st 0→ →∞=( ) ( )

5. Teorem konačne vrijednosti: ako se funkcija f(t) i njena prva derivacija ′f t( ) mogu transformirati, vrijedi: lim f t lim sF s

st→∞ →=( ) ( )

0

6. Svojstvo sličnosti: ako je a > 0 i f(t) transformabilna, vrijedi:

L f(at) = 1a

F sa

( )

SVOJSTVA LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE

7. Deriviranje originala:

L df tdt( ) =s F(s) - f(0+)

gdje je f(o+) granična vrijednost kojoj teži funkcija kada se t s desna približavaishodištu.

L d f tdt

2

2

( ) =s2 F (s) - s f(0+) - f′ (0+)

L d f tdt

n

n( ) = sn F (s) - sn-1 f(0+) - ..... f(n-1)(0+)

8. Integriranje originala: svodi se na dijeljenje slike sa s:

L f t dt( )∫ = F ss

fs

( )+

+−1(0 )

Član f -1 (o+) je konstanta integracije i jednaka je vrijednosti integrala kad sevrijednosti t = 0 približava s desne strane. 9. Deriviranje slike: L F sn ( ) = ( ) ( )− t f tn

SVOJSTVA LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE

10. Integriranje slike:

L F q dqs

( )∞

∫ = f tt( )

Integriranju u donjem području odgovara dijeljenje s varijablom u gornjem području. 11. Teorem množenja: umnošku dviju funkcija u donjem području odgovara konvolucija tih funkcija u gornjem području. L F(s) G(s) = f(t) ⊗ g(t)

L F(s) G(s) = f g t dt

( ) ( )τ τ τ−∫0

12. Dualni teorem teoremu množenja:

L f(t) g(t) = 12 j

F G s da j

a j

πβ β β( ) ( )−

− ∞

+ ∞

∫

23

SVOJSTVA LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE

Vremenska periodičnost:

Konvolucija:

Konvolucija, nastavakKonvolucija u području kompleksnih frekvencija:

Svojstvo/poučak Vremensko područje Područje kompleksne frekvencije

Linearnost

Vremenski pomak

Frekvencijski pomak

Vremensko skaliranje

Vremenska derivacija

Frekvencijska derivacija

Integracija u vremenu

Frekvecnijska integracija

Vremenska periodičnost

Poučak o početnoj vrijednosti

Poučak o konačnoj vrijednosti

Vremenska konvolucija

Frekvencijska konvolucija

TRANSFORMACIJE STANDARDNIH POBUDNIH FUNKCIJA

a) Jedinična odskočna funkcija h(t):

L h(t) = 1s

Ukoliko odskočna funkcija nije jedinična, već ima amplitudu k tada se njen transformat (2.32) množi s amplitudom k. b) Nagibna funkcija t:

L t = 12s

c) Impulsna funkcija δ(t): L δ(t) = 1 d) Eksponencijalna funkcija e-at:

L e-at = 1s a+

e) Sinusna funkcija sinωt:

L sinωt = ωωs2 2+

24

f(t) F(s) δ ( t ) 1

u ( t )

1s

t

1s 2

t n

ns n

!+1

e a t−

1s a+

e t a− /

aa s1 +

t n − 1 e a t−

( ) !( )

ns a n

−+

1

sin ωt

ωωs 2 2+

cos ωt

ss 2 2+ ω

e a t− sin ωt

ωω( )s a+ +2 2

e a t− cos ωt

s as a

++ +( ) 2 2ω

sin (ωt + ϕ)

ss

s in c o sϕ ω ϕω

++2 2

cos (ωt + ϕ)

ss

c o s s inϕ ω ϕω

−+2 2

ZADATCIIz zadane slike treba odrediti odziv sustava:

F s ss s

( )( )

=++

12

Do rješenja se dolazi svođenjem na parcijalne razlomke:

F s ss s

As

Bs

s s( )( )

/ ( )=++

= ++

+12 2

2

s A s B s+ = + +1 2( )

A B+ = 1

2 1A =

A =12

B =12

F ss s

( ) = ++

12

1 12

12

Primjenom tablica dolazi se do originala:

f t e t( ) = + −12

12

2

ZADATCISustav je opisan diferencijalnom jednadžbom. Potrebno je naći odziv koji zadovoljavapočetne uvjete:

y( )0 0= i ′ =y ( )0 12 ′′ + ′ + =y t y t y t( ) ( ) ( )4 20 0

s Y s sy y sY s y Y s2 0 0 4 4 0 20 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − ′ + − + =

s Y s sY s Y s2 12 4 20 0( ) ( ) ( )− + + = Y s s s( )( )2 4 20 12+ + =

Y ss s s s

( )( ) ( )

=+ +

=+ +

=+ +

124 20

122 16

3 42 42 2 2 2

y t e tt( ) sin= −3 42

ZADATAKZadani valni oblik izrazite u Laplaceovom području.

25

ZADATAKZadani valni oblik izrazite u Laplaceovom području. ZADATCI

Zadani valni oblik izrazite u Laplaceovom području.

VJEŽBA U MATLABUNađite inverznu Laplaceovu transformaciju funkcije:

Naredba: syms s; factor(s^3 + 12*s^2 + 44*s + 48)Odgovor: ans =(s+2)*(s+4)*(s+6) Naredba: syms s t; Fs = (3*s^2 + 4*s + 5) / (s^3 + 12*s^2 +

44*s + 48); ft = ilaplace(Fs)Odgovor: ft =-37/4*exp(-4*t)+9/8*exp(-2*t)+89/8*exp(-6*t)Provjera:

OPIS SUSTAVA LAPLACEOVOM TRANSFORMACIJOM

Nakon postavljanja diferencijalne jednadžbe koja opisujeneki sustav i njenog transformiranja u donje područjepostoji više načina obradbe i prikaza rezultata. Izuzetnodobru predodžbu o vladanju sustava daje prijenosnafunkcija.

Prijenosna funkcija je transformirani omjer izlazne i ulaznefunkcije uz početne uvjete jednake nuli. Prijenosnafunkcija je definirana za linearni stacionarni sustav. Opisuje ponašanje sustava na relaciji ulaz - izlaz i ne daje informacije o strukturi sustava.

W s b s b s b s ba s a s a s a

mm

mm

nn

nn( ) ......

......=

+ + + ++ + + +

−−

−−

11

1 0

11

1 0

26

OPIS SUSTAVA LAPLACEOVOM TRANSFORMACIJOM

Prijenosna funkcija treba biti razlomljena racionalnafunkcija, tj. treba biti m < n. Ako to nije ispunjeno značida su prethodno izvršena zanemarenja koja nisudozvoljena. Prijenosna se funkcija može pisati i u obliku:

W s Y sX s

K s n s n s ns p s p s p

Ks n

s p

m

n

ii

m

jj

n( ) ( )( )

( )( ).....( )( )( ).....( )

( )

( )= = ′

− − −− − −

= ′−

−

=

=

∏

∏1 2

1 2

1

1

ANALIZA ELEKTRIČNIH KRUGOVA LAPLACEOVOM TRANSFORMACIJOM

ANALIZA ELEKTRIČNIH KRUGOVA LAPLACEOVOM TRANSFORMACIJOM

u t u t u tA R C( ) ( ) ( )= + u t Ri tC

i t dtA( ) ( ) ( )= + ∫1 u t u tB C( ) ( )= u t

Ci t dtB ( ) ( )= ∫

1

U s RI ssC

I sA( ) ( ) ( )= +1 U s

sCI sB ( ) ( )=

1 U s I s RsCA( ) ( )( )= +1 I s U s

RsC

A( ) ( )=

+1

U ssC

U s

RsC

BA( ) ( )

=+

11 G s U s

U s sC RsC

sRCB

A

( ) ( )( ) ( )

= =+

=+

11

11 G s

s( ) =

+1

1 τ

Nastavak prethodnog zadatkaAnalizirajmo u Matlabu odziv ovog sklopa za npr. C = 1μF,

R = 1kΩ: g = tf([1],[1 0.001]); bode(g);

20

30

40

50

60

Mag

nitu

de (d

B)

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

27

ZADATAKAnalizom kontura i Laplaceove transformacije, izračunajte konturne

struje kruga sa slike ako su početni uvjeti (struja zavojnice i napon kondenzatora) jednaki nuli.

VARIJABLE STANJA KONTINUIRANOG SUSTAVA

Sustavi se osim prijenosnom funkcijom mogu opisivati i diferencijalnim jednadžbama. Ako npr. imamo električni krug s jednim elementom (C ili L), dobija se i diferencijalna jednadžba 1. reda. Ako je riječ o 2 elementa s pohranom energije, dobija se jednadžba 2. reda, itd. Diferencijalna jednadžba n-tog reda može se riješiti svođenjem na n diferencijalnih jednadžbi prvog reda s pomoću skupa pomoćnih varijabli, koje se nazivaju varijablama stanja. Nekada su one čisto matematičke, a nekada imaju fizičku interpretaciju.

ZADATAKPrikažite serijski RLC krug s pobudom s pomoću

varijabli stanja i iz njih izradite blok-dijagram.

Ovakav krug je opisan s diferenecijalno-integralnom jednadžbom:

ZADATAK, nastavaku – bilo koji ulazy – izlaz

28

IMPULSNI ODZIV I KONVOLUCIJA U VREMENSKOJ DOMENI

Impulsni odziv je izlaz sustava kada je na ulazu Diracova funkcija. Pri tome se pretpostavlja da su svi početni uvjeti jednaki nuli (sve varijable stanja u t=0 su =0). Rješenje jednadžbe je

Upotrebom svojstva prosijavanja i označavanjem impulsnog odziva s h(t), dobija se:

Opet o konvoluciji

Množeći obje strane s konstantom dτ, integrirajući od -∞ do + ∞, koristeći činjenicu da je δ-funkcija parna, dobija se:

Koristeći prosijavanje, slijedi:

Konvolucijskiintegral

Opet o konvolucijiKonvolucijski integral omogućuje da se izračuna odziv na

ulaz u(t) ako se zna impulsni odziv (– to je njegova važnost!). Konvolucijski integral se obično označava s u(t)*h(t) ili h(t)*u(t), gdje * označava konvoluciju. Stoga, ako se zna h(t), može se iskoristiti konvolucijski integral i izračuanti y:

Fourierovi redoviFrancuski matematičar Fourier

otkrio je da se svaki periodični valni oblik može izraziti nizom sinusoida frekvencija kojesu višekratnici temeljne (prvog harmonika).

a0/2 je konstanta koja predstavlja istosmjernu komponentu ako je riječ o električnom signalu, tj. općenito prosječnu vrijednost signala. Temeljni harmonik, frekvencije ω,predstavljen je s a1 i b1. Drugi harmonik, frekvencije 2ω, s a2 i b2 , itd 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Signal1.harmonik2.harmonik3.harmonik

29

Fourierovi redovi

Računanje koeficijenata:

Eksponencijalni oblik Fourierovih redova

Kad je poznat Fourierov red, korisno je nacrtati aplitude harmonika na frekvencijskoj ljestvici. Takva slika je poznata kao linijski spektar.

NAČELO NEODREĐENOSTI:

∫∞

∞−

−= ωω ω degtf tj)()(

( ) ∫∞

∞−

−= dtetfg tjωπω )(2)( 1

1≥ΔΔ tω

( )1,10

9,91,10

1,10

9,9

9,9

21010

21

ωππω

ωω

jedtdtedtg

tjtj ⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅+= ∫∫∫

∞

∞−

( )1,10

9,91,10

1,10

9,9

9,9

21010

21

jteddedtf

tjtj

−⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅+=

−∞−

∞−∫∫∫

ωω

πωωω

π

g( )ω

ω9,9 10,1

f(t)

t9,9 10,1

NAČELO NEODREĐENOSTI

30

σ=2 σ=4 σ=0.5

2

21

21

21)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅= σ

σπ

t

etf

( )221

21)(

21)(ˆ σωω

πσπω

−∞

∞−

− == ∫ edtetff tj

Dobra vremenska razlučivost

Dobra frekvencijska

razlučivost

Parsevalova relacijaPeriodični kontinuirani signal x(t) ima beskonačnu energiju,

ali konačnu srednju snagu koja je dana s:

Ovo je tzv. Parsevalova relacija.

