Zadatak 1

Pravougli trougao sa katetama a i b rotira oko prave koja sadrži teme pravog ugla i paralelna je hipotenuzi.

Izračunati P i V tako nastalog tela.

A

a

b

A1

B B1

C

C1

c

h1

h2

H = c

r

= Vtelar

HVvaljka

Vv.kupe

Vmale kupe

Vvaljka

r

r

h1

h2

Vv.kupe

Vmale kupe

Vvaljka

Vv.kupe

Vmale kupe

poluprečnik ?

POVRŠINA OBRTNOG TELA:

P = MVALJKA + MVELIKE KUPE + M MALE KUPE

P = 2r πH + r πs1 + r πs2

P = π c + π a + π b

P = π ( a + b + c)

a∙b

c

a∙b

c

a∙b

ca∙b

c

ZAPREMINA OBRTNOG TELA:

V = VVALJKA - VVELIKE KUPE - VMALE KUPE

V = r²π H - -

V =

V =

r²πh1

3r²πh2

32r²πH

32a²b²π

3c

a∙b

2

c∙hc

2=P∆= => hc = => r =

a∙b

c

a∙b

c

Zadatak 2

Kvadrat stranice a=18cm obrće se oko prave koja se nalazi u ravni kvadrata, prolazi kroz jedno njegovo teme i paralelna je sa dijagonalom koja ne prolazi kroz to teme.

Izračunati P i V dobijenog obrtnog tela.

A

A1

B B1

D D1

C C1

AC = r1 , DD1 = r2 2

POVRŠINA OBRTNOG TELA:

P = 2 M ZARUBLJENE KUPE + 2 M KUPE

P = 2 ( r1 + r2 )π∙a + 2r1π∙a

P = 2∙27√2 ∙18π + 2∙9√2 ∙18π

P = 1296√2∙π

ZAPREMINA OBRTNOG TELA:

V = 2 V ZARUBLJENE KUPE - 2 V KUPE

V = 2∙ π∙r1 ( r1² + r1r2 + r2² ) - 2∙ r1²π∙r1

V = 6√2π ( 162 + 324 + 648 ) - 6√2π∙162

V = 5832√2π

1

2

1

2

Zadatak 3

Pravilan šestougao površine 24 3 cm2 rotira oko jedne stranice.

Izračunati P i V dobijenog tela.

A

A1

B B1

D D1

CC1

E E1

F

F1

Stranica šestougla ?

24√3 = 6a²√3

4

=> a = 4

ZAPREMINA OBRTNOG TELA:

V = VVALJKA + 2VZARUBLJENE KUPE – 2VKUPE

V = (2r)²π∙a + 2∙ a ∙ π( (2r)² + 2r∙r + r² ) – 2r² π∙ a

V = 6r²π∙a = 228π

22 3 3

POVRŠINA OBRTNOG TELA:

P = MVALJKA +2Mzarubljene KUPE+2M KUPE

P = 2∙2rπ∙a + 2(2r + r)π∙a + 2rπ∙a

P = 6a²√3 π = 96√3π

Zadatak 4

Dijagonale trapeza su normalne na njegove krake.

Izračunati P i V tela koje nastaje rotacijom trapeza oko jednog kraka ako su osnovice 3cm i 5cm

a

y x

c

b

hd

POVRŠINA OBRTNOG TELA:

P = M VELIKE KUPE + MZARUBLJENE KUPE + MMALE KUPE

P = r1πa + r2πb + (r1+r2) π*s

P = ( 68√5 +16 )π

5

5

r1 = d = 2 √5H1 = c = √5s = c = √5

Zadatak 5

Romb čije su dijagonale 7cm i 24cm rotira oko visine koja prolazi kroz centar romba.

Izračunati P i V tako nastalog tela.

AA1

BB1

D D1

C C1

E E1

POVRŠINA OBRTNOG TELA:

P = 2B + 2M

P = 487,5458π

ZAPREMINA OBRTNOG TELA:

V = 2VZARUBLJENE KUPE

V = 546,05π

Test zadatak

Jednakokraki trougao čiji je krak b=2, a ugao između krakova α=30, rotira oko tangente kruga opisanog oko trougla, pri čemu je tangenta paralelna visini osnovice.

Izračunati zapreminu V tako nastalog tela.

V = 8π cos15o

DOMAĆI ZADATAK:DOMAĆI ZADATAK:

1. Jednakostranični trougao stranice 6 cm rotira oko prave koja sadrži jedno teme trougla i paralelna je :

a) naspramnoj stranici

b) visini iz drugog temena trougla.

Izračunati P i V tako dobijenog tela.

2. Pravougli trougao sa katetama 15 i 20 cm rotira oko prave

normalne na hipotenuzu koja prolazi kroz teme većeg oštrog

ugla. Izračunati P i V tako dobijenog tela.