1

제 1장. 자료의 정리

통계학의 기본 용어

모집단(Population): 모집단의 크기는 문자 N 으로 표시하며, 통계조사를 하고자 하는 대상의 특

성에 대한 전체 집합이다.

전수조사는 모집단을 대상으로 하고 모집단에는 두 가지가 존재한다.

-무한 모집단(Infinite Population)

-유한 모집단(Finite Population)

모수(Parameter): 모집단의 특성을 나타내는 값들로 예를 들면 정규분포의 평균 와 표준편차

와 같은 것들이다. 모수를 취할 수 있는 데이터에는 세 가지 유형이 존재한다.

-연속형 자료(Continuous Data): 길이 질량등과 같이 연속적인 양을 측정한 자료.

-이산형 자료(Discrete Data): 사고, 불량품, 결점수 등과 같이 개수로 세어지는 자료.

-범주형 자료: 성별, 찬반 여부, 사과의 크기 등과 같이 몇 개의 범주로 표시되는 자료.

표본(Sample): 표본의 크기는 n 으로 표시하며, 모집단의 통계적 분석을 위하여 모집단에서 추출

한 관측이나 측정값의 일부 집합이다.

일반적으로 모집단의 전수검사는 불가능하므로 모집단의 일부 표본에서 얻어진 자료를 분석하여

모집단의 특성을 파악하는 것이 통계학의 일반적인 특징이다. 표본은 무작위 추출법(Random

sampling)을 기본으로 한다.

통계량(Statistic): 표본의 특성을 나타내는 양이며 주로 평균, 분산 및 표준편차와 같은 것들로 나

타난다.

평균(Mean)과 분산(Variance): 집단의 특성은 분포로 나타나며, 모집단의 분포는 주로 평균

(또는)와 분산 2 또는 표준편차 로 표시하는 것이 가장 일반적이다. 한편 표본의 평균과 분

산은 x , 2s 으로 각각 나타내며 이것은 모집단에서 추출한 표본의 수에 따라 달라지는 값이다.

모집단의 평균과 분산을 모평균(Population Mean), 모분산(Population Variance)이라 하고, 표본

에서 구한 평균과 분산을 표본평균(Sample Mean), 표본분산(Sample Variance)이라 한다. 모집

단의 특성을 나타내는 정확한 모수들은 일반적으로 알 수 없기 때문에 확률적으로 잘 취해진 표

본의 통계량에 의해 추정된다. 대표적인 분포의 종류를 나열하면

-대부분의 확률분포는 정규분포

-불량률에 대해서는 이항분포

-결점수에 대해서는 포아송분포

사용되는 수식과 변수들은 아래와 같다.

표 [1-1] 모수와 통계량(표본 통계량)에 대한 기호

모 수 통계량(표본 통계량)

명칭 추정식

2

모평균 ,

모분산 2

모표준편차

모불량률 P

모결점수 C

모상관계수

표본평균 x

표본분산 2s

불편분산 V

표본표준편차 V , s

표본불량률 p

표본결점수 c

표본상관관계 r

1ix

n

21( )ix x

n

21( )

1ix x

n

2 1/ 21[ ( ) ]

1ix x

n

x

n

-

2 2 1/ 2

( )( )

[ ( ) ( ) ]

i i

i i

x x y y

x x x x

도표에 의한 자료의 정리

모집단의 관찰을 통해 얻어진 측정값을 데이터(Data) 또는 표본시료, 자료라 한다.

데이터를 가장 잘 표시할 수 있는 방법은 도표나 그림으로 나타내는 것이다.

도수분포표(Frequency Distribution Table)

(I) 값이 반복해서 나타나는 경우 각 값의 빈도수(도수: Frequency)를 나열

SPSS 통계처리문제

[보기 1_1]다음 자료에서 각 수의 도수, 총 도수 및 히스토그램을 그려라.

