Математика 5 6 клас - osvita.if.ua€¦ · Математика 5-6 клас Готуємось до олімпіади Івано-Франківськ 2017 . 2 ББК

1

ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ ТА НАУКИ

ІВАНО-ФРАНКІВСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ

ІНФОРМАЦІЙНО-МЕТОДИЧНИЙ ЦЕНТР

Математика 5-6 клас

Готуємось до олімпіади

Івано-Франківськ

2017

2

ББК 74.262.21

Математика 5-6 класи. Готуємось до олімпіади / Упор. М.Присяжнюк,

Т.Скоробогата - Івано-Франківськ: ІМЦ Департаменту освіти та науки, 2017.- с.56

Матеріали підготували:

О.Бенза, вчитель математики ЗШ №22

М.Гриш, вчитель математики ПМЛ

М.Виноградова, вчитель математики гімназії №2

І.Дудій, вчитель математики СШ №5

О.Кваша, вчитель математики ЗШ №12

О.Кеворкова, вчитель математики СШ №1

І.Процко, вчитель математики УГ №1

С.Сеньків, вчитель математики ЗШ №21

Л.Стефанишин, вчитель математики ЗШ №17

С.Тинкован, вчитель математики ЗШ №18

Рецензенти:

О.Кеворкова, вчитель математики СШ №1.

Відповідальна за випуск:

О.Савка, директор інформаційно-методичного центру Департаменту освіти та

науки Івано-Франківської міської ради.

Комп’ютерна верстка:

Р.Бадулін, завідувач комп’ютерного центру ІМЦ

Рекомендовано до друку радою інформаційно-методичного центру

Департаменту освіти та науки Івано-Франківської міської ради від 29.11.2016р.,

протокол № 2.

3

Зміст

1. Передмова…………………………………………………...…………………………4

2. М.М.Виноградова. Подільність цілих чисел…………………………………………6

3. О.І.Бенза. Комбінаторні задачі: перші кроки………………..…………………..…11

4. Л.О.Стефанишин. Пошуки невідомої кількості……………………………….…..18

5. М.М.Гриш. Задачі на зважування та переливання…………..............................…..21

6. І.Й.Дудій. Принцип Діріхле……………………………………………………..…..23

7. С.П.Сеньків. Деякі способи розв’язування логічних задач………………….....…27

8. М.М.Гриш. Конструкції та зважування…………………..……………………...…29

9. С.Б.Тинкован. Графи…………………………………………………………..…….32

10. І.Ю.Процко. Математичні ребуси…………………………………………….……43

11. О.І.Кваша. Магічні квадрати …..…………………………………………….…….47

12. О.Г.Кеворкова. Розрахункові задачі ………………………………………………49

13. О.Г.Кеворкова. Задачі на рух………………………………………………………52

4

Математика вчить мислити й разом з тим вселяє

віру в безмежні сили людського розуму.

В.Сухомлинський

Концепція Нової української школи визначає мету реформи середньої освіти –

зробити випускників шкіл конкурентноздатними у сучасному світі, випустити зі школи

"всебічно розвинену, здатну до критичного мислення цілісну особистість, патріота з

активною позицією, інноватора, здатного змінювати навколишній світ та вчитися

впродовж життя". Новий зміст освіти, заснований на формуванні компетентностей,

необхідних для успішної самореалізації в суспільстві, передбачає і формування

математичних компетентностей. Реалізація Концепції потребує змін у роботі вчителя

математики, покладання на нього нових функцій у процесі професійно-педагогічної

діяльності, забезпечення методичного супроводу навчальної діяльності. Основна мета

вчителя – навчити дитину мислити, уміти знаходити шляхи вирішення практичних

проблем, сприяти становленню й розвитку особистості кожного учня та його

самореалізації.

Залучення школярів до різноманітних інтелектуальних змагань, турнірів, олімпіад

– це реалізація діяльнісного підходу, який сприяє розвитку творчих здібностей дітей.

Учасникам олімпіад переважно пропонують задачі, які відрізняються від типових

шкільних задач рівнем складності і нестандартністю.

Як правило, розв’язання олімпіадної задачі грунтується на одній несподіваній ідеї.

Деякі прийоми і методи використовуються одразу в розв’язанні багатьох задач, з

певними змінами в різних ситуаціях. І не завжди легко здогадатися, який саме метод

може допомогти в кожному конкретному випадку. Даний вісник знайомить читачів з

найбільш поширеними методами розв’язання нестандартних математичних задач.

Збірник містить короткий виклад теоретичного матеріалу таких тем як принцип Діріхле,

задач на зважування та розфарбовування графів, тощо. До кожної теми подані задачі з

готовими розв’язками та завдання для самостійного опрацювання.

Збірник олімпіадних задач, підготовлений творчою групою вчителів математики

міста, буде корисним учням, вчителям, батькам при підготовці дітей до олімпіад різних

рівнів, факультативних занять, позакласних математичних заходів, сприятиме розвитку

математичного таланту школярів.

5

Пам’ятка учаснику олімпіади

1. Прочитайте всі задачі і виберіть порядок, у якому будете їх розв’язувати.

2. Якщо для вас задача розв’язується надто просто, варто перевірити, чи добре ви

зрозуміли умову.

3. Якщо задача не розв’язується, спробуйте спростити умову, розділивши

пропоновану задачу на окремі підзадачі, розглянути частинні випадки, а тоді

спробувати узагальнити міркування, ідею розв’язання.

4. Пам’ятайте – розгляд окремих частинних випадків є неповним, не остаточним

розв’язанням задачі.

5. Найбільш ефективні підходи до розв’язування задач: метод «З кінця»,

«Зворотній хід», метод доведення «Від супротивного», графічна ілюстрація

умови, встановлення зв’язку або залежності між величинами.

6. Якщо задача надто важка на перший погляд, відкладіть її, розв’яжіть спочатку

легші завдання, а в кінці роботи поверніться до початкової задачі.

7. Якщо ви зрозуміли, як розв’язати задачу, зразу запишіть свої міркування у

чистовику.

8. В процесі роботи відпочивайте по декілька хвилин.

9. Пам’ятайте: найдосконаліший мозок іржавіє без дії.

Якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо ступайте у воду, а якщо

хочете навчитися розв'язувати задачі, то розв'язуйте їх! (Д.Пойа).

6

Подільність цілих чисел

Довідковий матеріал

Кількість елементів Т, що знаходиться в m групах по а

елементів в кожній групі, дорівнює добутку m∙a Т = m ∙ a

Кількість груп m, в яких розподілені Т елементів по а в

кожній групі, дорівнює частці від ділення Т на а m = Т ÷ а

Кількість елементів а в кожній з m груп, що містить

всього Т елементів з однаковою кількістю в кожній групі,

дорівнює частці від ділення Т на m

а = Т ÷ m

Слід пам’ятати

- на нуль ділити не можна

- будь-яке число, крім нуля, ділиться само на себе, при цьому в частці

отримують 1

- на 1 ділиться будь - яке число

- частка від ділення нуля на будь-яке натуральне число, що не дорівнює

нулю, дорівнює нулю

- кожне парне число можна подати у вигляді 2n, де n – натуральне число

- кожне непарне число можна подати у вигляді 2n+1 (2n-1), де n –

натуральне число

- добуток будь-якого натурального числа на парне число є парним

числом

- добуток двох непарних чисел є число непарне

- на 5 діляться ті числа, які закінчуються нулем або цифрою 5

- на 2 діляться тільки парні числа

- на 3(9) діляться ті числа, сума цифр яких ділиться на 3(9)

- на 4 діляться ті числа, дві останні цифри якого становлять число, що

ділиться на 4

- на 8 діляться ті числа, три останні цифри якого становлять число, що


- на 25 діляться ті числа, дві останні цифри якого становлять число, що


Властивості подільності

1. Якщо а ділиться на с, b ділиться на с, то сума а+b ділиться на с.

2. Якщо а ділиться на с, то при будь-якому натуральному k число ka ділиться

на с.

3. Якщо хоча б одне із чисел а або b ділиться на с, то аb ділиться на с.

7

Задачі з коментарями та розв’язками

Задача 1 .

Чи можна 40 горіхів розкласти на 3 купки так, щоб у кожній купці було непарне

число горіхів?

Розв’язання. Аналізуючи умову, з’ясовуємо, що розв’язання задачі зводиться до

вияснення факту, чи можна парне число подати у вигляді суми трьох непарних чисел.

Скористаємося властивістю парних і непарних чисел.

Сума трьох непарних чисел є число непарне. Тобто число 40 у вигляді трьох

непарних чисел представити неможна.

Задача 2.

Шістнадцять корзин розмістили по колу. Чи можна в корзини розкласти 55 кавунів

так, щоб кількість кавунів у будь-яких двох сусідніх корзинах відрізнялась на 1?

Розв’язання. Якщо кількісті кавунів в обох сусідніх корзинах відрізняються на 1,

то це два послідовних натуральних числа. Їх сума – число непарне. Тоді виникає

запитання: чи можна розкласти кавуни в корзини так, щоб в будь-якій парі сусідніх

корзин загальне число кавунів було непарним? Шістнадцять корзин утворюють 8 пар

(16:2) сусідніх корзин. У кожній парі корзин непарне число кавунів, а число пар – парне.

Виникає гіпотеза про неможливість такого розкладання кавунів. Припустимо, що

необхідне розміщення можливе. Тоді матимемо 8 пар сусідніх корзин. У кожній парі

сусідніх корзин непарне число кавунів, бо кількість кавунів у них відрізняється на 1.

Оскільки сума двох непарних чисел є число парне, то загальне число кавунів у будь-

яких чотирьох, а також і у восьми парах корзин є парним і не може дорівнювати 55.

Зроблене притущення є неправильним, таке розміщення кавунів є неможливе.

Задача 3.

Чи існує прямокутник, площа якого дорівнює 143 см2, а довжини сторін виражені

натуральними числами в сантиметрах, причому, одна з них на 2 сантиметри довша за

іншу?

Розв’язання. Припустимо, що існує прямокутник, який задовільняє умову задачі.

Тоді довжини сторін його є натуральні або парні числа, або непарні числа. Добуток

двох парних чисел є число парне, а 143 – є число непарне. Таким чином, такого

прямокутника не існує. Добуток двох непарних чисел є непарне число. Такий

прямокутник існує, наприклад, 143=11∙13

Задача 4.

Покупець купив у магазині пакет кефіру вартістю 5 грн., коробку сиру вартістю 20

грн., 15 тістечок, 5 кілограмів цукру. Ціни одного тістечка і кілограма цукру

виражаються цілими числами гривень. Коли касир вибив чек на суму 126 грн., покупець

зажадав перевірити рахунок. Як визначив покупець, що рахунок неправильний?

Розв’язання. Загальна вартість покупки складається з вартості пакету кефіру,

коробки сиру, 15 тістечок, 5 кілограмів цукру. Вартість пакету кефіру і сиру діляться на

5, кількість тістечок і кілограмів цукру також діляться на 5. Отже, загальна вартість

продуктів поділиться на 5. А число 126 на 5 не ділиться.

8

Задача 5.

У кімнаті стоять 8 великих ящиків. Усередині деяких з них є ще по 8 менших

ящиків, а в деяких з менших ящиків є по 8 зовсім маленьких ящиків. Усього заповнено

меншими ящиками 54 ящики. Скільки всього ящиків знаходиться в кімнаті?

Розв’язання. Щоб знайти загальне число ящиків, якщо відоме число заповнених

ящиків, потрібно до числа заповнених ящиків додати 1 і отриману суму помножити на

число, яке фігурує для всіх видів ящиків, у даному випадку на 8. Тобто (54 +1)·8= 440.

Задачі для самостійної роботи

Задача 1.

У коробці лежать 18 кульок: чорних, білих і червоних. Червоних у 8 разів менше,

ніж білих. На скільки більше у коробці чорних кульок, ніж червоних?

Відповідь: на 8.

Задача 2.

З 48 червоних і білих гвоздик склали букети так, що на кожні 7 червоних гвоздик

припадає 5 білих. Скільки було червоних і білих гвоздик окремо?

Відповідь: 28 і 20.

Задача 3.

У Петрика 9 великих конвертів, у деяких з них по 9 менших конвертів, а в деяких

менших – по 9 зовсім маленьких конвертів. Всього у нього 81 конверт. У скількох з них

лежать інші конверти?

Відповідь: у 8-и.

Задача 4.

Дідусь привіз на базар огірки. Коли він почав рахувати їх десятками, то не вистачало

двох огірків до повного числа десятків. Коли він став рахувати по 12 (дюжинами), то

залишилось 8 огірків. Скільки огірків привіз дід на базар, якщо їх було більше 300, але

менше 400?

Відповідь: якщо забрати з усіх огірків вісім, тоді кількість огірків ділиться на 10 і

12, тобто на 60. Отже, 360+8=368 огірків привіз дідусь.

Задача 5.

Тільки три цифри п'ятицифрового натурального числа — одиниці. Знайти всі такі

числа, знаючи, що вони діляться без остачі на 72.

Відповідь: 11016, 41112, 11160. (Останні три цифри діляться на 8, а сума їх цифр

9 або 18).

Задача 6.

Дано натуральне число А. Знаючи, що сума цифр числа А — це число В, а

число С — сума цифр числа В, обґрунтуйте подільність суми А+В+С на найменше

непарне просте число.

Вказівка: використати ознаку подільності на 3.

Задача 7.

Якщо до деякого двоцифрового числа додати суму його цифр, отримаємо число,

написане тими самими цифрами у зворотному порядку. Знайти це число.

9

Відповідь: 45.

Задача 8.

Знайти всi натуральнi числа n, для яких числа n, 2n, 5n та 8n є дев’ятизначними,

причому запис кожного з них мiстить всi цифри вiд 1 до 9 по одному разу.


Задача 9.

Як від куска тканини довжиною 2/3 метра відрізати кусок довжиною півметра, не

маючи під рукою метра?

Відповідь: cкласти кусок навпіл, потім ще раз навпіл, отримаємо тканину довжиною

1/6 метра. Якщо відрізати тканину такої довжини від 2/3 метра, отримаємо півметра

тканини.

Задача 10.

Знайти число, яке дорівнює квадрату суми його цифр.


Ділення з остачею

Якщо натуральне число а націло не ділиться на число b, то при діленні числа а на

число b отримують неповну частку с і остачу r.

