Click here to load reader

Obrtna Tela

  • View
    55

  • Download
    8

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Lopta, valjak, kupa i ostala obrtna tela.

Text of Obrtna Tela

Univerzitet u BeograduMatematiki fakultetSeminarski rad iz Metodike nastave matematike2Tema: Obrtna telaStudentProfesor Jelena Vlajkovi 5!"# dr$%oran &uiBeograd 2""'2$ ( S ) ( V ) * P ( J M ( V *(+rtna ,ovr- je ,ovr- koju o+razuje jedna linija .,rava/ kriva/ izlomljena0 koja se rotira oko jedne stalne ,rave$ &inija koja izvodi kretanje naziva se izvodni1a ili generatrisa/ a stalna ,rava osa rota1ije$Svakataka MgeneratriseM)Pu toku kretanja o,isujekrugija je ravan normalna na osu rota1ije 23/ a iji 1entar ( le4i na toj osi .sl 0$(datlesledi dasusvi ,rese1i o+rtne,ovr-i saravnimanormalnimnaosurota1ijekrugovi5 M

MM2/ )

))2/ P

PP2$ Ti krugovi se nazivaju ,aralele o+rtne ,ovr-i$Prese1i o+rtne,ovr-i saravnimakoje,rolazekrozosurota1ijexyjesumeridijani te,ovr-5 M

)

