Министерство образования и науки РФ

Пензенский государственный педагогический университет

им.В.Г. Белинского

В.И. Паньженский

ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ

Учебное пособие

Рекомендовано Государственным образовательным учреждением

высшего профессионального образования

"Московский педагогический государственный университет"

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по специальности 05 02 01 математика

Пенза – 2008

Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского

государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского

УДК 513(0.76)

ББК 22.15я73

Паньженский В.И. Введение в дифференциальную геометрию/ Учебное

пособие для студентов, аспирантов и преподавателей педагогических вузов. –

Пенза: Пензенский гос. пед. ун-т им. В.Г. Белинского, 2007 – 218с.

Учебное пособие представляет собой краткое введение в локальную

дифференциальную геометрию. Оно включает в себя кроме традиционных

вопросов теории кривых и поверхностей в евклидовом пространстве

необходимый алгебраический материал по линейным пространствам и

отображениям, общей топологии, а также содержит основные факты

римановых, финслеровых, почти симплектических структур и их

инфинитезимальных автоморфизмов.

Пособие предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей

математических специальностей университетов.

Научный редактор – доктор физико-математических наук,

профессор И.В. Бойков

Рецензенты: кафедра геометрии Московского педагогического

государственного университета (зав. кафедрой доктор физико-

математических наук, профессор В.Ф. Кириченко); доктор физико-

математических наук, профессор МГУ им. М.В.Ломоносова Л.Е. Евтушик.

ISBN 5-94321-016-4

c©Пензенский государственный педагогический

университет им. В.Г. Белинского, 2008.

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .................................................................................................6

Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ .............7

§1. Линейные пространства .........................................................................7

§2. Линейные и полилинейные формы ......................................................11

§3. Линейные отображения и операторы ...................................................15

§4. Тензоры. Операции над тензорами ......................................................18

§5. Внешние формы ....................................................................................21

§6. Тензорное произведение векторных пространств ................................24

§7. Евклидовы векторные пространства .....................................................32

§8. Симплектические векторные пространства ..........................................38

§9. Комплексные векторные пространства ................................................41

§10. Эрмитовы векторные пространства ....................................................45

§11. Линейные алгебры ................................................................................49

§12. Аффинные пространства .....................................................................53

§13. Категории и функторы ........................................................................56

Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ......................................60

Введение .......................................................................................................60

§1. Топологические структуры, топологические пространства.

Открытые множества, окрестности. Внутренние, внешние

и граничные точки. Топология, индуцированная метрикой

.......................................................................61

§2. Замкнутые множества. Операция замыкания. База

топологии. Подпространства топологического пространства

.......................................................65

§3. Отделимость, связность, компактность .................................................68

§4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Вложения

и погружения ....................................................................................................71

§5. Понятие многообразия. Многообразия с краем. Операция

склеивания......................................................................................................................73

§6. Эйлерова характеристика. Теорема Эйлера для многогранников.

4

Классификация топологически правильных многогранников

...............................75

Глава III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И

ПОВЕРХНОСТЕЙ .................................................................................................79

§1. Понятие гладкой кривой. Естественная параметризация .....................79

§2. Плоские кривые .....................................................................................83

§3. Пространственные кривые. Формулы Френе. Кривизна и кручение

кривой .....................................................................................................................87

§4. Гладкие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к

поверхности ......................................................................................................92

§5. Первая квадратичная форма поверхности ..........................................95

§6. Вторая квадратичная форма поверхности ............................................99

§7. Главные направления. Главные кривизны ..........................................102

§8. Полная и средняя кривизна поверхности ...........................................105

§9. Основные уравнения теории поверхностей .........................................106

§10. Геодезическая кривизна кривой. Геодезические линии ....................111

§11. Полугеодезическая система координат. Экстремальное свойство

геодезических ..........................................................................................................114

§12. Теорема Гаусса-Бонне .........................................................................116

§13. Параллельное перенесение векторов на поверхности. Ковариантное

дифференцирование .......................................................................................117

Глава IV. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ .............119

§1. Гладкие многообразия .........................................................................119

§2. Касательное и кокасательное расслоения. Расслоение линейных

реперов ...................................................................................................................124

§3. Векторные поля ....................................................................................127

§4. Дифференциальные формы ................................................................132

§5. Тензорные поля. Тензорные расслоения ..............................................138

§6. Производная Ли ....................................................................................140

§7. Группы Ли. Группы Ли преобразований .............................................143

Глава V. НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

СТРУКТУРЫИИХИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕАВТОМОРФЫЗМЫ ...152

5

§1. Ковариантное дифференцирование .....................................................152

§2. Римановы метрики и связности ...........................................................160

§3. Движения в римановых пространствах ................................................167

§4. Уравнения Эйлера-Лагранжа ..............................................................172

§5. Симплектические и почти симплектические структуры ...................179

§6. Инфинитезимальные автоморфизмы почти симплектических

структур ..........................................................................................................183

§7. Финслеровы структуры ........................................................................189

§8. Движения в финслеровых пространствах ..........................................197

Упражнения ...............................................................................................203

Список литературы ...................................................................................216

6

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие написано на основе лекций, прочитанных автором

для студентов II курса (главы II, III) и IV курса (главы I, IV, V) физико-

математического факультета Пензенского государственного педагогического

университета им. В.Г. Белинского. Вторая и третья главы "Элементы

общей топологии" и "Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей"

составляют обязательный семестровый курс, (4 семестр), предусмотренный

государственным образовательным стандартом. Отводимые на этот курс

аудиторные часы (2ч лекций + 2 ч практических занятий) не позволяют

изложить материал, который обычно изучался достаточно детально в 70е-80-

е гг. Поэтому пришлось сократить до минимума содержание данного курса и

опустить доказательства некоторых теорем.

Что касается первой главы "Линейные пространства и

отображения содержащей необходимый алгебраический материал, и

четвертой и пятой глав "Гладкие многообразия и отображения" и "Некоторые

дифференциально геометрические структуры и их инфинитезимальные

автоморфизмы то они включают материал, который автор читал на

протяжении многих лет студентам IV курса и аспирантам в рамках

спецкурсов и факультативных занятий. В силу специфики исследований

автора более детально изложены вопросы, касающиеся групп преобразований

и инфинитезимальных автоморфизмов римановых, финслеровых и почти

симплектических структур.

Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю

признательность кафедре Московского педагогического государственного

университета (заведующий кафедрой, профессор В.Ф. Кириченко) и

профессору МГУ им. М.В. Ломоносова Л.Е. Евтушику за их ценные

замечания по содержанию пособия, а также благодарность моим ученикам,

доцентам М.В.Сорокиной и О.П.Суриной за помощь в издании данного

пособия.

7

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ

§1. Линейные пространства

1. Множество V элементов произвольной природы называется линейным

(векторным) пространством, а его элементы векторами, если определены

операции сложения векторов и умножение вектора на число так, что

выполняются следующие условия:

1) (u + v) + w = u + (v + w), для любых u,v,w ∈ V ;2) существует нулевой вектор θ ∈ V такой, что v + θ = v для любого

v ∈ V ;3) для любого вектора v ∈ V существует единственный противоположный

ему вектор −v такой, что v + (−v) = θ;4) u + v = v + u для любых u,v ∈ V ;5) (λµ)v = λ(µv) для любых λ, µ ∈ R и любого v ∈ V ;6) λ(u + v) = λu + λv для любого λ ∈ R и любых u,v ∈ V ;7) (λ + µ)v = λv + µv для любых λ, µ ∈ R и любого v ∈ V ;8) 1 · v = v для любого v ∈ V ,

где R — поле действительных чисел. Заметим, что из 1)-4) следует, чтомножество V относительно операции сложения является абелевой группой.