а = b∙с+r, r<b і а-r=b∙с.

Слід пам’ятати:

1) Сума двох довільних натуральних чисел і сума їх остач при діленні на деяке

натуральне число дають однакові остачі.

2) Добуток двох довільних натуральних чисел і добуток їх остач при діленні на

деяке натуральне число дають однакові остачі.


Задача 1.

Набори із 123 телевізорів і 191 комп’ютера порівну розподілили між школами міста.

При цьому залишається нерозподіленими 8 телевізорів і 7 комп’ютерів. Скільки шкіл у

місті?

Розв’язання. Використаємо властивість ділення з остачею:

123-8=115=b∙с і 191-7=184=f∙с.

Можна дійти до висновку, що с =23. Отже, шкіл у місті 23.

Відповідь: 23

Задача 2.

Борис розірвав газету на 9 частин, одну із частин, що утворилася, – ще на 9, і т. д.

Чи може він у такий спосіб розірвати газету на 2014 частин?

Розв’язання. Якщо якийсь предмет ділиться на n частин і деякі із отриманих частин

діляться на таку саму кількість менших частин і т. д., то загальне число частин, що

10

утворилося, при діленні на n-1 дають в остачі 1. А число 2014 при діленні на 8 дає в

остачі 6, а не 1. Тому число частин не може дорівнювати 2014.

Відповідь: не може.

Задача 3.

Знайдіть найменше двоцифрове число, яке при діленні на суму своїх цифр дає

неповну частку 6 і остачу 2, а при діленні на добуток своїх цифр – дає неповну частку 5

і остачу 2.

Розв’язання. Припустимо, що існує двоцифрове число, яке при діленні на суму

своїх цифр дає неповну частку 6 і остачу 2. Остача при діленні на суму цифр і на добуток

цифр числа – однакова, тому потрібно від даного шуканого числа відняти 2 і одержимо

число, що має ділитися і на 6, і на 5. Таким є число 30. Додаючи до нього остачу 2,

отримаємо число 32.


Задача 4.

Доведіть, що сума квадратів п'яти послідовних натуральних чисел не є точним

квадратом.

Розв’язання.

Серед п'яти послідовних натуральних чисел є або три, або два парних, квадрати

яких діляться на 4. Якщо маємо два парних, то непарних чисел буде три, і квадрати

кожного з них при діленні на 4 дають остачу 1, а тому сума квадратів всіх п'яти чисел

при діленні на 4 дає остачу 3.

Якщо ж парних чисел є три, то непарних – два, і сума квадратів усіх п'яти чисел при

діленні на 4 дає остачу 2. Отже, ця сума не може бути точним квадратом.

Задача 5.

Визначте дві останні цифри числа: а) 22004; б) 22m.

Розв’язання. Знайдемо остачу від ділення числа 22004 на 100. Визначимо

послідовність остач від ділення на 100 чисел виду 2n . Вона має вигляд: 2, 4, 8, 16, 32, 64,

28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 4, ... . Бачимо, що, починаючи з

другої остачі 4 для n=22, остачі від ділення повторюються з періодом 20. Оскільки 2004

при діленні на 20 дає остачу 4, то останні дві цифри числа 22004 такі ж, як дві останні

цифри числа 24 , тобто 1 та 6.


Задача 1.

У кожному класі школи не більше, ніж 11 хлопчиків, а всього в школі 228 учнів.

Яке найменше число класів може бути в цій школі?


Задача 2.

Взяли 6 великих аркушів паперу і частину з них розрізали на 7 частин кожен. Деякі

з цих частин знову розрізали на 7 частин і так зробили декілька разів. Чи може в

результаті утворитись: 1) 67 частин паперу; 2) 72 частини.

Відповідь: 1) ні; 2) так. Вказівка: отримане число паперу має ділитися на 6.

11

Задача 3.

Спортсменів вишикували в колону по 6 чоловік, а потім перешикували в колону по

4 спортсмени. Скільки всього спортсменів, якщо їх більше від 90, але менше ніж 100?


Задача 4.

Груші ділять порівну між 6 дітьми. Виявилось, що кількість груш, які одержала

кожна дитина, дорівнює кількості груш, що залишилися в ящику. Скільки груш могло

бути в ящику спочатку?

Відповідь: 7, 14, 21, 28, 35, 42.

Задача 5.

Дано декілька натуральних чисел. Кожне з них поділили на суму всіх даних чисел.

Чому дорівнює частка від ділення суми всіх остач на суму всіх даних чисел?

Відповідь:1.

Комбінаторні задачі: перші кроки

При розв’язуванні деяких задач буває необхідно підрахувати кількість різних

комбінацій, предметів, чисел або фігур.

Розділ математики, у якому досліджуються і розв’язуються задачі вибору елементів

з множини та розташування їх у певній комбінації у відповідності до заданих умов,

називається комбінаторикою.

Комбінаторні задачі можна розв’язати на основі міркувань, за допомогою

складання таблиць, дерева розв’язків та з використанням методу графів. Спробуємо

показати можливість розв’язування комбінаторних задач, маючи мінімальні знання.

Розв’яжемо задачу на розміщення елементів з курсу початкової школи.

Правило суми

(вибір одного елементу)

А – m способів

В – n способів

А або В – (m + n) способів

Наприклад: 5 яблук, 4 груші.

Вибір яблука або груші:

5 + 4 = 9 способами

Правило добутку

(вибір пари, кількох елементів)

А – m способів

В – n способів

А і В – (m · n) способів

Наприклад: 2 конверти, 3 листівки.

Вибір конверту з листівкою:

2 · 3 = 6 способів

12

Задача 1. З цифр 1,2,3,4,5,6 скласти трицифрове число. Скільки існує таких

чисел?

Розв’язання. Чи має значення розташування цифр у числі? Так. Розглянемо

перший випадок – цифри у числі повторюються. Відмітимо місця кожної цифри у числі

зірочкою. Скільки цифр можуть стояти на першому місці? На другому місці? Також

необхідно обґрунтувати знак між кількістю варіантів.

* * *

6 х 6 х 6 = 216


Розглянемо другий випадок – цифри у числі не повторюються (за аналогічною

схемою).

* * *

6 х 5 х 4 = 120


Використовуючи умову цієї задачі можна скласти інші, змінюючи формулювання

запитання. Наприклад, скласти трицифрові числа, кратні числу 5 так, щоб цифри у числі

не повторювалися.

Наступним способом розв’язування комбінаторних задач є складання таблиць

варіантів.

Задача 2. Скільки різних пиріжків може спекти бабуся, якщо у неї для начинки є

гриби, картопля, яблука та м’ясо, а для начинки вона вирішила змішати два продукти?

Розв’язання. Складемо таблицю, не дивлячись на сумісність продуктів:

К Г Я М

К КК КГ КЯ КМ

Г ГК ГГ ГЯ ГМ

Я ЯК ЯГ ЯЯ ЯМ

М КМ ГМ ЯМ ММ

Звернемо увагу на діагональ. Відбулося змішування двох однакових продуктів.

Використовувати можна, але умова не виконана.

К Г Я М

К КГ КЯ КМ

Г ГК ГЯ ГМ

Я ЯК ЯГ ЯМ

М КМ ГМ ЯМ

Розглянемо поєднання продуктів вище або нижче діагоналі. Воно однакове. Тому

можемо виключити нижню або верхню частину таблиці і порахувати кількість варіантів.

К Г Я М

К

Г ГК

13 1

Я ЯК ЯГ

М КМ ГМ ЯМ


При необхідності скласти комбінацію з двох і більше елементів зручніше

використовувати дерево розв’язків.

Задача 3.

Меню їдальні складається: з двох перших страв – борщ та грибна юшка; з трьох

других страв – риба, голубці та плов; з двох третіх страв – чай і сік. Скількома

способами можна скласти обід, щоб у ньому були перша, друга та третя страви?



Задача 4. П’ять фіналістів конкурсу вирішили обмінятися по телефону враженнями від

конкурсу. Скільки телефонних дзвінків буде зроблено?


Відповідаючи послідовно на запитання «Скільки дзвінків зробив перший учасник?

Другий? …» та схематично зобразивши послідовності, розв’язування задачі зводимо до

схеми, яка називається графом. Міркуємо так. Перший учасник зробив 4 дзвінки, другий

– 3, третій – 2, четвертий – 1, а п’ятий–0.

4+3+2+1= 10

Інший варіант обчислення:

Борщ

Риба

Чай

Голубці Плов

Сік Чай Чай Сік Сік

Грибна юшка

Риба

Чай

Голубці Плов

Сік Чай Чай Сік Сік

14

5∙4÷2=10


Задача 1. В магазині «Все до чаю» є п'ять різних чашок та три різних блюдця.

Скількома способами можна купити чашку з блюдцем?

Розв’язання. Виберемо чашку. У комплекті з нею можна вибрати будь-яке з трьох

блюдець. Тому є три різні комплекти, які мають вибрану чашку. Оскільки чашок всього

5, то кількість різних комплектів дорівнює 15 (15 = 5∙3).

Задача 2. В магазині "Все до чаю" є п'ять різних чашок, 3 різних блюдця та 4 чайні

ложки. Скількома способами можна купити комплект з чашки, блюдця та ложки?

Розв’язання. Виберемо будь-який з 15 комплектів попередньої задачі. Його можна

доповнити ложкою чотирма різними способами. Тому загальна кількість можливих

комплектів дорівнює 60 (60 = 15∙4 = 5∙3∙4).

Задача 3. В магазині "Все до чаю" продається 5 чашок, 3 блюдця та 4 чайні ложки.

Скількома способами можна купити два предмети з різними назвами?

Розв’язання. Можливі три різні випадки: перший - купуємо чашку з блюдцем,

другий - чашку з ложкою, третій - блюдце з ложкою. У кожному з цих випадків легко

порахувати кількість можливих варіантів (в першому - 15, у другому - 20, у третьому -

12). Додаючи, отримуємо загальну кількість можливих варіантів – 47.

Задача 4. В Країні Чудес є чотири міста А, Б і В, Г і декілька нових доріг. Скількома

способами можна тепер добратися з міста А в місто В?

Розв’язання. Виділимо 2 випадки: шлях проходить через місто Б або через місто Г.

У кожному з цих випадків легко порахувати кількість різних маршрутів: в першому - 24,

у другому - 6. Додаючи, отримаємо загальну кількість маршрутів: 30.

Задача 5. В Країні Чудес є три міста: А, Б і В. З міста А в місто Б ведуть 6 доріг, а з

міста Б у місто В - 4 дороги. Скількома способами можна проїхати від А до В?

Розв’язання. 24 = 6∙4.

15

Задача 6. Алфавіт племені Мумбо-Юмбо складається з трьох літер А, Б та В, а

слово у них - будь-яка послідовність літер, яка складається не більше як з 4 літер.

Скільки всього слів у мові племені Мумбо-Юмбо?

Вказівка. Підрахуйте окремо кількість слів, що мають одну, дві, три та чотири

літери.

Розв’язання. 3+ 3∙3 + 3∙3∙3 + 3∙3∙3∙3 = 120.

Задача 7. У футбольній команді (11 чоловік) треба вибрати капітана та його

заступника. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання. Капітаном може стати будь-хто з 11 футболістів. Після обрання

капітана на роль заступника можуть претендувати 10 чоловік, які залишилися. Таким

чином, всього є 11∙10 = 110 різних варіантів виборів.

Задача 8. Скількома способами можна зробити триколірний прапор з

горизонтальними смугами однакової ширини, якщо є тканина шести різних кольорів?

Розв’язання. Колір для верхньої смуги прапору можна вибрати шістьма різними

способами. Після цього для середньої смуги прапора залишається п'ять можливих

кольорів, а потім для нижньої смуги прапора - чотири різні кольори. Таким чином,

прапор можна зробити 6∙5∙4 = 120 способами.

Задача 9. Скількома способами можна викласти в ряд червону, чорну, синю та

зелену кульки?

Розв’язання. На перше місце можна покласти будь-яку з чотирьох кульок, на друге

– будь-яку з трьох, які залишилися, на третє – будь-яку з двох, які залишилися, а на

четверте -–останню кульку, яка залишилася. Таким чином:

4∙3∙2∙1 = 4! (пропедевтика поняття факторіалу).

Задача 10. Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери слова

"ЛІНІЯ"?

Розв’язання. У цьому слові дві літери І, а всі інші літери різні. Тимчасово будемо

вважати різними і літери І, позначивши їх як І1 та І2. При цьому припущенні отримаємо

5! = 120 різних слів. Але ті слова, які дістаються одне з одного тільки переставленням

літер І1 та І2, насправді однакові, Таким чином, отримані 120 слів розбиваються на пари

однакових. Тому різних слів всього 120 : 2 = 60.

Задача 11. У країні 20 міст, кожні два з яких з'єднані авіалінією. Скільки

авіаліній в цій країні?

Розв’язання. Кожна авіалінія з'єднує два міста. За перше місто можна взяти будь-

яке з 20 міст (місто А), за друге – будь-яке з 19, які залишилися (місто В). Перемноживши

ці числа, дістаємо 20∙19 = 380. Але при цьому підрахунку кожна авіалінія врахована двічі

(перший раз, коли за перше місто було вибрано місто А, друге – місто В, а другий раз –

навпаки). Таким чином, кількість авіаліній дорівнює 380:2 = 190.


16

Задача 1. Скількома способами можна вибрати голосну та приголосну літери зі

слова "ГУРТОК"?


Задача 2. На дошці написано 7 іменників, 5 дієслів та 2 прикметники. Для речення

треба вибрати по одному слову з кожної з групи цих частин мови. Скількома способами

це можна зробити?


Задача 3. У двох колекціонерів-початківців є по 20 марок і по 10 значків. Чесним

обміном називається обмін однієї марки на одну марку або одного значка на один значок.

Скількома способами колекціонери можуть здійснити чесний обмін?


Задача 4. На полиці стоять 5 книг. Скількома способами можна викласти в купку

декілька з них (купка може складатися і з однієї книги)?


Задача 5. Чемпіонат України з шахів проводиться в одне коло. Скільки буде зіграно

партій, якщо участь беруть 18 шахматистів?


Задача 6. У мами два яблука, три груші та чотири апельсини. Кожного дня протягом

дев'яти днів підряд вона дає синові один з фруктів, які залишилися. Скількома способами

це може бути зроблено?

