םישלושמ ןוימד 14 הדיחי...265 הקיטמתמב םיבוליש םישלושמ ןוימד - dg הדיחי םישלושמ ןוימד :14 הדיחי םימוד םישלושמב

265יחידה 14 - דמיון משולשים שילובים במתמטיקה

יחידה 14: דמיון משולשיםשיעור 1. צלעות פרופורציוניות במשולשים דומים

במשימות בשיעור זה השרטוטים הם להדגמה,

ומידות האורך נתונות בס"מ.

לפניכם שני משולשים.

האם המשולשים דומים?

נלמד על היחסים בין צלעות מתאימות במשולשים דומים.

נתייחס לנתונים במשימת הפתיחה. .1?ΔFDV יש זווית שווה בגודלה במשולש ΔABC האם לכל זווית במשולש א.

FACV

חשבו את היחס בין אורכי הצלעות AC ו- FV , כלומר ב.

חשבו גם את היחסים בין אורכי הצלעות בשני זוגות הצלעות המתאימות האחרות. ג.

מהו יחס הדמיון של שני המשולשים? ד.

משולשים דומים הם מקרה פרטי של מצולעים דומים. לכן במשולשים דומים. ●

כל הזוויות שוות בהתאמה וקיים אותו יחס בין אורכי צלעות מתאימות.

במשימה 1 המשולשים VDF , ABC דומים כי: דוגמה: aC = aF , aB = aD ,aA =aV :לשני המשולשים זוויות שוות

23 יחס הדמיון הוא

DAB

DFBC

FAC

V V= = ויחס אורכי הצלעות המתאימות שווה:

ΔVDF ~ ΔABC :מסמנים דמיון

נוח לרשום את שמות המשולשים כך שהקדקודים המתאימים מופיעים בשני המשולשים באותו סדר. ●

בהמשך נרשום כל דמיון לפי התאמת הקדקודים.

.ΔDMF ,ΔLKT :נתונים המשולשים .2aK = aF aT = aM :נתון

aL = aD הסבירו מדוע א.

האם המשולשים דומים? ב.

26

312

49! ! המשולשים אינם דומים, כי היחס בין אורכי הצלעות אינו שווה: מיכל אמרה:

3412 9

26= = המשולשים דומים, כי היחס בין אורכי הצלעות המתאימות שווה: נעמה אמרה:

מי צודקת? הסבירו.

רשמו את דמיון המשולשים בעזרת סימן הדמיון )~(. ג.

3

4 2

M

FD

69

TL12

K

VF

4.5 6

9

D

80˚

60˚

34

CA 6

B80˚

40˚

יחידה 14 - דמיון משולשים שילובים במתמטיקה266

על מנת להקל בכתיבת היחסים של אורכי הצלעות במשולשים דומים, אפשר להיעזר בקשתות.

המשולשים שבשרטוט דומים. דוגמה:

∆ABC~∆KLM ניעזר בקשתות כך:

ABKL

BCLM

ACKM

= = נרשום את היחסים: M

L

K

CB

A

.)0 < x < 16( DKRA ~ DBEN :נתון .3

K

ARx + 6

B

31012

NEx

מהו יחס הדמיון? א.

כתבו פרופורציה )שוויון בין יחסים( של אורכי צלעות המשולשים הדומים. ב.

כדי למצוא את אורכי הצלעות EN ו- RA רשמו התלמידים את המשוואות: ג.

xx x x6

312 6 4+ = + =

האם המשוואות מתאימות? הסבירו.

חשבו את אורכי כל הצלעות במשולשים. ד.

חושבים על...

אני יכולה לשרטט משולש נוסף דומה למשולש ΔKRA )ממשימה 3(, גילה אמרה: א. .4שבו אורך הצלע BE ב- ΔBEN הוא 4 ס"מ.

מצאו את אורכי הצלעות האחרות במשולש של גילה.

מהו היחס בין אורכי הצלעות המתאימות? ב.


בכל סעיף משולשים דומים. .5רשמו את דמיון המשולשים בעזרת סימן הדמיון )הקפידו על התאמת קדקודים(.

מצאו את יחס הדמיון בין שני המשולשים.

א.

