1. Definicija i geometrijsko znaenje prvog izvoda.
Definicija. Ako postoji kaemo da je funkcija diferencijabilna u
taki (odnosno da ima izvod u ). Izvod funkcije u oznaavamo sa
.Piemo jo i . Dakle, za malo (ovdje je oznaka za priblinu
vrijednost).
Geometrijski gledajui, prvi izvod funkcije u taki (dakle, )
jednak je koeficijentu pravca tangente na krivu y=f(x) u taki .
Prvi izvod nam odreuje smjer promjene funkcije. Ako je , tu je
promjena pozitivna (sa rastom x-a raste i y), a ako je , tu je
promjena negativna (s rastom x-a y opada).Proces nalaenja izvoda
zovemo diferenciranjem. Izvod funkcije y=f(x) u taki x jednak je
tangensu ugla koji obrazuje tangenta na grafik funkcije u taki
M(x,y) sa pozitivnim smjerom x-ose.
2. Tangenta i normala krivePosmatrajmo grafik neprekidne
funkcije y=f(x) u intervalu (a,b). Prava AB, gdje su A i B take
grafika,naziva se sjeicom krive,odreenom takama A i B. Pustimo sada
da se taka B kree po krivoj i tei da se poklopi sa takom A. Sjeica
AB pri tome mijenja poloaj te sjeice kad taka B tei taki A, tada se
prava koja zauzima taj granini poloaj naziva tangentom krivey=f(x)
u taki A.Tangenta u taki A je odreena uglom koji osa zaklapa sa
pozitivnim smjerom x-ose.(ona se mjeri u pozitivnom
smjeru).Predpos.da je /2. Oznaimo koordinatne take A sa (x,y), a
take B sa (x+x,y+y). Pri tom je y=f(x+x)-f(x). Koeficijent pravca
tg sjeice AB je: , pa je koeficijent pravca tg tangente krive u
taki A dat izrazom: Kako je normala u taki M(x0,y0) grafika krive
y=f(x) okomita na tangentu krive u toj taki to je koeficijent
njenog pravca jednak . Dakle jednaine tangente i normale glase: t:
y-y0=f'(x0) (x-x0) , n: 3. Izvodi elementarnih funkcija4. Izvod
sloene i inverzne funkcije5. Rolova teoremaTeorem: Ako je funkcija
f neprekidna nad zatvorenim intervalom [a,b] ima izvod nad
otvorenim intervalom (a,b) i ako je f(a)=f(b), tada postoji bar
jedna taka takva da je f()=0.Geometrijski smisao Rolove teoreme je
taj da postoji bar jedna taka sa osobinom da je tangenta u taki
A(,f ()) krive y=f(x) paralelna sa x osom. 6. Lagranova
teoremaTeorem: Ako je funkcija , neprekidna nad zatvorenim
intervalom [a,b] i ima izvod nad otvorenim intervalom (a,b), tada
postoji bar jedna taka takva da je .Geometrijski smisao Lagraove
teoreme je u tome da postoji taka takva da je tangenta u taki krive
y=f(x) paralelna sa sjeicom kroz take A(a,f(a)) i B(b,f(b)).
7. Koijeva teoremaTeorem: Ako su funkcije f(x) i g(x) neprekidne
nad zatvorenim intervalom [a,b] imaju izvode nad otvorenim
intervalom (a,b) i za svako je g(x)0 , tada postoji bar jedna taka
takva da je .
8. Pojam diferencijala i njegovo geometrijsko znaenjePrirast
funkcije y predstavljen je preko dva sabirka. S obzirom da je
uopteno f(x) konstantna razliita od 0 (nule), a drugi sabirak puno
bre tei nuli (jer je beskonano mala veliina vieg reda), kada x0
prirast y moe se aproksimirati sa f(x)x izrazom kojeg zovemo
glavnim dijelom prirasta funkcije i piemo: f(x)x=dy. Veliina dy se
naziva diferencija funkcije f(x). Uvodi se u ovom sluaju i posebna
oznaka za prirast argumenta x. Naime ako je y=x=>dy=dx, dy=y'x
dy=(x)'x => dy => x }x=dx . Dakle geometrijski diferencijal
funkcije u taki x, predstavlja prirast ordinate tangente u toj taki
koja je posljedica prirasta dx (nezavisne varijable). Diferencijal
funkcije moe se koristiti za priblino izraunavanje vrijednosti
funkcija.
9. Izvodi i diferencijali vieg redaDefinicija izvoda vieg reda:
Ako je funkcija f diferencijabilna (ima izvod) u taki i ukoliko
postoji granina vrijednost , onda se ta granina vrijednost naziva
drugim izvodom funkcije f(x) u taki i oznaava sa ), ili .Ako
funkcija ima izvod u taki onda ga nazivamo treim izvodom funkcije
f(x) i oznaavamo sa , ili . Openito predpostavimo da funkcija f(x)
ima izvod reda m-1 u taki tj. . Ako funkcija ima izvod u taki x
nazivamo ga n-tim izvodom funkcije f(x) u taki i oznaavamo sa ili .
Dakle . Definicija diferencijala vieg reda: Pretpostavimo da
funkcija f(x) ima drugi izvod u taki x. Diferencijal ove fuinkcije
u taki x je df(x)=f(x)dx , a zbog diferencijabilnosti funkcije f(x)
u taki x postoji diferencijal diferencijala df(x) i vrijedi
d(df(x))=f (x)d. Diferencijal diferencijala funkcije f(x),
(d(df(x))) nazvat emo drugim diferencijalom f(x) i oznaavat emo ga
sa . Openito ako postoji n-ti (n) izvod funkcije f(x) tada je n-ti
diferencijal i nazivamo ga diferencijalom n-tog reda funkcije f(x)
--> Lajbnicova oznaka za n-ti izvod .
10. Definirajte Taylorov polinom funkcije f u taki Teorem: Neka
su funkcija f(x) i svi njeni izvodi do (n-1) reda neprekidni nad
zatvorenim intervalom[a,b] i neka f(x) ima n-ti izvod nad otvorenim
intervalom (a,b). Tada ostoji bar jedna taka takva da je:
Obrazac (*) , gdje je , , zove se Tejlorova formula ili Tejlorov
obrazac. Kada je funkcija f(x) predstavljena na nain (*) kaemo da
je razvijena po Tejlorovoj formuli u taki a. Izraz zovemo ostatak
ili greka i on predstavlja odstupanje funkcije f(x) od Tejlorovog
polinoma tj. . Za n=1 kao u specijalnom sluaju dobijamo Langraovu
teoremu. Ako u Tejlorovoj formuli stavimo da je a=0 dobiemo
Maklorenovu formulu.11. ta su to podruja rasta i pada realne
funkcije jedne varijable i kako se odreuju?Monotonost funkcija
Definicija 1: Kaemo da je funkcija y=f(x) monotono rastua u
intervalu (a,b)D(f) ako vrijedi f(x1)f(x2), za sve x1, x2(a,b),
x1