2. Пусть e1, e2, . . . , en ∈ V , λ1, λ2, . . . , λn ∈ R тогда вектор λ1e1 + λ2e2 +· · ·+ λnen называется линейной комбинацией векторов e1, e2, . . . , en, а числаλ1, λ2, . . . , λn ее коэффициентами. Совокупность всех линейных комбинаций

называется линейной оболочкой данных векторов. Линейная комбинация

0 · e1 +0 ·e2 + · · ·+0 ·en называется тривиальной. Тривиальная комбинацияравна нулевому вектору. Если среди коэффициентов линейной комбинации

есть хотя бы один отличный от нуля, то она называется нетривиальной.

Система векторов e1, e2, . . . , en называется линейно независимой, если из

всех линейных комбинаций этой системы только тривиальная равна нулевому

вектору. Это означает, что из равенства λ1e1+λ2e2+· · ·+λnen = θ следует, чтоλ1 = λ2 = · · · = λn = 0. Если среди линейных комбинаций системы векторовесть хотя бы одна нетривиальная равная нулевому вектору, то система

8

векторов называется линейно зависимой, т.е. найдутся числа λ1, λ2, . . . , λn

не все равные нулю такие, что λ1e1 + λ2e2 + · · ·+ λnen = θ.Линейно независимая система векторов {e1, e2, . . . , en} называется

базисом векторного пространства V , если любой вектор v ∈ V являетсялинейной комбинацией векторов этой системы

v = v1e1 + · · ·+ vnen. (1.1)

Коэффициенты v1, . . . , vn называются координатами вектора v в данном

базисе. В силу линейной независимости векторов базиса разложение (1.1)

является единственным.

Если в векторном пространстве V существует базис, состоящий из

n векторов, то оно называется конечномерным, а натуральное число n

называется размерностью пространства V : dimV = n.

Подмножество W ⊂ V называется подпространством векторногопространства, если оно является векторным пространством относительно

операций, заданных на V . Это означает, что для ∀u,v ∈ W u + v ∈ W и∀λ ∈ R, ∀v ∈ W λv ∈ W . Здесь и далее в тексте будут использоватьсякванторы всеобщности ∀ и существования ∃.

Часто различные вопросы приводят к рассмотрению множеств вида

v + W = {v + w|w ∈ W}

Такие множества иногда называют сдвигами подпространства W на

вектор v ∈ V или классами смежности. Фактор-пространством V/Wвекторного пространства V по подпространству W называется множество

всех сдвигов (классов смежности) подпространства W . Множество V/W

является векторным пространством с естественными операциями сложения

и умножения на число

(v1 + W ) + (v2 + W ) = (v1 + v2) + W,

λ(v + W ) = λv + W.

Нулевым элементом в V/W является подпространство W . Имеется

каноническое отображение φ : V → V/W , φ(v) = v + W ; оно сюрьективно, аего слои — классы смежности в пространстве V .

9

Говорят, что векторное пространство V разлагается в прямую сумму

подпространств V1 и V2 : V = V1 ⊕ V2, если ∀v ∈ V представим в видеv = v1 + v2, где v1 ∈ V1, v2 ∈ V2 и V1 ∩ V2 = θ. Если dimV1 = n1, dimV2 = n2,то n1 + n2 = n.

Пусть V1 и V2 — векторные пространства. Построим векторное

пространство V = V1 ⊕ V2 — внешнюю прямую сумму V1 и V2. Каждыйэлемент v ∈ V по определению есть формальная сумма элементов v1 ∈ V1,v2 ∈ V2 (т.е. элемент из V1 × V2): v = v1 + v2. Если u = u1 + u2, тоu + v = (u1 + v1) + (u2 + v2), λv = λv1 + λv2. Если dimV1 = n1,

dimV2 = n2 и {ei1} и {ei2} базисы в V1 и V2 соответственно, то векторы{ei = ei1 + θ, θ + ei2} образуют базис в V и dimV = n = n1 + n2. МножестваV1 ⊕ {θ} и {θ} ⊕ V2 являются подпространствами в V = V1 ⊕ V2, которыеизоморфны соответственно V1 и V2.

Если V1 и V2 векторные пространства, то их прямое произведение V1 × V2также является векторным пространством, причем (u1,u2)+ (v1,v2) = (u1 +

v1,u2 + v2), λ(u,v) = (λu, λv). Если dimV1 = n1, dimV2 = n2, {ei1} – базис вV1 и {ei2} – базис в V2, то {ei1, ei2} – базис в V и dimV = n = n1 · n2.

Аналогично определяются прямая сумма и прямое произведение любого

конечного числа векторных пространств.

3. В дальнейшем изложении мы будем использовать индексы при

написании различных выражений, при этом будем следовать известному

правилу суммирования, а именно, если в некотором выражении содержатся

одинаковые индексы на разных уровнях, то по этим индексам предполагается

суммирование. Так, например, совокупность векторов e1, . . . , en будем

записывать в виде ei, систему чисел v1, . . . , vn в виде vj, а разложение (1.1)

в виде v = vkek. Здесь i, j – свободные индексы, k – индекс суммирования.

Заметим, что обозначение свободных индексов должно быть унифицировано

во всех членах соотношений, например yi = cisxs, (i – свободный индекс,

s– индекс суммирования, который может быть заменен на любой другой,

отличный от i, например, на k и мы получим те же самые соотношения: yi =

cikxk). Если индексов много, то их обозначают одной буквой с подиндексами.

10

Например, ai1i2...is есть краткое обозначение системы ns величин. Если bj1j2...jsсистема величин, то

ai1i2...isbi1i2...is = a11...1b11...1 + a

21...1b21...1 + · · ·+ ann...nbnn...n.

Часто нам будут встречаться специальные символы. Например символ

Кронекера δij: δij = 1, если i = j и δij = 0, если i 6= j. В суммах этот символдействует как тождественный оператор, например, δijai = aj, δijaj = ai; (δij)

– единичная матрица. Другим известным символом является альтернатор

δi1...ikj1...jk = ±1, если j1j2 . . . jk есть некоторая перестановка значений индексовi1i2 . . . ik, считая, что все эти значения различны, при этом берется +1, если

указанная перестановка четная и −1, если перестановка нечетная. Во всехостальных случаях δi1...ikj1...jk = 0 (т.е. если среди значений i1i2 . . . ik или j1j2 . . . jkесть одинаковые а также, если среди значений i1i2 . . . ik есть такие, которых

нет среди j1j2 . . . jk и наоборот). Заметим также, что при k = 1 альтернатор

есть символ Кронекера.

Пусть A = (aij) – квадратная n×n-матрица. При n = 2 рассмотрим сумму

D = δi1i212 a1i1a2i2 = δ1212a11a22 + δ

2112a12a21 + δ

2212a12a22 =

a11 · a22 − a12 · a21 = det A.Для произвольного n имеем δi1i2...in12...n a1i1a2i2 . . . anin = det A.

4. Пусть {ei}– базис n-мерного векторного пространства V , C = (cii′)–невырожденная n× n- матрица. Тогда векторы

ei′ = cii′ei (1.2)

также, очевидно, являются базисом {ei′} в пространстве V . Соотношения(1.2) называются формулами перехода от "старого" базиса {ei} к "новому"{ei′}, а C = (cii′)– матрицей перехода. Если

v = vi′ei′ (1.3)

разложение вектора v в базисе {ei′}, то подставляя (1.2) в (1.3) и сравниваяс (1.1) получаем формулы преобразования координат

vi = cii′vi′ (1.4)

11

Говорят, что формулы (1.4) есть формулы перехода от "новых"координат

(vi′) к "старым" (vi). Матрицы перехода в (1.2) и (1.4) являются

транспонированными друг к другу. Если систему (1.2) разрешить

относительно ei , а (1.4) разрешить относительно vi′, то получим формулы

перехода от "нового" базиса к "старому" и от "старых" координат к "новым"

ej = cj′j ej′, (1.5)

vj′= cj

′j v

j. (1.6)

Матрица перехода в (1.5) является обратной к матрице в (1.2), а матрица в

(1.6) обратная к матрице в (1.4), т.е. ci′j · cii′ = δij, cj′

i · cii′ = δj′

i′ .