Відповідь: 1080; 1260

Задача 7. Скільки існує трицифрових чисел, що не містять цифру 8?


Задача 8. Скільки невдалих спроб може зробити людина, що не знає паролю з п’яти

літер, якщо для створення кодового слова використали 12 літер (літери можуть

повторюватися)? Скільки часу на це можна витратити, якщо на одну спробу

витрачається 10 секунд?

Відповідь: 248832 спроб. 340 годин

Задача 9. Одного разу Андрій, Борис, Володимир, Дарія і Галина домовилися

відвідати кінотеатр. Вибір кінотеатру та сеансу вирішили обговорити телефоном. Було

також домовлено, що той з ким не буде зв’язку, у кінотеатр не їде. Ввечері біля

кінотеатру зібралися не всі. Як з’ясувалося, Андрій зателефонував Борису та

Володимиру, Володимир зателефонував Борису та Дарії, а Дарія – Андрію, Володимиру

та Борису. Хто не пішов у кінотеатр?

Задача 10. В королівському палаці вирішили поставити кодовий замок з

двоцифровим кодом, в якому використані цифри 1, 2, 3 і 4. Чому такий замок не

надійний?

Задача-казка

17

Зебра Марті вирішив запросити до себе на день народження жирафа Мелмана, лева

Алекса, бегемота Глорію та чотирьох пінгвінів: Шкіпера, Ковальські, Ріко та Рядового.

Скільки існує варіантів послідовного написання

запрошень, якщо врахувати, що Мелман і Глорія

проживають разом і отримають одне запрошення, а

Ріко – отримав запрошення в усній формі? (Складіть

дерево варіантів.)

Першими прийшли пінгвіни Шкіпер,

Ковальські та Рядовий. На дверях вони побачили

кодовий замок і зрозуміли, що не пам’ятають код.

Але Рядовий пригадав, що Ріко згадував три цифри,

що були у коді: 2, 5 і 7. Скільки можливих варіантів

їм треба випробовувати, щоб відкрити кодовий замок?

Відкрили? А скільки було б спроб, якщо б цифри в коді повторювалися?

На гостей у домі разом з Марті чекав Ріко. Він запропонував Мартіну

зателефонувати друзям. Але, на жаль, Марті пам’ятав тільки перші три цифри номера з

восьми. Скільки варіантів телефонів можна скласти, щоб допомогти Марті додзвонитися

до друзів?

Коли Марті зателефонував друзям, вони повідомили, що автобус зламався і вони

пропонують не чекати їх, а сідати за стіл. Скількома способами Марті може розмістити

чотирьох пінгвінів за столом?

Для прийому гостей Марті приготував дві перші страви: борщ та юшку, три других

страви – рис, картоплю та рибу, та п’ять напоїв. Скількома способами гості можуть

обрати обід, що складається з першої, другої та третьої страви?

Перед тим, як подарувати подарунки, гості вирішили

обмінятися ними. Скільки існує різних варіантів обміну?

Усі гості прибули до Марті. Тепер Марті має семеро

гостей. Гості почали обмінюватися

лапокопитостисканнями. Скільки їх було?

Марті розсадив усіх гостей за стіл. Скільки способів

розміщень існує зараз, коли гостей 7?

Смачно пообідавши, весела компанія вирішила поскладати мозаїку. Є 4 трикутники

– синій, червоний, жовтий та зелений. Скільки можна скласти ялинок з трикутничків,

якщо кожна складається з чотирьох трикутників, і кольори не повторюються?

День народження завершився. Гості на прощання залишили Мартіну і один одному

побажання. Скільки побажань прозвучало?

Пошуки невідомої кількості

Наведемо приклади задач, які розв’язуються логічними міркуваннями.

Задача 1. Малюкові 1 січня 2014 року подарували мішок шоколадних цукерок, в

якому було 412 цукерок. Щодня малюк з’їдав одну цукерку. Кожної неділі до нього

прилітав Карлсон, і Малюк пригощав його двома цукерками.

а) Скільки цукерок з’їв Карлсон до моменту, коли цукерки закінчилися? (1 січня

2014 року – середа).

б) Скільки цукерок з’їв Малюк?

в) На скільки днів вистачило цукерок?

18

г) У який день тижня з’їли останню цукерку?


а) Цукерки їли двоє – Малюк і Карлсон. Спочатку цукерок було 412 штук. Малюк

за тиждень з’їдав 7 цукерок (по одній в день), а Карлсон – всього 2 ( у неділю). Отже, за

тиждень вони обидва з’їдали 7+2=9 (цукерок).

Щоб дізнатися, скільки цукерок з’їв Карлсон, потрібно знати, на скільки неділь

вистачило цукерок. А це можна дізнатися, знаючи, скільки цукерок було, і скільки їх

з’їдали за тиждень.

Отже, Малюк і Карлсон кожного тижня з’їдали по 9 цукерок. Неповна частка від

ділення 412 на 9 дорівнює 45, а остача становить 7. Отже, цукерок вистачило на 45

тижнів і ще на декілька днів, перший із яких – середа, другий – четвер,…, п’ятий – неділя.

Тобто, Карлсон ще одну неділю отримував цукерки. Отже, він отримував цукерки 46

неділь і з’їв 46∙2 = 92 цукерки.

Відповідь: 92 цукерки.

б) 412 – 92 = 320 (цукерок).

Відповідь: 320 цукерок.

в) 412 : 9 = 45 (ост.7)

45 тижнів∙7 = 315 днів – вівторок

+ 1 цук. - середа

+1 цук. - четвер

+1 цук. - п’ятниця

+1 цук. - субота

+3 цук. - неділя

322 (дні)

Відповідь: на 322 дні.

г) У який день тижня з’їли останню цукерку?

(див. вище)

Відповідь: у неділю.

Задача 2. Якою буде відповідь, якщо Малюк даватиме Карлсону кожної неділі по

5 цукерок?

Розв’язання. Малюк і Карлсон кожного тижня з’їдали по 12 цукерок. Неповна

частка від ділення 412 на 12 дорівнює 34, а остача становить 4. Отже, цукерок вистачило

на 34 тижні і ще на 4 дні.

Перший із цих днів – середа – 1 цукерка Малюку;

другий – четвер – 1 цукерка Малюку;

третій – п’ятниця – 1 цукерка Малюку;

четвертий – субота – 1 цукерка Малюку.

Це означає, що Карлсон не отримає своїх 5 цукерок на 35 неділю.

Всього він з’їв: 170 цукерок.

Відповідь. 170 цукерок.

Задача 3. Малюкові 1 січня 2014 року подарували мішок шоколадних цукерок.

Щодня Малюк з’їдав одну цукерку. Кожної неділі до нього прилітав Карлсон і Малюк

пригощав його двома цукерками. Скільки цукерок подарували Малюкові, якщо відомо,

що цукерок вистачило би до 1 січня 2015 року?

19


1) 365 : 7 = 52 (ост.1) – кількість повних тижнів, впродовж яких Карлсон і Малюк

їли цукерки, і ще один день – середа;

2) 52 ∙ 9 = 468 (цукерок) – з’їли Карлсон і Малюк за 52 тижні;

3) 468 + 1 = 469 (цукерок) – всього у мішку.

Відповідь: 469 цукерок.

Задача 4. На токарному верстаті виточують деталі із заготовок: з однієї заготовки –

одну деталь. Із стружки, яка утворилася після виготовлення шести деталей, можна

виплавити ще одну заготовку. Скільки деталей можна отримати із 65 заготовок, якщо

стружку переплавляти в заготовки?

А. 65 Б. 75 В. 77 Г. 76

Розв’язання. Оскільки з однієї заготовки виточують 1 деталь, то із 65 заготовок

виточують 65 деталей і отримують при цьому 65 порцій стружки.

Оскільки із стружки, яка утворилася після виготовлення шести деталей, можна

виплавити ще одну заготовку, то знайдемо кількість заготовок із 65 порцій стружки.

1) 65 : 6 = 10 (ост.5) – 10 заготовок і ще 5 порцій стружки.

З цих 10 заготовок – 10 деталей і 10 порцій стружки;

2) 10 : 6 =1 (ост.4) – 1заготовка і ще 4 порції стружки.

З цієї 1 заготовки – 1 деталь і 1 порція стружки.

3) 5 + 4 = 9 (порцій стружки) – з остач;

4) 9 : 6 = 1(ост.3) – 1заготовка і ще 3 порції стружки.

З цієї 1 заготовки – 1 деталь.

5) 65 + 10 + 1 + 1 = 77 (деталей) – усіх.

Відповідь: В. 77 деталей.

Задача 5. Моя зупинка тролейбуса п’ята від одного кінця маршруту і десята – від

іншого кінця. Скільки на цьому маршруті всього зупинок?

А.15 Б.14 В.16 Г.13


Зобразивши маршрут відрізком, на якому початок маршруту і кінець – це кінці

даного відрізка, а зупинки – точки між кінцями відрізка, то усіх точок – 16. Тобто, 5 +

10 + 1 = 16 (точок) – усіх місць перебування тролейбуса.

Оскільки, початок маршруту не є зупинкою (як з одного кінця, так і з іншого), то

усіх зупинок: 16 – 2 = 14.

Так само можна міркувати, якщо зупинка, наприклад, 20-та від одного кінця

маршруту і 15-та – від іншого (тоді на маршруті 34 зупинки, і не обов’язково зображати

усі ці точки на відрізку.

Відповідь: Б. 14 зупинок.

Задача 6. Малюк, Карлсон, Буратіно і Вінні-Пух брали участь у легкоатлетичному

забігу. У якийсь момент часу виявилось, що вони біжать поруч один з одним, попереду

них біжить половина учасників забігу і позаду – третина учасників забігу. Скільки

спортсменів брали участь у забігу?

5-та(10-та)

20


1) 1/2 – 1/3 = 1/6; 2) 4∙6=24.

Відповідь: 24 учасники.

Задача 7. Василько мешкає в квартирі №85 п’ятиповерхового будинку. У

кожному під’їзді на кожному поверсі 4 квартири: за зростанням номерів:1–зліва, 2 –

посередині, 1 – справа. а) У якому під’їзді мешкає Василько? б) На якому поверсі він

мешкає? в) Де розташована його квартира – зліва, посередині чи справа?


1) 5∙ 4 = 20 (квартир) – у кожному під’їзді;

2) 85 : 20 = 4 (ост.5) – 4 повних під’їзди і ще 5 квартир п’ятого під’їзду;

3) 5 : 4 = 1 (ост.1) – 1 повний поверх і ще одна квартира.

Відповідь: а) у 5-ому під’їзді;

б) на 2-ому поверсі;

в) квартира зліва.


Задача 1. Щоб обгородити ділянку квадратної форми, потрібно вздовж кожної

сторони встановити по 6 стовпів, причому, по одному в кутах ділянки. Скільки всього

знадобиться стовпів?

Відповідь: 20 стовпів.

Задача 2. Скільки буде потрібно стовпів, якщо вздовж кожної сторони має стояти

20 стовпів?


Задача 3. Скільки буде потрібно стовпів, якщо довжина ділянки 100 метрів і стовпи

мають стояти на відстані 2 метри один від одного?


Задача 4. Навколо клумби квадратної форми треба розмістити 18 камінчиків так,

щоб уздовж кожної сторони була однакова кількість камінчиків. Чи можна це зробити?

Відповідь: Можна.

Задача 5. Щоб піднятися з першого на четвертий поверх будинку, треба пройти 48

сходинок. Скільки сходинок треба пройти, щоб піднятися з першого на шостий поверх

цього будинку, якщо кількість сходинок між поверхами однакова?

Відповідь: 80 сходинок.

Задача 6. У скільки разів більше треба пройти сходинок, щоб піднятися з 1-го на

7-ий поверх, ніж з 1-го на 4-ий?

Відповідь: у 2 рази.

М К Б В

21

Задача 7. Оксана мешкає на другому поверсі. Андрій живе у тому самому під’їзді,

але йому доводиться підніматися по сходах, у яких утричі більше сходинок. До під’їзду

і до першого поверху сходинок немає. На якому поверсі живе Андрій?

А. на 3-ому Б. на 4-ому В. на 6-ому Г. Визначити неможливо

Відповідь: Б. на 4-ому поверсі.

Задачі на зважування та переливання

Задача 1.

Є 5 монет серед яких одна фальшива (невідомо чи легша, чи важча вона від

справжньої). Маса справжньої монети 5г. Як за допомогою двох зважувань на терезах

виявити фальшиву монету, маючи одну гирю масою 5г?

Розв`язання. Позначимо монети А, В, С, Д, Е. Покладемо А і В на одну шальку

терезів, а монету С і гирю – на другу шальку. Якщо шальки зрівноважені, то фальшиві

монети Д або Е. Наступним зважуванням кладемо на одну шальку монету Д, а на другу

– гирю і виявляємо відповідно, якщо шальки в рівновазі, то фальшива монета Е. Якщо ж

у першому випадку терези не зрівноважені, слід розглянути два випадки: якщо

переважує шалька з монетами А і В, то фальшива серед трьох: А, В (тоді вона важча) або

С (тоді вона легша). Тоді Д і Е – справжні. Для другого зважування покладемо на одну

шальку А і С, а на другу – гирю і одну справжню. Якщо шальки зрівноважаться, то

фальшива В, якщо переважує шалька з А і С, то фальшива А, якщо шалька з А і С легша,

то фальшива С.

Задача 2.

В одному королівстві кожного року кожний із 10 васалів короля приносив йому по

30 золотих монет, кожна з яких важить 10 грамів. До короля дійшли чутки, що один із

васалів хоче його обдурити і виготовити монети по 9 грамів. Як за допомогою тільки

одного зважування король визначить, хто із його васалів нечесний?

Розв`язання. Пронумеруємо васалів та їх монети. Король покладе на терези 1

монету першого васала, 2 монети другого, 3 – третього,…., 10 монет останнього. Якщо

маса монет менша на 1г, то нечесний перший васал, якщо на 2г, то другий і т.д.

Задача 3.

Як, маючи 2 відра на 4 літри і 9 літрів, принести з річки 6 літрів води?

Розв`язання. Спочатку набираємо 9-літрове відро і відливаємо 2 відра по 4 літри.

Тоді у 9-літровому відрі залишиться 1л води, яку відливаємо у 4-літрове відро (туди

поміститься лише 3л, оскільки 1л уже є з першого разу). Тоді у 9-літровому відрі

залишиться 9-3=6 літрів води.