Srednja snaga!

Fourierova transformacijajedinčnog impulsa

FT jediničnog impulsa δ(t) je:

a pomaknutog δ(t - τ)

Vidi se da se pri pomaku jediničnog impulsa mijenja faza, ali ne i amplituda. Gradijent faze odgovara iznosu pomaka jediničnog impulsa, za t0, u vremenskoj domeni

Autokorelacija preko FTEnergiju signala može se pisati:

Prema Parsevalovom poučku, može se također napisati:

gdje je X(ω) FT signala x(t)2. |x(t)|2 je distribucija energije signala s obzirom na vrijeme t. Analogno je |X(ω)|2 je distribucija energije signala s obzirom na frekvenciju ω. Stoga se |X(ω)|2 naziva spektar gustoće energije (engl. energy density spectrum) signala x(t), a označava se s:

31

Autokorelacija preko FTSpektar gustoće energije može se smatrati FT tzv.

autokorelacijske funkcije:

Slijedi:

Veza se označava s:

Autokorelacijska funkcija je mjera sličnosti između energije signala x(t) i vremensko-pomaknute varijante x(t + τ).

MeđukorelacijaMeđukorelacijska funkcija se izražava kao:

Odgovarajući međusobni spektar gustoće energije (engl. cross energy density spectrum) je:

tj.

rxy je mjera sličnosti 2 signala.

Autokorelacija i među-korelacija vremenski-diskretnog signala

I diskretan signal x(n) može biti i realni i kompleksni. Njegova energija je:

Prema Parsevalu za vremenski diskretni signal slijedi:

se naziva spektrom gustoće energije vremensko-diskretnog signala, a označava se s:

- vremensko-diskretna FT autokorelacijske niza dane s:

Autokorelacija i među-korelacija vremenski-diskretnog signala

Imamo:

Među-korelacijski niz (sekvenca) je:

32

AutokovarijancaAutokovarijancija niza definira se s:

gdje je:

Korelacijska matricaAuto i među-korelacijske matrice su često u praksi

potrebne. Koriste se definicije:

gdje je:

a xxH i yxH su diadički umnošci. Autokorelacijska matrica Rxx stacionarnog procesa x(n) ima Toeplitzovu strukturu:

Korelacijska matricaKod kompleksnih vrijednosti vrijede još i svojstva:

Među-korelacijska matrica ima strukturu:

Korelacija i kovarijancaMeđu-korelaciju Matlab računa:

Ako se ukloni DC komponenta (mean-removed) kovarijanca je:

33

Svojstva FT

• Linearnost• Simetrija• Vremensko skaliranje• Vremenski pomak • Frekvencijski pomak• Deriviranje po vremenu• Deriviranje po frekvenciji• Vremensko integriranje

Svojstva FT

• Konjugiranje vremenske i frekvencijske funkcije:

• Vremenska konvolucija: • Frekvencijska konvolucija: • Površina ispod f(t):• Površina ispod F(ω):• Parsevalov poučak:

Tablica FT FT stacionarne slike

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

2-D FT

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

1-D FT

FT stacionarne slike nema nikakve

vidljive prednosti???

34

FT pokretne slikeAko se signal ili slika kreće u

prostornoj domeni s nekom brzinom v0, spektar statičkog signala u Fourierovom prostoru pomaknut je, za pokretne objekte, duž vremenske osi za vrijednost brzine.

Veza između distribucije energije statičkog objekta s(x,t)=s(x) i istog objekta u kretnji s(x-vt,t) može se matematički pretstaviti kao Fourierov par.

3 objekta s 3 brzine horizontalno,

2 objekta s 2 brzine vertikalno

ZADATAK 1.

Nađite FT iz Laplaceove transformacije za:a) b)

ZADATAK 2

Izračunajte FT funkcije:a) Upotrebom definicije FTb) Laplaceovim ekvivalenoma)

b)

ZADATAK 3

Odredite FT impulsa:

35

ZADATAK 4

Odredite FT vremenski periodične funkcije:

(Formula:)

RAČUNANJE FT U MATALBUIzračunajte FT funkcije:

syms t v w x; ft=exp(−t^2/2); Fw=fourier(ft)Računalo: Fw =2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-1/2*w^2)pretty(Fw)Računalo: 1/2 1/2 2

2 pi exp(- 1/2 w )% Provjera inverza s "ifourier"ft=ifourier(Fw)Računalo: ft =exp(-1/2*x^2)

Zadatak:

ZADATAK 5Izračunajte odziv g(t) na pobudu f(t) ako je poznat impulsni

odziv s pomoću FT.

ZADATAK 6Odredite FT funkcije f(t)=e-αtu(t) za α>0. Koristeći taj

rezultat nacrtajte graf ovisnosti apsolutne vrijednosti i faze o frekvenciji te realni i imaginarni dio spektra.

Rješenje:

( )

)/()(

1)(

1)(

Im1Im)(

Re1Re)(

1)()(

22

/

22

2222

2222

0

)(

αωωωα

ω

ωαω

ωαω

ωαωα

ωαω

ωαα

ωαωα

ωαω

ωαω ωαωα

arctgFArg

F

eF

jj

F

jj

F

jdtedtetueF

ri FFjarctg

i

r

tjtjt

−=+

=

+=

+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=

+=== ∫∫

∞+−

∞

∞−

−−

36

ZADATAK 6 U MATLABUt=0:.05:5;f1=exp(-0.5*t);f2=exp(-4*t);w=-20:.05:20;fr1=0.5./(0.25+w.^2);fr2=4./(16+w.^2);fi1=-w./(0.25+w.^2);fi2=-w./(16+w.^2);fabs1=1./sqrt(0.25+w.^2);fabs2=1./sqrt(16+w.^2);arg1=-atan(2*w);arg2=-atan(w/4);subplot(2,1,1);plot(t,f1,’k’);hold on; plot(t,f2,’k’);xlabel(‘t’);ylabel(‘exp(-at)’); subplot(2,1,2);plot(w,fabs1,’k’);hold on; plot(w,fabs2,’k’);xlabel(‘omega’);ylabel(‘abs(F(omega))’);

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

t

exp(

-at)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

/omega

abs(

F(/o

meg

a))

a=0.5

a=4

a=0.5

a=4

ModulacijaJedno je od primjena Fourierove transformacije:

Spektar moduliranog signala f(t) pomaknut za frekvenciju nositelja ω0.

[ ]

[ ])()(21sin)(

)()(21cos)(

000

000

ωωωωω

ωωωωω

−−−=

−++=

FFj

ttfF

FFttfF

PrimjerNađite spektar moduliranog signala fm(t)=f(t)cos ωct sa

slike.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

exp(-abs(t))

Primjer, rješenjePrvo se nalazi Fourierov spektar cos ωct i f(t):

20

20

0000

0

)1(0

)1(

0

)1(0

)1(

20

0

)()(

)(11

)(11

1)(1

21

1)(1

21

1)(1

21

1)(1

21

21

21

21

21

22cos)(

12

)()(21

21

2cos

ωωωω

ωωωωωωωω

ωω

ω

ωωπδωωπδ

ω

ωωωωωωωω

ωω

ωωω

ωωωωωω

+++

−+=

=+−

+−+

−++

+−−

−=

=+++=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+==

+=+==

++−=

=+=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=

∫∫∫∫

∫∫∫

∫∫

∞+−−

∞−

−+−∞

++−

∞−

−−−

−−−−

∞−−

∞−

−∞

∞−

−−−

∞

∞−

+−∞

∞−

−−−

jjjj

dtedtedtedte

eeeeFteFF

dteedteedteeeF

dtedteeeFtF

tjjtjjtjjtjj

tjttjt

Ct

m

tjttjttjtt

CC

tjtjtjtj

C

CCCC

CC

CCCC

37

Primjer, zaključakKad je signal moduliran sinusoidalnom funkcijom

frekvencije ωC, spektar signala se pomiče u frekvencijskoj domeni za tu frekvenciju. Ovaj proces, poznat kao AM, koristi se u komunikacijama. U AM sustavu se signal nositelj lako generira stabilnim oscilatorom. Ako je signal Umcosωmt (uz ωm<<ωC), modulacijski proces se može izraziti s:

gdje je m modulacijski indeks.

[ ] ttmuUtu CmC ωcos)(1)( +=

( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+++= ttmtUtu mCmCCC ωωωωω coscos

2cos)(

Primjer modulacije u MatlabuFs = 8000; % Sampling rate is 8000 samples per second.Fc = 300; % Carrier frequency in Hzt = [0:.1*Fs]'/Fs; % Sampling times for 0.1 secondx = sin(20*pi*t); % Representation of the signaly = ammod(x,Fc,Fs); figure;subplot(2,1,1); plot(t,x);subplot(2,1,2); plot(t,y);

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.5

0

0.5

1

Primjer modulacije u Matlabu% Uzorkovanje signala 2 sekunde s 100 uzoraka po sekundiFs = 100; % Sampling ratet = [0:2*Fs+1]'/Fs; % Create the signal.x = sin(2*pi*t) + sin(4*pi*t);Fc = 10; % Carrier frequencyphasedev = pi/2; % Phase deviation PMy = pmmod(x,Fc,Fs,phasedev); % Modulate.y = awgn(y,10,'measured',103); % Add noise.z = pmdemod(y,Fc,Fs,phasedev); % Demodulate.% Plot the original and recovered signals.figure; plot(t,x,'k-',t,z,'g-');legend('Original signal','Recovered signal');

0 0.5 1 1.5 2 2.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Original signalRecovered signal

Gustoća spektra snagePrvo se prisjetimo Parsevala i dokaza:

Gustoća spektra snage signala definirana je izrazom:

∫∫∫ ∫

∫ ∫∫∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

==

ωωπ

ωωωπ

ωωπ

ωωπ

ωπ

ω

ω

dFdFFddtetfF

dttfdeFdttftfdttf

dtFdttfE

tj

tj

2

2

22

)(21)(*)(

21)()(

21

)(*)(21)(*)()(

)(21)(

2)(21)( ωπ

ω FW =

38

Gustoća spektra snageAko je gustoća spektra snage definirana prethodnim izrazom,

onda je energija u infinitezimalnom pojasu frekvencija dωizražena s W(ω)dω. Energija sadržana u pojasu frekvencija je:

Udio energije tog pojasa u ukupnoj energiji je:

Interpretacija energije i snage signala je takva da je f(t) napon, a f2(t) je razmjerna snazi.

212

2

1

)(21 ωωωωωπ

ω

ω

<<=Δ ∫ dFE

∫

∫∞

∞−

=Δ

ωωπ

ωωπ

ω

ω

dF

dF

EE

2

2

)(21

)(212

1

Gustoća spektra snageDrugi važni oblik slijedi iz upotrebe spektra između ulaza i

izlaza definiranog prijenosnom funkcijom. Kako je:

G(ω)=F(ω)H(ω)slijedi

|G(ω)|2= |F(ω) H(ω) |2 = F(ω) H(ω) F*(ω) H*(ω)== |F(ω)|2 |H(ω) |2

Općenito, prijenosna funkcija je kompleksna funkcija i može se pisati u polarnom obliku:

Gustoća spektra snage odziva LTI sustava je umnožak gustoće spektra snage ulazne funkcije i kvadrata amplitude sustava. Faza sustava ne utječe na izlaznu gustoću spektra energije (snage).

220

2

)(0

)()(

22

)()()(

)()()()(

ωωω

ωωωω ωθωω

FHG

eHeHHH jHHjarctg

irr

i

=

=+=

Fourier…?