§2. Линейные и полилинейные формы

1. Отображение ω : V → R называется линейной формой на V , еслиω(u + v) = ω(u) + ω(v), ω(λu) = λω(u)

для ∀u,v ∈ V , ∀λ ∈ R.Множество V ∗ всех линейных форм само является векторным

пространством, которое называется пространством дуальным к V .

Пространство V ∗ часто называют ковекторным, а его элементы ковекторами.

Сложение ковекторов и умножение на число определяются естественным

образом:

(ω1 + ω2)(v) = ω1(v) + ω2(v); (λω)(v) = λω(v).

Нетрудно убедиться в справедливости свойств 1)-8) определения векторного

пространства.

Пусть {ei} базис n-мерного векторного пространства V и v = viei–разложение произвольного вектора v ∈ V по векторам этого базиса. Найдемзначение формы ω ∈ V ∗ на векторе v ∈ V

ω(v) = ω(viei) = viω(ei).

Обозначив через ωi значения формы ω на базисных векторах, т.е. ωi = ω(ei),

получим координатное выражение линейной формы ω в базисе {ei}ω = ωiv

i. (2.1)

12

Таким образом, линейная форма на V это линейная функция координат

произвольного вектора из V , ωi – координаты формы ω в базисе {ei}.Если V – n-мерное векторное пространство, то V ∗ также является n-

мерным. Действительно, в пространстве V ∗ построим базис {ei} дуальныйбазису {ei} пространства V . По определению этот базис состоит из форм eiтаких, что значение i-ой формы на векторе v равно i-ой координате вектора

v:

ei(v) = vi, (2.2)

в частности,

ei(ej) = δij. (2.3)

Формы ei линейно независимы, так как из λiei(v) = λivi = 0 следует, что

λi = 0 в силу произвольности вектора v. Кроме того, в силу (2.1) и (2.2)

имеем

ω = ωiei (2.4)

т.е. любую форму ω можно разложить по формам базиса, а ωi– координаты

формы ω в этом базисе.

В пространстве V возьмем базисы {ei}, {ei′} и {ei}, {ei′}– дуальные к нимбазисы в пространстве V ∗. Пусть

v = viei,v = vi′ei′, ω = ωie

i, ω = ωi′ei′,

тогда

ωi′ = ω(ei′) = ω(cii′ei) = c

ii′ωi,

т.е.

ωi′ = cii′ωi, (2.5)

откуда следует, что координаты линейной формы преобразуются также,

как векторы базиса {ei} пространства V . Разрешая (2.5) относительно ωi,получим

ωi = ci′i ωi′. (2.6)

Кроме того, из (1.4), (1.6) и (2.2) следует

ei = cii′ei′, ei

′= ci

′i e

i, (2.7)

13

т.е. базисные формы преобразуются также как и координаты вектора.

2. Отображение ϕ : V × · · · × V → R линейное по каждому своемуаргументу называется полилинейной формой на V . Пусть {ei} базиспространства V и v1 = vi11 ei1, . . . ,vr = virr eir разложение векторов v1, . . . ,vrв этом базисе. Тогда

ϕ(v1, . . . ,vr) = ϕi1...irvi11 . . . v

irr (2.8)

координатное выражение полилинейной формы (r-формы), где nr чисел

ϕi1...ir = ϕ(ei1, . . . eir) (2.9)

называются координатами (компонентами) формы ϕ в данном базисе.

Если {ei′} новый базис в пространстве V и

ϕ = ϕi′1...i′rvi′11 . . . v

i′rr , (2.10)

то

ϕi1...ir = ϕi′1...i′rci′1i1

. . . ci′rir, (2.11)

ϕi′1...i′r = ϕi1...irci1i′1

. . . ciri′r , (2.12)

формулы преобразования координат формы ϕ. Очевидно, что множество

всех r-форм на V является векторным пространством относительно операций

сложения и умножения на число:

(ω1 + ω2)(v1, . . . ,vr) = ω1(v1, . . . ,vr) + ω2(v1, . . . ,vr);

(λω)(v1, . . . ,vr) = λω(v1, . . . ,vr).

Пусть ϕ — r-форма, ψ — s-форма на V . Определим их тензорное

произведение ϕ⊗ ψ как (r + s)-форму такую, что

(ϕ⊗ ψ)(v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vr+s) = ϕ(v1, . . . ,vr)ψ(vr+1, . . . ,vr+s) (2.13)

или в координатах

(ϕ⊗ ψ)i1...irir+1...ßr+s = ϕi1...ir · ψir+1...ir+s. (2.14)14

В силу ассоциативности тензорное произведение можно определить для

любого числа форм. Рассмотрим тензорное произведение базисных линейных

форм {ei}ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eir . (2.15)

Совокупность (2.15) содержит nr линейно независимых r-форм, которые в

пространстве r-форм образуют базис. Так как

(ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eir)(v1, . . .vr) = ei1(v1) . . . eir(vr) = vi11 . . . vir

r

то из (2.8) следует, что

ϕ = ϕi1...irei1 ⊗ · · · ⊗ eir (2.16)

где ϕi1...ir– компоненты r-формы ϕ в данном базисе.

3. Пусть Sr группа подстановок из r элементов 1, 2, . . . , r. Определим

действие группы Sr на векторном пространстве r-форм следующим образом:

для любой подстановки σ ∈ Sr и любой r-формы ϕ

(σϕ)(v1, . . . ,vr) = ϕ(vσ(1), . . . ,vσ(r)). (2.17)

Форма ϕ называется симметричной, если σϕ = ϕ для ∀σ ∈ Sr икососимметричной, если σϕ = sgnσ ϕ, где sgn σ – знак подстановки

σ, который равен +1, если подстановка четная, и −1, если подстановканечетная.

В пространстве r-форм действуют линейные операторы симметрирования

Sym и альтернирования Al следующим образом

Symϕ =1

r!

∑

σ∈Srσϕ (2.18)

и

Alϕ =1

r!

∑

σ∈Srsgnσ(σϕ). (2.19)

Очевидно, что Symϕ – симметричная форма, а Alϕ – кососимметричная. В

координатах действия этих операторов определяются так

ϕ(i1...ir) = (Symϕ)i1...ir =1

r!

∑

σ∈Srϕiσ(1)...iσ(r) (2.20)

15

ϕ[i1...ir] = (Alϕ)i1...ir =1

r!

∑

σ∈Srsgnσ · ϕiσ(1)...iσ(r) (2.21)

Действие группы Sr часто называют перестановкой индексов, а

действия линейных операторов Sym и Al операциями симметрирования и

альтернирования индексов. Операции симметрирования и альтернирования

можно ввести по части индексов, при этом не участвующие индексы

отделяются прямыми чертами, например,

ϕ(i|j|k) =1

2(ϕijk + ϕkji),

ϕ[i|j|k] =1

2(ϕijk − ϕkji).

Заметим, что любая билинейная форма распадается в сумму ее

симметричной и кососимметричной частей

ϕ = Symϕ + Alϕ.

Действительно, если ϕ = ϕijei⊗ ej, то ϕ(ij) = 12(ϕij + ϕji), ϕ[ij] = 12(ϕij −ϕji),поэтому ϕij = ϕ(ij) + ϕ[ij].

§3. Линейные отображения и операторы

1. Пусть V и W — векторные пространства. Отображение f : V → Wназывается линейным, если

f(u + v) = f(u) + f(v), f(λu) = λf(u), для ∀u,v ∈ V, ∀λ ∈ R.