P

/ M2)2P2$Svakakrivatrasirananao+rtnoj ,ovr-i/ mo4e seuzeti zanjenugeneratrisu$ Me6utim/ za generatrisu se naje-e uzima jedan od meridijana o+rtne ,ovr-i$Telo ogranieno jednom obrtnom povri, ili delom obrtne povri i ravnima normalnim na osurotacije, naziva se obrtno ili rotaciono telo.$$ V7&J78Povr- o+razovana kretanjem ,rave koja ostaje stalno ,aralelna samoj se+i naziva se cilindrina povr$Sl. 1ySl. 29%akon kretanja ,rave/ tj$ generatrise mo4e se odrediti tako -to se uzima da ona u toku kretanja stalno see jednu krivu/ tzv$ vodilju ili direktrisu$ Vodilja 1ilindrine ,ovr-i mo4e da +ude ,rosta ilislo4ena$ :ilindrinu ,ovr- kojoj je vodilja ,rosta linija i nigde ne see samu se+e nazivamo ,rostom$U ,rotivnom sluaju/ 1ilindrinu ,ovr- nazivamo slo4enom$ 7ko je vodilja 1ilindrine ,ovr-i otvorena linija odgovarajuu 1ilindrinu ,ovr- nazivamo otvorenom; u ,rotivnom 1ilindrinu ,ovr- nazivamo zatvorenom .sl 20$7ko se za direktrisu 1ilindrine ,ovr-i uzme krug ija je ravan normalna na generatrisu/ do+ija se prava kruna cilindrina povr$ 7ko ta ravan nije normalna na generatrisu do+ija se kosa kruna cilindrina povr$Prava kru4na 1ilindrina ,ovr- je o+rtna ,ovr- ija je osa rota1ije normalna na ravni kruga i,rolazi kroz njegov 1entar$8ada se ,rava kru4na 1ilindrina ,ovr- ,resee dvema ravnima normalnim na osu rota1ije/ onda o+e ravni i o+rtna 1ilindrina ,ovr- ograniavaju telo koje se naziva pravi kruni valjak ili samo pravivaljak .sl 90$8ada se kosa kru4na 1ilindrina ,ovr- ,resee dvema ravnima/ ,aralelnim sa ravnima direktrise/ do+ija se kosi kruni valjak$Pravi valjak mo4e ,ostati i rotiranjem ,ravougaonika 7B:/ je visina valjka$*z naina ,ostanka ,ravog valjka ne,osredno sleduje5 a0 Prese1i ,ravog valjka sa ravnima normalnimna osu su ,odudarni krugovi$+0 Presek ,ravog valjka sa ravni koja ,rolazi kroz njegovu osu je ,ravougaonik ije su dve strani1e generatrise valjka/ a ostale dve ,reni1i osnova$ v0 Presek ,ravog valjka sa ravni koja je ,aralelna njegovoj osi je ,ravougaonik ije su dve strani1e generatrise/ a ostale dve tetive osnova .sl$#0$?avan ,aralelna osi ,ravog valjka/ ije je rastojanje od ose jednako ,olu,reniku osnove/ sadr4ijednu generatrisu valjka i sa 1ilindrinom ,ovr-i nema drugi> zajedniki> taaka$ Ta ravan se naziva dodirna ili tangentna ravan ,ravog valjka .sl #0$Sl. 3Sl. 4# jedna taka na ,ravoj/ koja je normalna na ravan kruga i ,rolazi kroz njegov 1entar/ do+ija se prava kruna konusna povr$ 7ko vr> le4i na ,ravoj koja nije normalna na ravni kruga a ,rolazi kroz 1entar/ do+ija se kosa kruna konusna povr .sl A0$ Prava kru4na konusna ,ovr- je o+rtna ,ovr- ija osa rota1ije s,aja vr> i 1entar kruga$ 7ko se ,rava kru4na konusna ,ovr- ,resee jednom ravni normalnoj na osu/ onda ta ravan i deo kru4ne konusne ,ovr-i o+razuju jedno o+rtno telo koje se naziva prava kruna kupaili samo prava kupa$ Prava ku,a mo4e ,ostati i rotiranjem ,ravouglog trougla 7B: oko jedne katete/ n,r$ 7B$ 8ateta 7B u tom sluaju le4i na osi ku,e/ njena du4ina je visina ku,e/ 7B=>/ a krug koji o+isuje kateta 7: je osnova ili baza ku,e .sl '0$Sl. 5Sl. 6Sl. 75 8adasekosakru4nakonusna,ovr-,reseejednomravni/ kojaje ,aralelna sa ravni direktrise/ do+ija se kosa kruna kupa$ (so+ine neki> od ,reseka ,rave ku,e sa ravni ne,osredno ,roizilaze iz naina ,ostanka ku,e5a0 Presek ,rave ku,e i ravni normalne njenoj osi je krug$ +0Presek,raveku,eiravnikoja,rolazikroznjenuosujejednakokraki trougaoiji sukra1i generatrise a osnovi1a ,renik osnove ku,e$ v0 7ko se ,rava ku,a ,resee jednom ravni koja ,rolazi kroz vr> ku,e i dve generatrise/ ,resek je jednakokraki trougao iji su kra1i te generatrise/ a osnovi1a tetive osnove ku,e$ ?avan koja ,rolazi kroz generatrisu ,rave ku,e/ a normalna je na ravan osnog ,reseka u kome se nalazi ta generatrisa/ sa konusnom ,ovr-i nema drugi> zajedniki> taaka sem taaka te generatrise$Ta ravan se naziva dodirna ili tangentna ravan kupe .sl$90$ i,otenuzu/S(/ i jednakekatete/ (7=(B / (:=$$$ Prema tome/ ovi trouglovi su ,odudarni/ -to znai da je S7=SB=S:$$$/ a to je tre+alo dokazati$8ada se iz ma koje take van sfere ,ovuku sve njene tangente/ do+ija se konusna ,ovr- koja dodiruje sferu/ a naziva se opisana konusna povr$TEOREMA D odirne take svih generatrisa opisane konusne povri lee na jednom krugu sfere.Dokaz D 7ko se u ,odudarnim trouglovima 7(S/ B(S/ :(S/$$$.sl$A0 ,ovuku visine iz temena 7/ B/ :/$$$ na zajedniku strani1u S(/ one seku S( u jednoj istoj taki P$ Po-to je 7P normalna na S(/ ,+ normalna na S(/ :P normalna na S( / to ,rave 7P/ BP/ :P le4e u istoj ravni / koja je normalna na S($ Po-to je 7P=BP=:P ,roizilazi da take 7/ B/ : le4e na krugu sa 1entrom u taki P$$5$ osnova u,isani u krugove koji o+razujuosnovevaljka; ,rizmajeopisanaokovaljkaakosu,oligoni osnova,rizmeo,isani oko krugova/ tj$ osnova valjka$ Pret,ostavlja se da je u datom valjku u,isana ,ravilna ,rizma sa n strani1a$ Bona ,ovr-ina/ ili omota te ,rizme je M

=,nH>/ gde je,no+im njene osnove/ a>visina ,rizme$Pri neogranienom udvajanju +roja osnovni> ivi1a ,rizme njena visina ostaje ne,romenjena/ a o+im ,n te4i svojoj grani1i D o+imu kruga 2r/ gde je r ,olu,renik osnove valjka$ Prematome/ graninavrednost omotaau,isane,rizmeje2r.>i tagraninavrednost ,redstavlja +onu ,ovr-inu/ ili omota valjka5 M = 2r.> &mota valjka je jednak proizvodu obima njegove osnove i visine. Povr-inu valjka sainjava njegov omota i ,ovr-ine osnova5P = 2r.> I 2r2 /ili P= 2r.r I >02$2$ P(V?F*)7 8UPB Piramida je upisana u datu ku,u ako je ,oligon njene osnove u,isan u krug/ tj$ osnovu ku,e/ a vr> se ,okla,a sa vr>om ku,e$ Piramida je opisana oko ku,e ako je ,oligon njene osnove o,isan oko kruga$ %a +onu ,ovr-inu ,rave ku,e/ odnosno za omota kupeuzima se grani1a kojoj te4i +ona ,ovr-inau,isaneili o,isane,ravilne,iramide,ri neogranienomudvajanju+rojanjeni>osnovni> ivi1a$ )a osnovu ove defini1ije nalazi se o+raza1 za omota ku,e$ Bona ,ovr-ina,ravilne ,iramide sa n strani1a/ koja je o,isana oko ku,e/ data je o+ras1em2