S

M4.5

6

3

5

46 8

3

4.5

322

10

4.5

332

4 BA

K

R

ב.F

K

BAC

M

Sג.R

K

G

AD


נתונים שני משולשים דומים. .6aA = aD aE = aB

AE = 6 ס"מ BG = 2 ס"מ

רשמו את דמיון המשולשים בעזרת סימן הדמיון )~(. א.

יחס הדמיון הוא 3 רחל אמרה: ב.

אי-אפשר לחשב את יחס הדמיון. אפרת אמרה:


EC = נתון גם: 3 ס"מ ג.

האם עכשיו אפשר למצוא את יחס הדמיון? אם כן, מצאו את אורך BD. אם לא, הסבירו.

G

D

BE

C

A


אוסף�משימות

במשימות הבאות השרטוטים הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ.

בכל סעיף המשולשים דומים. .1רשמו את הזוויות השוות, מצאו את יחס הדמיון של המשולשים וחשבו את אורכי הצלעות.

ΔTFR~ΔDJN א.

DN

J

3 12

T

RF

3.5

4

ΔAMS~ΔALR ב.

L

8

10

4

M

2

S

A

R

בכל סעיף, קבעו אם המשולשים דומים. .2אם כן, רשמו את דמיון המשולשים בעזרת סימן הדמיון ומצאו את יחס הדמיון. אם לא, הסבירו.

א.

ב.

ג.

54˚

RS

F

59˚

86˚

6

8

74

A

M

B

35˚

59˚

12

8

14

R

LM26˚

5

B

A C

10

4

5

3

6

7.5 SD

C

53˚

37˚4.5

F

M

R


בכל סעיף, קבעו אם המשולשים דומים. .3אם כן, רשמו את דמיון המשולשים בעזרת סימן הדמיון ומצאו את יחס הדמיון. אם לא, הסבירו

R3.4

4.2

88˚38˚

54˚54˚

2.6

B

A

T

M

8.4

6.8

5.2

D א.

ב.27˚

10

8

F

M

53˚

5

B

C

R A

ג.

70˚

40˚Z

5

3

7.5

12.5

FEH

D

G

ד.

40˚

30˚

2

3

D

C

M 80˚

60˚

F

R

9

6G

בכל סעיף המשולשים דומים. .4חשבו את יחס הדמיון של המשולשים ואת אורכי הצלעות.

∆RFC~∆NJD א.

10

8

D

NJ3

5

F

C

R

ΔFJM ~ ΔTRM ב.

T

R

M

J

F 4.5

3.5

610.5


בכל סעיף המשולשים דומים. .5חשבו את יחס הדמיון של המשולשים ואת אורכי הצלעות.

ΔABC ~ ΔMRL :נתון נתון: ΔTFV ~ ΔBULא. ב.

2.9

2

40˚B L

U

8

70˚TF

V R

9.25.9

50˚100˚

6 3MLCA

B

בכל סעיף, המשולשים דומים. .6חשבו את יחס הדמיון של המשולשים ואת אורכי הצלעות.

ΔTFR ~ ΔDJN :נתון Jא.

N

D

5

12R

T

F

4.8

4

ΔLFT ~ ΔKMT :נתון ב.

T

5

4

3

K9

L

MF

53˚

ΔRNK ~ ΔDET :נתון .7רשמו את זוגות הזוויות השוות. א.

.RN = 4 ס"מ ,DE = 12 ס"מ ב.

מה יחס הדמיון?

.ET = 6 ס"מ ,DT = נתון גם: 9 ס"מ ג.

.ΔRNK חשבו את אורכי שאר הצלעות במשולש

RK

N

T

E

D


.DDEM ~ DQRS נתון: .8המשולשים שווי-שוקיים.

מהו יחס הדמיון? א.

DDEM במשולש )x > 0( x מצאו את אורך הצלע ב.

DQRS במשולש .)a > 0( a מצאו את אורך הצלע ג.

נתונים שני משולשים דומים. .9.)1 < x < 7( ס"מ x ,אורכי הצלעות במשולש אחד הם: 3 ס"מ, 4 ס"מ

.)1 < y < 15( ס"מ y ,ס"מ, 8 ס"מ x + 1 :אורכי הצלעות המתאימות במשולש השני הם בהתאמה

חשבו את אורכי הצלעות.

נתונים שני משולשים דומים. .10היקפו של משולש אחד 23 ס"מ, והיקפו של משולש שני 11.5 ס"מ.