Задача 4.

Є чотири банки циліндричної форми, що містять 200г, 400г, 600г і 800г. Посудина,

що містить 400г, повністю заповнена молоком. Розлийте молоко, користуючись лише

цими банками так, щоб у кожній стало по 100г молока.

Розв`язання. 1)Із 400-грамової банки переливаємо у 200-грамову, тоді буде 200г і

200г.

22

2) Нахиляємо 400-грамову посудину так, щоб рівень молока був по діагоналі, тоді з

неї виллється половина, тобто 100г, у посудину, що містить 600г і залишиться ще 100г,

які переллємо у посудину на 800г.

3) Із 200-грамової банки знову переливаємо у 400-грамову і ділимо навпіл таким

самим способом.

Задача 5.

Господар має три бочки А, В і С. Бочка А наповнена квасом, а В і С – порожні. Якщо

квасом із бочки А наповнити бочку В, то в А залишиться 2∕5 її місткості. Якщо ж із бочки

А перелити у бочку С, то в А залишиться 5∕9 її місткості. Щоб наповнити обидві бочки

(В і С), треба взяти весь квас із бочки А і ще 4 відра квасу. Скільки відер квасу

поміщається у кожній бочці?

Розв`язання. Місткість бочки В=3∕5 місткості А, а бочки С=4∕9 від А. Значить

місткість бочок В і С разом 3∕5 + 4∕9 = 47∕45 = 1 + 2∕45 бочки А. Отже, 2∕45 бочки А

становить 4 відра, тобто місткість бочки А – 90 відер, відповідно бочки В – 54 відра, а С

– 40 відер.

Задача 6.

Восьмилітрова посудина наповнена квасом, Двоє хочуть розділити цей квас

порівно, маючи посудини на 3 літри і 5 літрів. Як вони можуть це зробити, користуючись

лише наявними посудинами?

Розв`язання.

Переливання 8 літрів 5 літрів 3 літри

І 8 0 0

ІІ 3 5 0

ІІІ 3 2 3

ІV 6 2 0

V 6 0 2

VI 1 5 2

VII 1 4 3

VIII 4 4 0


Задача 1.

На одну шальку терезів поклали шматок мила, на другу– 3/4 такого шматка та ще

3/4 кг. Терези зрівноважені. Яка маса цілого шматка мила?

Відповідь: 3 кг.

Задача 2.

3 яблука і одна груша мають таку саму масу, як 10 персиків, а 6 персиків і одне

яблуко мають таку саму масу, як одна груша .Скільки персиків необхідно взяти, щоб

зрівноважити одну грушу?

Відповідь: маса груші дорівнює масі 7 персиків.

Задача 3.

Як за допомогою терезів без гир розділити 24 кг цвяхів на дві частини – 9 і 15 кг?

Відповідь: провести перше зважування по 12 кг.

23

Задача 4.

Є дві посудини місткістю 8 л і 5 л. Як за їх допомогою налити з водопровідного

крана 7 л води?

Відповідь: за 7 ходів.

Задача 5.

Бідон, місткість якого 10 л, заповнений молоком. Є ще порожні бідони, місткість

яких відповідно 7л та 2 л. Як розлити молоко у два бідони по 5л в кожному?

Відповідь: спочатку з першого бідону потрібно відлити в другий 7л, а потім із

другого 2 л в третій.

Задача 6.

Серед чотирьох монет є одна фальшива. Як знайти її за 2 зважування на шальових

терезах без гир? Чи можна при цьому з’ясувати, чи легша вона чи важча?

Відповідь: слід розглянути два випадки: 1) порівняти вагу двох монет; 2) прирівняти

вагу двох монет.

Задача 7.

Маємо 6 однакових за виглядом монет, 4 з них справжні, а дві фальшиві: обидві

легші за справжні, але їх маса різна. За три зважування на шальових терезах без гир

знайдіть обидві фальшиві монети.

Відповідь: слід розглянути два випадки: 1) порівняти вагу двох монет; 2) прирівняти

вагу двох монет.

Задача 8.

Як за допомогою 3 л і 5 л відер набрати 1 л води? У нашому розпорядженні є

водопровідний кран і раковина, куди можна виливати воду.

Відповідь: ( 5+5)-8 +5=7 (л)

Принцип Діріхле

Серед людей, мало обізнаних з математикою, побутує хибне уявлення про

математичні міркування, як надто складні розумові дії. Звичайно, сам пошук

математичних закономірностей, як і будь-який інший інтелектуальний процес,

неможливий без винахідливості, особливого інтуїтивного чуття, осяяння. Проте строге

математичне обґрунтування уже знайдених фактів відбувається, зазвичай, за декількома

простими схемами міркувань.

Німецький математик ХІХ ст. Петер Густав Лежен Діріхле (1805-1859) у своїх

наукових дослідженнях часто користувався міркуваннями, які пізніше дістали назву

принципу Діріхле.

Ознайомлення з цим принципом можна розпочати з такої простої задачі: чи можна

розмістити 5 кроликів у 4-х клітках так, щоб у жодній з кліток не містилось більше

одного кролика? Міркування будуть такими: якби у кожній клітці сиділо не більше

одного кролика, то у 4-х клітках помістилося б не більше чотирьох кроликів. А тому 5

кроликів розмістити обумовленим способом не можна.

А якщо в тих же чотирьох клітках потрібно розмістити 9 кроликів? Міркуємо

аналогічно. Якщо в кожній клітці буде не більше двох кроликів, то в чотирьох клітках

24

всі 9 кроликів не помістяться. Отже, принаймні в одній із кліток слід буде помістити не

менше трьох кроликів.

Сам Діріхле свій принцип формулював у такій «побутовій» формі: «якщо в n

шухлядах міститься не менше, як n+1 предмет, то, висуваючи ці шухляди, ми принаймні

в одній з них виявимо не менше двох предметів». Пізніше, схильні до гумору

математики, ще більше унаочнили цей очевидний факт, взявши замість невизначених

предметів цілком визначених кроликів, а замість шухляд – клітки для них, а замість

знову ж таки невизначеного n – конкретне число 5. І одержали «класичне»

формулювання, відоме тепер більшості шанувальників математики: «якщо у 5 клітках

розмістити 6 кроликів, то принаймні в одній з них міститиметься не менше двох».

Замінюючи клітки та кролики довільними множинами А та В, що складаються

відповідно з n та m елементів (m>n), приходимо до такого твердження: якщо кожному

елементу множини А поставлено у відповідність деякий елемент з множини В, то

принаймні одному елементу із множини А відповідатиме не менше двох елементів із

множини В. Це твердження і називається принципом Діріхле.

Розглянемо конкретні приклади розв’язування задач із застосуванням принципу

Діріхле. Щоб розв’язати задачі за цим принципом, треба спочатку в кожній задачі

виділити множину, елементи якої виконуватимуть роль «ящиків»(«кліток»), і множину,

чиї елементи зіграють роль «предметів» («кроликів»), слідкуючи, щоб при цьому

обов’язково «предметів» було більше, ніж «ящиків», а потім на підставі принципу

зробити належний висновок.


Задача 1. У похід пішло 12 туристів. Наймолодшому з них 20 років, а найстаршому

– 30. Чи є серед них однолітки?

Розв’язання. Туристи утворюють 11 вікових груп, які і будуть «ящиками», а

«предметами» будуть самі туристи. Оскільки m=12 > 11=n, то за принципом Діріхле

принаймні в одній віковій групі буде щонайменше 2 туристи, які є однолітками.

Задача 2. Футбольний турнір проводиться в одне коло, тобто кожні дві команди

повинні зіграти між собою один матч. Довести, що після кожного ігрового дня

знайдуться принаймні дві команди, які провели однакову кількість ігор.

Розв’язання. Якщо в турнірі бере участь n команд, то після закінчення ігрового дня

кожна з команд може мати проведеними від 1 до n-1 ігор. Але усіх команд є n. Тому, за

принципом Діріхле, принаймні дві команди проведуть однакову кількість ігор.

Твердження задачі доведено.

Задача 3. Довести, що серед довільних 2002-ох цілих чисел можна вибрати не

менше двох таких, різниця яких ділиться на 2001.

Розв’язання. При діленні цілого числа на 2001 можна дістати лише 2001 різних

остач: 0; 1;…, 2000. Оскільки задано 2002 цілих чисел, то принаймні два з них при

діленні на 2001 дають одну і ту ж остачу. А тому різниця цих чисел ділитиметься на

2001. Зауваження: роль «кліток» у цій задачі відіграють 2001 з можливих остач, а роль

«кроликів» – 2002 задані числа. Проте спочатку були задані лише «кролики», а «клітки»

для них треба було придумати.

25

Задача 4. Усі точки площини пофарбували у два кольори. Довести, що на площині

є дві точки однакового кольору, відстань між якими дорівнює 1.

Розв’язання. У цій задачі «ящиками» будуть кольори, їх є 2. Тому «предметів»,

тобто точок, треба взяти 3. Такими точками можуть бути вершини рівностороннього

трикутника, сторона якого дорівнює 1. Згідно з принципом Діріхле принаймні дві з них

матимуть однаковий колір, що й треба було довести.

Задача 5. У школі 33 класи, в яких навчається 1150 учнів. Чи знайдеться клас, у

якому менше 35 учнів?

Розв’язання. Припустимо, що у всіх класах не менше 35 учнів. Тоді у всій школі

буде не менше 35∙33=1155 учнів, що заперечує умові задачі. Отже, у школі знайдеться

клас, у якому менше ніж 35 учнів.

Задача 6. У ящик склали 70 кульок п’яти кольорів. Відомо, що 20 з них червоні, 20

– жовті й 20 – сині. Інші кульки чорні і білі. Скільки кульок треба взяти, не дивлячись,

щоб серед них було 10 одноколірних?

Розв’язання. У найгіршому випадку для досягнення результату доведеться

вибрати 10 чорних і білих кульок, 9 червоних, 9 жовтих і 9 синіх. Разом 37 кульок.

Наступна кулька, напевно, дасть можливість одержати результат. Отже, потрібно взяти

38 кульок.

Задача 7. У 500 ящиках лежать яблука. Відомо, що в ящику не більше 240 яблук.

Довести, що знайдеться не менше трьох ящиків з однаковою кількістю яблук.

Розв’язання. Роль «кроликів» у цій задачі відіграють ящики, їх є 500. Якщо ящики

з однаковою кількістю яблук завантажувати в окремі контейнери, які виконуватимуть

роль «кліток», то контейнерів треба взяти 240. Виберемо найбільше ціле число n так,

щоб виконувалась нерівність 500>240n. Таким числом є 2. Тому за принципом Діріхле в

деякому контейнері буде не менше трьох ящиків з однаковою кількістю яблук.

Задача 8. Десять хлопців пішли на риболовлю. Кожний з них спіймав хоча б одну

рибину. Коли ввечері вони перерахували спільний улов, то нарахували 54 рибини.

Доведіть, що хоча б два хлопці зловили однакову кількість рибин.

Розв’язання. Якщо всі хлопці піймали різну кількість рибин, то всього було б

зловлено не менше 0+1+2+3+…+10=55 рибин, що суперечить умові задачі. Отже,

принаймні два хлопці зловили однакову кількість рибин.


Задача 1. У Наталчиному комоді лежать шість пар жовтих і шість пар рожевих

рукавичок. Оскільки Наталя не дуже любить порядок, то всі рукавички перемішались.

Скільки рукавичок повинна взяти Наталя, щоб серед них напевно виявилась пара

однокольорових рукавичок (неважливо якого кольору)?


Задача 2. Квадратний килим зі стороною 4м зіпсований: у ньому 15 малесеньких

дірочок – по дірочці на кожному квадратному метрі. Чи можна напевне вирізати

маленький квадратний килим зі стороною 1м , в якому не буде жодної дірочки?

Відповідь: можна.

26

Задача 3. Десять учнів 6-А класу мешкають на вулиці Каштановій. Доведіть, що

принаймні двоє з цих учнів народились в один і той же день тижня.

Відповідь: треба розподілити 10 учнів за кожним з 7 днів тижня.

Задача 4. У ящику лежать 12 червоних, 13 блакитних і 8 жовтих кульок, які

відрізняються тільки кольором. Три дівчинки хочуть із заплющеними очима витягнути

таку найменшу кількість куль, щоб серед них було 5 однакових. Аня гадає, що для цього

треба взяти 15 куль, Оксанка вважає, що достатньо витягнути 13 куль, а на думку

Тетянки, їх треба тільки 12. Хто з дівчаток правий? Відповідь обґрунтуйте.

Відповідь: Оксанка.

Задача 5. Довести, що серед 100 довільних цілих чисел завжди знайдеться 15 таких,

що різниця будь-яких двох з них ділиться на 7.

Відповідь: У 7 «кліток» помістити числа, які при діленні на 7 дають однакову

остачу; 100>7∙14.

Задача 6. На Новий рік школярі прикрашали ялинку. Дітям роздали 62 ялинкові

прикраси таким чином, щоб кожний учень одержав хоча б по одній прикрасі, і ні в кого

із двох школярів не було однакової кількості новорічних прикрас. Скільки учнів брало

участь у прикрашанні ялинки?


Задача 7. Петрик у кожній вершині куба написав по одному числу – або 0, або 1.

Потім на кожній грані куба він написав суму чотирьох чисел, які відповідали вершинам

цієї грані. Допоможіть Петрику з’ясувати, чи може так трапитись, що всі числа, які він

написав на гранях, різні.

Відповідь: ні.

Задача 8. Запах від квітучого куща троянд поширюється в радіусі 25м навколо

нього. Скільки квітучих кущів троянд необхідно посадити уздовж прямолінійної

півкілометрової алеї, щоб людина, коли проходила алеєю, завжди відчувала трояндовий

запах?


Задача 9. Доведіть, що з будь-яких 14 натуральних чисел завжди можна вибрати

два числа, різниця яких ділиться на 13.

Вказівка: скористатись принципом Діріхле для остач від ділення на 13.

Задача 10. За круглим столом сидять 30 однокласників, причому більше половини

з них – дівчата. Доведіть, що якісь дві дівчинки сидять одна проти одної.

Відповідь: якщо більше половини дівчат сидять за столом, то в одній з 15 пар

напевно будуть дві дівчинки.