Обозначим через L(V,W ) множество линейных отображений из V в W .Для ∀f, g ∈ L(V, W ) и для ∀λ ∈ R определим λf и f + g формулами

(λf)(v) = λf(v), (f + g)(v) = f(v) + g(v)

для ∀v ∈ V . Нетрудно убедиться, что так определенные λf и f + g линейныи L(V,W ) — векторное пространство.

Линейное отображение f : V → W называется изоморфизмом, если f–биекция, т.е. взаимно однозначное отображение V на W . Если существует

16

изоморфизм f : V → W , то векторные пространства называютсяизоморфными.

Пусть f : V → W – линейное отображение. Множество Kerf = {v ∈V |f(v) = θ} называется ядром f , а множество Imf = {w ∈ W |∃v ∈V, f(v) = w} называется образом f . Нетрудно убедиться, что ядро f являетсяподпространством в V , а образ f подпространством в W .

Если V и W – конечномерные векторные пространства, dimV = n,

dimW = m, {ei} – базис в V , {gα} – базис в W , то определена матрица(fαi ) линейного отображения f :

f(ei) = fαi gα. (3.1)

2. Пусть V – n-мерное векторное пространство, V ∗ – дуальное векторное

пространство. Рассмотрим (V ∗)∗ – пространство линейных форм на V ∗.

Каждому вектору v ∈ V поставим в соответствие форму f на V ∗ такую,что значение f на ω ∈ V ∗ равно значению ω на v:

f(ω) = ω(v). (3.2)

Построенное так отображение является каноническим изоморфизмом V и

(V ∗)∗ и обозначается через εv. Вместо ω(v) будем писать (ω,v). Таким

образом, мы имеем каноническое билинейное отображение V ∗ × V → R.Канонический изоморфизм εv : V → (V ∗)∗ можно теперь задать условием

(εv(v, ω)) = (ω,v). (3.3)

Отождествив (V ∗)∗ с V посредством εv мы можем записать

(v, ω) = (ω,v), (3.4)

т.е. рассматривать V как пространство дуальное к V ∗.

Пусть f : V → W линейное отображение векторных пространств.Определим сопряженное линейное отображение f ∗ : V ∗ → W ∗ следующейформулой

(f ∗(η),v) = (η, f(v)) (3.5)

∀η ∈ W ∗, ∀v ∈ V . Если {ei} – базис в V , {gα} – базис в W и f(ei) = fαi gα, то

f ∗(gα) = fαi ei, (3.6)

17

где {ei} и {gα} базисы дуальные базисам {ei} и {gα} соответственно.Если с помощью εv отождествить (V ∗)∗ с V , а (W ∗)∗ с W , то f ∗ : (V ∗)∗ →

(W ∗)∗ отождествляется с f : V → W .2. Линейное отображение f : V → V называется линейным оператором

(эндоморфизмом) на V . Если {ei} – базис в V , то

f(ei) = fji ej, (3.7)

где F = (f ji ) – матрица линейного оператора в базисе {ei}. Если v = f(u) иu = uiei, v = v

jej, то

vj = f ji ui. (3.8)

При замене базиса матрица линейного оператора преобразуется по

следующему закону

f i′

j′ = fijc

i′i c

jj′, (3.9)

где f i′j′ – матрица оператора f в базисе {ei′}.Обозначим через F = (f ij), F ′ = (f i

′j′), C = (c

ii′), C

−1 = (ci′

i ). Тогда

формулы преобразований (3.9) в матричной записи примут вид

F ′ = C−1FC. (3.10)

Отображение F → C−1FC называют сопряженным посредствомневырожденной матрицы С. Особую роль играют те функции матриц,

которые не меняются при замене матрицы на сопряженную. Такие функции

являются инвариантами линейных операторов. Так, если ϕ такая функция,

то полагая ϕ(f) = ϕ(F ) мы получим результат, зависящий лишь от f , но не

от базиса, в котором оператор f представлен матрицей F .

Изоморфизм f : V → V называется также линейным преобразованиемвекторного пространства V . Очевидно, что f линейное преобразование если,

и только если, его матрица в координатном представлении (3.8) является

невырожденной. Множество линейных преобразований пространства V

образует группу, которая изоморфна группе невырожденных матриц

GL(n,R) относительно умножения — полной линейной группе. Заметим, чтоформулы (3.8) можно трактовать двояко: с одной стороны как координатное

18

представление линейного преобразования в некотором базисе, с другой

стороны, как формулы преобразования координат вектора при переходе от

одного базиса к другому.

§4. Тензоры. Операции над тензорами

Пусть V – n-мерное векторное пространство. Тензором типа(sr

)на

V называется объект, задаваемый в произвольном базисе {ei} наборомчисел T i1...isj1...jr , которые при переходе к другому базису {ei′} изменяются последующему закону:

Ti′1...i

′s

j′1...j′r= T i1...isj1...jrc

i′1i1

. . . ci′siscj1j′1

. . . cjrj′r . (4.1)

Набор ns+r чисел называется компонентами тензора в базисе {ei}.Число s + r называется валентностью тензора, числа s и r называются

соответственно контрвариантной и ковариантной валентностью. Разрешая

систему уравнений (4.1), получаем формулы перехода от "новых" компонент

к "старым"

T i1...isj1...jr = Ti′1...i

′s

j′1...j′rci1i′1

. . . cisi′scj′1j1

. . . cj′rjr. (4.2)

Из определения тензора следует, что вектор есть тензор типа(10

), ковектор

– тензор типа(01

), линейный оператор на V – тензор типа

(11

), r-форма – тензор

типа(0

r

). Множество всех тензоров типа

(sr

)на V обозначается T sr V , так что

V = T 10 V, V∗ = T 01 V . Для удобства считают T 00 = R.

Пусть T = (T i1...isj1...jr ) и K = (Ki1...isj1...jr

) тензоры из T sr V . По определению тензор

Q = (Qi1...isj1...jr) есть сумма T и K: Q = T + K, если Qi1...isj1...jr

= T i1...isj1...jr + Ki1...isj1...jr

,

а тензор λT = (λT i1...isj1...jr ) и следовательно, Tsr V есть векторное пространство.

Это пространство также называют тензорным.

Пусть T ∈ T qp V , K ∈ T sr V . Тензорным произведением тензоров T и Kназывается тензор Q = T ⊗K ∈ T q+sp+r V такой, что

Qi1...iqiq+1...iq+sj1...jpjp+1...jp+r

= Ti1...iqj1...jp

·K iq+1...iq+sjp+1...jp+r . (4.3)

Тензорное произведение обладает следующими свойствами:

19

a) (T ⊗K)⊗Q = T ⊗ (K ⊗Q);b) (T + K)⊗Q = T ⊗Q + K ⊗Q;c) T ⊗ (K + Q) = T ⊗K + T ⊗Q;d) (λT )⊗K = T ⊗ (λK) = λ(T ⊗K).В силу ассоциативности операции тензорного произведения можно

определить тензорное произведение любого числа сомножителей.

Пусть {ei} – базис векторного пространства V , а {ej} – дуальный емубазис в V ∗. Тогда система ns+r тензоров

ej1 ⊗ · · · ⊗ ejr ⊗ ei1 ⊗ · · · ⊗ eis (4.4)

образует базис тензорного пространства T sr V .

Система (4.4) линейно независима. Действительно, построим линейную

комбинацию системы (4.4) и приравняем ее к нулевому тензору

λi1...isj1...jrej1 ⊗ · · · ⊗ ejr ⊗ ei1 ⊗ · · · ⊗ eis = 0.

Так как ei = δki ek, ej = δjke

k, то (δki ) – это компоненты вектора ei, а (δjk) –

компоненты ковектора ej и, в силу определения тензорного произведения,

λi1...isj1...jrδj1l1

. . . δjrlr δk1i1

. . . δksis = 0,

откуда λi1...isj1...jr = 0.