[자료]: 3, 4, 7, 3, 7, 4, 7, 7

(풀이) 3, 도수: 2

4, 도수: 2

7, 도수: 4

총 도수(자료 수): 2 2 4 8n

SPSS 통계처리[1_1_빈도수.sav]

분석>기술통계량>빈도분석

빈도분석 창이 뜨면 변수이름 [자료]를 변수로 옮기고, 빈도표 출력을check.

도표를 눌러도표유형에서히스토그람을 선택.계속>확인

빈도분석 결과

3

통계량

자료

N 유효 8

결측 0

자료

빈도 퍼센트 유효퍼센트 누적퍼센트

유효 3 2 25.0 25.0 25.0

4 2 25.0 25.0 50.0

7 4 50.0 50.0 100.0

합계 8 100.0 100.0

(II) 몇 개의 계급구간으로 나누는 경우 각 구간에 속하는 자료의 출현회수를 도수로 표시. 막대

그래프나 히스토그램으로 나타내어 분포의 형태를 표시하는 것이 일반적이다. 이때 등 구간으로

나눈 것을 계급, 계급의 구간에서 최소값과 최대값을 계급한계, 중앙값을 계급 값이라 한다.

계급구간에 의한 도수분포를 작성하는 순서

(1) 자료 수집( 50개 이상)

(2) 최대 및 최소치를 구하고 범위 R 을 계산

(3) 계급의 수 결정

결정 공식: 1 3.3logk N , ( k : 계급의 수, N : 총 도수)

4

(4) 계급의 간격 R

hk

(5) 계급 값(계급의 중앙값)

(6) 계급의 상한과 하한이 중복되지 않도록 하고 계급의 하층경계 최소치는 1/ 2 이 적은 값으로

한다.

(7) 상대도수(Relative Frequency)를 계산

ifRFN

, ( if : 계급구간의 도수, N : 총 도수)

(8) 히스토그램을 그린다.

수평축에 계급구간의 경계 값, 수직 축에 계급 구간의 상대도수의 막대그래프.

도수분포의 그래프

1. 히스토그램(histogram)

횡축은 도수분포표의 계급구간, 종축은 상대도수로 표시하는 그래프.

히스토그램을 그리려면 계급의 상대도수 밀도를 계산하여야 한다.

계급의상대도수상대도수밀도=

계급의간격

2. 상대도수 다각형(Relative Frequency Polygon)

히스토그램 계급치의 중앙 값(계급 대표치)의 점을 연결하여 만든 그래프.

3. 누적도수 다각형(Ogive)

누적도수 분포표에서 각 계급구간의 누적도수에 대응하는 기둥의 맨 위 중간 점들을 직선으로 연

결했을 때 나타나는 그래프.

4. 상자그림(Box-plot)

도수분포표 없이 자료를 크기 순으로 나열하고 중앙 값( x ), 제 1사 분위수( 1Q )와 제 3사분위 수

( 3Q ), 최대 값( maxx )과 최소 값( minx )을 하나의 상자와 상자 양끝에서 나온 두 개의 끈으로 나타

내는 그래프

5. 줄기-잎-그림(Stem and Leaf Plot)

자료의 기본적 형태를 쉽게 알아볼 수 있도록 배열과 히스토그램을 복합적으로 나타내어 자료의

분포 형태를 알아보는 탐사적 자료 분석기법이다.

만일 잎을 0~4, 5~9로 더 나누려면 0~4에 해당하는 줄기 값은 를 표시하고 5~9에 해당하는

줄기 값은 을 덧붙여 사용한다.

줄기-잎-그림을 작성하는 방법

(i) 자료의 줄기 부분을 선택하고, 나머지 부분을 잎으로 정한다.

5

(ii) 최대, 최소 값을 찾아 줄기 값을 크기 순서로 세로에 나열.

(iii) 각 줄기에 해당하는 자료의 잎 부분을 그 줄기의 오른 쪽에 가로로 나열.

(iv) 줄기와 잎 사이에 수직선을 그어 구분.