Деякі способи розв’язування логічних задач

Задача 1. У гаманці лежать дві монети на загальну суму 15 копійок. Одна з них не

п'ятак. Що це за монети?

27

Відповідь: 5 і 10 к.

Задача 2. У сім'ї троє дітей: два хлопчики і дівчинка. Їх імена починаються з літер

А, Б, В. Серед А та Б тільки одна є початковою літерою імені хлопчика. Серед Б та В

тільки одна є початковою літерою імені хлопчика.

З якої літери починається ім'я дівчинки?

Відповідь: з літери Б.

Задача 3. Четверо хлопців — Андрій, Борис, Василь та Григорій — змагалися з бігу.

Наступного дня на запитання, хто яке місце посів, вони відповіли так:

А н д р і й. Я не був ні першим, ні останнім.

Б о р и с. Я не був останнім.

В а с и л ь. Я був першим.

Г р и г о р і й. Я був останнім.

Відомо, що три з цих відповідей правильні, а одна - неправильна. Хто сказав

неправду? Хто був першим?

Розв’язання. Неправду сказав Василь, першим був Борис. Якщо припустити, що

неправду сказав Андрій, то вийде, що він був першим або останнім, але тоді неправду

сказав або Василь, або Григорій, а це суперечить умові — неправду сказав тільки один з

хлопців. Аналогічно розглядаються і всі інші можливості.

Задача 4. У коробці з олівцями є олівці різної довжини і різного кольору. Доведіть,

що є два олівці, які відрізняються і за кольором, і за довжиною.

Розв’язання. Візьмемо по одному олівцю кожного кольору. Позначимо цю

множину через А. Якщо в цій множині є олівці різної довжини, то задача розв'язана.

Розглянемо випадок, коли в множині А всі олівці однієї довжини. В цьому випадку серед

олівців, що не входять у множину А, є олівець з іншою довжиною. Тоді цей олівець і

будь-який олівець з множини А, що має інший колір, відрізняються і за кольором, і за

довжиною.

Задача 5. У трьох урнах лежать кулі: у першій — дві білі, у другій — дві чорні, у

третій — біла і чорна. На урнах висять таблички: ББ, ЧЧ і БЧ, але вміст кожної з урн не

відповідає табличці. Як, діставши тільки одну кулю, визначити, в якій урні і якого

кольору лежать кулі?

Розв’язання. Треба дістати одну кулю з урни з табличкою БЧ. Оскільки табличка

не відповідає вмісту урни, то в цій урні або знаходяться дві кулі ЧЧ, або дві кулі ББ.

Отже, якщо дістали білу кулю, то під табличкою БЧ маємо дві білі кулі, якщо дістали

чорну кулю, то під табличкою БЧ маємо дві чорні кулі. В першому випадку під

табличкою ЧЧ не можуть знаходитися дві білі кулі, отже, там знаходяться біла і чорна,

тому під табличкою ББ знаходяться дві чорні кулі. Аналогічно, у другому випадку під

табличкою ББ знаходяться біла і чорна, а під табличкою ЧЧ — дві білі.

Задача 6. Тетянка сказала: «В Андрійка більше ста книг».

Данилко заперечив: «Ні, менше».

Марійка сказала: «Ну, хоча б одна книга у нього, напевне, є». Скільки книг може

бути в Андрійка, якщо з цих трьох тверджень рівно одне істинне?

Розв’язання. Можливі три випадки: правду сказала або Тетянка, або Данилко, або

Марійка. Якщо правду сказала Тетянка, то Марійка теж сказала правду, що суперечить

умові. Отже, цей випадок неможливий.

28

Якщо правду сказала Марійка, то Тетянка і Данилко, за умовою, повинні сказати

неправду. Це можливо, якщо в Андрійка рівно 100 книг.

Якщо правду сказав Данилко, то твердження Тетянки неправильне, а твердження

Марійки теж повинно бути неправильним. Це можливо, якщо в Андрійка книг немає.

Відповідь: 0 або 100.

Задача 7. Червона Шапочка показала трьом поросятам п'ять беретиків — три

червоних і два білих, зав'язала їм очі і одягла на кожного по беретику. Після цього вона

розв'язала Ніф-Ніфу очі й спитала його, якого кольору в нього беретик. Ніф-Ніф не зміг

відповісти. Потім вона розв'язала очі Наф-Нафу і задала йому те саме запитання. Наф-

Наф також не зміг відповісти. Нарешті Нуф-Нуф заявив: «Можете не знімати з мене

пов'язку, я і так знаю, якого кольору мій беретик». Якого кольору беретик Нуф-Нуфа?

Розв’язання. Нуф-Нуф розмірковував так: «Якби на мені та на Наф-Нафі були білі

беретики, то Ніф-Ніф знав би, що на ньому червоний, оскільки білих беретиків всього

два. За реакцією Ніф-Ніфа, Наф-Наф зрозумів, що або на ньому, або на мені, або на нас

обох — червоні беретики. Наф-Наф бачить колір мого беретика, але все одно не знає,

який беретик на ньому. Якби на мені був білий беретик, то Наф-Наф зрозумів би, що на

ньому — червоний. Значить, на мені — червоний беретик».


Задача 1. Іван-Царевич стоїть у підземеллі перед дверима трьох темниць. Відомо,

що в одній з темниць знаходиться Василиса Прекрасна, в іншій — Змій-Горинич, а третя

порожня. На першій темниці написано: «Тут Василиса Прекрасна», на другій: «Ця

темниця порожня», на третій: «В другій темниці Змій-Горинич». Іван може відчинити

лише одні двері. Допоможіть Івану знайти Василису.

Задача 2. Кожний з чотирьох гномів — Беня, Веня, Геня і Женя — або завжди каже

правду, або завжди бреше. Відбулась така розмова:

Б е н я (Вені). Ти брехун.

Геня (Бені). Це ти брехун.

Женя (Гені). Вони обидва брехуни. Та й ти теж. Хто з них хто?

Задача 3. Припустимо, що правильні такі твердження:

а) серед людей, які мають телевізори, немає малярів;

б) люди, які щодня купаються в басейні, але не є малярами, не мають телевізорів.

Чи випливає звідси, що не всі власники телевізорів щодня купаються в басейні?

Задача 4. На острові живуть тільки лицарі, які завжди кажуть правду, та брехуни,

які завжди кажуть неправду.

а) У жителя острова спитали: «Ти лицар чи брехун?» Що можна сказати про його

відповідь?

б) Яке питання треба задати жителю острова, щоб дізнатись, куди веде певний шлях

— у місто брехунів чи в місто лицарів?

в) У кімнаті було десять жителів острова і кожний сказав решті: «Ви брехуни». Чи

є серед них лицарі і скільки?

29

г) Є три чоловіки: А, В і С, про яких відомо, що один з них — лицар, другий —

брехун, а третій — не житель острова, звичайна людина, яка може говорити і правду, і

неправду.

А. Я звичайна людина.

В. А і С іноді говорять правду.

С. В — звичайна людина.

Хто з них брехун, хто лицар, а хто — звичайна людина?

Задача 5. Жителі кварталу А завжди кажуть правду, Б – завжди брешуть, В –

говорять правду через раз. Черговому пожежної частини зателефонували:

«У нас пожежа!» — «Де?» — спитав він. — «У кварталі В». Куди поїхала пожежна

машина?

Задача 6. Син батька професора розмовляє з батьком сина професора, причому

сам професор у розмові участі не бере. Чи може таке бути?

Задача 7. У черзі до шкільного буфету стоять Юра, Коля, Саша та Олег. Юра

стоїть перед Колею, але після Олега, Володя і Олег не стоять поруч, а Саша не

знаходиться поруч ні з Олегом, ні з Юрою, ні з Володею. В якому порядку стоять

хлопчики?

Конструкції та зважування

Задача 1. Маємо два пісочні годинники: на 7 хвилин і на 11 хвилин, яйце вариться

15 хвилин. Як відміряти цей час з допомогою годинників?

Розв’язання. Поставити два годинники одночасно. Через 7 хвилин починати

варити яйце. У другому годиннику пісок ще буде сипатись 4 хвилини. Після цього

перевернути другий годинник і виміряти ще 11 хвилин.

Задача 2. Сказав Змій Івану-Царевичу: «Жити тобі до завтрашнього ранку. Вранці

прийдеш до мене. Я задумаю три цифри а, b, с, а ти назвеш мені три числа — х, у, z.

Після цього я тобі скажу, чому дорівнює значення виразу ах+bу+сz. Тоді мусиш вгадати,

які цифри а, b, с я задумав. Не вгадаєш — голова з пліч». Допоможіть Івану-Царевичу.

Розв’язання. Виберемо: х = 100, у = 10, z = 1. Оскільки а, b, с — цифри, то сума ах

+ bу + сz = 100а + 10b + с співпадає з тризначним числом. Отже, за цією сумою цифри а,

b, с однозначно відновлюються.

Задача 3. Лікар повинен оглянути трьох хворих з різними інфекційними

хворобами. Як це зробити, якщо він має тільки дві пари гумових рукавичок?

Розв’язання. Використавши дві пари рукавичок, лікар може оглянути двох хворих.

Після чого одну з цих пар треба вивернути і вставити в ці рукавички із другої пари.

Отримаємо пару подвійних рукавичок, у якої внутрішня і зовнішня поверхні

дезінфіковані.

Задача 4. Чи існують два послідовні натуральні числа такі, що сума цифр кожного

з них ділиться на 7?

30

Відповідь: так, наприклад, 69999 та 70000.

Задача 5. Чи існують декілька додатних чисел, сума яких дорівнює 1, а сума

квадратів яких менша від 0,01?

Відповідь: так, наприклад, тисяча чисел, кожне з яких дорівнює 0,001.

Задача 6. За один хід число, записане на дошці, дозволяється або замінити на

подвоєне, або стерти в нього останню цифру. Спочатку на дошці було написане число

458. Чи можна за декілька ходів дістати число 14?

Відповідь: так, наприклад: 458 → 45 → 90 → 9 → 18 → 36 →72 → 7 → 14.

Задача 7. Складіть із цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 три тризначних числа так, щоб сума

двох чисел дорівнювала третьому і при цьому в одного із цих чисел цифра десятків

дорівнювала б 8 (кожну цифру треба використовувати один раз).

Відповідь: 162 + 783 = 945.

Задача 8. Потяг рухався в одному напрямку 5,5 годин. Відомо, що за будь-який

відрізок часу довжиною в одну годину він проходив відстань 100 км.

а) Чи правда, що поїзд рухався рівномірно?

б) Чи правда, що середня швидкість поїзда дорівнює 100 км/год?

Розв’язання. Доведемо, що потяг міг рухатись нерівномірно, і його середня

швидкість не обов'язково дорівнює 100 км/год.

Розіб'ємо весь час руху потяга на 11 півгодинних інтервалів. Нехай кожної непарної

півгодини потяг рухається так само, як і під час першої півгодини, і проходить за кожні

такі півгодини х км (0 ≤ х ≤ 100), а кожної парної півгодини він рухається точно так само,

як і під час другої за рахунком півгодини, і проходить кожної непарної півгодини (100-

х) км. Тоді, як би не рухався потяг перші дві півгодини (рівномірно чи ні), за кожну

годину руху він проїде рівно 100 км.

Знайдемо тепер середню швидкість руху потяга. Відстань, яку проїде він за всі

непарні півгодинні інтервали часу, дорівнює 6х км, а відстань, що проїде потяг за всі

парні інтервали, дорівнює 5(100-х) км. Отже, за 5,5 год руху потяг проїхав

6х + 5(100 – x) = 500 + х (км).

Тому його середня швидкість дорівнює (500+х):5,5 км/год. При х ≠ 50 ця

швидкість не дорівнює 100 км/год.

Задача 9. Один чоловік щомісяця записував свої прибутки і видатки. Чи може бути

так, що за будь-які п'ять місяців поспіль його загальні видатки перевищували прибутки,

а в цілому за рік його прибутки перевищили його видатки?

Відповідь: може. Наведемо приклад: 2; 2; 2; 2; -9; 2; 2; 2; 2; -9; 2; 2. Тут виписані

підряд різниці між його прибутками та видатками за кожен місяць року. Очевидно, що

сума будь-яких п'яти послідовних чисел цього набору дорівнює 1, а в цілому за рік сума

всіх чисел дорівнює 2.

Задача 10. Чи можна розташувати на площі шість точок і з'єднати їх відрізками без

самоперетинів так, щоб кожна точка була з'єднана рівно:

а) з трьома іншими точками; б) з чотирма іншими точками?

31

а) б)

Відповідь: а) можна; б) можна. Приклади наведені на рисунках.

Задача 11. На площині розміщена певна опукла фігура. Відомо, що будь-які дві

паралельні прямі, що мають з цією фігурою кожна лише по одній спільній точці,

розміщена на відстані а одна від одної. Чи обов'язково задана фігура є кругом з

діаметром а?

Відповідь: не обов'язково. Наведемо приклад такої фігури.

Нехай АВС — правильний трикутник. Проведемо дугу ВС з

центром А, дугу кола з центром В, дугу АВ з центром кола С. Легко

побачити, що фігура, обмежена цими дугами, задовольняє умову

задачі, але не є кругом.

Задача 12. Чи існує чотирикутна піраміда, дві протилежні бічні грані якої

перпендикулярні до площини основи?

Відповідь: існує. Наведемо приклад такої піраміди. Спочатку розглянемо

трикутну піраміду SАВС, в якої бічне ребро SА перпендикулярне до площини основи

АВС. Її бічні грані SАС та SАВ перпендикулярні до основи. Візьмемо тепер довільні

точки М і N на сторонах АС і АВ відповідно. Піраміда SМNВС задовольняє умову задачі.


Задача 1. Розкладіть гирі вагою 1, 2, 3,..., 555 на три купки, різні за вагою.

Задача 2. Замок складається із 64 однакових квадратних кімнат, що мають двері в

кожній стіні, і кожна має вигляд квадрата 8x8. Підлога в кімнатах пофарбована в білий

колір. Щоранку маляр прогулюється по замку, причому, коли він проходить через

кімнати, то перефарбовує підлогу в ній з білого кольору в чорний, а з чорного — в білий.

Чи можливо, що колись підлога в замку буде пофарбованою в шаховому порядку в

чорний та білий кольори?