מה יחס הדמיון של המשולשים? הסבירו.

.)x > 0( ΔBAC ~ ΔDTE :נתון .11.x חשבו את

ΔADE ~ ΔABC נתון: .12AD : DB = 1:3

מהו יחס הדמיון בין המשולשים?

R

5

10

15

xa

Q

S

D

ME

C

x

9A

B

E

4

xT

D 80˚

50˚

80˚

50˚

C

ED

A

B


שיעור 2. פחות תנאים לדמיון משולשים

התלמידות שרטטו משולשים לפי הנתונים במשימת הפתיחה. .1

לפניכם משולש שבו זוויות בנות 60° ו- 45°

שרטטו על דף משבצות משולש שאינו חופף

למשולש הנתון, וגודל שתיים מזוויותיו 60° ו- 45°


נלמד על תנאים מספיקים לקבלת משולשים דומים.

45˚60˚

עדינה

45˚60˚

שלומית

45˚60˚

יהודית

האם שלושת המשולשים דומים למשולש הנתון? א.

האם אפשר לשרטט משולש שזוויותיו: ˚75 , ˚45, ˚60 שאינו דומה למשולש הנתון? ב.

כל המשולשים ששרטטו תלמידות הכיתה הם משולשים דומים. לאה אמרה: ג.

האם לאה צודקת?

בגודלן שוות אחד משולש של שהזוויות לדעת מספיק דומים, משולשים אם לדעת כדי ציפי אמרה: ד.

לזוויות של המשולש האחר.

האם ציפי צודקת?

ראינו מתוך התנסות שאם לשני משולשים שלושה זוגות של זוויות שוות, אז המשולשים דומים.

בהמשך לימוד הגאומטרייה נוכיח זאת.

45˚60˚


בדקתי שני משולשים, ומצאתי שני זוגות של זוויות שוות בגודלן )כמו בשרטוט(. יעל אמרה: .2אני יודעת בלי לבדוק שגם הזווית השלישית בשני המשולשים שווה.

האם יעל צודקת? הסבירו. א.

בכל משולש, חשבו את גודל הזווית השלישית. מצאו משולשים דומים. ב.

50˚

60˚

I

50˚

70˚

IV

80˚

40˚

II80˚

60˚

III

בכל סעיף, בדקו אם המשולשים דומים. אם כן, רשמו את המשולשים הדומים בעזרת סימן הדמיון. .3א.

E70˚

25˚

80˚

C

MB

A ABIIDE ג.

E

D

M

B

A

ב.

AC

B

D .שימו לב, בשרטוט שלושה משולשים ד.

25˚B

A

CF

אם בשני משולשים שני זוגות של זוויות שוות, גם הזוג השלישי של הזוויות שווה, כי הזווית השלישית בכל

משולש משלימה את שתי הזוויות האחרות ל- 180°.

לכן, אם בשני משולשים שני זוגות

של זוויות שוות, אז המשולשים דומים.



במשימות הבאות השרטוטים הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ.

בכל סעיף, חשבו את גודל הזווית השלישית בכל משולש. .1בדקו אם המשולשים דומים. אם כן, רשמו את הדמיון בעזרת סימן הדמיון )~(.

MB

A

35˚

80˚ Q

EC 35˚

80˚א.

F

MD

80˚

40˚

A

E

V

80˚

55˚

ב.

בכל סעיף, בדקו אם המשולשים דומים. אם כן, רשמו את הדמיון בעזרת סימן הדמיון )~(. .2

MB

A

65˚

80˚

CQ

E

35˚

80˚

B

K

A

CF

ב.א.

בכל סעיף, בדקו אם המשולשים דומים. אם כן, רשמו את הדמיון בעזרת סימן הדמיון )~(. .3

A B

P

M

T

א.

AB

P

N

T

ב.

P

C BA60˚

T

60˚

ג.


האם המשולשים בשרטוט דומים? הסבירו. א. .4נתון גם: ב.

AB = 10 ס"מ

BC = 9.5 ס"מ

AC = 5 ס"מ

NT = 4 ס"מ

.DDNT חשבו את אורכי של הצלעות האחרות במשולש

מצאו זוגות של משולשים דומים. אם אפשר, חשבו את יחס הדמיון. .5

A

CB30˚ 70˚

V

X

D

10

F

M

N

70˚70˚

80˚

40˚

Z

J

10

L

70˚

EW

P

10

45˚

RK

U

8

55˚

T

S

Q 835˚

Y

HG

4

.ΔAFC נתון משולש ישר-זווית .6הגובה ליתר AB, יוצר שני משולשים.