SPSS 통계처리문제

[보기 1_2]다음과 같이 측정된 어떤 구조물이 100개 있다. 줄기-잎 그림을 그려라.

[자료] 652.0 652.1 652.3 655.0 655.4 656.1 653.1 653.9 653.2 654.2

656.7 652.3 653.5 653.4 655.1 654.2 654.8 653.9 654.0 654.1

653.8 653.7 654.6 653.2 653.5 654.1 654.0 653.9 653.4 653.5

653.6 653.7 653.9 653.2 653.4 653.3 653.9 653.4 653.7 653.9

653.5 653.9 654.2 654.3 654.3 654.2 654.0 653.9 653.8 654.0

654.5 655.8 655.2 655.1 655.0 654.8 654.7 654.3 653.9 653.9

654.1 654.2 653.8 654.0 654.1 653.8 653.2 652.9 652.8 653.0

653.5 653.9 654.1 653.9 654.0 653.5 653.1 653.3 654.2 654.0

654.1 654.4 655.0 655.1 656.8 656.8 656.1 653.7 653.4 653.6

656.0 655.9 655.1 655.2 653.8 652.8 653.0 652.7 654.5 654.2

(풀이) 크기 순으로 나열하고 정수부분을 줄기, 소수부분을 잎으로 나타내면 다음과 같이 대략

653 나 654를 중심으로 아래 위 대칭이 되어 나타난다.

줄기 잎

652 0133

652 7889

653 001122223344444

653 5555566777788888999999999999

654 00000001111112222223334

654 556788

655 0001111224

655 89

656 011

656 788

SPSS 통계처리[1_2_줄기.sav]

분석>기술통계량>데이터 탐색

데이터 탐색 보조창이 뜨면 변수이름 [자료]를 종속변수로 옮기고, 출력에서 도표를 선택한후 도

6

표 단추를 누른다. 데이터 탐색: 도표 보조창이 뜨면 상자도표에서 요인수준들과 함께를 선택하고

기술통계에서 줄기와 잎 그림을check. 계속>확인

데이터탐색 결과 케이스처리요약

케이스

유효 결측 전체

N 퍼센트 N 퍼센트 N 퍼센트

자료 100 100.0% 0 .0% 100 100.0%

자료 자료 Stem-and-Leaf Plot

Frequency Stem & Leaf

2.00 Extremes (=<652.1)

2.00 652 . 33

.00 652 .

1.00 652 . 7

3.00 652 . 889

4.00 653 . 0011

6.00 653 . 222233

11.00 653 . 44444555555

6.00 653 . 667777

17.00 653 . 88888999999999999

13.00 654 . 0000000111111

10.00 654 . 2222222333

3.00 654 . 455

2.00 654 . 67

2.00 654 . 88

7.00 655 . 0001111

2.00 655 . 22

1.00 655 . 4

8.00 Extremes (>=655.8)

Stem width: 1.0

Each leaf: 1 case(s)

※SPSS에서 얻어진 잎은 소수점 이하 한 자리 수 중 연속 수 두 개씩 묶은 것이다. 즉

.0 .1

.2 .3

.4 .5

.6 .7

.8 .9

로 분류하여 그린 그림이다.

7

SPSS 통계처리문제

[보기 1_3] 다음과 같은 자료가 있다. 줄기-잎 그림과 상자 그림을 그려라.

[자료]: 58 52 98 59 53 65 37 49 60 40

57 51 73 51 58 79 39 55 44 61

46 59 53 68 58 47 63 65 61 56

(풀이) 크기 순으로 나열하고 10단위의 수를 줄기 1단위의 수를 잎으로 하면

줄기 잎

3 79

4 04679

5 1123356788899

6 0113558

7 39

8

9 8

자료

652.0

653.0

654.0

655.0

656.0

657.0

1

52

91

11

8

SPSS 통계처리[1_3_줄기잎.sav]