Задача 3. Чи можна число 203 подати у вигляді суми декількох натуральних чисел

так, щоб і добуток цих чисел також дорівнював 203?

Задача 4. Як розташувати на площині декілька п'ятаків, щоб кожен з них дотикався

рівно до трьох інших?

Задача 5. Зафарбуйте декілька клітинок у квадраті 10x10 так, щоб у кожній клітинці

було рівно дві сусідні за стороною зафарбовані клітинки.

32

Задача 6. Чи можна покрити одиничний квадрат сімома такими самими квадратами

так, щоб жодні два з них не перетиналися між собою, але кожен з них покривав би хоч

одну внутрішню точку заданого квадрата?

Задача 7. Чи можна в кубі вирізати отвір, через який пройде куб таких самих

розмірів?

Задача 8. Є 10 мішків, деякі з них повністю заповнені фальшивими монетами, а всі

інші — справжніми. Фальшива монета на один грам легша від справжньої. Про один з

мішків відомо, що він заповнений справжніми монетами. За одне зважування на терезах

зі стрілкою знайдіть всі мішки із фальшивими монетами.

Задача 9. Є 6 гир: по дві зелених, чорних і білих. У кожній парі одна гиря важка, а

друга – легка, причому всі важкі і всі легкі гирі важать однаково. За два зважування на

шалькових терезах визначте всі три важкі гирі.

Задача 10. Є 12 монет, одна з яких — фальшива, однак невідомо, легша вона чи

важча від справжньої. За три зважування на шалькових терезах без гир знайдіть

фальшиву монету.

Графи

Методичні рекомендації до теми "Графи"

Поняття графа доцільно вводити після того, як розібрано кілька завдань, подібних

завданню 1, вирішальне міркування в яких - графічне представлення. Важливо, щоб учні

відразу усвідомили, що один і той же граф може бути намальований різними способами.

Строге визначення графа давати не потрібно, тому що воно надто громіздке, і це тільки

ускладнить обговорення. На перших порах вистачить і інтуїтивного поняття. При

введенні поняття ізоморфізму можна розв’язати кілька вправ на визначення ізоморфних

і неізоморфних графів. Одне з центральних положень теми – теорема про парність числа

непарних вершин. Важливо, щоб учні до кінця зрозуміли її доведення і навчилися

застосовувати до розв’язування завдань. При розгляді декількох завдань можна

фактично повторювати її доведення. Надзвичайно важливим є також поняття зв'язності

графа. Змістовим міркуванням тут є розгляд компоненти зв'язності, на це необхідно

звернути особливу увагу. Ейлерові графи - тема майже ігрова.

Головна мета, яку треба досягти при вивченні графів, – навчити школярів бачити

граф в умові завдання і грамотно перекладати умову на мову теорії графів. Краще

спланувати заняття послідовно впродовж 2-3-х навчальних років.

Теоретичний матеріал до теми "Графи"

Графи – чудові математичні об'єкти, з їх допомогою можна вирішувати дуже

багато різних, зовні не схожих один на одного завдань. У математиці існує цілий розділ

– теорія графів, який вивчає графи, їх властивості та застосування. Ми ж обговоримо

тільки найосновніші поняття, властивості графів і деякі способи розв’язування завдань.

Поняття графа

33

Розглянемо два завдання.

Завдання 1. Між дев'ятьма планетами сонячної системи встановлено космічне

повідомлення. Рейсові ракети літають за наступними маршрутами: Земля - Меркурій;

Плутон - Венера; Земля - Плутон; Плутон - Меркурій; Меркурій - Венера; Уран - Нептун;

Нептун - Сатурн; Сатурн - Юпітер; Юпітер - Марс і Марс - Уран. Чи можна долетіти на

рейсових ракетах з Землі до Марса?

Розв’язання. Намалюємо схему за умовою задачі– планети зобразимо точками, а

маршрути ракет - лініями.

Очевидно, що долетіти з Землі до Марса не можна.

Завдання 2. Дошка має форму подвійного хреста, який утворюється, якщо з

квадрата 4x4 забрати кутові клітинки.

Чи можна обійти таку дошку шаховим конем і повернутися на початкову клітинку,

побувавши на всіх клітинках рівно по одному разу?

Розв’язання. Пронумеруємо послідовно клітинки дошки:

А тепер за допомогою малюнка покажемо, що такий обхід таблиці, як зазначено в

умові, можливий:

Ми розглянули два різні завдання. Однак вирішення цих двох завдань об'єднує

спільна ідея – графічне представлення розв’язку. При цьому і малюнки, створені для

кожного завдання, виявилися подібними, – це кілька точок, деякі з яких з'єднані лініями.

Такі малюнки і називаються графами. Точки при цьому називаються вершинами, а

лінії - ребрами графа. Зауважимо, що не кожний малюнок такого виду буде називатися

34

графом. Наприклад. якщо вас попросять намалювати в зошиті п'ятикутник, то такий

малюнок графом не буде. Будемо називати, що малюнок такого виду, як у попередніх

завданнях, є графом, якщо є якась конкретна задача, для якої такий малюнок створений.

Інше зауваження стосується виду графа. Спробуйте перевірити, що граф для однієї

і тієї ж задачі можна намалювати різними способами; і навпаки, для різних завдань

можна намалювати однакові з вигляду графи. Тут важливо лише те, які вершини з'єднані

одна з одною, а які - ні. Наприклад, граф для задачі 1 можна намалювати по-іншому:

Такі однакові, але по-різному намальовані графи, називаються ізоморфними.

Ступені вершин і підрахунок числа ребер графа

Ступенем вершини графа називається кількість ребер, які з неї виходять. У зв'язку

з цим вершина, що має парний ступінь, називається парною вершиною, відповідно,

вершина, що має непарний ступінь, називається непарною вершиною.

З поняттям ступеня вершини пов'язана одна з основних теорем теорії графів –

теорема про чесність числа непарних вершин. Доведемо її ми трохи пізніше, а спочатку

для ілюстрації розглянемо завдання.

Завдання 3. У місті Маленькому 15 телефонів. Чи можна їх з'єднати проводами так,

щоб кожен телефон був з'єднаний рівно з п'ятьма іншими?

Розв’язання. Припустимо, що таке з'єднання телефонів можливо. Тоді уявімо собі

граф, в якому вершини позначають телефони, а ребра – проводи, які їх з'єднують.

Підрахуємо, скільки всього вийде проводів. До кожного телефону підключено рівно 5

проводів, тобто ступінь кожної вершини нашого графа – 5. Щоб знайти число проводів,

треба підсумувати ступені всіх вершин графа і отриманий результат розділити на 2

(кожен дріт має два кінця, то при підсумовуванні ступенів кожен дріт буде взято 2 рази).

Але тоді кількість проводів вийде не цілим, а дробовим числом. Отже, наше припущення

про те, що можна з'єднати кожен телефон рівно з п'ятьма іншими, виявилося хибним.

Відповідь: з'єднати телефони таким чином неможливо.

Теорема. Будь-який граф містить парне число непарних вершин.

Доведення. Кількість ребер графа дорівнює половині суми ступенів його вершин.

Так як кількість ребер має бути цілим числом, то сума ступенів вершин повинна бути

парною. А це можливо тільки в тому випадку, якщо граф містить парне число непарних

вершин.

Зв'язність графа

Є ще одне важливе поняття, що стосується графів, – поняття зв'язності.

35

Граф називається зв'язним, якщо будь-які дві його вершини можна з'єднати, тобто

є безперервною послідовністю ребер. Існує цілий ряд завдань, розв’язок яких базується

на понятті зв'язності графа.

Задача 4. У країні Сімка 15 міст, кожне з міст з'єднане дорогами не менше, ніж з

сімома іншими. Доведіть, що з кожного міста можна добратися в будь-яке інше.

Доведення. Розглянемо два довільних міста А і В. Припустимо, що між ними нема

шляху. Кожен з них з'єднаний дорогами не менше, ніж з сімома іншими, причому немає

такого міста, яке було би з'єднане з обома розглянутими містами (в іншому випадку

існував би шлях з A до B). Намалюємо частину графа відповідно до кожного міста А та

В.

Тепер зрозуміло, що ми отримали не менше 16 різних міст, що суперечить умові

задачі. Тому дане твердження доведено від супротивного.

Якщо взяти до уваги попереднє визначення, то твердження задачі можна

переформулювати і по-іншому: довести, що граф доріг країни Сімка зв'язний.

Тепер ви знаєте, як виглядає зв'язний граф. Незв'язний граф має вигляд кількох

"кусків", кожен з яких – окрема вершина без ребер або зв'язний граф. Приклад

незв'язного графа ви бачите на малюнку.

Кожен такий окремий кусок називається компонентою зв'язності графа. Кожна

компонента зв'язності являє собою зв'язний граф і для неї виконуються всі твердження,

які ми довели для зв'язних графів. Розглянемо приклад задачі, в якій використовується

компонента зв'язності.

Задача 5. У тридев'ятому царстві тільки один вид транспорту – килим-літак. Зі

столиці виходить 21 ковролінія, з міста Далекий – одна, а з усіх інших міст – по 20.

Доведіть, що зі столиці можна долетіти в місто Далеке.

Доведення. Зрозуміло, що якщо намалювати граф ковроліній Царства, то він може

бути незв'язним. Розглянемо компоненту зв'язності, яка включає в себе столицю

Царства. Зі столиці виходить 21 ковролінія, а з будь-яких інших міст, крім міста Далеке,

– по 20, тому, щоб виконувався закон про парне число непарних вершин необхідно, щоб

і місто Далеке входило в цю ж саму компоненту зв'язності. А так як компонента

36

зв'язності – зв'язний граф, то зі столиці існує шлях по ковролінії до міста Далеке, що й

потрібно було довести.

Графи Ейлера

Ви напевно стикалися з завданнями, в яких потрібно намалювати будь-яку фігуру,

не відриваючи олівець від паперу і проводячи кожну лінію тільки один раз. Виявляється,

що таке завдання не завжди можна виконати, тобто існують фігури, які зазначеним

способом намалювати не можна. Питання розв’язку таких задач також входить в теорію

графів. Вперше його досліджував в 1736 році великий німецький математик Леонард

Ейлер, розв’язуючи задачу про Кенігсбергські мости. Тому графи, які можна

намалювати зазначеним способом, називаються ейлеровими графами.

Задача 6. Чи можна намалювати зображений на малюнку граф, не відриваючи олівець

від паперу і проводячи кожне ребро рівно один раз?

Розв’язання. Якщо ми будемо малювати граф так, як сказано в умові, то в кожну

вершину, крім початкової і кінцевої, ми увійдемо стільки ж разів, скільки вийдемо з неї.

Тобто всі вершини графа, окрім двох, повинні бути парними. У нашому ж графі є три

непарні вершини, тому його не можна намалювати зазначеним в умові способом.

Це ми довели теорему про ейлерові графи.

Теорема. Ейлеровий граф має мати не більше двох непарних вершин.

І на закінчення – задача про Кенігсбергські мости.

Задача 7. На малюнку зображена схема мостів міста Кенігсберг.

Чи можна здійснити прогулянку так, щоб пройти по кожному мосту рівно 1 раз?

Завдання до теми "Графи"

Поняття графа.

Задача1. На квадратній дошці 3x3 розставлені 4 шахові коні так, як показано на

рис.1. Чи можна зробивши кілька ходів кіньми, переставити їх в положення, показане на

рис.2?

37

Рис. 1 Рис. 2

Розв’язання. Пронумеруєм клітинки дошки, як показано на малюнку:

Кожній клітці поставимо у відповідність точку на площині, і якщо з однієї

клітинки можна потрапити в іншу ходом шахового коня, то відповідні точки з'єднаємо

лінією. Вихідна і необхідна розстановки коней показані на малюнках:

При будь-якій послідовності ходів кіньми порядок їх проходження, очевидно,

змінитися не може. Тому переставити коней потрібним чином неможливо.

Задача 2. У країні Цифра є 9 міст з назвами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Мандрівник виявив,

що два міста з'єднані авіалінією в тому і тільки в тому випадку, якщо двозначне число,

утворене назвами міст, ділиться на 3. Чи можна долетіти з міста 1 в місто 9?

Розв’язання. Поставивши у відповідність кожному місту точку і з'єднавши точки

лінією, якщо сума цифр ділиться на 3, отримаємо граф, в якому цифри 3, 5, 9 пов'язані

між собою, але не пов'язані з іншими. Значить долетіти з міста 1 в місто 9 можна.

Ступені вершин і підрахунок числа ребер

Задача 3. У державі 100 міст. З кожного міста виходить 4 дороги. Скільки всього

доріг в державі?

Розв’язання. Підрахуємо загальну кількість доріг, які виходять з усіх міст: 100 ∙ 4

= 400. Однак при такому підрахунку кожна дорога порахована 2 рази, адже вона

виходить з одного міста і входить в інше. Тому всього доріг у два рази менше, тобто 200.

Задача 4. У класі 30 учнів. Чи може бути так, що 9 учнів мають по 3 друзів, 11 – по

4 друзів, а 10 – по 5 друзів?

Відповідь: ні (теорема про парність числа непарних вершин).

38

Задача 5. У короля 19 васалів. Чи може виявитися так, що у кожного васала 1, 5 або

9 сусідів?

Відповідь: ні, не може.

Задача 6. Чи може в державі, в якій з кожного міста виходить рівно 3 дороги, бути

всього рівно 100 доріг?

Розв’язання. Підрахуємо число міст. Число доріг дорівнює числу міст х,

помноженому на 3 (число доріг, що виходять з кожного міста) і розділеному на 2 (див.

завдання 3). Тоді 100 = Зх / 2 => Зх = 200, чого не може бути при натуральному х. Отже,

100 доріг у такій державі бути не може.

Задача 7. Доведіть, що число людей, що жили будь-коли на Землі і зробили непарне

число рукостискань, парне.

Доведення безпосередньо випливає з теореми про парність числа непарних

вершин графа.

Зв'язність

Задача 8. У країні з кожного міста виходить 100 доріг, і з кожного міста можна

дістатися до будь-якого іншого. Одну дорогу закрили на ремонт. Доведіть, що і тепер з

будь-якого міста можна дістатися до будь-якого іншого.

Доведення. Розглянемо компоненту зв'язності, до якої входить одне з міст, дорогу

між якими закрили. По теоремі про парність числа непарних вершин до неї входить і

друге місто. А значить, як і раніше, можна знайти маршрут і дістатися з одного з цих

міст в інше.