האם המשולשים ΔABF ו- ΔABC דומים? הסבירו. א.

BC חשבו את אורך ב

ΔAFC חשבו את שטח משולש ג.

D

N

80˚

T30˚C

A

B

70˚

30˚

CB20

10

A

F


שיעור 3. על אורך הצל ועל משולשים דומים

548 לפנה"ס(, נחשב לפילוסוף היווני הראשון ולמדען הראשון. -624 ,Thales of Miletus( תלס ממילטוס

מייחסים לתלס את חישוב גובה הפירמידה הגדולה בגיזה

שבמצרים.

פילוסופים ומדענים רבים ניסו למצוא את ממדי הפירמידה.

כ- 2000 שנה לאחר בנייתה, מצא תלס את גובה הפירמידה

באמצעות מדידת אורכי צללים.

הוא השתמש בצל של הפירמידה ובצל של יתד נעוץ באדמה.

תלס התבסס על כך שבשעה מסוימת קרני השמש יוצרות

הפירמידה גובה את וחישב הקרקע, פני עם זווית אותה

באמצעות יחסים בין אורכי צלעות ומשולשים דומים.

מצאו בשרטוט משולשים דומים.

נלמד להשתמש באורך הצל לחישוב גבהים של עצמים.

במשימות בשיעור ובאוסף המשימות השרטוטים הם להדגמה, ומידות האורך נתונות במטרים או בס"מ.

תזכורת

אם נתונים שני ישרים מקבילים וישר חותך,

אז הזוויות המתאימות שוות בגודלן, והזוויות המתחלפות שוות בגודלן.

a || b בשרטוט נתון: דוגמה:α זוויות מתאימות = γ מסיקים:

b זוויות מתחלפות = γ

αa

b

β

γ

השרטוט מדגים את הדרך שבה נעזר תלס לחישוב גובה הפירמידה. .1 ?]ABM = ]TFB מדוע א.

האם המשולשים ΔTFB ו- ΔABM דומים? הסבירו. ב.

נתון: ג.

BT = '1 מ גובה היתד

BF = '2.5 מ אורך צל היתד

BM = '251 מ אורך צל הפירמידה

חשבו את גובה הפירמידה.

A

1 מ׳ תדי

קרן שמש קרן שמש

T

MBF

A

1 מ׳ תדי

קרן שמש קרן שמש

T

MBF


כדי למדוד את גובה העץ רפי עמד בקצה הצל של העץ )ראו שרטוט(, .2ומדד את האורכים הבאים:

AR = '1.5 מ גובהו של רפי

AB = '2 מ אורך הצל של רפי

AC = '6 מ אורך הצל של העץ

האם ΔQAC ~ ΔRBA? הסבירו. א.

מה גובה העץ? ב.

בשרטוט שלפניכם מתבונן דניאל לתחתית הבור. .3DBKD , DACB חשבו את זוויות המשולשים א.

הסבירו מדוע שני המשולשים דומים. ב.

.)BK חשבו את עומק הבור )אורך ג.


.PQRS חסום ריבוע ΔABC במשולש .4רשמו את כל המשולשים ישרי-הזווית שבשרטוט. א.

?ΔABC אילו מבין המשולשים האלה דומים למשולש ב.

CQ = נתון כי אורך צלע הריבוע 10ס"מ, 5 ס"מ ג.

.AC חשבו את אורך


BC || RT בשרטוט נתון .5מצאו בשרטוט זוג משולשים דומים. הסבירו. א.

.RT גדול ב- 3 ס"מ מאורך הצלע BC אורך הצלע ב.

.RT מצאו את אורך הצלע

R

AB

Q

C

D3 מטר

K

A

CB

30˚

טרמ

1.8

1מטר

ACQ P

R S

B

T

R

B

CA 64



כדי למדוד גובה של מגדל קידוח, .1מדד אריאל את אורך הצל של מגדל הקידוח,

את גובהו של יונתן, ואת אורך הצל שלו.

הסבירו מדוע המשולשים דומים. א.