s P'n= / gde je Pn o+im njene osnove/ a s du4ina a,oteme .sl$2"0$ Pri neogranienom udvajanju +rojaosnovni>ivi1ao,isane,ravilne,iramide/ njena+ona,ovr-inate4i svojoj grani1i D+onoj,ovr-ini .omotau0 ku,e$ Pri tomdu4ina a,oteme/s/ koja je jednaka generatrisi ku,e/ ostaje neizmenjena/ ao+im Pnnjeneosnovete4i svojoj grani1i Do+imukruga2r/ gdejer,olu,renik osnove ku,e$ Prema tome/ omota ,rave ku,e jes r ' = 22

/ iliM=rsSl. 20J &mota prave kupe jednak je poluproizvodu obima osnove i generatrise. Povr-ina ,rave ku,e sastoji se iz ,ovr-ine omotaa i ,ovr-ine osnove/P=rsIr2, iliP=r.s I r02$9$ P(V?F*)7 %7?UB&JB)B 8UPB (ona povrina #omota" prave zarubljene kupe jeste grani1a kojoj te4e +one ,ovr-ine ,ravilni> zaru+ljeni> ,iramida u,isani> ili o,isani> oko date zaru+ljene ku,e kada se +roj osnovni> ivi1a ti> ,iramidaneogranienoudvaja.sl$20$ )asli1i je,rikazana,rava zaru+ljena ku,a i ,ravilna zaru+ljena ,iramida .sa n strana0/ o,isana oko te zaru+ljene ku,e$ Bona ,ovr-ina ove zaru+ljene ,iramide je( ) s p P 'n n + =2

gde su Pn i ,no+imi osnova ,ravilne zaru+ljene ,iramide/ tj$ o+imi ,ravilni> ,oligona o,isani> oko osnova zaru+ljene ku,e/ as je/ u isto vreme/ generatrisa zaru+ljene ku,e i a,otema jedne +one strane o,isane zaru+ljene ,iramide$ 7ko +roj n neogranieno raste/ onda +one ,ovr-ine zaru+ljeni> ,iramida te4e svojoj grani1i D omotau ,rave zaru+ljene ku,e$ Me6utim/ grani1e o+ima,niPnsuo+imi krugova tj$ osnova zaru+ljene ku,e/ ,a je omota M ,rave zaru+ljene ku,e( ) s r R ' + = 2 22

/ ili M=s.?Ir0/ gde su ? ir ,olu,reni1i osnove$ Povr-ina ,rave zaru+ljene ku,e se sastoji iz ,ovr-ine omotaa i ,ovr-ina o+e osnove5P=s.?Ir0Ir2I?2 P=?2Ir2Is.?Ir02$#$ P(V?F*)7 &(PTB oznaava visinu i ,iramide i ku,e$ 7ko se +roj n neogranieno uveava/ onda Bn te4i ,ovr-ini kruga/ tj$ ,ovr-ini osnove ku,e/ kao svojoj grani1i$ )a osnovu toga za,remina ku,e jeh r - 29

= ,apremina kupe jednaka je tre.ini proizvoda povrine njene osnove i visine.9$9$ %7P?BM*)7 %7?UB&JB)B 8UPB %a,remina zaru+ljene ku,e/ ,rave ili kose/ jednaka je razli1i za,remina dveju ku,a .sl$#0$ )eka je ((

=> i S(

=>

$%a,remina V zaru+ljene ku,e u tom sluaju je ( )

2

29

9

h r h h R - + = *z slinosti trouglova S7( i SM(

do+ija serRhh h=+

/ odakle je r Rhrh=

Smenom ovi> vrednosti u ,ret>odnoj jednaini ,roizilazir Rhrrr Rhrh R - + =2 29

9

/ ili ( )2 29

r Rr R h - + + = #9$#$ %7P?BM*)7 &(PTB tela je( ) 9

(( (* )) )* + $ Po-to su trouglovi 77

B i BB

B slini/ ,roizilazi (((*)))*=a sa slike se vidi)( (* )* = ?e-avanjem ovi> dveju jednaina do+ija se

/(( ))(( )((*(( )))) )()*==$Smenom ovi> o+ras1a u o+ras1u za za,reminu do+ija se5( )977 = V +(( + -tojetre+alodokazati/ jer.77

IBB

0 ,redstavlja+onu,ovr-inuzaru+ljeneku,ekojanastaje rotiranjem osnovi1e 7B oko ose xy$ 90 (sa rota1ije ,aralelna je osnovi1i7Btrougla 7B: .sl$2'0$ U ovom sluaju tra4ena za,remina koji o,isuje strani1a 7B/umanjena za z+ir za,remina ku,a koje

Search related