Графи Ейлера

Задача 9. Є група островів, з'єднаних мостами так, що від кожного острова можна

дістатися до будь-якого іншого. Турист обійшов всі острови, пройшовши по кожному

мосту рівно 1 раз. На острові Триразовий він побував тричі. Скільки мостів веде з

Триразового, якщо турист

а) не з нього почав мандрівку і не на ньому її завершив?

б) з нього почав мандрівку, але не на ньому її завершив?

в) з нього почав мандрівку і на ньому її завершив?

Задача 10. На малюнку зображений парк, розділений на кілька частин огорожею.

Чи можна прогулятися по парку і його околицях так, щоб перелізти через кожну огорожу

тільки 1 раз?

39

Математичні ребуси

1. Відновити цифри:

Трицифрове число можна отримати тільки при множенні 785 на 1, а чотирицифрове

з першою цифрою 1 тільки при множенні на 2. Тому другий множник 121.

2.

При множенні дільника на 8 одержуємо двоцифрове число. Це означає, що дільник

не більше 12, тому що 13 × 8 = 104 – трицифрове число. Якщо дільник помножити на

першу справа або останню цифру частки (яка більша за 8), то одержимо трицифрове

число, а дільник дорівнює 12.

Отже, 12 × 989 = 11868. Тому приклад має вигляд: 11868 : 12 = 989.


1. Відновити цифри:

∗ ∗ 7

3 ∗ ∗ ∗ 0 ∗ 3

∗ 1 ∗

7 8 5 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

+ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

- ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ 8 ∗

-

∗ ∗ ∗

∗ ∗

- ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

0

40

∗ 5 ∗

∗ 7 ∗ ∗ 3

2. Замінити зірочки цифрами від 1 до 9. Кожну цифру

використати тільки один раз:

3. Замінити зірочки цифрами від 1 до 9. Кожна цифра використовується двічі:

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

4. Розв’язати ребус ( однаковим буквам відповідають однакові цифри, різним –

різні).

1) АААА – ВВВ + СС = 1234

2) МММ – ММ – М = ТТ

3) TWO × TWO = THREE

4)

5) ALFA + BETA + GAMA = DELTA

6)

5. Замінити букви цифрами так, щоб отримати систему правильних рівностей:

RE + MI = FA

DO + SI = MI

LA + SI = SOL

1 5 9 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ ∗

3 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 9

∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗

A B C D E

4

E D C B A

С И Н И Ц Я С И Н И Ц Я

П Т А Ш К И

41

Задачі з сірниками

1. Перекласти один сірник так, щоб рівності стали правильними:

2. Перекласти 5 сірників так, щоб терези були зрівноважені:

1. Перекласти 6 сірників так, щоб ліхтар перетворився у 4 рівних трикутники:

2. Додайте ще один сірник, щоб рівність була правильною:

ВІДПОВІДІ

1 1 7 1.2 ×

1 5 9

3 1 9 2 3 1

1 0 5 3 1 5 9

1 1 7 + 4 7 7

3 5 1 3 1 8

3 7 3 2 3 3 6 7 2 9

1.1

42

2. ×

1 7 3. ×

1 7 9

4 2 2 4

+

6 8 7 1 6

2 5 + 3 5 8

9 3 3 5 8

4 0 0 9 6

1) 2222 - 999 + 11 = 1234

2) 111 – 11 – 1 = 99

3) 138 × 138 = 19044

4)

5) 5305 + 2475 + 6595 = 14375 (або 5795 + 6435 + 2505 = 14735)

25 + 56 = 83

40 + 16 = 56

93 + 16 = 109

I. 1. або

або

2.

Магічні квадрати

Класичний магічний квадрат 3x3

2 1 9 7 8

4

8 7 9 1 2

4.

5.

43

Спробуємо спочатку розмістити в квадратній таблиці 3x3 натуральні числа від 1 до

9 так, щоб виконувалась умова: сума чисел по усіх рядках, по усіх стовпцях, по двох

діагоналях була однакова.

Зрозуміло, що якщо додати усі дані, то отримаємо 45. Це число вказує потроєну

суму кожного рядка або кожного стовпця. Тому 45 розділимо на З, отримаємо число 15,

яке називають для числового квадрату 3х3 магічною константою. Отже, сума по

горизонталях, по вертикалях, по обох діагоналях у числовому квадраті 3х3 рівна 15.

Звертаємо увагу, що 9+1 = 8+2 = 7+3 = 4 + 6 = 10, отже числа розділилися на пари, і без

пари залишилося тільки число 5. Таким чином, середнє серед цих чисел повинно стояти

в центральній клітинці. Тоді в сусідній з нею клітинках повинні стояти або пара

непарних чисел, або пара парних чисел. В кутових клітинках повинні стояти парні числа.

Знайшовши один такий набір можна отримати ще вісім таких квадратів за допомогою

повороту навколо центральної клітинки.

В загальному випадку магічним квадратом n х n є розташування чисел від

а1 до аnn у вигляді квадрату так, щоб сума по усіх рядках, по усіх стопцях, по

двох діагоналях була однакова, яку називають магічною сумою або магічною

константою.

Для кожного значення n існує тільки одна магічна сума s, яку легко знайти.

Покажемо, як це зробити. Так як сума в кожному стовпчику рівна s, а

стовпчиків рівно n, то сума усіх чисел в магічному квадраті рівна n·s. Проте,

якщо рахувати іншим способом суму натуральних чисел від 1 до n2, то

1 + 2 + 3 + 4 +... + n2= 0,5(1 + n2)n2.

Це випливає з формули для суми n членів арифметичної прогресії з

початковим числом 1 та різницею 1. Таким чином отримаємо рівність

n·s= 0,5(1+ n2)n2.

Поділивши обидві частини рівності на n:

s = 0,5(1+n2)n.

Магічна сума для магічного квадрату від 1 до n визначається однозначною

формулою

s= 0,5(1+ n2)n.

Варто зазначити, що не існує магічного квадрату для n = 2.

Всі варіанти квадратів 3x3 з натуральних чисел від 1 до 9.

2 7 6 2 9 4 4 3 8 4 9 2

5

4 2

5

8 6

4 9 2

3 5 7

8 1 6

9

3 5 7

1

44

9 5 1 7 5 3 9 5 1 3 5 7

4 3 8 6 1 8 2 7 6 8 1 6

6 1 8 6 7 2 8 1 6 8 3 4

7 5 3 1 5 9 3 5 7 1 5 9

2 9 4 8 3 4 4 9 2 6 7 2

45

Розглянемо найпростіші елементарні магічні квадрати будь-якого простого

натурального послідовного ряду чисел, чи парного послідовного ряду чисел, чи

непарного послідовного ряду чисел, з 9-ти клітин.

Як бачимо з 1 і 4 квадратів, нуль збалансовується в послідовному натуральному та

парному послідовному ряду чисел. Отже виходить, що нуль є парним числом. Цей

принцип діє для будь-якого послідовного ряду чисел із 9-ти клітин, з 9-ти чисел.

Кожне число в магічному 9-тиклітинному квадраті збалансовується з проміжним

числом, яке рівновіддалене від центру послідовного ряду чисел, потроєний добуток

якого становить константу квадрату.

0,1,2,3,4,5, 1,2,3,4,5,6, 0,2,4,6,8, 2,4,6,8,10, 1,3,5,7,9,

6,7,8 7,8,9 10,12,14,16,18 12,14,16,18 11,13,15,17

послідовний

ряд чисел

з нулем


ряд 9-ти

чисел


ряд парних

чисел з нулем


ряд парних

чисел


ряд непарних

чисел

За кожним непарним числом іде парне, перед одиницею стоїть нуль, отже нуль є

парне число, тим більше, що він безболісно і природно вписується в магічні квадрати,

збалансовується з числами.

Послідовний

ряд з нулем


ряд без нуля


ряд чисел

непарних


ряд чисел пар-

них з нулем


ряд парних

чисел

0,1,2 1,2,3 1,3,5 0,2,4 2,4,6

2 0 1

0 1 2

1 2 0

3 1 2

1 2 3

2 3 1

5 1 3

1 3 5

3 5 1

4 0 2

0 2 4

2 4 0

6 2 4

2 4 6

4 6 2

Вертикаль=3

Діагональ =3

Горизонталь=3













7 2 3

0 4 8

5 6 1

8 3 4

1 5 9

6 7 2

14 4 6

0 8 16

10 12 2

16 6 8

2 10 18

12 14 4

15 5 7

1 9 17

11 13 3
















46

З І і III магічних квадратів видно збалансованість магічного квадрата, в якому є

нуль, і знову таки нуль є парним числом. Це видно з послідовного і парного ряду чисел.

Будь-яке число в магічному квадраті має своє місце для збалансування. Можна мати

квадрат з 9-ти клітин і розмістити в ньому послідовний ряд з 9-ти чисел, але квадрати

не будуть магічні, тобто в усіх напрямках не збалансовані, сума цифр в усіх напрямках

по горизонталі, вертикалі, діагоналі не буде сталим однаковим числом.

Чому квадрати дістали назву магічні, тобто життєдайні? У магічному квадраті

повинен бути здійснений цілий ряд умов для забезпечення повноти ідеї. Розглянемо

найелементарніший 9-тиклітинний квадрат натурального ряду послідовних чисел,

парних, або непарних чисел з нулем, або без нуля. Цифри послідовного 9-тичислового

ряду треба розмістити в магічному квадраті так, щоб середнє число 5 стало в центрі

9-тиклітинного ряду, а всі інші числа навкруги нього так, щоб всі рівновіддалені від

середнього числа були спаровані і поставлені так, щоб у будь-якому напрямку – по

вертикалях, горизонталях, діагоналях – становили стале однакове число – константу, яка

обчислюється потроєним добутком центрального числа.

Розв'яжемо наступну задачу. Розмістити в таблиці 3x3, в якій

заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі відповідно 3 та 4,

числа 1, 2 та від 5 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови:

1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2x2 була однакова;

2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих.

Спочатку будемо заповнювати таблицю по горизонталі, якщо цифру 9

поставити в центр таблиці 3x3, то не отримаємо розташування так, щоб

виконувалась умова задачі. У випадку, коли цифра 8 стоїть у центральній

клітинці, отримаємо розв'язок задачі. Для цього спочатку центральну

вертикаль таблиці зверху вниз числами 9,8,7, потім заповнюються крайні клітинки

центральної горизонталі числами 6 та 5 так, щоб для двох нижніх квадратів 2x2 сума

чисел дорівнювала 24. В кінці достатньо правильно розташувати цифри 1 та 2 так, щоб

для двох верхніх квадратів 2x2 сума чисел дорівнювала 24.

НЕМАГІЧНІ КВАДРАТИ

МАГІЧНІ КВАДРАТИ

10

15

20

1 7 2

6 5 4

8 3 9

7 6 2

1 5 9

8 4 3

16 15 14

2 9 4

7 5 3

6 1 8

8 3 4

1 5 9

6 7 2

4 3 8

9 5 1

2 7 6



Горизонталь

Вертикаль







Діагональ=15





3 4

1 9 2

6 8 5

3 7 4

47

А тепер спробуємо розмістити в таблиці 3x3, в якій заповнені дві кутові клітинки

нижньої горизонталі відповідно 7 та 8, числа від 1 до 6 і 9 так, щоб

виконувались дві такі умови:

1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2x2 була

однакова;

2) число записане в центрі таблиці було найменшим із

можливих.

Заповнювати будемо таблицю по горизонталі. Якщо цифру 3 поставити в центр

таблиці 3x3, тоді не отримаємо розташування так, щоб виконувалась умова задачі.

У випадку, коли цифра 4 стоїть у центральній клітинці, маємо розв'язок

задачі. Для цього спочатку центральну вертикаль таблиці зверху вниз

числами 9, 4, 3, потім заповнюються крайні клітинки центральної горизонталі

числами 6 та 5 так, щоб для двох нижніх квадратів 2x2 сума чисел

дорівнювала 20. В кінці достатньо правильно розташувати цифри 1 та 2 так, щоб для

двох верхніх квадратів 2x2 сума чисел дорівнювала 20.

Властивості магічного квадрату

1. Кількість усіх можливих магічних квадратів 3x3, утворених натуральними

числами від 1 до 9, рівна 8.

Доведення.

Знайшовши один такий магічний квадрат 3x3, можна отримати ще вісім

таких квадратів за допомогою поворотів навколо центральної клітинки і

дзеркальних відображень відносно осей симетрії.

2. Число, що стоїть у центрі магічного квадрата 3x3, є середнім

арифметичним усіх чисел квадрата.

Доведення.

Нехай маємо магічний квадрат. Тоді

a + b + c = g + h + i = a + e + i = b + e + h = c + e + g = S/3,

де S – сума всіх чисел у квадраті. Додавши почленно три останні вирази, маємо

(a+e+i)+(b+e+h)+(c+e+g)=3e+(a+b+c)+(g+h+i)=3e+2S/3=S;

Звідси 3e =S/3, e=S/9.

3.Властивість для магічних квадратів nхn. Середнє арифметичне усіх чисел

магічного квадрату nхn рівне магічному числу поділеному на n.

7 8

1 9 2

6 4 5

7 3 8

4 9 2

3 5 7

8 1 6

а b с

d е f

g h і

48

Доведення.

Нехай маємо магічний квадрат nхn з магічною константою М і сумою усіх чисел S.

Тоді сума в кожному рядку рівна М = S/n. Обидві частини рівності помножимо на 1/n,

отримаємо M/n= S/n2, де S – сума усіх чисел магічного квадрату, n2 – кількість чисел

магічного квадрату, S/n2– середнє арифметичне усіх чисел магічного квадрату nхn.

Зауваження 1. Не обов'язково елементом магічного квадрата повинно бути число,

що дорівнює середньому арифметичному усіх чисел магічного квадрата. Наприклад.

Магічний квадрат 4x4 з натуральних чисел від 1 до 16 має середнє арифметичне

136:16=8,5, це число не входить до зазначеної множини чисел даного магічного

квадрата.

Зауваження 2. Не обов'язково сума, різниця, добуток чисел, що розташовані у

відповідних клітинках двох магічних квадратів є магічним квадратом.

Проблемне завдання. Знайти магічний квадрат, в якому всі числа – точні квадрати.