분석>기술통계량>데이터 탐색

데이터 탐색 보조창이 뜨면 변수이름 [자료]를 종속변수로 옮기고, 출력에서 도표를 선택한후 도

표 단추를 누른다. 데이터 탐색: 도표 보조창이 뜨면 상자도표에서 요인수준들과 함께를 선택하고

기술통계에서 줄기와 잎 그림check. 계속>확인

데이터탐색 결과

케이스처리요약

케이스

유효 결측 전체

N 퍼센트 N 퍼센트 N 퍼센트

자료 30 100.0% 0 .0% 30 100.0%

자료 자료 Stem-and-Leaf Plot

Frequency Stem & Leaf

2.00 3 . 79

2.00 4 . 04

3.00 4 . 679

5.00 5 . 11233

8.00 5 . 56788899

4.00 6 . 0113

3.00 6 . 558

1.00 7 . 3

2.00 Extremes (>=79)

Stem width: 10

Each leaf: 1 case(s)

SPSS 통계처리문제

[보기 1_4](a) 다음 자료의 계급구간 도수분포표를 작성하고 이 도수분포표를 히스토그램, 상대도

수 다각형 및 누적도수 다각형으로 나타내어라.(b) 이 계급구간 도수분포표에 의한 평균과 표준편차

를 구하여라.

[자료] 28 21 30 39 42 35 34 19 33 32 35

35 37 36 36 34 34 25 35 31 40 32

33 34 36 34 34 33 31 20 34 30

자료

30

40

50

60

70

80

90

100

16

3

9

(풀이) (a) 계급구간 도수분포표를 작성

(1) 최대 maxx , 최소 minx 및 범위 R

max 42x , min 19x , 42 19 23R

(2) 계급의 수 결정. 총 도수 32N 개 이므로

1 3.3log32 5.9669 6k

(3) 계급의 간격

233.83 4

6

Rh

k

(4) 계급 값: 계급 도표를 보고 중앙 값 선택

(5) 계급 최하층 경계 값

min

1 119 ( 1) 18.5

2 2x u

여기서 u 는 계급간 사이의 차이로 이 데이터는 그 차가 1이다.

(6) 상대도수: (계산 예) 18.5 ~ 22.5의 상대도수: 2

0.062532

ifRFN

표 [1-2] (1)부터 (6)까지의 결과로 나타난 도수분포표

계급 구간 계급 값 도수 상대 도수 누적상대도수

18.5~22.5

22.5~26.5

26.5~30.5

30.5~34.5

34.5~38.5

38.5~42.5

20.5

24.5

28.5

32.5

36.5

40.5

3

1

3

14

8

3

0.0625

0.0313

0.0938

0.4688

0.2500

0.0938

0.0625

0.0938

0.1875

0.6563

0.9063

1.0000

총 계 32 1.0000

(7) 도수분포표의 그래프

히스토그램(Histogram): 횡축은 계급구간, 종축은 상대도수를 그린 막대 그림.

상대도수 다각형(Relative frequency polygon): 계급의 중앙값을 연결하여 그린 그래프.

누적도수 다각형(Ogive): 처음으로부터 계속 누적하여 최종 값이 100%가 되는 그래프.

(b) 계급구간 도수분포표에 의한 평균과 표준편차

표 [1-3] 계급구간 도수분포표

계급구간 계급 값 도수 (계급값) x (도수) (계급값-평균)2 x (도수)

18.5~22.5 20.5 3 61.5 432

22.5~26.5 24.5 1 24.5 64

10

26.5~30.5 28.5 3 85.5 48

30.5~34.5 32.5 14 455.0 0

34.5~38.5 36.5 8 292.0 128

38.5~42.5 40.5 3 121.5 192

합계 32 1040.0 864

평균: 1040.0

32.5032.0

x

분산: 2 1

(864) 27.87131

s

표준편차: 27.871 5.279s

SPSS 통계처리[1_4_계급.sav]

코딩변경: 자료를 몇 개의 계급구간으로 나누는 경우 코딩변경을 하여야 한다.