Jean B. Joseph Fourier(1768-1830)

“Proizvoljna funkcija, kontinuirana ili s prekidima, definirana na konačnom intervalu proizvoljnim grafom može se uvijek izraziti zbrojem sinusoidalnih funkcija.”

J.B.J. FourierProsinac, 21, 1807

∑∫−

=

− ==1

0

/2/2 ][21)( )(][

N

i

NktjNktj ekFtfdtetfkF πππ

Radi razumijevanja gradiva

Kako zapravo radi FT?• FT koristi kompleksne eksponencijale (sinusoide, Euler)

kao građevne blokove.• Za svaku frekvenciju kompleksne eksponencijale,

sinusoida na toj frekvenciji se uspoređuje sa signalom.• Ako se signal sastoji od te frekvencije, korelacija je

visoka veliki FT koeficijenti.

• Ako signal nema tu spektralnu komponentu, korelacija na toj frekvecniji je niska/nula mali / nula FT koeficijenti.

∫∫ == − ωωπ

ω ωω deFtfdtetfF tjtj )(21)( )()(

( ) ( )tjte tj ωωω sincos +=

Radi razumijevanja gradiva

39

FT u radu

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

−

⋅=

⋅=

dtejXtx

dtetxjX

tj

tj

ω

ω

ωπ

ω

)(21)(

)()(

Kompleksne eksponencijale(sinusoide) kao

osnovne funkcije:

F

Ultrazvučni A-sken upotrebom 1.5 MHz pretvornika, uzorkovano s 10 MHz

Radi razumijevanja gradiva

FT u radu

)52cos()(1 ttx ⋅⋅= π

)252cos()(2 ttx ⋅⋅= π

)502cos()(3 ttx ⋅⋅= π

Radi razumijevanja gradiva

FT u radu

)(1 ωX

)(2 ωX

)(3 ωX

F)(1 tx

F)(2 tx

F)(3 tx

Radi razumijevanja gradiva

FT u radu

)502cos()252cos(

)52cos()(4

tt

ttx

⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅=

πππ

)(4 ωXF)(4 tx

Radi razumijevanja gradiva

40

Fourierova analizaSignali

Periodični (wo) Aperiodični

Diskretni Kontinuirani Diskretni Kontinuirani

DFS FS

DTFT

FT

DFT

Neograničeno vrijeme

Konačno vrijeme

Idealni filtriIdealni filtar propušta komponente signala

određenih frekvencija bez distorzije, a komponente na ostalim frekvencijama idealno prigušuje.

Prema tome, frekvencijska karakteristika ima vrijednost jednaku jedan ili nula.

Područje frekvencija u kojima frekvencijska karakteristika ima vrijednost jedan naziva se propusni pojas, a područje frekvencija gdje je frekvencijska karakteristika jednaka nuli je pojas gušenja.

Idealni filtri4 osnovna tipa filtra:

niski propustω

π

HNP(ω)

−π ωg−ωg

visoki propustω

π

HVP(ω)

−π ωg−ωg

pojasni propust

ωπ

HPP(ω)

−π ωg1−ωg1−ωg2 ωg2

pojasna brana

ωπ

HPB(ω)

−π ωg1−ωg1−ωg2 ωg2

Idealni niskopropusni filtarHNP(ω)

ωπ−π ωg−ωg

frekvencijska karakteristika

HNP

g

g

( )ωω ω

ω ω=

≤

>

⎧⎨⎪

⎩⎪

1

0

impulsni odziv

[ ]sing g

NPg

nh n

nω ωπ ω

= ⋅

hNP(n)

n

41

SAMPLING (UZORKOVANJE):Predstavljanje kontinuiranog signala preko uzoraka,

poučak o uzorkovanju

U općenitom slučaju ne može se očekivati da se signal može jedinstveno predstaviti nizom jednako razmaknutih uzoraka. To je ilustrirano slikom:

Teorijski se može naći beskonačno kontinuiranih signala koji prolaze istim točkama diskretnog niza. Međutim, ako je signal u ograničenom području i ako su uzorci uzeti dovoljno blizu jedan drugog (s obzirom na najveću frekvenciju u signalu), uzorci jedinstveno određuju signal te se on može savršeno rekonstruirati.

SAMPLING (UZORKOVANJE): Predstavljanje kontinuiranog signala preko uzoraka,

poučak o uzorkovanju

Ako je p(t) impulsni niz (vlak, češalj fja.) ili funkcija uzorkovanja, T period uzorkovanja, a ω=2π/T frekvencija uzorkovanja, u vremenskom području slijedi:

SAMPLING (UZORKOVANJE): Predstavljanje kontinuiranog signala preko uzoraka,

poučak o uzorkovanju

Za LTI sustav gdje je α broj između 0

i 1, a frekvencijski odziv sustava dat sa:

slijedi da je snaga:

tako da je:

XP(ω) je periodična funkcija frekvencije koja se sastoji od zbroja pomaknutih replika X(ω) skaliranih s 1/T.

SAMPLING (UZORKOVANJE): Predstavljanje kontinuiranog signala preko uzoraka,

poučak o uzorkovanju

42

Ako je ωM < (ωS -ωM) tj. ωS > 2ωM nema prekla-panja između poma-knutih replika X(ω), a ako to nije slučaj, onda ima. Stoga se xP(t) može obnoviti sa cjelobronim višekra-tnicima frekvencije uzorkovanja, tj. s NF s pojačanjem T i cutoff frekvencijom većom od ωM i manjom od (ωS -ωM). Ovo važno svojstvo je poznato pod imenom poučak o uzorkovanju (engl. sampling theorem).

SAMPLING (UZORKOVANJE): Predstavljanje kontinuiranog signala preko uzoraka, poučak o

uzorkovanjuIlustracija poučka ouzorkovanju.

SAMPLING (UZORKOVANJE): Predstavljanje kontinuiranog signala preko uzoraka, poučak o

uzorkovanju

Poučak o uzorkovanju je bio u različitim oblicima dugo dostupan u matematičkoj literaturi. U komunikacijskoj teoriji se pojavio eksplictno 1949. godine u Shannonovom članku “Communication in the Presence of Noise”. Međutim, H. Nyquist 1928 i D. Gabor 1946. su istaknuli, temeljem Fourierovih redova, da je dovoljno da je ωS = 2 ωM ako je riječ o najvećoj frekvenciji u signalu.

Počak: Neka je x(t) signal u ograničenom pojasu s X(ω)=0 za |ω| > ωM.Onda je x(t) jedinstveno određena sa svojim uzorcima x(nT), n=0, ±1, ±2,... ako je ωS > 2ωM, gdje je ωS =2π/T. S takvim uzorcima može se rekonstruirati x(t) generiranjem periodičnog impulsnog niza (vlaka) u kojem pojedinačni impulsi imaju amplitude odgovarajućih uzoraka. Impulsni vlak (češalj-fja) se tada propušta kroz NF s pojačanjem T i frekvencijom otkidanja (cutoff) većom od ωM, a manjom od ωS - ωM. Rezultirajući izlazni signal je jednak x(t).

SAMPLING (UZORKOVANJE): Predstavljanje kontinuiranog signala preko uzoraka,

POUČAK O UZORKOVANJU

U praksi je teško proizvesti impulse kako su zamišljeni u poučku o uzorkovanju. Stoga se koriste S/H (engl. sample and hold, uzorkuj i zadrži) sklopovi. Ako takav sklop stvara signal za uzorkovanje takav da zadržava razinu uzorkovanja do sljedećeg takta (perioda), naziva se S/H nultog reda. Rekonstrukcija x(t) s izlaza S/H može se izvesti s NF. Međutim, potreban filtar nema više konstantno pojačanje kroz cijeli pojas. Da bi se razvile zahtjevane karakteristike, prvo se mora primjetiti da se izlaz iz S/H, xo(t), može generirati uzorcima treniranih imuplsa koji se vode na LTI sustav s pravokutnim impulsnim odzivom, hr(t) i frekvencijskim odzivom Hr(ω) tako da je r(t)=x(t). Ovo je, u biti, kaskadni spoj koji čini idealni NF odziva H(ω).

UZORKOVANJE: Uzorkovanje s Hold nultog reda

43

UZORKOVANJE: Uzorkovanje s Hold nultog reda UZORKOVANJE: Uzorkovanje s Hold nultog reda

Amplitudna i fazna karakteristika

rekonstrukcijskog filtera za S/H 0.reda

UZORKOVANJE: Rekonstrukcija signala iz njegovih uzoraka upotrebom interpolacije

Jednostavna interpolacija je S/H 0.reda. Sljedeća je interpolacija linearna, kod koje se uzorci spajaju ravnim linijama. U još složenijim slučajevima mogu se koristiti polinomi višeg reda ili druge matematičke funkcije.

Izlaz:Formula interpolacije:Za idealni NF:Rekonstruirani signal:

UZORKOVANJE: Rekonstrukcija signala iz njegovih uzoraka upotrebom interpolacije

Idealna interpolacija sinc-om

Prijenosna funkcija S/H 0.reda za idealni

interpolirajući filtar

44

UZORKOVANJE: Rekonstrukcija signala iz njegovih uzoraka upotrebom interpolacije

Ako aplikacija prirodno ima još jedan NF, on će težiti poboljšanju interpolacije. Učinak mozaika u slici nastaje primjenom dvodimenzionalnog S/H 0.reda. Međutim, ljudski vizuelni sustav posjeduje NF koji popravlja situaciju.

UZORKOVANJE: Rekonstrukcija signala iz njegovih uzoraka upotrebom interpolacije

Prijenosna funkcija S/H 1. reda (linearna interpolacija):

Primjer u Matlabut=0:1:10;f=exp(-0.2*t)-exp(-0.8*t);

subplot(1,3,1);stem(t,f,'k');xlabel('t');ylabel('f(nT_s)')subplot(1,3,2);stairs(t,f,'k');xlabel('t');ylabel('S/H 0')subplot(1,3,3);plot(t,f,'k');xlabel('t');ylabel('linearna

interpolacija')

0 5 100

0.05

0 .1

0 .15

0 .2

0 .25

0 .3

0 .35

0 .4

0 .45

0 .5

t

f(nT s)

0 5 100

0 .05

0 .1

0 .15

0 .2

0 .25

0 .3

0 .35

0 .4

0 .45

0 .5

t

S/H

0

0 5 100

0 .05

0 .1

0 .15

0 .2

0 .25

0 .3

0 .35

0 .4

0 .45

0 .5

t

linea

rna

inte

rpol

acija

UČINAK PODUZORKOVANJA: ALIASING

Kad je ωS < 2ωM, spektar uzorkovanog signala, X(ω), se više ne sastoji od egzaktnih kopija spektra signala x(t) te se stoga ne može izvršiti rekonstrukcija NF-om. Ovaj učinak dovodi do preklapanja te je poznat pod nazivom aliasing.

45

UČINAK PODUZORKOVANJA: ALIASING UČINAK PODUZORKOVANJA: ALIASING

Učinak na sinusoidalan signal

PODUZORKOVANJE U SLICI

Izvorna slika Rekonstruirana slika

Obradba vremenski kontinuiranih signala u diskretnom vremenu

46

Obradba vremenski kontinuiranih signala u diskretnom vremenu

Obradba vremenski kontinuiranih signala u diskretnom vremenu

Obradba vremenski kontinuiranih signala u diskretnom vremenu

Odziv sustava s prethodne slike

UZORKOVANJE U FREKVENCIJSKOM PODRUČJU

Poučak o uzorkovanju bavi se uzorkovanjem signala (ograničenih u nekom pojasu) u vremenskom području. Postoji dualnost između vremenske i frekvencijske domene. Promatrat će se dvojnik impulsnog vlaka (češalj fja.) u frekvencijskom području.

- nepreklapajuća periodična replika x(t) razmaknutih uzoraka s višekratnicima T0 = 2π/ω0.