חשבו את גובה מגדל הקידוח. ב.

כדי למדוד גובה של תורן מדד דני את אורך הצל של התורן: 4 מטר. .2כמו כן הוא מדד גובה של מוט נעוץ באדמה: 0.6 מטר, ואת אורך הצל של המוט: 0.4 מטר.

חשבו את גובה התורן.

T'0.4 מO

M

G'4 מ

0.6 מ'

E

D

על-מנת למדוד רוחב של נהר, תקעו יתדות באופן הבא: .3יתד בנקודה A הנמצאת מול עץ )נקודה B( בגדה שממול. -

.A הנמצאת במרחק 20 מ' מנקודה C יתד נוספת בנקודה -

.D ,F שתי יתדות נוספות בנקודות -

.C נמצאת על המשך הקרן בין העץ ליתד F

האם המשולשים (DDFC, DABC( דומים? הסבירו. א.

.)AB( היעזרו במידות שבשרטוט וחשבו את רוחב הנהר ב.

40 מ'

מ' 1

.75

2 מ'

F

DCA

B

20

2 מ'

6


.AE II QP בשרטוט נתון .4מצאו בשרטוט זוג משולשים דומים. הסבירו. א.

.AD מצאו את אורך הקטע ב.

.AQ מצאו את אורך הקטע ג.

.AE II QP בשרטוט נתון .5מצאו בשרטוט זוג משולשים דומים. הסבירו. א.

.QP גדולה ב- 4 ס"מ מהצלע AE הצלע ב.

.QP מצאו את אורך הצלע

בכל סעיף זוג משולשים שווי-שוקיים. בדקו אם המשולשים דומים. הסבירו. .6א.

50˚

50˚

ב.

65˚50˚

ג.

50˚

50˚

בכל סעיף, קבעו אם הטענה נכונה. אם כן, נמקו. אם לא, תנו דוגמה נגדית. .7משולשים שווי-שוקיים השווים בזווית הראש, דומים. א.

משולשים שווי-שוקיים השווים בזווית אחת, דומים. ב.

משולשים ישרי-זווית ושווי-שוקיים, דומים. ג.

משולשים שווי-צלעות, דומים. ד.

משולשים חופפים, דומים. ה.

משושים משוכללים, דומים. ו.

נתון משולש. .8?)x > 0, y > 0( y -ל x איזה מבין היחסים הבאים הוא היחס בין

2:1 1:2 1:1

הסבירו.

E6

1.5

1

A

PQ

D

1

2

E

PQ

D

A

x

y


שיעור 4. שטחים של מצולעים דומים

התייחסו לנתונים במשימת הפתיחה. .1

נתונה סדרה של משולשים.

a

cb

a a a

c

c

b

b

α

α

β βγ γa a

c

c

cb

b

b α

βγ

a a a a

c

c

c

c

b

b

b

b α

βγ

משולש מקורימשולש בינונימשולש גדולמשולש ענק

מה היחס בין אורכי הצלעות המתאימות במשולשים בסדרה?

מה היחס בין שטחי המשולשים בסדרה?

נלמד על יחס השטחים של מצולעים דומים.

האם המשולשים דומים? הסבירו. א.

העתיקו את הטבלה והשלימ. ב.

יחס בין שטחי המשולשיםיחס בין אורכי צלעות המשולשיםמשולשים

מקורי / בינוני

מקורי / גדול

מקורי / ענק

בינוני / גדול

בינוני / ענק

מה הקשר בין יחס השטחים של משולשים דומים, ובין יחס הדמיון שלהם? ג.

אפשר להרכיב משולשים גדולים יותר ממשולשים קטנים חופפים )כמו במשימת הפתיחה(, לאה אמרה: .2כך שהמשולש הגדול יהיה דומה למשולש הקטן, אם מספר המשולשים הקטנים הוא ריבוע

שלם. למשל מ- 4 משולשים קטנים, מ- 9 משולשים קטנים, מ- 16 משולשים קטנים וכו'.

אני יכולה להרכיב משולש "גדול" מכל מספר משולשים שאני רוצה. טלי אמרה:



קחו דף מלבני, קפלו אותו לשניים, וקפלו אותו קיפול נוסף )ראו תמונה(. .3

פתחו את הדף המקופל.