Пусть T = (T i1...isj1...jr ) ∈ T sr V . Имеем

T i1...isj1...jr = Tk1...ksl1...lr

δl1j1 . . . δlrjrδi1k1 . . . δ

isks

,

откуда

T = T i1...isj1...jrej1 ⊗ · · · ⊗ ejr ⊗ ei1 ⊗ · · · ⊗ eis. (4.5)

Таким образом, тензорное пространство T sr V является векторным

пространством размерности ns+r.

Пусть T ∈ T sr V и T i1...isj1...jr – его компоненты. Сверткой тензора T по индексамip и iq называется тензор trpqT ∈ T s−1r−1 V с компонентами

(trpqT )i1...is−1j1...jr−1 =

n∑

l=1

T i1···p

l...is

j1···q

l...jr. (4.6)

20

Например, tr12(T ijk) есть тензор с компонентами Tiji (напомним, по i

суммирование).

Так же как для полилинейных форм вводится операция симметрирования

и альтернирования по нижним (или верхним) индексам:

T i1...is(j1...jr) =1

r!

∑

σ∈SrT i1...isjσ(1)...jσ(r), (4.7)

T i1...is[j1...jr] =1

r!

∑

σ∈Srsgnσ · T i1...isjσ(1)...jσ(r), (4.8)

используя альтернатор (4.8) можно также записать в виде

T i1...is[j1...jr] =1

r!δk1...krj1...jr T

i1...isk1...kr

. (4.9)

Замечание 1. Тот факт, что определенные выше операции над тензорами

замкнуты в том смысле, что их результат также является тензором, конечно,

требует доказательства. Проиллюстрируем схему таких доказательств на

примере операции свертки tr11T тензора T = (T ijk). Запишем закон

преобразования компонент тензора T

T ijk = Ti′j′k′c

ii′c

j′j c

k′k .

Свернем первый контрвариантный индекс с первым ковариантным, т.е.

положим i = j. Тогда

T iik = Ti′j′k′c

ii′c

j′i c

k′k ,

или

T iik = Ti′j′k′δ

j′i′ c

k′k ,

т.е.

T iik = Ti′i′k′c

k′k ,

откуда и следует, что T = (T iik) тензор типа(01

).

Замечание 2. Тензор типа(sr

)можно интерпретировать как полилинейную

форму T : V ×· · ·×V ×V ∗×· · ·×V ∗ → R от r – векторных и s – ковекторныхаргументов v1, . . . ,vr и ξ1, . . . , ξs. Тогда

T (v1, . . . ,vr, ξ1, . . . , ξs) = T i1...isj1...jrv

j11 . . . v

jrr ξ

1i1

. . . ξsis (4.10)

21

есть координатное представление полилинейной формы в базисе {ei}исходного пространства V . Нетрудно убедиться, что при переходе к другому

базису {ei′} компоненты T i1...isj1...jr полилинейной формы преобразуются позакону тензора типа

(sr

).

Замечание 3. Часто тензор типа(1

r

)интерпретируют как полилинейное

отображение T : V × · · · × V → V , которое векторам v1, . . . ,vr ставит всоответствие вектор v. В координатах это отображение имеет вид

vi = T ij1...jrvj11 . . . v

jrr . (4.11)

Закон преобразования компонент T ij1...jr отображения T также является

тензорным.

§5. Внешние формы

1. Напомним, что полилинейная r-форма ω = ω(v1, . . . ,vr) на векторном

пространстве V называется кососимметричной, если σω = sgnσ · ω, гдеsgnσ – знак подстановки σ ∈ Sr из r элементов, который равен +1, еслиподстановка четная и −1, если подстановка нечетная. Кососимметричныеформы называют также косыми или внешними. Число r называется степенью

внешней формы. Векторное пространство всех внешних форм степени r

обозначается ΛrV ∗.

Нетрудно доказать, что ω является косой тогда и только тогда, когда

Alω = ω. Очевидно, что косой является всякая форма, имеющая не

менее двух аргументов (r ≥ 2) и кососимметричная по любой паре своихаргументов. Кроме того к числу внешних форм следует отнести линейные

формы.

Пусть {ei} – базис векторного пространства V , {ei} – дуальный ему базиссопряженного пространства V ∗, ei1 ⊗ · · ·⊗ eir базис пространства T 0r V . Тогда

ω = ωi1...irei1 ⊗ · · · ⊗ eir , (5.1)

где

ωi1...ir = ω(ei1, . . . eir) (5.2)

22

компоненты формы ω в данном базисе.

Если форма ω косая, то при перестановке местами любых ее двух

аргументов она меняет знак. Следовательно, компоненты косой формы

кососимметричны по любой паре индексов. Обратно, если в каком-либо базисе

компоненты формы ω кососимметричны по любой паре индексов, то форма

ω является косой. Поэтому, если у внешней формы какие-либо два аргумента

совпадают, то форма равна нулю и если число аргументов r > n, то она

также равна нулю, т.е. равна нулю на любом наборе своих аргументов.

2. Внешним произведением двух внешних форм ω1 ∈ ΛrV ∗ и ω2 ∈ ΛsV ∗называется форма ω1 ∧ ω2 ∈ Λr+sV ∗:

ω1 ∧ ω2 = (r + s)!r! · s! Al(ω1 ⊗ ω2). (5.3)

Внешнее произведение внешних форм есть внешняя форма, поскольку в

правой части (5.3) тензорное произведение ω1 ⊗ ω2 проальтернировано.Так как операции тензорного произведения и альтернирования являются

линейными, то внешнее произведение также линейная операция, поэтому

имеют место следующие свойства внешнего произведения:

а) (λω1) ∧ ω2 = ω1 ∧ (λω2) = λ(ω1 ∧ ω2);b) (ω1 + ω2) ∧ ω3 = ω1 ∧ ω3 + ω2 ∧ ω3;c) ω1 ∧ (ω2 + ω3) = ω1 ∧ ω2 + ω1 ∧ ω3.Найдем внешнее произведение ei1 ∧ ei2 базисных форм пространства V ∗.

По определению (5.3)

ei1 ∧ ei2 = (1 + 1)!1! · 1! Al(e

i1 ⊗ ei2) = 2!e[i1 ⊗ ei2]. (5.4)Отсюда, в частности, следует что

ei1 ∧ ei2 = −ei2 ∧ ei1. (5.5)Пусть ω ∈ Λ2V ∗, так как ω принадлежит и T 02 V , то ее можно разложить побазисным ei1 ⊗ ei2

ω = ωijei ⊗ ej. (5.6)

Так как ω – косая форма, то ωij = −ωji. Поэтому, приводя подобные членыв (5.6) и учитывая (5.4), получим

ω = ωijei ∧ ej(i < j). (5.6)23

Кроме того, система n(n− 1)/2 внешних 2-форм

ei ∧ ej(i < j) (5.8)

является линейно независимой (если ωijei ∧ ej = 0, то и ωijei ⊗ ej = 0 и,следовательно, ωij = 0) и поэтому образует базис в пространстве внешних

2-форм Λ2V ∗. Заметим, что имеет место также следующее разложение:

ω =1

2ωije

i ∧ ej. (5.9)

Если ω = ωiei и θ = θjej – линейные формы, то, как нетрудно убедиться,

ω ∧ θ = (ωiθj − ωjθi)ei ∧ ej.(i < j) (5.10)

3. Для базисных форм из V ∗ имеем

ei ∧ ej = 2!e[i ⊗ ej]. (5.11)

Поэтому в силу определения (5.3)

(ei ∧ ej) ∧ ek = 3!2! · 1!Al(e

i ∧ ej ⊗ ek) = 3!e[i ⊗ ej ⊗ ek]. (5.12)