Izvorni signal x(t) može se rekonstruirati s “nisko-vremenskim prozorom” (w(t)) njegove replike.

Slika i izrazi su na sljedećem slide-u:

47

UZORKOVANJE U FREKVENCIJSKOM PODRUČJU

UZORKOVANJE U FREKVENCIJSKOM PODRUČJU

mT22

0

>ωπ

Analogni uvjet Nyquistu, tj. frekvencijski analog poučka o uzorkovanju. Ako nije zadovoljen javlja se analogni aliasing u vremenskoj domeni. Nisko-vremenski prozor može se interpretirati kao interpolacija uzoraka u frekvencijskom području, X(ω).

UZORKOVANJE U FREKVENCIJSKOM PODRUČJU

Sinc funkcija egzaktno interpolira frekvencijske uzorke koji su uzeti s jednakim razmakom u frekvencijskom području.

UZORKOVANJE VREMENSKO-DISKRETNIH SIGNALA

[ ][ ]

⎪⎩

⎪⎨⎧

=.,0

,

inaceNkvišekratni

icjelobrojnnjeakonxnxp

48

UZORKOVANJE VREMENSKO-DISKRETNIH SIGNALA

UZORKOVANJE VREMENSKO-DISKRETNIH SIGNALA

Primjer uzorkovanja

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

25 30 35 40 45-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Zoom 1T:f=100HZ

f=1/3 Hz0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

f=1/10 Hz

Fourierova transformacija u diskretnom vremenu (DTFT)

Vremensko diskretni signal može se dobiti iz kontinuiranog uzorkovnjem. Stoga DTFT diskretnog signala je periodična replika FT-a odgovarajućeg kontinuiranog. DTFT je uvijek uvijek periodična periodom 2π. Formalno se može pisati:

Svojstva DTFT: vremenski pomak, frekvencijski pomak, množenje/konvolucija, derivacija u frekvencijskom području, diferencija u vremenskom području,...

nj

n

j

njj

enxeX

eeXnx

ωω

π

ωωπ

−∞

−∞=∑

∫

⋅=

⋅=

][)(

)(21][

2

49

Diskretna Fourierova Transformacija(DFT)

• DFT se koristi za prikazivanje sekvenci u diskretnom vremenu koje imaju konačno trajanje. Takav signal se umjetno pretvara u periodični repliciranjem signala, koji se onda uzorkuje da se dobije DTFT odgovarajućeg aperiodičnog signala.

• Da bi se moglo razmotriti brze algoritme za DFT (FFT algoritmi), treba prvo razumijeti uzorkovanje.

kN

jN

n

N

k

kN

j

enxkX

ekXN

nx

π

π

21

0

1

0

2

][~][

][1][~

−−

=

−

=

⋅=

⋅=

∑

∑

⎩⎨⎧ −≤≤

=otherwise ,0

10 ],[~][

Nnnxnx

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala

∑∞

−∞=

=k

tFkjkectx 02)( π

Fourierov red za kontinuirani periodični signal x(t) , perioda Tp, je:

spektar je diskretan pri čemu je razmak između susjednih komponenti 1/Tp

signal x(t) može biti prikazan s beskonačnim brojem frekvencijskih komponenti

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala

Diskretni periodični signal x[n] ima periodični spektar (zbog diskretnosti signala u vremenskoj domeni) koji se ponavlja svakih 2π ⇒ područje frekvencija (-π, π) ili (0, 2π)

diskretni periodični signal x[n] ima diskretan spektar (zbog periodičnosti signala u vremenskoj domeni) pri čemu je razmak između susjednih frekvencijskih komponenti 2π/N radijana ⇒ Fourierov red za periodični diskretni signal sadržavati će najviše N frekvencijskih komponenti

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala

Za diskretni periodični signal x[n] perioda N vrijedi:

nNnxnx svaki za][][ +=

Fourierov red periodičnog signala sadrži N harmoničkivezanih kompleksnih eksponencijalnih funkcija:

1....,,1,0/2 −= Nke Nnkj π

50

Fourierova transformacija diskretnih periodičnih signala

Fourierov red za diskretini periodični signal:

∑∑∑−

=

−−

=

−−

=

=1

0

/)(21

0

/21

0][

N

n

NnlkjN

kk

NnljN

necenx ππ

Izvod izraza za Foureriove koeficijente ck:obje strane se množe s eksponencijalom e-j2π l n/N, a zatim se umnošci zbrajaju od n=0 do n=N-1

1....,,1,0][ /21

0−==∑

−

=

Nnecnx NnkjN

kk

π

Spektar realnog periodiSpektar realnog periodiččkog kog diskretnog signaladiskretnog signala

∗− = kk cc

Za realni periodični x[n] koeficijenti Fourierovog reda ckzadovoljavaju slijedeći uvjet:

iz čega slijedi:

)arg()arg(i kNkkNk cccc −− −==a zbog ck = ck+N slijedi

)arg()arg(i kkkk cccc −− −==

Primjer: obrada slike po blokovima i uzorcimaDodati osvjetljenje slici "+25"a=double(imread('moon.tif'));[m n]=size(a);% uzorak po uzoraktic;for i=1:m; for j=1:n; b(i,j)=a(i,j)+25;

end;end;toc% Elapsed time is 0.679740 seconds.% blok po blok 2x2tic; for i=1:2:m-1; for j=1:2:n-1;

b(i:i+1,j:j+1)=a(i:i+1,j:j+1)+25;end; end; toc

%Elapsed time is 0.539659 seconds.% blok po blok 3x3tic;for i=1:3:m-2; for j=1:3:n-2

b(i:i+2,j:j+2)=a(i:i+2,j:j+2)+25;end;end;toc

% Elapsed time is 0.246998 seconds.% frame-based - zavisi od vrste operacija,

nije uvijek mogućetic; b=a+25; toc % Elapsed time is 0.003460

seconds.

Original

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Obradjena slika

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Fusnota! Obradba po blokovima

• Prikupljanje uzoraka u blokove• FIR filtracija signala konačnog trajanja• brza konvolucija dugačkih signala

razloženih u kraće blokove• DFT/FFT• analiza i sinteza govora• obradba slike

Fusnota!

51

Obradba uzorak po uzorak

• DSP algoritam se izvodi za svaki uzorak signala

• filtracija dugačkih signala u stvarnom vremenu

• audio efekti• sustavi regulacije• adaptivna obradba signala

Višetaktna digitalna obradba signala

• Temeljne operacije za promjenu frekvencije uzorkovanja (otipkavanja)

Naduzorkovanje (pretikpkavanje) -koristi se za povećanje frekvencije uzorkovanja za cjelobrojni faktorPoduzorkovanje (podotipkavanje) –koristi se za smanjenje frekvencije uzorkovanja za cjelobrojni faktor

Primjer naduzorkovanja sinusnog niza frekvencije 0,12 Hz za faktor 3

clf;n = 0:50;x = sin(2*pi*0.12*n);y = zeros(1, 3*length(x));y([1: 3: length(y)]) = x;subplot(2,1,1)stem(n,x);title('Ulazni niz');xlabel('Korak n');ylabel('Amplituda');subplot(2,1,2)stem(n,y(1:length(x)));xlabel('Korak n');ylabel('Amplituda');title('Izlazni niz - pretipkavanje ulaznog niza za faktor 3');U praksi se, u postupku naduzorkovanja, uzorci vrijednosti nula zamjenjuju s odgovarajućim uzorcima različitim od nule -interpolacija - a što se postiže postupkom filtriranja

Naduzorkovanje

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.5

0

0.5

1Ulazni niz

Korak n

Am

plitu

da

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.5

0

0.5

1Izlazni niz - pretipkavanje ulaznog niza za faktor 3

Korak n

Am

plitu

da

Naduzorkovanjefreq = [0 0.3 0.45 0.5 1];mag = [0 1 1 0 0];x = fir2(99, freq, mag);w=-pi:pi/256:pi;Xz = FREQZ(x,1,w);%[Xz, w] = freqz(x, 1, 512);subplot(2,2,1);plot(w/pi, abs(Xz)); axis([-1 1 0 1]); gridxlabel('\omega/\pi'); ylabel('Amplituda');title('Spektar ulaznog signala');subplot(2,2,2);% Generate the up-sampled sequenceL = input('Type in the up-sampling factor = ');y = zeros(1, L*length(x));y([1: L: length(y)]) = x;% Evaluate and plot the output spectrumw=-pi:pi/256:pi;Yz = FREQZ(y,1,w);plot(w/pi, abs(Yz)); axis([-1 1 0 1]); gridxlabel('\omega/\pi'); ylabel('Amplituda');title('Spektar izlaznog signala za L=2');

subplot(2,2,3);% Generate the up-sampled sequenceL = input(‘Faktor naduzorkovanja = ');y = zeros(1, L*length(x));y([1: L: length(y)]) = x;% Evaluate and plot the output spectrumw=-pi:pi/256:pi;Yz = FREQZ(y,1,w);plot(w/pi, abs(Yz)); axis([-1 1 0 1]); gridxlabel('\omega/\pi'); ylabel('Amplituda');title('Spektar izlaznog signala za L=3');subplot(2,2,4);% Generate the up-sampled sequenceL = input(‘Faktor naduzorkovanja = ');y = zeros(1, L*length(x));y([1: L: length(y)]) = x;w=-pi:pi/256:pi;Yz = FREQZ(y,1,w);plot(w/pi, abs(Yz)); axis([-1 1 0 1]); gridxlabel('\omega/\pi'); ylabel('Amplituda');title('Spektar izlaznog signala za L=4');

52

Z-transformacijaZ-transformacija vrši pretvorbu iz područja diskretnih

vremenskih signala u tzv. Z-područje. Koristi se kod diskretnih signala kao Laplace i Fourier kod kontinuiranih. Postoji jednostrana i dvostrana Z-transformacija. Promatrat ćemo jednostranu. Ona je definirana izrazom:

a inverzna s:

Ako se promatra f(t) i niz impulsa:

Množenjem:

Formiranje vremenski-diskretnog signala

Svojstva Z-transformacije Tablica Z-transformacije

53

Zadatak 2

Nađite Z-transformaciju izraza:

Da bi odredili područja konvergnecije i divergencije rastavit ćemo nazivnik na:

Zadatak 2, nastavak

Vidimo da postoje 2 pola

Povezanost z i s domeneSlučaj 1, σ < 0, |z|<1, lijeva polovina

s-ravnine preslikava se unutar jedinične kružnice z-ravnine. Za različite negativne vrijednosti σdobivaju se koncentrične kružnice radijusa manjeg od 1.

Slučaj 2, σ > 0, |z|>1, desna polovina s-ravnine preslikava se izvan jedinične kružnice z-ravnine. Za različite pozitivne vrijednosti σdobivaju se koncentrične kružnice radijusa većeg od 1.

Slučaj 3, σ = 0, z=∠j2πω/ωs, za sve vrijednosti ω z leži na jediničnoj kružnici.

Inverzna Z-transformacijaVrši se na jedan od 3 načina:- Parcijalnim razlomcima,

- Integralom inverzije

- Djeljenjem polinoma

54

Zadatak 1.Odredite inverznu Z-transformaciju:

Zadatak 2.Odredite inverznu Z-transformaciju:

Pol u z =0. Mora se provjeriti 1.derivacija:

Zadatak 2, nastavak

Za n>=2

Zadatak 2, nastavak

55

Zadatak 3.Odredite f(n) za n=0, 1, 2,...