פי כמה גדולים אורכי צלעות המלבן המקורי מאורכי צלעות המלבן המקופל? א.

פי כמה גדול שטח המלבן המקורי משטח המלבן המקופל? ב.

קחו דף מלבני נוסף, קפלו את הדף כך שאורכי צלעות המלבן המקופל יהיו רבע מאורך צלעות הדף. ג.

פתחו את הקיפול, כמה מלבנים נוצרו?

פי כמה גדול שטח הדף משטח המלבן שנוצר על-ידי קיפול?

כלומר הדמיון, יחס כריבוע לזה זה מתייחסים דומים מצולעים של השטחים כי דוגמאות, מתוך ראינו

כריבוע היחס בין האורכים של צלעות מתאימות.

במשימה 1 יחס הדמיון של המשולש המקורי והמשולש הגדול הוא 1:3. דוגמה: יחס השטחים של המשולש המקורי והמשולש הגדול הוא 1:9.

צלעות משולש הוגדלו פי 5 והתקבל משולש דומה. פי כמה גדל השטח? א. .4צלעות מלבן הוגדלו פי 9 והתקבל מלבן דומה. פי כמה גדל השטח? ב.

צלעות ריבוע הוקטנו פי 8 והתקבל ריבוע דומה. פי כמה קטן השטח? ג.


בונים ריבועים מריבוע נתון .1כמה ריבועים דרושים לבניית הריבוע הגדול? א.

פי כמה ארוכה צלע של הריבוע הגדול מצלע הריבוע המקורי? ב.

פי כמה גדול שטח הריבוע הגדול משטח הריבוע המקורי? ג.

הגדילו יותר את הריבוע. בכמה ריבועים השתמשתם? שרטטו את הריבוע שקיבלתם. ד.

פי כמה גדולים אורכי צלעות הריבוע ששרטטתם מאורכי צלעות הריבוע המקורי?

פי כמה גדול שטח הריבוע ששרטטתם משטח הריבוע המקורי?


בנו ריבוע גדול מ- 100 ריבועים חופפים. .2פי כמה ארוכה צלע הריבוע הגדול מצלע הריבוע הקטן? א.

פי כמה גדול שטח הריבוע הגדול משטח הריבוע הקטן? ב.

בנו טרפז גדול מארבעה טרפזים קטנים. .3

פי כמה ארוכה צלע של הטרפז הגדול מהצלע המתאימה של הטרפז הקטן? א.

פי כמה גדול שטח הטרפז הגדול משטח הטרפז הקטן? ב.

שרטטו מקבילית על דף משובץ. א. .4שרטטו מקבילית דומה למקבילית ששרטטתם, הבנויה מ- 9 מקביליות חופפות למקבילית ששרטטתם.

פי כמה ארוכות צלעות המקבילית הגדולה מאורכי הצלעות המתאימות במקבילית המקורית? ב.

פי כמה גדול שטח המקבילית הגדולה משטח המקבילית המקורית? ג.

המורה אמרה: צורה זו בונה את עצמה. .5)כלומר, מספר העתקים של הצורה הקטנה

יוצרים צורה דומה גדולה יותר.(

גזרו 4 צורות כאלה, ונסו לבנות צורה דומה. א.

הראו על-ידי שרטוט על דף משבצות איך הצורה בונה את עצמה. ב.

צלעות משולש הוגדלו פי 6 והתקבל משולש דומה. פי כמה גדל השטח? א. .6צלעות משולש הוגדלו פי 11 והתקבל משולש דומה. פי כמה גדל השטח? ב.

צלעות משולש הוקטנו פי 4 והתקבל משולש דומה. פי כמה קטן השטח? ג.

היחס בין אורכי הצלעות של שני משולשים דומים הוא 1:3, מה היחס בין השטחים של שני המשולשים? ד.

היחס בין השטחים של שני משולשים דומים הוא 1:4, מה היחס בין אורכי הצלעות של שני המשולשים? ה.


שיעור 5. חישוב שטחים במצולעים דומים

ארבעת המשולשים בשרטוט דומים זה לזה

)השרטוטים הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ(.

10864

מצאו יחס דמיון של זוגות שונים של משולשים.

מצאו יחסי שטחים של זוגות שונים של משולשים.

נלמד לחשב שטחים של מצולעים דומים.