Аналогично,

ei ∧ (ej ∧ ek) = 3!e[i ⊗ ej ⊗ ek]. (5.13)Следовательно,

(ei ∧ ej) ∧ ek = ei ∧ (ej ∧ ek). (5.14)Равенство (5.14) выражает ассоциативное свойство внешнего произведения

базисных форм. Ассоциативность имеет место и для внешнего произведения

трех любых внешних форм

d) (ω1 ∧ ω2) ∧ ω3 = ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3).Применяя индукцию, можно также доказать, что

ei1 ∧ · · · ∧ eir = r!e[i1 ⊗ · · · ⊗ eir]. (5.15)

Кроме того, имеет место равенство

е) ω1 ∧ ω2 = (−1)rsω2 ∧ ω1, где r – степень ω1, а s – степень ω2.Система внешних r-форм

ei1 ∧ · · · ∧ eir (i1 · · · < ir) (5.16)24

образует базис в ΛrV ∗, так что любую форму ω ∈ ΛrV ∗ можно разложить поформам этого базиса

ω = ωi1...irei1 ∧ · · · ∧ eir (i1 · · · < ir) (5.17)

Имеет место также следующее разложение

ω =1

r!ωi1...ire

i1 ∧ · · · ∧ eir (5.18)

Таким образом, пространство ΛrV ∗ имеет размерность ckn – число

сочетаний из n по k. В частности, если n = k, то размерность ΛrV ∗ равна

1, и мы имеем одну базисную форму e1 ∧ · · · ∧ en, и любая внешняя формаω ∈ ΛrV ∗ имеет вид:

ω = ω1...ne1 ∧ · · · ∧ en, (5.19)

т.е. определяется одним числом ω1...n. Если

ω = ωi1...inei1 ∧ · · · ∧ ein, (5.20)

то, очевидно,

ωi1...in = εi1...inω1...n, (5.21)

где εi1...in = δ1...ni1...in. При замене координат имеем ωi1...in = ωi′1...i′nci′1i1

. . . ci′nin

или

εi1...inω1...n = εi′1...i′nω1′...n′ci′1i1

. . . ci′nin, откуда εi1...inω1...n = εi′1...i′nω1′...n′c

i′11 . . . c

i′nn или

ω1...n = ω1′...n′det(ci′

i ). (5.22)

Пусть, следуя принятым обозначениям,

ω = ωi1...irei1 ∧ · · · ∧ eir(i1 < · · · < ir), (5.23)

θ = θj1...jsej1 ∧ · · · ∧ ejs(j1 < · · · < js). (5.24)

Тогда, в силу определения (5.3), ϕ = ω∧θ есть внешняя форма степени r+s:

ϕ = ϕk1...kr+sek1 ∧ · · · ∧ ekr+s(k1 < · · · < kr+s), (5.25)

где

ϕk1...kr+s =∑

σ∈Sr+ssgnσωkσ(1)...kσ(r)θkσ(r+1)...kσ(r+s). (5.26)

25

§6. Тензорное произведение векторных пространств

1. Пусть V — векторное пространство. Построим новое векторное

пространство V ⊗ V , которое называется тензорным произведениемили тензорным квадратом пространства V . Это пространство должно

удовлетворять следующему требованию: любая билинейная форма на V

должна интерпретироваться как линейная форма на V ⊗ V , т.е. необходимопостроить векторное пространство V ⊗ V и такое билинейное отображениеϕ : V × V → V ⊗ V , что для любой билинейной формы f : V × V → R,существовала бы линейная форма g : V ⊗ V → R, для которой f = g ◦ ϕ:

V × V ϕ //f ##H

HHHH

HHHH

V ⊗ Vg

{{vvvv

vvvv

v

RОбозначим через W – свободное векторное пространство, образующими

которого являются элементы из V × V , т.е. W это множество всех конечныхлинейных комбинаций символов вида (u,v). Пусть W0 подпространство в W ,

порожденное элементами вида

(v + v′,w)− (v,w)− (v′,w), (v,w + w′)− (v,w)− (v,w′),(λv,w)− λ(v,w), (v, λw)− λ(v,w). (6.1)

Факторпространство W/W0 и называется тензорным произведением V⊗V ,а его элементы тензорами. Каждому элементу (u,v) ∈ V × V ⊂ W поставимв соответствие его класс смежности – тензор из V ⊗ V . Определенное такотображение ϕ : V × V → V ⊗ V называется каноническим. Элемент

u⊗ v = ϕ(u,v) (6.2)называется тензорным произведением векторов u и v.

Пусть теперь f : V × V → R билинейная форма на V . Определимотображение g0 : W → R, полагая

g0(u,v) = f(u,v) (6.3)

для любого образующего элемента (u,v) ∈ W и продолжая g0 по линейностина все W :

g0(λi(ui,vi)) = λ

1g0(u1,v1) + · · ·+ λkg0(uk,vk). (6.4)26

Так как f – билинейное отображение, то g0 принимает нулевое значение на

всех элементах вида (6.1) и на их линейных комбинациях, т.е. g0 аннулирует

пространство W0 и, значит, определяет такое линейное отображение g : V ⊗V → R, что f = g ◦ ϕ.

2. Рассмотрим более подробно строение тензорного произведения V ⊗ V .Его элементы K, R, S, . . . – тензоры, это классы смежности, т.е. сдвиги

векторного подпространства W0 в пространстве W . Подпространство W0является ядром отображения g0 : W → R и служит нулевым элементом вфакторпространстве W/W0, т.е. в V ⊗ V . Его будем обозначать Θ. Каждыйтензор K ∈ V ⊗ V получается из W0 сдвигом на некоторый вектор, w =λ1(u1,v1) + · · ·+ λk(uk,vk) из W :

K = w + W0. (6.5)

Элементы вида

u⊗ v = (u,v) + W0 (6.6)называются разложимыми. Они являются образующими элементами

тензорного произведения. Действительно, для произвольного тензора K из

V ⊗ V имеем

K = w + W0 = λ1(u1,v1) + · · ·+ λk(uk,vk) + W0 =

= λ1(u1,v1) + W0 + · · ·+ λk(uk,vk) + W0 =λ1u1 ⊗ v1 + · · ·+ λkuk ⊗ vk. (6.7)

Как обычно, каждый класс смежности K в W – элемент в V ⊗ V –однозначно определяется некоторым своим представителем w ∈ W . Ясно,что w и w′ определяют один и тот же тензор тогда и только тогда, когда

w = w′ + w0, (6.8)

где w0 – некоторый вектор из W0. Векторы w и w′, связанные равенством

(6.8), назовем равными. Тогда тензор K есть множество равных между

собой векторов из W . Так как W0 подпространство, то отношение

равенства векторов рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является

27

отношением эквивалентности, которое и факторизует W . Если K1 = w1 +

W0, K2 = w2 + W0, то их сумма определяется так:

K1 + K2 = (w1 + w2) + W0. (6.9)

Если K = w + W0, то

λK = λw + W0 (6.10)

для ∀λ ∈ R. Итак V ⊗ V является векторным пространством какфакторпространство со стандартно определенными операциями сложения и

умножения вектора на число.