Prijenosna funkcija vremensko-diskretnih sustava

Jednadžba diferencija:

Ili:

Prijenosna funkcija vremensko-diskretnih sustava

Diskretna prijenosna funkcija je:

Diskretni impulsni odziv je:

Inverzna Z-transformacija diskretne prijenosne funkcije je:

ZADATAKNađite diskretnu prijenosnu funkciju, diskretni impulsni

odziv i odziv na jediničnu koračnu funkciju (step) ako je poznata jednadžba diferencija koja opisuje odnos ulaznih i izlaznih veličina:

56

Zadatak, nastavak Zadatak, nastavak

Jednadžbe stanja diskretnog sustava

Varijable stanja diskretnih sustava takoer se odabiru kao i kod kontinuiranih. Za kontinuirane sustave vrijedi:

Jednadžbe stanja diskretnog sustava

Analogija integracije i kašnjenja

57

ZADATAKNapišite jednadžbe stanja diskretnog sustava, ako su

odnos ulaza i izlaza zadani relacijom:y[n + 3]+2y[n + 2]+5y[n + 1]+ y[n] = u[n]

+

Zadatak, nastavak

x[n + 1] = Adiscx[n] + bdiscu[n]

FIR i IIR filtarske strukture• FIR strukture

– direktna realizacija– transponirana realizacija– FIR filtri linearne faze– kaskadna realizacija

• IIR strukture– direktne I i II realizacije– transponirana direktna II realizacija– kaskadna realizacija– paralelna realizacija

Blok dijagramiprednosti prikaza sustava pomoću blok dijagrama

• (1) jednostavno je napisati računalni algoritam uvidom u blok dijagram

• (2) jednostavno je analizirati blok dijagram kako bi se odredio eksplicitni odnos ulaza i izlaza

• (3) jednostavan je preustroj blok dijagrama kako bi se izgradio “ekvivalentni” blok dijagram koji vodi na različite računalne algoritme

• (4) jednostavno je definirati zahtjeve na sklopovlje za realizaciju

• (5) jednostavno je razviti prikaze blok dijagrama izravno iz prijenosne funkcije

58

Problem petlji bez elemenata za kašnjenje

• fizička realizacija filtarskih struktura je nemoguća ako postoje petlje u blok dijagramu koje ne sadrže elemente za kašnjenje

• ilustrirajmo ovaj problem na slijedećem primjeru

Filtri u višetaktnoj obradbi signalaako spektar kritično otipkanog signala zauzima cijelo

Nyquist-ovo područje daljnja redukcija frekvencije otipkavanja nije moguća zbog pojave aliasinga

prema tome, frekvencijsko područje kritično otipkanog signala mora, prije podotipkavanja, biti reducirano niskopropusnim digitalnim filtrom

isto tako uzorci vrijednosti nula generirani postupkom pretipkavanja trebaju biti interpolirani s odgovarajućim vrijednostima za primijenjeno povećanje frekvencije otipkavanja

pokazuje se da se ova interpolacija jednostavno postiže filtriranjem niskopropusnim digitalnim filtrom

Promjena takta korištenjem MATLAB-a

funkcija decimate koristi se za redukciju frekvencije uzorkovanja vektora ulaznog signala x za cjelobrojni faktor M

primjer programa za decimaciju niza za faktor M primjenjuje se oblik funkcije y = decimate(x,M,'fir')ovaj oblik funkcije decimate podrazumijeva

poduzorkovanje za faktor M primjenu niskopropusnog FIR filtra projektiranog uz

pomoć MATLAB funkcije FIR1(30,1/M) – 30 uzoraka filtra i granična frekvencija 1/M koja ako nije drukčije naznačeno koristi Hamming-ov otvor

Promjena takta korištenjem MATLAB-a

% Ilustracija postupka decimacijeclf;

M = input('Faktor decimacije = ');n = 0:99;

x = sin(2*pi*0.043*n)+ sin(2*pi*0.031*n);y = decimate(x,M,'fir');

subplot(2,1,1);stem(n,x(1:100));

title('Ulazni niz');ylabel('Amplituda');subplot(2,1,2);

m = 0:(100/M)-1;stem(m,y(1:100/M));

title('Izlazni niz nastao decimacijom za faktor M');xlabel('Korak n');ylabel('Amplituda');

59

Promjena takta korištenjem MATLAB-a

funkcija interp koristi se za povećanje frekvencije uzorkovanja vektora ulaznog signala x za cjelobrojni faktor L

primjer programa za interpolaciju niza za faktor L

POVEZIVANJE RAČUNALA SA STVARNIM SVIJETOM

Postoje različiti sustavi za povezivanje računala sa stvarnim svijetom. Ne računajući izlazno/ulazne jedninice (joystic, miš, tastatura, monitor, CD, disketna jedinica, IR, USB, ...) postoje i profesinalni posrednici za analizu signala u praksi (industriji, nadzornim, sigurnosnim sustavima, itd), a to su DAQ (engl. Data AcQuistion – prikupljanje podataka) kartice/sustavi. Na vježbama će se vidjeti sustav NI ELVIS sa svojom DAQ karticom. Poznat je i tzv. frame grabber, koji prikuplja slike slike s kamere.

PREGLED DAQ SUSTAVA• DAQ (postupak skupljanja podataka i njihove pretvorbe u strojno

obradive signale) sustav podrazumijeva mjerenje prirodnih pojava. Svijetlo, temperatura, tlak i sila su primjeri različitih tipova signala koje DAQ sustav može mjeriti. DAQ je proces sakupljanja i mjerenja električnih signala s pretvarača, te njihovo slanje i upisivanje u kompjuter za obradu. DAQ može također uključivati i izlaze iz analognih ili digitalnih kontrolnih signala.

• Osnovni dijelovi DAQ sustava uključuju sljedeće stavke:• Pretvornik – uređaj koji pretvara fizikalne fenomene, kao npr.

svijetlo, temperaturu, tlak ili zvuk, u mjerljiv električni signal kao što su npr. napon ili struja.

• Kondicioniranje signala - hardver koji se može spojiti s DAQ uređajem da se signal pretvori u oblik pogodan za mjerenje, poboljšanje točnosti ili smanjenje buke. U većini slučajeva kondicioniranje signala uključuje pojačanje, pobuđivanje, linearizaciju, izolaciju i filtriranje.

• DAQ hardver – hardver koji se koristi za mjerenje, analiziranje i potvrđivanje podataka.

• Softver - NI aplikacijski softver je dizajniran da omogući lakše kreiranje i programiranje aplikacija za mjerenje i kontroliranje.

PREGLED DAQ SUSTAVA

Kako DAQ uređaji koriste električne signale, pretvornici ili senzori moraju pretvarati neke fizikalne pojave u električni signal. DAQ sustav može također proizvesti električni signal. Tim signalima može se inteligentno upravljati mehaničkim sustavima ili osigurati pobudu za mjerenje odziva s pomoću DAQ uređaja. Većina DAQ uređaja sadrži četiri osnovna elementa: analogni ulaz (AI), analogni izlaz (AO), digitalni ulaz / izlaz (DIO) i brojčanik vremena.

60

VIRTUALNA INSTRUMENTACIJA• Virtualna instrumentacija se definirana kao kombinacija

mjernog i kontrolnog hardvera i aplikacijskog softvera s industrijski standardiziranim kompjuterskim tehnologijama za kreiranje korisničkih instrumentiziranih sustava.

• Virtualna instrumentacija omogućava idealnu podlogu za razvijanje odgojno nastavnog plana i provođenje znanstvenih istraživanja. Na tečajevima obrazovnih laboratorija, studenti izvode različite eksperimente kombinirajući mjerenje, automatizaciju i kontrolu. Alati i sustavi korišteni u ovim situacijama su fleksibilni i prilagodljivi. U istraživanjima okruženja virtualna instrumentacija omogućava fleksibilnost koju istraživač mora imati da bi mijenjao sustav pred nepredviđenim potrebama. Istraživanje i obrazovanje zahtjeva također ekonomičnost programa.

• Da bi se komponente sustava virtualne instrumentacije mogle ponovno koristiti (bez kupovine dodatnog hardvera ili softvera), virtualna instrumentacija je ekonomičan izbor. Nadalje, sustavi mjerenja moraju biti fleksibilni kako bi se susreli s budućim proširenjem potreba. Jednostavnost modela virtualne instrumentacije omogućava jednostavno dodavanje novih funkcija.

NI ELVIS1. Kompjutersko pokretanje

LabVIEW-a 2. DAQ uređaj

3. 68-pin E/M serijski kabel 4. NI ELVIS prototip ploča

5. NI ELVIS radna ploča

KORIŠTENJE DAQ HARDVERAKomunikacija između NI ELVIS-a i kompjutera odvija se preko

osam DIO prijenosnih linija DAQ uređaja. Komunikacijski prekidač kontrolira usmjeravanje DIO linija u kompjuter. Pri izvođenju normalnih operacija prekidač je u normalnom modu (načinu rasprostiranja valova) i DIO linije su usmjerene u NI ELVIS hardver, omogućujući kontrolu softvera. Kada je prekidač postavljen u bypass(premošćenom) modu svjetlo s LED diode pored prekidača je upaljeno. Ne postoji mogućnost promjene komunikacije dok se ne upotrijebi NI ELVIS-Enable Communications Bypass VI (ovlašteni komunikacijski premosnik), istovremeno prebacujući prekidač u premosni mod. Nakon što se prekidač prebaci i pokrene komunikacijski premosnik DIO, linije su usmjerene na DI linije na prototipnoj ploči. Kada se komunikacijski prekidač nalazi u premosnom modu funkcijski generator i promjenjivi izvori napajanja su dostupni preko ručne kontrole. Brojači AI i AO s DAQ uređaja dostupni su također. SFP instrumenti upozoravaju kada je komunikacijski prekidač u premosnom modu.

SPAJANJE ANALOGNIH ULAZNIH/IZLAZNIH SIGNALA

NI ELVIS prototip ploča ima šest različitih raspoloživih AI kanala -ACH<0..5>. Ovi ulazni signali direktno su povezani s ulaznim kanalima DAQ uređaja. NI ELVIS također ima dva pina uzemljenja AI SENSE i AI GND koji su spojeni s DAQ uređajem.

NI ELVIS osigurava pristup dvama DAQ uređajima na DAC0 i DAC1 terminalima. Ovi kanali se koriste kod NI ELVIS hardvera za generator proizvoljnog valnog oblika. Izlazni signal na DAQ uređaju je međuspremljen i zaštićen NI ELVIS hardverom.

DC izvori napajanja daju izlazni statički napon ±15 V i +5 V. Pristup funkcijskom generatoru na prototip ploči uključuje nekoliko dodatnih terminala uz izlazni signal funkcijskog generatora, FUNC_OUT. SYNC_OUT izlazni signal je TTL – kompatibilni vremenski signal iste frekvencije kao i izlazni valni oblik. AM_IN i FM_IN signali upravljaju amplitudnom (AM) i frekvencijskom modulacijom (FM). Ovi signali su u funkcijskoj vezi s upravljanjem finom frekvencijom i amplitudom na radnoj ploči.

Promjenjivi izvori napajanja osiguravaju ugađanje napona izlaznog signala od 0 do +12 V na izvoru terminala. Pin uzemljenja omogućava povezivanje na isto uzemljenje DC izvora snage.

61

SPAJANJE DIGITALNIH I/O SIGNALA• NI ELVIS osigurava sabirnicu digitalnog ulaznog signala (DI) i digitalnog

izlaznog signala (DO). Sabirnice ulaznog i izlaznog signala su 8-bitne sabirnice koje su upravljane NI ELVIS-om dok je u softverskom načinu rada. Kada se komunikacijski prespojnik premjesti u mod premošćenja, DI<0..7> biva direktno povezan s digitalnim linijama DAQ uređaja.

• DO<0..7> su digitalni izlazni signali NI ELVIS-a na prototip ploči. Izlaz logičke sabirnice je +5 V TTL za visoku razinu i 0 V TTL za nisku razinu. DI<0..7> su digitalni signali ulaznog signala NI ELVIS sa prototip ploče. Minimalni napon za logičku visoku razinu je 2.0 V. Maksimalan napon za nisku razinu je 0.8 V. Kada je u ručnom modu, logička visoka i niska razina ovise o DAQ uređaju. Adresna sabirnica je 8-bitna sabirnica koja se koristi za komunikaciju na prototipu ploče. Neka zajednička korištenja adresnih linija su digitalne kontrolne linije za prijenosne releje, multipleksore ili jednostavno, kontrolne linije niske struje.