במשימות בשיעור ובאוסף המשימות השרטוטים הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ.

נתייחס לנתונים במשימת הפתיחה. .1שטח המשולש הירוק 8 סמ"ר.

חשבו את שטחי שלושת המשולשים האחרים.

בשרטוט שני מלבנים. .2

26

3

9

האם המלבנים דומים? מהו יחס הדמיון של המלבנים? א.

חשבו את שטחי המלבנים. מהו יחס השטחים של המלבנים? ב.

DDAR ו- DBEN הם משולשים דומים. .3מהו יחס הדמיון? א.

מהו היחס בין שטחי המשולשים? ב.

שטח המשולש DBEN הוא 12 סמ"ר. ג.

?DDAR מהו שטח משולש

R

D

B

ANE 64


שני המשושים דומים. שטח המשושה הגדול 36 סמ"ר. .4אורכי הצלעות של המשושה הפנימי קטנים פי 2

מאורכי הצלעות של המשושה הגדול.

מה גודל השטח הצבוע? הסבירו את חישוביכם.

נתונים שני מעגלים שאורכי הרדיוסים שלהם 4 ס"מ ו- 12 ס"מ. .5מה יחס אורכי הרדיוסים של שני המעגלים? א.

מה יחס השטחים של שני העיגולים? ב.

ראינו מתוך דוגמאות, כי שטחים של עיגולים מתייחסים זה לזה כריבוע יחס אורכי הרדיוסים שלהם.

במשימה 5 יחס אורכי הרדיוסים של המעגלים הוא 1:3, ויחס השטחים של העיגולים הוא 1:9 דוגמה:

לאה מכינה בצק לעוגה לפי מתכון, ומניחה אותו בתבנית עגולה שאורך הרדיוס שלה 10 ס"מ. .6רינה רוצה להכין אותו בצק בתבנית עגולה שאורך הרדיוס שלה 20 ס"מ. )עובי הבצק אינו משתנה.(

פי כמה עליה להגדיל את כמויות החומרים, כדי לקבל כמות בצק המתאימה לתבנית הגדולה?


בשרטוט שני מלבנים. .1

האם המלבנים דומים? מהו יחס הדמיון של המלבנים? א.

כמה מלבנים קטנים "נכנסים" בתוך המלבן הגדול? ב.

חשבו את שטחו של כל מלבן. מהו יחס השטחים של המלבנים? ג.

מה יחס ההיקפים של המלבנים? ד.

נתונים שני מעגלים שאורכי הרדיוסים שלהם 5 ס"מ ו- 10 ס"מ. .2מה יחס אורכי הרדיוסים של שני המעגלים? א.

מה יחס השטחים של שני העיגולים? ב.

31

15

5


DABC ∼ DDKE .3EK = 4 ס"מ CB = 6 ס"מ

מה יחס הדמיון בין שני המשולשים? א.

אורך הגובה לצלע CB הוא 4 ס"מ. ב.

.DABC חשבו את שטח משולש

.DDEK חשבו את שטח משולש ג.

שטחו של משולש DART 3 סמ"ר. א. .4.DART אורכי צלעותיו של משולש דומה גדולים פי 4 מאורכי צלעותיו של משולש

מה שטח המשולש הגדול?

שטחו של משולש DABC הוא 36 סמ"ר. ב.

.DABC ושטחו קטן פי 9 משטחו של משולש DABC דומה למשולש DDEF משולש

מה היחס בין אורכי הצלעות של שני המשולשים?

מחיר שטיח ריבועי שאורך כל צלע שלו מטר אחד הוא 300 שקלים. .5קונה רצה לקנות שטיח ריבועי שאורך צלעותיו 2 מ', והציע לשלם 600 שקלים.

בעלת החנות דרשה 1,000 שקלים ואף טענה שמחיר זה הוא לאחר הנחה ניכרת.

האם בעלת החנות צודקת? הסבירו.

פיצה ריבועית שאורך הצלע שלה 15 ס"מ הוא 5 שקלים. .6כמה תעלה פיצה ריבועית שאורך הצלע שלה 30 ס"מ? א.

כמה תעלה פיצה ריבועית שאורך הצלע שלה 45 ס"מ? ב.

מחיר פיצה אישית עגולה שאורך הרדיוס שלה 6 ס"מ הוא 12 שקלים. .7כמה תעלה פיצה עגולה שאורך הרדיוס שלה 18 ס"מ? א.