Каноническое отображение ϕ, определенное нами на V × V ⊂ W ,распространим на все W , поставив в соответствие каждому w ∈ W его класссмежности из V ⊗ V . Ясно, что ϕ линейно на W , а на W0 равно Θ. Поэтому,вычисляя значения на векторах (6.1) и учитывая, что ϕ(u,v) = u ⊗ v,получим:

(u + u′)⊗ v = u⊗ v + u′ ⊗ v,u⊗ (v + v′) = u⊗ v + u⊗ v′, (6.11)

λ(u⊗ v) = (λu)⊗ v = u⊗ (λv).Таким образом, каноническое отображение ϕ : V × V → V ⊗ Vявляется билинейным и, следовательно, в тензорном произведении скобки

раскрываются по обычному правилу

(λ1u1+· · ·+λkuk)⊗(µ1v1+· · ·+µlvl) = λiµj(ui⊗vj) (i = 1, k, j = 1, l). (6.12)

3. Вернемся теперь к произвольной билинейной форме f : V ⊗ V → R.Из определения (6.3) отображения g0 : W → R следует, что отображениеg : V ⊗ V → R на разложимых тензорах определяется формулой

g(u⊗ v) = g(ϕ(u,v)) = f(u,v) (6.13)

и распространяется далее на все элементы K = λ1u1 ⊗ v1 + · · · + λkuk ⊗ vkиз V ⊗ V по линейности

g(K) = λ1g(u1 ⊗ v1) + · · ·+ λkg(uk ⊗ vk). (6.14)28

Ясно, что построенное так по f отображение g является линейной формой на

V ⊗ V .Обратно, если g – линейная форма на V ⊗ V , то ей соответствует

билинейная форма f на V :

f(u,v) = g(u⊗ v). (6.15)

Итак, мы установили естественное взаимнооднозначное соответствие

между билинейными формами на V и линейными формами на V ⊗ V ,причем, как следует из (6.13), f = g ◦ ϕ . Кроме того, ясно, что этосоответствие линейно, т.е. если билинейным формам f1 и f2 соответствуют

линейные формы g1 и g2, то λ1f1 + λ2f2 соответствует λ1g1 + λ2g2.

Таким образом, построенное соответствие является изоморфизмом между

векторным пространством T 02 (V ) билинейных форм на V и векторным

пространством (V ⊗ V )∗ линейных форм на V ⊗ V .4. Пусть {ei} – базис n-мерного векторного пространства V . Покажем, что

{ei⊗ej} является базисом тензорного квадрата V⊗V . Если u = uiei, v = vjej– векторы в V , то в силу билинейности их тензорного произведения, имеем

u⊗ v = uivjei ⊗ ej. (6.16)

Так как элементы вида (6.16) являются образующими в V ⊗ V , то любойтензор K из V ⊗ V имеет вид

K = λ1u1 ⊗ v1 + · · ·+ λkuk ⊗ vk =

= λ1ui1vj1ei ⊗ ej + · · ·+ λkuikvjkei ⊗ ej =

= λsuisvjsei ⊗ ej,

т.е. K является линейной комбинацией тензоров ei ⊗ ejK = K ijei ⊗ ej, (6.17)

где Kij = λsuisvjs. Осталось доказать линейную независимость тензоров ei⊗ej.Пусть ej базис в V ∗ дуальный базису {ei} в V . Напомним, что значениеформы ej на любом векторе u = ujej равно uj: ej(u) = uj. Положим

eij = ei(u)ej(v). (6.18)

29

Очевидно, что функции eij являются билинейными на V . Тогда, как мы

показали выше, им отвечают линейные функции gij на V ⊗ V , такие что

gij(u⊗ v) = ei(u)ej(v). (6.19)

Найдем значение gij на произвольном тензоре K

gij(K) = K lmei(el)ej(em) = K

lmδilδjm = K

ij.

Отсюда следует, что если K = Kijei⊗ ej = 0, то Kij = 0, т.е. ei⊗ ej линейнонезависимы.

Итак, мы показали, что тензоры ei ⊗ ej образуют базис и, следовательно,dimV ⊗ V = n2. Попутно мы построили дуальный базис gij в пространствелинейных форм (V ⊗ V )∗:

gij(ek ⊗ el) = δikδjl . (6.20)

Установим закон преобразования координат тензора из V ⊗V при переходеот базиса {ei} к базису {ei′}: ei′ = cii′ei. Имеем

ei′ ⊗ ej′ = cii′ei ⊗ cjj′ej = cii′cjj′ei ⊗ ej,

K = K i′j′ei′ ⊗ ej′ = K i′j′cii′cjj′ei ⊗ ej = Kijei ⊗ ej,

откуда

K ij = K i′j′cii′c

jj′. (6.21)

Таким образом, элементы тензорного произведения V ⊗ V являютсятензорами типа

(20

)на векторном пространстве V .

5. В п.3 мы установили изоморфизм между T 02 (V ) и (V ⊗V )∗. Оказывается,что (V ⊗ V )∗ изоморфно V ∗ ⊗ V ∗. Пусть ξi, ηi ∈ V ∗, ω ∈ V ∗ ⊗ V ∗ и

ω = µ1ξ1 ⊗ η1 + · · ·+ µlξl ⊗ ηl. (6.22)

Поставим в соответствие элементу ω из V ∗ ⊗ V ∗ элемент g из (V ⊗ V )∗, т.е.линейную форму g(K) на V ⊗ V . Форма g определяется так:

g(u⊗ v) = µ1ξ1(u)η1(v) + · · ·+ µlξl(u)ηl(v),

g(K) = g(λ1u1⊗v1+· · ·+λkuk⊗vk) = λ1g(u1⊗v1)+· · ·+λkg(uk⊗vk). (6.23)30

Нетрудно теперь проверить, что определенная так g : V ⊗ V → Rдействительно линейная форма, а указанное соответствие между элементами

ω ∈ V ∗ ⊗ V ∗ и g ∈ (V ⊗ V )∗ есть изоморфизм. Но (V ⊗ V )∗ изоморфновекторному пространству T 02 (V ) билинейных форм на V , следовательно,

элементы V ∗ ⊗ V ∗ это тензоры типа (02).

Рассмотрим теперь T 20 (V ). Его элементы – билинейные формы на V ∗. Но

между билинейными формами на V ∗ и линейными формами на V ∗ ⊗ V ∗имеется естественный изоморфизм. Значит T 20 (V ) изоморфно (V ∗ ⊗ V ∗)∗,которое, как мы показали выше, изоморфно (V ∗)∗ ⊗ (V ∗)∗ = V ⊗ V . Итак,элементы V ⊗ V это тензоры типа (20

), что и подтверждается законом

преобразования (6.21) координат тензоров из V ⊗ V .Если {ei} базис в V , {ei} – дуальный ему базис в V ∗, то {ei ⊗ ej} – базис

в V ⊗ V , а {ei ⊗ ej} базис в V ∗ ⊗ V ∗.6. В определении тензорного произведения мы нигде не использовали

тот факт, что векторы u и v принадлежат одному и тому же

векторному пространству. Поэтому мы можем практически дословно

перенести определение тензорного произведения на случай двух и более

различных векторных пространств. Кроме того, билинейные формы f : V ×V → R можно заменять на полилинейные отображения f : V1×· · ·×Vr → U ,где U – некоторое векторное пространство. Дадим следующее определение.

Пусть V1, . . . Vr – векторные пространства. Как и ранее W – это свободное

векторное пространство, образующими которого являются элементы из V1×· · · × Vk, а W0 – подпространство в W , порожденное элементами вида

(v1, . . . ,vi + v′i, . . . ,vk)− (v1, . . . ,vi, . . . ,vk)− (v1, . . . ,v′i, . . . ,vk),

(v1, . . . , λvi, . . . ,vk)− λ(v1, . . . ,vi, . . . ,vk) (i = 1, k). (6.24)

Тогда факторпространство W/W0 = V1 ⊗ · · · ⊗ Vr и называется тензорнымпроизведением векторных пространств, а его элементы тензорами.

Определим каноническое полилинейное отображение

ϕ : V1 × · · · × Vr → V1 ⊗ · · · ⊗ Vr, (6.25)31

которое ставит в соответствие каждому вектору (v1, . . . ,vk) ∈ V1×· · ·×Vr ⊂W его класс смежности. Обозначим

ϕ(v1, . . . ,vk) = v1 ⊗ · · · ⊗ vk. (6.26)

Тензор (6.26) называется тензорным произведением векторов (v1, . . . ,vk).