• Prototip ploča osigurava pristup brojaču ulaznih signala DAQ uređaja, koji su također pristupačni preko softvera. Ovi ulazni signali korišteni su za brojenje TTL signala i rubne detekcije. Signal FREQ_OUT ekvivalentan je FREQ_OUT signalu DAQ uređaja.

• Prototip ploča osigurava nekoliko različitih korisničko oblikovanih konektora: četiri jednopolne utičnice, dva BNC konektora i dva SUB konektora. Svaki pin konektora ima vezu s distribucijskim zonama na prototip ploči.

• Osam LED dioda brinu se za općeniti digitalni izlazni signal. Anoda svake LED diode povezana je s distribucijskom zonom preko otpornika od 220 Ω i svaka je katoda povezana s uzemljenjem.

Norbert Wienerov klasični rad na poopćenoj harmoničkoj analizi 1930. dao je slučajnom procesu statističke temelje. Nekoliko je ključnih koncepata uvedeno. Formalizacija moderne teorije vjerojatnosti igara je značajnu ulogu.Ako je x(t) prikaz vremenski kontinuiranog stohastičkog (slučajnog) procesa, onda se za svaki fiksni t, ponaša kao slučajna varijabla s nekom funkcijom gustoće vjerojatnosti fx(x, t). Prosječna očekivana vrijednost procesa je:

Ove se kasnije koristilo za projektiranje optimalnih linearnih filtara.

Moderna spektralna analiza

Wienerovi filteriOptimalni Wienerovi filteri su oni koji minimiziraju neku

funkciju pogreške. Najčešće se koristi srednja kvadratna pogreška (MSE). Minimiziranje MSE uključuje stastistiku drugog reda (korelacije) i vodi na teoriju linearnog filtriranja.

Temeljna ideja je obnoviti željeni signal d(n) iz zašumljene observacije x(n)=d(n)+v(n), gdje se pretpostavlja da su d i v stacionarni procesi. Stoga se problem može opisati ovako: Potrebno je konstruirati filtar koji daje procjenu d koristeći linearnu kombinaciju podataka x(n) tako da se MSE funkcija koštanja minimizira:

[ ] )()(ˆ)( 22 neEndndEJ =−=

Wienerovi filteriU ovisnosti o tome kako su povezani x(n) i d(n) postoje 4

temeljna problema koja se trebaju riješiti:- filtriranje,- izglađivanje,- predviđanje i- dekonvolucija.Pretpostavit ćemo da je eksperiment moguće ponoviti i

kreirat ćemo funkciju gustoće vjerojatnosti (pdf). Zatim ćemo naći MSE.

d(n)v(n)

e(n)=d(n)-d(n)x(n)

d(n)

d(n)^ ^w(n), W(z)

62

Wienerovi filteriOznačimo filtarske željene koeficijente s w. Filter obrađuje

stacionarni proces s realnim vrijednostima, x(n), a daje procjenu, d^(n), željenog signala d(n). Procesi nemaju DC offset. Pretpostavljajući da se filterski koeficijenti ne mijenjaju s vremenom, izlaz filtera je jednak konvoluciji ulaza i filerskih koeficijenata. Stoga se dobiva:

[ ] [ ]TTM

TM

mmn

Mnxnxnxnxwwww

ifilteraatakoeficijenbrojMjegdje

nxwmnxwnxwnd

)1()...,1(),()(,,...,,

:

)()()(*)(ˆ

120

1

0

+−−==

=−==

−

−

=∑

Wienerovi filteriOvdje ćemo se bavit FIR filterom, jer im je glavno svojstvo

stabilnost. MSE je dat s: [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−−⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−=

−=−==−=

=

==

+−=+−=

=+−−=−⋅−=

=−⋅−=−===

)1(...)1()(

)1(

)1()(

)1()1(),...,0()0()1()....1()0(

)(var)()(:

2)()()()(2)()()()()()()()()()()()(

)()()()()()()(.)(

2

22

2

22

Mnxnxnx

Mnx

nxnx

ER

MrMprpVEKTORCIJSKIMEĐEĐUKOREMpppp

ndijancabrojwnxnxwjegdje

wRwpwwnxnxEwnxndEwndEwnxnxwwnxndndnxwndEwnxndnxwndE

nxwndnxwndEnxwndEneEkonstwJ

x

dxdxdxdx

Tdxdxdxdx

d

TTx

Tdx

Td

TTT

TTTTTT

TTTT

M

σ

σ

Wienerovi filteri

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−

−−−

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−−+−+−

+−−−−−+−−

=

)0(...)2()1(

)2(...)0()1()1(...)1()0(

)1()1(...)1()1()()1(

)1()1(...)1()1()1()()1()(...)1()()()(

xxx

xxx

xxx

x

rMrMr

MrrrMrrr

MnxMnxEnxMnxEnxMnxE

MnxnxEnxnxEnxnxEMnxnxEnxnxEnxnxE

R

MMMM

MMMM

Gornja matrica je korelacijska matrica ulaznih podataka, a simetrična je jer je pretpostavljen proces slučajan i stacionaran te je rx(k)=rx(-k).

Wienerovi filteri, primjerPretpostavimo da iz datih podataka x(n) imamo uzorke

autokorelacijskih koeficijenata, rx(0)=1, rx(1)=0, koje, uz dodatak šuma, sadrži željeni signal. Neka je varijanca željenog signala σd

2 = 24,4, a međukorelacijski vektor je pdx=[2 4,5]T. Potrebno je naći površinu definiranu s MSE funkcijom J(w).

Rješenje: Prema formuli za J(w) 2 slide-a unazad, slijedi:

[ ] [ ]21

2010

1

01010

944,24

1001

5,42

24,24)(

wwww

ww

wwwwwJ

++−−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅−=

63

Wienerovi filteri, primjer

d(n)v(n)

e(n)x(n)

d(n)

y(n)Filter, w +-+

Prethodna jednakost je točna za bilo koji broj filterskih koeficijenata. Da bi se našao optimalni Wienerov filter, potrebno je znati traženi signal.

Wienerovi filteri, primjerx=-2:0.4:10;y=-2:0.4:10;[w0,w1]=meshgrid(x,y);J=24.4-4*w0-9*w1+w0.^2+w1.^2;meshc(w0,w1,J);grid on; xlabel('w0');ylabel('w1');zlabel('J');title('MSE površina'); colormap([0 0 0])

-5

0

5

10

-5

0

5

100

20

40

60

80

100

120

w0

MSE površina

w1

J

Wienerovi filteri, primjerOva površina se dobija uvrštavanjem različitih vrijednosti w0 i w1 u funkciju

J(w) i crtanjem amplitude. Vrijednosti koeficijenata koje odgovaraju dnu površine odgovaraju optimalnim Wienerovi koeficijentima. Okomita udaljenost od w0 -w1 ravnine do iscrtane površine je minimalna pogreška, Jmin, i odgovara optimalnim Wienerovim koeficijentima. Očito je da je optimum za w0=2 i w1=4,5. Matematičko rješenje optimalnih koeficijenata dano je na sljedećim slideovima.

Algoritam zapodešavanjetežina

M...

z-1 z-1 z-1

+ + + +

+ + + +

...

...

x(n)

w0

x(n-1) x(n-M+2) x(n-M+1)

w1wM-2 wM-1 d(n)

d(n)^ e(n)

Wienerovo rješenje za optimalne koeficijente

Kako je površina (2 slidea unazad) parabolična i konkavna, prva derivacija MSE s obzirom w0 i w1 mora biti nula u točki minimuma, a druga derivacija mora biti pozitivna. Stoga se može pisati:

O-optimalno Wienerovo rješenje.

dxo

x

dxxo

xo

dxxo

xo

ddxxxx

pwRoblikuHopfWienermončitramuili

rrwrw

rrwrwsedobivaderivacijeućiuvrštavaju

rwrwrwwrwwwJ

wwwJ

wwwJ

wwwJ

wwwJ

=

−=−+

=−+

+−++=

>∂

∂>

∂∂

=∂

∂=

∂∂

:0)0(2)1(2)0(2

0)0(2)1(2)0(2:

)1(2)0()1(2)0(),(

0),(0),(

0),(0),(

01

10

20

2110

2010

12

102

02

102

1

10

0

10

σ

64

Wienerovo rješenje za optimalne koeficijente

Da bi se našla korelacijska matrica Rx, mora se poznavati statistiku drugog reda (autokorelaciju podataka x(n)). Ako je matrica inverzibilna, optimalni filter dat je s:

Za filter M-tog reda, Rx je matrica MxM, wo i p su Mx1 vektori. Ako se diferencira J(w) s obzirom na wo

0 i wo1, te uz

činjenicu da je riječ o konkavnoj površini, dobiva se da je rješenje 2rx(0), uz:

Uvrštavajući izraz za optimalni filtar dobiva se minimalna srednja kvadratna pogreška (MMSE):

Gornji izraz govori da ako ne postoji korelacija između promatranog signala i podataka, tada je pogreška jednaka varijanci promatranog signala.

dxxo pRw 1−=

0)()()0( 2 >== xx mxmxEr σ

xdxTdxd

oTxdd pRpwpJ 122

min−−=−= σσ

Primjer u MatlabuPotrebno je naći optimalne filterske koeficijente w0 i w1

Wienerovog filtera, koji aproksimira nepoznati sustav s koeficijentima b0=1 i b1=0,38.

Primjer, MatlabPrvo se save-a funkcija:function [r]=sssamplebiasdautoc(x,lg);N=length(x);for m=1:lg

for n=1:N+1-mxs(m,n)=x(n-1+m);

end; endr1=xs*x';r=r1'./NOnda se ona primjenjuje:v=0.5*(rand(1,20)-0.5); x=randn(1,20);sysout=filter([1.00

0.38],1,x);dn=sysout+v; rx=sssamplebiasdautoc(x,2);Rx=toeplitz(rx); pdx=xcorr(x,dn,'biased')p=pdx(1,19:20); w=inv(Rx)*p';dnc=sssamplebiasdautoc(dn,1); jmin=dnc-p*w

Primjer identifikacije sustavaWienerov filter može se koristiti za procjenu nepoznatih koeficijenata impulsnog

odziva FIR sustava. Neka je impulsni odziv sustava h= [0,9 0,6 0,2]T. Matrica Rx je dijagonalna s vrijednošću elemenata σx

2. Ciljani odziv nepoznatog filtera je d(n)=0,9x(n)+0,6x(n-1)+0,2x(n-2). Stoga su međukorelacijski izlazi dati s:

[ ]

( ) ( )

[ ]

[ ]

04,0)6,09,0(21,1:

21,104,036,081,0)2(2,0)1(6,0)(9,0)()(

:6,09,0

1001

6,09,0

1

6,09,0

6,09,0

1001

6,0)1(

9,0)0(

)2(2,0)1(6,0)(9,0)()2(2,0)()1(6,0)()(9,0

)()2(2,0)1(6,0)(9,0)()()(

22min

22

2min

2

12121

2

2

=+−=

=++=−+−+==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

=

=

−+−+==−−+−−+−=

=−−+−+=−=

−−−

Jslijedi

nxnxnxEndndE

jeKako

J

uz

pRw

p

p

xriririnxnxEinxnxEinxnxE

inxnxnxnxEinxndEip

d

d

x

xxdxxo

xdx

xdx

xxx

dx

σ

σ

σ

σσ

σ

σ

65

Primjer identifikacije sustavaPrvo se save-a funkcija:function [w,jm]=sswienerfirfilter(x,d,M);pdx=xcorr(d,x,'biased');p=pdx(1,(length(pdx)+1)/2:((length(pdx)+1)/2)+M-1);rx=sssamplebiasdautoc(x,M);R=toeplitz(rx);w=inv(R)*p';jm=var(d)-p*w;

Primjer primjene: x=rand(1,256);d=filter([1 0.8 0.24],1,x);[w,jm]=sswienerfirfilter(x,d,6);

Stacionarni i nestacionarni signali• FT identificira sve spektralne komponente iz signala,

ali ne pruža informaciju o vremenskom pozicioniranju (engl. temporal localization) tih komponenti. Zašto?

