1

Osobina 1:Ako je funkcija f integrabilna (a time i definisana) na interlavu [a, a], onda je a

af(x)dx =

aa

f(t)dt. .

Drugim reqima, vrednost integrala ne zavisi od toga kako imenujemo promenivu ve samo od togakako podintegralna funkcija zavisi od te promenive i koje su granice integrala koji raqunamo.

Osobina 2:Neka je a > 0.Ako je funkcija f parna i integrabilna (a time i definisana) na interlavu [a, a], onda je

() aa

f(x)dx = 2

a0

f(x)dx.

Ako je funkcija f neparna i integrabilna (a time i definisana) na interlavu [a, a], onda je

() aa

f(x)dx = 0.

Dokaz: aa

f(x)dx =

0a

f(x)dx +

a0

f(x)dx = . . .. U prvom integralu uvedemo smenu x = t a onda (na

osovu osobine 1) preoznaqimo t sa x.

Zadatak 1: Izraqunati

x sin xcos2 x+ 1

dx.

Rexee:

x sin xcos2 x+ 1

dx()= 2

0

x sin xcos2 x+ 1

dx = 2I, za I = 0

x sin xcos2 x+ 1

dx.

Prvi naqin: Biramo smenu koja e interval integracije dovesti na simetriqan.smena: x = t+ 2

dx = dtx = t = 2x = 0 t = 2

sin x = sin(t+ 2 ) = cos tcos x = cos(t+ 2 ) = sin t

I =

2

2

(t+ 2 ) cos tsin2 t+ 1

dx =

2

2

t cos tsin2 t+ 1

dx+

2

2

2

cos tsin2 t+ 1

dx(),()=

= 0 +

2

0

cos tsin2 t+ 1

dx =

2

0

d(sin t)sin2 t+ 1

= ln | sin t+sin2 t+ 1||

20 = ln(1 +

2).

Drugi naqin: Biramo smenu koja nee da promeni interval integracije a podintegralna funkcija

da ,,pogodno transformixe.smena: x = t

dx = dtx = t = 0x = 0 t =

sin x = sin( t) = sin tcos x = cos( t) = cos t

I = 0

( t) sin t(1)dtcos2 t+ 1

=

0

( t) sin tcos2 t+ 1

dt =

0

sin tcos2 t+ 1

dt

0

t sin tcos2 t+ 1

dt =

0

d(cos t)cos2 t+ 1

I = ln(cos t+cos2 t+ 1)|0 I = 2 ln(1 +

2) I.

I = 2 ln(1 +2) I, pa I = ln(1 +

2).

Dakle,

x sin xcos2 x+ 1

dx = 2 ln(1 +2).

Zadatak 2: Izraqunati 11

1

(ex + 1)(x2 + 1)dx.

2

Rexee: Oznaqimo sa I traeni integral.

smena: x = t

dx = dtx = 1 t = 1x = 1 t = 1

I = 11

1

(et + 1)(t2 + 1)(1)dt =

=

11

et

(et + 1)(t2 + 1)dt

Osobina1=

11

ex

(ex + 1)(x2 + 1)dx.

Dakle,

I =

11

1

(ex + 1)(x2 + 1)dx

I =

11

ex

(ex + 1)(x2 + 1)dx

+

2I =

11

1 + ex

(ex + 1)(x2 + 1)dx =

11

1

(x2 + 1)dx = arctgx|11 = I =

4

U ovom zadatku smo koristili dve qienice. Jedna je vezana za izraz1

1 + ex, a druga za

1

1 + x2.

() Ako x zameni sa x u 11 + ex

dobije seex

1 + ex, a zbir poqetnog i krajeg izraza je 1.

() Ako x zameni sa x u 11 + x2

, nixta se ne mea.

Zadatak 2 se, imajui u vidu (), moe uopxtiti na sledei naqin: Za parnu funkciju f ,

definisanu i integrabilnu na [a, a] posmatrajmo integral I = bb

1

1 + exf(x)dx i uvedimo u ega

smenu kao u zadatku 2

smena: x = t

dx = dtx = b t = bx = b t = b

I = bb

1

1 + etf(t)(1)dt

()()=

bb

et

1 + etf(t)dt

Osobina2=

bb

ex

1 + exf(x)dx.

2I = I + T =

bb

1

1 + exf(x)dx+

bb

ex

1 + exf(x)dx =

bb

f(x)dx.

Zadatak 3: Izraqunati 11

x2 + 1

(ex + 1)dx.

Zadatak 4: Izraqunati a

1a

| lnx|x(x+ 1)

dx smenom x =1

t, pri qemu je a proizvoan pozitivan re-

alan broj.

Zadatak 5: Izraqunati 11

ex

(ex + 1)(x2 + 1)dx smenom x = t.

Zadatak 6: Izraqunati

arctg2x

(ex + 1)(x2 + 1)dx.

Zadatak 7: Izraqunati

sin2 x cos x

(ex + 1)dx.

Zadatak 8: Izraqunati

x sin x

(ex + 1)cos2 x+ 1

dx.

Zadatak 9: Izraqunati 11

1

(3x + 1)(x2 + 1)dx.

- Ako se umesto1

1 + exposmatra

1

1 + axza neki (bilo koji) popzitivan realan broj a, primeuje

se da osobina koja je vaila u () vai i dae:() Ako se x zameni sa x u 1

1 + axdobije se

ax

1 + axa zbir poqetnog i krajeg izraza je 1.

3

Zadatak 10: Izraqunati 11

x2 + 1

(4x + 1)dx.

Zadatak 11: Izraqunati a

1a

| lnx|x(x+ 1)

dx smenom x =1

t, pri qemu je a proizvoan pozitivan realan

broj .

Zadatak 12: Izraqunati 11

( 14 )x

(( 14 )x + 1)(x2 + 1)

dx smenom x = t.

Zadatak 13: Izraqunati

arctg2x

(x + 1)(x2 + 1)dx.

Zadatak 14: Izraqunati

sin2 x cos x

(2x+ 1)

dx.

Zadatak 15: Izraqunati

x sin x

((1e )x + 1)

cos2 x+ 1

dx.

() smo uopxtili tako xto smo primetili da od osobina izraza 11 + x2

u zadatku 2 koristimo

samo to da on predstava parnu funkciju.

() moemo da uopxtimo tako xto primetimo da 11 + ex

predstava funkciju g(x) qija je jedina

osobina koju smo koristili u zadatku 2: g(x) + g(x) = 1. Ovo moe da se uopxti.

Osobina 3: Neka je a > 0 i neka je funkcija f parna i integrabilna (a time i definisana) nainterlavu [a, a] i neka je g integrabilna funkcija na [a, a] takva da je g(x) + g(x) = k(= const) .

Tada je aa

g(x)f(x)dx =k

2

aa

f(x)dx

Dokaz: Oznaqimo sa I = aa

g(x)f(x)dx i uvedimo u ega smenu kao u zadatku 2.smena: x = t

dx = dtx = a t = ax = a t = a

I = aa

g(t)f(t)(1)dt = aa

(k g(t))f(t)dt = aa

(k g(x))f(x)dx.

2I = I + I =

aa

g(x)f(x)dx+

aa

(k g(x))f(x)dx = k aa

f(x)dx.