כמה תעלה פיצה עגולה שאורך הרדיוס שלה 15 ס"מ? ב.

מחיר פיצה עגולה שאורך הרדיוס שלה 20 ס"מ הוא 60 שקלים. .8כמה תעלה פיצה עגולה שאורך הרדיוס שלה 10 ס"מ? א.

כמה תעלה פיצה עגולה שאורך הרדיוס שלה 5 ס"מ? ב.

B

C

AK

ED

4

6


אולם אירועים מתאים לאירוח של 250 אורחים. .9בעלי האולם רוצים לבנות אולם המתאים ל- 1,000 אורחים.

פי כמה עליהם להגדיל את מידות האורך של האולם?

בשרטוט שני מכלים לאגירת מים. לשני המכלים אותו גובה. .10אורך רדיוס המכל הקטן 30 ס"מ, אורך רדיוס המכל הגדול 90 ס"מ.

קיבולת המים של המכל הקטן 7 קוב מים.

מהי קיבולת המים של המכל הגדול?

חקלאי ביקש ממושיק לחפור בור שעומקו, אורכו ורוחבו מטר אחד, כדי לאחסן ציוד. .11

2 מטר.1 מושיק הציע לחפור במקום זה שני בורות, כל אחד בעומק, אורך ורוחב של

החקלאי הסכים ומושיק יצא לעבודה. מה דעתכם? הסבירו.

y = 2x – 4 בשרטוט ישר שהייצוג האלגברי שלו .12ושתי מדרגות, לכל מדרגה רוחב שונה.

המדרגות יוצרות שני משולשים.

aEDM = 63˚ א.

חשבו את שאר הזוויות במשולשים.


אם כן, רשמו את יחס הדמיון. אם לא, הסבירו.

לכל מדרגה, רשמו את היחס בין גובה המדרגה לרוחב המדרגה. ב.

שטח משולש DEMD משבצת אחת. ג.

?ΔABE מה שטח משולש

רשמו את היחס בין השטחים של שני המשולשים.

, y = x – 1 בשרטוט ישר שהייצוג האלגברי שלו .13ושתי מדרגות, לכל מדרגה רוחב שונה.

המדרגות יוצרות שני משולשים.

מה הגובה של כל מדרגה? א.

האם המשולשים דומים? ב.

מהו היחס בין השטחים של שני המשולשים? ג.

MD

B

A

E

y

x2–2 4–4 60

2

–2

–4

4

6

y

x2

5


שומרים�על�כושר

שברים

בכל סעיף, קבעו אם הריבוע מחולק לרבעים. .1ה. ד. ג. ב. א.

שרטטו ריבוע מחולק לרבעים בדרך שאינה מופיעה במשימה 1 א. .2חלקו רבע אחד בריבוע שלכם לשני חלקים וצבעו חלק אחד. איזה חלק של הריבוע צבעתם? ב.

בכל סעיף, קבעו: איזה חלק מהריבוע צבוע בכחול? איזה חלק אינו צבוע בכחול? .3ד. ג.ב. א.

באילו סעיפים כל השברים שווים זה לזה? .4

א.72

144

21ג.6

53

64 6

10

ב.21

205

4ד.2

32 6

9 1510

בחרו מבין התרגילים הבאים את התרגיל שתוצאתו הגדולה ביותר: .5

732 – ·

732

732 + :2

73

סבתא חילקה לנכדיה: רינה, דבורה ויואל 450 שקלים דמי-חנוכה. .6 מהסכום, יואל קיבל את שאר הכסף.

52 מהסכום, דבורה קיבלה

94 רינה קיבלה

איזה חלק של הסכום קיבל יואל? א.

כמה כסף קיבלה רינה? כמה קיבלה דבורה? כמה קיבל יואל? ב.

בכל סעיף, מצאו שברים זהים לשבר שבמסגרת. .7

4א.1

0.251001250.4

100250.1

10ב.1

0.10.0110011

10010

5ג.2

0.20.40.510020

104

Documents

םישלושמ ןוימד 14 הדיחי...265 הקיטמתמב םיבוליש םישלושמ ןוימד - dg הדיחי םישלושמ ןוימד :14 הדיחי םימוד םישלושמב