• Stacionarni signal sastoji se od spektralnih komponenti koje se ne mijenjaju u vremenu:– Sve spektralne komponente postoje u svim vremenima– Nema potrebe za vremenskom informacijom– FT funkcionira dobro za stacionarne signale

• Međutim, nestacionarni signali sastoje se od vremenski promjenjivih spekralnih komponenti.– Kako nalazimo koja se spektralna komponenta kada

pojavljuje?– FT pruža samo informaciju koje spektralne

komponente postoje , ne i gdje se nalaze u vremenu.– Potrebno je na neki drugi način odrediti vremensku

poziciju spektralnih komponenti

PRISJETIMO SE

• Spektralne karakteristike stacionarnih signala ne mijenjaju se svremenom

• Nestacionarni signali imaju vremenski promjenjiv spektar

)502cos()252cos(

)52cos()(4

tt

ttx

⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅=

πππ

][)( 3215 xxxtx ⊕⊕=

⊕ Concatenation

Stacionarni i nestacionarni signaliPRISJETIMO SE

Nestacionarni signali

5 Hz 20 Hz 50 Hz

Savršena spoznaja o frekvencijama koje postoje,Ali nikakva informacija otome gdje se one pojavljujuU vremenu

PRISJETIMO SE

66

Nedostaci FT

• Kompleksne eksponencijale protežu se u beskonačnost u vremenu– One analiziraju signal globalno, a ne lokalno– Stoga FT može reći samo koje frekvencije

postoje, ali ne i kada,– Da bi dobili vremensku određenost (poziciju,

lokaliziranost) tih spektralnih komponenti, signal se mora promatrati lokalno.

– KAKO?

PRISJETIMO SE

Istovremeno frekvencijsko i grupno kašnjenje

• Frekvencija: definira se brzina promjene faze

• Dualnost grupnog kašnjenja definira se kao brzina promjene faznog spektra

)(21)( tx

dtdtfx ∠=

π

)(2

1)( fXdfdftx ∠

−=

π

Frekvencija kaoFunkcija vremena

Vrijeme kao Funkcija frekvencije

Što nije uredu s ovim veličinama???

Fourierova Transformacija u kratkom vremenu (STFT)

1. Izaberi prozorsku funkciju konačne duljine2. Postavi prozor na vrh (početak) signala u t=03. Rastavite signal koristeći taj prozor4. Izračunajte FT rastavljenog signala, sačuvaj (spremi).5. Pomakni prozor nadesno za mali korak6. Idi na korak 3, sve dok prozor ne dođe do kraja signala• Za svaku vremensku lokaciju gdje je prozor centriran, dobiju se

različite FT– Kako svaki FT pruža spektralnu informaciju vremenski

odvojenog dijela signala, dobiva se istovremena i vremenska i frekvecnijska informacija

STFT

67

STFT

[ ]∫ −⋅′−⋅=′t

tjx dtettWtxtSTFT ωω ω )()(),(

STFT signala x(t):Proračunata za svaki prozor centriran na t = t’

Vremenskiparametar

Frekvencijskiparametar

Signal kojise analizira

Prozorskafunkcija

Prozorska funkcija centrirana u t = t’

FT kernel(bazna funkcija)

0 100 200 300-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 100 200 300-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 100 200 300-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 100 200 300-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Prozorskasinusoidadopuštada se FT-uizračuna uz podrškuprozorske funkcija

STFT u radu

STFT• STFT pruža vremensku informaciju proračunom različitih FT-

ova za različite vremenske intervale i onda stavljajući ihzajedno– Vremensko-frekvencijski prikaz (TFR)– Mapira se 1-D vremenski signal u 2-D TFR signal

• Vremenski intervali signala dobivaju se rastavom signala upotrebom prozorske funkcije koja se kliže niz vremensku os

• Kako izabrati prozorsku funkciju?– Koji oblik? Pravokutnik, Gaussian, Eliptički…?– Kako širok?

• Širi prozor znači manje vremenski koraka mala vremenska rezolucija

• Prozor bi trebao biti dovoljno uzak da omogući da dio signala u njemu bude stacionarnog karaktera

• Možemo li izabrati proizvoljno širok prozor…?

Izbor STFT prozora

2 su ekstremna slučaja:• W(t) je beskonačno duga:

STFT se pretvara u klasični FT, pružajući izvrsnu frekvencijsku informaciju (dobra frekvencijska rezolucija), ali nikakvu vremensku

• W(t) je beskonačno kratak:

STFT daje nazad vremenski signal s pomakom u fazi. Izvrsna vremenska informacija (dobra vremenska rezolucija), ali nikakva frekvencijska

Širok prozor za analizu loša vremenska različivost, dobra frekvencijska razlučivost

Uzak prozor za analizu dobra vremenska razlučivost, loša frekvencijskaJednom kad je prozor odabran, rezolucija je postavljena i za frekvenciju i za

vrijeme.

[ ]∫ −⋅′−⋅=′t

tjx dtettWtxtSTFT ωω ω )()(),(

1)( =tW

)()( ttW δ=[ ] tj

t

tjx etxdtetttxtSTFT ′−− ⋅′=⋅′−⋅=′ ∫ ωωω δω )()()(),(

68

Heisenbergovo načelo

π41

≥Δ⋅Δ ft

Vremenska razlučivost:Koliko dobro se mogu odvojiti 2 šiljka u vremenu u transformiranoj domeni

Frekvencijska razlučivost:Koliko dobro se 2 spektralne komponente mogu odvojiti u transformiranoj domeni

Obje razlučivosti (t i f) ne mogu biti proizvoljno velike!!!Nemožemo precizno znati vrijeme kad se pojavljuje frekvencijska komponenta.Može se samo znati interval frekvencija koje se prisutne u nekom vremenskomintervalu!

To znači da se mora trgovati između f i t, jer je njihov umnožak ograničen s donjom granicom.

Prisjetimo se STFT (VREMENSKI-OGRANIČENA FOURIER-ova TANSFORMACIJA)

….. …..

time

Am

plitu

deFr

eque

ncy …..…..

t0 t1 tk tk+1 tn

Svojstva STFT

• Linearnost• Kompleksnih vrijednosti• Vremenski invarijantna• Vremenski pomak• Frekvencijski pomak• Mnoga druga svojstva FT također vrijede.

Alternativni prikaz STFT

ωωωωω ω

ω

ωγ

ππγ

deXetSTFT

dfefffXeftSTFT

tjtjx

ftj

f

tfjx

∫

∫

−Γ=

−Γ=

−

−

)~()()~,(

)~()()~,(

*~)(

2*~2)(

STFT : Inverzna FT prozorskog spektra, s pomakom u fazi

)~()( * fffX −Γ

69

Filtarska Interpretacija STFT

ftj

ftj

f

ettxfffX

dfefffXfffXF

π

π

γ 2*

2**1

)()()~()(

)~()()~()(

−∗⇔−Γ

−Γ=−Γ ∫−

X(t) prolazi kroz pojasno-propusni filtar s centralnom frekvencijomΓ(f) sam po sebi je niskopropusni filtar.

f~

x(t) ftjet πγ 2)(−∗ X

ftje π2−

),()( ftSTFTxγ

x(t) )( t−∗γ ),()( ftSTFTxγ

X

ftje π2−

Rezolucijska pitanja

time

Am

plitu

deFr

eque

ncy

τk

Svi atributi signala locirani unutar lokalnog prozorskog intervala oko “t” će se pojaviti u “t” u STFT

)( kt τγ −

τn

)( kt τγ −

Vremesnko-frekvecnijska rezolucija

Vrijeme

Frek

venc

ija

Vremensko-frekvencijsko proširenje signala kod STFT sinteze

∫∫ −⋅=f

tfjx fddetgfSTFTtx

~

~2)( ~)()~,()(τ

πγ τττ

Prozor za sintezu

Bazna funkcija

Koeficijenti(težine)

Sintetiziran signal

• Svaka (2D) točka u STFT ravnini prikazuje koliko točka (t,f) doprinosi signalu. • Tipično, prozori za analizu i sintezu bivaju identični.

∫ =1)(*)( dtttg γ

70

300 Hz 200 Hz 100Hz 50Hz

Primjer STFT

2/2

)( atet −=γ

a=0.01

STFT - PRIMJER

a=0.001

a=0.0001

STFT - PRIMJER

a=0.00001

Primjer STFT

71

Primjer STFTU ovom signalu su 4 frekvencijske komponente. Interval od

0 do 250 ms je jednostavna sinusoida od 300 Hz, a idućih 250 ms postoje sinusoide na 200, 100 i 50 Hz. To je očito nestacionarni signal.

GaborSTFT je klasični postupka vremensko-frekvencijske

analize.

Prozor za anlizu y*(t - T) guši z(t) izvan određenih područja i FT daje lokalni spektar. Tipično, obično se izabire realni prozor, koji se može promatrati kao impulsni odziv niskog propusta. Međutim, ponekad se upotrebljavaju i kompleksne vrijednosti.

Ako se izabere Gausova funkcija za prozorsku, govori se oGaborovoj transformaciji, jer ju je Gabor uveo u STFT.

Valićna transformacija (engl. Wavelet Transform)

• Prevladava ugrađene rezolucijske probleme STFT-a upotrebom promjenjivog prozora

• Prozori za analizu različitih duljina koriste se za različite frekvencije:– Analiza visokih frekvencija Koriste se uži prozori

zbog bolje vremenske razlučivosti– Analiza niskih frekvencija Koriste se širi prozori

zbog bolje frekvencijske razlučivosti• Ovo dobro funkcionira ako se signal uglavnom sastoji od

sporo varirajućih karakteristika s povremenim kratkim visokofrekvencijskim šiljcima.

• Heisenbergovo načelo i dalje važi!!!• Funkcija korištena za prozor naziva se valićem.

Valićna transformacija

( )∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Ψ= ∗

txx dt

sttx

sssCWT τψττ ψψ 1),(),(

Kontinuirana WT signala x(t) upotrebom analizirajućeg valića ψ(.)

Translacijski parametar, mjera vremena

Parametar skale, mjera frekvencije

“Mother wavelet” (osnovni valić). Svi kerneli se dobijaju translatiranjem (pomakom, shift) i/ili skaliranjem (scaling) ovog valića

Normalizacijska konstanta Signal za

analizu

Skala = 1/frekvencija

72

Skala i translacija• Translacija vremenski pomak• f(t) f(at) a>0

– Ako je 0<a<1 dilatacija, širenje niže frekvencija– Ako je a>1 kontrakcija, suženje viša frekvencija

• f(t) f(t/a) a>0– Ako je 0<a<1 kontrakcija niža skala (veća

frekvencija)– If a>1 širenje velika skala (niža frekvencija)

• Skala Slično značenju skale u kartama– Velika skala: Široki pregled, dugoročno ponašanje– Mala skala: Detaljni pogled, lokalno ponašanje

WT u raduVisoka frekvencija (mala skala)

Niska frekvencija (velika skala)

WT u radu Osnovna valićna funkcija• Kernelske funkcije koje se koriste u WT se dobivaju iz

prototipne funkcije s pomoću skaliranja i translatiranja te funkcije.

a1

)(1)(, abt

atba

−= ψψ

Parametar skale

Translacijskiparametar

)()(0,1 tt ψψ =

Normalizacijski faktor kako bi se osiguraloDa svi valići imaju istu energiju

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

== dttdttdttba22

)0,1(

2

),( )()()( ψψψ

73

Proračun WT

)1( NbW −

)5( NbW −

time

Am

plitu

de

b0

)1( 0bW −

bN

time

Am

plitu

de

b0

)5( 0bW −

bN

time

Am

plitu

de

b0

)10( 0bW −

bN

)10( NbW −

time

Am

plitu

de

b0

)25( 0bW −

bN

)25( NbW −

∫∞

∞−

∗ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅== dta

bttxa

baWbaCWTx ψψ )(1),(),()(

WT kao korelacija

Među-korelacija:

onda je:

W(a,b) je među-korelacija signala x(t) i osnovnog valića na skali a, i pomaku b. Ako je x(t) slična osnovnom valiću s tim a i b, onda je W(a,b) velik.