변환>코딩변경>새로운 변수로

창이 뜨면 변수인 [자료]를 숫자 변수 출력변수 창으로 옮기고 출력변수 이름에 [범주자료]를

쳐 넣은 후, 바꾸기 단추를 누르면 [자료 -범주자료]로 변환된다.

기존 값 및 새로운 값 단추를 누르고 창이 뜨면 기존 값에서 범위를 선택. 기존 값의 범위와 새로

운 값에 다음과 같이 각각 쳐 넣어 끝날 때까지 추가시키고 계속>확인

기존 값 새로운 값

범위: 18.5 에서 22.5 값: 20.5 추가

범위: 22.5 에서 26.5 값: 24.5 추가

범위: 26.5 에서 30.5 값: 28.5 추가

범위: 30.5 에서 34.5 값: 32.5 추가

범위: 34.5 에서 38.5 값: 36.5 추가

범위: 38.5 에서 42.5 값: 40.5 추가

분석>기술통계량>빈도분석

빈도분석 창이 뜨면 [범주자료]를 변수로 옮기고, 빈도표 출력을 check.

도표를 눌러 히스토그랭을 선택한 후 계속>확인.

output창에서그래프>선도표>단순

도표에 표시할 데이터는 케이스 집단들의 요약 값을 선택한 후 정의를 누름.

창이 뜨면 [범주자료]를 범주 축으로 옮기고 선 표시에서 케이스 수를 선택 후 확인.

똑 같은 방법으로 이번에는 케이스의 누적빈도를 선택 후 확인.

11

빈도분석 결과 통계량

범주자료

N 유효 32

결측 0

범주자료

빈도 퍼센트 유효퍼센트 누적퍼센트

유효 20.50 3 9.4 9.4 9.4

24.50 1 3.1 3.1 12.5

28.50 3 9.4 9.4 21.9

32.50 14 43.8 43.8 65.6

36.50 8 25.0 25.0 90.6

40.50 3 9.4 9.4 100.0

합계 32 100.0 100.0

다각형 선도표 그래프

12

누적 다각형 선도표 그래프

통계(평균, 분산 및 표준편차): 분석>기술통계량>기술통계

기술통계 보조 창이 뜨면 [범주자료]를 변수로 이동

13

옵션을 눌러 평균, 표준편차, 분산을 check.

계속>확인

기술통계 결과 기술통계량

N 평균 표준편차 분산

범주자료 32 32.5000 5.27930 27.871

유효수 (목록별) 32

연습 문제

1.다음 용어들의 간단히 설명하라. 그리고 각각의 영어단어를 써라.

(1) 모집단 (2) 표본 (3) 모수

2. 모집단과 표본에 대한 예를 들어 설명하라.

3. 연속적 변량을 표시하는 데 적합한 도수분포표는 무엇인가?

4. 어떤 자료가 200 개 있다. 이 자료를 분석하고자 도수분포표를 작성하려면 계급의 수를 얼마

로 하면 좋은가?

5. 어떤 자료에서 최소값이 250.2이고 최대값이 278.8일 때, 계급의 수는 8 로 하여 도수분포표

를 만든다. 계급의 간격은 얼마인가?

6. 연속적 변량을 표시하는 데 적합한 도수분포표는 무엇인가?

7. 다음은 40명의 영어시험 결과이다.

[자료]

68 72 40 73 65 80 84 83 91 45

55 88 74 85 73 82 69 55 84 87

92 76 95 78 86 77 75 78 83 88

78 69 74 78 80 75 77 50 47 65

(1) 계급구간의 공식을 이용하여 도수분포표를 작성하라.

(2) 상대도수를 이용하여 히스토그램을 그려라.

(3) 상대도수 다각형을 그려라.

(4) 누적도수 다각형을 그려라.

(5) 줄기-잎 그림을 그리고 히스토그램과 비교하여 차이점을 설명하라.