Тензоры вида (6.26) называются разложимыми и являются образующими

элементами в V1 ⊗ · · · ⊗ Vr.Пусть теперь f : V1×· · ·×Vr → U полилинейное отображение. Определим

отображение g0 : W → U , полагая

g0(v1, . . . ,vk) = f(v1, . . . ,vk) (6.27)

для любого образующего элемента (v1, . . . ,vk) ∈ W и продолжая на все W полинейности. В силу билинейности f , g0 аннулирует W0 и, значит, определяет

линейное отображение g : V1⊗· · ·⊗Vr → U , такое, что f = g◦ϕ. Если dimV1 =n1, . . . , dimVk = nk и {1ei1}, . . . , {

keik} базисы в V1, . . . , Vk, то {

1ei1 ⊗ · · ·⊗

keik}

базис в V1 ⊗ · · · ⊗ Vk и, следовательно, dimV1 ⊗ · · · ⊗ Vk = n1 · · · · · nk.7. Пусть fi : Vi → Wi (i = 1, r) линейные отображения векторных

пространств. Тогда отображение f : V1 × · · · × Vr → U = W1 ⊗ · · · ⊗ Wr,переводящее вектор (v1, . . . ,vr) в вектор f(v1) ⊗ · · · ⊗ f(vr), очевидно,полилинейно и, следовательно, определяет линейное отображение g = f1 ⊗· · · ⊗ fr : V1 ⊗ · · · ⊗ Vr → W1 ⊗ · · · ⊗Wr , такое, что f = g ◦ ϕ. Отображениеg на образующих элементах определяется формулой

(f1 ⊗ · · · ⊗ fr)(v1 ⊗ · · · ⊗ vr) = f1(v1)⊗ · · · ⊗ fr(vr). (6.28)

Если fi являются изоморфизмами пространств Vi и Wi, то (f1 ⊗ · · · ⊗ fr)также изоморфизм тензорных пространств V1 ⊗ · · · ⊗ Vr и W1 ⊗ · · · ⊗Wr.

8. Мы уже видели, что элементы тензорных произведений V ⊗V и V ∗ ⊗ V ∗ являются тензорами типа (20

)и

(02

)соответственно.

При этом "классический" тензор на V мы интерпретировали как

некоторую билинейную форму. Оказывается, что любой тензор на V

можно рассматривать как элемент некоторого тензорного произведения.

32

Каждому тензору T ∈ T sr (V ) однозначно отвечает полилинейная формаf(v1, . . . ,vr, ξ

1, . . . , ξs). Рассмотрим тензорное произведение

V ⊗ · · · ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗, (6.29)

первые s множителей которого – пространство V , а последующие r – дуальное

ему пространство V ∗. Пусть g линейная функция на тензорном произведении

(6.29). Ей отвечает полилинейная форма f от s векторов v ∈ V и r ковекторовξ ∈ V ∗:

f(v1, . . . ,vs, ξ1, . . . , ξr) = g(v1 ⊗ · · · ⊗ vs ⊗ ξ1 ⊗ · · · ⊗ ξr). (6.30)

Нетрудно убедиться, что соответствие (6.30) между f и g является

изоморфизмом между T sr (V ) и

(V ⊗ · · · ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗)∗ = V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ · · · ⊗ V. (6.31)

Если {ei} базис в V , {ei} – дуальный ему базис в V ∗, то

{ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs} (6.32)

базис в тензорном произведении (6.31). Поэтому любой элемент K

из тензорного произведения (6.31) имеет следующее координатное

представление

K = Kj1...jsi1...ir ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs (6.33)

и при замене базиса ei′ = cii′ei изменяется по тензорному закону:

Kj1...jsi1...ir = Kj′1...j

′s

i′1...i′rci′1i1

. . . ci′rircj

1

j′1. . . cjsj′s. (6.34)

§7. Евклидовы векторные пространства

1. Пусть V – n-мерное векторное пространство, g : V × V → Rсимметричная билинейная форма на V . Каждая такая форма называется

скалярным произведением или метрикой на V . Форма g является тензором

33

типа(02

). Его называют метрическим тензором векторного пространства V .

Пусть {ei} базис в пространстве V . Обозначим

gij = g(ei, ej). (7.1)

Симметричная матрица G = (gij) называется матрицей Грамма формы g

в базисе {ei}. Форма g однозначно определяется заданием базиса {ei} исимметричной n× n-матрицей G, так как

g(u,v) = g(uiei, vjej) = u

ivjg(ei, ej) = gijuivj (7.2)

или в матричном виде

g(u,v) = utGv. (7.3)

В этой записи v матрица, состоящая и одного столбца, элементами которого

являются координаты вектора v, а ut – матрица транспонированная к u,

т.е. матрица, состоящая из одной строки, элементами которой являются

координаты вектора u. Если {ei′} новый базис и gi′j′ = g(ei′, ej′), и ei′ = cii′ei,то

gi′j′ = gijcii′c

jj′ (7.4)

или

G′ = CtGC, (7.5)

где C = (cii′), G′ = (gi′j′).

Векторы u и v называются перпендикулярными u⊥v, если их скалярноепроизведение равно нулю: g(u,v) = 0. Подпространства V1 и V2 называются

ортогональными, если g(v1,v2) = 0, для всех v1 ∈ V1, v2 ∈ V2.Подпространство V0 называется изотропным, если ограничение g на V0равно нулю: g(u,v) = 0, для всех u,v ∈ V0. Ядром скалярногопроизведения g называется множество всех векторов v ∈ V , ортогональныхко всем векторам пространства V . Скалярное произведение называется

невырожденным, если его ядро состоит из нулевого вектора. Это означает,

что если для некоторого вектора u и всех v g(u,v) = 0, то u =

Θ. Подпространство W называется невырожденным, если ограничение g

на W невырождено. Скалярное произведение называется положительно

34

определенным, если скалярный квадрат любого ненулевого вектора является

положительным: g(v,v) > 0, для ∀v 6= Θ и g(v,v) = 0, если v = Θ.

2. Векторное пространство V называется евклидовым, если на V

задано невырожденное скалярное произведение g. Если g является и

положительно определенным, то V называется собственноевклидовым (или

просто евклидовым), в противном случае псевдоевклидовым. Евклидово

скалярное произведение g(u,v) будем обозначать через (u,v). Длиной

или нормой вектора v называется число |v| =√

v2, т.е. квадратный

корень из скалярного квадрата (v2 = (v,v)) вектора v. Если V

собственноевклидово пространство, то (v,v) > 0, для ∀v 6= Θ инорма вектора v является действительным положительным числом; нулевую

длину имеет только нулевой вектор. Если V псевдоевклидово, то v2

может быть любым действительным числом, а норма v может быть

положительным действительным числом, нулем, или комплексным числом.

Вектор v называется изотропным, если он имеет нулевую длину: |v| =0. Множество всех изотропных векторов псевдоевклидова пространства

называется изотропным конусом. Если |e| = 1 и, следовательно, e2 = 1,то вектор e называется единичным, если |e| = i – то мнимоединичным,в этом случае e2 = −1. Базис {ei} называется ортонормированным, если(ei, ej) = ±δij, т.е. его векторы попарно ортогональны, а длина каждоговектора равна либо 1, либо i. Если пространство собственноевклидово, то

все векторы ортонормированного базиса единичные, если псевдоевклидово,

то некоторая их часть состоит из мнимоединичных векторов (обычно

считается, что все они находятся в конце базиса). Если r – число

единичных векторов, s – число мнимоединичных векторов базиса {ei}, тоr + s = n и пара (r, s) определяет сигнатуру псевдоевклидова пространства,

которая не зависит от выбора базиса (закон инерции Сильвестра). Известно,

что в любом евклидовом пространстве существует бесконечное множество

ортонормированных базисов (процесс ортогонализации Грамма-Шмидта). В

любом таком базисе скалярное произведение и скалярный квадрат вектора

35

имеют в