Вказівка. Перебір на комп'ютері всіх варіантів до двох мільярдів не дав позитивної

відповіді. Як би довести, що таких квадратів 3х3 справді немає?

Спробуйте розв'язати декілька задач.

1. Розмістити в таблиці 3x3 числа від 1 до 9 так, щоб виконувались такі умови:

- в усіх рядках, в усіх стовпцях сусідні (послідовні) числа не стоять поряд;

- в кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні;

- сума чисел у центральному рядку та центральному стовпчику рівні.

2. Розмістити в таблиці 3x3 числа від 1 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови:

- сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2x2 була різна;

- число, записане в центрі таблиці, було найбільшим із можливих;

- по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні і найбільші із можливих;

- суми чисел у центральному рядку та центральному стовпчику рівні і найменші із

можливих.

3. Заповнити таблицю 1x21, використовуючи цифри 1, 2, 3, 4, 5 та дотримуючись

таких умов:

- будь-які дві сусідні цифри в таблиці не рівні;

- всі двоцифрові числа, що утворені двома сусідніми цифрами, відрізняються між

собою, якщо читати їх зліва направо.

4. Розставте числа від 1 до 8 у зафарбованих клітинках

таблиці 3x4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у

клітинках, які мають спільну вершину.

49

5. Розставте двоцифрові числа, утворені із цифр 1, 2 , 3, 4, 5, у зафарбовані клітинки

таблиці 4x4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у клітинках, які мають

спільну сторону, і будь-яке двоцифрове число не містило однакових цифр

6. Розмістити в таблиці 3x3 числа від 3, 6, 9, 12,…..27 так, щоб виконувалась

така умова: сума в усіх рядках, в усіх стовпцях була однакова.

Відповіді

1.

3.

1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 1

4.

Розрахункові задачі

1. Сашко взяв у приятеля книжку на 3 дні. В перший день він прочитав половину

книжки, за другий день – третину остачі, а за третій день – половину сторінок,

прочитаних за перші два дні. Чи встигне Сашко прочитати книгу за 3 дні?

2. До Олега на день народження прийшло 5 друзів. Олег, пригощаючи їх, розрізав

торт і роздавав друзям. При цьому Антон отримав 1/6 торта, Борис – 1/5 остачі,

Василь, Григорій і Дмитро ¼, ⅓ і ½ залишків відповідно. Олег взяв решту торта.

Хто з друзів отримав найбільший кусок?

1 спосіб. Цікаво розв`язати задачу графічно.

П’ята частина остачі також одна шоста цілого торта і т. д.

2 спосіб. Розв`язуємо з кінця: Олег і Дмитро – отримали однакові куски. У

Григорія ⅓ остачі, тому остача ⅔, а це шматки Олега і Дмитра і т.д.

8 2 7

1 9 4

б 3 5

7 2 8

1 9 4

5 3 6

14 12 15 13

24 21 25 23

31 35 32 34

41 43 45 42

6 4

2 8 1 7

5 3

12 27 6

9 15 21

24 3 18

2

.

5

.

1

6

5

6

6

.

50

Відповідь: всі діти отримали однакові куски.

3. Мавпеня надзвичайно полюбляє банани, але не має грошей, щоб їх купити. Одного

разу мавпеня знайшло гривню і побігло за бананом, але виявилось, що банани

подорожчали на 10%. Засмучене мавпеня поверталось додому. Раптом його

наздогнав Мауглі і повідомив: «Банани подешевшали на 10%». Чи зможе Мавпеня

купити банан тепер?

Відповідь: так (і ще отримає 1 коп.).

4. Довжину ділянки збільшили на 50%, а ширину зменшили на 20%. Як зміниться

площа ділянки? (Відповідь дати у відсотках).

Вказівка. Було S=ab; стало Sн.=4/5a · 3/2b=1,2ab.

Відповідь: на 20%.

5. Кавун містить 99% води. Коли кавун постояв певний час, він втратив 1% води. Яку

частину маси втратив кавун?

Відповідь: 50%.

6. Марійка купила дві книжки. Перша виявилася на 75% дешевша за другу. На

скільки відсотків друга книжка дорожча за першу?

Відповідь: на 300%.

75% 25%

І книга 100%

100% ІІ книга 400%

7. 2% від числа А більше, ніж 3% від числа В.

Чи правильно, що 5% числа А більше ніж 7% від числа В?

Відповідь: так.

51

8. З 40 т залізної руди виплавили 20 т сталі, яка містить 6% домішок. Який відсоток

домішок в руді?


1) 20·0,94=18,8(т) – чиста сталь,

2) 40-18,8=21,2 (т) – домішки,

3) (21,2·100)/40=53%.

Відповідь: 53%.

9. Є два сплави золота і срібла. В першому ці метали містяться у відношенні 2:3, а в

другому 3:7. Скільки необхідно взяти кожного сплаву, щоб отримати 8 кг нового

сплаву з відношенням золота і срібла 5:11?

Розв’язання. У новому сплаві міститься 8:16·5 =2,5 (кг)– золота. Якщо взяти першого

сплаву х кг, то до нового сплаву ввійде 0,4х кг золота з першого сплаву і 0,3 (8-х) кг

– з другого сплаву. Отже, отримуємо рівняння:

0,4х+0,3(8-х)=2,5

х=1

10. Яка мінімальна кількість учнів у гуртку, якщо відсоток нагороджених премією

міститься між числами 2,5% і 2,9%.

Розв’язання. Якщо кількість учнів в гуртку n, з них найменше 1 має премію. Цей 1

учень становить 100/ n % .

2,5‹n

100 ‹2,9;

n

100›2,5; n‹40;

n

100‹2,9; n>34


11. Картопля подешевшала на 20%. На скільки відсотків більше можна купити

картоплі на ті ж гроші?

Відповідь: на гроші, що звільнились при зниженні ціни можна придбати ¼ частина

картоплі, купленої раніше, тобто збільшити кількість картоплі на 25%.

12. Друзі Микола і Дмитро дізналися, що банк «Капітал» приймає вклади під 500%

річних. Вони вирішили покласти свої капітали на спільний рахунок і

розраховували, що через рік вклад разом із відсотковими грошима становитиме

900 грошових одиниць. Проте банк збанкрутував, і хлопці змінили плани. Микола

поклав свої гроші у банк «Надія» під 50% річних, а Дмитро – в банк «Довіра» і

52

навіть не поцікавився банківською ставкою. Через рік Микола отримав 150

грошових одиниць, а Дмитро у 3 рази менше. Який розмір прибуткових відсотків

у банку «Довіра»?

Розв’язання. Якщо від вкладу у банк «Капітал» друзі розраховували отримати 900

грошових одиниць, то їхній спільний капітал становив 900:6=150 (гр.од.). Микола

мав: 150:1,5=100 (гр.од.), а Дмитро 50 гр.од. Через рік він отримав свої гроші без

прибутку – банківська ставка у банку «Довіра» – 0%.

13. Є дві посудини з розчинами солі, причому у другій посудині розчину на 2 л

більше. Процентний вміст солі у посудинах 20% і 50%. Коли розчини злили,

отримали 40%-й розчин. Який об`єм розчину був у другій посудині?


0,2х+0,5(х +2)=0,4(2х+2)

2х+5(х+2)=8(х+1)

х=2

Відповідь: 4л.

14. До банку внесли вклад 3900 грн. під 50% річних. У кінці кожного з наступних

чотирьох років після нарахування відсоткових грошей вкладник вносив на рахунок

одну і ту ж фіксовану суму. До кінця 5-го року після нарахування відсотків

виявилось, що розмір вкладу в порівнянні з початковим зріс на 725%. Яку суму

вносив вкладник щорічно?

Розв’язання. Нехай S – початковий вклад, х – фіксована сума, що вносилась

щорічно на рахунок.

S·1,55+ х (1,54+1,53+1,52+1,5)= S·8,75

х = 210

Задачі на рух

1. Теплохід подолав шлях по ріці за течією за 5 год., а повернувся назад за

8год.20хв. За який час пропливе пліт відстань у два рази більшу?

Розв’язання. 2

1(

5

1-

3

18

1)=

252

35

=

252

2

=

25

1

2: 25

1=50 (год.)

2. Водій вантажівки глянув на спідометр і здивувався: на табло було дивовижне

число: 25952. «Не скоро доведеться побачити схоже число!» – подумав чоловік.

53

На превелике здивування вже через 1год. 20хв. руху він побачив знову цікаве

число. Яка швидкість вантажівки?

Відповідь: (26062-25952): 3

11 =82,5 (км/год)

(Наступне число, що має «вісь симетрії», – 26162, в такому випадку за 1год. 20хв.

вантажівка проїхала б 210 км, а це неможливо).

3. З моменту появи блискавки до удару грому хлопець нарахував 14 ударів пульсу.

На якій відстані від хлопця була гроза, якщо швидкість звуку 340 м/с, а протягом

хвилини пульс робить 70 ударів?

Розв’язання. 14: 6

7 =12 с.; 340·12 ≈ 4 (км)

4. Вантажівка їде зі швидкістю 65 км/год, а за нею їде легковий автомобіль з

швидкістю 80км/год. На якій відстані один від одного будуть автомобілі через 2

хвилини після того, як легкове авто наздожене вантажівку?


80-65=15 (км/год)

15·2/60= 0,5 (км)

Відповідь: 0,5км

5. Батько і син катаються на ковзанах круговою доріжкою. Час від часу батько

наздоганяє сина. Коли батько і син рухалися в протилежних напрямках, вони

зустрічалися 5 разів частіше. У скільки разів швидше бігає батько за сина?

Розв’язання. Сума швидкостей батька і сина у 5 разів більша за їх різницю:

Vб+Vс=5(Vб-Vс)

3 Vс =2 Vб

Vб=1,5 Vс

6. Два пішоходи вийшли одночасно з пунктів А і Б назустріч один одному. Через 2

години вони зустрілися на відстані 8 км і 6 км від пунктів А і Б відповідно. Не

зупиняючись, вони попрямували далі до кінцевих пунктів. Не затримуючись там,

вони вирушили назад. В якому місці дороги відбулась їх друга зустріч?

Розв’язання. Відстані, котрі пройшли пішоходи, відносяться як 4:3. Отже, і їх

швидкості відносяться так само. Сума швидкостей 7 км/год. Швидкість одного 4

км/год, а другого 3 км/год. Обидва пішохода разом пройшли 28 км (після першої

зустрічі), тобто були в дорозі 4 години. За цей час перший пройшов 4·4=16 (км). З

них 6 км до пункту Б і 10 км від Б до другої зустрічі. Друга зустріч відбулася на

відстані 4 км від А.

7. Якщо велосипедист буде їхати зі швидкістю 10 км/год, то запізниться на 1

годину, якщо ж його швидкість буде 15 км/год, то він приїде в пункт призначення

на годину раніше. За якою швидкістю повинен їхати велосипедист, щоб прибути

вчасно?

54

Розв’язання. Припустимо, що велосипедистів двоє, їх швидкості 10 км/год і 15

км/год. Якби перший виїхав на 2 години раніше, то вони прибули би одночасно:

20:5=4 (год) 10·2:(15-10)=4 (год)

За 4 години другий велосипедист приїде в пункт призначення і подолає 60 км.

Оскільки 60 км треба подолати за 5 годин, то швидкість має бути 12 км/год.

8. Дві мурашки Нік і Піт вирішили відвідати метелика. Нік всю дорогу ішов пішки,

а хитрий Піт половину дороги пересувався на равлику, який удвоє повільніший

за мурашку, а потім пересів на коника, який був у 10 разів швидший. Хто з

мурашок прибуде швидше, якщо вони стартували одночасно?

Відповідь: Нік.

9. Два спортсмени одночасно зіскочили з плота і попливли в різні сторони: один за

течією, а другий – проти течії річки. Через 5 хвилин вони одночасно змінили

напрям і повернули назад (спортсмени плавають однаково добре). Хто з

спортсменів дістанеться плота швидше?

Розв’язання. Відносно плота спортсмени рухаються з сталими швидкостями.

Незалежно від того, чи рухаються вони за течією, чи проти течії. Тому допливуть

вони до плота одночасно.

10. 10 бобрів розрахували, що побудують греблю за 8 днів. Попрацювавши 2 дні,

вони дізналися, що через небезпеку повені, треба закінчити будову за 2 дні.

Скільки треба залучити бобрів додатково, щоб збудувати греблю вчасно?

Розв’язання. 8

1 - продуктивність 10 бобрів за 1 день, за 2 дні було зведено

4

1

греблі, а залишилось 4

3 роботи на 2 дні, значить за один день потрібно виконати

8

3

роботи. Якщо продуктивність 10 бобрів 8

1 , то

8

3 продуктивність 30 бобрів.

Відповідь: ще треба 20 бобрів.

11. 4 робітники обробляють деталі з однаковою продуктивністю. Якщо І, ІІ і ІV

будуть працювати 2, 4, 6 годин відповідно, то буде оброблено 260 деталей. Якщо

ІІ і ІV працюватимуть по 6 годин, а ІІІ – 2 години, то буде вироблено 270 деталей.

Якщо ІІ і ІV працюватимуть по одній годині, то встигнуть обробити 40 деталей.

Скільки буде оброблено деталей, якщо працюватимуть по одній годині І, ІІІ і ІV

робітники?


1) ІІ і ІV за 6 год – 40·6=240 деталей.

тоді ІІІ за 2 год – 30 деталей, а за 1 год – 15 деталей.

2) ІІ і ІV за 4 год 40·4=160 деталей.

тоді ІІ і ІV за 2 години: 260-160=100 деталей.

І і ІV за 1 год – 50 деталей.

І, ІІІ і ІV – за 1 год. 115 деталей.

55

Для нотаток

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

56

Методичний вісник

Математика 5-6 клас

Готуємось до олімпіади робіт

Упорядники:

М.Присяжнюк, Т.Скоробогата

Комп’ютерне верстка Романа Бадуліна

Коректор Марія Присяжнюк

Підписано до друку 29.11.2016р.

Наклад 50 прим.

Виготовлено в інформаційно-методичному центрі департаменту освіти та науки Івано-Франківської міської ради

76014, м. Івано-Франківськ, вул. С.Бандери, 10Г.

Documents

Математика 5 6 клас - osvita.if.ua€¦ · Математика 5-6 клас Готуємось до олімпіади Івано-Франківськ 2017 . 2 ББК