∫ ∗>=< dttgtftgtf )()()(),( >=< )(),(),( , ttxbaW baψ

>−=<

−⋅= ∫ ∗

)(),(

)()()(

τ

ττ

tytx

dttytxRxy

)(

)(),(),(

,,

0,

bR

bttxbaW

oax

a

ψ

ψ

=

>−=<

Filtarska interpretacija WT• Za dani sustav h[n], y[n]=x[n]*h[n]

• Primjetite da je:• Interpretacija: Za bilo koju skalu a (frekvencija ~ 1/a),

W(a,b) je izlaz iz filtera s impulsnim odzivom na ulaz x(b), npr., ako imamo kontinuum filtara, parametriziranih po faktoru skale a.

∫ −=

=

τττ dthx

thtxty

)()(

)(*)()(

)(*)(),( 0, bbxbaW a −= ∗ψ

)(0, ba −∗ψ

Izgled nekih valića• Mexican Hat

Wavelet• Haar Wavelet• Morlet Wavelet

74

Filteriranje konstantnog Q• Specijalno svojstvo filtara definiranih s osnovnim

valićem je da se nazivaju filteri konstatnog Q.

• Q faktor:

• Primjećuje se da su filteri definirani osnovnim valićem takvi da povećavaju širinu pojasa kada se skala smanjuje (centralna frekvencija se povećava)

pojasaširinaafrekvencijsredišnja

w (rad/s)

Konstantni Q

f0 2f0 4f0 8f0

B 2B 4B 8B

B B B B BB

f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f0

STFT

CW

T

BfQ =

WT

∫ ∫∞

−∞=

∞

−∞=

⋅=a b

ba dadbtbaWaC

tx )(),(11)( ,2 ψ ωωω

dC ∫∞

∞−

Ψ=

)(

Omogućuju da je: ∫∞

∞−

= 0)( dttψ

Povećanje WT:

Neka svojstva:- linearnost- translacija- skala- Valićni pomak- Valićno skaliranje- Linearna kombinacija valića

Example

75

Example Diskretzacija vremenskih i skalirajućih parametara

• PITANJE: Može li se diskretizirati osnovna valićna funkcija ψa,b(t) na takav način da ima konačan broj takvih diskretnih valića koji još uvijek mogu tvoriti ortonormalnu bazu kao i kontinuirani? Ako da, kako često trebamo uzorkovati translacijske i skalirajuće parametre da bi mogli rekonstruirati signal?

• ODGOVOR: Da, ali to ovisi o izboru valića!Nemoramo koristiti uniformno uzorkovanje za translacijske parametre pošto ne trebamo tako visoko vremensko uzorkovanje kad je skala visoka (niska frekvencija) i obrnuto.

Diadička rešetka – uzorkovanje za DWT

log a

b gdje je a uzorkovan na log skali i b na visokim brzinamauzorkovanja kad je a malenl,tj.,

gdje su a0 i b0 konstantei j,k cijeli brojevi.

00

0

bakb

aaj

j

⋅⋅=

=

Što ako uzorkovanje nije konstantno?

• LWT u polifaznom prikazu – može se pogledati u Matlab help-u.

• Wignerova distribucija

Wignerova distribucija je alat za vremensko-frekvencijsku analizu, koji je dobio na važnosti zbog neobičnih svojstava.

Wigner je tu distribuciju koristion za opis fenomena u kvantnoj mehanici, a tek je kasnije uvedena u analizu signala.

76

JEDNOSTAVNI POSTUPCI SAŽIMANJAPODATAKA S GUBICIMA

a = [1 0.5 0.1 0.01 0.0005]Sažimanje dodjeljivanjem praga:prag = 0.2ap = [1 0.5 0 0 0]ap_sažeto = [1 0.5] pamte se 2 od 5 članova. Potreban je i podatak o veličini a.Sažimanje poduzorkovanjem:ap = [1 0 0.1 0 0.0005]ap_sažeto = [1 0.1 0.0005] ILI ap_sažeto = [0.5 0.01]Potrebno je aproksimirati članove koji su izgubljeni, npr. linearno - trend rasta ili pada koeficijenata (kao u radu).Na oba se načina gubi dio podataka. Sažimanje može biti i bez gubitaka (npr. tif kod slika). Naprednije sažimanje: mp3, mpeg, jpg, avi, divx, ...itd. Neki se temelje na ljudskoj vidnoj percepciji: bitni pokretni djelovi se kodiraju s više podataka (koeficijenata, memorijskog prostora), a manje bitni, kao pozadina i statički elementi scene, na manje memorijskog prostora.

OBRADBA SLIKE- Nije jednodimenzionalni proces! Slika je matrica!!!- Diskretni je signal, jer uvijek ima najmanji djelić slike –

piksel, koji je diskretni element!- Osim analize položaja slike, treba voditi računa i o

intenzitetu piksela te o drugim karakteristikama, kao npr. boja.

- 2D obradba signala (može biti slika, ali ne mora!) posjeduje mnogo specifičnih geometrijskih i topoloških problema koji ne postoje u 1D. Npr. koncept kauzalnosti nije dobro definiran u 2D. Izbjegavamo složenost unešenu drugom dimenzijom tako što proširujemo 1D algoritme s pomoću odvojenih pristupa dimenzijama.

OTKRIVANJE KRETNJI –PRIMJER ANALIZE SLIKE

• Otkrivanje kretnje:- u kojoj slici se kretnja događa?- u kojem područje slike se nalazi?Ovdje se razmatra nepomična scena u kojoj dolazi do kretnji (nadzorne aplikacije ili robot-izviđač).

OTKRIVANJE SLIKE U KOJOJ JE KRETNJA

Brzina izvršavanja je 2,59 fps on-line (to je presporo za moje primjene, pa treba nekako ubrzati). Algoritam:

1. Uhvati slike (2 u svakom koraku)2. Radi korelaciju na sivoj slici

(prethodno je rgb2gray)3. Ako je rezultat korelacije veći od

praga, znači da postoji kretnja. Ta slika se memorira u datoteci, a u txt se upisuje u koje vrijeme u kojoj slici je došlo do kretnje

4. Ponavlja gornje korake.Ispis log.txt:MOTION WAS DETECTED AT 30-Aug-

2007 19:55:38 in frame number 00003

100 200 300 400 500 600 700

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

100 200 300 400 500 600 700

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

77

OTKRIVANJE SLIKE U KOJOJ JE KRETNJA

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

Kretnja snimljena brzinom 15 fps Kretnja snimljena brzinom 19.5 fps

Log-datoteka:MOTION WAS DETECTED AT 11-Dec-2007 22:41:26 in frame number 00003

• U Matlabu se može otkrivati i snimati kretnja u realnom vremenu.

• S prethodnim algoritmima se ništa ne radi u slici, što znači da stroj (računalo, robot) ne “razumije” sliku. Naime, računalo radi s “1” i “0” i sve napredne funkcije se svode na to. U biti treba dobiti binarnu sliku ili labelirati objekte u slici brojevima, a sačuvati izvornu za čovjeka.

• Stoga treba nekako predstaviti tu kretnju u računlno-prihvatljivom obliku. Prvi korak u tome je “segmentacija kretnje”, tj. označavanje piksela u kojima se kretnja ne događa kao “0”, a ostali mogu biti ili izvorni ili “1”.

OTKRIVANJE SLIKE U KOJOJ JE KRETNJA

OTKRIVANJE KRETNJE RAZLIKOM SLIKA:

a) Oduzimanje trenutne i referentne slike% Off-line: 33,2 fps-49,42 On-line: 15 fps1. učitavanje snimljenog filma2. učitavanje referentne slike3. učitavanje trenutne slike4. Računanje apsolutne razlike trenutne i referentne slike

(kao što se vidi iz slika bitan je redosljed oduzimanja)Može se koristiti za uint8 tip podataka razlika =imabsdiff(a,b), jer se na Intel procesorima brže izvšava.

5. Crtanje razlike6. Ponavljanje 3-5.

OTKRIVANJE KRETNJE RAZLIKOM SLIKA:

a) Oduzimanje trenutne i referentne slike

100 200 300 400 500 600 700

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

100 200 300 400 500 600 700

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

b-aa-b

78

OTKRIVANJE KRETNJE RAZLIKOM SLIKA:

a) Oduzimanje trenutne i referentne slike

100 200 300 400 500 600 700

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

Primjer on-line oduzimanja referentne i trenutne slike (15 fps).

OTKRIVANJE KRETNJE RAZLIKOM SLIKA:

b) Oduzimanje susjednih slika

1. Učita se snimljen film (ili on-line uhvati slika)2. a = 1.slika3. b = uhavati se ili učita sljedeća slika 4. računa se apsolutna razlika između a i b slike5. crta se razlika6. a = b7. Ponavlja se 3 – 6.Off-line: 24 – 48 fps, a on-line: 14,8 fps.

OTKRIVANJE KRETNJE RAZLIKOM SLIKA:

b) Oduzimanje susjednih slika

100 200 300 400 500 600 700

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

Primjer off-line Primjer on-line100 200 300 400 500 600 700

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

Rubovi kretnjeLogično bi bilo da se razlika slika može očistiti pragom. U

idealnom slučaju bi ostala samo kretnja. Naravno, u praksi je to problematično. Drugi način određivanja područja kretnji je s pomoću detektora rubova.

Iscrtavanje praga:1. Učita se snimljeni film ili aktivira video-ulaz.2. Učita se trenutna slika. S pragom se dobija crno-bijela slika.3. Iscrtava se trenutna crno-bijela slika4. Ponavlja se 2-3.Brzina ovog algoritma je : oko 30 fps off-line.

100 200 300 400 500 600 700

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

Primjena praga

79

Rubovi kretnjeJednostavni algoritam za određivanje rubova kretnje:1. Učita se snimljeni film ili aktivira video-ulaz.2. Hvata se ili učitava prva slika. S pragom se dobija crno-

bijela reprezentacija slike.3. Učita se trenutna slika. S pragom se dobija crno-bijela slika.4. Računa se razlika prve i trenutne slike.5. Koristeći Sobelov detektor rubova iscrtava se slika rubova kretnje.6. Ponavlja se 3-5.Brzina ovog algortima je: 4,23 fps off-line. Sobel

Razdvajanje pozadine od pokretnih piksela

Algoritam:1. Učita se slika referentna

slika i izračuna WT.2. Učita se slika za analizu i

računa WT. 3. Računa se korelacija

između trenutne i referentne slike.

4. Ako je pređen prag korelacije računa se prag pozadine iz svojstava RGB prostora boja u valićnoj aproksimaciji.

5. Prikazuje se foreground.6. Ponavlja se 2-5.

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

CA CH CV CD

288x360*4slike=414720 (3x manje od gornje razine)

100 200 300 400 500 600 700

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

Izvor: 576x720x3=1244160 podataka

NF VF

200 400 600 800 1000 1200 1400

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

Superrezolucija:Izvor = aproksimacijaDetalji =0 ili šum

1150x1438x3 podataka

Primjer implementacije filtara: VALIĆNA ANALIZA NA PRIMJERU SLIKA (DWT2)